2018824 183127 Lista2eletricidademag

Prévia do material em texto

1
2a Lista de Exercícios
Potencial Elétrico - Capacitores e Dielétricos
- Corrente elétrica e Resistência - Força
eletromotriz e circuitos de corrente contínua
1. Em um relâmpago típico, a diferença de potencial
entre os pontos de descarga corona é cerca de 109V
e a quantidade de carga transferida é cerca de 30C.
(a) Quanta energia é liberada? (b) Se toda a energia
que foi liberada pudesse ser usada para acelerar um
carro de 1000kg que partiu do repouso, qual seria
sua velocidade final? (c) Que quantidade de gelo a
0oC seria possível derreter se toda a energia liberada
pudesse ser usada para esse fim? O calor de fusão do
gelo é 3, 3× 105J/kg.
2. O campo elétrico no interior de uma esfera não
condutora de raio R está radialmente direcionado e
tem módulo dado por E = Kqr/R3, onde q é a carga
total da esfera (que é uniformemente distribuída) e
r é a distância ao centro. (a) Determine o potencial
V (r), supondo que V = 0 no centro da esfera. (b)
Qual é a diferença de potencial elétrico entre um
ponto situado na superfície da esfera e um no centro
da esfera? Sendo q positivo, qual deles está no
potencial mais alto?
3. Considere dois pontos A e B e uma carga pontual
q de 1µC. Calcule a diferença de potencial entre esses
pontos nas duas situações (a) e (b) da figura 1. Você
esperava esses resultados? Por quê?
A Bq
2m1m (a)
A
B
q
2m
1m
(b)
Figura 1: Exercício 3.
4. Considere uma carga pontual de 15nC. Detemine
o raio da equipotencial que tem um potencial de
30V . Estão igualmente espaçadas as superfícies cujos
potenciais diferem de uma quantidade constante?
5. Usando V =
∫
kdq/r, calcule o potencial elétrico
criado por um anel carregado, de raio R, num ponto
ao longo do eixo que passa pelo centro do anel.
A partir dessa expressão para o potencial, ache a
componente do campo elétrico nessa direção.
6. Uma carga pontual q1 = +6e é mantida fixa na
origem de um sistema de coordenadas retangular; uma
segunda carga pontual q2 = −10e é mantida fixa no
ponto x = 8, 6nm e y = 0. Mostre que o lugar dos
pontos no plano xy para os quais V = 0 (além do
infinito) é uma circunferência com centro no eixo x,
como mostrado na figura 2. Determine a posição xc
do centro e o raio R da circunferência. A interseção
da superfície equipotencial de 5, 0V com o plano xy
também é uma circunferência?
Figura 2: Exercício 6.
7. Duas grandes placas de metal, paralelas entre si e
afastadas por uma distância igual a 1, 5cm, possuem
cargas iguais e de sinais contrários sobre suas super-
fícies. A placa carregada negativamente está ligada
a Terra e seu potencial é tomado como zero. Se o
potencial no meio da distância entre as placas for
igual a 5, 0V , qual será o campo elétrico nesta região?
8. Seja λ a carga por unidade de comprimento dis-
tribuída uniformemente ao longo de um segmento de
reta de comprimento L. Determine o potencial no
ponto P da figura 3. Use esse resultado para calcular
o componente do campo elétrico nessa direção.
L s
Pλ
Figura 3: Exercício 8.
9. (a) Determine a expressão VAB = VA − VB para
a situação descrita na figura 4. (b) Verifique se o re-
sultado obtido se reduz aos valores esperados quando
d = 0; a = 0; q = 0.
a d a
q −qA B
Figura 4: Exercício 9.
10. Duas cargas de 2µC estão fixas no espaço e sepa-
radas pela distância de 2cm, como indicado na figura
5. (a) Qual o valor do potencial elétrico no ponto
C? (b) traga uma terceira carga de 2µC, lentamente,
desde o infinito até o ponto C. Quanto trabalho deve
ser realizado para isto? (c) Qual a energia potencial
da configuração quando a terceira carga está no ponto
C?
