Estatística unidade 5

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Estatística
1ª edição
2017
Estatística
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Palavras do professor
Caro(a) aluno(a), você já notou o quanto as coisas são imprevisíveis na 
nossa vida? Por mais detalhistas e planejadores que tentemos ser, certas 
situações acabam fugindo do nosso controle. Não são raros os relatos 
de pessoas que planejam ir para a praia em determinados períodos e 
locais onde a chance de chuva é pequena, mas voltam frustradas de sua 
viagem porque quase não viram a cor do sol durante sua estada a beira-
-mar.
Situações como a relatada são típicas do mundo imprevisível e caótico 
em que vivemos. Há situações que podemos afirmar de maneira precisa 
que ocorrerão, mas há tantas outras cuja ocorrência pode no máximo 
ser prevista. Por exemplo, ao ver um fruto pendurado em uma árvore, 
é possível afirmar que um dia ele sairá de lá (ou cairá ou alguém o irá 
arrancar). No entanto, saber qual será esse dia já é uma pergunta que 
não sabemos responder, apesar de às vezes conseguirmos prever (a 
menos que queiramos interferir e ir arrancar o fruto da árvore hoje!).
É para ajudar a entender como funcionam essas situações aleatórias que 
existe a Estatística. Fazer previsões parece coisa de vidente. No entanto, 
todos nós podemos ser um pouco “videntes” se soubermos usar a Esta-
tística e tivermos dados suficientes para analisar.
O objetivo desta disciplina é compreender o uso prático da Estatística 
na análise de fenômenos reais que nos envolvem, saber calcular alguns 
parâmetros e medidas que ajudam a entender os resultados de uma 
pesquisa realizada com base em um conjunto de elementos (amostra) - 
tais como as medidas de posição, de dispersão e de assimetria, elaborar 
e analisar tabelas e gráficos e entender os conceitos de probabilidades e 
alguns de seus principais modelos.
Nosso estudo será dividido em duas partes, cada uma com quatro unida-
des. Na primeira parte estudaremos como fazer a análise exploratória de 
um conjunto de dados: amostragem, distribuição de frequências, gráfi-
cos, medidas de posição, medidas de dispersão e medidas de assimetria. 
Na segunda parte entenderemos os conceitos principais de probabilida-
des e conheceremos dois tipos de distribuições aleatórias. Nessa última 
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Palavras do professor
parte estudaremos as probabilidades e suas propriedades, as variáveis 
aleatórias discretas e contínuas, o modelo binomial e o modelo normal.
A disciplina também oferta um grande desafio a você, apresentado em 
forma de tarefas a serem cumpridas articulando teoria com a prática 
contextualizada. O primeiro desafio será organizar-se em pequenos gru-
pos de 3 a 4 alunos e dividir proporcionalmente as tarefas apresentadas 
em cada unidade. No fórum você terá os detalhes do desafio. Acesse!
Esperamos que você percorra esse caminho do aprendizado da Estatís-
tica com foco nos objetivos e alegria nos olhos. 
Bons estudos!
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Unidade 5
Probabilidades
Para iniciar seus estudos
Enfim chegamos à metade do nosso curso! Esperamos que até aqui já 
tenha valido a pena o sacrifício ao qual você se dispôs quando iniciou 
seus estudos. Nas primeiras quatro unidades vimos como analisar dados 
em uma amostra. Agora, na segunda metade do curso, vamos para outro 
ramo da Estatística, o das probabilidades. Possivelmente você já teve 
contato com elas no seu Ensino Médio. Nesta unidade 5 retomaremos os 
principais conceitos envolvendo probabilidades, muitos dos quais você 
já deve estar familiarizado (mesmo que não esteja, não se preocupe! 
Suporemos que você nunca tenha tido contato com o assunto). Veremos 
nas unidades seguintes que há modelos probabilísticos que podem ser 
adequados para situações reais tratadas pela Estatística. Aperte o cinto. 
Vamos viajar para o mundo das probabilidades!
Objetivos de Aprendizagem
• Definir espaço amostral, evento e probabilidade.
• Entender as principais propriedades das probabilidades.
• Definir probabilidade condicional.
• Definir e compreender o significado de independência de pro-
babilidades.
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Estatística | Unidade 5 - Probabilidades
5.1 Espaço amostral e eventos
A definição de probabilidade é simples, mas depende dos conceitos de espaço amostral e evento. Por isso, esta 
seção será dedicada a entendê-los. Iremos agora recapitular algumas noções básicas envolvendo a teoria de 
conjuntos, que possivelmente você estudou no seu Ensino Médio. Vamos lá!
