AULA 2 LAPLACE E MODELAGEM

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1 A TRANSFORMADA DE LAPLACE E MODELAGEM DE SISTEMAS 
A TRANSFORMADA DE LAPLACE E MODELAGEM DE SISTEMAS 
MODELAGEM DE SISTEMAS Como discutido na última aula, a modelagem de sistemas é o processo de obtenção de um modelo matemático que descreve o comportamento dinâmico de sistemas. Esta área da física e da engenharia é de muita importância para a Análise, uma vez que sem um modelo matemático, fica impossível obter a resposta analítica do sistema1. Sistemas contínuos são descritos por meio de equações integro-diferenciais, enquanto sistemas discretos têm seus modelos representados por intermédio das chamadas equações de diferença. Não importando a classe de sistemas estudada, a obtenção de um modelo matemático depende de conhecimento específico. Por exemplo, deve-se ter o conhecimento das Leis de Kirchhoff para modelar circuitos elétricos, bem como é necessário o conhecimento da física Newtoniana para se estabelecer um modelo para um sistema mecânico como o pêndulo invertido. Assim, a área da Modelagem, nessa disciplina, só será abordada por intermédio de exemplos, e qualquer conhecimento específico não será, necessariamente, explicado em detalhes. 
Sistemas Elétricos Circuitos elétricos planares e lineares são regidos pela Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) e pela Lei de Kirchhoff das correntes (LKC). Elas atestam, respectivamente: LKT: A soma algébrica das quedas de tensão nos ramos de um laço deve ser nula; LKC: A soma algébrica das correntes que concorrem a um nó deve ser nula; Além disso, é necessário estabelecer a relação entre tensão e corrente nos bipolos mais comuns (indutores, capacitores e resistores). A Tabela 1 sumariza essas relações. 
Tabela 1 - Relações tensão-corrente nos elementos de circuito. 
Bipolo Relação Tensão-Corrente Indutor 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
 Capacitor 𝑑𝑑(𝑡𝑡) = 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑣𝑣(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
 Resistor 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅 𝑑𝑑(𝑡𝑡) 
Exemplo 1: Um circuito elétrico simples. Considerando o circuito elétrico da Figura 1. 
 
Figura 1 - Circuito elétrico simples. 
1 Obviamente ainda é possível obter a resposta por meio de simulação ou empiricamente. 
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Deseja-se obter a tensão de saída 𝑣𝑣𝑜𝑜(𝑡𝑡). Utilizando a Lei de Kirchhoff das tensões podemos escrever: 
−𝑣𝑣1(𝑡𝑡) + 𝑣𝑣𝑙𝑙(𝑡𝑡) + 𝑣𝑣𝑜𝑜(𝑡𝑡) = 0 Reescrevendo as tensões nos ramos em função da corrente de malha: 
−𝑣𝑣1(𝑡𝑡) + 𝐿𝐿 ⋅ 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑅𝑅1 ⋅ 𝑑𝑑(𝑡𝑡) = 0 Substituindo os valores do circuito se obtém: 
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
 + 10 ⋅ 𝑑𝑑(𝑡𝑡) = 𝑣𝑣1(𝑡𝑡) Porém, 
𝑑𝑑(𝑡𝑡) = 𝑣𝑣𝑜𝑜(𝑡𝑡)10 Assim, pode-se escrever a equação diferencial que modela o comportamento da tensão no resistor em função da tensão na fonte 𝑣𝑣1(𝑡𝑡). 110𝑑𝑑𝑣𝑣𝑜𝑜(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑣𝑣𝑜𝑜(𝑡𝑡) = 𝑣𝑣1(𝑡𝑡) ∴ 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑜𝑜(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + 10 ⋅ 𝑣𝑣𝑜𝑜(𝑡𝑡) = 10 ⋅ 𝑣𝑣1(𝑡𝑡) Ou utilizando uma representação mais compacta: 
�̇�𝑣𝑜𝑜(𝑡𝑡) + 10 ⋅ 𝑣𝑣𝑜𝑜(𝑡𝑡) = 10 ⋅ 𝑣𝑣1(𝑡𝑡) (1) Note que a variável de saída 𝑣𝑣𝑜𝑜(𝑡𝑡) depende não só da tensão da fonte, mas também da taxa de variação dela mesma. Isso confere dinâmica ao sistema. Analisando (1), conclui-se que o sistema elétrico é linear, diferentemente do próximo sistema que será estudado. 
Sistemas Mecânicos Sistemas mecânicos são regidos pela mecânica Newtoniana, mais especificamente pela segunda lei de Newton, ou princípio fundamental da dinâmica, a qual afirma que a soma das forças (ou torques) em um sistema é igual a taxa de variação do seu momento linear (ou angular). Para sistemas translacionais cuja massa 𝑚𝑚 permanece constante, a segunda lei de Newton é a velha conhecida: 
𝐹𝐹(𝑡𝑡) = 𝑚𝑚 𝑎𝑎(𝑡𝑡) = 𝑚𝑚 �̇�𝑣(𝑡𝑡) = 𝑚𝑚 �̈�𝑥(𝑡𝑡) Onde 𝑎𝑎(𝑡𝑡) é a aceleração da partícula, 𝑣𝑣(𝑡𝑡) sua velocidade e 𝑥𝑥(𝑡𝑡) seu deslocamento. Para sistemas rotacionais cujo momento de inércia 𝐽𝐽 é constante: 
𝑇𝑇(𝑡𝑡) = 𝐽𝐽 𝛼𝛼(𝑡𝑡) = 𝐽𝐽 �̇�𝜔(𝑡𝑡) = 𝐽𝐽 �̈�𝜃(𝑡𝑡) Onde 𝛼𝛼(𝑡𝑡) é a aceleração angular, 𝜔𝜔(𝑡𝑡) a velocidade angular e 𝜃𝜃(𝑡𝑡) o deslocamento angular. Um sistema mecânico pode ser modelado por massas, molas e amortecedores. As relações matemáticas para esses elementos são apresentados na Tabela 2. 
