Apostila de Concreto Protendido

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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA – UNISUL 
Campus Pedra Branca | Curso: Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE 
CONCRETO PROTENDIDO 
 
Prof. Marcelo Cechinel 
 
 
 
 
 
 
 
Palhoça 2016 
 
 
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SUMÁRIO 
UNIDADE I - INTRODUÇÃO ................................................................................................ 6 
1.1 Conceitos Gerais do Concreto Protendido .................................................................................. 6 
1.2 Utilizações do Concreto Protendido............................................................................................ 8 
1.3 Vantagens e Desvantagens do Concreto Protendido ................................................................ 16 
UNIDADE II – MATERIAIS E EQUIPAMENTOS EMPREGADOS ............................................. 18 
2.1 Concreto .................................................................................................................................... 18 
2.2 Aços de Protensão ..................................................................................................................... 20 
2.3 Sistema de Ancoragem .............................................................................................................. 24 
2.4 Bainhas ...................................................................................................................................... 26 
2.5 Equipamentos de Protensão ..................................................................................................... 26 
UNIDADE III - SISTEMAS DE PROTENSÃO ......................................................................... 29 
3.1 Processo Construtivo ................................................................................................................. 29 
3.1.1 Pré-Tração (aderência inicial) ................................................................................................ 29 
3.1.2 Pós-Tração ............................................................................................................................. 30 
3.1.2.1 Pós-Tração com aderência posterior .................................................................................... 31 
3.1.2.2 Pós-Tração não aderente ...................................................................................................... 39 
3.1.2.3 Pós-Tração com Protensão Externa ...................................................................................... 40 
3.2 Grau de Protensão ..................................................................................................................... 40 
3.2.1 Protensão Completa .............................................................................................................. 41 
3.2.2 Protensão Limitada ............................................................................................................... 41 
3.2.3 Protensão Parcial ................................................................................................................... 42 
3.3 Escolha do Sistema de Protensão.............................................................................................. 42 
UNIDADE IV – AÇÕES, ESTADOS LIMITE E COMBINAÇÕES DE AÇÕES ................................ 44 
 
 
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4.1 Ações ......................................................................................................................................... 44 
4.1.1 Classificação das ações .......................................................................................................... 44 
4.1.1.1 Ações Permanentes (G) ......................................................................................................... 44 
4.1.1.2 Ações Variáveis (Q) ................................................................................................................ 45 
4.1.1.3 Ações Excepcionais (E) .......................................................................................................... 45 
4.2 Estados Limites .......................................................................................................................... 45 
4.2.1 Estado Limite Último ou de Ruína (ELU) ............................................................................... 45 
4.2.2 Estado Limite de serviço (ELS) ............................................................................................... 46 
4.2.2.1 Estado Limite de Formação de Fissuras (ELS-F)..................................................................... 46 
4.2.2.2 Estado Limite de Abertura de Fissuras (ELS-W) .................................................................... 46 
4.2.2.3 Estado Limite de Deformações Excessivas (ELS-DEF) ............................................................ 46 
4.2.2.4 Estado Limite de Descompressão (ELS-D) ............................................................................. 47 
4.2.2.5 Estado Limite de Descompressão Parcial (ELS-DP) ............................................................... 47 
4.2.2.6 Estado Limite de Compressão Excessiva (ELS-CE) ................................................................. 47 
4.2.2.7 Estado Limite de Vibrações Excessivas (ELS-VE) ................................................................... 47 
4.3 Combinações de Ações .............................................................................................................. 48 
4.3.1 Combinações do Estado Limite Último (ELU) ........................................................................ 48 
4.3.1.1 Combinação Normal .............................................................................................................. 48 
4.3.1.2 Combinação Excepcional ....................................................................................................... 49 
4.3.1.3 Aplicações das Combinações no ELU .................................................................................... 50 
4.3.2 Combinações do Estado Limite de Serviço (ELS) ................................................................... 51 
4.3.2.1 Combinação quase permanente (CQS) ................................................................................. 51 
4.3.2.2 Combinação frequente (CF) .................................................................................................. 51 
4.3.2.3 Combinação rara (CR) ............................................................................................................ 51 
4.3.2.4 Aplicações das Combinações no ELS ..................................................................................... 52 
4.3.2.5 Força de Protensão................................................................................................................ 53 
 
 
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UNIDADE V – PERDAS DE PROTENSÃO ............................................................................ 54 
5.1 Perdas Instantâneas .................................................................................................................. 55 
5.1.1 Perdas por Deformação Imediata do Concreto..................................................................... 55 
5.1.1.1 Perda por Atrito nos Cabos com a Bainha ............................................................................. 57 
5.1.1.2 Perda por acomodação da ancoragem. ................................................................................ 58 
5.2 Perdas Progressivas ................................................................................................................... 58 
5.2.1.1 Perda devido à relaxação da armadura .................................................................................58 
5.2.1.2 Perda devido à retração do concreto .................................................................................... 60 
5.2.1.3 Perda devido à fluência do concreto ..................................................................................... 63 
5.2.1.4 Considerações Finais de Perda .............................................................................................. 66 
UNIDADE VI – DIMENSIONAMENTO DE ARMADURA LONGITUDINAL À FLEXÃO (ELU) ...... 67 
6.1 Conceitos iniciais Acerca do Cálculo de Elementos de Concreto Protendido ........................... 69 
6.2 Roteiro de Cálculo da Armadura Longitudinal em Vigas Retangulares sob Flexão Simples ..... 72 
6.3 Fórmulas Adimensionais e Tabelas ........................................................................................... 77 
6.4 Roteiro de Cálculo da Armadura Transversal ............................................................................ 79 
6.5 Roteiro de Cálculo da Armadura Longitudinal em Vigas Seção T sob Flexão Simples .............. 84 
6.6 Verificação no Estado Limite Último (ELU) ................................................................................ 87 
6.7 Estado Limite Último no Ato da Protensão ............................................................................... 87 
6.8 Cálculo da Armadura Simples Mínima Necessária (sem armadura de compressão) ................ 88 
6.9 Dimensionamento da Armadura Longitudinal Composta (Armadura Ativa + Passiva) ............ 90 
6.10 Introdução ao Momento Hiperestático de Protensão no ELU .................................................. 90 
UNIDADE VII – VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS) ................................. 93 
UNIDADE VIII – PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL ..................... 99 
8.1 Roteiro para cálculo de peças pós-tracionadas ......................................................................... 99 
8.2 Roteiro para cálculo de peças pré-tracionadas ....................................................................... 109 
 
 
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UNIDADE IX – TRAÇADO DOS CABOS .............................................................................. 112 
9.1 Desenho da Armadura de Protensão em Solução Pós-tracionada ......................................... 114 
UNIDADE X – SEGURANÇA DE PEÇAS PROTENDIDAS ....................................................... 122 
10.1 Cuidados durante a Concretagem ........................................................................................... 122 
10.2 Cuidados pós Concretagem ..................................................................................................... 123 
10.3 Cuidados com Estocagem e Montagem .................................................................................. 124 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS ....................................................................................... 125 
ANEXO A – REVISÃO DE RESMAT .................................................................................... 126 
A. Conceito de Tensão ..................................................................................................................... 126 
B. Momento de Inércia de Área ...................................................................................................... 126 
C. Teorema de Steiner ..................................................................................................................... 128 
D. Lei de Hooke ................................................................................................................................ 132 
E. Tensão de Protensão ................................................................................................................... 132 
ANEXO B – CADERNO DE EXERCÍCIOS ............................................................................. 134 
A. Unidade I - Introdução ................................................................................................................ 134 
B. Unidade II – Materiais e Equipamentos Utilizados ..................................................................... 134 
C. Unidade III – Sistemas de Protensão ........................................................................................... 135 
D. Unidade IV – Ações, Estados Limite e Combinações de Ações ................................................... 136 
E. Unidade V – Perdas de Protensão ............................................................................................... 137 
F. Unidade VI – Dimensionamento Armadura Ativa – Pré-Tração .................................................. 156 
ANEXO C – EMENTA DO CURSO ...................................................................................... 180 
A. Ficha da Disciplina ....................................................................................................................... 180 
B. Tópicos Abordados ...................................................................................................................... 180 
 
 
 
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UNIDADE I - Introdução 
 
1.1 Conceitos Gerais do Concreto Protendido 
 
Ao se deparar com o significado nato da palavra PROTENSÃO encontram-se definições 
que elucidam, de certa forma, sua ideia básica. 
Vinda do latim PROTENSIÕNE é o ato de estender. 
Desta forma o ato de aplicar a protensão nada mais é do que empregar uma TENSÃO 
prévia em armaduras compostas por aço específico para tal aplicação (fios ou cordoalhas de 
protensão) visando melhorar propriedades deficitárias do concreto. 
De forma a exemplificar o que ocorre quando protendemos uma peça, pode-se fazer um 
simples comparativo com situações cotidianas, tais qual: 
 
Figura 1 - Ilustração ideia básica de protensão (Fonte: Débora Bonetto) 
 
Ao se segurar uma pilha de livros na horizontal temos que imprimir certa FORÇA DE 
COMPRESSÃO nos mesmos, fazendo com que estes mantenham a estabilidade do conjunto. A 
medida que a quantidade de livros é aumentada esta referida força também deverá sofrer ajustes, 
sendo REAVALIADA, REDIMENSIONADA e MODIFICADA. 
Ao se aplicar estas forças horizontais produz-se atrito entre as superfícies de forma que 
o conjunto resista as suas solicitações verticais, que neste caso em específico são seu peso próprio e 
a força da gravidade. 
No que se refere aos elementos de concreto suas qualidades e de suas deficiências são 
deveras conhecidas e apontadas nas bibliografias pertinentes. 
 