Qualquer coleção de objetos (números, nomes, coisas, etc.) é denominada conjunto, o qual geralmente é deno-
tado por uma letra maiúscula (A, B, E, F, X, Y, etc.). Os objetos dentro de um conjunto são chamados de elementos 
e são denotados por letras minúsculas (a, b, x, etc.). Dado um conjunto, qualquer coleção dentro dele (ou seja, 
contendo elementos desse conjunto) é chamada de subconjunto. 
Se B é um subconjunto de A, denotamos B ⊂ A. Note que A ⊂ A Um conjunto não contendo elementos é cha-
mado conjunto vazio e costuma ser denotado por ∅ Note que ∅ ⊂ A, para qualquer conjunto A.
Há um diagrama muito comum no estudo da teoria de conjuntos: o diagrama de Venn. Tal figura consiste de um 
retângulo, representando um conjunto U (chamado conjunto universo), dentro do qual inserem-se elipses ou 
círculos, representando subconjuntos desse conjunto U.
Figura 5.1 - Diagrama de Venn
Legenda: Na figura está representado um conjunto universo e dois de seus subconjuntos: A ⊂ U e B ⊂ U.
Fonte: Elaboração própria.
Existem algumas operações envolvendo conjuntos que merecem destaque, pois serão frequentemente conside-
radas em nosso estudo. Sejam e dois conjuntos. Chamamos de união de A e B ao conjunto.
Contendo os elementos que estão em ao menos um dos conjuntos e . Chamamos de intersecção de A e B ao 
conjunto.
Contendo os elementos que estão em ambos os conjuntos A e B. Por fim, chamamos de complemento de A com 
relação a B ao conjunto.
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Contendo os elementos de B que não estão em A. Se A é um subconjunto de um conjunto U, então podemos 
denotar CUA simplesmente por AC, quando não houver risco de confusão (o conceito de AC está relacionado com 
a negação do conjunto A, ou seja, ou um elemento está em A ou em AC ). Vale observar que se AC = X então XC =A. 
A figura abaixo apresenta diagramas de Venn representando cada uma das definições dadas acima:
Figura 5.2 - Diagrama de Venn da união, intersecção e complemento de conjuntos
Legenda: (a) O tom acinzentado representa A ∪ B (b) O tom acinzentado representa A ∩ B 
(c) O tom acinzentado representa CBA (d) O tom acinzentado representa AC 
Fonte: Elaboração própria.
De posse desses conceitos, podemos agora definir os conceitos principais desta seção, iniciando pela definição 
de espaço amostral:
Definição 5.1: Chamamos de espaço amostral de um experimento aleatório ao conjunto de todas as possibili-
dades de ocorrência desse experimento, ao qual denotamos por Ω (a letra grega maiúscula ômega).
Exemplo 5.1: O lançamento de um dado convencional e a verificação da face voltada para cima consiste em um 
experimento aleatório. Nesse caso, o espaço amostral é composto pelos números de todas as suas faces, isto é, 
Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Exemplo 5.2: Considere o experimento aleatório consistindo do lançamento de uma moeda e a verificação da 
face voltada para cima. Neste caso, o espaço amostral tem apenas dois elementos, cara e coroa, os quais deno-
taremos por K e C, respectivamente. 
Assim, Ω = {K,C}.
Exemplo 5.3: Ao invés de lançarmos um dado apenas uma vez, poderíamos querer analisar os resultados de dois 
lançamentos do dado consecutivamente. Para representar os elementos do espaço amostral deste experimento 
precisaremos recorrer aos pares ordenados (x,y), onde x representa o resultado do dado no primeiro lançamento 
e y representa o lançamento do dado no segundo lançamento. Portanto, todas as combinações possíveis de 
paresordenados com números inteiros entre 1 e 6 compõem o espaço amostral deste experimento, isto é:
Ω = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1), 
(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
Exemplo 5.4: Ao invés de verificar o resultado do lançamento de uma moeda apenas uma vez, podemos analisar 
o experimento que verifica o resultado no lançamento de uma moeda 3 vezes seguidas. Neste caso continuamos 
usando coordenadas para representar os resultados, mas, para facilitar a notação, não utilizaremos vírgula. Por-
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tanto, o resultado KCK significa cara no primeiro lançamento, coroa no segundo e cara no terceiro. Dessa forma, 
o espaço amostral deste experimento é dado pelo seguinte conjunto:
Ω = {KKK, KKC, KCK, CKK, KCC, CKC, CCK, CCC}
Exemplo 5.5: Considere o experimento aleatório que avalia quantos parafusos defeituosos foram produzidos 
por uma fábrica em um dia. Sendo N o número total de parafusos produzidos pela fábrica naquele dia, então o 
espaço amostral deste experimento é
Ω = {0,1,2,..., N}
O valor 0 significa que não houve parafusos defeituosos, o número 1 significa que houve apenas um parafuso 
defeituoso, assim por diante.
