Analise combinatoria, probabilidade e estatistica

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ANÁLISE COMBINATÓRIA, 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
Ivanildo Basílio de Araújo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
2 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 ANÁLISE COMBINATÓRIA ........................................................................ 3 
2 PROBABILIDADE: CONCEITOS BÁSICOS .................................................. 30 
3 PROBABILIDADE .................................................................................... 49 
4 ESTATÍSTICA: CONCEITOS BÁSICOS ........................................................ 70 
5 MEDIDAS DE CENTRALIDADE E VARIABILIDADE ................................... 103 
6 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES .................................................. 137 
 
 
, 
 
 
3 
 
 
1 ANÁLISE COMBINATÓRIA 
A análise combinatória é, sem dúvida, uma área nobre da matemática, uma vez que os 
problemas de contagem, que são seu tema central, servem de base e como 
ferramenta para diversas áreas das ciências, por exemplo, na física e na biologia. E, é 
claro, é um conteúdo inerente à teoria das probabilidades e à estatística. Neste bloco, 
iremos desenvolver um estudo introdutório sobre os principais processos de 
contagem, desde o Princípio Multiplicativo (que será tratado de forma mais intuitiva), 
passando por algumas situações mais formais envolvendo técnicas de cálculo, até 
chegar às fórmulas dos arranjos e combinações simples. 
1.1 Princípio Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem (PFC) 
Não percebemos muito, mas contamos quase tudo ao nosso redor: a quantidade de 
dinheiro que temos bolso, quantas horas faltam para o almoço, quais e quantas 
dezenas vamos arriscar na Mega Sena, entre tantas outras situações. A forma pela qual 
contamos as coisas, ao menos, cotidianamente, se desenvolve de maneira intuitiva, 
sem formalidades. Entretanto, em várias situações mais complexas, são necessárias 
técnicas matemáticas na obtenção dos resultados, como por exemplo, de quantas 
maneiras podemos escolher seis dezenas de um total de sessenta para fazer uma 
fezinha (ler fé-zi-nha) na Mega Sena. Para tanto, vamos nos valer do Princípio 
Multiplicativo, ou Princípio Fundamental da Contagem (o PFC), dos arranjos e das 
combinações simples, para tratar das técnicas de contagem mais importantes, que, em 
geral, envolvem escolhas e tomadas de decisões. 
Vejamos um exemplo ilustrativo. 
Exemplo 1 Uma gerente de uma loja de roupas decidiu fazer urna promoção e 
selecionou 3 de suas clientes para um desafio. Quem acertasse o problema ganharia 
um pacote de viagem. No dia predeterminado, a loja reuniu as escolhidas: Laura, Julia 
e Isabela. Separadamente, cada uma delas recebeu 3 camisetas, duas saias e 2 pares 
de sapato. Em seguida, foi solicitado que, em apenas 5 minutos, elas afirmassem de 
, 
 
 
4 
 
quantas maneiras uma pessoa poderia se vestir escolhendo uma peça de cada item: 
camiseta, saia e par de sapatos. 
Laura começou a experimentar apressadamente as peças que recebeu e afirmou que 
existiam 4 possibilidades. Julia, em vez de começar a experimentar as roupas, pegou 
seu celular e fez uma série de contas, ao fim das quais afirmou que seriam 8 as 
possibilidades. lsabela, por sua vez, sentou-se em um banco, refletiu, e de repente, 
afirmou em voz alta: “Há 12 possibilidades”. 
Quem será que foi a vencedora? 
Esse exemplo mostra que a intuição conta, mas não é suficiente para dar a resposta 
correta. 
É bem provável que Isabela estivesse mais familiarizada com a contagem. Ela deve ter 
pensado assim: tenho 3 opções de camiseta, 2 opções de saia e 2 opções de pares de 
sapato. Multiplico 3 x 2 x 2 e o resultado é 12. E a ganhadora é justamente Isabela. 
A resposta que Isabela forneceu se refere ao número de maneiras de uma pessoa se 
vestir dispondo de 3 camisetas, 2 saias e 2 pares de tênis, ou seja, fornece apenas o 
número de possibilidades, que é 12. Entretanto, podemos fazer uma descrição, 
mostrando todos os resultados obtidos num diagrama, chamado árvore de 
possibilidades ou diagrama da árvore: 
 
, 
 
 
5 
 
 
 
Resultados possíveis: 4 + 4 + 4 = 12 ou 4 x 3 = 12. 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM (PFC) – DEFINIÇÃO E GENERALIZAÇÃO 
O PFC diz que, se há x modos de tomar uma decisão D1, e tomada a decisão D1, há y 
modos de tomar a decisão D2, então o número de maneiras de tomar, 
sucessivamente, as decisões D1 e D2 é xy. 
Ou, equivalentemente: 
Se um evento é composto de duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira 
que o número de possibilidades na 1ª etapa é m, e para cada possibilidade da 1ª etapa 
o número de possibilidades da 2ª etapa é n, então o número total de possibilidades do 
evento é dado pelo produto m.n. 
Observação: deve ficar claro que o PFC vale para qualquer número de etapas 
independentes. O que nos conduz ao seguinte: 
, 
 
 
6 
 
1.1.1 Generalização do Princípio Fundamental da Contagem 
Vamos supor que um acontecimento ou evento seja formado de várias etapas 
consecutivas e independentes; além disso, se 
• a 1ª etapa ocorre de n1 maneiras; 
• a 2ª etapa ocorre de n2 maneiras; 
• a 3ª etapa ocorre de n3 maneiras; 
. 
. 
. 
• a k-ésima etapa ocorre de nk maneiras, então o número total de possibilidades 
do evento é dado pelo produto: 
p = n1. n2 . n3 . ... . nk 
Exemplo 2 Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. 
Sabendo que há 5 roteiros diferentes para chegar a São Paulo partindo de Recife e 4 
roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de São Paulo, de quantas 
maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre? 
Resolução. Vamos organizar as informações no esquema a seguir: 
 
Logo, há 5 x 4 = 20 maneiras de a pessoa viajar de Recife a Porto Alegre passando por 
São Paulo. 
, 
 
 
7 
 
Exemplo 3 Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 8: 
a) Quantos números de três algarismos podemos formar? 
Solução: Para a casa das centenas, podemos escolher 7 dos dígitos (não pode ser 0); 
para as dezenas, podemos escolher qualquer dos 8 dígitos; e para a casa das unidades, 
temos 8 possibilidades de escolha. Logo, 
centena dezena unidade 
7 . 8 . 8 = 448 números 
Quantos números de três algarismos distintos podemos formar? 
Solução: com três algarismos distintos, há 7 possibilidades para a centena, 7 para a 
dezena e 6 para a unidade. Portanto: 
centena dezena unidade 
7 . 7 . 6 = 294 números 
 
Exemplo 4 No nosso sistema de emplacamentos que utilizamos, com 3 letras e 4 
dígitos, quantas placas podem ser confeccionadas? 
Solução: As placas têm o formato CLB 1650 
A 1ª letra pode ser escolhida de 26 maneiras; 
A 2ª letra pode ser escolhida de 26 maneiras; 
A 3ª letra pode ser escolhida de 26 maneiras; 
O 1º número, de 10 maneiras; 
O 2º número, de 10 maneiras; 
O 3º número, de 10 maneiras; e 
O 4º número, também de 10 maneiras. 
, 
 
 
8 
 
Assim, pelo PFC, temos 26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175 760 000 placas. 
Observação: Se, neste mesmo problema, se fosse pedido o número de placas sem 
letras repetidas e sem números repetidos, teríamos: 
26 . 25 . 24 . 10 . 9 . 8 . 7 = 78 624 000 placas 
 
1.2 Permutações Simples e Fatorial de um Número 
Permutar é sinônimo de trocar. Intuitivamente, nos problemas de contagem, é preciso 
associar a permutação à noção de embaralhar, de trocar objetos de posição. 
Definição: chama-se fatorial o número de permutações simples de elementos 
distintos. 
Tomemos algumas situações que vão ilustrar esse conceito. Por exemplo, quais e 
quantas são as maneiras de quatro pessoas ficarem em uma fila? 
Exemplo 5 Imaginemos que sejam as pessoas Abel, Brenda, Carla e Débora, indicadas 
pelas iniciais A, B, C e D. Então: 
 para escolher a 1ª pessoa da fila, temos 4 possibilidades; 
 para a 2ª pessoa da fila, temos 3 possibilidades de escolha (pois, se, por 
exemplo, A for o 1º da fila, restarão B, C ou D); 
 para a 3ª pessoa, temos 2 possibilidades de escola; e, finalmente para a última pessoa da fila, teremos 1 possibilidade de escolha. 
Assim, multiplicando o número de possibilidades de cada etapa, encontramos: 
4 . 3 . 2 . 1 = 24 maneiras distintas de 4 pessoas se disporem numa fila. 
O que fizemos foi contar (quantas são) as possibilidades: 24 
Se quisermos saber quais são (descrever) as sequências possíveis, é só listá-las, 
conforme o diagrama da árvore: 
 
 
, 
 
 
9 
 
ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB 
BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDAC 
CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA 
DABC, DACB, DCAB, DCBA, DBAD, DBDA 
Esse exemplo mostra claramente que, em algumas situações, é mais fácil contar do 
que descrever todas as possibilidades. Se fossem 5 pessoas, teríamos que listar 
5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 sequências, o que daria muito mais trabalho. E, no geral, tal 
trabalho não é necessário. 
Definição: sendo n um número natural maior ou igual a 1, definimos o fatorial de n (ou 
n fatorial) como o produto: 
n! = n . (n‒1) . (n‒2) . (n‒3). ... .3 . 2 . 1 
[são n fatores consecutivos desde n até 1] 
Exemplo 6 2! = 2 . 1; 3! = 3 . 2 . 1 = 6; 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 
Observação: decorre da definição de fatorial de n que n! = n(n‒1)! 
Pela definição acima, sabemos que 1! = 1. 
Mas, e 0! ? 
Em virtude de que: n! = n(n‒1)!, temos que 
 (n‒1)! = 
 
 
 
Com n = 1, fica: 
(1‒1)! = 
 
 
 , que resulta em 0! = 1! 
Portanto, 0! = 1! = 1. 
Definição: permutação simples de n elementos distintos é todo agrupamento 
ordenado formado por esses n elementos. Ou seja: 
Pn = n! 
, 
 
 
10 
 
Exemplo 7 As permutações simples dos elementos a, b e c são abc, acb, bac, bca, cab e 
cba, num total de 6 permutações. 
P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 
Observação: o termo simples quer dizer que em cada agrupamento formado não 
haverá repetição de elementos. 
Exemplo 8 Com os algarismos 1, 2, 3, 5 e 7, quantos números de 5 algarismos distintos 
podem ser formados? 
Solução: trata-se de um problema de permutação simples. Então, há 
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 números de 5 algarismos distintos. 
VOCÊ SABIA? 
Anagrama é qualquer ordenação das letras de uma palavra. São, portanto, palavras 
com ou sem sentido. Por exemplo, com as letras da palavra AMOR, podemos formar 
24 “palavras”, uma vez que o cálculo se resume a encontrar o número de permutações 
dos elementos do conjunto {A,M,O,R}, que é 
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24. 
Mas, apenas como reflexão e sem valer nota, pense um pouco no seguinte: quantos 
são os anagramas da palavra LOLA? 
1.2.1 Simplificação de fatoriais 
Alguns cuidados devem ser tomados ao simplificar expressões com fatoriais. Usando 
com cuidado a propriedade n! = n(n‒1)! e manipulações algébricas elementares, 
resolvemos a maioria das situações. 
Exemplo 9 
(a) 
 