11. No retângulo da figura 6, os lados têm 5, 0cm e
15, 0cm de comprimento, enquanto que as cargas va-
lem q1 = −5, 0µC e q2 = 2, 0µC. (a) Qual o valor do
potencial elétrico nos pontos A e B? (b) Que traba-
lho é necessário para se mover uma terceira carga de
3, 0µC do ponto B ao ponto A ao longo da diagonal
do retângulo?
2
d/2
C
q q
d/2 d/2
Figura 5: Exercício 10.
q1 A
B q2
Figura 6: Exercício 11.
12. Uma partícula de carga q é mantida fixa num
ponto P e uma segunda partícula de massa m com
mesma carga q, está inicialmente em repouso a uma
distância r1 de P . A segunda partícula é, então,
liberada sendo repelida pela primeira. Determine a
sua velocidade no instante em que ela se encontra
a uma distância r2 de P . Dados: q = 3, 1µC;
m = 20mg; r1 = 0, 90mm; r2 = 2, 5mm.
13. Considere duas esferas condutoras separadas, 1 e
2, sendo que a segunda tem o dobro do diâmetro da
primeira. Inicialmente, a esfera menor tem uma carga
positiva q, e a maior está descarregada. Vamos supor
que as esferas sejam ligadas por um fio fino e muito
comprido. (a) Qual é o valor do potencial de cada es-
fera? (b) Determine as cargas finais sobre cada esfera.
14. Um campo elétrico uniforme de magnitude
250V/m está na direção x poitiva. Uma carga
de 12µC se desloca da origem para o ponto
(x, y) = (10cm, 50cm). Calcule a variação na energia
potencial desse sistema carga-campo e a diferença de
potencial na qual a carga se desloca.
15. O potencial numa região entre x = 0m e
x = 6m é dado por V = a + bx, onde a = 10, 0V e
b = −7, 0V/m. Dertermine o potencial em x = 0, 3m
e 6m. Determine também a magnitude do campo
elétrico nestes três pontos.
16. As três cargas da figura 7 estão nos vértices de
um triângulo isósceles. Calcule o potencial elétrico
no ponto médio da base, considerendo q = 7, 0µC.
−q −q
q
4cm
2cm
Figura 7: Exercício 16.
17. Um condutor esférico tem um raio de 14, 0cm e a
carga de 26µC. Calcule o campo elétrico e o potencial
elétrico em r = 10, 0cm, r = 20cm e r = 14cm a
partir do centro da esfera.
18. Usando V =
∫
kdq/r, (a) calcule o potencial
elétrico criado por um disco carregado, de raio R,
num ponto ao longo do eixo que passa pelo centro
do disco. A partir dessa expressão para o potencial,
ache a componente do campo elétrico nessa direção.
Compare o valor do campo com o valor obtido por
integração direta. (b) Refaça os cálculos supondo
que o disco esteja carregado com uma distribuição
não uniforme dada por σ = 5ρ em µC/m2, onde ρ é a
distância de um elemento de carga sobre o disco até
o centro do disco.
19. Um capacitor de placas paralelas possui placas
circulares de raio igual a 8, 2cm e separação de
1, 3mm. (a) Determine sua capacitância. (b) Se
aplicarmos uma diferença de potencial de 120V , qual
será o valor da carga que surgirá sobre as placas?
20. A placa e o catodo de um diodo a vácuo têm a
forma de dois cilindros concêntricos, com o catodo
ocupando o cilindro central. O diâmetro do catodo
é igual a 1, 6mm e o da placa mede 18mm, sendo o
comprimento de ambos os elementos igual a 2, 4cm.
Calcule a capacitância do diodo.
21. Um capacitor de 6, 0µF está ligado em série
com outro capacitor de 4, 0µF . Uma diferença de
potencial de 200V é aplicada a combinação. (a)
Calcule a capacitância equivalente. (b) Qual o valor
da carga sobre cada capacitor? (c) Determine a di-
ferença de potencial entre as placas de cada capacitor.
22. Resolva o problema anterior considerando que os
capacitores sejam ligados em paralelo.
23. (a) Três capacitores são ligados em paralelo.