Exemplo 5.6: Considere o experimento aleatório que verifica a altura máxima atingida por uma bola após o chute 
dela por um jogador de futebol. Assim, o espaço amostral deve ser um intervalo real, já que a variável é contínua:
Ω = [0, + ∞ [.
Note que os valores de Ω são as alturas atingidas pela bola, em metros, após o chute. Note que o valor 0 ocorre 
quando a bola não sai do chance. Naturalmente não há valores negativos, já que podemos supor que o campo 
de futebol é plano.
Exemplo 5.7: Uma urna contém 10 bolas, sendo 3 azuis (A), 5 vermelhas (V) e 2 brancas (B). Um experimento 
consiste em retirar três bolas sem reposição da urna. Assim, o espaço amostral desta situação pode ser dado por
Ω = {AAA, AAV, AVV, VVV, AAB, ABB, VVB, VBB, AVB}
em que cada “palavra” XYZ significa que foram retiradas 3 bolas, uma da cor X, uma da cor Y e outra da cor Z, 
não necessariamente nessa ordem. Por exemplo, VVB significa que foram retiradas duas bolas vermelhas e uma 
branca, mas isso não impede que a bola branca tenha sido a primeira retirada.
Agora que vimos os exemplos e entendemos o que é um espaço amostral, vamos aprender a definição de evento:
Definição 5.2: Seja Ω o espaço amostral de um determinado experimento aleatório. Chamamos de evento a 
qualquer subconjunto E ⊂ Ω.
Geralmente, os eventos são descritos por alguma característica ou condição que se deseja verificar dentro da 
amostra. No entanto, a definição em termos da teoria de conjuntos nos deixa claro que essas características e 
condições literais devem ser convertidas em informações numéricas.
Exemplo 5.8: Considere o experimento do lançamento de um dado convencional, no exemplo 5.1. Considere o 
evento “observar número par”. Em termos de conjunto, E = {2,4,6} ⊂ Ω.
Exemplo 5.9: Considere o experimento do exemplo 5.4. A seguir, vamos descrever vários eventos que podemos 
observar neste experimento:
• O evento “observar ao menos duas caras” pode ser representado pelo conjunto A = {KKC, KCK, CKK, 
KKK} ⊂ Ω.
• O evento “não observar caras” consiste em apenas um elemento: B = {CCC}.
• O evento “retirar ao menos uma cara e ao menos uma coroa” corresponde ao conjunto C = {KKC, KCK, 
CKK, KCC, CKC, CCK}.
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• O evento “retirar quatro caras” soa estranho, porque só lançamos a moeda três vezes neste exemplo. De 
fato, KKK não pertence ao espaço amostral Ω. Logo, tal evento não pode ocorrer. Isso significa que ao 
evento “retirar quatro caras” corresponde o conjunto vazio, ∅.
• O evento “retirar três faces quaisquer” também pode soar estranho por ser óbvio que sempre vai ocorrer. 
De fato, o conjunto que representa este evento é Ω, o próprio espaço amostral.
O evento ∅ é chamado evento impossível, enquanto o evento Ω (que é o espaço amostral) 
é chamado evento certo.
Exemplo 5.10: Considere o experimento aleatório do exemplo 5.6, referente à altura máxima atingida por uma 
bola de futebol chutada por um jogador. O evento A referente a “atingir altura maior do que 3 metros” é dado por 
A = ]3, + ∞ [. Por sua vez, o evento B referente a “atingir altura entre 2 e 5 metros” é representado por um intervalo 
fechado, B = [2.5].
Imagine um experimento aleatório contínuo. Posteriormente, descreva seu espaço amostral 
e defina ao menos três eventos interessantes desse experimento.
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5.2 Análise Combinatória A análise combinatória é parte da matemática que se preocupa na representação de 
possibilidades de ocorrência de certa variável sem que seja necessário desenvolver cada uma delas. 
Acompanhe o exemplo onde iremos mostrar seus agrupamentos. Seja o conjunto de quatro algarismos A = 
{1,2,3,4}. Necessitamos saber qual a quantidade de números de três algarismos que conseguiremos formar ape-
nas com os elementos do conjunto A, sendo eles, números naturais. 
Temos então que juntar ou formar o maior número de agrupamentos de três algarismo. 
Sem a utilização de fórmulas, poderíamos preceder da seguinte maneira:
Nesse esquema observamos que foi possível formar 24 agrupamentos de 3 algarismos cada utilizando apenas 
os algarismos 1,2,3 e 4.
É lógico que existe uma fórmula dentro da análise combinatória que nos possibilite saber essa quantidade sem 
necessitar abrir todo um esquema como esse.