 
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O concreto que é um material ISOTRÓPICO – aquele que apresenta as mesmas 
propriedades mecânicas e térmicas em todas as direções – resiste muito bem quando solicitado à 
compressão, porém, quando submetido a forças que tendem a tracioná-lo sua resistência é da 
ordem de 10% do valor da resistência à compressão, apresentando desta forma certa “fragilidade”. 
Uma viga ao ser submetida a esforços tende a sofrer flexão, e esta flexão gera tanto 
esforços de compressão (geralmente nas fibras superiores) quanto de tração (em geral na região 
inferior). 
Neste ponto cabe lembrar que um elemento de concreto, mesmo sem sofrer 
carregamento externo algum, já apresenta um estado de deformação original devido seu peso 
próprio. Há quem imagine que este carregamento não seja relevante, porém, de forma a 
exemplificar, imaginem uma viga usual com dimensões usuais de (15x40x300)cm. 
Se levar em consideração que o peso específico do concreto armado é da ordem de 25 
kN/m³, tem-se, para esta trivial viga, um peso próprio igual a 1,5 kN/m ou 150 kgf/m. Tal 
carregamento já é suficiente para iniciar um estado detensões de tração na face inferior do 
elemento abrindo margem ao surgimento de fissuras no concreto. 
 
Figura 2 - Esquema básico de fissuração em vigas (Fonte: do autor, 2016) 
 
 Tal fissuração ocorre devido ao interim entre a flexão proveniente do carregamento e a 
efetiva atuação da armadura frouxa aderida ao concreto, ou em outras palavras, o concreto 
submetido aos efeitos de tração na região inferior do elemento começa a sofrer tensões em seu 
ponto fraco até que a ferragem, utilizada com o intuito de melhorar esta propriedade deficitária, 
entre em atuação. 
 
 
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No entanto, no concreto protendido este lapso temporal inexiste, visto que a armadura 
já se apresenta PRÉ-TRACIONADA. 
Desta forma, seguindo uma linha evolutiva entre as tecnologias aplicadas ao concreto 
pode-se inferir a seguinte análise: o concreto armado veio para resolver a deficiência à tração do 
concreto simples, assim como a protensão surgiu, entre outros motivos, para melhor controlar o 
sistema de abertura de fissuras do concreto armado convencional, melhorando desta forma suas 
propriedades e durabilidade. 
Em contrapartida, para o uso correto do concreto protendido, uma série de critérios e 
requisitos deve ser atendida, visto que, ao contrário do concreto armado convencional, o protendido 
NÃO aceita erros de dimensionamento. Se introduzir-se protensão em quantidade inferior ao 
necessário ocorrerá ruina da peça por sub dimensionamento, se introduzir protensão em excesso 
haverá a ruína da peça já em seu estado de desprotensão (t=0), pois a mesma não resistirá aos 
esforços de tração impostos pela protensão inferior. 
 
1.2 Utilizações do Concreto Protendido 
 
A primeira obra vultuosa em concreto protendido no Brasil foi inaugurada em 1948 – a 
Ponte do Galeão. 
A obra, que inicialmente foi concebida em concreto armado convencional, foi 
posteriormente alterada para concreto protendido, tem a assinatura de uma das maiores sumidades 
em avanço tecnológico na construção civil, o francês Eugène Freyssinet. 
Desde então o emprego do concreto protendido no Brasil tem ganhado destaque em 
vários ramos da construção. E, de forma a melhor exemplificar o supracitado, segue algumas das 
muitas aplicações desta tecnologia. 
No campo das fundações é sabido que, não só as estacas pré-moldadas como as estacas 
cravadas em geral têm perdido espaço devido a problemas com o excesso de vibração na cravação; 
principalmente nos centros urbanos onde a ocupação por edificações apresenta uma densidade 
considerável. 
Todavia, as estacas pré-fabricadas protendidas tiveram destaque por um grande período 
de tempo, e ainda hoje encontra campo de atuação, mesmo que reduzido. 
 
 
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Figura 3 - Estacas Protendidas de Concreto (Fonte: Protensul, 2004) 
 
O emprego da protensão neste artefato de concreto deve-se a uma melhora no 
manuseio, visto que a mesma é içada por uma das pontas, o que gera um enorme esforço de flexão 
ao longo de todo o corpo; bem como a um maior controle de fissuras, fato importante se lembrar 
que a mesma ficará enterrada, em contato com o solo e muitas vezes transpassando veios d’água 
dos lençóis freáticos. 
Outra utilização da tecnologia para fundações pode ser encontrada nos radiers 
protendidos, nos quais se utiliza a técnica do emprego de cordoalhas engraxadas (que será vista com 
mais detalhes posteriormente). 
 
Figura 4 - Radier Protendido - Cordoalhas engraxadas (Fonte: globalplac, 2016) 
 
 
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No campo da pavimentação a aplicabilidade do concreto protendido encontra abrigo, 
principalmente, nos pisos industriais cuja carga (móvel, estática ou de abrasão) é muito grande, 
como é o caso de pistas de aeroporto. Porém, para esta finalidade a protensão não representa um 
diferencial tecnológico. 
 
Figura 5 - Piso industrial protendido (Fonte: Fernandes Pisos Industriais, 2016) 
 
Já no que se refere a empregabilidade do concreto protendido em lajes, sejam elas 
residenciais, comerciais ou industriais, o sistema é deveras interessante. 
São várias as soluções em protensão para serem utilizadas como laje de piso ou 
cobertura. Destas, as mais corriqueiras são as vigotas protendidas. 
 
 
Figura 6 - Vigotas Protendidas de concreto (Fonte: do autor, 2008) 
 
 
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Executadas, geralmente, em pistas de protensão por máquinas moldadoras, este 
artefato protendido apresenta uma resistência extremamente superior às vigotas de laje 
convencional fazendo com que vençam maiores vãos e sobrecargas, diminuindo inclusive os 
cimbramento dos panos de laje. Em geral atendem vãos até 8,00 a 9,00m. 
 
Figura 7 - Concretagem em Pistas de Protensão (Fonte: do autor, 2003) 
Ainda no rol dos artefatos pré-fabricados outro tipo de laje que cabe ser lembrado são 
os painéis alveolares. 
Também executados em pistas protendidas, destinam-se principalmente a obras 
industriais, visto seu peso próprio elevado, bem como a seu custo. 
 
Figura 8 - Montagem de painel alveolar (Fonte: do autor) 
 
 
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Como pode ser visto na Figura 8, a montagem destes painéis necessita de equipamentos 
pesados, bem como de amplo espaço para que este possa efetuar o giro em seu eixo para posicionar 
os mesmos, dificultando desta forma seu emprego em áreas com densidade de edificações. 
Cabe frisar que tanto a vigota protendida quanto os painéis alveolares, em geral 
trabalham na forma de bi-apoio, podendo em alguns casos específicos sofrer engastamento, o que 
não é comum. 
O concreto protendido também encontra uso na cobertura de obras industriais seja por 
meio de terças protendidas (que seguem a mesma metodologia das vigotas), ou pelo uso das 
chamadas telhas W (que são telhas protendidas autoportantes). 
 
Figura 9 - Telhas W (Fonte: PREFAB, 2016) 
 
Outro sistema de lajes protendidas que cabe ser ressaltada são as lajes planas. Tal 
solução reduz estrondosamente a quantidade de vigas em uma edificação, visto que a mesma se 
apoia única exclusivamente na cabeça dos pilares (em região que deve ser reforçada contra os 
efeitos de punção). 
Esta solução estrutural não é novidade, visto que remonta o início de sua utilização nos 
Estados Unidos e na Austrália desde a década de 50 e na Europa na década de 70. Aparentemente no 
Brasil a mesma agora vem se firmando como solução viável e confiável. 
 
 
 
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Figura 10 - Lajes planas protendidas (Fonte: www.procalc.com.br, 2016) 
 
O concreto protendido ainda pode ser encontrado em obras de estabilização de taludes, 
através das conhecidas cortinas atirantadas. 
Neste sistema executam-se perfurações no solo para chumbamento de barras rígidas, 
tipo Dywidag, que posteriormente servirão de ancoragem, por protensão, para as placas de 
contensão do solo. 
 
Figura 11 - Cortina atirantada (Fonte: SOPE Engenharia, 2016) 
 
 
 
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Figura 12 - Protensão da barra (Fonte: LAN Geotécnica, 2016) 
 
A relação do concreto protendido com a indústria de pré-fabricação é bem estreita. 
Neste panorama, devido a sua caraterística de vencer grandes vãos, e seu rigoroso controle de 
fissuração, o concreto protendido encontra larga escala na indústria de pré-moldados e pré-
fabricados. 
 
 
Figura 13 - Obra pré-fabricada (Fonte: do autor, 2013) 
 
 
 
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Neste ponto, a protensão, apesar de ser empregada em vários outros elementos 
estruturais, encontra principal emprego nas vigas pré-fabricadas, sejam elas para uso industrial ou no 
ramo das obras de arte especiais (pontes e viadutos). 
 
 
Figura 14 - Ponte do Rio Tavares (Fonte: do autor, 2014) 
 
 
 
Figura 15 - Passarela BR 101 - km 118 (Fonte: do autor, 2014) 
 
 
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Como pôde ser visto o concreto protendido, atualmente, está incluso em vários ramos 
da engenharia como solução técnica viável e eficiente. Seja para reforços estruturais, como no caso 
do estacionamento do Shopping Estação em Curitiba/PR, seja como elemento de fundação ou como 
elemento estrutural, o concreto protendido é solução técnica eficaz para resolução de um enorme 
leque de necessidades estruturais, desde que bem dimensionado. 
 
1.3 Vantagens e Desvantagens do Concreto Protendido 
 
Como todas as tecnologias o concreto protendido apresenta tanto vantagens quanto 
desvantagens, sendo que a primeira supera em muito a segunda. 
Vantagens do concreto protendido: 
• Resulta em peças mais leves que o concreto armado convencional, muito disso 
em função de seu controle de fissuração; 
• Apresenta maior durabilidade, visto que quanto menos fissura um elemento 
estrutural apresentar, menor também é a incidência de manifestações 
patologias na armadura, o que aumenta a vida útil do elemento e indiretamente 
da obra; 
• Devido ao pré tracionamento da armadura apresenta menores deformações, e 
isso influi não somente no elemento, mas também na obra como um todo; 
• No caso dos pré-fabricados há um maior controle tecnológico do concreto, o 
que faz com que a resistência da peça, bem como sua confiabilidade seja 
aumentada; 
• Agrega à obra do ponto de vista tecnológico. 
Desvantagens do concreto protendido: 
• Necessita de equipamentos e mão-de-obra especializada; 
• Dificuldade da execução “in loco”; 
• Densidade de armadura e acessórios grande, principalmente no caso dos 
elementos pós tracionados (bainhas, cunhas, chapas...) 
• Dificuldade de se executar modificações posteriores, o que faz com que seja 
imperativo um projeto mais qualificado. 
 