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Tabela 2 - Relações nos elementos básicos de sistemas mecânicos. 
Elemento Sistema Translacional Sistema Rotacional Mola 𝐹𝐹(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘 𝑥𝑥(𝑡𝑡) 𝑇𝑇(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾 𝜃𝜃(𝑡𝑡) Amortecedor 𝐹𝐹(𝑡𝑡) = 𝑏𝑏 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝑏𝑏 �̇�𝑥(𝑡𝑡) 𝑇𝑇(𝑡𝑡) = 𝐵𝐵 𝜔𝜔(𝑡𝑡) = 𝐵𝐵 �̇�𝜃(𝑡𝑡) Percebe-se que as forças e torques causados por molas são proporcionais ao deslocamento, enquanto os esforços ocasionados por amortecimentos são proporcionais às velocidades. 
Exemplo 2: O pêndulo simples. Considerando o pêndulo apresentado na figura abaixo: 
 
Figura 2 - Pêndulo simples. Fazendo a decomposição da força peso, facilmente duas componentes são encontradas. Uma delas é responsável por tracionar o “fio” neste pêndulo, sendo chamada de componente radial. A outra componente da força peso, chamada de componente transversal, é responsável por produzir um torque no ponto 0. Assim, fazendo o balanço de torque no ponto de engaste: 
𝑇𝑇0 = −[ 𝑚𝑚 𝑔𝑔 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜃𝜃) ]𝐿𝐿 Onde 𝑚𝑚𝑔𝑔 é a força peso. Note que o sinal se faz necessário devido ao fato do torque produzido se opor ao sentido arbitrado para o deslocamento angular 𝜃𝜃 na figura. Utilizando a segunda Lei de Newton, chega-se a 
𝑇𝑇0 = 𝐽𝐽 �̈�𝜃(𝑡𝑡) = −[ 𝑚𝑚 𝑔𝑔 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜃𝜃) ]𝐿𝐿 O momento de inércia da partícula de massa 𝑚𝑚 é 𝐽𝐽 = 𝑚𝑚 𝐿𝐿2 (este momento de inércia varia de acordo com a geometria do sólido, se este for constituído de muitas partículas). Assim: 
𝑚𝑚 𝐿𝐿2 �̈�𝜃(𝑡𝑡) = −[ 𝑚𝑚 𝑔𝑔 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜃𝜃) ]𝐿𝐿 Simplificando a equação, considerando que nenhuma força externa é aplicada, chega-se na equação que descreve o sistema. 
�̈�𝜃(𝑡𝑡) + 𝑔𝑔
𝐿𝐿
 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜃𝜃) = 0 (2) Perceba que a equação resultante não é linear. Isso ocorre com a grande maioria dos sistemas2 quando consideramos grandes sinais (sinais com amplitude elevada). É possível, porém, mediante restrições e técnicas específicas, linearizar tais sistemas. Por exemplo, para valores pequenos de deslocamento angular 𝜃𝜃 é possível considerar que 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜃𝜃) = 𝜃𝜃. Perceba que esta aproximação só é válida para valores pequenos de deslocamento angular. Assim, pode-se simplificar (2) chegando a: 
2 A maioria dos elementos reais que compõe os sistemas apresentará algum tipo de não linearidade. Resistores não são totalmente Ohmicos, indutores saturam, molas estão sujeitas ao limite de tração ou compressão dos materiais, etc. 
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�̈�𝜃(𝑡𝑡) + 𝑔𝑔
𝐿𝐿
 𝜃𝜃(𝑡𝑡) = 0 (3) O sistema, sujeito a um deslocamento angular inicial e/ou a uma velocidade angular inicial irá responder aproximadamente segundo a equação apresentada. O sistema modelado por (3) é linear e pode, portanto, ser solucionado pelas técnicas clássicas ou inclusive utilizando a transformada de Laplace. Nota-se também que o modelo não assume nenhum sinal de entrada, apenas condições iniciais. 
Exemplo 3: Sistema massa-mola-amortecedor Considere o sistema mecânico abaixo, onde uma massa é sustentada por um conjunto mola-amortecedor e está sujeito a uma força 𝑓𝑓(𝑡𝑡). O balanço de forças sobre a massa também é apresentado na figura. 
 
Figura 3 - Sistema Massa-mola-amortecedor. Considerando apenas o deslocamento estático, ou seja, considerando que a mola equilibra a força peso (𝑚𝑚𝑔𝑔),é possível descrever matematicamente o comportamento deste sistema através da equação abaixo: 
𝑚𝑚�̈�𝑦(𝑡𝑡) + 𝑏𝑏�̇�𝑦(𝑡𝑡) + 𝑘𝑘𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑡𝑡) (4) 
Exemplo 4: Modelo do Motor CC simplificado A Figura 4 apresenta o esquema de uma máquina CC genérica e, na direita, seu símbolo esquemático. 
 
Figura 4 - Máquina CC. O enrolamento de campo se encontra no estator (parte fixa) da máquina, e é responsável pela produção de um campo magnético. Em máquinas de baixa potência, é comum o uso de imãs permanentes para a produção deste campo magnético. Quando uma corrente elétrica percorre o enrolamento de armadura – localizado no rotor da máquina – um torque mecânico é produzido no eixo da máquina, e a máquina opera como um motor. 
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De maneira similar, ao aplicarmos um torque mecânico no eixo da máquina, as espiras do enrolamento de armadura sofrerão variação de fluxo magnético, e uma tensão elétrica é induzida nos terminais da armadura, e a máquina opera como gerador. Todos estes conceitos serão abordados na disciplina de conversão eletromecânica de energia. Quando o enrolamento de campo é excitado por uma fonte contínua, um modelo simplificado, similar ao modelo do motor ou gerador a imã permanente pode ser obtido. A Figura 5 apresenta um diagrama esquemático que será utilizado para modelar a máquina CC operando como motor, ou seja, produzindo um torque quando uma tensão é aplicada aos seus terminais de armadura. Considera-se, para tanto, que o campo magnético não sofre alterações. 
