Aula 02 - Que conta eu Faço É de mais ou é de menos COMPLETA

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Conteúdo, Metodologia e Prática do Ensino da Matemática
Aula 2 – Que conta eu Faço: É de “mais” ou é de “menos”? 
Objetivos da aula: 1- Reconhecer conceitualmente as quatro operações e as suas inversas; 2- Identificar os fatos básicos como fundamentais no aprendizado das operações; 3- Reconhecer as propriedades das operações em atividades de manipulação com os fatos básicos; 4- Reconhecer o que é um problema; 5- Identificar procedimentos que favorecem a compreensão da estrutura e as etapas do ensino dos algoritmos.
 “Que conta eu faço: é de “mais” ou é de “menos”? Ao apresentarmos uma situação problema para as crianças, é comum ouvirmos a pergunta “que conta eu faço”. Situações desse tipo refletem ausência de experiências das crianças, envolvendo as ações que estão relacionadas às operações. O ensino das operações ocupa, tradicionalmente, lugar privilegiado nos anos iniciais do ensino fundamental. No entanto, o foco na abordagem das operações geralmente fica restrito aos algoritmos em detrimento da conceituação das operações. Esta aula levará você para um passeio bem interessante pelas quatro operações básicas sob o ponto de vista da conceituação dessas operações. Os algoritmos e fatos básicos também não ficarão de fora além de uma boa conversa sobre o significado da resolução de problemas para o ensino da Matemática. Vamos então às contas?
A Adição e sua inversa, a subtração: 
 O reconhecimento pelas crianças dos diversos significados para uma mesma operação é fundamental para aprendizagens futuras em Matemática. Ao desenvolver o conceito de número, como vimos na aula 1, o aluno já adquire experiências de adição ao perceber que pode arrumar “seis carrinhos”, como 4 + 2 = 6 ou 5 + 1 = 6. A adição envolve dois tipos de ações: a de Juntar, ou reunir, e a de acrescentar. Já a subtração (inversa da adição) corresponde às ações de retirar, comparar ou completar. Pelo fato de a exploração dos
conceitos da adição e da subtração em atividades concretas ser muito natural, essa conceituação é feita
paralelamente. É necessário que a criança vivencie a adição e a subtração como operações inversas porque, assim como reúne objetos, ela também percebe que pode separá-los: 5 + 1 = 6, logo  6 – 1= 5. Essas ações são identificadas nos problemas a seguir: Gustavo tem quatro livros numa prateleira da estante  e outros três livros em outra prateleira. Quantos livros o menino tem na estante (ação de juntar ou reunir da adição)? Gustavo tinha cinco carrinhos e ganhou mais três de sua tia. Com quantos carrinhos ficou (ação de acrescentar da adição)? Na turma do primeiro ano, estudam 25 crianças. Se faltassem cinco crianças,  quantas ficariam (ação de retirar da subtração)? Clara tem oito anos e sua irmã tem 13 anos. Quantos anos a irmã de Clara tem a mais do que ela (ação de comparar da subtração)? Preciso de nove figurinhas para completar meu álbum. Já consegui quatro. Quantas figurinhas ainda preciso para completar todo o álbum (ação de completar da subtração)? 
 As ações precisam ser exploradas utilizando materiais concretos como chapinhas, palitos, pedrinhas etc. Ao propor os problemas, as crianças utilizam os materiais concretos para juntar, separar, comparar e completar a quantidade de objetos. A multiplicação envolve as ações de:
 a) adição de parcelas iguais
b) Como raciocínio combinatório 
c) Como organização Retangular
 A divisão tem duas ações: a divisão em partes iguais e a divisão como comparação ou medida. Inicialmente, a criança deve explorar a divisão em partes iguais.
a) A ação da divisão como repartição é encontrada em situações nas quais é conhecida a quantidade de grupos que deve ser formada com um certo total de objetos, sendo necessário encontrar a quantidade de objetos de cada grupo.
b) A divisão como comparação ou medida é encontrada em situações nas quais é preciso saber quantos grupos podemos formar com uma certa quantidade de objetos, conhecendo a quantidade que cada grupo deve possuir. 
Exemplo 1: Na sala de Gustavo, há 24 alunos e querem formar quatro grupos iguais de crianças. Quantas crianças haverá em cada grupo? 
Exemplo 2: Na sala de Gustavo, há 24 alunos. Eles vão formar grupos iguais de seis crianças para estudarem melhor. Quantos grupos serão formados na sala? 