 
 = 
 
 
 = 7 (b) 
 
 
 = 
 
 
 = 7.6 = 42 (c) 
 
 
 = 
 
 
 = 3.2.1.6.5 = 180 
(d) Simplificar a expressão 
 
 
 = 
 
 
 = 
, 
 
 
11 
 
Nesse caso, como n! = n (n‒1) (n‒2)!, temos 
 
 
 = 
 
 
 = 
1.2.2 Permutações com repetição ou elementos distinguíveis 
Considerando-se n elementos dos quais n1 elementos são iguais a A1 , n2 elementos 
são iguais a A2 , ... , nk elementos são iguais a Ak: 
 
O número de permutações desses n elementos é: 
 1 2, ,...,
1 2
!
! !...
kn n n
n
k
n
P
n n n
 
onde n1 + n2 + ... + nk = n 
Exemplo 10 Qual o número de anagramas da palavra BANANA? 
Trata-se de calcular as permutações com elementos repetidos. Veja: 
Temos 1B, 3A, 2N 
n1= 1, n2 = 3, n3 = 2 n = 6 
Logo, são 1,3,26
6! 6.5.4.3! 120
60
1!3!2! 3!.2.1 2
P     anagramas. 
Exemplo 11 Permutando os algarismos do número 33 222, quantos números podemos 
formar? 
Aqui temos n1 = 2, n2 = 3 e n = 5. 
 
1.2.3 Permutações Circulares 
As permutações circulares de n elementos são dadas por: 
, 
 
 
12 
 
Pn = (n‒1)! 
Exemplo 12 De quantas maneiras 4 pessoas podem se sentar em volta de uma mesa 
circular? 
Solução: Temos n = 5 e, portanto: 
P4 = (5‒1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24. Logo, 4 pessoas podem sentar-se de 24 maneiras 
distintas ao redor de uma mesa circular. 
1.3 Arranjos Simples e Fatorial 
Vimos que para determinar todas as permutações de um conjunto com elementos, 
basta calcular Pn = n! Porém, algumas vezes, precisamos formar agrupamentos não 
com todos os elementos, mas com uma parte deles. Vamos tentar esclarecer essa ideia 
com o seguinte exemplo: 
Exemplo 13 Cinco cavalos disputam um páreo. Quantos são os resultados possíveis 
para os dois primeiros colocados? 
Solução: Supondo que todos os cavalos terminem a corrida: 
Para o 1º lugar, há 5 possibilidades (qualquer um dos cinco cavalos pode chegar em 
primeiro lugar); 
Para o 2º lugar, temos 4 possibilidades (pois quem chegou em 1° não poderá chegar 
em segundo). 
Logo, pelo PFC, existem 5 . 4 = 20 classificações possíveis para o 1º e o 2º lugar. 
Veja bem: são 5 cavalos A, B, C, D, E. 
As 20 classificações são: 
 
, 
 
 
13 
 
Todos esses agrupamentos diferem um do outro pela ordem e pela natureza. 
Caso quiséssemos determinar as classificações possíveis para os três primeiros 
colocados, teríamos 5 . 4 . 3 = 60. 
Nessas situações, temos o que chamamos de ARRANJOS SIMPLES. Mais formalmente, 
podemos ordenar n elementos distintos que desejamos em filas com p elementos 
distintos escolhidos entre os n elementos dados, sendo, portanto, . 
Definição: arranjo simples de n elementos distintos, tomados p a p, é todo 
agrupamento ordenado composto de p elementos distintos escolhidos entre os n 
elementos dados. O número p chama-se classe ou ordem dos arranjos. 
O número de arranjos simples de n elementos distintos, tomados p a p, é indicado por 
An,p. 
 
 
Assim: 
An,1 = n 
An,2 = n.(n‒1) 
An,3 = n(n‒1)(n‒2) 
............................ 
An,p = n(n‒1)(n‒2) .... [n‒(p‒1)] 
Note, nesta fórmula, que são p fatores consecutivos a partir de n. 
Exemplo 14 
A7,3 = 7 . 6 . 5 = 210 
Escolha N° de possibiliddes
do 1° elemento n
do 2° elemento, depois de escolhido o 1° n-1
do 3°elemento, de pois de escolhido o 2° n-2
... ...
do p-ésimo elemento, depois de ter escolhido os anteriores n-(p-1)
, 
 
 
14 
 
A4,4 = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 
A fórmula que acabamos de ver pode ser convertida em uma outra, equivalente, e que 
usa fatoriais: 
Por exemplo, tomando A7,3 = 7 . 6 . 5 , multipliquemos e dividamos o segundo membro 
por 4 . 3 . 2 . 1: 
A7,3 = 7 . 6 . 5 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 
Dessa forma, na fórmula An,p = n(n‒1)(n‒2) .... [n‒(p‒1)], multiplicando e dividindo o 
segundo membro por (n‒p)(n‒p‒1)(n‒p‒2) ....3 . 2 . 1, teremos: 
An,p = 
 
 
 = 
 
 
 
An,p = 
 
 
, que é a fórmula genérica dos arranjos simples. 
Observação: se p = n, então An,p = An,n = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
Assim, An,n = Pn = n! 
Exemplo 15 Considerando a palavra CASTELO, 
(a) Quantos são os seus anagramas? 
Temos 7 elementos (letras) distintos. Logo, são 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 anagramas. 
(b) Nos anagramas, quantos terminam com as vogais A-E-O juntas, não 
necessariamente nesta ordem? 
Um dos anagramas que satisfaz a condição é LTCSOEA. 
As 3 vogais geram 3! = 6 palavras e, para cada uma dessas 6 palavras, temos 4! = 24 
palavras geradas pelas 4 consoantes. Assim, o total de anagramas é 
3! . 4! = 6 . 24 = 144 
, 
 
 
15 
 
Exemplo 16 Na Associação OAD atuam 5 voluntários. Determinar quantas são as 
possibilidades de se formar uma diretoria composta por um Secretário e por um 
Tesoureiro. 
Solução: Temos que formar agrupamentos com duas pessoas escolhidas entre as 
cinco, ou seja, arranjos simples 5, tomados 2 a 2. 
A5,2 = 5 . 4 = 20 possíveis diretorias. 
Observação: a mesma resposta é obtida pelo Princípio Multiplicativo, pensando-se em 
escolhase etapas. 
Escolha do presidente: 5 possibilidades; escolha do secretário: 4 possibilidades. Logo, 
teremos: 
5 . 4 = 20 possíveis diretorias. 
Nos arranjos simples, os agrupamentos diferem entre si pela ordem e pela natureza. 
Por exemplo, com os algarismos 4, 5, 6 e 8, quantos números de 2 algarismos distintos 
podem ser formados? 
Formar os números corresponde a formar agrupamentos de 4 elementos, tomados 2 a 
2, ou seja, são A4,2 = 4 . 3 = 12 números de 2 algarismos distintos. Os arranjos são: 45, 
54, 46, 64, 48, 84, 56, 68, 58, 85, 68 e 84. 
Observe, por exemplo, que 45 e 54 diferem pela ordem; já 64 e 48 ou 68 e 45 diferem 
pela natureza. 
Veremos mais um exemplo em que a ordem dos elementos importa. 
Cinco cavalos disputam um páreo. Supondo que todos terminem a competição, 
quantos são os resultados possíveis para os 3 primeiros colocados? 
Solução: aqui, trata-se de um problema clássico de arranjos simples, pois tomando um 
agrupando de 3 cavalos entre os 5, por exemplo, A-B-C, mudando a ordem desses 
termos, temos agrupamentos diferentes (a ordem faz diferença). Assim, pelo PFC: 
Podem chegar em 1º lugar: qualquer um dos 5 (5 possibilidades); 
, 
 
 
16 
 
Podem chegar em 2º lugar: qualquer um dos 4 restantes (4 possibilidades); 
Podem chegar em 3º lugar: qualquer um dos 3 restantes (3 possibilidades); 
Logo, são 5 . 4 . 3 = 60 classificações possíveis para os 3 primeiros colocados. Em 
termos de arranjos, temos A5,3 = 5 . 4 . 3 = 60. 
Porém, nem sempre é assim. Existem, como veremos, agrupamentos que diferem 
apenas pela natureza (a ordem não é importante). Trata-se das Combinações Simples. 
1.4 Combinações Simples 
Veremos, inicialmente, e para fixar ideias e conceitos, algumas situações. 
Exemplo 17 De quantos modos se pode escolher 3 jogadores de um time de Futsal, a 
fim de representá-lo em uma cerimônia de premiação. Esse é um problema clássico da 
contagem, chamado de problema das combinações simples. O estudante pode achar 
que a resolução é simplesmente obtida pelo princípio multiplicativo, bastando 
escolher um representante de cada vez. 
Como são 5 jogadores, o primeiro pode ser escolhido de 5 modos, o segundo de 4 
modos e o terceiro, de 3 modos. Daí, pelo PFC, o total de possibilidade aparenta 
ser 5 . 4 . 3 = 60 (maneiras “diferentes” de escolher 3 jogadores de um total de 5 
jogadores). 
Essa solução é incorreta, mas é fácil consertá-la. Vamos supor que tivéssemos 
escolhido a comissão A, B, C. Mas essa comissão seria exatamente a mesma, caso 
tivéssemos escolhido primeiro C, depois A, depois B. Mesmo assim, as duas comissões 
foram contadas como se fossem distintas. Na verdade, a comissão A, B, C gera 6 
comissões idênticas. Ou melhor, cada escolha de três elementos gera sempre 3! = 6 
comissões (cada comissão é contada 6 vezes, como se fossem diferentes). Logo, o 
número correto de comissões é 60/6 = 10. 
O resultado assim obtido é o número de combinações simples de 5 elementos, 
tomados 3 a 3, e indicado por C5,3 ou 
 
 
 . 
, 
 
 
17 
 
Observemos que o que foi feito foi dividir o número de arranjos de 5 elementos, 3 a 3, 
pelo número de permutações dos 3 elementos, ou seja: 
C5,3 = 
 
 
 = 
 
 
 = 10 
Exemplo 18 Vejamos mais uma situação. De quantos modos se pode selecionar p 
objetos distintos entre n objetos distintos? Perguntando de outra forma: quantos são 
os subconjuntos de p elementos do conjunto {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , ..., an} ? 
Cada subconjunto com p elementos é uma combinação simples dos n objetos a1 , a2 , 
a3, a4 , a5 , ... , an . Dessa maneira, as combinações simples de classe 4 dos objetos a1 , 
a2 , a3 , a4 , a5 são: 
{a1 , a2 , a3 , a4 }, {a1 , a2 , a3 , a5 }, {a1 , a2 , a4 , a5 }, {a1 , a3 , a4 , a5 } e {a2 , a3 , a4 , a5 } 
O número de combinações simples de classe 4 de 5 objetos é C5,4 = 5, confirmado pelo 
cálculo: 
C5,4 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
= 5 
Para resolver o problema das combinações simples no caso geral, é suficiente notar 
que escolher p entre os n elementos equivale a dividir (separar) os n elementos em um 
grupo de p elementos, que são selecionados, e um grupo de n-p elementos, que são os 
não selecionados. 
Assim, basta dividir o número de arranjos simples de n elementos, p a p, pelo número 
das permutações dos p elementos: 
Cn,p = 
 
 
 = 
 
 
 (1) 
Ou, usando fatoriais: 
Cn,p = 
 
 
 (2) 
 
 
, 
 
 
18 
 
Exemplo 19 
C6,2 = 
 
 
 = 15; C10,3 = 
 
 
 = 
 
 
 = 120; C7,7 = = 
 
 
 =
 
 
 = 1 
Cn,0 = 
 
 
 = 
 
 
 = 1; Cn,1 = 
 
 
 = 
 
 
 = n; Cn,n = 
 
 
 = 
 
 
 = 1. 
 