Vamos então explorar cada um de seus cinco tópicos de estudo:
5.2.1. Princípio fundamental da contagem
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Definição 5.3: Esse princípio evidencia que se um evento que ocorre em n situações sucessivas e independentes, 
e, sendo a primeira situação ocorrendo de m1 formas, a segunda de m2 formas, a terceira situação ocorrendo de 
m3 formas e assim sucessivamente até a n - ésima forma ocorrendo de mn formas, temos que a quantidade total 
de situações que ocorrem desse evento é dado por:
m1. m2. m3. ... mn
Exemplo 5.11 Vamos determinar quantos múltiplos de 5 podemos formar com números naturais de dois alga-
rismos.
Os números naturais se iniciam por zero, porém, ele a esquerda não nos resultará um número com dois algaris-
mos portanto, esses números devem começar não com zero, e sim com os outros, ou seja, 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. 
Temos portanto nove possibilidades no início. E, para que o número seja múltiplo de 5, sabemos que ele dever ter-
minar ou em zero ou em 5, certo? Temos aqui duas possibilidades. Ao multiplicarmos essas duas possibilidades, 9 
e 2, obteremos o resultado dos números múltiplos de cinco com dois algarismos existentes. 18 é nosso número.
Exemplo 5.12 Suponha que voce possua 5 pares de tênis e 12 pares de meias e deseja saber de quantas formas 
diferentes poderá utilizar um par de tênis ou um par de meias. Usando o raciocínio do princípio de contagem, 
devemos multiplicar a quantidade de tênis pela quantidade de meias. Isso nos dará o resultado pretendido. Por-
tanto, dispomos de 60 maneiras diferentes de usar um par de tênis com um par meias.
5.2.2. Permutação simples
Definição 5.4: A permutação simples determina a quantidade de formas ou agrupamentos possíveis entre certo 
número de objetos ou coisas, de forma que a diferença entre cada grupo seja apenas pela mudança de posição 
de seus objetos. Quando apenas essa diferença existe, calculamos por:
Pn = n!, onde 
Pn significa permutação simples de n elementos distintos
Exemplo 5.13 Suponha que tenha cinco livros diferentes e deseje saber de quantas formas eles podem ser empi-
lhados. Como não importa a posição de cada livro, temos um caso de permutação simples.
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 =120Portanto, você poderá empilhar seus cinco livros de 120 formas diferentes.
Exemplo 5.14. Um anagrama é uma palavra ou frase formada com todas as letras de uma outra palavra. Na 
maioria dos casos, as palavras resultantes não têm significado. Ciente disso, determine quantos anagramas 
poderemos formar com a palavra ROMA? 
Lembrando que ordem ou a posição das letras da palavra ROMA não interessa, então seu cálculo é dado por:
P4 = 4! = 4.3.2.1 =24
Portanto, podemos formar 24 anagramas com a palavra ROMA.
5.2.3. Permutação com repetição
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Definição 5.5: A permutação com repetição determina a quantidade de formas ou agrupamentos possíveis entre 
certo número de objetos ou coisas, onde um deles aparece mais de uma vez, de forma que a diferença entre cada 
grupo seja apenas pela mudança de posição de seus objetos. Quando encontramos um ou mais elementos que 
surgem mais de uma vez entre os objetos ou coisas analisadas, entendemos que estamos diante de um caso de 
permutação com elementos repetidos ou simplesmente permutação com repetição. 
Matematicamente, podemos entender:
Se em um conjunto analisado, certo elemento aparece a vezes, outro elemento b vezes, e outros também suces-
sivamente, a quantidade total de permutações que podemos ter é dada por:
Exemplo 5.15. Determine quantos anagramas são possíveis na palavra ARARA. 
Percebemos que a letra A se repete tres vezes e a letra R, duas vezes. Através da fórmula temos:
Portanto, são possíveis escrever 10 anagramas com a palavra ARARA.
Exemplo 5.16. Suponha que possua uma coleção de bolinhas de vidro onde, 4 delas são leitosas, 3 pretas, 2 
brancas e a última de ferro. Voce pretende agrupá-las sobre uma placa para apresentação. Determine quantas 
maneiras poderá organiza-las?
Temos um total de dez bolinhas de vidro com quatro cores diferentes. De acordo com a quantidade de cores 
repetidas temos:
Portanto, poderei organizá-las de 12600 maneiras diferentes.
5.2.4. Arranjo Simples
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Definição 5.6: Quando a ordem ou a posição dos elementos verificados importa, estamos diante de um caso de 
Arranjo Simples. É o caso de campeonatos, competições, torneios, etc, onde ser o primeiro colocado é diferente 
do segundo e vice versa. Matematicamente escrevemos:
Se tivermos n elementos diferentes agrupados p a p elementos, o cálculo desse arranjo será dado por:
Exemplo 5.17. Em um campeonato de futebol com 20 times, qual seria o número total de possibilidades para os 
três primeiros colocados? 