 
Figura 5 - Modelo do Motor CC. O circuito elétrico apresentado na Figura 5 modela o enrolamento de armadura (rotor) do motor. A resistência R é a resistência Ôhmica do fio e a indutância L é a indutância da armadura. Quando uma tensão é aplicada aos terminais da máquina 𝑠𝑠𝑎𝑎(𝑡𝑡), a corrente 𝑑𝑑(𝑡𝑡) flui pela armadura do motor, produzindo um torque 𝑇𝑇(𝑡𝑡) no eixo da máquina, e a máquina começa a girar. Uma tensão é induzida no rotor da máquina pela variação do fluxo experimentada pelas espiras no rotor. Esta tensão é chamada de força contra-eletromotriz, representada por 𝑠𝑠(𝑡𝑡) no circuito da Figura 5. O eixo da máquina é modelado pelo sistema mecânico rotacional apresentado no lado esquerdo da Figura 5. Nesse sistema, o momento de inércia 𝐽𝐽 e o torque produzido pelo atrito viscoso 
𝑏𝑏 produzem um toque que deve ser superado pelo torque 𝑇𝑇(𝑡𝑡) produzido pela corrente de armadura. Para modelar este sistema, primeiramente equaciona-se a parte elétrica da máquina, utilizando a Lei de Kirchhoff das malhas: 
−𝑠𝑠𝑎𝑎(𝑡𝑡) + 𝑅𝑅 𝑑𝑑(𝑡𝑡) + 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 0 ∴ 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑅𝑅 𝑑𝑑(𝑡𝑡) + 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝑠𝑠𝑎𝑎(𝑡𝑡) (5) Para a parte mecânica, deve-se fazer o balanço de torques no eixo da máquina. Assim, chega-se na equação: 
𝑇𝑇(𝑡𝑡) − 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝜃𝜃(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 𝐽𝐽 𝑑𝑑2𝜃𝜃(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡2 ∴ 𝐽𝐽 𝑑𝑑2𝜃𝜃(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡2 + 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝜃𝜃(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑇𝑇(𝑡𝑡) (6) Reescrevendo (6) em função da velocidade angular 𝜔𝜔(𝑡𝑡), chega-se a: 
𝐽𝐽 𝑑𝑑𝜔𝜔(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
+ 𝑏𝑏 𝜔𝜔(𝑡𝑡) = 𝑇𝑇(𝑡𝑡) (7) Note que o eixo foi considerado rígido, portanto a constante elástica k é nula. A força contra-eletromotriz 𝑠𝑠(𝑡𝑡) se relaciona com a velocidade angular através da equação: 
𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘1𝜙𝜙(𝑡𝑡)𝜔𝜔(𝑡𝑡) (8) 
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Onde 𝜙𝜙(𝑡𝑡) é o fluxo magnético por pólo no rotor. Porém, considera-se que o fluxo é constante, assim, podemos simplificar a equação para: 
𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘𝜔𝜔𝜔𝜔(𝑡𝑡) (9) Da mesma maneira, o torque produzido pela corrente de armadura é: 
𝑇𝑇(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘2𝜙𝜙(𝑡𝑡)𝑑𝑑(𝑡𝑡) (10) E novamente, considerando o fluxo magnético constante: 
𝑇𝑇(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘𝑇𝑇𝑑𝑑(𝑡𝑡) (11) As constantes 𝑘𝑘1 e 𝑘𝑘2 dependem de fatores construtivos da máquina, como número de caminhos na armadura e número de pólos da máquina elétrica. Portanto, são quatro as equações que descrevem a máquina elétrica: 
𝐿𝐿
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
+ 𝑅𝑅 𝑑𝑑(𝑡𝑡) + 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝑠𝑠𝑎𝑎(𝑡𝑡) 
𝐽𝐽 𝑑𝑑𝜔𝜔(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
+ 𝑏𝑏 𝜔𝜔(𝑡𝑡) = 𝑇𝑇(𝑡𝑡) 
𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘𝜔𝜔𝜔𝜔(𝑡𝑡) 
𝑇𝑇(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘𝑇𝑇𝑑𝑑(𝑡𝑡) Neste sistema, normalmente consideramos como entrada a tensão aplicada na armadura. A saída pode ser escolhida de acordo com a aplicação, podendo ser desde o torque até o deslocamento angular. A modelagem de sistemas fluidomecânicos e fluidotérmicos não será abordada neste material, assim, aconselha-se a leitura da bibliografia da disciplina ou de bibliografias específicas para o estudo dessa classe de sistemas. 
 
A TRANSFORMADA DE LAPLACE E A REPRESENTAÇÃO UTILIZANDO 
FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA 
A Transformada de Laplace Como já mencionado na primeira aula, a abordagem utilizada nesta disciplina será por meio da transformada de Laplace. A transformada de Laplace é a representação de sinais utilizando exponenciais complexas na forma 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡 , onde 𝑠𝑠 é chamada freqüência complexa (𝑠𝑠 = 𝜎𝜎 + 𝑗𝑗𝜔𝜔). Note que exponenciais na forma 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡 podem originar senos e/ou cossenos, o que justifica o nome da variável. Esta representação utilizando exponenciais conduz a simplificações na análise de sistemas lineares, pois operações complicadas como derivadas e integrais, quando aplicadas a exponenciais, são facilmente realizadas. Em suma, a transformada de Laplace altera o domínio de análise de maneira a simplificar operações que no domínio do tempo seriam complexas, como é o caso da convolução. Nesta disciplina, utilizaremos apenas a transformada de Laplace unilateral, assim, trabalharemos apenas com sinais causais. A definição da transformada é apresentada em (12). 