 
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Sendo assim, fica evidente que o emprego do concreto protendido não é algo que possa 
ser feito por qualquer um. 
É costume em nosso país obras com responsabilidade técnica fornecida por pessoas 
desqualificadas para tal função, tais como mestres de obra, pedreiros, empreiteiros e afins. No caso 
do concreto protendido tal prática não encontra respaldo, visto que a qualificação da mão de obra é 
preponderante para a eficiência do sistema após sua execução. 
 
 
 
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UNIDADE II – Materiais e Equipamentos Empregados 
 
O concreto protendido devido a sua própria concepção demanda cuidados não só na 
escolha e manuseio dos equipamentos destinados a tal trabalho como na escolha e controle dos 
materiais envolvidos na execução. Desta forma, torna-se imperativo para o andamento do curso 
discorrer-se acerca destes insumos, de forma a parametrizar as sensíveis diferenças entre o concreto 
armado convencional e o concreto protendido. 
2.1 Concreto 
 
As estruturas protendidas exigem um controle de qualidade muito superior ao concreto 
armado convencional, prova disso são as especificações normativas acerca do protendido, como por 
exemplo, em relação água cimento, o cobrimento e a resistência mínima do concreto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 2 – Correspondência entre classe de agressividade e cobrimentos nominal (Fonte: NBR 6118:2014) 
 
Tabela 1 - Correspondência classe de agressividade e qualidade do concreto (Fonte: NBR 6118:2014) 
 
 
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É evidente o próprio zelo da norma quanto ao concreto protendido, e este zelo é 
justificável, visto que no concreto protendido busca-se principalmente um concreto de fissuração 
superior ao concreto convencional. 
Várias são as justificativas para o emprego de concretos com alta resistência em se 
tratando de concreto protendido, destas é relevante citar: 
• À medida que a resistência do concreto se eleva podem-se obter peças mais 
esbeltas (que acaba sendo um dos diferenciais desta tecnologia do concreto) 
reduzindo desta forma o peso próprio (peso morto) da estrutura; 
• Ao aumentar-se a resistência do concreto, aumenta-se consequentemente seu 
módulo de elasticidade, auxiliando na diminuição das deformações imediatas e 
diferidas, reduzido também as perdas de protensão por retração e fluência; 
• Sabe-se que tensões iniciais são aplicadas na peça ainda com o concreto fresco. 
A elevação da classe do concreto faz com que estas solicitações iniciais sejam 
melhores resistidas. 
Sabe-se ainda que um dos primores do concreto protendido seja a qualidade e, desta 
forma, neste ponto busca-se também a melhoria de algumas características que visem preservar a 
protensão. 
As manifestações patológicas por corrosão de armadura, comuns no concreto armado 
convencional, não são permitidas em uma estrutura protendida, portanto, é interessante que o 
concreto empregado nestas estruturas apresente uma alta compacidade que lhe ofertará uma baixa 
permeabilidade e desta forma preservará as cordoalhas de protensão mantendo a integridade da 
mesma e elevando em muito a vida útil da estrutura. 
Neste ponto cabe aqui fazer-se alusão aos concretos auto adensáveis e aos compósitos 
de pós reativos, que são modalidades de “concretos” que apresentam baixíssima porosidade e, em 
geral, elevada resistência. 
Em suma, as estruturas protendidas apresentam alguns requisitos imperativos para o 
seu bom funcionamento e estes requisitos vão desde a devida escolha dos agregados (origem 
mineralógica, granulometria...), passando pelo emprego do cimento adequado (CP IV, com adições, 
resistentes a sulfatos...) e pela escolha do traço e dos aditivos e finalizando com uma boa execução e 
cura, que em geral se faz a vapor (cura térmica). 
 
 
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Finalizando, portanto este tópico, cabe lembrar novamente que o concreto protendido 
tem grande emprego no ramo da pré-fabricação e esta por sua vez já tem por hábito o uso de 
concretos com resistência superior, variando entre 30 e 40 MPa, indo de encontro com as exigências 
técnicas da protensão. 
 
2.2 Aços de Protensão 
 
O aço utilizado nos sistemas protendidos são aços especiais que apresentam elevada 
resistência, porém nenhum patamar de escoamento (um fio ou uma cordoalha de protensão estoura 
sem avisar). 
Tal material quando submetido ao tracionamento sofrerá relativo alongamento em 
regime elástico (aquele que quando cessada a força retornará as suas propriedades iniciais) e, 
portanto, apresentam alongamentos excessivos, o que o inviabiliza para uso em concreto armado 
convencional. 
Comercialmente podem ser encontrados em forma de fios de protensão ou cordoalhas 
que são cabos produzidos com arames de aço carbono mais denso e em menor quantidade que os 
cabos de aço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16 - Cordoalhas de protensão (Fonte: Awa Comercial) 
 
 
 
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Figura 17 - Fios de protensão (Fonte: Dhabi-steel) 
 
Os fios de aço carbono são encontrados em diâmetros que variam de 3 a 8mm e são 
fornecidos em rolos ou bobinas. 
Além disso, também recebem classificação quanto a sua relaxação, que tem ligação 
direta com as perdas de protensão, em RN (relaxação normal ou aço aliviado) e RB (baixa relaxação 
ou aço estabilizado). A diferença entre estes dois tipos de aço reside em seu sistema de fabricação, 
onde o aço RN é retificado por tratamento térmico que alivia as tensões internas da trefilação e o 
aço RB é trefilado e receber tratamento térmico que melhora suas características elásticas reduzindo 
as perdas por relaxação do aço. 
 
 
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Tabela 4 - Fios de protensão (Fonte: Catálogo Arcelor Mittal) 
Tabela 3 - Cordoalhas de protensão (Fonte: Catálogo Arcelor Mittal) 
 
 
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No caso das cordoalhas, estas podem ser encontradas como um trefilado de fios de 
protensão que podem ter dois, três ou sete fios, também nas categorias RN e RB. 
No Brasil é fornecido pela Arcelor Mittal/BELGO Mineira, apesar de no mercado já ser 
possível a importação deste material a partir da China, da Índia, Turquia e da África do Sul. Porém, 
em se tratando da importação deste produto, ainda há ressalvas sobre a qualidade destes 
fornecedores. 
Importante tornar a frisar que as estruturas de concreto protendido subentendem e 
contam com a correta escolha e aplicação dos materiais, portanto, há que se ter cuidado na escolha 
dos fornecedores. 
Além dos fios e cordoalhas de protensão, ainda pode-se encontrar as cordoalhas 
engraxadas e as barras de aço-liga, comercialmente conhecidas por Sistema DYWIDAG. 
 
Figura 18 - Cordoalha engraxada (Fonte: Revista Téchne - Edição 185) 
 
As cordoalhas engraxadas são utilizadas, principalmente, no sistema de protensão não 
aderente (que será estudada posteriormente) e trata-se da mesma cordoalha supracitada, porém 
envolta em mangueira preenchida por graxa, de forma que o aço trabalhe isolado e sem aderência, 
além de ofertar ao mesmo, certa resistência contra agentes agressivos. 
Já as barras DYWIDAG tem este nome devido a seu fabricante a PROTENDIDOS 
DYWIGAD Ltda, do Grupo alemão DSI e trata-se de barras de aço especiais utilizados como 
 
 
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elementos tracionados, fixados por porcas e placas de ancoragem que distribuem a carga aplicada 
para a estrutura ancorada. São utilizados como sistemas de reforço estrutural, peças protendias, 
estaiamentos, cortinas atirantadas, entre outros. Exemplo recente da utilização deste sistema pode 
ser encontrado na Ponte Anita Garibaldi, mais conhecida como Ponte de Laguna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19 - Barras Dywidag para ancoragem das mão-francesas da 
Ponte Anita Garibaldi (Fonte: Dywidag) 
 
 
Figura 20 - Sistema Dywydag (Fonte: Dywidag) 
 
2.3 Sistema de Ancoragem 
 
Seja na protensão com aderência inicial, seja na aderência posterior ou nas estruturas 
com protensão não aderente os sitemas de protensão dependem de “acessórios” que garantam a 
 
 
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tensão de protensão nas peças. Tais mecanismos são as ancoragens, que podem ser passivas ou 
ativas. 
Como já é sabido, as estruturas protendidas são largamente utilizadas nas fábricas de 
pré-moldados, geralmente no sistema de pré-tração aderente, e nelas a ancoragem é feita por 
chapas de aço denominadas porta cunhas e por cunhas bi ou tri-partidas, comumente e vulgarmente 
chamadas de castanhas, trabalhando como ancoragens ativas. 
 
 
Figura 21 - Chapa e cunha bi-partida (Fonte: PINI) 
 
 
Figura 22 - Cunha bi e tri-partida 
 
Existem outros sistemas de ancoragem que variam de fabricante para fabricante ou, e 
principalmente, para cada aplicação. O importante é analisar cada elemento para definir o melhor 
 
 
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sistema e buscar informações fidedignas sobre o mesmo, caso não se consiga definir qual modelo é 
mais adequado a cada estrutura. 
 
2.4 Bainhas 
 
As bainhas são dutos metálicos, geralmente de chapa corrugada, utilizadas 
principalmente no sistema de protensão por pós tração que devem ser estanques, impedindo desta 
forma o vazamento de concreto para seu interior durante a concretagem, prejudicando e/ou 
inviabilizando a passagem dos cabos. 
Tal material é encontrado comercialmente em várias bitolas e nos formatos circular ou 
achatadas. 
 