Cada um deles possue placas de área A e separação
d entre as placas. Calcule a distância entre as placas
de um único capacitor com placa de área A, se a sua
capacitância for igual a da combinação paralela. (b)
Qual será a distância se os três capacitores estiverem
ligados em série?
24. Um capacitor de 100pF é carregado até atingir
uma diferença de potencial de 50V , mas, logo após,
a bateria que o carregou é retirada. O capacitor é,
então, ligado em paralelo com um segundo capacitor
que, inicialmente, está descarregado. Se a diferença
de potencial cair para 35V , qual será a capacitância
do segundo capacitor?
25. Quando giramos a chave S da figura 8 para aesquerda, as placas do capacitor C1 adquirem uma
diferença de potencial Vo. Inicialmente, C2 e C3 es-
tão descarregados. A chave S é, agora, girada para
a direita. Quais os valores das cargas finais sobre os
capacitores correspondentes?
3
Vo
C1 C3
C2
S
Figura 8: Exercício 25.
26. Um determinado capacitor é submetido a um
potencial V . Havendo um aumento de 10% na
energia armazenada, qual a porcentagem de aumento
no potencial V ?
27. Um capacitor é carregado até que a sua energia
armazenada seja igual a 4, 0J . Um segundo capacitor
descarregado é, então, ligado ao primeiro em paralelo.
(a) Se a carga se distribuir igualmente, qual será a
energia total acumulada nos campos elétricos? (b)
Para onde foi o restante da energia?
28. Uma certa substância possui uma constante
dielétrica de valor 2, 8 e uma rigidez dielétrica de
18MV/m. Se usarmos essa substância como material
dielétrico a ser introduzido num capacitor de placas
paralelas, qual será a área mínima que as placas do
capacitor devem ter para que a sua capacitância seja
de 7, 0 × 10−2µF e para que o capacitor seja ca-
paz de resistir a uma diferença de potencial de 4, 0kV ?
29. Uma placa de cobre de espessura b é introduzida
exatamente no meio e entre as placas de um capa-
citor de placas planas e paralelas como é mostrado
na figura 9. (a) Qual o valor da capacitância depois
da introdução da placa de cobre? (b) Se a carga for
mantida entre as placas, calcule a razão da energia ar-
mazenada antes e depois da introdução da placa. (c)
Quanto trabalho é realizado sobre a placa quando esta
é introduzida?
d bCOBRE
Figura 9: Exercício 29.
30. Um capacitor de placas paralelas contém dois di-
elétricos diferentes, como mostrado na figura 10, cada
um ocupando metade da separação entre as placas.
Mostre que o valor de sua capacitância é dado por
C = 2εoAd
(
k1k2
k1+k2
)
.
k1
k2
A
d
Figura 10: Exercício 30.
31. Um campo elétrico uniforme de magnitude
3000V/m existe dentro de uma certa região. Que
volume de espaço contém uma energia total igual a
1, 0× 10−7J?
32. (a) Quanta carga pode ser colocada em um ca-
pacitor com ar entre as placas antes que ele sofra um
rompimento dielétrico se a área da placa é 5, 0cm2?
(b) Encontre a carga máxima se o poliestireno for
utilizado entre as placas em vez do ar.
33. Uma corrente de 5, 0A percorre um resistor de
10Ω durante o tempo de 4, 0min. Quantos coulombs e
quantos elétrons passam através da seção transversal
do resistor durante este intervalo de tempo?
34. Considere uma esfera condutora isolada de 10cm
de raio. Um fio transporta para dentro dela uma cor-
rente de 1, 0000020A. Um outro fio transporta uma
corrente de 1, 0000000A para fora da esfera. Quanto
tempo levaria para a esfera sofrer um aumento de
1000V no potencial?
35. (a) A densidade de corrente por unidade de
área que atravessa um condutor cilíndrico de raio R
varia de acordo com a equação J = Jo (1− r/R),
onde r é a distância a partir do eixo central. Desse
modo, a densidade de corrente Jo é máxima no eixo
r = 0 e descresce linearmente para zero na superfície
r = R. Calcule a corrente em termos de Jo e da área
da seção transversal do condutor A. (b) Suponha
agora que a densidade de corrente é máxima na
superfície e decresce linearmente para zero no eixo,
assim J = Jor/R. Calcule a corrente.