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𝐹𝐹(𝑠𝑠) = ℒ{𝑓𝑓(𝑡𝑡)} = � 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑠𝑠−𝑠𝑠𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡∞0 (12) Perceba que a integral é realizada no domínio do tempo, ou seja, ao computarmos a integral, 
𝐹𝐹(𝑠𝑠) não conterá mais a variável t, e restará apenas uma função da variável complexa 𝑠𝑠. A transformada inversa evidencia a representação do sinal temporal como exponenciais complexas. Estude atentamente a equação abaixo: 
𝑓𝑓(𝑡𝑡) = ℒ−1{𝐹𝐹(𝑠𝑠)} = � 𝐹𝐹(𝑠𝑠)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑑𝑑𝑠𝑠𝑐𝑐+𝑗𝑗∞
𝑐𝑐−𝑗𝑗∞
 (13) A constante 𝑐𝑐 deve ser escolhida dentro da RDC3 da transformada. Perceba que, para compor o sinal 𝑓𝑓(𝑡𝑡) é necessário integrar (somar infinitesimalmente) exponenciais complexas, substituindo o valor de 𝑠𝑠 em 𝐹𝐹(𝑠𝑠), ponderando assim a exponencial 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡 com o valor da transformada avaliada quando 𝑠𝑠 = 𝑐𝑐 + 𝑗𝑗𝜔𝜔 com −∞ < 𝜔𝜔 < ∞. Isto seria complicado de imaginar se não fosse nossa compreensão da série de Fourier. A série de Fourier representa sinais através da soma de senoides, as quais podem ser representadas por exponenciais complexas 𝑠𝑠𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡 . A transformada de Laplace faz algo semelhante, porém somando exponenciais 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡 . Lembrando-se disso, admire novamente (12) e (13). São elas nossas mais poderosas ferramentas nesta disciplina. As transformadas de Laplace de várias funções importantes são apresentadas na Tabela 3. 
Tabela 3 - Pares da Transformada de Laplace Unilateral. 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) 𝑋𝑋(𝑠𝑠) 𝑥𝑥(𝑡𝑡) 𝑋𝑋(𝑠𝑠) 
𝛿𝛿(𝑡𝑡) 1 𝑡𝑡𝑠𝑠𝜆𝜆𝑡𝑡 𝑢𝑢(𝑡𝑡) 1(𝑠𝑠 − 𝜆𝜆)2 
𝑢𝑢(𝑡𝑡) 1
𝑠𝑠
 𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝜆𝜆𝑡𝑡𝑢𝑢(𝑡𝑡) 𝑠𝑠!(𝑠𝑠 − 𝜆𝜆)𝑠𝑠+1 
𝑡𝑡𝑠𝑠𝑢𝑢(𝑡𝑡) 𝑠𝑠!
𝑠𝑠𝑠𝑠+1 𝑠𝑠−𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝑏𝑏𝑡𝑡)𝑢𝑢(𝑡𝑡) 𝑠𝑠 + 𝑎𝑎(𝑠𝑠 + 𝑎𝑎)2 + 𝑏𝑏2 
𝑠𝑠𝜆𝜆𝑡𝑡 𝑢𝑢(𝑡𝑡) 1
𝑠𝑠 − 𝜆𝜆
 𝑠𝑠−𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑏𝑏𝑡𝑡)𝑢𝑢(𝑡𝑡) 𝑏𝑏(𝑠𝑠 + 𝑎𝑎)2 + 𝑏𝑏2 A transformada de Laplace é amplamente utilizada para obter a respostade sistemas LTI. Para compreender como a transformada é utilizada na solução e na representação de sistemas, é necessário o estudo de suas propriedades. A Tabela 4 (na próxima página) apresenta as principais propriedades da transformada de Laplace, das quais algumas serão muito utilizadas no decorrer desta disciplina. No processo de obtenção da resposta de sistemas através da transformada de Laplace, atenção especial deve ser dada a duas propriedades: Derivação no Tempo e Integração no Tempo. Estas propriedades são utilizadas e aplicadas às equações diferenciais para torná-las um problema algébrico. Neste passo, tanto a entrada do sistema quanto as condições iniciais são incluídas, o que faz da transformada uma ferramenta prática e eficaz. Para demonstrar como a transformada pode ser utilizada para obter a resposta de um sistema a uma condição inicial, iremos solucionar o problema do pêndulo. 
3 Lembre-se que a região de convergência é a região que garante a existência da transformada de Laplace. Para sinais unilaterais direitos, 𝑐𝑐 deve ser maior do que a parte real de todas as singularidades de 𝐹𝐹(𝑠𝑠). 