Aqui temos 20 times que se agruparão 3 a 3. Então pela fórmula temos:
Portanto, poderíamos ter 6840 possibilidades para os três primeiros colocados.
Exemplo 5.18. Em um torneio de futebol de 8 times, quantos jogos podem ser realizados no turno e returno do 
torneio? Turno e returno significa que as partidas de ida são diferentes da volta. 
Portanto, teríamos 56 partidas nesse torneio.
5.2.5. Combinação Simples
Quando a ordem ou a posição dos elementos verificados não importa. São exemplos grupos de crianças numa 
excursão, grupo de cursos a estudar, etc, onde a ordem ou a posição não interessam. Estamos diante de uma 
Combinação Simples. Matematicamente escrevemos:
Se tivermos n elementos diferentes agrupados p a p elementos, o cálculo dessa Combinação será dado por:
Exemplo 5.19. Suponha que pretenda estudar três idiomas de cada vez dentre cinco escolhido por você. Qual o 
número de possibilidades de escolhermos três de cada vez?
Então temos 5 cursos que serão agrupados três a três. Como a ordem dos três escolhidos não importa, é claro um 
caso de Combinação com repetição.
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Estatística | Unidade 5 - Probabilidades
Portanto, teria 10 maneiras diferentes de agrupar três cursos dos cinco escolhidos.
Exemplo 5.20. Uma empresa de refrigerantes dispõe de 6 tipos de refrigerantes. Pretende várias misturas com 
dois tipos deles. Determine quantas misturas diferentes serão possíveis de serem realizadas. 
Temos a informação de que a ordem da mistura não importa, o refrigerante A com B será o mesmo de refrige-
rante de B com A. Então estamos diante de um caso de combinação com repetição.
Portanto, teríamos 20 misturas diferentes.
5.3 Noções básicas sobre probabilidade
Acabamos de conhecer os conceitos de espaço amostral e evento de um experimento aleatório. No entanto, para 
fins probabilísticos, mais interessante do que descrever explicitamente quais são os elementos desses conjuntos 
é saber contar quantos elementos têm nesses conjuntos (mesmo que eles sejam infinitos, caso no qual precisa-
remos de ferramentas matemáticas mais complexas). Denotaremos o número de elementos de um conjunto 
finito X por n(X).
Para entender o conceito de probabilidade, inicialmente o façamos para experimentos com espaço amostral 
finito:
Definição 5.7: Considere um experimento aleatório com espaço amostral finito Ω. A probabilidade de um evento 
qualquer E ocorrer é dada por
Exemplo 5.21: Vamos calcular as probabilidades dos eventos descritos no exemplo 5.9. Note que n (Ω)=8, pois 
Ω= {KKK, KKC, KCK, CKK, KCC, CKC, CCK, CCC} possui 8 elementos. Note que n (A) = 4 n(B) = 1 e n(C)=6. 
Logo, 
Ou seja, a probabilidade de observar ao menos duas caras no lançamento de uma moeda três vezes de 1/2 ou 
50%. Por sua vez, a probabilidade de não observar caras é
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Estatística | Unidade 5 - Probabilidades
enquanto a probabilidade de retirar ao menos uma cara e ao menos uma coroa é de
A probabilidade de ocorrer o evento “ocorrer quatro caras” é
enquanto a probabilidade de ocorrer o evento “retirar três faces quaisquer” é
De fato, valem algumas propriedades sobre probabilidades advindas da teoria de conjuntos, as quais enunciamos 
abaixo para um experimento aleatório qualquer com espaço amostral finito Ω:
Exemplo 5.22: Numa comunidade há 200 pessoas. Sabe-se que 150 delas comem carne vermelha, 90 delas 
comem carne branca e 20 delas não comem nem carne vermelha nem carne branca. Selecionando ao acaso uma 
pessoa dessa comunidade, desejamos descobrir qual a probabilidade dos seguintes eventos: “a pessoa comer 
carne vermelha” (A), “a pessoa comer carne branca” (B), “a pessoa não comer carne branca nem vermelha” (C)”, “a 
pessoa comer carne branca ou vermelha” (D) e “a pessoa comer branca e vermelha” (E). Facilmente percebemos 
que
 
 
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Estatística | Unidade 5 - Probabilidades
Agora, note que o evento D corresponde ao conjunto A ∪ B . Note também que C = Dc, pois ambos esses con-
juntos contêm as pessoas que não comem carne vermelha nem branca. Portanto Cc = D. Assim, usando a pro-
priedade (P6), temos:
Tente refazer o exemplo anterior utilizando a teoria de conjuntos, com o auxílio dos diagra-
mas de Venn. 
Consulte (MEYER, seção 2.3) ou (WALPOLE et al., seção 2.3) para estudar conceitos básicos 
envolvendo noções de contagem.