Percebe-se que a fórmula (2) é mais apropriada para o cálculo envolvendo algumas 
expressões. 
Exemplo 20 
a] Quantos são os subconjuntos do conjunto {2,3,4,5,6,7,8,9}? 
 Temos o conjunto vazio: C8,0 = 1; 
 Os subconjuntos com 1 elemento, que são em número de C8,1 = 8 
 Os subconjuntos com 2 elementos: C8,2 = 
 
 
 = 28; 
 Os subconjuntos com 3 elementos: C8,3 = 
 
 
 = 56; enfim, 
 Para os subconjuntos com 4, 5, 6, 7 e 8 elementos, temos respectivamente: 
C8,4 = 70 ; C8,5 = 56 ; C8,6 = 28 e C8,7 = 8 e C8,8 = 1 
 
Logo, o total de subconjuntos do conjunto {2,3,4,5,6,7,8,9} é 
1+8+28+56+70+56+28+8+1 = 256 (que é 28 ) 
Generalizando, o número de subconjuntos de um com conjunto com n objetos é 2n. 
b] Quantas retas podemos traçar com os quatro pontos a seguir? 
 
 
, 
 
 
19 
 
Cada reta é determinada por dois pontos, e a ordem dos pontos não é relevante: a 
reta AB é idêntica à reta BA (os agrupamentos diferem somente pela natureza, por 
exemplo, a reta AC é diferente da reta BC). Logo, trata-se combinações simples de 4 
elementos, tomados 2 a 2, ou seja, são: 
C4,2 = 
 
 
 = 
 
 
 = 6 retas. 
 
Se a pergunta fosse “quantos triângulos podemos formar com vértices nos 4 pontos?”, 
teríamos: 
C4,3 = 
 
 
 = 
 
 
 = 4 triângulos. 
 
c] Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 4 pessoas, com exatamente 2 
homens, podem ser formadas? 
Aqui, usaremos uma mescla das combinações e do princípio multiplicativo. 
Pelo enunciado, devemos escolher 2 dos 5 homens, ou seja, C5,2 ; e 2 das 4 mulheres, 
ou seja, C4,2 . Assim, pelo PFC, temos C5,2 . C4,2 = 10 . 6 = 60 comissões. 
1.4.1 Combinações Complementares 
Sejam, para fixar ideias, as combinações C8,3 e C8,5. É claro que C8,3 = C8,5 = 56. Isso não é 
uma mera coincidência ‒ trata-se de uma propriedade importante das combinações 
A
B
C
D
, 
 
 
20 
 
que é muito útil na simplificação dos cálculos, conhecida como igualdade de 
combinações complementares. 
No exemplo citado, vemos que, dado um conjunto de 8 elementos, para cada 
subconjunto de 3 elementos, sobra um de 5 elementos, que leva a C8,3 = C8,8-3 . 
Generalizando: se um conjunto tem n objetos, sempre que se formar a partir dele um 
subconjunto com p objetos, forma-se também um subconjunto com os n-p objetos 
restantes. Os dois números Cn,p e Cn,n-p são chamados complementares, pois a soma de 
p com n-p é igual a n (p + n-p = n). 
Cn,p = Cn, n-p ou 
 
 = 
 
 
Exemplo 21 De quantos podemos dividir 6 objetos em um grupo de 2 objetos e um de 
4 objetos? 
A resposta é C6,2 = C6,4 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 15. 
Vejamos, na figura a seguir, outra situação que envolve combinações complementares. 
Aqui, vê-se que o número de retas é igual ao número de hexágonos. De fato, C8,2 = C8,6 
= 28 
 
d] Considere duas retas distintas e paralelas r e s. Tomando-se 6 pontos sobre a reta r 
e 5 pontos sobre a reta s, quantos triângulos podem ser construídos considerando 
cada ponto um vértice? 
A
B
C
D
E
F
G
H
, 
 
 
21 
 
 
Com um vértice em r e dois em s, temos 6 . C5,2 = 6
. 
 
 
 = 60 triângulos;Com um vértice em s e dois em r, temos 5 . C6,2 = 5. 
 
 
= 75 triângulos. 
Assim, serão 60 + 75 = 135 triângulos. 
1.5 Binômio de Newton 
Da álgebra elementar, você já conhece o significado do termo binômio. Um binômio é 
uma expressão formada pela soma algébrica de dois monômios. O que se chama de 
binômio de Newton corresponde ao desenvolvimento da enésima potência de (a+b), 
ou seja, (a+b)n . 
Exemplo 22 Veja alguns desenvolvimentos: 
 
0
1
2 2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
0 ( ) 1
1 ( )
2 ( ) 2
3 ( ) 3 3
( ) 3 3
n a b
n a b a b
n a b a ab b
n a b a a b ab b e
a b a a b ab b
   
    
     
      
    
 
Para obter as potências (a+b)n, com n maior ou igual a 4, usaremos a fórmula do 
binômio de Newton. Antes, porém, desenvolveremos alguns conceitos relacionados 
com o número Cn,p. 
1.5.1 Triângulo de Pascal ou triângulo aritmético 
Chamamos de Triângulo de Pascal o esquema mostrado a seguir, com os diversos 
valores de 
 
 . 
A1 A2 A3 A4 A5 A6
B1 B2 B3 B4 B5
r
s
, 
 
 
22 
 
 
Cada número 
 
 é denominado número binomial. 
1.5.1.1 Propriedade do Triângulo de Pascal 
Com base no triângulo a seguir, podemos perguntar: 
 
 É possível que os elementos da 1ª coluna sejam diferentes de 1? 
 Por que os últimos elementos de cada linha são iguais a 1? 
Você irá identificar, respondendo a essas duas questões, duas propriedades desse 
triângulo. 
1ª) Todos os elementos da primeira coluna são iguais a 1, pois: 
Cn,0 = 1 ou 
 
 
 
2ª) O último elemento de cada linha é igual a 1, porque: 
, 
 
 
23 
 
Cn,n = 1 ou 
 
 
 
Além disso, observando bem o triângulo de Pascal, podemos identificar os números 
binomiais complementares. Ou seja, em cada linha, vale a relação: 
 
 
 = 
 
 
que é a 3ª propriedade. 
1.5.2 Relação de Stifel 
Atribui-se ao algebrista alemão (1487-1567) a quarta propriedade do Triângulo de 
Pascal, e que permite construí-lo bem mais rapidamente. A fim de identificar essa 
propriedade, voltemos ao Triângulo de Pascal e coloquemo-nos duas questões: 
 Como podemos obter o 2° elemento da 3ª linha a partir da linha anterior? 
 Qual a relação entre o 4 que aparece na 5ª linha e os números da 4ª linha? 
 Se você fosse completar a 8ª, como faria isso a partir da 7ª linha? 
 
É fácil perceber que, somando dois elementos consecutivos de uma linha, obtém-se o 
elemento situado logo abaixo do da direita: 
 4 + 6 = 10 5 + 1 = 6 
 
 
 
 + 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 + 
 
 
 = 
 
 
 
E a 8ª linha seria assim obtida: 
1, 1+6 = 7, 6+15 = 21, 15+20 = 35, 20+15 = 35, 15+6 = 21, 6+1 = 7 
, 
 
 
24 
 
Essa propriedade pode ser generalizada da seguinte forma: 
 
 
 + 
 
 = 
 
 
 
Exemplo 23 Resolver a equação: 
 
 
 
 + 
 
 
 = 
 
 
 
É fácil de ver, pela propriedade acima, que x = 7. 
1.5.3 Binômio de Newton e Triângulo de Pascal 
Comparemos os coeficientes das potências (a+b)n , n = 0, 1, 2, 3, 4, ..., com as linhas do 
Triângulo de Pascal: 
 
0
1
2 2 2
3 3 2 2 3
4 4 3 2 2 3 4
0 ( ) 1 1
1 ( ) 1 1 1 1
2 ( ) 1 2 1 1 2 1
3 ( ) 1 3 3 1 1 3 3 1
4 ( ) 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1
n a b
n a b a b
n a b a ab b
n a b a a b ab b
n a b a a b a b ab b
   
    
     
      
       
 
Vê-se que os coeficientes das potências (a+b)n correspondem, na mesma ordem, aos 
números binomiais encontrados nas linhas do Triângulo de Pascal. 
Agora, estamos em condições de escrever essas potências do seguinte modo: 
 
0 0
1
0
0 1
0 1 2
0
1 0
2 2 1 0
3 3 2 1 0
4 4 0
1 3
13 2
2
2
0
( )
1 1
( )
2 2 2
( )
3 3 3 3
( )
0
0 1
0 1 2
0 1 2
4 4 4
(
2
)
3
0 1
a b a b
a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b a b a b
 
   
 
   
     
   
     
        
     
       
           
       
     
         
     
1 3 0 4
3 4
4 4
a b a b
   
   
   
 
Veja ainda o desenvolvimento de (a+b)5: 
, 
 
 
25 
 
 
5 5 4 30 1 2 2 1 03 4 5
5 5 5 5 5 5
( )
0 1 2 3 4 5
a b a b a b a b a b a b a b
           
                 
           
 
Assim, para n natural, a e b reais, temos: 
1 2 30 1 2 3
0 1 2 3
( ) ... ...n n n n n n p n np n
n n n n n n
a b a b a b a b b
p n
a b a a b    
           
                   
           
Ou 
 1 2 31 2 3( ) ..
0 1 2
.
3
. ..n n n n n nn p p
n n n n n n
a b
p n
a a b a b a b a b b   
           
                   
           
 
Exemplo 24 Desenvolver a potência (3x+1)4. 
Temos: 
 
4 4 0 3 1 2 2 1 3 0 4
4 3 2
4 3 2
4 4 4 4 4
(3 1) (3 ) (1) (3 ) (1) (3 ) (1) (3 ) (1) (3 ) (1)
0 1 2 3 4
1.81 4.27 6.9 4.3 1.
81 108 54 12 1
x x x x x x
x x x x
x x x x
         
              
         
    
    
 
1.5.4 Termo Geral 
O desenvolvimento de: 
 
 
tem n+1 termos 
Assim, genericamente, para cada valor de p (de 0 a n), o termo 
pn p
n
p
a b
 
 
 
 ocupa a 
posição p+1 no desenvolvimento de (a+b)n . Portanto: 
, 
 
 
26 
 
 1
n p p
p
n
T a b
p


 
  
 
 