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Tabela 4 - Propriedades da Transformada de Laplace. Propriedade 𝑥𝑥(𝑡𝑡) 𝑋𝑋(𝑠𝑠) Superposição (Linearidade e Aditividade) 𝑘𝑘1𝑥𝑥1(𝑡𝑡) + 𝑘𝑘2𝑥𝑥2(𝑡𝑡) 𝑘𝑘1𝑋𝑋1(𝑠𝑠) + 𝑘𝑘2𝑋𝑋2(𝑠𝑠) 
Derivação no tempo 
𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
 𝑠𝑠𝑋𝑋(𝑠𝑠) − 𝑥𝑥(0−) 
𝑑𝑑2𝑥𝑥(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡2 𝑠𝑠2𝑋𝑋(𝑠𝑠) − 𝑠𝑠𝑥𝑥(0−) − �̇�𝑥(0−) 
𝑑𝑑𝑠𝑠𝑥𝑥(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡𝑠𝑠
 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑋𝑋(𝑠𝑠) −�𝑠𝑠𝑠𝑠−𝑘𝑘𝑥𝑥(𝑘𝑘−1)(0−)𝑠𝑠
𝑘𝑘=1 
Integração no tempo � 𝑥𝑥(𝜏𝜏)𝑡𝑡0− 𝑑𝑑𝜏𝜏 1𝑠𝑠 𝑋𝑋(𝑠𝑠) 
� 𝑥𝑥(𝜏𝜏)𝑡𝑡
−∞
𝑑𝑑𝜏𝜏 
1
𝑠𝑠
𝑋𝑋(𝑠𝑠) + 1
𝑠𝑠
� 𝑥𝑥(𝑡𝑡)0−
−∞
𝑑𝑑𝑡𝑡 Deslocamento no Tempo 𝑥𝑥(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡0)𝑢𝑢(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡0) 𝑋𝑋(𝑠𝑠)𝑠𝑠−𝑠𝑠𝑡𝑡0 Deslocamento em Frequência 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑠𝑠𝑠𝑠0𝑡𝑡 𝑋𝑋(𝑠𝑠 − 𝑠𝑠0) Diferenciação na Frequência −𝑡𝑡𝑥𝑥(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑋𝑋(𝑠𝑠)
𝑑𝑑𝑠𝑠
 
Integração em Frequência 𝑥𝑥(𝑡𝑡)
𝑡𝑡
 � 𝑋𝑋(𝑧𝑧)∞
𝑠𝑠
𝑑𝑑𝑧𝑧 
Escalonamento 𝑥𝑥(𝑎𝑎𝑡𝑡), 𝑎𝑎 ≥ 0 1
𝑎𝑎
𝑋𝑋 �𝑠𝑠
𝑎𝑎
� Convolução no Tempo 𝑥𝑥1(𝑡𝑡) ∗ 𝑥𝑥2(𝑡𝑡) 𝑋𝑋1(𝑠𝑠)𝑋𝑋2(𝑠𝑠) Teorema do Valor Inicial 𝑥𝑥(0+) lim
𝑠𝑠→∞
𝑠𝑠𝑋𝑋(𝑠𝑠) Teorema do Valor Final 𝑥𝑥(∞) lim
𝑠𝑠→0 𝑠𝑠𝑋𝑋(𝑠𝑠) Considerando o pêndulo da Figura 2, cuja equação já foi obtida e será apresentada abaixo apenas por conveniência: 
�̈�𝜃(𝑡𝑡) + 𝑔𝑔
𝐿𝐿
 𝜃𝜃(𝑡𝑡) = 0 (14) Supondo 𝑔𝑔 = 10 𝑚𝑚/𝑠𝑠2 e que o fio possui 𝐿𝐿 = 1 𝑚𝑚. O pêndulo é posicionado inicialmente com ângulo de 5°. O procedimento para encontrar a resposta do sistema segue o algoritmo abaixo: 1. Aplica-se a transformada de Laplace à equação, utilizando a propriedade da derivação e/ou integração temporal; 2. Substituem-se as condições iniciais; 3. Isola-se a variável desejada, encontrando assim a transformada de Laplace do sinal; 4. Calcula-se a transformada inversa de Laplace do sinal (utilizando a tabela), ou seja, o sinal no tempo; Para o exemplo, aplicando em (14) a transformada de Laplace, obtém-se: s2Θ(𝑠𝑠) − 𝑠𝑠 𝜃𝜃(0−) − �̇�𝜃(0−) + 𝑔𝑔
𝐿𝐿
 Θ(𝑠𝑠) = 0 (15) Substituindo os valores fornecidos, lembrando que o ângulo inicial é 5°, chega-se a: s2Θ(𝑠𝑠) − 𝑠𝑠 5 + 10 Θ(𝑠𝑠) = 0 (16) 
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Isolando Θ(𝑠𝑠) em (16): 
Θ(𝑠𝑠) = 5 𝑠𝑠s2 + 10 (17) Na Tabela 3 é possível ressaltar: 
𝑠𝑠−𝑎𝑎𝑡𝑡 cos(𝑏𝑏𝑡𝑡) 𝑢𝑢(𝑡𝑡) ⟺ 𝑠𝑠 + 𝑎𝑎(𝑠𝑠 + 𝑎𝑎)2 + 𝑏𝑏2 Fazendo 𝑎𝑎 = 0, têm-se: cos(𝑏𝑏𝑡𝑡) 𝑢𝑢(𝑡𝑡) ⟺ 𝑠𝑠
𝑠𝑠2 + 𝑏𝑏2 (18) Note que com 𝑏𝑏 = √10 em (18) tem-se o mesmo denominador: 
Θ(𝑠𝑠) = 5 𝑠𝑠s2 + 10 = 5 � 𝑠𝑠s2 + b2�𝑏𝑏=√10 = 5 𝑠𝑠s2 + �√10�2 Assim, pode-se concluir que, o deslocamento angular do pêndulo ao longo do tempo, em graus, é descrito pela equação: 
𝜃𝜃(𝑡𝑡) = ℒ−1{Θ(𝑠𝑠)} = 5 cos�√10 𝑡𝑡� 𝑢𝑢(𝑡𝑡) (19) O exemplo realizado levou em consideração que o sistema não possuía nenhuma entrada, ou seja, a resposta calculada foi a resposta à entrada nula. Este não é o caso quando um sistema de controle é estudado. A análise básica de um sistema de controle, como já mencionado, implica em seguimento de referência e em rejeição de distúrbios. Tal estudo é realizado considerando esses sinais como entradas do sistema, e que o sistema inicialmente se encontra em um estado de equilíbrio estável. Assim, sistemas de controle são estudados analisando a resposta ao estado nulo de sistemas. Tal abordagem, utilizando a transformada de Laplace, da origem4 à função de transferência, que sempre é obtida considerando condições iniciais nulas. 