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Estatística | Unidade 5 - Probabilidades
5.4 Fatorial de um número
Definição 5.8: Podemos definir o fatorial de um número qualquer como uma expressão cuja função é determinar 
um número sucessor com ajuda do anterior ou anteriores. Tal processo recebe o nome de recursividade. Podemos 
ainda escrever seja n um número natural, fatorial de n é o produto dos números antecessores de n até 1 e indica-
mos por n!. Matematicamente fica assim:
n! = n. (n - 1).(n - 2).(n - 3). ...(1)!
Exemplos:
1) 4! = 4.3.2.1 = 24
2) 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040
Obs.: Por definição 0! = 1
Definição 5.9: Sejam e números inteiros tais que . Chamamos de combinação de n elementos k a k ao número
É um resultado básico de contagem que o número de conjuntos distintos com elementos retirados de uma 
amostra com elementos de modo que a ordem dessa retirada não seja importante é dada por 
.
 Por exemplo, 
há um grupo com 5 pessoas (A, B, C, D, E) do qual se deseja escolher3 representantes. Os grupos que podem 
ser formados, de modo que a ordem não importe, pode ser descrita pelas triplas ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, 
BCD, BCE, BDE e CDE. Note que há 10 grupos que podem ser formados. Essa contagem poderia ter sido feita 
conforme comentado acima:
Exemplo 5.23: Uma máquina produziu 40 parafusos, dos quais 4 eram defeituosos. Ao selecionar aleatoria-
mente 3 desses parafusos para um pacote, calculemos a probabilidade de que haja um parafuso defeituoso 
nesse pacote. O evento cuja probabilidade queremos calcular (E) consiste em ter 1 parafuso defeituoso e 2 não 
defeituosos. Devemos selecionar 1 parafuso defeituoso em 4 disponíveis e 2 não defeituosos em 40-4=36 dis-
poníveis. Logo,
ou seja, há 2520 pacotes contendo 1 parafuso defeituoso e 2 não defeituosos. Agora, o espaço amostral Ω con-
siste em qualquer pacote contendo 3 parafusos dentre os 40 disponíveis:
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Estatística | Unidade 5 - Probabilidades
Assim, a probabilidade de obter pacote com 1 parafuso defeituoso é:
Apesar de termos definido e buscado compreender o conceito de probabilidade para experimentos com finitas 
possibilidades, na maioria das vezes precisamos, na prática, de probabilidades sobre experimentos com infinitas 
possibilidades (como o experimento do exemplo 5.6). Para isso, precisamos definir probabilidade de maneira 
mais geral:
Definição 5.10: Considere um experimento com espaço amostral Ω . A probabilidade de um evento E em Ω é 
um número P (E) satisfazendo as propriedades (P2), (P3), (P4) e (P5) acima.
A definição acima é axiomática. Quando Ω é finito, a definição 5.3 insere-se na definição 5.5, sem ressalvas. 
Quando Ω é infinito enumerável, não há grandes problemas em considerar a definição 5.3. Porém, quando Ω é 
não enumerável, a definição 5.3 não serve. Nas próximas unidades lidaremos com situações em que isso ocorre. 
Porém, as propriedades (P1), (P6) e (P7) continuam válidas para a definição de probabilidade feita acima.
5.5 Probabilidade condicionada
É comum queremos calcular alguma probabilidade restrita a uma determinada condição. São situações em que 
não nos interessa saber a probabilidade de um evento em relação ao espaço amostral, mas sim de maneira res-
trita a um outro evento, como definimos a seguir:
Definição 5.11: Considere um experimento aleatório com espaço amostral Ω (não necessariamente finito) e A e 
B dois eventos desse experimento. Chamamos de probabilidade condicionada de A dado B ao número
Na prática, ao calcular a probabilidade condicional de A dado B estamos alterando o espaço amostral pelo novo 
espaço amostral Ω. A expressão “dado” pode aparecer nos exercícios e situações como “sabendo que”, “condi-
cionado a”, “dado que”, entre outras.
Figura 5.3: Diagrama de Venn
Legenda: Na probabilidade condicional de A dado B, o espaço amostral deixa de ser U e passa a ser 
B. Assim, nos interessa apenas a probabilidade do conjunto A∩B em relação ao conjunto B.
Fonte: Elaboração própria.