Observe que, para p = 0, obtemos o 1º termo; para p = 1, obtermos o 2º termo, para: 
p = 2, obtemos o 3º, ...., e assim por diante. 
Exemplo 25 Determinar o termo geral de (x2 +y3)10. 
Temos: a = x2 e b = y3 . Daí: 
 
2 10 3 20 2 3
1
10 10
( ) ( )p p p ppT x y x y
p p
 

   
    
   
 
Por exemplo, para p = 8, temos o 9º termo (T9): 
 
20 2.8 3.8 4 24
9
10
45
8
T x y x y
 
  
 
 
Propriedade importante e útil: para encontrar o coeficiente de um termo seguinte no 
desenvolvimento de (a+b)n.... multiplicamos o expoente de a pelo seu coeficiente e 
dividimos o resultado pelo expoente de b aumentado de 1 unidade. Em símbolos: 
 
( )
1 1
n
n p
n p
p p
 
  
    
  
 
Exemplo 26: 
 
Veja: 2º coeficiente = (7.1)/(0+1) = 7; 3º coeficiente = (6.7)/(1+1) = 21; 3º coeficiente = 
(5.21)/(2+1) = 35, e assim por diante. 
Assim, a resposta é: 
 
 
, 
 
 
27 
 
1.5.5 Desenvolvimento de (a-b)n 
Devemos simplesmente notar que a‒b = a+(‒b). Logo: (a‒b)n = (a+(‒b))n. 
Soma dos coeficientes numéricos da expansão binomial 
Na expressão 
 
1 2 31 2 3( ) ..
0 1 2
.
3
. ..n n n n n nn p p
n n n n n n
a b
p n
a a b a b a b a b b   
           
                   
           
 
fazendo a = b =1, temos: 
 
1 2 30 1 2 3
0 1 2 3
0 1 2
(1 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 ... 1 1
2 . .
3
.
n n n n n n p n nnp
n
p n
n
n n n n n n
n n n n n
                                  
           
         
              
         
 
Portanto, a soma dos coeficientes (a+b)n é (1+1)n = 2n. 
Observação: 2n é também o número de subconjuntos de um conjunto com n 
elementos. 
A escolha a = b = 1 é a única que não afeta os coeficientes do Binômio de Newton 
Exemplo 27 Qual é a soma dos coeficientes no desenvolvimento de (4x3+3y5‒z)6 ? 
Basta fazer x = y = z = 1 e teremos: 
(4.13+3.15‒1)6 = (4+3‒1)6 = 66. 
 
SAIBA MAIS 
Aconselhamos a leitura de Combinatória e Probabilidade, volume 5, de Samuel Hazzan, 
livro que faz parte da coleção Fundamentos de Matemática Elementar. Trata-se de 
material indispensável ao estudante de um curso Matemática. 
 
, 
 
 
28 
 
Conclusão 
Terminado este 1º bloco de estudos, tomamos contato com vários aspectos 
importantes da matemática, entre os quais os métodos de contagem. 
Estudamos as permutações, as combinações simples, e apesar desses métodos 
diferirem um do outro, é importante ressaltar que todos, na verdade, se resumem ao 
princípio multiplicativo, claro, deuma forma mais refinada. Como uma espécie de 
desdobramento dos princípios básicos de contagem que envolvem o princípio 
multiplicativo. 
Vimos que as combinações simples de n elementos, tomados p a p, são também 
importantes, pois, a partir delas, é construído o Triângulo Aritmético de Pascal, uma 
disposição de números binomiais com propriedades interessantes. 
O binômio de Newton, por sua vez, é um recurso muito importante na álgebra e será 
útil, como se verá, nas aplicações das probabilidades. 
 
REFERÊNCIAS 
METZ, L. I. Análise combinatória e probabilidade. Curitiba: InterSaberes, 2018. 
BONAFINI, F. C. (org). Probabilidade e estatística. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2015. 
WALPOLE, R. et al. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. Tradução 
de Luciane F. Pauleti Vianna. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. 
 
Bibliografia Complementar 
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência, volume único. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
, 
 
 
29 
 
ALBUQUERQUE, J. P. de A.; FORTES, J. M. P.; FINAMORE, W.A. Probabilidades, 
variáveis aleatórias e processos estocásticos. 2. ed. Rio de Janeiro: Interciência: PUC-
Rio, 2018. 
BONAFINI, F. C. (org). Matemática e estatística. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2014. 
COSTA NETO, P. L. de O.; CYMBALISTA, M. Probabilidades. 2. ed. São Paulo: Edgard 
Blucher, 2005. 
HAZZAN, S. Combinatória e Probabilidade. 6. ed. São Paulo: Atual, 1993. (Coleção 
Fundamentos de Matemática Elementar, v.5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
30 
 
 
2 PROBABILIDADE: CONCEITOS BÁSICOS 
A teoria das probabilidades tem grande importância e suas aplicações se fazem 
presentes em muitos campos do conhecimento: estatística, economia, engenharia, 
física, biologia etc. 
Neste bloco, serão abordados os principais conceitos básicos de probabilidade, como 
eventos, espaço amostral, experimentos aleatórios e as combinações de 
probabilidade. Além disso, daremos a definição de probabilidade e procuraremos 
esclarecer os conceitos com alguns exemplos. 
A ideia de probabilidade exerce papel importante nas situações que envolvem 
tomadas de decisão. Por exemplo, para se lançar um produto no mercado, são 
necessários alguns cuidados, como saber quais as preferências dos consumidores 
numa certa região, ou seja, saber informações sobre as chances de sucesso 
(probabilidades) para o novo produto, e assim por diante. 
Os primeiros estudos relacionados à probabilidade foram feitos pelos italianos G. 
Cardano (1501-1576) e Galileu Galilei (1564-1642). Porém, em 1654, a troca de 
correspondências entre os franceses Blaise Pascal (1623-1662) e seu amigo Pierre de 
Fermat (1601-1665) foi o verdadeiro ponto de partida para teoria das probabilidades. 
O termo probabilidade deve ser entendido como a ocorrência de qualquer resultado 
dado ou evento – isto é, a probabilidade associada a um evento é o número de vezes 
que o evento pode ocorrer com relação ao número total de vezes que qualquer evento 
pode ocorrer. 
Você costuma jogar na Mega Sena? Quantos cartõezinhos costuma arriscar? Já deve 
ter percebido que não é fácil ficar milionário com poucas apostas! 
A Mega Sena é um jogo bem popular e para apostar nesse jogo é preciso escolher de 6 
a 15 dezenas entre os números de 01, 02, ..., 60. A escolha de 6 dezenas é a chamada 
aposta simples. E, é claro, fazer apostas com mais de 6 dezenas fica muito caro. 
, 
 
 
31 
 
A Caixa Econômica Federal sorteia 6 dezenas distintas (você já deve ter visto um 
desses sorteios pela TV) e premia quem acerta a quadra (4 dezenas), a quina (5 
dezenas) e todas as 6 dezenas sorteadas (sena). 
Como não se pode saber, a priori, que números serão sorteados, fica-se na torcida 
para que os números escolhidos sejam os sorteados. Além disso, podemos nos 
perguntar: qual a chance ou probabilidade de acertarmos a sena? Veremos que a 
Análise Combinatória e a Teoria das Probabilidades serão suficientes para responder 
questões desse tipo. 
 
2.1 Experimento aleatório 
É aquele que poderá ser repetido sob as mesmas condições indefinidamente. Esse 
experimento apresenta, obviamente, variações de resultados, não sendo possível 
afirmar o seu resultado antes de realizado. Por exemplo, não se pode prever o 
resultado – cara ou coroa – ao se lançar uma moeda (não viciada); apenas se pode 
prever uma certa tendência a um certo número, geralmente expresso na forma de 
razão ou porcentagem. Digamos que, se laçarmos uma moeda mil vezes, ocorrerão 
aproximadamente 500 caras, ou seja, as chances de ocorrer cara são de 50%. 
Da mesma forma, o lançamento de um dado constitui um experimento aleatório, pois 
poderá ser repetido quantas vezes desejarmos. Antes do lançamento, não poderemos 
dizer qual o resultado, porém podemos relatar os possíveis resultados, que são: sair o 
número 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. 
 
Seguem agora outros exemplos de experimentos aleatórios: 
a. Lançar duas moedas e observar as sequências de caras e coroas; 
b. Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar o seu naipe; 
c. Retirar, com ou sem reposição, bolas de uma urna que contém 5 bolas brancas 
e 6 pretas; 
, 
 
 
32 
 
d. Contar o número de peças defeituosas da produção diária de uma máquina; 
e. Jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de coroas; 
f. Sortear dois alunos de um grupo de cinco alunos para uma premiação; e 
g. Observar o tempo que um operário gasta para ir de ônibus de sua casa ao 
trabalho. 
2.2 Espaço Amostral 
Ao conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, damos o 
nome de espaço amostral e indica-se por 
Exemplo 1 
a. Seja o experimento: 
E: lançar um dado 
O espaço amostral será o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
b. Lançar uma moeda e observar a face de cima; então, S = {k, c}, em k representa cara 
e c, coroa 
c. Lançar uma moeda e observar a sequência de caras e coroas; S = {kk, kc, ck, cc} 
d. Lançar uma moeda 3 vezes e observar o número de caras; S = {0, 1, 2, 3} 
e. Três pessoas A, B e C são colocadas em fila e observa-se a disposição das mesmas; 
S ={ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} 
f. Dois dados, um azul e um vermelho, são lançados. Observando-se os números da 
face superior, teremos o seguinte espaço amostral: 
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), 
 (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), 
 (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), 
, 
 
 
33 
 
 (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), 
 (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), 
 (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. 
O primeiro número do par ordenado indica resultado no dado azul e o segundo 
número, o resultado do dado vermelho. 
Agora, antes de passar ao próximo conceito, o de evento, tomemos a seguinte 
situação apenas para reflexão: entre 5 pessoas, A, B, C, D e E, duas são escolhidas para 
formar uma comissão. Pense e tente responder como você faria para listar o espaço 
amostral com todas as comissões possíveis. Como você explicaria para um colega? Essa 
questão tem a ver com qual conteúdo já visto? 
 