 
 
 
A Função de Transferência A resposta ao estado nulo de um sistema é obtida por meio da convolução entre o sinal de entrada do sistema 𝑥𝑥(𝑡𝑡) e da resposta ao impulso deste sistema ℎ(𝑡𝑡): 
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = ℎ(𝑡𝑡) ∗ 𝑥𝑥(𝑡𝑡) (20) Aplicando a propriedade da convolução, pode-se obter: 
𝑌𝑌(𝑠𝑠) = 𝐻𝐻(𝑠𝑠) ∙ 𝑋𝑋(𝑠𝑠) (21) 
4 A Função de transferência é obtida a partir da resposta ao estado nulo quando a entrada considerada é a exponencial complexa 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡 . A abordagem aqui utilizada é uma definição alternativa. Lembre-se: A função de transferência só existe para sistemas LTI. 
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𝐻𝐻(𝑠𝑠) é chamada de função de transferência do sistema, e pode ser obtida a partir das transformadas da saída 𝑌𝑌(𝑠𝑠) e da entrada do sistema 𝑋𝑋(𝑠𝑠), conforme: 
𝐻𝐻(𝑠𝑠) = 𝑌𝑌(𝑠𝑠)
𝑋𝑋(𝑠𝑠) (22) Assim, para obter a função de transferência de qualquer sistema LTI, basta aplicar a transformada em suas equações diferenciais, considerando condições iniciais nulas, e obter a razão entre a transformada do sinal de saída e a transformada do sinal de entrada do sistema. Note que, devido à aplicação da convolução, a função de transferência atua como uma espécie de ganho 𝐻𝐻(𝑠𝑠) aplicado ao sinal de entrada. Essa abordagem torna a manipulação de sistemas por meio de blocos muito mais fácil. 
 
Figura 6 - Função de transferência como um ganho. A Função de transferência, como o nome dá a entender, contém apenas a informação de transferência da entrada para a saída do sistema, sendo, portanto, uma descrição externa. Como será abordado adiante, modos que foram cancelados internamente não serão percebidos quando da análise entrada-saída do sistema. Ponto importante a salientar é que a função de transferência de um sistema é a transformada de Laplace de sua resposta impulsiva, ℎ(𝑡𝑡). Note que a função de transferência é uma representação de um sinal no domínio da freqüência, utilizando uma função de variável complexa (𝑠𝑠 = 𝜎𝜎 + 𝑗𝑗𝜔𝜔). Em outras palavras, a função de transferência é uma função de variável complexa, onde tanto domínio quanto imagem da função pertencem ao conjunto dos números complexos. Portanto, ao avaliar qualquer ponto 𝑠𝑠 da função, tenha consciência de que o resultado será um número complexo, podendo ser representado utilizando qualquer representação de números complexos5. Esses conceitos são fundamentais, principalmente no terço final da disciplina. Para exemplificar a obtenção da função de transferência, será retomado o exemplo do motor CC cujas equações já são conhecidas: 
𝐿𝐿
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
+ 𝑅𝑅 𝑑𝑑(𝑡𝑡) + 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝑠𝑠𝑎𝑎(𝑡𝑡) 
𝐽𝐽 𝑑𝑑𝜔𝜔(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
+ 𝑏𝑏 𝜔𝜔(𝑡𝑡) = 𝑇𝑇(𝑡𝑡) 
𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘𝜔𝜔𝜔𝜔(𝑡𝑡) 
𝑇𝑇(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘𝑇𝑇𝑑𝑑(𝑡𝑡) 
5 Pode-se separar a parte real e a parte imaginaria as funções de transferência, bem como obter seu módulo e sua fase (representaçãopolar). Porem, tanto parte real quanto imaginária, além de módulo e fase da função de transferência também serão funções da variável complexa σ+jω. 
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Deseja-se obter a relação entre a tensão de armadura 𝑠𝑠𝑎𝑎(𝑡𝑡) e a velocidade angular do eixo dessa máquina 𝜔𝜔(𝑡𝑡). Assim, a função de transferência desejada é Ω(𝑠𝑠)
𝐸𝐸𝑎𝑎 (𝑠𝑠). Primeiro aplicamos a transformada de Laplace às EDOs considerando condições iniciais nulas. 
𝑠𝑠𝐿𝐿 𝐼𝐼(𝑠𝑠) + 𝑅𝑅 𝐼𝐼(𝑠𝑠) + 𝐸𝐸(𝑠𝑠) = 𝐸𝐸𝑎𝑎(𝑠𝑠) ∴ (𝑠𝑠𝐿𝐿 + 𝑅𝑅)𝐼𝐼(𝑠𝑠) + 𝐸𝐸(𝑠𝑠) = 𝐸𝐸𝑎𝑎(𝑠𝑠) 
𝑠𝑠𝐽𝐽 Ω(𝑠𝑠) + 𝑏𝑏 Ω(𝑠𝑠) = 𝑇𝑇(𝑠𝑠) ∴ (𝑠𝑠𝐽𝐽 + 𝑏𝑏)Ω(𝑠𝑠) = 𝑇𝑇(𝑠𝑠) 
𝐸𝐸(𝑠𝑠) = 𝑘𝑘𝜔𝜔Ω(𝑠𝑠) 
𝑇𝑇(𝑠𝑠) = 𝑘𝑘𝑇𝑇𝐼𝐼(𝑠𝑠) Substituindo a equação da força contra-eletromotriz e a equação do torque nas duas primeiras equações: (𝑠𝑠𝐿𝐿 + 𝑅𝑅)𝐼𝐼(𝑠𝑠) + 𝑘𝑘𝜔𝜔Ω(𝑠𝑠) = 𝐸𝐸𝑎𝑎(𝑠𝑠) (𝑠𝑠𝐽𝐽 + 𝑏𝑏)Ω(𝑠𝑠) = 𝑘𝑘𝑇𝑇𝐼𝐼(𝑠𝑠) Isolando 𝐼𝐼(𝑠𝑠) na segunda e substituindo na primeira equação chega-se a: (𝑠𝑠𝐿𝐿 + 𝑅𝑅) (𝑠𝑠𝐽𝐽 + 𝑏𝑏)Ω(𝑠𝑠)
𝑘𝑘𝑇𝑇
+ 𝑘𝑘𝜔𝜔Ω(𝑠𝑠) = 𝐸𝐸𝑎𝑎(𝑠𝑠) Isolando-se Ω(𝑠𝑠) e realizando a razão, chega-se na função de transferência desejada. 