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Estatística | Unidade 5 - Probabilidades
Exemplo 5.24: No lançamento consecutivo de uma moeda 3 vezes, desejamos saber qual é a probabilidade de 
obter cara duas vezes sabendo que no primeiro lançamento foi obtido cara. Note que queremos uma probabi-
lidade condicionada. A condição aqui é que cara já tenha sido obtida no primeiro lançamento. Denote por A o 
evento “obter duas caras” e por B o evento “obter cara na primeira jogada”. Se não tivéssemos posto essa condi-
ção B, a probabilidade de A seria
já que A = {KKC, KCK, CKK}. Porém, restrito à condição B, precisamos saber a probabilidade de A ∩ B = e de P(B) 
como A ∩ B = {KKC, KCK}. (evento com duas caras, sendo o primeiro lançamento uma cara) e B = {KKK, KKC, 
KCK, KCC} então a probabilidade condicionada é dada por
Note que o que calculamos foi a probabilidade do evento obter duas caras considerando como espaço amostral 
o conjunto . Observe ainda que P(A) ≠ P(A\B).
Exemplo 5.25: Admita que tenhamos uma urna com dez bolas numeradas de 1 a 10, da qual retiraremos apenas 
uma bola. Assim, podemos enumerar os elementos do espaço amostral pelo conjunto Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. 
Queremos saber as seguintes probabilidades: obter um número par; obter um número múltiplo de 3; obter um 
número par sabendo que o número obtido é múltiplo de 3. Seja A o evento “obter um número par”. Claramente 
A ={2,4,6,8,10}.
Note que a fórmula da definição 5.6 nos dá uma forma de calcular a probabilidade da intersecção de dois even-
tos, caso conheçamos a probabilidade condicional:
Esse resultado é conhecido como teorema da multiplicação de probabilidades. O exemplo a seguir nos mostra 
o quanto essas igualdades podem ser úteis.
Exemplo 5.26: Suponha que tenhamos um lote com 50 parafusos, dos quais 5 são defeituosos. Queremos sele-
cionar, ao acaso, 2 parafusos desse lote. Calculemos a probabilidade de que os dois parafusos sejam não defeitu-
osos. Seja A o evento “o primeiro parafuso é não defeituoso” e B o evento “o segundo parafuso é não defeituoso”. 
Queremos descobrir qual a probabilidade de ocorrer A e B , ou seja, o valor P (B A ∩ B). Pela fórmula acima,
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Estatística | Unidade 5 - Probabilidades
Exemplo 5.27: Considere a situação do exemplo 5.26. Porém, suponha que ao invés de formar lotes com 2, que-
remos formar lotes com 3 parafusos. Calculemos a probabilidade de obter três parafusos não defeituosos. Sejam 
A e B os mesmos eventos do exemplo 5.16 e C o evento “obter o terceiro parafuso não defeituoso”. Assim, que-
remos P (A ∩ B ∩ C). Pelo resultado acima, temos:
Exemplo 5.28: Suponha que em uma urna haja 7 bolas, sendo 3 brancas e 4 pretas. Consideremos quatro situ-
ações:
I) Ao retirar sucessivamente e sem reposição 2 bolas dessa urna, calculemos a probabilidade de que a primeira 
bola seja branca e a segunda seja preta. Sejam A o evento “retirar a primeira bola branca” e B o evento “retirar a 
segunda bola preta”. Assim, pelo teorema da multiplicação de probabilidades:
II) Ao retirar sucessivamente e sem reposição 2 bolas dessa urna, calculemos a probabilidade de que as bolas 
retiradas tenham cores diferentes. Considere os eventos A, “retirar a primeira bola branca”, e B, “retirar a segunda 
bola preta”. Como não retirar bola branca (preta) é o mesmo que retirar bola preta (branca), então o que se pede 
é a probabilidade de ocorrer o evento (primeira bola branca e a segunda preta) ou o evento Ac ∩ Bc (primeira 
bola preta e a segunda branca). Assim, o que queremos é P ((A ∩ B) ∪(Ac ∩ Bc)). Observando o diagrama de Venn 
(como na figura 5.4), notamos que a intersecção de A ∩ B e Ac ∩ Bc é vazia. Logo, usando a propriedade (P5) e o 
teorema da multiplicação de probabilidades, obtemos:
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Estatística | Unidade 5 - Probabilidades
Figura 5.4: Diagrama de Venn da situação II do exemplo 5.18.
Legenda: Em vermelho destaca-se e em amarelo Ac ∩ Bc. 
Fonte: Elaboração própria.
III) Ao retirar simultaneamente 2 bolas dessa urna, vamos calcular a probabilidade de obtê-las de cores distintas. 
Nesse caso, devido à simultaneidade, devemos utilizar os conceitos de combinação. O número de elementos do 
espaço amostral é dado por 
7
2( ), pois devemos escolher 2 bolas qualquer dentre as 7 disponíveis. Por sua vez, o 
número de elementos do evento é dado por 
3
1
4
1( () ), pois queremos uma bola branca dentre as três disponíveis 
e uma preta dentre as quatro disponíveis. Logo,
No exemplo 5.28, calcule a probabilidade de obter duas bolas brancas e duas pretas ao 
retirar 4 bolas da urna: a) simultaneamente; b) sucessivamente, sendo as duas primeiras 
brancas e as duas últimas pretas. 