Figura 23 - Bainhas metálicas (Fonte: MaxiCabos) 
 
2.5 Equipamentos de Protensão 
 
Para que seja garantida a necessária tensão dos fios e cordoalhas é necessário o 
emprego de equipamentos específicos. Tal equipamento é denominado de macaco de protensão. 
 
 
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Os macacos de protensão são equipamentos hidráulicos que devido sua importância 
necessitam de constante aferição de forma que a protensão seja efetiva e não comprometa o 
desempenho do elemento. 
 
Figura 24 - Macaco para cordoalhas de 12,7 e 15,2 (Fonte: www.prepron.com.br, 2016) 
 
 
Figura 25 - Macaco para fios de protensão (Fonte: www.prepron.com.br, 2016) 
 
 
Figura 26 - Macacos para 20 a 500t (Fonte: www.prepron.com.br, 2016) 
 
Outro equipamento utilizado nos sistemas protendidos é a bomba para injeção da nata 
de concreto; equipamento este com largo emprego no sistema de protensão por pós tração (que 
será posteriormente abordado). 
 
 
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Figura 27 - Equipamentos para injeção de nata (Fonte: www.prepron.com.br, 2016) 
 
 
 
 
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UNIDADE III - Sistemas de Protensão 
 
 De forma a parametrizar os estudos, a classificação dos sistemas de protensão 
abordada levará em consideração o processo construtivo, bem como o grau de protensão. 
 
3.1 Processo Construtivo 
 
3.1.1 Pré-Tração (aderência inicial) 
 
Outrora citado neste material, a protensão encontra larga aplicação na indústria de 
pré-fabricados. Nestas, grande parte dos elementos protendidos são executados em pistas de 
protensão onde o grande trunfo é a repetição de peças. 
 
Figura 28 - Pista de protensão (Fonte: olmetitaly.com, 2016) 
Nestes casos e em muitos outros se emprega o sistema de pré-tração onde a 
armaduras ativa é posicionada e ancorada em cabeceiras de protensão. Posteriormente faz-se o 
tracionamento da armadura, adiciona-se a armadura passiva, caso haja, e lança-se o concreto que 
sofre adensamento por vibração. Após a cura do concreto, ou o mesmo atingir a resistência mínima 
para desforma e corte da protensão (21 MPa) as formas são retiradas e os fios e/ou cordoalhas são 
cortados fazendo desta forma a transferência dos esforços de protensão para o concreto. Em suma, 
tal sistema preconiza que a armadura ativa esteja aderente ao concretoque desta forma absorverá 
os esforços de tração (protensão) sofrendo este a compressão prévia peculiar do sistema. 
 
 
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3.1.2 Pós-Tração 
 
No que se refere ao sistema de pós-tração há duas vertentes a serem analisadas. A pós-
tração com ou sem aderência; as quais serão abordadas a seguir: 
Figura 29 - Sistema de protensão por pré-tração (Fonte: Autor) 
 
 
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3.1.2.1 Pós-Tração com aderência posterior 
 
Neste sistema inicialmente executa-se a concretagem da peça deixando obter 
resistência suficiente para absorver aos esforços de protensão dos cabos. 
Na pós-tração com aderência posterior as cordoalhas são alojadas dentro de bainhas 
metálicas (Figura 21) e sofrem o tensionamento também por meio de macacos sendo devidamente 
ancoradas em uma das extremidades por meio de cunhas e chapas de ancoragem (Figura 22 e 23). 
Posterior a aplicação da protensão é feita a injeção de nata de cimento que preencherá 
toda a bainha fazendo a aderência dos cabos de protensão. Para aplicação desta nata/calda de 
cimento empregam-se as bombas de injeção (Figura 27). 
Abaixo segue sequência fotográfica completa da execução de uma viga protendida com 
pós-tração com aderência posterior. O elemento em questão trata-se de uma das longarinas da 
ponte do Rio Araújo na divisa entre os bairros Capoeiras e Campinas. 
 
a. Inicialmente monta-se a armadura passiva posicionando as bainhas conforme 
projeto estrutural (o posicionamento dos cabos será visto posteriormente); 
 
Figura 30 - Viga Protendida com Pós-tração Aderente: Armadura passiva 
com posicionamento das bainhas metálicas (Fonte: do Autor) 
 
 
 
 
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b. Após a devida montagem das armaduras posiciona-se a mesma dentro da forma 
respeitando todos os preceitos de projeto como, por exemplo, o cobrimento; 
 
 
Figura 31 - Viga Protendida com Pós-tração Aderente: Armadura sendo 
posicionada na forma (Fonte: do Autor) 
 
c. Executa-se a concretagem do elemento fazendo a devida compactação por meio de 
vibradores de agulha. 
 
 
Figura 32 - Viga Protendida com Pós-tração Aderente: Concretagem 
do elemento (Fonte: do Autor) 
 
 
 
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d. Por se tratar de uma fábrica, após o período de 24 horas faz-se o rompimento do 
corpo de prova para verificar se a peça já alcançou a resistência para saque e faz-se 
a desforma; 
 
Figura 33 - Viga Protendida com Pós-tração Aderente: Desforma 
e saque do elemento (Fonte: do Autor) 
 
e. Peça armazenada até a obtenção da cura. Neste ponto é importante ressaltar que 
apesar de muitas serem usados concretos especiais ou com cimento de alta 
resistência inicial, o módulo de elasticidade das peças não cresce na mesma 
proporção e desta forma é necessário aguardar-se a devida cura antes da protensão; 
 
Figura 34 - Viga Protendida com Pós-tração Aderente: Viga 
aguardando a cura para efetuar a protensão (Fonte: do Autor) 
 
 
 
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f. Alcançada a cura inicia-se o processo de protensão dos cabos; 
 
 
Figura 35 - Viga Protendida com Pós-tração Aderente: Separador para colocação 
 da chapa de ancoragem (dispositivo não obrigatório, porém útil) (Fonte: do Autor) 
 
 
 
Figura 36 - Viga Protendida com Pós-tração Aderente: Colocação 
da chapa de ancoragem (Fonte: do Autor) 
 
 
 
 
 
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Figura 37 - Viga Protendida com Pós-tração Aderente: Colocação das cunhas 
tripartidas (Fonte: do Autor) 
 
 
 
Figura 38 - Viga Protendida com Pós-tração Aderente: Sistema de 
 ancoragem preparado para Inicio da protensão (Fonte: do Autor) 
 
 
 
 
 
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Figura 39 - Viga Protendida com Pós-tração Aderente: Preparo do Macaco de 
Protensão para inicio do tensionamento dos cabos (Fonte: do Autor) 
 
 
 
Figura 40 - Viga Protendida com Pós-tração Aderente: Macaco de 
Protensão (canhão) (Fonte: do Autor) 
 
 
 
 
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Figura 41 - Viga Protendida com Pré-tração Aderente: Iniciado o tensionamento 
dos cabos (Fonte: do Autor) 
 
 
 
Figura 42 - Viga Protendida com Pré-tração Aderente: Verificando o alongamento do cabo 
através do curso do macaco (Fonte: do Autor) 
 
 
 
 
 
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Figura 43 - Viga Protendida com Pré-tração Aderente: Calda de cimento para 
injeção e preenchimento das bainhas (Fonte: do Autor) 
 
 
 
Figura 44 - Viga Protendida com Pré-tração Aderente: Bomba de injeção 
de calda de cimento (Fonte: do Autor) 
 
 
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Figura 45 - Viga Protendida com Pré-tração Aderente: Extravasor da 
calda de cimento (Fonte: do Autor) 
 
 
Figura 46 - Viga Protendida com Pós-tração Aderente: Viga protendida e 
preenchida aguardando cura da calda de cimento (Fonte: do Autor) 
 
3.1.2.2 Pós-Tração não aderente 
 
A pós-tração não aderente segue todos os preceitos relacionados na protensão por pós-
tração aderente, onde deste a única etapa que se exclui é a injeção da calda/nata de cimento. 
 
 
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Para tal sistema opta-se, portanto, pelo uso das cordoalhas engraxadas, material que 
encontra grande utilização para execução de lajes planas protendidas e pisos industriais. 
 
Figura 47 - Laje plana com cordoalha engraxada 
 
 
3.1.2.3 Pós-Tração com Protensão Externa 
 
Este sistema não é muito utilizado se em comparação aos demais já elencados. 
Trata-se de executar o tensionamento dos cabos de forma externa ao elemento, em 
geral para que possa feito reforço estrutural. 
Tal sistema pode ser visto nas vigas do estacionamento do Shopping Estação na cidade 
de Curitiba/PR. 
 
3.2 Grau de Protensão 
 
Apesar de substituída pela NBR 6118:03, rebusca-se a NBR 7197:89 para melhor definir 
os tipos de protensão quanto ao grau de protensão, visto que o novo instrumento normativo não 
abraçou estas definições. 
 
 
 
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3.2.1 Protensão Completa 
 
Este tipo de protensão, também denominada total, é a que proporciona as melhores 
condições de proteção das armaduras e limita as flutuações de tensões no aço a valores moderados 
(VERÍSSIMO & CÉSAR JR.), sendo ideal para meios agressivos. 
Segundo a extinta NBR 7197, há que se levarem em conta duas condições precípuas 
para que haja a protensão completa. São elas: 
a. Em se tratando das combinações frequentes de ações previstas no projeto não 
poderá haver tensões de tração, sendo desta forma respeitado o estado limite de 
descompressão; 
b. No caso das combinações raras de ações previstas em projeto, respeita-se o estado 
limite de formação de fissuras. 
Deve-se ressaltar ainda, que apesar de apresentar as melhores características no pontode vista técnico, a protensão completa devido ao seu elevado custo é muitas vezes substituída pela 
protensão limitada. 
 