Ω(𝑠𝑠)
𝐸𝐸𝑎𝑎(𝑠𝑠) = 𝑘𝑘𝑇𝑇(𝑠𝑠𝐿𝐿 + 𝑅𝑅)(𝑠𝑠𝐽𝐽 + 𝑏𝑏) + 𝑘𝑘𝑇𝑇𝑘𝑘𝜔𝜔 A partir de agora, praticamente todos os sistemas serão descritos por meio de funções de transferência, uma vez que se deseja estudar a resposta reativa dos sistemas de controle e sua resposta em regime permanente. 
Polos e Zeros de uma Função de Transferência As propriedades da derivação no tempo e da integração no tempo, quando aplicadas às EDOs que modelam sistemas, irão produzir sinais multiplicados pela variável complexa 𝑠𝑠. Desta maneira, as funções de transferência de sistemas usualmente serão razões de polinômios em função de 𝑠𝑠. Considerando a EDO genérica de terceira ordem: 
𝑦𝑦(𝑡𝑡) + 𝑎𝑎1�̈�𝑦(𝑡𝑡) + 𝑎𝑎2�̇�𝑦(𝑡𝑡) + 𝑎𝑎3𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑏𝑏0𝑥𝑥(𝑡𝑡) + 𝑏𝑏1�̈�𝑥(𝑡𝑡) + 𝑏𝑏2�̇�𝑥(𝑡𝑡) + 𝑏𝑏3𝑥𝑥(𝑡𝑡) (23) Aplicando a transformada de Laplace em (23): 
𝑠𝑠3𝑌𝑌(𝑠𝑠) + 𝑎𝑎1𝑠𝑠2𝑌𝑌(𝑠𝑠) + 𝑎𝑎2𝑠𝑠𝑌𝑌(𝑠𝑠) + 𝑎𝑎3𝑌𝑌(𝑠𝑠) = 𝑏𝑏0𝑠𝑠3𝑋𝑋(𝑠𝑠) + 𝑏𝑏1𝑠𝑠2𝑋𝑋(𝑠𝑠) + 𝑏𝑏2𝑠𝑠𝑋𝑋(𝑠𝑠) + 𝑏𝑏3𝑋𝑋(𝑠𝑠) Isolando as variáveis de entrada e saída: (𝑠𝑠3 + 𝑎𝑎1𝑠𝑠2 + 𝑎𝑎2𝑠𝑠 + 𝑎𝑎3)𝑌𝑌(𝑠𝑠) = (𝑏𝑏0𝑠𝑠3 + 𝑏𝑏1𝑠𝑠2 + 𝑏𝑏2𝑠𝑠 + 𝑏𝑏3)𝑋𝑋(𝑠𝑠) Assim, a função de transferência do sistema é: 
𝐺𝐺(𝑠𝑠) = 𝑌𝑌(𝑠𝑠)
𝑋𝑋(𝑠𝑠) = 𝑏𝑏0𝑠𝑠3 + 𝑏𝑏1𝑠𝑠2 + 𝑏𝑏2𝑠𝑠 + 𝑏𝑏3𝑠𝑠3 + 𝑎𝑎1𝑠𝑠2 + 𝑎𝑎2𝑠𝑠 + 𝑎𝑎3 = 𝑃𝑃(𝑠𝑠)𝑄𝑄(𝑠𝑠) Não havendo cancelamentos entre 𝑃𝑃(𝑠𝑠) e 𝑄𝑄(𝑠𝑠), o grau do polinômio 𝑃𝑃(𝑠𝑠) coincidirá com o grau da mais alta derivada em relação à entrada do sistema, enquanto o grau do polinômio 𝑄𝑄(𝑠𝑠) coincidirá 
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12 A TRANSFORMADA DE LAPLACE E MODELAGEM DE SISTEMAS 
com a mais alta derivada em relação à saída do sistema. Perceba que os coeficientes dos polinômios 
𝑃𝑃(𝑠𝑠) e 𝑄𝑄(𝑠𝑠) coincidem com os coeficientes que multiplicam as derivadas EDO. A diferença entre o grau do denominador (𝑁𝑁) e o grau do numerador (𝑀𝑀) é chamado de grau relativo do sistema (𝑁𝑁 −𝑀𝑀). Apenas sistemas com grau relativo zero ou maior serão estudados. Os motivos serão abordados mais adiante. Como já mencionado, as funções de transferência são funções de variável complexa. Assim, a variável s pode assumir matematicamente6 qualquer valor no plano 𝑠𝑠. Existem pontos, porém, em que o módulo da função assume valores singulares (zero ou infinito). Tais pontos recebem nomenclaturas específicas: 
 Pontos do plano complexo 𝑠𝑠 para os quais o módulo da função de transferência tende a zero são chamados de zeros da função de transferência. 
 Pontos do plano complexo 𝑠𝑠 para os quais o módulo da função de transferência tende ao infinito são conhecidos como polos da função de transferência. Os polos e zeros finitos do sistema coincidem com as raízes de 𝑄𝑄(𝑠𝑠) e de 𝑃𝑃(𝑠𝑠), respectivamente, mas vale lembrar que a função normalmente possui também zeros no infinito. O grau relativo, definido anteriormente, coincide com a diferença entre o número de polos (N) e o número de zeros finitos do sistema (M). Por exemplo, a função de transferência: 
𝐺𝐺(𝑠𝑠) = 𝑠𝑠 + 2
𝑠𝑠2 + 4𝑠𝑠 + 3 (24) Possui dois polos finitos (−3 e −1) e um zero finito (−2), assim, o grau relativo do sistema é 2 − 1 = 1. Observe que quando 𝑠𝑠 → ∞, o módulo da função tende a zero, então, existe um zero no infinito. A partir desse ponto nos materiais da disciplina, caso não for explicitado o contrário, apenas serão considerados e polos finitos do sistema. Os polinômios que compõe o sistema podem ser fatorados em suas raízes. Isto evidencia a localização das raízes. 
