Geometria Descritiva- Apostila com Exercícios
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Geometria Descritiva- Apostila com Exercícios


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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO 
TECNOLÓGICA 
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ENGENHARIA CIVIL: 
 NOTAS DE AULA 
 
 
GEOMETRIA DESCRITIVA 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof. Msc. Gustavo Cabrelli Nirschl 
 
 
 
 
 
 
Junho de 2014
 
 
PROVAS E TRABALHOS DA DISCIPLINA 
 
1º BIMESTRE: 
Media1 = (Prova1 * 0,6) + (Trabalhos1 * 0,4) 
SE Média1 < 6,0 \uf0e0 RECUPERAÇÃO (máximo 6,0) 
 
2º BIMESTRE: 
Media2 = (Prova2 * 0,6) + (Trabalhos2 * 0,4) 
SE Média2 < 6,0 \uf0e0 RECUPERAÇÃO (máximo 6,0) 
 
MÉDIA = (Media1 + Media2) / 2 
 
SE 4,0 < MÉDIA < 6,0 \uf0e0 REAVALIAÇÃO (máximo 10,0) 
 
MÉDIA FINAL = maior entre MÉDIA e REAVALIAÇÃO 
 
CRITÉRIOS DE APROVAÇÃO 
 
FREQUENCIA \u2265 75% 
MÉDIA FINAL \u2265 6,0 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. GEOMETRIA ANALÍTICA E GEOMETRIA DESCRITIVA ...................................... 4 
2. PONTO, RETA, PLANO: ELEMENTOS PRÓPRIOS E IMPRÓPRIOS .................. 5 
3. PROJEÇÃO CÔNICA E CILÍNDRICA .................................................................. 10 
4. A ÉPURA NO SISTEMA MONGEANO DE PROJEÇÃO...................................... 12 
5. VERDADEIRA GRANDEZA ................................................................................. 30 
6. MUDANÇA DE PLANO ........................................................................................ 32 
7. TRAÇOS ............................................................................................................... 36 
8. VISIBILIDADE ....................................................................................................... 45 
9. PERTINÊNCIA ...................................................................................................... 47 
10. ESTUDO DAS INTERSECÇÕES ........................................................................ 65 
11. ESTUDO DAS SOMBRAS .................................................................................. 71 
12. BIBLIOGRAFIA .................................................................................................. 87 
 
 
 
 
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1. GEOMETRIA ANALÍTICA E GEOMETRIA DESCRITIVA 
 
O estudo da Geometria se divide em duas grandes áreas de conhecimento: 
as geometrias métricas e as geometrias de posição. 
 As geometrias ditas métricas têm por objetivo determinar as dimensões 
(numericamente, matematicamente) das figuras geométricas, estabelecendo os 
teoremas que irão inter-relacionar as grandezas de seus elementos. A Geometria 
Analítica enquadra-se aqui. 
Já as geometrias de posição tratam fundamentalmente das formas 
propriamente ditas das figuras geométricas, sendo por isso também conhecidas 
como geometrias gráficas. Nessa área destaca-se a Geometria Descritiva. 
Para acompanhar esta apostila e até mesmo fazer exercícios, é conveniente o 
aluno baixar o software gratuito \u201cGEOMETRIA DESCRITIVA\u201d, disponível em 
<http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_geometria.php>, acessado em 
23/06/2014. O Software é fácil de usar e é baseado em coordenadas, sendo 
possível introduzir pontos, retas e sólidos, além de visualizá-los espacialmente e em 
épura (conceito que será aqui estudado). 
 
 
Figura: Tela do software \u201cGEOMETRIA DESCRITIVA\u201d, disponível em 
<http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_geometria.php>, acessado em 
23/06/2014. Fonte: O próprio autor. 
 