3.2.2 Protensão Limitada 
 
Neste tipo de protensão permitem-se tensões de tração em serviço, desde que 
moderadas; permitindo desta forma uma probabilidade, por menor que seja, de fissuração do 
concreto. 
As fissuras eventualmente abertas, devido à atuação de uma sobrecarga transitória, se 
fecham após a passagem da carga, pois as seções permanecem comprimidas sob o efeito das cargas 
quase permanentes (VERÍSSIMO & CESAR JR, 40). 
Portanto, seguindo o que preconiza a NBR 7197 em seu item 4.1.2, também há que se 
respeitar duas condições para se uma protensão possa se caracterizar como limitada, são elas: 
a. Em relação às combinações quase permanentes de ações, que estejam prevista no 
projeto, respeita-se o estado limite de descompressão; 
b. Já para combinações frequentes é respeitado o estado limite de formação de 
fissuras. 
 
 
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Destaca-se neste ponto que a protensão limitada encontra emprego em vários 
elementos estruturais, desde vigas e pontes em concreto protendido, que ficam sob a influência de 
tensões de protensão menores que a da protensão completa (total). 
Como principais vantagens deste tipo de protensão citam-se: 
• menores tensões de tração e compressão na protensão; 
• melhor comportamento nas deformações e fluência do concreto; 
• considerável participação da armadura suplementar na ruptura (armadura 
passiva); 
• menor custo em relação a protensão total. 
 
3.2.3 Protensão Parcial 
 
Ainda usando como norte a NBR 7197:89 destaca-se a protensão parcial, cuja viabilidade 
depende as condições que seguem: 
a. Em relação às combinações quase permanentes de ações, que estejam prevista no 
projeto, respeita-se o estado limite de descompressão; 
b. Já para combinações frequentes é respeitado o estado limite de abertura de 
fissuras, com wk < 0,2 mm. 
Em suma este tipo de protensão tem respaldo e semelhança com a protensão limitada, 
porém, permite valores para as tensões de tração mais elevadas, resultando maior fissuração das 
peças. 
 
3.3 Escolha do Sistema de Protensão 
 
O principal fator que determinará o tipo de sistema e grau de protensão a ser adotado 
será o custo. Porém, alguns fatores também deverão estar em pauta, como por exemplo, a 
agressividade do meio ao qual a peça será exposta, a importância da obra, características peculiares 
de cada elemento que gerem limitações a um ou outro sistema, etc. Em suma, a escolha do sistema a 
ser adotado deve levar em conta todas as variáveis técnicas e econômicas que cerceiam a estrutura. 
 
 
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Elementos pré-fabricados tendem, em sua grande maioria, a serem executados dentro 
de um sistema de pré-tração com protensão limitada. Já lajes planas, que são executadas “in loco”, 
tendem a empregar cordoalhas engraxadas cujo sistema é o de pós-tração não aderente e com 
protensão completa. No caso de peças pré-moldadas (executadas em canteiro) normalmente opta-se 
pelo sistema de pós-tração aderente e geralmente com protensão limitada. 
Em relação à agressividade ambiental, a extinta NBR 7197:89 estipula em sua tabela 1 
que: 
Nível de agressividade do ambiente Exigências mínimas quanto ao tipo de protensão 
muito agressivo protensão completa 
pouco agressivo protensão limitada 
não agressivo protensão parcial 
 
 
O fato é que a escolha do sistema e do grau de protensão deve ser estudada na 
concepção do projeto, levando-se em conta as características de cada utilização, bem como as 
condições de agressividade ambiental e demais pontos relevantes. 
 
 
 
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UNIDADE IV – Ações, Estados Limite e Combinações de Ações 
 
4.1 Ações 
 
Os esforços e deformações que ocorrem em uma estrutura são decorrentes das ações 
sobre elas. 
São várias as instruções normativas que definem as possíveis ações a serem 
consideradas em uma estrutura de concreto protendido. 
 
4.1.1 Classificação das ações 
 
As diversas combinações a que uma estrutura está sujeita corroboram na separação de 
três categorias de ações, que são: 
a. Ações permanentes; 
b. Ações variáveis; 
c. Ações excepcionais. 
 
4.1.1.1 Ações Permanentes (G) 
 
São ações que perduram durante toda a vida útil da estrutura. 
A partir do momento em que todo material possui um peso específico, ao se conceber 
uma estrutura fica evidente que o próprio elemento já gera uma ação a partir de seu peso próprio. 
Este tipo de ação permanente é chamado de ação permanente direta. 
Seguindo esta classificação, ainda pode-se englobar: paredes definitivas, revestimentos, 
acabamentos, equipamentos fixos, empuxos de terra não removíveis... 
Da mesma forma algumas ações permanentes surgem de forma indireta, tais como: 
recalques de apoio, retração dos materiais e a própria protensão. 
 
 
 
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4.1.1.2 Ações Variáveis (Q) 
 
São ações que apresentam grande variabilidade no tempo, sendo decorrentes do uso e 
ocupação das edificações e também se sub classificam em diretas e indiretas. 
As ações variáveis diretas, segundo Cholfe & Bonilha, são as cargas acidentais previstas 
para o uso da construção (verticais, móveis, frenagem, força centrífuga), a ação do vento e da água e 
ações acidentais de execução. 
Neste ponto chama-se atenção para a NBR 6120 – “Cargas para o Cálculo de Estruturas 
de Edificações”, de onde se extrai os valores característicos de carga nas lajes de diversas edificações 
e a NBR 6123 – “Forças Devidas ao Vento em Edificações”, de onde se determinam as cargas 
horizontais advindas do vento. 
Já as ações variáveis indiretas são as ações dinâmicas de choques e vibrações, além das 
variações de temperatura. 
 
4.1.1.3 Ações Excepcionais (E) 
 
São ações de curtíssima duração e baixíssima probabilidade de ocorrer durante a vida 
útil da estrutura, tais como explosões, incêndios, enchentes e abalos sísmicos. 
 
4.2 Estados Limites 
 
O estado limite é uma situação onde a estrutura, ou pelo menos parte, dela deixa de 
cumprir a sua finalidade, seja pelo surgimento de deformações excessivas ou abertura de fissuras 
(ELS) ou até mesmo pela ruptura da mesma (ELU). 
4.2.1 Estado Limite Último ou de Ruína (ELU) 
 
Este estado ocorre a partir do momento em que a estrutura esgota sua capacidade 
resistente (estabilidade, ruptura da seção crítica...), determinando desta forma a paralisação de seu 
uso. 
 
 
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4.2.2 Estado Limite de serviço (ELS) 
 
O estado limite de serviço relaciona-se com os critérios de desempenho das estruturas, 
determinado pelo surgimento de deformações excessivas, formação e abertura de fissuras, entre 
outros. 
O Estado Limite de Serviço subdivide-se em: 
• ELS-F – Estado limite de formação de fissuras; 
• ELS-W – Estado limite de abertura de fissuras; 
• ELS-DEF – Estado limite de deformações excessivas; 
• ELS-D – Estado limite de descompressão; 
• ELS-DP – Estado limite de descompressão parcial; 
• ELS-CE – Estado limite de compressão excessiva; 
• ELS-VE – Estado limite de vibrações excessivas.4.2.2.1 Estado Limite de Formação de Fissuras (ELS-F) 
 
Estado onde a tensão de tração máxima se iguala ao 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑓𝑓 , dando origem a formação de 
fissuras na face tracionada da peça de concreto. 
 
4.2.2.2 Estado Limite de Abertura de Fissuras (ELS-W) 
 
Estado em que as fissuras na face tracionada do concreto apresentam abertura igual aos 
máximos especificados pela NBR 6118:14 em seu item 13.4.3. 
 
4.2.2.3 Estado Limite de Deformações Excessivas (ELS-DEF) 
 
Estado onde as deformações atingem os limites estabelecidos pela NBR 6118:14, como 
normais e que podem ser encontrados no item 13.3 da mesma. 
 
 
 
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4.2.2.4 Estado Limite de Descompressão (ELS-D) 
 
Estado no qual a tensão normal em um ou mais pontos da seção transversal é nulo, não 
havendo desta forma tração no restante da seção. Este estado limite é deveras importante no que se 
refere ao concreto protendido. 
 
4.2.2.5 Estado Limite de Descompressão Parcial (ELS-DP) 
 
Estado onde se garante compressão na seção transversal do elemento pelo menos na 
região onde haja armaduras ativas, devendo resguardar uma distância 𝑎𝑎𝑝𝑝 da face mais próxima da 
cordoalha ou da bainha. 
 
Figura 48 - Estado limite de descompressão parcial (Fonte: NBR 6118:14) 
 
4.2.2.6 Estado Limite de Compressão Excessiva (ELS-CE) 
 
Estado onde as tensões de compressão atingem o limite estabelecido pela NBR 6118:18 
em seu item 17.2.4.3.2.a, sendo usual para o concreto protendido no ato da protensão. 
 
4.2.2.7 Estado Limite de Vibrações Excessivas (ELS-VE) 
 
Estado onde as vibrações atingem o limite estabelecido pela NBR 6118:18 como 
aceitáveis para uma edificação. 
 
 
 
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4.3 Combinações de Ações 
 
Como visto anteriormente as combinações de ações tem influência direta no cálculo das 
estruturas de concreto e em especial nas de concreto protendido. 
As combinações servem para que se possam determinar os efeitos mais desfavoráveis 
aos quais as estruturas possam estar submetidas e levam em consideração os estados limites e a 
probabilidade de ocorrerem. 
 