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5.6 Independência de probabilidades
Dizemos que dois eventos são independentes quando um não interfere na ocorrência do outro. Em termos mais 
precisos, temos a seguinte definição:
Definição 5.12: Sejam A e B dois eventosde um mesmo experimento aleatório. Dizemos que A e B são indepen-
dentes se P (B\A) = P (B) ou P (A\B) = P (A).
Note que P (B\A) = P (B) significa que a probabilidade de B dado que A ocorreu coincide com a probabilidade de 
B. Portanto, no caso de independência de eventos, a condicional A não modifica a probabilidade de B, justifi-
cando essa denominação de “independência”.
Observe da definição 5.7 e do teorema da multiplicação de probabilidades que dois eventos A e B de um mesmo 
experimento aleatório são independentes se, e somente se,
Exemplo 5.29: Eventos observados no lançamento de dois dados convencionais distintos consecutivamente são 
independentes, pois a ocorrência do primeiro dado não interfere na ocorrência do segundo. Por exemplo, con-
sidere o evento A, “obter número par no primeiro dado”, e o evento B, “obter número menor que 3 no segundo 
dado”. Claro que e que Como a ocorrência do número do primeiro dado não interfere na 
ocorrência do número do segundo dado, então A e B são eventos independentes. Em particular, a probabilidade 
do evento C descrito por “obter número par no primeiro dado e número menor que 3 no segundo” (A = A ∩ B) 
é dado por
Exemplo 5.30: Uma cachorra obteve três filhotes. Considere os eventos “obter duas fêmeas e um macho” (A) e 
“obter pelo menos uma fêmea” (B). Supondo que a probabilidade de obter fêmea é 1/2 em cada nascimento, 
então
Disso concluímos que A e B não são eventos independentes.
Exemplo 5.31: Uma urna contém 10 bolas, sendo 4 azuis e 6 verdes. Calculemos a probabilidade de extrair a 
primeira bola azul e a segunda bola verde dessa urna, com reposição (isto é, após verificar a cor da primeira bola 
ela é devolvida à urna para a segunda extração). Considere os eventos “extrair a primeira bola azul” (A ) e “extrair 
a segunda bola verde” (B). Como há reposição, os eventos A e B podem ser considerados independentes. De 
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fato, P(B| A)= P(B) (pois a extração de bola azul na primeira retirada não interfere na segunda retirada). Logo, a 
probabilidade pedida é
A noção de independência entre eventos pode ser estendida para mais de dois eventos. Sejam E1, E2, ..., En even-
tos distintos de um mesmo experimento aleatório. Dizemos que E1, E2, ..., En são independentes se, e somente, 
eles forem independentes dois a dois, ou equivalentemente:
Exemplo 5.32: Considere que a probabilidade de um determinado disco conter uma partícula radioativa é de 
0,01. Num conjunto com dez desses discos obtidos em locais e condições distintas, desejamos saber qual é a 
probabilidade de que nenhum deles possua essa partícula radioativa. Considere o evento Ei descrito por “o disco 
i não possua partícula radioativa”, i = 1,2,...,10. Como os discos vêm de origens distintas, podemos supor que há 
independência entre todos os eventos Ei. Note que
Logo, devido à independência dos eventos, a probabilidade de nenhum disco possuir essa partícula radioativa é:
Um lote contém 40 peças, sendo 3 defeituosas. Ao retirar duas bolas aleatoriamente com 
reposição, calcule a probabilidade de que as duas peças sejam defeituosas. 
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Considerações finais
Nesta unidade aprendemos noções básicas de probabilidades. Os tópicos 
abordados foram:
• Revisão sobre a teoria de conjuntos: conjunto, subconjunto, união, 
intersecção, complemento, diagrama de Venn, etc.
• Definição de espaço amostral, seguida de vários exemplos.
• Definição e exemplificação do conceito de evento.
• Definição do conceito de combinação de n elementos k a k, 
advinda das noções de contagem.
• Definição de probabilidade para espaço amostrais finitos, seguida 
de exemplos e de propriedades fundamentais.
• Generalização da definição de probabilidade para qualquer 
espaço amostral, mesmo infinito.
• Definição e exemplificação do conceito de probabilidade condi-
cionada.
• Enunciação do teorema de multiplicação de probabilidades para 
dois ou mais eventos.
• Definição e exemplificação do conceito de independência de pro-
babilidades para dois ou mais eventos.
Referências bibliográficas
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MEYER, Paul L. Probabilidade: aplicações a estatística. Rio de Janeiro: LTC 
Ed., 2010, p. 426.
WALPOLE, Ronald E. et al. Probabilidade e estatística: para engenharia e 
ciências. 8 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009, p. 491.