𝐺𝐺(𝑠𝑠) = 𝑠𝑠 + 2(𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 3) (25) Como será abordado nas próximas aulas, os polos do sistema normalmente coincidem com os autovalores do sistema. Em outras palavras, os polos originam os modos (exponenciais) que caracterizam a resposta de cada sistema. Assim, o conhecimento de sua localização é de suma importância na análise da resposta desses sistemas. Os zeros também influenciam no formato da resposta, pois influem nos coeficientes que multiplicam os modos da resposta. A obtenção e estudo da resposta de sistemas LTI serão conteúdos abordados nas próximas aulas. Perceba que os zeros do sistema denotam derivadas em relação à entrada, enquanto os polos carregam consigo o efeito das derivadas em relação à saída do sistema. Pode parecer estranho em um 
6 Vale lembrar que para pontos de 𝑠𝑠 fora da região de convergência, a integral que define a transformada não converge, ou seja, a transformada não é definida. Porém, matematicamente ainda é possível calcular o valor da função de transferência para qualquer ponto do plano 𝑠𝑠. 
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13 A TRANSFORMADA DE LAPLACE E MODELAGEM DE SISTEMAS 
primeiro momento, mas uma derivada em relação à saída equivale a uma integral em relação à entrada. Para exemplificar isso, considere o sistema abaixo: 
�̇�𝑦(𝑡𝑡) = 𝑏𝑏1𝑥𝑥(𝑡𝑡) (26) Esse sistema possui a importante função de transferência: 
𝑌𝑌(𝑠𝑠)
𝑋𝑋(𝑠𝑠) = 𝑏𝑏1𝑠𝑠 (27) Note que o sistema possui um polo na origem (fazendo 𝑠𝑠 = 0, a função tende ao infinito), e nenhum zero. O grau relativo é 1 (um). Trata-se de um integrador. Isto é facilmente verificado integrando-se indefinidamente ambos os lados da equação (27): 
��̇�𝑦(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑏𝑏1 �𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 ∴ 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑏𝑏1 �𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 (28) Isso é reiterado pela função de transferência obtida, equivalente à propriedade da integração. Importante salientar a razão em se trabalhar apenas com sistemas com grau relativo maior ou igual a zero (mais polos do que zeros na função de transferência). Sistemas que possuem grau relativo negativo possuem derivadas de mais alto grau em relação à entrada. Isso irá originar um sistema com característica derivativa, o que é indesejado em aplicações práticas, pois: 
 Derivadores não são estáveis no sentido BIBO7; 
 Derivadores amplificam ruído (note que um derivador reage a variações abruptas de maneira violenta) 
Diagrama de Polos e Zeros A representação gráfica da localização dos polos e dos zeros de sistemas é conhecida como diagrama de polos e zeros. Nesse diagrama, os polos são apresentados pelo símbolo x, enquanto os zeros são denotados por círculos, conforme o exemplo apresentado na Figura 7. 
 
Figura 7 - Diagrama de polos e zeros. O sistema apresentado possui três polos (−1 ± 𝑗𝑗3 e −3) e dois zeros (-2 e -4). Assim sendo, o sistema possui grau relativo 1 (um). Na próxima aula, a representaçãográfica de sistemas utilizando diagramas de bloco será abordada. 
7 A estabilidade BIBO será estudada mais adiante, mas o termo tem origem no inglês: Bounded Input, Bounded Output (Entrada Limitada, Saída Limitada). Isto significa que derivadores podem apresentar saídas ilimitadas quando excitados por entradas limitadas. Isto na prática provavelmente irá produzir saturação do sistema. 
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14 A TRANSFORMADA DE LAPLACE E MODELAGEM DE SISTEMAS 
EXERCÍCIOS 
Exercício 1: Obtenha a função de transferência 𝒀𝒀(𝒔𝒔)
𝑭𝑭(𝒔𝒔) para o sistema mecânico da Figura 3. Qual seu grau relativo? Obtenha a localização dos polos em função dos parâmetros 𝒎𝒎, 𝒃𝒃 e 𝒌𝒌. 
Exercício 2: Para o motor CC, obtenha as funções de transferência 𝚯𝚯(𝐬𝐬)
𝐄𝐄𝐚𝐚(𝐬𝐬) e 𝐓𝐓(𝐬𝐬)𝐄𝐄𝐚𝐚(𝐬𝐬). 
Exercício 3: Para o sistema �̈�𝒚(𝒕𝒕) + 𝟐𝟐�̇�𝒚(𝒕𝒕) + 𝟐𝟐𝒚𝒚(𝒕𝒕) = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏(𝒕𝒕). Considerando como entrada 𝟏𝟏(𝒕𝒕) e como saída 𝐲𝐲(𝐭𝐭). Obtenha sua função de transferência. 
Exercício 4: Para o sistema do exercício anterior, obtenha a resposta quando a entrada 𝟏𝟏(𝒕𝒕) for um degrau unitário. Revise a técnica das frações parciais. 
Exercício 5: Para o circuito da Figura 1, obtenha a função de transferência 𝑽𝑽𝒐𝒐(𝒔𝒔)
𝑽𝑽𝟏𝟏(𝒔𝒔). Após, calcule a resposta do circuito à entrada causal 𝒗𝒗𝟏𝟏(𝒕𝒕) = 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔(𝟏𝟏𝟏𝟏𝒕𝒕) 𝒖𝒖(𝒕𝒕). 
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