SIMULADO 1

Prévia do material em texto

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 
2017-1 - SIMULADO 1 
PROF. DRA. DENISE CANDAL 
 
Página 1 de 3 
 
1. Obter a derivada da função 𝑦 = (2𝑥2 − 3)2 no ponto P(1,1). 
Gabarito: -8 
2. Calcular a derivada. 
(a) √(3𝑥2 + 6𝑥 − 2)2
3
 
(b) 𝑓(𝑥) = 2𝑒3𝑥
2+6𝑥+7 
(c) 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 
(d) 𝑓(𝑥) = (4 − 𝑒𝑥+1)𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 1) 
3. Dada a função 
32253 36 yxyyx 
, determine 
dx
dy
com o emprego da diferenciação 
implícita. 
Gabarito: 𝑦´ =
2𝑥−3𝑥2𝑦5
5𝑥3𝑦4+12𝑦+9𝑦2
 
4. Calcule a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛
𝑥+10
√2𝑥−2
 com o auxílio da regra da cadeia. 
Gabarito: 𝑓´(𝑥) =
𝑥−8
2𝑥2+4𝑥+1
 
5. Seja f uma função tal que 𝑓(𝑥) = √3𝑥 − 2𝑥2 Determine f ' (1). 
Gabarito: 𝑓´(𝑥) =
3−4𝑥
2√3𝑥−2𝑥2
 
6. Seja a função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥 + √1 + 𝑥2). Determine a derivada df/dx. 
Gabarito: 
1
𝑥+√1+𝑥2
(1 +
𝑥
√1+𝑥2
) 
7. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = 2x2 + 3 que seja paralela 
reta y = 8x + 3. 
Gabarito: 𝑦 = 8𝑥 − 5 
8. Determine a equação da reta normal ao gráfico f(x) = 1/x no ponto (1/3, 3). 
Gabarito: 𝑦 =
1
9
𝑥 −
84
27
 
9. Determine os pontos críticos de 𝑓(𝑥) = 6𝑥4 − 32𝑥3. 
Gabarito: 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 4 
10. Uma escada com 10 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base 
da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1m/seg. Quão rápido o topo da 
escada está escorrendo para baixo na parede quando a base da escada está a 6 metros da 
parede? 
Gabarito: -3/4 
(a) 𝑓´(𝑥) =
12(𝑥+1)
3 √3𝑥2+6𝑥−2
3 Gabarito 
(b) 𝑓´(𝑥) = (12𝑥 − 12)𝑒3𝑥
2+6𝑥+7 
(c) 𝑓´(𝑥) = 2𝑒2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 3𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛3𝑥 
(d) 𝑓´(𝑥) = −𝑒𝑥+1𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 1) + 4 cos(𝑥 + 1) − 𝑒𝑥+1cos (𝑥 + 1) 
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 
2017-1 - SIMULADO 1 
PROF. DRA. DENISE CANDAL 
 
Página 2 de 3 
 
11. Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume cresce a uma taxa 
de 100 cm3/seg. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é 50 cm? 
Gabarito: 
1
25𝜋
 
12. A função custo de uma empresa é fornecida pela função: C(x) 300x2- 20x , e a receita é dado 
por R(x) = 10x . Qual é maior lucro dessa empresa? 
Gabarito: 1/20 
13. Centenas de animais pertencendo a uma espécie em perigo estão colocados numa reserva 
de proteção. Depois de t anos a população p desses animais na reserva é dada por 𝑝 =
100
𝑡2+5𝑡+25
𝑡2+25
 . Após quantos anos a população é máxima? 
Resolução. 
𝑝 = 100
𝑡2 + 5𝑡 + 25
𝑡2 + 25
 
𝑝´ = 100
(2𝑡 + 5)(𝑡2 + 25) − (𝑡2 + 5𝑡 + 25)2𝑡
(𝑡2 + 25)2
 
 
𝑝´ = 100
2𝑡3 + 50𝑡 + 5𝑡2 + 125 − 2𝑡3 − 10𝑡2 − 50𝑡
(𝑡2 + 25)2
 
𝑝´ = 100
−5𝑡2 + 125
(𝑡2 + 25)2
 
 
𝑝´ = 100
−5𝑡2 + 125
(𝑡2 + 25)2
= 0 
−5𝑡2 + 125 = 0 
5𝑡2 = 125 
𝑡2 = 25 
𝑡 = 5 
14. Determine os intervalos nos quais a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 é crescente e decrescente. 
Gabarito: (a) crescente: [2,∞+[ e decrescente: ]-∞,2]. 
15. O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990 pelo ônibus 
espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do 
lançamento em t = 0 até a entrada em funcionamento do foguete auxiliar em t = 126s, é dado 
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 
2017-1 - SIMULADO 1 
PROF. DRA. DENISE CANDAL 
 
Página 3 de 3 
 
por (em pés/s) 
3 2( ) 0,001302 0,09029 23,61 3,083v t t t t   
. Usando este modelo, estime 
os valores de máximo e mínimo absolutos da aceleração do ônibus entre o lançamento e a 
entrada do foguete auxiliar. 
Resolução: 
Precisamos determinar a equação da aceleração, que é a derivada da velocidade. 
3 2( ) 0,001302 0,09029 23,61 3,083v t t t t   
. 
𝑎(𝑡) = 𝑣´(𝑡) = 0,003906𝑡2 − 0,18058𝑡 + 23,61 
Para determinarmos os valores máximos e mínimos da aceleração precisamos achar os pontos 
críticos. Derivando a aceleração e igualando a zero: 
𝑎´(𝑡) = 0,007812𝑡 − 0,18058 = 0 
𝑡 = 23,12 
 
Temos, como candidatos a máximo e mínimo os valores de t=0,t=126 e o ponto critico t=23,12. 
Substituímos na equação da aceleração de modo que possamos comparar os valores: 
𝑎(𝑡) = 0,003906𝑡2 − 0,18058𝑡 + 23,61 
 
𝑎(0) = 23,61 
𝑎(126) = 0,003906(126)2 − 0,18058(126) + 23,61 = 62,87 
𝑎(23,12) = 0,003906(23,12)2 − 0,18058(23,12) + 23,61 = 21,52 
 
Observando os valores encontrados, verificamos que o maior deles, 62,87, será o máximo e 
ocorre em t=126, enquanto que o menor deles, 21,52, será o mínimo e ocorre em t=23,12.