36. Um fio condutor tem um diâmetro de 1, 0mm,
um comprimento de 2, 0m e uma resistência de 50mΩ.
Qual é a resistividade do mateiral?
37. Um condutor, cuja extensão é de 4m e cujo
diâmetro é 6mm, tem uma resistência de 15mΩ. Se
uma d.d.p. de 23V for aplicada em suas extre-
midades, qual será a corrente através do condutor
e a densidade de corrente? Você pode identificar o
material do qual este condutor é feito?
38. Um fio de nicromo (liga níquel-cromo-ferro)
tem 1, 0m de comprimento e 1, 0mm2 de área de
seção transversal. Ao aplicarmos uma d.d.p. de
2, 0V entre as suas extremidades, ele transporta uma
corrente de 4, 0A. Sendo a condutividade de um
material definida como o inverso de sua resistividade,
calcule a condutividade do nicromo.
4
39. Dois condutores são feitos do mesmo material e
têm o mesmo comprimento. O condutor A é sólido
e tem 1, 0mm de diâmetro. O condutor B é um
tubo oco de diâmetro interno de 1, 0mm e diâmetro
externo de 2, 0mm. Quanto vale a razão entre as
resistências medidas entre as suas extremidades?
40. Uma barra de alumínio quadrada tem 1, 3m
de comprimento e 5, 2mm de aresta. (a) Calcule a
resistência entre as duas extermidades. (b) Qual
deverá ser o diâmetro de uma barra de cobre circular
com 1, 3m de comprimento, se a resistência das barras
for a mesma?
41. Um cabo elétrico consiste em 125 fios de um
condutor delgado, sendo que cada um tem uma
resistência de 2, 65µΩ. A mesma d.d.p. é aplicada
entre as extremidades de cada fio e resulta numa
corrente total de 0, 75A. (a) Calcule a corrente
em cada fio. (b) Determine a diferença de poten-
cial que foi aplicada. (c) Qual é a resistência do cabo?
42. Quando uma d.d.p. de 115V é aplicada através
de um condutor cujo comprimento mede 10m e cujo
raio é de 0, 30mm, a densidade de corrente é igual
a 1, 4 × 104A/m2. Determine a resistividade do
condutor.
43. Um estudante pegou seu rádio portátil de 9, 0V
e 7, 0W e o deixou ligado das 9h às 14h. Que
quantidade de carga passou através dele?
44. Um resistor cilíndrico, de raio igual a 5, 0mm e
de comprimento igual a 2, 0cm é feito de um material
cuja resisitividade é de 3, 5 × 10−5Ωm. Quais são
a densidade de corrente e a diferença de potencial
quando a potência dissipada é de 1, 0W?
45. Uma esfera pequena que tem uma carga q gira
em um círculo na extremidade de um fio isolante. A
freqüência angular de rotação é ω. Qual é a corrente
média representada por esta carga em rotação?
46. A quantidade de carga que atravessa uma
superfície de área 2, 00cm2 varia no tempo de acordo
com q = 4t3 + 5t + 6, com t em segundos e q em
coulomb. Calcule a corrente e a densidade de corrente
através desta área no instantne de tempo de 1, 0s.
47. Suponha que a corrente num condutor diminua
exponencialmente com o tempo de acordo com a
equação I(t) = Ioe
−t/τ , onde Io é a condição inicial
e τ é uma constante com dimensões de tempo.
Considere um ponto de observação fixo dentro do
condutor. (a) Quanta carga passa por este ponto
entre t = 0 e t = τ? (b) E entre t = 0 e t = 10τ? (c)
Quanta carga deve ter passado se esperarmos t→∞?
48. Uma d.d.p. de 0, 9V é mantida em um fio
de tungstênio de 1, 50m de comprimento que tem
uma área de seção transversal de 0, 6mm2. Qual é a
corrente no fio?