As propriedades de adição e da subtração:
As propriedades das operações devem ser observadas a partir da manipulação de objetos de contagem: Exemplo: Assim, quando junta dois carrinhos com mais três é o mesmo do que juntar três carrinhos com mais dois. Em ambas situações, ele obtém cinco carrinhos ( 2 + 3 = 5   e 3 + 2 = 5). Na verdade, embora não nomeie a propriedade, ele está usando a propriedade comutativa da adição. Quando o aluno percebe que ao juntar: 3 + 2 + 4 é o mesmo que (3 + 2) + 4 = 5 + 4 Ou ainda,  3 + (2 + 4) = 3 + 6,  está utilizando a propriedade associativa da adição. A subtração, inversa da adição, precisa ser explorada a partir de situações concretas. De oito bolas, três estouraram. Quantas restaram cheias? ( 8 - 3 = 5) Se estourassem quatro bolas, ficariam mais ou menos bolas cheias? ( 8 – 4 = 4) Se  tivéssemos nove bolas e também estourassem duas, ficaríamos com mais ou com menos bolas cheias? (9 – 2 = 7). Atividades desse tipo contribuem para que o aluno perceba que: 
As propriedades da Multiplicação e da Divisão
Assim como nas operações de adição e subtração, é importante que as crianças apenas vivenciem os fatos enunciados pelas propriedades e que elas sejam trabalhadas concretamente. Ao se relacionarem com as propriedades dessa maneira, as crianças têm mais facilidade para conceituar a operação e, ao utilizá-las, elas aumentam a sua capacidade operatória. A criança ao perceber que a multiplicação é comutativa, sabe que pode multiplicar 547 X 15 ao invés de 15 X 547, o que irá facilitar seu cálculo e reduzir as chances de erro. Para explorar e observar esta propriedade, o papel quadriculado contribui para que isso ocorra com mais facilidade. Já a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição possibilita a compreensão do algoritmo (conta), evitando assim que a criança realize mecanicamente esse dispositivo prático. Veja a situação problema: 
O Princípio Fundamental da Divisão: 
 O princípio fundamental da divisão é determinado pela igualdade: Nessa igualdade, D é o dividendo, d é o divisor, q é o quociente e r é o resto. Por exemplo: 
Assim, para que a criança compreenda o conceito de divisão, necessita-se reconhecer que: 
É importante que a criança possa observar essas relações durante todo o processo de estudo da operação de divisão, mas sem a necessidade de decorar as relações, mas reconhecê-las nas atividades que envolvem as ações de repartir, por exemplo. 
Os fatos básicos e os algoritmos – Ainda é preciso aprender a tabuada?
http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/jogo-tabuada-428051.shtml
Os fatos básicos
Quando realizamos mentalmente os cálculos de uma operação, com números de um só algarismo, estamos diante de um fato básico. 
Assim, quando o aluno aprende que 1 + 3 = 4, também aprende que 4 – 3 = 1. Além disso, ao explorarmos situações com os alunos nas quais observam e percebem as propriedades das operações eles já estão reduzindo o estudo dos fatos básicos. Por exemplo, ao reconhecerem, pela propriedade comutativa que  2 + 3 = 5 e 3 + 2 = 5. Os fatos básicos também devem ser estudados nas operações de multiplicação e da divisão. Porém, é importante que eles sejam estudados informalmente para que, depois de conceituados,
possam ser registrados matematicamente e aí, então, memorizados. Essa memorização é necessária para a criança ter exatidão e rapidez, mas é importante que ela não seja levada a estudar a tabuada sem antes formar o conceito e ser capazde reconhecer situações multiplicativas. Exemplo:
Assim, é importante não insistir numa memorização imediata dos fatos básicos e, sim, que os alunos desenvolvam suas própriasestratégias de cálculo. Conforme forem exercitando esses cálculos, a partir de jogos e atividades criativas, evitando exercícios repetitivos, eles irão memorizando os fatos básicos. Embora a calculadora faça parte integralmente do nosso cotidiano, é fundamental que os alunos aprendam os fatos básicos (mais conhecidos como tabuada). Qualquer um deve saber responder com compreensão, por exemplo, 7 vezes 8, 9 vezes 6, 5 vezes 8 e assim por diante. É preciso cuidar para que o uso da calculadora não deixe de lado o aprendizado dos fatos básicos das operações (tabuada) e uma boa compreensão das operações. Nas aulas 9 e 10 você irá conhecer e experimentar várias situações problema que envolvem o uso da calculadora. 