2.3 Eventos 
Um evento é um acontecimento. 
Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento 
aleatório. Em geral, indicamos um evento por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, 
C,... , X, Y, Z. 
Observação: o próprio espaço amostral S e Ø (conjunto vazio) também são eventos. S 
é o evento certo e Ø é o evento impossível. Assim, “obter um número natural no 
lançamento de um dado” é um evento certo, ao passo que “obter o número 7” é um 
evento impossível. 
Além do mais, como evento é um conjunto, poderemos realizar entre eventos as 
operações familiares da união, intersecção de conjuntos, do complementar, entre 
outras. 
 A U B: é o evento que ocorre se A ou B ocorrer, ou ambos ocorrerem (união); 
 A ∩ B: é o evento que ocorre se A e B ocorrerem (intersecção); 
 : é o evento queocorre se A não ocorrer (evento complementar). 
, 
 
 
34 
 
Exemplo 2: Seja E o experimento “sortear um cartão dentre 10 cartões numerados de 
1 a 10”. Agora, sejam os eventos: 
A = {sair número 7} e B = {sair um número par}. Então: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
A = {7} e B = {2, 4, 6, 8, 10} 
A U B = {2, 4, 6, 7, 8, 10} 
A ∩ B = { } ou Ø 
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10} 
 = {1, 3, 5, 7, 9} 
 U A = S 
 ∩ A = Ø 
B U = S 
B ∩ = S 
Evento simples é aquele formado por um único elemento do espaço amostral, ao 
contrário do evento composto. 
Definição: dois eventos A e B são chamados de mutuamente exclusivos se eles não 
puderem ocorrem simultaneamente, isto é, quando A ∩ B = Ø. Este fato ocorre 
quando a ocorrência de um deles não impede a ocorrência do outro (e vice-versa). No 
exemplo acima, os eventos {ocorrer nº 7} e {ocorrer nº par} são mutuamente 
exclusivos. 
2.4 Combinações de eventos 
Ao tratamos da combinação de eventos, precisamos nos remeter à teoria dos 
conjuntos. Por quê? Para percebemos quando os elementos relacionados à situação-
problema abordada pertencem a apenas um ou a mais de um dos conjuntos 
, 
 
 
35 
 
envolvidos ou não pertencem a nenhum deles. Interpretar corretamente essas 
condições nos leva à exatidão do cálculo empregado na solução e facilita o 
entendimento dos conceitos de probabilidade (METZ, 2018). 
Da teoria dos conjuntos, sabemos que é possível usar certas operações entre 
conjuntos para formar novos conjuntos. 
União de dois eventos: Sendo A e B dois eventos, então A U B será também um evento 
que ocorrerá se, e somente se, A ou B (ou ambos) ocorrerem. Dizemos que A U B é a 
união entre o evento A e o evento B. 
Intersecção de dois eventos: Sendo A e B dois eventos, então A ∩ B será também um 
evento que ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem simultaneamente. Dizemos 
que A ∩ B é a intersecção entre o evento A e o evento B. 
No caso particular em que A ∩ B = Ø, A e B são chamados mutuamente exclusivos. 
 (a) 
 
 (b) 
 
, 
 
 
36 
 
É importante mencionar que quaisquer que sejam os eventos A e B de um espaço 
amostral finito, vale a relação: 
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
Na figura (b), em particular, como n(A ∩ B) = 0, segue que n(A U B) = n(A) + n(B). 
 
Complementar de um evento 
Seja A um evento de um espaço amostral S. O complementar A em relação a S é o 
conjunto dos elementos de S que não pertencem a A. Indica-se por A ou ASC S A 
. 
Em outras palavras, A é o evento “não ocorrer A”. 
É claro que: n(A) + n( A ) = n(S) 
 
Exemplo 3: Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. 
• Evento A: Ao retirarmos uma bola com número maior do que 3, temos: 
A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; 
 
• Evento B: Ao retirarmos uma bola com um número múltiplo de 3, temos: 
B = {3, 6, 9}. 
, 
 
 
37 
 
Assim, fazendo a intersecção desses dois eventos, obtemos: 
A ∩ B = {6, 9} 
 
Exemplo 4: Numa escola de 200 alunos, foi feita uma pesquisa sobre a preferência em 
relação a dois tipos de música e constatou-se que 130 preferem funk, 90 preferem 
rock e 30 não preferem nenhuma delas. 
I. Qual o número de alunos que prefere ao menos um dos tipos de música? 
II. Quantas pessoas preferem os dois tipos musicais? 
Solução: Uma possível representação está na figura a seguir: 
 
em que n(S) = 200, n(A) = 130, n(B) = 90. 
E queremos calcular n(A∩B) e n(A U B), conforme segue. 
Vejamos: 
I. Note que n(A U B) = n(S) – n( A B ). Isto é, fora de A U B é o complementar de A U B 
(= A B ) 
Assim, a quantidade de alunos que prefere ao menos um dos tipos musicais é 
n(A U B) = 200 – 30 = 170. 
Resposta: 170 alunos gostam de ao menos um dos tipos de música (funk ou rock). 
II. Da relação 
, 
 
 
38 
 
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B), vem: 
170 = 130 + 90 – n(A ∩ 
n(A ∩ B) = 130 + 90 – 170 
n(A ∩ B) = 50. 
Resposta: 50 alunos têm preferência pelos dois tipos de música (funk e rock). 
Para três conjuntos A, B e C, 
 
temos: 
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) 
2.3 Definição de Probabilidade. Avaliação da probabilidade 
Avaliar a probabilidade dos eventos deve ser uma preocupação maior. E para fazer 
isso, iremos admitir que todos os elementos do espaço amostral têm a mesma chance 
de ocorrência, ou seja, os resultados são igualmente prováveis. Nesse caso, diremos 
que o espaço amostral é equiprovável. 
O significado do que exprimimos acima é que, se n for o número de elementos do 
espaço amostral S, então a probabilidade de cada evento simples será dada por
1
n
. 
Para se avaliar a probabilidade de um evento composto, basta somarmos as 
probabilidades individuais do espaço amostral S. 
Em símbolos: 
, 
 
 
39 
 
 
então: 
 
Para A = {a1 , a2 , a3 , ..., ar}, com r≤n. (A é um evento composto com r elementos), 
teremos: 
 
Essa definição, mais formal, para calcular a probabilidade do evento A, pode ser 
colocada de um modo mais familiar: 
P(A) = 
 
 
 
 
Ou 
 
P(A) = 
 
 
 
Leia-se: a probabilidade do evento é dada pela razão (quociente) do número de casos 
favoráveis ao evento A pelo número total de casos possíveis; ou pela razão entre o 
número de elementos de A e o número de elementos de S. 
É importante ter em mente que, para avaliar a probabilidade de certo evento, deve-se 
contar o número de casos favoráveis ao evento e o número total de casos possíveis do 
, 
 
 
40 
 
experimento, ou melhor, trata-se de um problema de contagem (princípio 
multiplicativo, arranjos e combinações). 
Pela definição, é fácil concluir que a probabilidade de um evento varia no intervalo de 
0 a 1: 
De fato, sendo o evento impossível, temos 
( ) 0
( ) 0
( )
n
P
n S n

    ; 
Sendo A = S o evento certo, temos 
( ) 1
( ) 1
( )
n S
P S
n S n
   . 
Portanto, 0 ( ) 1P A  . 
 
Exemplo 5 
a. Uma moeda é lançada, observada a face de cima. 
Temos: S = {k,c}, A:ocorrer cara (k) e B: ocorrer coroa(c). 
 
P(sair cara) = P(sair coroa) = 
1
0,5 50%
2
ou 
Isto quer dizer que admitimos que a frequência relativa de caras e de coroas é próxima 
de 50%, quando a moeda é lançada muitas vezes. 
Uma outra coisa que é importante perceber é que a probabilidade é uma medida de 
tendência, mas não de certeza. Exemplificando: Qual a probabilidade de, no 
lançamento de duas moedas idênticas, observarmos exatamente duas caras? O 
resultado pedido é, como sabemos, p = 
1
4
 , pois S = {kk, kc, ck, cc} e A = {kk}. 
Bem, isso quer dizer que apenas espera-se que, a cada 4 lances, em um deles ocorra 
exatamente 2 caras, mas não se pode garantir que tal fato vá ocorrer. Porém, se forem 
, 
 
 
41 
 
feitos muitos lançamentos, por exemplo, 100, a tendência 1:4 se revelará, o que 
significa que há 25% de chance de aparecer exatamente 2 caras. 
b. Qual a probabilidade de aparecer face com múltiplo de 3 no lançamento de um 
dado? 
Temos: espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A: ocorrer múltiplo de 
Como n(S) = 6 e n(A) = 2, vem 
2 1
( ) 33,33%
6 3
n decasos favoráveis
P A ou
total decasos

   
c. Jogando dois dados, construir o espaço amostral e calcular a probabilidade de se 
obter soma dos pontos igual a 5. 
O espaço amostral é formado por 6 . 6 = 36 pares ordenados, conforme a tabela a 
seguir: 
 
 
 
d1 
 
1 2 3 4 5 6 
d2 
1 (1 , 1) (1 , 2) (1 , 3) (1 , 4) (1 , 5) (1 , 6) 
2 (2 , 1) (2 , 2) (2 , 3) (2 , 4) (2 , 5) (2 , 6) 
3 (3 , 1) (3 , 2) (3 , 3) (3 , 4) (3 , 5) (3 , 6) 
4 (4 , 1) (4 , 2) (4 , 3) (4 , 4) (4 , 5) (4 , 6) 
5 (5 , 1) (5 , 2) (5 , 3) (5 , 4) (5 , 5) (5 , 6) 
6 (6 , 1) (6 , 2) (6 , 3) (6 , 4) (6 , 5) (6 , 6) 
 
O evento “A: ocorrer soma dos pontos igual a 5” é {(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)}. 
Logo, 
4 1
( ) 11,11%
36 9
n decasos favoráveis
P A ou
total decasos

  . 
d. De um baralho de 52 cartas, duas delas são extraídas ao acaso, sem reposição. Qual 
a probabilidade de ambas serem de copas? 
, 
 
 
42 
 
Solução: Cada par de cartas possíveis de serem extraídas pode ser considerado como 
uma combinação das 52 cartas, tomadas duas a duas. O espaço amostral é calculado a 
partir do conjunto {{Ac, Ap, Ao, Ae}, {2c, 2p, 2o, 2e}, ..., {10c, 10p, 10o, 10e}, ..., {Kc, Kp, Ko, 
Ke}, {Qc, Qp, Qo, Qe}, {Jc, Jp, Jo, Je}}, e podemos escolher 2 dessas 52 cartas de C52,2 = 
52.51
2.1
 = 1326 maneiras. Ou seja, n(S) =1326. 
A é o evento (ou subconjunto de S) constituído pelas combinações de cartas de copas, 
isto é, como temos 13 cartas de copas e devemos escolher duas, temos: 
C13,2 =
13.12
2.1
 = 78. 
Logo, P(A) = 
78 1
5,88%
1326 17
ou . 
Observe bem que o espaço amostral não formado pelas 52 cartas. Se o experimento 
fosse “retirar uma carta”, aí sim. O espaço amostral depende do experimento em 
questão. 
e. Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 pretas. Retirando ao acaso uma bola, qual a 
probabilidade de ela ser: 
I. Vermelha? II. Preta? 
Solução: 
I. Como há um total de 10 bolas na urna e 6 são vermelhas, a probabilidade é: 
P(vermelha) 
6 3
60%
10 5
ou  
II. Do mesmo modo, a probabilidade de sair uma bola preta é: 
P(preta) 
4 2
40%
10 5
ou  
f. Com os dígitos 1, 2, 3, 5, 6 e 8 são formados números de 4 algarismo distintos. Um 
deles é escolhido ao acaso. Quais as chances de ele ser: 
, 
 
 
43 
 
I. Par? II. Ímpar? 
 
Solução: 
O espaço amostral é o conjunto S dos números de 4 algarismos distintos formados 
com os dígitos 1, 2, 3, 5, 6 e 7, ou seja: 
n(S) = A6,2 = 6.5.4.3 = 360 
 O evento A é “o número escolhido é par”. 
Daí: 
 