49. Uma certa torradeira tem um elemento aquecedor
feito de um fio de resistência de nicromo. Quando
a torradeira é ligada primeiramente a 120V (e o fio
está a uma temperatura de 20oC), a corrente inicial
é de 1, 80A. Contudo, a corrente começa a diminuir
à medida que o elemento resistivo se aquece. Quando
a torradeira atinge uma temperatura operacional
final, a corrente caiu para 1, 53A. (a) Encontre a
potência fornecida quando a torradeira está a sua
temperautra operacional. (b) Qual é a temperatura
final do elemento aquecedor?
50. Um carro elétrico é projetado para utilizar um
conjunto de baterias de 12, 0V com um total de
armazenagem de energia de 2, 00 × 107J . (a) Se
o motor elétrico utiliza 8, 00kW , qual é a corrente
no motor? (b) Se o motor elétrico utiliza 8, 00kW
quando o carro se desloca a uma velocidade constante
de 20, 0m/s, que distância o carro percorre antes de
ficar sem combustível?
51. O cobre e o alumínio estão sendo considerados
para uma linha de transmissão de alta voltagem que
deve carregar uma corrente de 60A. A resistência por
unidade de comprimento é de 0, 15Ω/km. Calcule
para cada opção do material do cabo: (a) a densidade
de corrente e (b) a massa por metro de cabo. As den-
sidades do cobre e do alumínio são 8960e 2700kg/m3.
52. Na figura 11, que valor terá R se a corrente no
circuito tiver 1, 0mA? Considere ε1 = 2, 0V ; ε2 =
3, 0V ; r1 = r2 = 3, 0Ω. Qual a taxa na qual a energia
térmica aparece em R?
R
r1r2
E1
E2
Figura 11: Exercício 52.
53. A corrente em um circuito de uma única
malha tem 5, 0A. Quando uma resistência adi-
cional de 2, 0Ω é inserida em série, a corrente cai
para 4, 0A. Qual era a resistência no circuito original?
54. Uma bateria solar gera uma d.d.p. de 0, 10V ,
quando um resistor de 500Ω é conectado a ela, e uma
d.d.p. de 0, 15V , quando o resistor é substituído
por um outro de 1000Ω. Quais são a resistência e a
fem da bateria solar? A área da bateria é de 5, 0cm2
e a intensidade da luz é de 2, 0mW/cm2. Qual é a
eficiência da bateria ao converter a energia luminosa
em calor, tendo o resistor externo 1000Ω?
55. Na figura 12, calcule o valor da corrente em cada
um dos resistores e a d.d.p. entre os pontos a e
5
b. Considere: ε1 = 6, 0V ; ε2 = 5, 0V ; ε3 = 4, 0V ;
R1 = 100Ω e R2 = 50Ω.
R1
R2
E1
E2
E3
a b
Figura 12: Exercício 55.
56. Duas lâmpadas, uma de resistência R1 e a outra
de resistência R2 (R2 < R1) estão ligadas: (a) em
paralelo e (b) em série. Qual é a lâmpada mais
brilhante em cada caso?
57. (a) Calcule a intensidade das três correntes que
aparecem no circuito da figura 13. (b) Calcule Vab.
Considere R1 = 1, 0Ω; R2 = 2, 0Ω; ε1 = 2, 0V e ε2 =
ε3 = 4, 0V .
R1
R1
R1
R2
E1
E2
E3
b
a R1
Figura 13: Exercício 57.
58. Na figura 14, (a) calcule a potência que aparece
como energia térmica em R1, R2 e R3. (b) Calcule as
potências fornecidas por ε1 e ε2. Suponha que ε1 =
3, 0V ; ε2 = 1, 0V ; R1 = 5, 0Ω; R2 = 2, 0Ω e R3 =
4, 0Ω.
E1 E2R1
R2
R3
Figura 14: Exercício 58.
59. A figura 15 mostra uma bateria ligada a um resis-
tor uniforme Ro. Um contato deslizante pode mover-
se através do resistor de x = 0 até x = 10cm à es-
querda. Ache uma expressão para a potência dissi-
pada no resistor R como função de x. Faça o gráfico
da função para ε = 50V ; R = 2000Ω e Ro = 100Ω.
60. Um capacitor de 1, 0µF e energia inicialmente
armazenada de 0, 50J é descarregado através de
E
x
Ro
R
Figura 15: Exercício 59.
um resistor de 1, 0MΩ. (a) Qual a carga inicial do
capacitor? (b) Qual o valor da corrente através do
resistor no momento em que a descarga se inicia? (c)
Determine VC , a voltagem através do capacitor, e VR,
a voltagem através do resistor em função do tempo.