Os Algoritmos das operações
Desde bem pequenas, as crianças são levadas à escola para fazer os algoritmos das operações. No entanto, para ensinar um algoritmo à criança ele necessita entender o conceito da operação, os fatos básicos e o sistema de numeração. Mas o que é um algoritmo? Será que os algoritmos das operações são os únicos existentes? Foram sempre utilizados da forma como nós o fazemos atualmente? São universalmente reconhecidos como os melhores? Essa é a condição básica para que a criança não reduza a ação de “fazer a conta” a um processo mecânico, desprovido totalmente de compreensão e significado. Bem, um algoritmo é um dispositivo prático, cujo objetivo é facilitar a execução de uma certa tarefa. Cotidianamente, convivemos com vários tipos de algoritmos, uns muito simples e outros mais elaborados, como uma receita culinária. Outros exigem tempo de treinamento até que nos sintamos seguros para poder executá-los independentemente, como dirigir um automóvel, por exemplo. Entre as estratégias de cálculo, os algoritmos das quatro operações ocupam lugar de destaque. Assim, utilizar o algoritmo para realizar adições que envolvem apenas fatos básicos, não tem sentido! É importante que a criança reconheça a necessidade da utilização do algoritmo como uma estratégia para facilitar o cálculo e não apenas utilizar o algoritmo pelo algoritmo simplesmente. O algoritmo da subtração tem finalidades semelhantes ao da adição que é de sistematizar e facilitar o processo de cálculo e deve ser apresentado quando as crianças já dominam, com certa segurança, o conceito da operação, o sistema de numeração, os fatos básicos da subtração e o algoritmo da adição. A habilidade de utilizar o algoritmo corretamente requer tempo e prática, sendo necessárias diversas experiências preparatórias, variando-se bastante os valores numéricos. Para que a criança seja capaz de compreender o algoritmo da subtração, necessita-se relacioná-lo com o conceito da operação e com as ações que podem ser associadas à subtração. Assim, é necessário fazer conexões entre as diferentes ações associadas à subtração e ao algoritmo, permitindo que criança as realize de forma concreta. É necessário que a criança se familiarize com a nomenclatura associada ao algoritmo da subtração 
A seqüência a seguir é uma, do muitos exemplos, das etapas de exploração dos passos com o algoritmo: 
44 – 27 com material dourado. Os passos seriam registrados da seguinte forma:
O Algoritimo da Multiplicação 
Antes de aprender o algoritmo propriamente dito, é fundamental que a criança compreenda que as dezenas obtidas após a multiplicação das unidades são adicionadas às outras dezenas somente depois que estas também já forem multiplicadas pela unidade.
1ª. etapa: ao apresentar o algoritmo, é importante relacionar essa situação àquela explorada anteriormente. Assim, perguntar aos alunos que resultado encontramos depois de multiplicar 6 por (30 + 2). Qual seria então a melhor formam de escrever 12 e 180 para adicioná-las? Agora, os alunos necessitam concluir que é utilizando o algoritmo da adição.
2ª. etapa: agora é apresentada aos alunos a mesma multiplicação anterior na forma:  6 x 32
Ao multiplicarmos o 6 pelo 2, que produto encontramos? O que representa o 3 no 32? (3 dezenas) Quando multiplicamos 6 por 3 dezenas, qual será o produto? (18 dezenas ou 180 unidades)
3ª. etapa: agora a criança já deve ter fixado todo o desenvolvimento do processo e deve efetuar mentalmente algumas operações. A criança deve perceber que, ao multiplicarmos o 6 pelo 2, escrevemos as duas unidades e guardamos as dezenas na cabeça e que serão adicionadas às outras dezenas do produto. Tais dezenas serão obtidas quando multiplicarmos as 3 dezenas por 6.
Por último, exploramos o algoritmo da multiplicação de dois números (cada um deles representado no SDN por dois algarismos). Agora, as acrianças já devem ter base para aprender este algoritmo. Por exemplo, ao calcular o produto de 43 por 27, iniciamos fazendo o produto de 7 x 43.  É importante que a criança reconheça que está multiplicando 7 unidades por 43 e que o processo é semelhante ao anterior.
Agora, a criança efetua o produto das duas dezenas  que será adicionado ao produto das unidades. É importante dar ênfase ao valor 2 no número 27, enfatizando que ele representa dezenas e assim sucessivamente
O algoritmo da divisão é bem mais complexo e difícil do que os demais algoritmos das operações. 