II. O evento B é “o número escolhido é ímpar”. 
 
n(B) = 4.60 = 240. Portanto, P(B) = 240/360 = 2/3 
Terminados esses exemplos, vamos reforçar conceitos retomando a questão da Mega 
Sena. Com uma aposta simples, pode-se ganhar, embora seja muito difícil, na verdade 
quase impossível. Você tem chance de ganhar, mas a probabilidade é muito pequena. 
Assim, é possível que você ganhe (com uma aposta simples), apesar de bem pouco 
provável. Note: “possível” não é o mesmo que “provável”, pois o primeiro tem a ver 
com possibilidades, como número de cartões apostados; já o segundo tem a ver com 
“chances de algo ocorrer” e expressa um número que varia no intervalo de 0 a 1. 
, 
 
 
44 
 
No caso de uma aposta simples, a probabilidade é: 
0,00000001997448858318, 
que é um número bem pequeno mesmo e, portanto, é bem pouco provável acertar. 
Exemplo 6: envolvendo análise combinatória 
Uma urna contém 6 bolas brancas e 4 vermelhas. Retirando-se, de uma só vez, 2 bolas, 
qual a probabilidade de: 
a) ambas serem brancas? 
b) ambas serem vermelhas? 
Solução: notar que o espaço amostral S não é formado pelas 10 bolas consideradas 
individualmente, uma vez que a retirada é feita em bloco de 2 bolas. 
Assim: n(S) = C10,2 
10.9 90
45
2.1 2
   
A é o evento: “obter duas bolas brancas”: 
n(A) = C6,2 
6.5 30
15
2.1 2
   
Logo: 
( ) 15 1
( ) ( ) 33,33%
( ) 45 3
n A
P A P A ou
n S
    
B é o evento: “obter duas bolas vermelhas” 
n(B) = C4,2
4.3 12
6
2.1 2
   
Logo: 
( ) 6 2
( ) ( ) 13,33%
( ) 45 15
n B
P B P B ou
n S
    
 
 
, 
 
 
45 
 
Probabilidade de não ocorrer um evento 
Seja A um evento de espaço amostral S. O complementar A em relação a S é o 
conjunto dos elementos de S que não pertencem a A. Indica-se por A ou ASC S A  . 
Em outras palavras, A é o evento “não ocorrer A”. 
Como n(A) + n( A ) = n(S), dividindo por N(S), vem: 
 
 
( ) (A) n(S) ( ) (A)
1 ( ) (A) 1
n(S) n(S) ( ) ( )
n A n n A n
P A P
n S n S

       . 
Portanto, 
P( A ) = 1 – P(A) 
 
Ou seja: a “probabilidade de não ocorrência de um evento” é igual a 1 menos a 
“probabilidade de ele ocorrer”. 
Exemplo 7: No lançamento simultâneo de dois dados d1 e d2, calcular a probabilidade 
de obter soma diferente de 11. 
Sabemos que n(S) = 36. 
Seja A o evento: obter soma diferente de 11; então, A = {(5,6), (6,5)} e n(A) =2. 
Logo, 
( ) 2 1
( ) 36 18
n A
n S
   é a probabilidade de obter soma 11. 
O evento “obter soma diferente de 11” é A . Assim, temos: 
, 
 
 
46 
 
 
Portanto, a probabilidade de “obter soma diferente de 11” é 
17
18
 ou 94,44%. 
Exemplo 8: Para determinar a probabilidade de não cair a mesma face voltada para 
cima em 3 lançamentos sucessivos de uma moeda, há duas formas: 
1ª. Sendo E o espaço amostral, e A: “não sair a mesma voltada para cima em 3 
lançamentos”, temos: 
 
2ª. Como sabemos que, das 8 possibilidades, apenas duas apresentam a mesma face 3 
vezes, temos: 
P( A )
( ) 2 1
( ) 8 4
n E
n A
   
Conforme o conceito de probabilidade complementar, vem: 
. 
A segunda maneira é mais apropriada se for mais difícil contar as possibilidades do 
evento A . Vejamos: lançando uma moeda 5 vezes, qual a probabilidade de não obter 
5 caras seguidas? 
 
Solução: O espaço amostral é n(S) = 2.2.2.2.2 = 32, pois em cada lançamento há 2 
possibilidades de resultados. Agora, sejam os eventos: 
A: obter 5 caras seguidas; 
, 
 
 
47 
 
A : não obter 5 caras seguidas. 
 Então, a probabilidade pedida corresponde a: 
 
P(não obter 5 caras seguidas) = 1 – P(obter 5 caras seguidas), ou seja, 
 
Conclusão 
Neste bloco, apresentamos a noção intuitiva, as noções básicas e a definição de 
probabilidade. Pudemos explorar a definição de probabilidade por meio de exemplos 
variados, uns associados ao dia a dia e outros mais teóricos. 
Vimos que o importante conceito de probabilidade complementar torna mais fácil o 
entendimento de muitas situações nas quais o cálculo das possibilidades de um evento 
é muito trabalhoso. 
Desenvolvemos uma breve retomada de tópicos da teoria dos conjuntos, aqui 
ajustados para o cálculo de probabilidades: evento união e evento intersecção. 
Sendo a teoria das probabilidades uma área nobre da matemática, é preciso dar-lhe 
uma boa dose de atenção, pois serve de base para resolução de problemas em muitas 
outras áreas, como a estatística, a biologia e a física. 
SAIBA MAIS 
Aconselhamos a leitura de Combinatória e Probabilidade, volume 5, de Samuel Hazzan, 
que é livro da coleção Fundamentos de Matemática Elementar. Trata-se de material 
indispensável ao estudante de um curso Matemática. 
 
 
, 
 
 
48 
 
Bibliografia Básica 
METZ, L. I. Análise combinatória e probabilidade. Curitiba: InterSaberes, 2018. 
BONAFINI, F. C. (org). Probabilidade e estatística. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2015. 
WALPOLE, R. et al. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. Tradução 
de Luciane F. Pauleti Vianna. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. 
 
Bibliografia Complementar 
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência, volume único. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
ALBUQUERQUE, J. P. de A.; FORTES, J. M. P.; FINAMORE, W. A. Probabilidades, 
variáveis aleatórias e processos estocásticos. 2. ed. Rio de Janeiro: Interciência: PUC-
Rio, 2018. 
BONAFINI, F. C. (org). Matemática e estatística. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2014. 
COSTA NETO, P. L. de O.; CYMBALISTA, M. Probabilidades. 2. ed. São Paulo: Edgard 
Blucher, 2005. 
HAZZAN, S. Combinatória e Probabilidade. 6. ed. São Paulo: Atual, 1993. (Coleção 
Fundamentos de Matemática Elementar, v.5) 
 
 
 
 
 
, 
 
 
49 
 
 
3 PROBABILIDADE 
Algumas propriedades já foram vistas no decorrer do Bloco 2 a fim de melhor 
esclarecer conceitos (caso das três primeiras). As demais serão desenvolvidas com 
desdobramento no cálculo de probabilidades. 
3.1 Propriedades 
Dado um evento do espaço amostral S, temos: 
(1ª) Campo de variação das probabilidades: 
A probabilidade de um evento A deve ser um número maior ou igual a 0 e menor ou 
igual a 1. Isto é: 
 
(2ª) Probabilidade do espaço amostral 
O espaçoamostral é, ele mesmo, um evento e, sendo assim: 
P(S) = 1 ou P(S) = 100% 
(3ª) Probabilidade de um evento complementar 
Se é o evento complementar de A, então: 
 
 
(4ª) Regra da Adição de Probabilidades 
Sabemos, da teoria dos conjuntos, que o evento união de dois eventos A e B é 
, 
 
 
50 
 
 
Assim, a probabilidade de ocorrência do evento A ou B (ou de ambos) é igual a: 
 
 
Caso os eventos A e B sejam mutuamente exclusivos, isto é, , então: 
 
 
 
 
Observação importante: A regra da adição de probabilidades pode ser estendida para 
n eventos mutuamente exclusivos A1 , A2 , A3 , ..., An. 
Assim sendo: 
 
 
, 
 
 
51 
 
(5ª) Eventos independentes 
Sejam dois eventos A e B em um mesmo espaço amostral 
Então, A e B são eventos independentes se 
 
Esclarecimento necessário: Dizemos que dois eventos A e B são independentes 
quando a probabilidade da ocorrência de A não é afetada pela ocorrência de B (e vice-
versa). Esse mesmo conceito pode ser estendido para mais de dois eventos. Isso será 
válido desde que A e B não sejam mutuamente exclusivos, ou seja, o que 
implica 
A e B independentes ⟺ a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. 
Mais adiante serão vistas diversas situações envolvendo esse conceito. 
Observação: Se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B são dependentes, pois 
se A ocorre, B não ocorre, isto é, a ocorrência de um evento condiciona a não 
ocorrência do outro. 
Uma vez elencadas as propriedades, passaremos ao estudo da probabilidade da União 
e da Intersecção de eventos. 
3.2 Adição de Probabilidades (probabilidade da união de eventos) 
Vamos, inicialmente, apresentar um exemplo. 
Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma delas é retirada ao acaso. Sejam 
os eventos A: “Sair divisor de 16”, e B: “Sair divisor de 18”. 
Temos, então: 
Espaço amostral: S = {1, 2, 3, ...., 20} (onde o 1 indica B1, o 2 indica B2, ..., 20 indica 
B20 ). 
n(S) = 20 
, 
 
 
52 
 
A = {1,2,4, 8,16} n(A) = 5 
B = {1,2,3,6,9,18} n(B) = 6 
 
 
Note que há elementos satisfazendo: 
 
Calculemos, então, 
 
( ) 5 ( ) 6
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 20 ( ) 20
n A n B
P A P A P B P B
n S n S
     o o 
 
( ) 2 ( ) 9
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 20 ( ) 20
n A B n A B
P A B P A B P A B P A B
n S n S
 
         o o 
E esses resultados mostram que 
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B     , pois 
5 6 2 9
20 20 20 20
   
, 
 
 
53 
 
Demonstremos essa relação. Quaisquer que sejam os eventos A e B de um espaço 
amostral S finito e não vazio, temos: 
 
Dividindo o primeiro e o segundo membros por n(S), vem: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n A B n A n B n A B
n S n S n S n S
 
   
Portanto: 
 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B     
A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B (ou ambos) é igual à 
probabilidade de ocorrer A mais a probabilidade de ocorrer B menos a probabilidade 
de ocorrer A e B. 
Exemplo 1: Em uma pesquisa feita com 500 jovens de 16 a 21 anos, verificou-se que 
230 estudam, 200 trabalham e 140 estudam e trabalham? Escolhidos um dos jovens 
pesquisados ao acaso, qual a probabilidade de que estude ou trabalhe? 
Sejam os eventos: 
A: o jovem estuda 
B: o jovem trabalha 
 
Então, a probabilidade pedida, ou seja, a probabilidade de que um jovem escolhido 
aleatoriamente estude ou trabalhe é: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
230 200 140
( )
500 500 500
290
( ) 58%
500
P A B P A P B P A B
P A B
P A B ou
    
   
 
 
, 
 
 
54 
 
Exemplo 2: Uma urna contém 5 bolas amarelas, 3 bolas brancas e 4 vermelhas. 
Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ser branca ou vermelha? 
Resolução: 
Sejam: A1, A2, A3, A4, A5 as bolas amarelas; B1, B2, B3 as bolas brancas; e V1, V2, V3, V4 as 
bolas vermelhas. Temos, então: 
S = {A1, A2, A3, A4, A5, B1, B2, B3, V1, V2, V3, V4} e n(S) = 12; 
Evento B: a bola retirada é branca 
Evento V: a bola retirada é vermelha 
Como ou seja, A e B são mutuamente exclusivos, vem e, 
 