(d) Expresse a taxa de geração de energia térmica no
resistor em função do tempo.
61. Um capacitor C inicialmente descarregado é
totalmente carregado por uma fem de valor constante
em série com um resistor R. (a) Mostre que a energia
final armazenada no capacitor é metade da energia
fornecida pela fem. (b) Por integração direta de i2R
sobre o tempo de carga, mostre que a energia térmica
dissipada pelo resistor também é metade da energia
fornecida pela fem.
62. Uma bateria tem uma fem de 15, 0V . A voltagem
entre os terminais da bateria é de 11, 6V quando ela
está fornecendo 20, 0W de potência para um resistor
de carga externo R. Determine o valor de R e o valor
da resistência da bateria.
63. No circuito da figura 16, a chave S fivou aberta
por muito tempo. Ela é, então, subitamente fechada.
Determine a constante de tempo (a) antes de a chave
ser fechada e (b) após a chave ser fechada. (c) Se a
chave for fechada em t = 0, determine a corrente na
chave como função do tempo.
Figura 16: Exercício 63.
RESPOSTAS**
1. 3× 1010J ; 7, 75km/s; 9× 104kg
2. −qr
2
8piεoR3
; −q8piεoR
3. VAB = 4, 5× 10
3V
4. 4, 5m
6. xc = −4, 8nm; R = 8, 1nm; Não.
7. 667N/C
8. − λ4piεo ln
(
s
L+s
)
; λ4piεo
L
s(L+s)
9. qd2piεoa(a+d)
6
10. 2, 5× 106V ; 5, 0J ; 6, 9J
11. −7, 8× 105V ; 0, 6× 105V ; 2, 5J
12. 2, 48km/s
13. V1 = V2; q1 = q/3; q2 = 2q/3
14. −0, 3mJ
15. 10V , −11V , −32V ; 7N/C na direção +x
16. −12MV
19. 144pF ; 17, 3nC
20. 0, 551pF
21. 2, 4µF ; 480µC; 80V ; 120V
22. 10µF ; 1200µC; 800µC; 200V
23. d′ = d/3; d′ = 3d
24. 43pF
25. q1 =
C1C2+C1C3
C1C2+C2C3+C3C1
C1Vo;
q2 = q3 =
C2C3
C1C2+C2C3+C3C1
C1Vo
26. 4, 88%
27. 2, 0J
28. 0, 63m2
29. εoAd−b ;
d
d−b ;
−q2b
2εoA
31. 2, 51l
32. 13, 3nC; 272nC
33. 1200C; 7, 5× 1021
34. 5, 6ms
35. JoA/3; 2JoA/3
36. 1, 96× 10−8Ωm
38. 2, 0× 106 (Ωm)
−1
41. 6, 00mA; 1, 59× 10−8V ; 21, 2nΩ
42. 8, 21× 10−4Ωm
43. 14kC
45. qω2pi
47. 0, 632Ioτ ; 0, 99995Ioτ ; Ioτ
48. 6, 43A
49. 184W ; 461oC
50. 667A; 50, 0km
51. 5, 32×105A/m2 e 1, 01kg/m para o cobre. 3, 27×
105A/m2 e 0, 495kg/m para o alumínio
52. 990Ω; 9, 4× 10−4W
53. 8Ω
54. 1000Ω; 300mV
55. i1 = 50mA; i2 = 60mA; Vab = 9V
56. r2; r1
57. ramo esquerdo: 0, 67A para baixo; ramo cen-
tral: 0, 33A para cima; ramo direito: 0, 33A para cima;
3, 3V
59. 50kW
(
x
2000+10x−x2
)2
, x em cm
60. 1mC; 1mA; VC = 1000e
−t; VR = −1000e
−t
62. 6, 73Ω; 1, 97Ω
63. 1, 50s; 1, 00s; 200µA+ (100µA) e−t/1,00s
**Caso seja percebido algum equívoco nas respostas,
por favor, me avise.