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2. PONTO, RETA, PLANO: ELEMENTOS PRÓPRIOS E IMPRÓPRIOS 
 
 Segundo Rabello (2005), a Geometria é o ramo da Matemática que se 
propõe a estudar as figuras existentes na natureza. As figuras estudadas na 
Geometria são, de um modo geral, a associação de uma ou mais formas 
específicas, formas estas denominadas formas geométricas. 
 O autor cita que são considerados primitivos (algo que dispensa definição 
sob o ponto de vista geométrico) os conceitos de ponto, reta, plano e espaço. 
Forma e dimensão são conceitos que podem ser compreendidos melhor quando se 
fazem analogias a coisas conhecidas. Quando se diz, por exemplo, que determinado 
objeto parece uma laranja, na verdade estamos dizendo que o objeto tem a &quot;forma&quot; 
de uma laranja. Quando se diz, por outro lado, que uma árvore é mais alta que 
outra, na verdade estamos dizendo que a altura (dimensão) de uma é maior que a 
(dimensão) da outra. 
 As noções de ponto, reta, plano e espaço são puramente intuitivas e, ao 
contrário do que ocorre com os conceitos de forma e dimensão, &quot;emprestam&quot; sua 
concepção para descrever determinadas situações. Por exemplo: \u201cAqueles postes 
estão em linha reta.\u201d; \u201cO tampo dessa mesa é plano.\u201d 
O ponto - o mais simples dos elementos - como se pode intuir, não tem forma 
e nem dimensão. Entretanto, qualquer forma geométrica pode ser obtida a partir do 
ponto. A linha, por exemplo, pode ser definida como uma sucessão contínua de 
pontos. Cruz e Amaral (2012) citam que, se o ponto mantiver sempre a mesma 
direção, sem desviar, dará origem a uma linha reta. Se, ao contrário, o ponto mudar 
constantemente de direção, dará origem a uma linha curva. Se, ainda, o ponto 
mudar bruscamente de direção de tempos em tempos, curvas ou não, originará uma 
linha poligonal (ou polilinha). 
 
LINHA RETA LINHA CURVA LINHA POLIGONAL 
 
Figura: Conceitos de linha. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
A forma da reta leva a outra idéia puramente intuitiva que é a noção de 
direção. Dois pontos distintos - não coincidentes, portanto - determinam a direção da 
reta a qual pertencem. Cruz e Amaral (2012) citam que uma reta não possui início 
nem fim, sendo ilimitada nos dois sentidos. Entretanto, se marcarmos sobre uma 
reta dois pontos A e B, o número infinito de pontos existentes entre A e B constitui 
um segmento de reta que tem A e B como extremos. Por outro lado, se marcarmos 
sobre uma reta um ponto O, a reta ficará dividida em duas partes chamadas semi-
retas. Nesta apostila e até em livros publicados, por vezes se diz reta referindo-se a 
um segmento de reta. Sendo assim, há apenas que se ter os conceitos em mente. 
 
 
 
RETA E SEGUMENTO DE RETA AB SEMI-RETAS 
 
Figura: Conceitos de reta. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
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Três ou mais pontos são ditos colineares quando pertencem a uma mesma 
reta. Três pontos não colineares determinam um plano (ou uma superfície plana). 
Assim como as retas, os planos também se estendem ao infinito. E, da mesma 
forma que um ponto divide uma reta em duas semi-retas, uma reta divide um plano 
em dois semiplanos. 
 
 
 
Figura: Pontos colineares e pontos coplanares. 
 
Duas ou mais retas são ditas coplanares quando pertencem a um mesmo 
plano (semi-retas AB, AC e BC da figura anterior à direita). 
Uma superfície, por sua vez, pode ser definida como o conjunto das posições 
de uma linha móvel. Quando a superfície é concebida pelo conjunto das posições de 
uma linha reta que se desloca em trajetória retilínea e paralela a si mesma, é 
denominada de superfície plana ou plano. Quando a superfície é obtida pelo 
movimento de uma linha curva que se desloca no espaço, é chamada de superfície 
curva. 
 
 
SUPERFÍCIE PLANA SUPERFÍCIE CURVA (OU CURVA REVERSA) 
 
Figura: Conceitos de superfície. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Face ao exposto até aqui, pode-se concluir que uma figura geométrica é um 
conjunto de formas caracterizadas por pontos, linhas e superfícies que se inter-
relacionam segundo uma ou mais leis de geração. 
É de uso corrente admitir-se que duas retas paralelas jamais se encontram e, 
portanto, não existe ponto comum a ambas. Porém, segundo Rabello (2005), se 
observarmos um longo trecho reto de uma estrada de ferro, teremos a nítida 
impressão de que, ao longe, os trilhos - que são paralelos -