( ) ( ) ( ) ( )
3 4 0
( )
12 12 12
7
( ) 58,3%
12
P B V P B P V P B V
P B V
P B V ou
    
   
 
 
Outro modo: também podemos resolver esse problema pela probabilidade 
complementar, ou seja, 
P{ser Vermelha ou Branca} = 1 – P{ser amarela}. 
Portanto: 
P{ser Vermelha ou Branca} 
5 7
1
12 12
   
Exemplo 3: Aqui, iremos ressaltar a diferença entre eventos mutuamente exclusivos e 
independentes. Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Considere 
Pergunta-se: 
a. Para que valor de x, A e B são mutuamente exclusivos? 
, 
 
 
55 
 
No caso de A e B serem mutuamente exclusivos, tem-se: 
 
b. Para que valor de x, A e B são independentes? 
Conforme já sabemos, para que A e B sejam independentes, devemos ter 
 
Assim sendo, 
 
3.3 Probabilidade Condicional 
A probabilidade condicional é um segundo evento de um espaço amostral que ocorre 
após o primeiro já ter sido realizado. Antes de dar a definição, exploremos um pouco 
essa ideia com um exemplo: 
Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros de 1, 2,... , 15. Se o número sorteado 
for par, qual a probabilidade de que seja múltiplo de 6? 
Solução: 
S = {1,2,3,... , 15} 
A: o número sorteado é múltiplo de 
B: o número sorteado é par 
Donde: 
 
, 
 
 
56 
 
Observe que a probabilidade de ocorrer o evento A, sem a informação da ocorrência 
de B, é P(A) = 
1
15
 
Mas dada a informação de que o número sorteado foi par, o espaço amostral reduz-se 
a S’ = {2,4,6,8,10,12,14}, e é neste espaço que vamos avaliar a probabilidade do evento 
A. Assim, a probabilidade pedida é: 
p 
n(A B) 1
n(B) 7

  
 
 
 
que é a probabilidade de sair o 6 dado que o número sorteado foi par. 
Esse resultado indica-se por P(A\B) e lê-se “probabilidade de A ocorrer, dado que o 
evento B ocorreu”. 
Definição: Sejam A e B eventos não vazios de um mesmo espaço amostral S. 
A probabilidade da ocorrência de A condicionada a B, ou, a probabilidade de ocorrer o 
evento A, dado que B já ocorreu, que se indica por P(A\B), é dada por: 
n(A B)
( \ )
n(B)
P A B

 
 Podemos expressar P(A\B) em função de 
Dividindo o numerador e o denominador do 2º membro de 
( )
( \ )
( )
n A B
P A B
n B

 por 
n(S), vem: 
, 
 
 
57 
 
 
( )
( )
( \ )
( )
( \
( )
(( ))
)
n A B
n S
P A B
n B
n
P
P B
B
S
A B
A
P


  
 
Analogamente, a probabilidade de ocorrer o evento B, dado que A já ocorreu, é dada 
por: 
 
( )
( \ )
( )
P B A
P B A
P A

 
Vejamos outro exemplo (Exemplo 4): Numa empresa, sabe-se que 23 funcionários 
leem o jornal X, 25 leem o jornal Y, 8 são leitores de ambos e 11 não leem nenhum 
deles. Selecionado uma dos funcionários aleatoriamente, qual será a probabilidade de 
um funcionário que lê X, seja leitor também de Y. 
Resolução: 
 
Veja que, em primeiro lugar, 
Trata-se de um problema de probabilidade condicional, pois a ocorrência de X está 
condicionada à ocorrência de Y 
 
Queremos obter a probabilidade de ocorrer Y, dado que já ocorreu X, ou seja: 
( ) 8
( \ ) 34,78%
( ) 23
n X Y
P Y X ou
n X

  
, 
 
 
58 
 
Aqui, veja que o espaço amostral foi reduzido ao evento X. 
Se quiséssemos calcular a probabilidade condicional P(X \ Y), isto é, a probabilidade de 
ocorrer X, dado que Y já ocorreu, teríamos: 
( ) 8
( \ ) 32%
( ) 25
n X Y
P X Y ou
n Y

  
 E aqui, o espaço amostral foi reduzido ao evento Y. 
Para três eventos A, B e C, teremos: 
 
( )
( \ )
( )
P A B C
P C A B
P A B
 
 

, 
Esta é uma das possibilidades. Fica a cargo do estudante escrever as demais. 
Exemplo 5: De um baralho de 52 cartas, uma é retirada ao acaso. Qual a probabilidade 
de ser um rei preto, sabendo que a carta retirada foi uma figura? 
 
Temos: 
A: a carta retirada é rei preto 
, 
 
 
59 
 
B: a carta retirada é uma figura 
Então, a probabilidade pedida é 
 
( )
( \ )
( )n A B
P A B
n B


2 1
12 6
  . 
Observação: no baralho, existem 2 reis pretos, que são, também, figuras. Portanto, 
 
Doze cartas são figuras, logo, P(B) 
12
52
 . Assim, a probabilidade de sair um rei preto 
condicionada à ocorrência de uma figura é 
1
6
 ou 16,67%. 
Pense no seguinte: Se você fosse explicar a um colega esta situação do exemplo acima 
por meio de um diagrama, como faria? 
Exemplo 6: Determine a probabilidade de 2 dados idênticos lançados 
simultaneamente caírem com faces pares voltadas para cima cuja soma seja igual a 6. 
Resolução: 
Inicialmente, verificamos as possibilidades de números pares nas faces dos dois dados: 
A = {(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)}. 
Depois, devemos analisar a ocorrência da soma dos valores das faces dos dois dados 
ser igual a 6. 
B = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} 
 
n(A) =9, n(B) = 5 
 
, 
 
 
60 
 
Queremos calcular a probabilidade de ocorrer faces pares, dado que a soma dos 
pontos é 6: P(A\B). 
Então, a probabilidade solicitada é: 
( )
( \ )
( )
n A B
P A B
n B


2
5
 ou 40% 
O exemplo seguinte é bastante recorrente nos estudos sobre probabilidade. 
Numa cidade, 400 pessoas foram classificadas de acordo com o sexo e o estado civil, 
conforme a tabela: 
 
Solteiro(S) Casado(C) Divorciado(D) Viúvo(V) 
 
Masculino(M) 50 60 40 30 180 
Feminino(F) 150 40 10 20 220 
 
200 100 50 50 
 
Escolhendo ao acaso uma pessoa do grupo: 
(a) Qual a probabilidade de ela ser casada, sabendo que é do sexo masculino? 
(b) qual a probabilidade de a pessoa ser do sexo feminino, sabendo que é solteira? 
Temos: 
(a) 
( ) 60 1
( \ ) 33,33%
( ) 180 3
n C M
P C M ou
n M

   
(b) 
( ) 150 3
( \ ) 75%
( ) 200 4
n F S
P F S ou
n S

   
Veja que a organização de todos os dados em tabela irá facilitar todos os cálculos. 
E observe, por exemplo, que 
[pois: 
( ) 150 15
( \ ) 68,18%
( ) 220 22
n S F
P S F ou
n F

   ] 
 
, 
 
 
61 
 
3.4 Probabilidade do Produto 
Se dois eventos, A e B, que ocorrem num mesmo espaço amostral, são independentes 
(i.e., a ocorrência de um não influi na ocorrência do outro), a probabilidade de 
ocorrência de A e B é: 
( ) ( ). ( )P A B P A P B  
Ou seja, P(A e B) é igual ao produto das probabilidades de cada um desses eventos. 
Exemplo 7: Jogando um dado e uma moeda e observando o resultado, qual a 
probabilidade de sair face menor que 4 no dado e cara na moeda? 
Solução: 
A é o evento “sair face menor que 4 no dado” 
B é o evento “sair cara na moeda” 
Sendo A e B independentes entre si, vem: 
P(A) = 3/6 = ½ e P(B) = ½ . 
Portanto: 
Importante: Se dois eventos, A e B, não são independentes, a probabilidade da 
intersecção tem que ser calculada diretamente. E, é claro, nesse caso, a fórmula acima 
não é válida. 
Exemplo 8: Num grupo de 100 pessoas, 50 são loiras, 40 usam óculos e 25 são loiras e 
usam óculos. 
Temos: P(A) = 50/100 = 0,5 P(B) = 40/100 = 0,4 
Veja que 
 
, 
 
 
62 
 
e, portanto, 
 
Aqui, os eventos não são independentes; na verdade, um está condicionado ao outro. 
Podemos estender essa regra para n eventos independentes A1, A2, A3, A4,... , An: 
 
Exemplo 9: Lançando-se três moedas idênticas, qual a probabilidade de sair 3 caras? 
Temos: 
A1: {sair cara na moeda 1}, A2: {sair cara na moeda 2}, A3: {sair cara na moeda 3}. 
Assim: 
 
p 
1 1 1 1
2 2 2 8
    
Obs.: Para verificarmos se três eventos A, B e C são independentes, devemos verificar 
se as quatro proposições são satisfeitas: 
 
Regra do Produto para probabilidade condicional 
A probabilidade simultânea de dois eventos A e B é dada pelo produto da 
probabilidade de um dos eventos, pela probabilidade condicional do outro evento. 
 ( ) ( ).
( )
( \ \) )
)
(
(
P
P A B
A B PP B A
P A
A P B A

   e também 
 ( ) ( ).
( )
( \ \) )
)
(
(
P
P A B
A B PP A B
P B
B P A B

   
, 
 
 
63 
 
Para três eventos A, B e C, temos: 
( )
( \ )
( )
P A B C
P C A B
P A B
 
 

 , 
E, portanto: 
 ( ) ( ). ( \ ). ( \ )P A B C P A P B A P C A B    
Exemplos de aplicação (Exemplo 10): 
a. Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 pretas. Duas bolas são retiradas, 
sucessivamente, e sem reposição. Qual a probabilidade de ambas serem pretas? 
Solução: A 1ª bola, sendo preta, influi sobre a probabilidade de obter uma 2ª bola 
preta. O que mostra que os dois eventos não são independentes. 
Daí: 
A: a 1ª bola é preta; B: a 2ª bola é preta 
Queremos calcular: 
 
 
( ) ( ). ( \ )P A B P A P B A  . Logo: 
 
5 4 5
( ) 15,15%
12 11 33
P A B ou    
b. Uma urna contém 7 bolas brancas e 8 pretas. Três bolas são retiradas, 
sucessivamente, e sem reposição. Qual a probabilidade de as três serem brancas? 
Temos: 
, 
 
 
64 
 
A: a 1ª bola é branca; B: a 2ª bola é branca; C: a 3ª bola é preta 
p = ( ) ( ). ( \ ). ( \ )P A B C P A P B A P C A B    
p = P(1ª ser branca).(2ª ser branca, dado que a 1ª foi branca).P(3ª ser branca, dado que 
as duas 1ªs foram brancas) 
Logo: p 
7 6 5 1
7,69%
15 14 13 13
ou    
3.5 Teorema de Bayes e Probabilidade total 
3.5.1 Teorema de Bayes e Partições 
Inicialmente, consideremos os eventos A1, A2, A3, ... , An. Diremos que eles formam 
uma partição do espaço amostral S, quando: 
P(Bk) > 0, para todo k 
 
