Transformações lineares

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Transformac¸o˜es Lineares
Thadeu Ribeiro Benicio Milfont
Semestre 2014-2
Thadeu Ribeiro Benicio Milfont Transformac¸o˜es Lineares
1 Suma´rio
2 Transformac¸o˜es Lineares: Definic¸a˜o e Exemplos
3 Transformac¸o˜es Lineares: Imagem e Nu´cleo
4 Transformac¸o˜es Lineares: Matriz de uma Transformac¸a˜o Linear
Thadeu Ribeiro Benicio Milfont Transformac¸o˜es Lineares
Transformac¸o˜es Lineares: Definic¸a˜o e Exemplos
Definic¸a˜o(1):Sejam U e V espac¸os vetoriais. Dizemos que
uma func¸a˜o T ∶ U → V e´ uma transformac¸a˜o linear se satisfaz:
i) T (u + v) = T (u) +T (v), para todo u, v ∈ U;
ii) T (λu) = λT (u), para todo u ∈ U e λ ∈ R.
Obs(1): Note que T ∶ U → V e´ uma transformac¸a˜o linear se
somente se T (u + λv) = T (u) + λT (v), para todo u, v ∈ U e
λ ∈ R.
Thadeu Ribeiro Benicio Milfont Transformac¸o˜es Lineares
Transformac¸o˜es Lineares: Definic¸a˜o e Exemplos
Definic¸a˜o(1):Sejam U e V espac¸os vetoriais. Dizemos que
uma func¸a˜o T ∶ U → V e´ uma transformac¸a˜o linear se satisfaz:
i) T (u + v) = T (u) +T (v), para todo u, v ∈ U;
ii) T (λu) = λT (u), para todo u ∈ U e λ ∈ R.
Obs(1): Note que T ∶ U → V e´ uma transformac¸a˜o linear se
somente se T (u + λv) = T (u) + λT (v), para todo u, v ∈ U e
λ ∈ R.
Thadeu Ribeiro Benicio Milfont Transformac¸o˜es Lineares
Transformac¸o˜es Lineares: Definic¸a˜o e Exemplos
Definic¸a˜o(1):Sejam U e V espac¸os vetoriais. Dizemos que
uma func¸a˜o T ∶ U → V e´ uma transformac¸a˜o linear se satisfaz:
i) T (u + v) = T (u) +T (v), para todo u, v ∈ U;
ii) T (λu) = λT (u), para todo u ∈ U e λ ∈ R.
Obs(1): Note que T ∶ U → V e´ uma transformac¸a˜o linear se
somente se T (u + λv) = T (u) + λT (v), para todo u, v ∈ U e
λ ∈ R.
Thadeu Ribeiro Benicio Milfont Transformac¸o˜es Lineares
Transformac¸o˜es Lineares: Definic¸a˜o e Exemplos
Obs(2):Note que pela propriedade ii), temos:
T (0Ð→0 ) = 0T (Ð→0 ) =Ð→0 . Isso implica que toda transformac¸a˜o
linear T ∶ U → V leva o elemento neutro de U, no elemento
neutro de V .
Exemplo(1):Seja T ∶ R3 → R3 definida por
T (x , y , z) = (x + y , x − y , y + z), verifique se T e´ uma
transformac¸a˜o linear.
Exemplo(2):Seja T ∶ R3 → R3 definida por
T (x , y , z) = (x − y , x + 2y , y + 1), verifique se T e´ uma
transformac¸a˜o linear.
Thadeu Ribeiro Benicio Milfont Transformac¸o˜es Lineares
Transformac¸o˜es Lineares: Definic¸a˜o e Exemplos
Obs(2):Note que pela propriedade ii), temos:
T (0Ð→0 ) = 0T (Ð→0 ) =Ð→0 . Isso implica que toda transformac¸a˜o
linear T ∶ U → V leva o elemento neutro de U, no elemento
neutro de V .
Exemplo(1):Seja T ∶ R3 → R3 definida por
T (x , y , z) = (x + y , x − y , y + z), verifique se T e´ uma
transformac¸a˜o linear.
Exemplo(2):Seja T ∶ R3 → R3 definida por
T (x , y , z) = (x − y , x + 2y , y + 1), verifique se T e´ uma
transformac¸a˜o linear.