4.3.1 Combinações do Estado Limite Último (ELU) 
 
4.3.1.1 Combinação Normal 
 
Acerca da Combinação Normal, a NBR 6118:14 define que: 
“Em cada combinação devem estar incluídas as ações permanentes e a ação variável 
principal, com seus valores característicos e as demais ações variáveis, consideradas secundárias, 
com seus valores reduzidos de combinação, conforme ABNT NBR 8681.” (ABNT NBR 6118:14, 66) 
Desta forma, a mesma norma determina para elementos estruturais de concreto 
armado com esgotamento da capacidade resistente, a seguinte equação: 
𝐹𝐹𝑑𝑑 = 𝛾𝛾𝑔𝑔 .𝐹𝐹𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝛾𝛾𝜀𝜀𝑔𝑔.𝐹𝐹𝜀𝜀𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝛾𝛾𝑞𝑞 . �𝐹𝐹𝑞𝑞1𝑔𝑔 + �𝜓𝜓0𝑗𝑗.𝐹𝐹𝑞𝑞𝑗𝑗𝑔𝑔� + 𝛾𝛾𝜀𝜀𝑞𝑞 .𝜓𝜓0𝜀𝜀 .𝐹𝐹𝜀𝜀𝑞𝑞𝑔𝑔 
Onde: 
𝐹𝐹𝑑𝑑 valor de cálculo das ações para combinação última; 
𝐹𝐹𝑔𝑔𝑔𝑔 ações permanentes diretas; 
𝐹𝐹𝜀𝜀𝑔𝑔 ações indiretas permanentes como retração 𝐹𝐹𝜀𝜀𝑔𝑔𝑔𝑔 e variáveis como 
temperatura 𝐹𝐹𝜀𝜀𝑞𝑞𝑔𝑔; 
𝐹𝐹𝑞𝑞𝑔𝑔 ações variáveis diretas das quais 𝐹𝐹𝑞𝑞1𝑔𝑔 é a principal; 
𝛾𝛾𝑔𝑔/𝛾𝛾𝜀𝜀𝑔𝑔/𝛾𝛾𝑞𝑞/𝛾𝛾𝜀𝜀𝑞𝑞 Tabela 5; 
𝜓𝜓𝑜𝑜𝑗𝑗/𝜓𝜓𝑜𝑜𝜀𝜀 Tabela 6; 
 
 
 
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Tabela 5 - Coeficiente de ponderação para Combinação Normal ELU (Fonte: NBR 6118:14) 
 
 
Tabela 6 - Fatores de Combinação Normal ELU (Fonte: NBR 6118:14) 
 
4.3.1.2 Combinação Excepcional 
 
Acerca deste tipo de combinação discorre a NBR 6118:14 em seu item 11.8.2.3: 
 
 
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“...devem figurar as ações permanentes e a ação variável excepcional, quando existir, 
com seus valores representativos e as demais variáveis com probabilidade não desprezível de 
ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos, conforme NBR 8681”. 
𝐹𝐹𝑑𝑑 = 𝛾𝛾𝑔𝑔.𝐹𝐹𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝛾𝛾𝜀𝜀𝑔𝑔.𝐹𝐹𝜀𝜀𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝐹𝐹𝑞𝑞1𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐 + 𝛾𝛾𝑞𝑞 .�𝜓𝜓0𝑗𝑗 .𝐹𝐹𝑞𝑞𝑗𝑗𝑔𝑔 + 𝛾𝛾𝜀𝜀𝑞𝑞 .𝜓𝜓0𝜀𝜀.𝐹𝐹𝜀𝜀𝑞𝑞𝑔𝑔 
Onde 𝐹𝐹𝑞𝑞1𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐 é o valor da ação transitória excepcional. 
 
4.3.1.3 Aplicações das Combinações no ELU 
 
De forma a melhor fixar os conceitos acerca das combinações no ELU (Estado Limite 
Último) recorre-se a didática aplicada por VERÍSSIMO & CESAR JR., criando-se situações estruturais 
corriqueiras para análise das referidas combinações. 
 
a. Supondo uma treliça de cobertura submetida aos seguintes carregamentos: 
Peso próprio (tesoura + tirantes + terças) (g1) 
Peso das telhas (g2) 
Sobrecarga na cobertura (q) 
Carga de vento de sucção (w) 
 
Devem-se neste ponto definir, através da utilização da estrutura e seu comportamento 
estrutural, as situações favoráveis e desfavoráveis para aplicação dos coeficientes de 
ponderação da tabela 5. 
 
Para a situação hipotética levantada, se a carga acidental for preponderante no que tange as 
cargas variáveis, o peso próprio caracterizar-se-á como situação desfavorável, ficando a 
combinação normal de carga da forma que segue: 
 1,3.𝑔𝑔 + 1,4.𝑞𝑞 (carga para baixo) 
 
Já no caso do vento de sucção como carga acidental preponderante o peso próprio 
contribuiria para o alívio da combinação sendo favorável a estrutura reduzindo o 
carregamento final, indo desta forma contra os parâmetros de segurança, portanto, deverá 
ter seu coeficiente de majoração alterado como segue: 
 1,0. g + 1,4. w (carga para cima) 
 
 
 
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b. Supondo agora a coluna de um edifício industrial: 
Peso próprio (estrutura, pisos, cobertura, fechamentos laterais...) (g1) 
Carga de uma ponte rolante (q1) 
Sobrecarga do piso (q2) 
Sobrecarga na cobertura (q3) 
Carga de vento de sucção (w) 
 
Analisando as combinações normais de carga: 
 1,4.𝑔𝑔 + 1,4.𝑞𝑞1 + 1,4 . 0,7 . (𝑞𝑞2 + 𝑞𝑞3) + 1,4 . 0,6 . (𝑤𝑤) (ponte rolante preponderante) 1,4.𝑔𝑔 + 1,4.𝑤𝑤 + 1,4 . 0,7 . (𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2 + 𝑞𝑞3) (vento sobre pressão preponderante) 1,0.𝑔𝑔 + 1,4. (𝑤𝑤) (vento de sucção) 
 
 
4.3.2 Combinações do Estado Limite de Serviço (ELS) 
 
4.3.2.1 Combinação quase permanente (CQS) 
 
Nesta combinação todas as ações variáveis são consideradas com seus valores quase 
permanentes (ψ2 . Qj). 
𝐹𝐹𝑑𝑑,𝑢𝑢𝑐𝑐𝑢𝑢 = �𝑔𝑔𝑢𝑢 + �𝜓𝜓2𝑗𝑗.𝑄𝑄𝑗𝑗 
 
4.3.2.2 Combinação frequente (CF) 
 
Nesta combinação utiliza-se a ação variável principal com seu valor frequente (ψ1 . Q1) e 
as demais são consideradas com seus valores quase permanentes (ψ2 . Qj). 
𝐹𝐹𝑑𝑑,𝑢𝑢𝑐𝑐𝑢𝑢 = �𝑔𝑔𝑢𝑢 + 𝜓𝜓1.𝑄𝑄1 �𝜓𝜓2𝑗𝑗.𝑄𝑄𝑗𝑗 
 
4.3.2.3 Combinação rara (CR) 
 
Nesta combinação utiliza-se a ação variável principal com seu valor característico (Q1) e 
as demais são consideradas com seus valores quase permanentes (ψ2 . Qj). 
 
 
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𝐹𝐹𝑑𝑑,𝑢𝑢𝑐𝑐𝑢𝑢 = �𝑔𝑔𝑢𝑢 + 𝑄𝑄1 �𝜓𝜓2𝑗𝑗.𝑄𝑄𝑗𝑗 
 
4.3.2.4 Aplicações das Combinações no ELS 
 
Seguindo ainda a didática aplicada por VERÍSSIMO & CESAR JR., segue: 
a. Supondouma viga calha protendida com os carregamentos abaixo: 
Peso próprio (g1) 
Peso das telhas (g2) 
Sobrecarga na cobertura (q) 
Carga de vento (w) 
 
Em uma condição de combinação quase permanente ter-se-ia: 
Da tabela 6: 𝜓𝜓2 = 0,3 para sobrecarga acidental 
 𝜓𝜓2 = 0,0 para carga de vento 
 
𝑔𝑔1 + 𝑔𝑔2 + 0,3 . (𝑞𝑞) + 0,0. (𝑤𝑤) 
 
Já na combinação frequente ter-se-ia: 
Da tabela 6, considerando a sobrecarga de cobertura como variável principal: 
𝜓𝜓1 = 0,4 para sobrecarga da cobertura 
 𝜓𝜓2 = 0,0 para carga de vento 
𝑔𝑔1 + 𝑔𝑔2 + 0,4 . (𝑞𝑞) + 0,0. (𝑤𝑤) 
 
Todavia se considerarmos o vento como variável principal ter-se-ia: 
ψ1 = 0,3 para carga de vento 
 𝜓𝜓2 = 0,3 para sobrecarga da cobertura 
𝑔𝑔1 + 𝑔𝑔2 + 0,3 . (𝑤𝑤) + 0,3. (𝑞𝑞) 
 
Finalmente, em uma análise para a combinação rara: 
 
Sendo a sobrecarga da cobertura a ação variável principal: 
𝜓𝜓1 = 0,3 para carga de vento 
 
 
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𝑔𝑔1 + 𝑔𝑔2 + 𝑞𝑞 + 0,3. (𝑤𝑤) 
 
Sendo a carga do vento a ação variável principal: 
𝜓𝜓1 = 0,4 para carga de vento 
𝑔𝑔1 + 𝑔𝑔2 + 𝑤𝑤 + 0,4. (𝑞𝑞) 
 
4.3.2.5 Força de Protensão 
 
Tal conceito é considerado por muitos autores como sendo o elemento mais importante 
do concreto protendido, e caracteriza-se pelo resultado do pré-alongamento da armadura de 
protensão, ou em outras palavras, é a quantidade de força de tração inicial (não descontado as 
perdas, que serão vistas posteriormente) que os fios e/ou cordoalhas estarão submetidos no 
processo. 
Para tanto, a NBR 6118:14 em seu item 9.6.1.2.1 e 9.6.1.2.2 traz os parâmetros da 
tensão de protensão inicial (σpi) provenientes da força de protensão P0(x) a serem utilizados em cada 
tipo de protensão: 
 Na ocasião da protensão Ao término da protensão 
PRÉ-TRAÇÃO 
RN 0,77𝑓𝑓𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 e 0,90𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑔𝑔 0,74𝑓𝑓𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 e 0,87𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑔𝑔 
RB 0,77𝑓𝑓𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 e 0,85𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑔𝑔 0,74𝑓𝑓𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 e 0,82𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑔𝑔 
PÓS-TRAÇÃO 
RN 0,74𝑓𝑓𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 e 0,87𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑔𝑔 0,74𝑓𝑓𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 e 0,87𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑔𝑔 
RB 0,74𝑓𝑓𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 e 0,82𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑔𝑔 0,74𝑓𝑓𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 e 0,82𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑔𝑔 
 