Isto é, os eventos B1, B2, B3, ... , Bn são, dois a dois, mutuamente exclusivos e exaustivos 
(sua união é o espaço amostral S) 
 
Seja B um evento tal que e para o qual conhecemos todas as P(B \ Ai). 
, 
 
 
65 
 
 
Sabemos que, para todo “i”, a probabilidade condicional de Ai dado B, é definida 
como: 
( ) ( \ ). ( ) ( ) ( \ )
( \ )
( ) ( ) ( )
i i i i i
i
P A B P B A P A P A P B A
P A B
P B P B P B

   
Este resultado é conhecido como teorema de Bayes. 
O evento B, entretanto, nem sempre fácil de calcular. Mas, observando a figura e 
lembrando da teoria dos conjuntos, podemos escrever B da seguinte forma: 
 
Note que os eventos são dois a dois mutualmente 
exclusivos. 
Portanto: 
 
P(B) = P(A1).P(B\A1) + P(A2).P(B\A2) + P(A3).P(B\A3) + ... + P(An).P(B\An) (1) 
Resultado conhecido como teorema da probabilidade total. É utilizado quando for 
difícil de calcular P(A) diretamente. A relação acima, portanto, vai tornar o cálculo mais 
simples. 
Agora, voltemos ao teorema de Bayes acima, e vamos substituir a expressão (1): 
, 
 
 
66 
 
 
1 1 2 2 3 3
( ) ( \ )
( \ )
( ). ( \ ) ( ). ( \ ) ( ). ( \ ) ... ( ). ( \ ) 
i i
i
n n
P A P B A
P A B
P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A

   
 
Ou, usando somatórios: 
 
1 1
( ) ( \ )
( \ )
( ). ( \ ) 
i i
i
P A P B A
P A B
P A P B A


 
Forma mais geral do teorema de Bayes. Este resultado é muito importante, pois 
relaciona probabilidades a priori (cada P(Ai) com probabilidades a posteriori P(Ai \ B). 
Exemplo: Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna tem 4 
bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, também 
ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade que seja branca? 
 
Temos: 
P(Urna I) = ½ P(Branca\Urna I) = 3/5 
P(II) = ½ P(Branca\Urna II) = 4/6 = 2/3 
Mas o evento bola branca é 
Aplicando o teorema da probabilidade total, vem: 
 
 
, 
 
 
67 
 
 
Portanto: P(B) 
1 3 1 2 19
63,33%
2 5 2 3 30
ou     . 
Também podemos resolver o problema usando o diagrama da árvore. 
O diagrama facilita os demais cálculos, por exemplo, “qual a probabilidade de a bola 
ser amarela?” ou “selecionando-se uma urna e retirando-se uma bola, constata-se que 
é branca, qual a probabilidade que a Urna II tenha sido a escolhida?”. 
Vejamos mais um exemplo: São dadas duas urnas contendo bolas idênticas ‒ 
Urna I = {5 brancas, 4 pretas, 4 vermelhas} e Urna II = {4 brancas, 2 pretas, 8 
vermelhas} 
Retira-se uma bola de cada urna. Qual a probabilidade de ambas serem da mesma cor? 
Aqui, trata-se deaplicar o teorema da probabilidade total. 
M é o evento: {ambas as bolas da mesma cor}. 
Precisamos determinar todas as possibilidades que contemplem bolas da mesma cor 
em ambas as retiradas. Sejam os eventos B: sai bola branca, P: sai bola preta e V: sai 
bola vermelha. 
Dessa forma: 
Vamos calcular P(M): 
P(M) = P(B na urna I e na II) + P(P na urna I e na II) + P(V na urna I e na II) 
, 
 
 
68 
 
P(M) 
5 4 4 2 4 8 20 8 32 60
13 14 13 14 13 14 183 183 183 183
          
Ou seja: P(M) = 
20
61
 ou 32,68% 
SAIBA MAIS 
Aconselhamos a leitura de Combinatória e Probabilidade, volume 5, de Samuel Hazzan, 
que é livro da coleção Fundamentos de Matemática Elementar. Trata-se de material 
indispensável ao estudante de um curso Matemática. 
 
Conclusão 
Neste Bloco, estudamos as principais propriedades das probabilidades, como a 
probabilidade complementar e a probabilidade do evento união. Estudamos a 
multiplicação de probabilidade para eventos independentes e para eventos 
condicionais, além do importantíssimo teorema da probabilidade total. 
Bibliografia Básica 
METZ, L. I. Análise combinatória e probabilidade. Curitiba: InterSaberes, 2018. 
BONAFINI, F. C. (org). Probabilidade e estatística. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2015. 
WALPOLE, R. et al. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. Tradução 
de Luciane F. Pauleti Vianna. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. 
Bibliografia Complementar 
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência, volume único. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
, 
 
 
69 
 
ALBUQUERQUE, J. P. de A.; FORTES, J. M. P.; FINAMORE, W. A. Probabilidades, 
variáveis aleatórias e processos estocásticos. 2. ed. Rio de Janeiro: Interciência: PUC-
Rio, 2018. 
BONAFINI, F. C. (org). Matemática e estatística. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2014. 
COSTA NETO, P. L. de O.; CYMBALISTA, M. Probabilidades. 2. ed. São Paulo: Edgard 
Blucher, 2005. 
HAZZAN, S. Combinatória e Probabilidade. 6. ed. São Paulo: Atual, 1993. (Coleção 
Fundamentos de Matemática Elementar, v.5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
70 
 
 
4 ESTATÍSTICA: CONCEITOS BÁSICOS 
Neste bloco, iremos estudar e aprender sobre os conceitos básicos de estatística, 
entender o que é um conjunto de dados, saber como distinguir dados quantitativos de 
qualitativos, conceituar população e amostra, e definir e classificar as variáveis. 
Daremos especial atenção às distribuições de frequências, que abarcam a organização 
de dados em tabelas e gráficos visando a uma melhor compreensão do fenômeno em 
estudo. E apresentaremos uma breve diferenciação entre a estatística descritiva e 
estatística inferencial. 
4.1 Histórico e Origem 
O que chamamos de estatística ou métodos estatísticos exerce um papel cada vez mais 
crescente e importante nos mais variados ramos da atividade humana. No início, lidava 
mais com os negócios do Estado. O termo ESTATÍSTICA (nota) vem do latim “STATUS” 
(ESTADO). Sob essa palavra, acumularam-se descrições e dados relativos ao ESTADO. A 
Estatística foi e é uma verdadeira ferramenta administrativa nas mãos de governantes 
e de políticos. 
Embora a palavra ESTATÍSTICA não existisse, há indícios de que por volta de 3000 a.C já 
se faziam censos na Babilônia, na China e no Egito. Por exemplo, o livro IV do Velho 
Testamento começa com uma instrução a Moisés: “Fazer um levantamento dos 
homens de Israel que estivessem aptos a guerrear”. Na época do Imperador Augusto, 
saiu um edito para que se fizesse o censo em todo o Império Romano (a palavra 
“censo” deriva do latim censere, que significa taxar). 
Em 1085, Guilherme, O Conquistador, ordenou que fosse feito um LEVANTAMENTO 
ESTATÍSTICO na Inglaterra. E esse levantamento deveria conter informações sobre 
terras, proprietários, uso da terra, empregados e animais, e serviria, também, como 
base para o cálculo de impostos. Desse levantamento, surgiu o livro Domesday Book. 
, 
 
 
71 
 
No século XVII, teve destaque na Inglaterra, a partir das tábuas de mortalidade, a 
Aritmética Política, de John Graunt, que consistiu de exaustivas análises de 
nascimentos e mortes. Dessas análises, resultou a conclusão, entre outras, de que a 
porcentagem de nascimentos de crianças do sexo masculino era ligeiramente maior à 
de crianças do sexo feminino. 
Se quisermos identificar a estatística com algo mais familiar, devemos lembrar a 
palavra “dados”. Então, a estatística trabalha com dados os mais diversos, ou seja, há 
num primeiro momento a coleta de dados, após isso segue a organização, a 
apresentação e análise, donde se devem tirar as conclusões. 
Modernamente, o campo de estudo que designamos por estatística é muito amplo. 
Estende-se à agricultura, à biologia, ao comércio, à química, às comunicações, à 
economia, à educação, à eletrônica, à medicina, às física, às ciências políticas, à 
psicologia, à sociologia, entre tantos outros ramos da ciência. 
A Estatística pode ser encarada como uma ciência ou como um método de estudo. 
Existem duas concepções para a palavra ESTATÍSTICA: 
a) no plural (estatísticas), indica qualquer coleção consistente de dados numéricos, 
reunidos com a finalidade de fornecer informações acerca de uma atividade qualquer. 
Por exemplo, as estatísticas demográficas referem-se a dados numéricos sobre 
nascimentos, falecimentos, matrimônios, desquites; estatísticas de acidentes de 
trânsito, índice de desemprego e de analfabetismo. As estatísticas sobre desemprego, 
por exemplo, são obtidas com base nas pessoas que procuram emprego (aqui no 
Brasil, pela metodologia do IBGE) etc. 
b) no singular (estatística), indica um corpo de técnicas, ou ainda uma metodologia 
técnica desenvolvida para a coleta, a classificação, a apresentação, a análise e a 
interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para a tomada de 
decisões. 
 
, 
 
 
72 
 
Toda e qualquer ciência experimental não pode abrir mão das técnicas proporcionadas 
pela Estatística, como por exemplo, a Física, a Biologia, a Administração, a Economia, 
etc. Todos esses ramos de atividade profissional têm necessidade de um instrumental 
que se preocupa com o tratamento quantitativo dos fenômenos de massa ou coletivos, 
cuja mensuração e análise requerem um conjunto de observações de fenômeno ou 
particulares. 
4.1.1 Definição de Estatística 
Estatística é a ciência que se ocupa da coleta, da organização, da descrição 
(apresentação), da análise e interpretação de dados experimentais e tem como 
objetivo fundamental o estudo de uma população. 
Esse estudo pode ser feito de duas maneiras: 
• investigando todos os elementos da população; ou 
• por amostragem, ou seja, selecionando alguns elementos da população. 
Mas devemos reforçar: embora temida e incompreendida porque muitas vezes 
complexa, a estatística nada mais é do que a ciência de trabalhar com os dados que 
temos em mãos para fazer interpretações sobre eles. Os dados são, afinal de contas, a 
essência de tudo ligado à estatística. 
Dados: são informações que vêm de observações, contagens, medições ou respostas. 
Ou seja: os dados são os valores sobre os quais trabalharemos. Todo conjunto de 
dados pode ser classificado como quantitativo ou qualitativo. 
4.1.2 Divisões da estatística 
Estatística descritiva: como o próprio nome sugere, se constitui num conjunto de 
técnicas que objetivam descrever, analisar e interpretar os dados numéricos de uma 
população ou amostra. 
 
, 
 
 
73 
 
Observação: As amostras são coletadas de populações, que são coleções de indivíduos 
ou itens individuais de um tipo em particular. 
Estatística Indutiva (Amostral ou Inferencial): é a aquela que, partindo de uma 
amostra, estabelece hipóteses, tira conclusões sobre a população de origem e que 
formula previsões fundamentando-se na teoria das probabilidades. A estatística 
indutiva cuida da análise e interpretação