Isso porque envolve, além do sistema de numeração, os fatos básicos e o conceito de operação, a utilização das outras operações (adição, subtração e multiplicação) e da propriedade distributiva da divisão em relação à adição. 
Assim, é fundamental que as crianças retomem os materiais concretos que utilizaram anteriormente (Aula 1). A seguir, uma sequência de procedimentos que favorece o início do aprendizado do algoritmo da divisão: 
Exemplo:
É fato que não existe um único caminho que possa ser considerado o melhor no ensino de qualquer disciplina. No entanto, a proposta de trabalho com resolução de problemas é um dos caminhos que contribui para o ensino da Matemática. Isso se justifica porque, na história da humanidade, o homem sempre resolveu problemas de ordem prática em diferentes contextos: quando tinha que dividir terras, calcular o número de animais de seu rebanho (aula 1) ou dividir alimentos coletados em sua tribo. A essência da Matemática se caracteriza por essa forma de utilizá-la porque resolver problemas é o meio para a construção dos conhecimentos nessa área.  Assim, um dos principais objetivos da matemática, a partir da resolução dos problemas, é desenvolver o raciocínio lógico num contexto de situações que proponham desafios e o aluno possa colocar em ação tudo o que sabe para o que ainda não tem resposta e que exija a busca de soluções. Sendo assim, o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o problema! Dessa forma, os conceitos matemáticos, no processo de ensino e aprendizagem, devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações nas quais os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las. Assim, nossa concepção de resolver problemas está longe daquela atividade mecânica que se reduz a fazer cálculos com os números apresentados no enunciado, sempre numa mesma sequência de operações, e que pouco ou nada contribui para valorizar o processo investigativo que caracteriza a resolução de problemas. Isso porque resolver problemas exige que os alunos participem ativamente na comunicação e expressão do seu modo de pensar. É importante termos clareza de que as experiências cotidianas, vivenciadas diariamente pelas crianças,  fazem com que elas desenvolvam a capacidade de lidar com vários tipos de situações, buscar e selecionar informações, escolher a melhor solução para determinada situaçãoque, desde muito cedo, contribuem com a capacidade para solucionar problemas. Essas capacidades devem serpotencializadas pela escola por meio de um trabalho reflexivo e assim contribuir para o desenvolvimento integral dos alunos. Ao serem convidados a pensar sobre suas próprias estratégias de resolução, os alunos compartilham com os colegas as suas ideias e percebem outras possibilidades de resolução da mesma situação problema. Questões como: Que problemas propor; Como encaminhar as discussões; Como intervir para que os alunos avancem em suas hipóteses; Como problematizar situações do cotidiano, entre outras, contribui significativamente no desencadear reflexões para o início do trabalho. Diante dessas considerações, podemos então dizer que um problema é toda situação que, desafiando a curiosidade, possibilita uma descoberta. Assim, é importante compreender que a resolução de problemas é uma metodologia que se caracteriza por uma proposta aberta e que permite uma diversidade de situações e reflexões por parte dos alunos, cabendo ao professor mediar essas reflexões para que os alunos tenham a oportunidade de explorar a investigação e a comunicação de suas ideias. Concluímos dizendo que o aluno, enquanto resolve problemas, aprende Matemática, desenvolve procedimentos e modos de pensar, desenvolve habilidades básicas como verbalizar, ler, interpretar e produzir textos. Atenção! Para que você reconheça alguns exemplos de situações-problema diferentes daquele “problema-tipo” que ainda é muito comum nas aulas de Matemática, é necessário que se faça a “Atividade de Resolução de Problemas” que está disponível na biblioteca. Bom trabalho!
Síntese da aula:
Assim, depois de conceituar número e reconhecer o sistema de numeração decimal, na aula 1, agora aplicou esses conhecimentos nas operações com números naturais, seus conceitos e algoritmos. 
 
Lembre-se de registrar no bloco de notas as suas observações, dúvidas e reflexões a respeito desta aula. Com esse procedimento e o estudo desenvolvido, você: 
 
1. Reconheceu conceitualmente as quatro operações básicas e suas inversas;
2. Compreendeu a importância dos fatos básicos para o aprendizado das operações;
3. Identificou que atividades de manipulação concreta com os fatos básicos contribuem para o reconhecimento das propriedades das operações;
4. Compreendeu o que é um problema;
5.5 Analisou procedimentos que favorecem a compreensão da estrutura e etapas do ensino dos algoritmos.