Thadeu Ribeiro Benicio Milfont Transformac¸o˜es Lineares
Transformac¸o˜es Lineares: Definic¸a˜o e Exemplos
Obs(2):Note que pela propriedade ii), temos:
T (0Ð→0 ) = 0T (Ð→0 ) =Ð→0 . Isso implica que toda transformac¸a˜o
linear T ∶ U → V leva o elemento neutro de U, no elemento
neutro de V .
Exemplo(1):Seja T ∶ R3 → R3 definida por
T (x , y , z) = (x + y , x − y , y + z), verifique se T e´ uma
transformac¸a˜o linear.
Exemplo(2):Seja T ∶ R3 → R3 definida por
T (x , y , z) = (x − y , x + 2y , y + 1), verifique se T e´ uma
transformac¸a˜o linear.
Thadeu Ribeiro Benicio Milfont Transformac¸o˜es Lineares
Transformac¸o˜es Lineares: Definic¸a˜o e Exemplos
Exemplo(3):Seja T ∶ R→ R definida por T (x) = x2, verifique
se T e´ uma transformac¸a˜o linear.
Exemplo(4):Seja T ∶ P2(R)→ R3 definida por
T (at2 + bt + c) = (a,b, c), verifique se T e´ uma
transformac¸a˜o linear.
Thadeu Ribeiro Benicio Milfont Transformac¸o˜es Lineares
Transformac¸o˜es Lineares: Definic¸a˜o e Exemplos
Exemplo(3):Seja T ∶ R→ R definida por T (x) = x2, verifique
se T e´ uma transformac¸a˜o linear.
Exemplo(4):Seja T ∶ P2(R)→ R3 definida por
T (at2 + bt + c) = (a,b, c), verifique se T e´ uma
transformac¸a˜o linear.
Thadeu Ribeiro Benicio Milfont Transformac¸o˜es Lineares
Transformac¸o˜es Lineares:Propriedades
Proposic¸a˜o(1):Seja U um espac¸o vetorial com base u1, ...,un.
Toda transformac¸a˜o linear T ∶ U → V fica determinada por
T (u1), ...,T (un), ou seja, conhecidos estes vetores,
conhece-se T (u) para qualquer u ∈ U.
EX. Resolvido(1): Encontre uma transformac¸a˜o linear
T ∶ R2 → R2 tal que T (1,2) = (3,−1) e T (0,1) = (1,2).
EX. Proposto(1): Encontre uma transformac¸a˜o linear
T ∶ R3 → R3 tal que T (1,1,1) = (0,1,1),
T (1,0,0) = (3,−1,1) e T (1,1,0) = (1,2,−1).
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Transformac¸o˜es Lineares:Propriedades
Proposic¸a˜o(1):Seja U um espac¸o vetorial com base u1, ...,un.
Toda transformac¸a˜o linear T ∶ U → V fica determinada por
T (u1), ...,T (un), ou seja, conhecidos estes vetores,
conhece-se T (u) para qualquer u ∈ U.
EX. Resolvido(1): Encontre uma transformac¸a˜o linear
T ∶ R2 → R2 tal que T (1,2) = (3,−1) e T (0,1) = (1,2).
EX. Proposto(1): Encontre uma transformac¸a˜o linear
T ∶ R3 → R3 tal que T (1,1,1) = (0,1,1),
T (1,0,0) = (3,−1,1) e T (1,1,0) = (1,2,−1).
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Transformac¸o˜es Lineares:Propriedades
Proposic¸a˜o(1):Seja U um espac¸o vetorial com base u1, ...,un.
Toda transformac¸a˜o linear T ∶ U → V fica determinada por
T (u1), ...,T (un), ou seja, conhecidos estes vetores,
conhece-se T (u) para qualquer u ∈ U.
EX. Resolvido(1): Encontre uma transformac¸a˜o linear
T ∶ R2 → R2 tal que T (1,2) = (3,−1) e T (0,1) = (1,2).
EX. Proposto(1): Encontre uma transformac¸a˜o linear
T ∶ R3 → R3 tal que T (1,1,1) = (0,1,1),
T (1,0,0) = (3,−1,1) e T (1,1,0) = (1,2,−1).
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Transformac¸o˜es Lineares: Definic¸a˜o e Exemplos
Definic¸a˜o(2):Seja T ∶ U → V uma transformac¸a˜o linear,
temos que T e´:
i) injetora se T (u) = T (v) implicar em u = v ;
ii) sobrejetora se para todo v ∈ V existir u ∈ U tal
que T (u) = v ;
iii) bijetora se for injetora e sobrejetora.
Proposic¸a˜o(2): Uma transformac¸a˜o linear T ∶ U → V e´
injetora se e somente se T (u) = 0 implicar em u = 0.
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Transformac¸o˜es Lineares: Definic¸a˜o e Exemplos
Definic¸a˜o(2):Seja T ∶ U → V uma transformac¸a˜o linear,
temos que T e´:
i) injetora se T (u) = T (v) implicar em u = v ;
ii) sobrejetora se para todo v ∈ V existir u ∈ U tal
que T (u) = v ;
iii) bijetora se for injetora e sobrejetora.
Proposic¸a˜o(2): Uma transformac¸a˜o linear T ∶ U → V e´
injetora se e somente se T (u) = 0 implicar em u = 0.
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Transformac¸o˜es Lineares: Definic¸a˜o e Exemplos
Definic¸a˜o(2):Seja T ∶ U → V uma transformac¸a˜o linear,
temos que T e´:
i) injetora se T (u) = T (v) implicar em u = v ;
ii) sobrejetora se para todo v ∈ V existir u ∈ U tal
que T (u) = v ;
iii) bijetora se for injetora e sobrejetora.
Proposic¸a˜o(2): Uma transformac¸a˜o linear T ∶ U → V e´
injetora se e somente se T (u) = 0 implicar em u = 0.
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Transformac¸o˜es Lineares: Imagem e Nu´cleo
Definic¸a˜o(3):Seja T ∶ U → V uma transformac¸a˜o linear,
temos: a imagem de T e´ o conjunto definido por
Im(T ) = {T (u) ∈ V ;u ∈ U} e o nu´cleo de T e´ o conjunto
definido por N(T ) = {u ∈ U;T (u) = 0}.
Observac¸a˜o(3): O nu´cleo e a imagem de uma transformac¸a˜o
linear sa˜o subespac¸os vetorias.
Exemplo(5):Determine o nu´cleo e a imagem da transfomac¸a˜o
linear T (x , y , z) = (x + y − 2z ,2x − y + z).
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Transformac¸o˜es Lineares: Imagem e Nu´cleo
Definic¸a˜o(3):Seja T ∶ U → V uma transformac¸a˜olinear,
temos: a imagem de T e´ o conjunto definido por
Im(T ) = {T (u) ∈ V ;u ∈ U} e o nu´cleo de T e´ o conjunto
definido por N(T ) = {u ∈ U;T (u) = 0}.
Observac¸a˜o(3): O nu´cleo e a imagem de uma transformac¸a˜o
linear sa˜o subespac¸os vetorias.
Exemplo(5):Determine o nu´cleo e a imagem da transfomac¸a˜o
linear T (x , y , z) = (x + y − 2z ,2x − y + z).
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Transformac¸o˜es Lineares: Imagem e Nu´cleo
Definic¸a˜o(3):Seja T ∶ U → V uma transformac¸a˜o linear,
temos: a imagem de T e´ o conjunto definido por
Im(T ) = {T (u) ∈ V ;u ∈ U} e o nu´cleo de T e´ o conjunto
definido por N(T ) = {u ∈ U;T (u) = 0}.
Observac¸a˜o(3): O nu´cleo e a imagem de uma transformac¸a˜o
linear sa˜o subespac¸os vetorias.
Exemplo(5):Determine o nu´cleo e a imagem da transfomac¸a˜o
linear T (x , y , z) = (x + y − 2z ,2x − y + z).
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Transformac¸o˜es Lineares: Imagem e Nu´cleo
Teorema(1):Sejam U, V espac¸os vetoriais de dimensa˜o finita
e T ∶ U → V uma transformac¸a˜o linear. Enta˜o
dim(U) = dim(Im(T )) + dim(N(T )).
Definic¸a˜o(4): Seja T ∶ U → V uma transformac¸a˜o linear,
temos que T e´ um isomorfismo quando T e´ uma bijec¸a˜o, se
ale´m disso tivermos U = V dizemos que T e´ um
automorfismo.
Exemplo(6): Verifique se T (x , y , z) = (x − y , x − z , z − y) e´
um automorfismo do R3.
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Transformac¸o˜es Lineares: Imagem e Nu´cleo
Teorema(1):Sejam U, V espac¸os vetoriais de dimensa˜o finita
e T ∶ U → V uma transformac¸a˜o linear. Enta˜o
dim(U) = dim(Im(T )) + dim(N(T )).
Definic¸a˜o(4): Seja T ∶ U → V uma transformac¸a˜o linear,
temos que T e´ um isomorfismo quando T e´ uma bijec¸a˜o, se
ale´m disso tivermos U = V dizemos que T e´ um
automorfismo.
Exemplo(6): Verifique se T (x , y , z) = (x − y , x − z , z − y) e´
um automorfismo do R3.
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Transformac¸o˜es Lineares: Imagem e Nu´cleo
Teorema(1):Sejam U, V espac¸os vetoriais de dimensa˜o finita
e T ∶ U → V uma transformac¸a˜o linear. Enta˜o
dim(U) = dim(Im(T )) + dim(N(T )).
Definic¸a˜o(4): Seja T ∶ U → V uma transformac¸a˜o linear,
temos que T e´ um isomorfismo quando T e´ uma bijec¸a˜o, se
ale´m disso tivermos U = V dizemos que T e´ um
automorfismo.
Exemplo(6): Verifique se T (x , y , z) = (x − y , x − z , z − y) e´
um automorfismo do R3.
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Transformac¸o˜es Lineares: Matriz de uma Transformac¸a˜o
Linear
Definic¸a˜o(5):Sejam T ∶ U → V uma transformac¸a˜o linear,
β = {u1, ...,un} base de U e γ = {v1, ..., vm} base de V ,
podemos escrever cada uj ∈ β como
T (uj) = a1jv1 + ... + amjvm, assim a matriz:⎛⎜⎜⎜⎝
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n⋮ ⋮ ⋱ ⋮
am1 am2 ... amn
⎞⎟⎟⎟⎠
m×n
, e´ chamada matriz de T com
relac¸a˜o as bases β e γ, e e´ denotada por [T ]βγ . .
Exemplo(7):Determine a matriz da transfomac¸a˜o linear
T (x , y , z) = (x + y − 2z ,2x − y + z) com relac¸a˜o as bases
β = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e γ = {(1,2), (1,1)}.
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Transformac¸o˜es Lineares: Matriz de uma Transformac¸a˜o
Linear
Definic¸a˜o(5):Sejam T ∶ U → V uma transformac¸a˜o linear,
β = {u1, ...,un} base de U e γ = {v1, ..., vm} base de V ,
podemos escrever cada uj ∈ β como
T (uj) = a1jv1 + ... + amjvm, assim a matriz:⎛⎜⎜⎜⎝
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n⋮ ⋮ ⋱ ⋮
am1 am2 ... amn
⎞⎟⎟⎟⎠
m×n
, e´ chamada matriz de T com
relac¸a˜o as bases β e γ, e e´ denotada por [T ]βγ . .
Exemplo(7):Determine a matriz da transfomac¸a˜o linear
T (x , y , z) = (x + y − 2z ,2x − y + z) com relac¸a˜o as bases
β = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e γ = {(1,2), (1,1)}.
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Transformac¸o˜es Lineares: Matriz de uma Transformac¸a˜o
Linear
Proposic¸a˜o(3):Sejam U e V espac¸os vetoriais com bases A e
B respectivamente e T ∶ U → V uma transformac¸a˜o linear.
Enta˜o para todo u ∈ U temos [T ]AB[u]A = [T (u)]B .
Exemplo(8):Utilizando a matriz do Exemplo(7) determine
[T (u)]γ sabendo que [u]β = ⎛⎜⎝
1−1
2
⎞⎟⎠.
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Transformac¸o˜es Lineares: Matriz de uma Transformac¸a˜o
Linear
Proposic¸a˜o(3):Sejam U e V espac¸os vetoriais com bases A e
B respectivamente e T ∶ U → V uma transformac¸a˜o linear.
Enta˜o para todo u ∈ U temos [T ]AB[u]A = [T (u)]B .
Exemplo(8):Utilizando a matriz do Exemplo(7) determine
[T (u)]γ sabendo que [u]β = ⎛⎜⎝
1−1
2
⎞⎟⎠.
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	Sumário
	Transformações Lineares: Definição e Exemplos
	Transformações Lineares: Imagem e Núcleo
	Transformações Lineares: Matriz de uma Transformação Linear