Ainda em se tratando das forças de protensão, a NBR 6118:14 explícita em seu texto os 
valores de cálculo da força de protensão, a saber: 
𝑃𝑃𝑑𝑑,𝑐𝑐(𝑥𝑥) = 𝛾𝛾𝑝𝑝.𝑃𝑃𝑐𝑐(𝑥𝑥) 
Bem como dos coeficientes de ponderação (γp), descritos no item 17.2.4.3.1, que são: 
𝛾𝛾𝑝𝑝 = 1,0 para a pré-tração ∴ 𝛾𝛾𝑝𝑝 = 1,0 para a pós-tração 
 
 
 
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UNIDADE V – Perdas de Protensão 
 
Ao trabalhar-se com sistemas protendidos, deve-se ter consciência que as tensões 
iniciais empregadas aos fios/cordoalhas se perdem. Prova desta afirmação encontra-se na própria 
NBR 6118:14, onde em seu item 9.6.3.1 ela explícita que: 
“O projeto deve prever as perdas da força de protensão em relação ao valor inicial aplicado pelo 
aparelho tensor, ocorridas antes da transferência da protensão ao concreto (perdas inicias, na pré-
tração), durante essa transferência (perdas imediatas) e ao longo do tempo (perdas progressivas)” 
(ABNT NBR 6118/2014) 
 
Em suma, são várias as perdas da força de protensão no processo de protensão, perdas 
estas que vão desde o acionamento do macaco de protensão e sua liberação até as perdas 
relacionadas com os materiais envolvidos no processo (concreto e aço). 
Recorrendo novamente a NBR 6118:14, em seu item 9.6, tem-se como formulação final 
da força de protensão a ser adotada, a seguinte: 
𝑃𝑃𝑐𝑐(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃0(𝑥𝑥)− ∆𝑃𝑃𝑐𝑐(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃𝑢𝑢 − ∆𝑃𝑃0(𝑥𝑥)− ∆𝑃𝑃𝑐𝑐(𝑥𝑥) 
𝑃𝑃0(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃𝑢𝑢 − ∆𝑃𝑃0(𝑥𝑥) ( 𝟏𝟏 ) 
Onde: 
𝑃𝑃𝑐𝑐(𝑥𝑥) → força na armadura de protensão, no tempo t, na seção da abscissa x 
𝑃𝑃0(𝑥𝑥) → força na armadura de protensão, no tempo t=0, na seção da abscissa x 
∆𝑃𝑃𝑐𝑐(𝑥𝑥) → perda de protensão, na seção da abscissa x, no tempo t, calculada após t=0 
∆𝑃𝑃0(𝑥𝑥) → perda imediata de protensão, medida a partir de Pi, no tempo t=0 
𝑃𝑃𝑢𝑢 → força máxima aplicada à armadura de protensão pelo equipamento 
 
Desta forma fica evidente a importância de se calcular as perdas de protensão para o 
dimensionamento estrutural do concreto protendido, visto que as mesmas possuem ligação direta 
com a real força de protensão a que os cabos estarão submetidos. 
Este capítulo tratará de forma detalhada estas perdas e será dividido como segue: 
a) PERDAS INSTANTÂNEAS: 
• Perda por deformação imediata do concreto; 
• Perda por atrito dos cabos com a bainha (protensão posterior); 
• Perda por acomodação da ancoragem. 
 
 
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b) PERDAS PROGRESSIVAS: 
• Perda devido à relaxação da armadura. 
• Perdas devido à retração do concreto; 
• Perdas devido à fluência do concreto; 
 
5.1 Perdas Instantâneas 
 
 
Também chamadas iniciais ou imediatas tem relação direta com o procedimento de 
protensão e das propriedades elásticas tanto do concreto quanto do aço de protensão. 
 
5.1.1 Perdas por Deformação Imediata do Concreto 
 
Por menor que seja, ao sujeitar-se o concreto a uma força de compressão, o mesmo 
tenderá a sofrer um encurtamento, uma deformação elástica imediata. 
De forma análoga, a armadura também sofrerá certo encurtamento, o qual 
corresponderá a um alívio de tensões e consequentemente uma diminuição da força inicial de 
protensão. 
Esta perda denomina-se, portanto: perda por deformação imediata do concreto. Tal 
perda, por ser considerada pequena e muitas vezes irrelevante no total das perdas que ocorrem nos 
cabos, algumas vezes é desprezada no cálculo. 
 
Figura 49 - Peça sobre pré-tração (Fonte: VERÍSSIMO & CÉSAR JR.) 
Admitindo-se que a armadura esteja completamente aderente ao concreto não 
ocorrendo, desta forma, o escorregamento da mesma em relação ao concreto, tem-se: 
 
 
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𝜎𝜎𝑝𝑝 = 𝐸𝐸𝑝𝑝. 𝜀𝜀𝑝𝑝 ∴ 𝜀𝜀𝑝𝑝 = 𝜎𝜎𝑝𝑝 𝐸𝐸𝑝𝑝� ( 𝟐𝟐 ) 
𝜀𝜀𝑐𝑐 = 𝜀𝜀𝑝𝑝 ∴ 𝜎𝜎𝑐𝑐𝐸𝐸𝑐𝑐 = ∆𝜎𝜎𝑝𝑝𝐸𝐸𝑝𝑝 ∴ ∆𝜎𝜎𝑝𝑝 = 𝐸𝐸𝑝𝑝𝐸𝐸𝑐𝑐 .𝜎𝜎𝑐𝑐 ∴ ∆𝜎𝜎𝑝𝑝 = 𝛼𝛼𝑒𝑒 .𝜎𝜎𝑐𝑐 ( 𝟑𝟑 ) 
Sendo: αe a relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto. 
Nesta lógica, vindo da resistência dos materiais, tem-se que: 
𝜎𝜎𝑒𝑒 = 𝐸𝐸. 𝜀𝜀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑦𝑦 = 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑦𝑦 
𝑀𝑀 = � 𝜎𝜎𝑒𝑒 .𝑦𝑦.
𝐴𝐴
𝑑𝑑𝑑𝑑 ∴ 𝑀𝑀 = � 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒
𝑐𝑐
𝑦𝑦²
𝐴𝐴
𝑑𝑑𝑑𝑑 
Sabendo ainda que: 
𝐼𝐼 = � 𝑦𝑦²𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐴𝐴
 
Substituindo uma equação na outra: 
𝑀𝑀 = � 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒
𝑐𝑐
𝐼𝐼
𝐴𝐴
∴ 𝑀𝑀 = 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒
𝑐𝑐
. 𝐼𝐼 ∴ 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒 = 𝑀𝑀. 𝑐𝑐𝐼𝐼 ( 𝟒𝟒 ) 
Desta forma, substituindo-se a constante “c” pela distância do centro de gravidade 
até a fibra mais tracionada tem-se: 
𝜎𝜎𝑐𝑐 = 𝑀𝑀.𝑦𝑦𝐼𝐼 ( 𝟓𝟓 ) 
Agora, em se tratando de protensão e levando em consideração as parcelas da 
protensão centrada (
𝑁𝑁𝑝𝑝
𝐴𝐴
) e da sua excentricidade (
𝑁𝑁𝑝𝑝.𝑒𝑒
𝐼𝐼
.𝑦𝑦) chega-se ao seguinte valor de σc: 
𝜎𝜎𝑐𝑐 = 𝑁𝑁𝑝𝑝𝑑𝑑 + 𝑁𝑁𝑝𝑝. 𝑒𝑒𝐼𝐼 .𝑦𝑦 −𝑀𝑀.𝑦𝑦𝐼𝐼 ∴ 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 𝑁𝑁𝑝𝑝𝑑𝑑 + 𝑁𝑁𝑝𝑝. 𝑒𝑒²𝐼𝐼 − 𝑀𝑀. 𝑒𝑒𝐼𝐼 
E, finalmente: 
∆𝜎𝜎𝑝𝑝 = 𝛼𝛼𝑒𝑒 .𝜎𝜎𝑐𝑐 ∴ ∆𝜎𝜎𝑝𝑝 = 𝛼𝛼𝑒𝑒 .�𝑁𝑁𝑝𝑝𝑑𝑑 + 𝑁𝑁𝑝𝑝. 𝑒𝑒²𝐼𝐼 − 𝑀𝑀. 𝑒𝑒𝐼𝐼 � ( 𝟔𝟔 ) 
E ainda, segundo preceitos da NBR 6118:14: 
∆𝜎𝜎𝑝𝑝 = 𝛼𝛼𝑝𝑝. �𝜎𝜎𝑐𝑐𝑝𝑝 + 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑔𝑔�.(𝑛𝑛 − 1)2𝑛𝑛 ∴ ∆𝜎𝜎𝑝𝑝,𝑚𝑚𝑒𝑒𝑑𝑑𝑢𝑢𝑜𝑜 = 𝛼𝛼𝑒𝑒 .�𝑁𝑁𝑝𝑝𝑑𝑑 + 𝑁𝑁𝑝𝑝. 𝑒𝑒²𝐼𝐼 −𝑀𝑀. 𝑒𝑒𝐼𝐼 � . �𝑛𝑛 − 12𝑛𝑛 � ( 𝟕𝟕 ) 
 
 
 
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5.1.1.1 Perda por Atrito nos Cabos com a Bainha 
 
Perda especificamente voltada às peças pós-tracionadas, cujo aço de protensão 
encontra-se alojados em bainhas. 
Tal perda origina-se no atrito dos cabos ao encostarem e roçarem nas supracitadas 
bainhas e podem incorrer em valores consideráveis, em especial nos cabos compridos e com grande 
variação de direção. 
Para melhor entendimento imagina-se um cabo dentro de uma bainha. A bainha, por si 
só, devido à trajetória das tensões, é disposta com trechos retos e curvos. Ao tracionarem-se os 
cabos há a tendência dos mesmos em se retificarem gerando um atrito considerável com a bainha. 
Outro fato a ser apontado é que as bainhas devido ao próprio ato da concretagem da 
peça passam a apresentar trechos sinuosos mesmo nas regiões retilíneas. Esse evento costuma ser 
denominado de ondulação parasita, e que auxilia no aumento das perdas por atrito. 
De forma a não estender demais o assunto, suprimiu-se neste material a dedução das 
fórmulas até obtenção da equação que representa esta perda e optou-se por recorrer à NBR 6118:14 
que explícita a mesma de forma definitiva: 
∆𝑃𝑃(𝑒𝑒) = 𝑃𝑃𝑢𝑢�1 − 𝑒𝑒−(𝜇𝜇∑𝛼𝛼+𝑔𝑔𝑒𝑒)] ( 𝟖𝟖 ) 
Onde: 
𝑃𝑃𝑢𝑢 → 𝑃𝑃0(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃𝑢𝑢 − ∆𝑃𝑃0(𝑥𝑥) 
𝑥𝑥 → abscissa do ponto onde se calcula ∆P, medida a partir da ancoragem, em metros; 
∑𝛼𝛼 → soma dos ângulos de desvio entre a ancoragem e a abscissa x, em radianos; 
𝜇𝜇 → coeficiente de atrito aparente entre o cabo e a bainha em [ 1/radianos ], podendo 
ser estimado em: 
𝜇𝜇 = 0,50 entre cabo e concreto (sem bainha); 
𝜇𝜇 = 0,30 entre barras ou fios com mossas ou Saliências e bainha metálica; 
𝜇𝜇 = 0,20 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica; 
𝜇𝜇 = 0,10 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica lubrificada; 
𝜇𝜇 = 0,05 entre cordoalhas e bainha de polipropileno lubrificada; 
𝑘𝑘 → coeficiente de perda por metro provocada por curvaturas não intencionais do 
cabo. Na falta de dados experimentais adotar-se-á: 0,01 µ (1/m) 
 
 
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5.1.1.2 Perda por acomodação da ancoragem. 
 
Ao liberar a protensão do macaco para o concreto outro tipo de perda, diverso da perda 
por deformação imediata do concreto, a perda por acomodação da ancoragem. 
Tal perda mostra-se mais significativas quando se utilizam cunhas e são determinadas de 
forma experimental ou através de valores informados pelos fabricantes das ancoragens. 
Adotar-se-á os parâmetros de encurtamento do cabo devido a ancoragem fornecido 
pela Rudloff, renomada e confiável fabricante deste tipo de produto, que para cabos de 12 Ø ½” 
apresenta um ∆L = 6mm. 
A partir do parâmetro acima e baseando-se na Lei de Hooke, tem-se: 
𝜀𝜀𝑙𝑙 = ∆𝐿𝐿𝐿𝐿 ∴ ∆𝜎𝜎𝑚𝑚𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑝𝑝. 𝜀𝜀𝑙𝑙 ∴ ∆𝜎𝜎𝑚𝑚𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑝𝑝.∆𝐿𝐿𝐿𝐿 ( 𝟗𝟗 ) 
Onde: 
𝜀𝜀𝑙𝑙 → deformação do cabo; 
∆𝐿𝐿 → encurtamento do cabo devido a ancoragem (dado do fornecedor); 
𝐿𝐿 → comprimento da pista de concretagem ou da peça; 
𝐸𝐸𝑝𝑝 → módulo de elasticidade do aço; 
∆𝜎𝜎𝑚𝑚𝑎𝑎𝑐𝑐 → perda de protensão por deformação da ancoragem 
 
5.2 Perdas Progressivas 
 
Também denominadas de perdas ao longo do tempo são deveras importantes em 
relação as forças de protensão e a efetiva consideração dos efeitos necessários nas peças de 
concreto protendido. 
 
5.2.1.1 Perda devido à relaxação da armadura 
 
A armadura de protensão, mesmo as com baixa relaxação (RB), após estirada, com o 
passar do tempo sofre um alívio de tensão, uma relaxação, resultando em uma deformação 
permanente. 
 
 
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Segundo a NBR 6118:14 em seu item 9.6.3.4.5 a intensidade da relaxação do aço deve 
ser determinada pelo coeficiente ψ(t,t0), calculado pela equação: 
𝜓𝜓(𝑡𝑡, 𝑡𝑡0) = Δ𝜎𝜎𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡, 𝑡𝑡0)
𝜎𝜎𝜎𝜎𝑢𝑢
 (𝟏𝟏𝟏𝟏) 
Onde: 
∆𝜎𝜎𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑡𝑡, 𝑡𝑡0) → é a perda de tensão por relaxação pura desde o instante t0 do 
estiramento da armadura até o instante t considerado. 
𝜎𝜎𝑝𝑝𝑢𝑢 → tensão na armadura de protensão no instante de seu estiramento 
 
 
Como parâmetro adota-se os valores de relaxação após as 1000 h a uma temperatura de 
20ºC, determinados a partir da expressão abaixo: 
𝜓𝜓(𝑡𝑡, 𝑡𝑡0) = 𝜓𝜓1000. �𝑡𝑡 − 𝑡𝑡041,67�0,15 (𝟏𝟏𝟏𝟏) 
Valores de t em dias. 
Desta forma, para determinar-se o nível de tensão que ocorre no cabo, deve-se diminuir 
da tensão inicial as perdas imediatas e a partir deste novo valor de tensão calcular a porcentagem de 
tensão restante: 
𝑅𝑅 = (𝜎𝜎𝑢𝑢 − ∑∆𝜎𝜎)
𝜎𝜎𝑢𝑢
 (𝟏𝟏𝟐𝟐) 
 
No caso de tensões inferiores a 0,5𝑓𝑓𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 supõe-se não haver perda por relaxação. Já para 
valores intermediários conforme tabela abaixo cabe a interpolação dos valores: 
 
 Cordoalhas Fios 
Barras 
Tensão Inicial RN RB RN RB 
𝟏𝟏,𝟓𝟓.𝒇𝒇𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 
𝟏𝟏,𝟔𝟔.𝒇𝒇𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5 
𝟏𝟏,𝟕𝟕.𝒇𝒇𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 7,0 2,5 5,0 2,0 4,0 
𝟏𝟏,𝟖𝟖.𝒇𝒇𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 12,0 3,5 8,5 3,0 7,0 
 
Tabela 7 - Valores de ψ1000 em % (Fonte: NBR 6118:14) 
 
 
U
N
ID
AD
E 
V 
– 
Pe
rd
as
 d
e 
Pr
ot
en
sã
o 
 60
 
No caso de tempo infinito considera-se: 𝜓𝜓(∞, 𝑡𝑡0) = 2,5.𝜓𝜓1000 
 
5.2.1.2 Perda devido à retração do concreto 
 
A retração do concreto se caracteriza como um fenômeno reológico, ou em outras 
palavras, que tem relação direta com as deformações e escoamentos dos materiais sujeitos a uma 
ação mecânica. 
Agora, supondo-se que o elemento esteja livre para retrair e desta forma seu 
encurtamento será igual a 𝜀𝜀𝑐𝑐,𝑐𝑐(𝑡𝑡, 𝑡𝑡0), sendo que, caso haja aderência concreto x armadura, a 
segunda também encurtará resultando na perda de protensão (𝜀𝜀𝑝𝑝 = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑡𝑡, 𝑡𝑡0)). 
Desta forma, retrata-se a perda por retração com base na equação que segue: 
∆𝜎𝜎𝑝𝑝,𝑐𝑐(𝑡𝑡, 𝑡𝑡0) = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑡𝑡, 𝑡𝑡0).𝐸𝐸𝑝𝑝 (𝟏𝟏𝟑𝟑) 
Tendo em mente que a retração depende da umidade relativa do ar, da consistência do 
concreto na ocasião da concretagem (fator a/c) e da espessura fictícia do elemento, recorre-se para 
determinação desta perda, entre outros, os dados extraídos da tabela da A.1 da NBR 6118:14: 
 Umidade 
Fluência 
𝜑𝜑1𝑐𝑐𝑚𝑚,𝑐𝑐 Retração 104𝜀𝜀1𝑠𝑠𝑏𝑏,𝑐𝑐 
𝛾𝛾𝑑𝑑 
Ambiente U Abatimento de acordo com a ABNT NBR NM 67cm 
 [ % ] 0 ̶ 4 5 ̶ 9 10 ̶ 15 0 ̶ 4 5 ̶ 9 10 ̶ 15 
Na água ̶ 0,6 0,8 1,0 +1,0 +1,0 +1,0 30 
Em ambiente muito 
úmido imediatamente 
acima da água 
90 1,0 1,3 1,6 -1,9 -2,5 -3,1 5,0 
Ao ar livre, em geral 70 1,5 2,0 2,5 -3,8 -5,0 -6,2 1,5 
Em ambiente seco 40 2,3 3,0 3,8 -4,7 -6,3 -7,9 1,0 
a φ1c = 4,45 − 0,035U para abatimento no intervalo de 5 a 9cm e U ≤ 90% 
b 104𝜀𝜀1𝑠𝑠 = −8,09 + (𝑈𝑈 15⁄ ) − (𝑈𝑈2 2.284)⁄ + (𝑈𝑈3 133.765⁄ ) − (𝑈𝑈4 7.608.150)⁄ para abatimentos de 5 
 a 9cm e 40% ≤ U ≤ 90% 
c Os valores de 𝜑𝜑1𝑐𝑐 e 𝜀𝜀1𝑠𝑠 para U<90% e abatimento entre 0 e 4cm são 25% menores e, para abatimentos 
 entre 10 e 15cm, são 25% maiores. 
d 𝛾𝛾 = 1 + exp (−7,08 + 0,1.𝑈𝑈) para U ≤ 90% 
 
Tabela 8 - Valores numéricos usuais para determinação da fluência e da retração 
 
 
 
U
N
ID
AD
E 
V 
– 
Pe
rd
as
 d
e 
Pr
ot
en
sã
o 
 61
 
Sabendo que a retração entre os tempos t0 e t pode ser dada pela expressão que segue: 
𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑡𝑡,