Geometria Descritiva- Apostila com Exercícios

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO 
TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENGENHARIA CIVIL: 
 NOTAS DE AULA 
 
 
GEOMETRIA DESCRITIVA 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof. Msc. Gustavo Cabrelli Nirschl 
 
 
 
 
 
 
Junho de 2014
 
 
PROVAS E TRABALHOS DA DISCIPLINA 
 
1º BIMESTRE: 
Media1 = (Prova1 * 0,6) + (Trabalhos1 * 0,4) 
SE Média1 < 6,0  RECUPERAÇÃO (máximo 6,0) 
 
2º BIMESTRE: 
Media2 = (Prova2 * 0,6) + (Trabalhos2 * 0,4) 
SE Média2 < 6,0  RECUPERAÇÃO (máximo 6,0) 
 
MÉDIA = (Media1 + Media2) / 2 
 
SE 4,0 < MÉDIA < 6,0  REAVALIAÇÃO (máximo 10,0) 
 
MÉDIA FINAL = maior entre MÉDIA e REAVALIAÇÃO 
 
CRITÉRIOS DE APROVAÇÃO 
 
FREQUENCIA ≥ 75% 
MÉDIA FINAL ≥ 6,0 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. GEOMETRIA ANALÍTICA E GEOMETRIA DESCRITIVA ...................................... 4 
2. PONTO, RETA, PLANO: ELEMENTOS PRÓPRIOS E IMPRÓPRIOS .................. 5 
3. PROJEÇÃO CÔNICA E CILÍNDRICA .................................................................. 10 
4. A ÉPURA NO SISTEMA MONGEANO DE PROJEÇÃO...................................... 12 
5. VERDADEIRA GRANDEZA ................................................................................. 30 
6. MUDANÇA DE PLANO ........................................................................................ 32 
7. TRAÇOS ............................................................................................................... 36 
8. VISIBILIDADE ....................................................................................................... 45 
9. PERTINÊNCIA ...................................................................................................... 47 
10. ESTUDO DAS INTERSECÇÕES ........................................................................ 65 
11. ESTUDO DAS SOMBRAS .................................................................................. 71 
12. BIBLIOGRAFIA .................................................................................................. 87 
 
 
 
 
 4 
 
1. GEOMETRIA ANALÍTICA E GEOMETRIA DESCRITIVA 
 
O estudo da Geometria se divide em duas grandes áreas de conhecimento: 
as geometrias métricas e as geometrias de posição. 
 As geometrias ditas métricas têm por objetivo determinar as dimensões 
(numericamente, matematicamente) das figuras geométricas, estabelecendo os 
teoremas que irão inter-relacionar as grandezas de seus elementos. A Geometria 
Analítica enquadra-se aqui. 
Já as geometrias de posição tratam fundamentalmente das formas 
propriamente ditas das figuras geométricas, sendo por isso também conhecidas 
como geometrias gráficas. Nessa área destaca-se a Geometria Descritiva. 
Para acompanhar esta apostila e até mesmo fazer exercícios, é conveniente o 
aluno baixar o software gratuito “GEOMETRIA DESCRITIVA”, disponível em 
<http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_geometria.php>, acessado em 
23/06/2014. O Software é fácil de usar e é baseado em coordenadas, sendo 
possível introduzir pontos, retas e sólidos, além de visualizá-los espacialmente e em 
épura (conceito que será aqui estudado). 
 
 
Figura: Tela do software “GEOMETRIA DESCRITIVA”, disponível em 
<http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_geometria.php>, acessado em 
23/06/2014. Fonte: O próprio autor. 
 
 5 
 
2. PONTO, RETA, PLANO: ELEMENTOS PRÓPRIOS E IMPRÓPRIOS 
 
 Segundo Rabello (2005), a Geometria é o ramo da Matemática que se 
propõe a estudar as figuras existentes na natureza. As figuras estudadas na 
Geometria são, de um modo geral, a associação de uma ou mais formas 
específicas, formas estas denominadas formas geométricas. 
 O autor cita que são considerados primitivos (algo que dispensa definição 
sob o ponto de vista geométrico) os conceitos de ponto, reta, plano e espaço. 
Forma e dimensão são conceitos que podem ser compreendidos melhor quando se 
fazem analogias a coisas conhecidas. Quando se diz, por exemplo, que determinado 
objeto parece uma laranja, na verdade estamos dizendo que o objeto tem a "forma" 
de uma laranja. Quando se diz, por outro lado, que uma árvore é mais alta que 
outra, na verdade estamos dizendo que a altura (dimensão) de uma é maior que a 
(dimensão) da outra. 
 As noções de ponto, reta, plano e espaço são puramente intuitivas e, ao 
contrário do que ocorre com os conceitos de forma e dimensão, "emprestam" sua 
concepção para descrever determinadas situações. Por exemplo: “Aqueles postes 
estão em linha reta.”; “O tampo dessa mesa é plano.” 
O ponto - o mais simples dos elementos - como se pode intuir, não tem forma 
e nem dimensão. Entretanto, qualquer forma geométrica pode ser obtida a partir do 
ponto. A linha, por exemplo, pode ser definida como uma sucessão contínua de 
pontos. Cruz e Amaral (2012) citam que, se o ponto mantiver sempre a mesma 
direção, sem desviar, dará origem a uma linha reta. Se, ao contrário, o ponto mudar 
constantemente de direção, dará origem a uma linha curva. Se, ainda, o ponto 
mudar bruscamente de direção de tempos em tempos, curvas ou não, originará uma 
linha poligonal (ou polilinha). 
 
LINHA RETA LINHA CURVA LINHA POLIGONAL 
 
Figura: Conceitos de linha. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
A forma da reta leva a outra idéia puramente intuitiva que é a noção de 
direção. Dois pontos distintos - não coincidentes, portanto - determinam a direção da 
reta a qual pertencem. Cruz e Amaral (2012) citam que uma reta não possui início 
nem fim, sendo ilimitada nos dois sentidos. Entretanto, se marcarmos sobre uma 
reta dois pontos A e B, o número infinito de pontos existentes entre A e B constitui 
um segmento de reta que tem A e B como extremos. Por outro lado, se marcarmos 
sobre uma reta um ponto O, a reta ficará dividida em duas partes chamadas semi-
retas. Nesta apostila e até em livros publicados, por vezes se diz reta referindo-se a 
um segmento de reta. Sendo assim, há apenas que se ter os conceitos em mente. 
 
 
 
RETA E SEGUMENTO DE RETA AB SEMI-RETAS 
 
Figura: Conceitos de reta. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 6 
 
Três ou mais pontos são ditos colineares quando pertencem a uma mesma 
reta. Três pontos não colineares determinam um plano (ou uma superfície plana). 
Assim como as retas, os planos também se estendem ao infinito. E, da mesma 
forma que um ponto divide uma reta em duas semi-retas, uma reta divide um plano 
em dois semiplanos. 
 
 
 
Figura: Pontos colineares e pontos coplanares. 
 
Duas ou mais retas são ditas coplanares quando pertencem a um mesmo 
plano (semi-retas AB, AC e BC da figura anterior à direita). 
Uma superfície, por sua vez, pode ser definida como o conjunto das posições 
de uma linha móvel. Quando a superfície é concebida pelo conjunto das posições de 
uma linha reta que se desloca em trajetória retilínea e paralela a si mesma, é 
denominada de superfície plana ou plano. Quando a superfície é obtida pelo 
movimento de uma linha curva que se desloca no espaço, é chamada de superfície 
curva. 
 
 
SUPERFÍCIE PLANA SUPERFÍCIE CURVA (OU CURVA REVERSA) 
 
Figura: Conceitos de superfície. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Face ao exposto até aqui, pode-se concluir que uma figura geométrica é um 
conjunto de formas caracterizadas por pontos, linhas e superfícies que se inter-
relacionam segundo uma ou mais leis de geração. 
É de uso corrente admitir-se que duas retas paralelas jamais se encontram e, 
portanto, não existe ponto comum a ambas. Porém, segundo Rabello (2005), se 
observarmos um longo trecho reto de uma estrada de ferro, teremos a nítida 
impressão de que, ao longe, os trilhos - que são paralelos -se encontram num ponto 
distante, no infinito (veja a figura a seguir). A idéia de elementos geométricos 
situados no infinito introduziu na geometria os chamados elementos impróprios. 
 7 
 
 
 
 
Figura: Ponto impróprio. 
 
Deve-se perceber que um elemento impróprio não existe na realidade, mas 
apenas na visão do observador ou representado num desenho ou imagem. 
O conceito hoje adotado estabelece que duas retas paralelas são 
concorrentes num ponto impróprio, definido apenas pela direção dessas retas 
(figura anterior). Por extensão, pode-se aceitar que a reta comum a dois planos 
paralelos é uma reta imprópria. 
 
Figura: Reta imprópria. 
 
 8 
 
 Concluindo, temos: 
 
CONCEITOS PRIMITIVOS (algo que dispensa definição sob o ponto de vista 
geométrico): 
 
- forma e dimensão 
- ponto, reta e plano (elementos fundamentais) 
- linha e superfície 
- espaço 
 
PROPOSIÇÕES BÁSICAS OU POSTULADOS (aceitas mesmo sem comprovação): 
 
1) há, no espaço, um número infinito de pontos, retas e planos 
2) um ponto pertence a um número infinito de retas e a um número infinito de planos 
3) uma reta contém um número infinito de pontos e pertence a um número infinito de 
planos 
4) um plano contém um número infinito de pontos e um número infinito de retas 
5) dois pontos são suficientes para determinar uma reta 
6) três pontos não colineares são suficientes para determinar um plano 
7) dois planos que se cruzam determinam uma reta que pertence, simultaneamente, 
a ambos 
 
 8) um plano e uma reta que não lhe pertence determinam um ponto comum. 
 
 
PROPOSIÇÕES DECORRENTES (nascem por causa dos postulados): 
 
A 5ª proposição básica permite afirmar que: 
 
1) duas retas distintas (portanto, não coincidentes) são paralelas quando têm a 
mesma direção 
 
 9 
 
Da 5ª e 6ª proposições básicas, pode-se deduzir que: 
 
2) uma reta e um ponto que não lhe pertence determinam um plano 
3) duas retas coplanares (que pertencem a um mesmo plano) não paralelas 
determinam um ponto comum 
4) uma reta pertence a um plano quando pelo menos dois de seus pontos pertencem 
ao plano 
5) para que uma reta seja paralela a um plano, basta que seja paralela a uma reta 
desse plano. 
 
EXERCÍCIOS 
 
2.1) Nos softwares CAD, existe um comando chamado “polyline” (polilinha, em 
português). Para que esse comando serve? 
 
2.2) O que significam os temos “reta”, “segmento de reta” e “semi-reta”? 
 
2.3) Segundo a Geometria Descritiva, o que é um “elemento impróprio”? 
 
2.4) Assinale VERDADEIRO (V) ou FALSO (F): 
( ) um plano pertence a um número infinito de retas e a um número infinito de 
pontos 
( ) uma reta pertence a um plano quando pelo menos dois de seus pontos 
pertencem ao plano 
( ) um ponto contém um número infinito de retas e pertence a um número 
infinito de planos 
( ) dois pontos não colineares são suficientes para determinar um plano 
( ) dois planos que se cruzam determinam uma reta que pertence, 
simultaneamente, a ambos 
( ) duas retas são paralelas quando têm a mesma direção 
( ) um plano contém um número infinito de pontos e um número infinito de retas 
( ) dois pontos não são suficientes para determinar uma reta 
( ) uma reta e um ponto que não lhe pertence determinam um plano 
( ) duas retas ortogonais determinam um ponto comum* 
( ) duas retas perpendiculares determinam um ponto comum* 
( ) para que uma reta seja paralela a um plano, basta que seja paralela a uma 
reta que passa por esse plano. 
( ) há, no espaço, um número infinito de pontos, retas e planos 
( ) um plano e uma reta que não lhe pertence determinam um ponto comum 
( ) existem infinitas direções e, para cada uma delas, apenas 2 sentidos 
( ) todo segmento de reta perpendicular a um plano é ortogonal a ele, mas nem 
todo segmento de reta ortogonal a um plano é perpendicular a ele 
 
*Obs: dois elementos são ortogonais quando suas direções ou prolongamentos 
formam ângulos de 90º. Dois elementos são perpendiculares quando suas direções 
formam ângulos de 90º a partir de um ponto comum. 
 
 
 
 10 
 
3. PROJEÇÃO CÔNICA E CILÍNDRICA 
 
Projetar significa representar graficamente, em um ou vários planos, uma 
figura localizada no espaço. Seja, por exemplo, a imagem abaixo, onde temos uma 
figura (A)(B)(C) no espaço projetada no plano (), gerando a projeção ABC. 
 
 
Figura: Projeção cônica. Fonte: Miceli e Ferreira (????). 
 
De acordo com a figura, podemos definir: 
(P) - centro de projeção, pólo ou vértice. 
Triângulo (A)(B)(C) - figura plana no espaço, a ser projetada. Os pontos (A)(B)(C) 
são chamados pontos objetivos. 
() - plano de projeção. 
(P)(A),(P)(B),(P)(C) - raios projetantes. 
Triângulo ABC - projeção do triângulo (A)(B)(C) sobre o plano (). 
 
PROJEÇÃO CÔNICA (OU CENTRAL) 
 
Numa projeção cônica, o centro de projeção está a uma distância finita do 
plano de projeção e os raios projetantes são divergentes. Em outras palavras, o 
centro de projeção é um ponto próprio. A figura anterior é um exemplo. Um exemplo 
de centro de projeção é uma lâmpada, numa distância finita de um objeto. 
Repetindo, com as nomenclaturas: 
 
 
Figura: Projeção cônica - nomenclaturas. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
 
 
 11 
 
PROJEÇÃO PARALELA (OU CILÍNDRICA) 
 
Numa projeção paralela, o centro de projeção está a uma distância infinita do 
plano de projeção e os raios projetantes são paralelos entre si (veja as próximas 
figuras). Em outras palavras, o centro de projeção é um ponto impróprio. Como 
exemplo, podemos citar a luz Sol. 
A projeção paralela pode ser: 
• Ortogonal: os raios projetantes formam com o plano de projeção um ângulo de 90°. 
 
 
Figura: Projeção paralela ortogonal. Fonte: Miceli e Ferreira (????). 
 
• Oblíqua: os raios projetantes formam com o plano de projeção um ângulo diferente 
de 90°. 
 
 
Figura: Projeção paralela oblíqua. Fonte: Miceli e Ferreira (????). 
 
EXERCÍCIOS 
 
3.1) A sombra de um objeto que está na mesa da cozinha, causada pela lâmpada 
acesa, se enquadra em que tipo de projeção? 
 
3.2) Um “relógio de sol” pode ser criado com base nos estudos de que tipo de 
projeção? O sol, neste caso, é um elemento próprio ou impróprio? Por que? 
 12 
 
4. A ÉPURA NO SISTEMA MONGEANO DE PROJEÇÃO 
 
Para se definir a forma e a posição de um objeto no espaço de forma 
satisfatória utilizando-se um sistema de projeções, uma só projeção (como 
demonstrado anteriormente) pode não ser suficiente. Assim, na Geometria Descritiva 
clássica, são utilizados dois planos de projeção para se representar um objeto, 
sendo que o sistema de projeção adotado é o Sistema de Projeções Paralelas (ou 
Cilíndricas) Ortogonais. 
O método da “Dupla projeção ortogonal” foi obra da genialidade de Gaspar 
Monge, célebre matemático francês, no final do século XVII e, por isso, é também 
conhecido como método mongeano. 
O método consiste em se determinar duas projeções ortogonais do objeto 
sobre dois planos perpendiculares entre si, o plano horizontal de projeção () e o 
plano vertical de projeção (’). Esses dois planos dividem o espaço em quatro 
regiões, denominadas DIEDROS, e se interceptam segundo uma linha chamada 
“linha de terra”. 
 
 
 
Figura: Planos de projeção perpendiculares. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Qualquer objeto, quando representado no Sistema Mongeano, possuirá duas 
projeções, uma no plano horizontal de projeção e outra no plano vertical de 
projeção. 
Rebatendo-se o plano horizontal () sobre o vertical ('), ou vice-versa, é 
possível representar uma figura do espaço tridimensional em um único plano, 
obtendo-se o que sechama de épura. 
 
 
 13 
 
 
Figura: Projeções ortogonais de um objeto localizado no 1º diedro (esquerda). Épura 
obtida (direita) Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
A épura possibilita, portanto, a representação de um objeto tridimensional em 
um espaço bidimensional, a folha de papel, tornando possível a resolução de 
inúmeros problemas geométricos. 
Se usarmos apenas um ponto (A) no espaço como objeto, temos: 
 
 
 
Figura: Projeção ortogonal de um ponto (A) e a épura resultante. Fonte: Miceli e 
Ferreira (????). 
 
A linha que une as projeções A e A' do ponto (A) denomina-se linha de 
chamada ou linha de projeção e é perpendicular à linha de terra. Em épura, 
convenciona-se suprimir o contorno dos planos e representar a linha de terra 
acrescida de dois pequenos traços colocados abaixo e paralelos à mesma. 
 
 14 
 
 
 
Figura: Projeção de um ponto (A) e a épura resultante, sem o contorno dos planos. 
Fonte: Miceli e Ferreira (????). 
 
Para a melhor localização do ponto (ou qualquer outra figura) no espaço, 
pode-se utilizar um terceiro plano de projeção, de perfil, perpendicular aos outros 
dois. Neste caso, o processo pode ser chamado de “tripla projeção”. A interseção 
dos três planos de projeção define um ponto denominado origem (O) que, em épura, 
pode representar a posição do plano de perfil ("). 
O rebatimento do plano de perfil é feito num giro de 90° sobre o plano vertical, 
ou seja, fazendo-se com que (), (’) e (") sejam coincidentes. 
 
 
 
Figura: Projeção de um ponto (A) e a épura resultante, considerando o terceiro plano 
de projeção. Fonte: Miceli e Ferreira (????). 
 
Desta forma, cada ponto de um objeto no espaço será definido através de três 
coordenadas (x, y, z) que correspondem a: abscissa, afastamento e cota. 
 
 Abscissa (x) - é a projeção da distância do ponto (A) à projeção A” no plano de 
perfil ("); 
Afastamento (y) - é a projeção da distância do ponto (A) à projeção A’ no plano 
vertical (’); e 
 Cota (z) - é a projeção da distância do ponto (A) à projeção A no plano horizontal 
(). 
 
 15 
 
 
Figura: Definição dos eixos e distâncias numa projeção mongeana. Fonte: Miceli e 
Ferreira (????). 
 
 Após os rebatimentos dos planos, ficamos com: 
 
Figura: Definição dos eixos e distâncias numa projeção mongeana, após os 
rebatimentos dos planos. Fonte: Miceli e Ferreira (????). 
 
EXEMPLO: tem-se um ponto (A) no espaço com coordenadas (2,3,5) cm. Essa 
nomenclatura sempre significa (x,y,z). Os passos para desenhar a épura são: 
1) desenhar os eixos x, y e z, conforme figura anterior; 
 16 
 
2) marcar os planos (), (’) e (’’), conforme figura anterior; 
3) marcar uma das projeções. Normalmente começa-se pelo plano (), marcando, 
nos eixos correspondentes, os valores de x e y, no caso, 2 e 3 cm, respectivamente; 
4) traçar as linhas de chamada e, no cruzamento, obter a projeção A (veja figura 
anterior); 
5) repetir o procedimento para o plano (’), agora marcando os valores de x e z, no 
caso, 3 e 5 cm, e encontrando A’ no cruzamento das linhas de chamada; 
6) para fazer a projeção no plano (’’), não é necessário fazer as marcações, porque 
todas já foram feitas. Apenas trace as linhas de chamada. No caso do eixo y, como 
comentado, pode-se utilizar o compasso com centro em O para traçar a linha de 
chamada; e 
7) o resultado deve ser igual ao da figura anterior, só que com as medidas 
fornecidas. 
 
 Note que os valores das coordenadas podem ser negativos. Observe-se os 
casos da figura a seguir. 
 
Figura: Definição dos eixos e distâncias numa projeção mongeana, após os 
rebatimentos dos planos. Fonte: Miceli e Ferreira (????). 
 
REPRESENTAÇÕES NOS DEMAIS DIEDROS 
 
 A tabela a seguir fornece um resumo de como ficam as projeções de um 
ponto de acordo com a localização em cada diedro. Considera-se cota positiva 
acima de LT e afastamento positivo abaixo da LT. Quando houver representação no 
terceiro plano, a abscissa é sempre positiva. 
 
Figura: Convenções positivas das distâncias. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
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Tabela: projeções de um ponto de acordo com a localização em cada diedro. Fonte: 
Cruz e Amaral (2012). 
 
 
 
 
Se o ponto estiver contido num dos planos, temos a tabela a seguir. 
 
 
 
 
 18 
 
Tabela: projeções de um ponto de acordo com a localização contida em cada um 
dos planos de projeção. Fonte: Cruz e Amaral 
(2012).
 
 
 19 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
4.1) Representar os pontos (A), (B) e (C) em épura (dupla projeção), conhecendo-se 
as suas coordenadas (em mm) e a sua posição no espaço de acordo com a figura a 
seguir. Dados: (A) [ 0 ; 20 ; 20 ], (B) [ -10 ; 10 ; -20 ] e (C) [ 10 ; -30 ; 20 ]. 
 
 
4.2) Dado um ponto com coordenadas x,y,z igual a (2,3,4) cm, desenhar a épura na 
escala 1:1. 
 
4.3) Representar, em dupla projeção, os pontos, com abscissa igual a 2 cm e 
(afastamento, cota) indicados a seguir. 
A(3;1) F(-3;3) J(2;-2) 
B(2;4) G(4;-1) K(-1;2) 
C(0;3) H(0;-3) L(-4;0) 
D(2;0) I(-2;-3) M(0;0) 
4.4) Representar, em tripla projeção, os pontos (x,y,z): 
A(3;2;4) C(2;-4;3) E(1;1;0) 
B(5;3;-1) D(6;0;5) F(4;0;0) 
 
 20 
 
ÉPURA: SEGMENTO DE RETA 
 
Para se projetar um segmento de reta, basta projetar seus dois pontos 
extremos e ligá-los. As três possíveis posições do segmento em relação aos planos 
de projeção são analisadas a seguir. 
 
 Segmentos de reta paralelos ao plano de projeção - sua projeção se apresenta 
em verdadeira grandeza (V.G.), ou seja, com sua medida e/ou inclinação reais. 
 
 
Figura: Projeções de segmento de reta paralelo aos planos de projeção. Fonte: 
Miceli e Ferreira (????). 
 
 Segmentos de reta ortogonais ao plano de projeção - sua projeção se apresenta 
reduzida a um ponto. 
 
 
Figura: Projeções de segmentos de reta ortogonais aos planos de projeção. Fonte: 
Miceli e Ferreira (????). 
 
 Segmentos de reta oblíquos em relação ao plano de projeção - sua projeção se 
apresenta como um segmento de reta com deformação linear, ou seja, com medidas 
diferentes das reais. 
 21 
 
 
Figura: Projeções de segmento de reta oblíquo aos planos de projeção. Fonte: Miceli 
e Ferreira (????). 
 
Um segmento de reta paralelo a um determinado plano pode estar oblíquo ou 
ortogonal a um ou aos dois outros, e vice-versa. Vamos analisar as situações 
possíveis usando o 10 diedro: 
 
 Fronto-horizontal - é paralelo aos planos () e (’), e ortogonal ao plano (’’). Suas 
projeções no plano horizontal () e no vertical (’) apresentam-se em verdadeira 
grandeza (V.G.) e, no plano de perfil (”), a projeção é um ponto. 
 
 
Figura: Projeções de segmento de reta fronto-horizontal. Fonte: Miceli e Ferreira 
(????). 
 
 De topo - é paralelo aos planos () e (”) e ortogonal ao plano (’). Suas 
projeções no plano horizontal () e no de perfil (”) apresentam-se em V.G. e, no 
vertical (’), é um ponto. 
 
 22 
 
 
Figura: Projeções de segmento de reta de topo. Fonte: Miceli e Ferreira (????). 
 
 Vertical - é paralelo aos planos (’) e (”), e ortogonal ao plano (). Suas 
projeções no plano vertical (’) e no de perfil (”) apresentam-se em V.G. e, no 
horizontal (), é um ponto. 
 
Figura: Projeções de segmento de reta vertical. Fonte: Miceli e Ferreira (????). 
 
 Horizontal - é paralelo ao plano () e oblíquo em relação aos planos (’) e (”). 
Somente sua projeção no plano horizontal () apresenta-se em V.G. 
 
 
Figura:Projeções de segmento de reta horizontal. Fonte: Miceli e Ferreira (????). 
 
 Frontal - é paralelo ao plano (’) e oblíquo em relação aos planos () e (”). 
Somente sua projeção no plano vertical () apresenta-se em V.G. 
 
 23 
 
 
Figura: Projeções de segmento de reta vertical. Fonte: Miceli e Ferreira (????). 
 
 De perfil - é paralelo ao plano (”) e oblíquo em relação aos planos () e (’). Sua 
projeção no plano de perfil (”) apresenta-se em V.G. 
 
 
Figura: Projeções de segmento de reta de perfil. Fonte: Miceli e Ferreira (????). 
 
 Genérico ou qualquer - por estar inclinado em relação aos três planos, não 
apresenta V.G. em nenhuma de suas projeções. 
 
 
Figura: Projeções de segmento de reta em posição genérica. Fonte: Miceli e Ferreira 
(????). 
 
 
 
 
 24 
 
EXERCÍCIOS 
 
4.5) Representar as retas (A)(B), (C)(D), (E)(F), (G)(H), (I)(J), (K)(L) e (M)(N) no 
espaço e em épura (dupla projeção), classificando-as quanto à sua posição em 
relação aos planos de projeção. Dados (em mm): 
(A) [ 10 ; 20 ; 10 ] (B) [ 30 ; 10 ; 30 ] (C) [ -30 ; -20 ; -20 ] (D) [ 0 ; -20 ; 30 ] 
(E) [ 20 ; 10 ; 10 ] (F) [ 20 ; 30 ; -20 ] (G) [ 0 ; 10 ; 20 ] (H) [ 30 ; 10 ; 20 ] 
(I) [ -10 ; 10 ; -20 ] (J) [ 20 ; 20 ; -20 ] (K) [ 20 ; 10 ; 10 ] (L) [ 20 ; 10 ; 30 ] 
(M) [ 10 ; 10 ; 20 ] (N) [ 10 ; 30 ; 20 ] 
*Representar cada reta no espaço em um desenho separado, com os planos de 
projeção em perspectiva segundo as seguintes dimensões a seguir, em mm: 
 
 
4.6) Traçar a épura (dupla projeção) contendo as retas (P)(Q), horizontal, (R)(S), de 
topo, e (T)(U), de perfil. Dados (em mm): 
(P) [ -20 ; 10 ; 10 ] (Q) [ 20 ; 30 ; ? ] (R) [ 10 ; 10 ; ? ] 
(S) [ ? ; 40 ; 20 ] (T) [ 0 ; 35 ; 25 ] (U) [ ? ; 25 ; 15 ] 
 
4.7) Representar, em épura (dupla projeção), a reta frontal f, que contém o ponto R 
(4; -3; 6) cm e passa pela origem. Nela marcar os pontos: 
K, com 4 cm de cota 
L, com -2 cm de abscissa 
M, com -4 cm de cota 
Quais os valores das coordenadas dos pontos K, L e M? Medir no desenho. 
 
4.8) Representar, em épura (dupla projeção), a reta vertical v, com -2 cm de 
afastamento e 3 cm de abscissa. Nela marcar os pontos: 
Q, com 4 cm de cota 
R, com -3 cm de cota 
 
 25 
 
ÉPURA: PLANO 
 
As possíveis posições das figuras em relação aos planos de projeção são 
analisadas a seguir. 
 
 Figuras paralelas ao plano de projeção - sua projeção se apresenta em 
verdadeira grandeza (V.G.). 
 
Figura: Projeções plano paralelo aos planos de projeção. Fonte: Miceli e Ferreira 
(????). 
 
 Figuras ortogonais ao plano de projeção - sua projeção se apresenta reduzida a 
um segmento de reta. 
 
Figura: Projeções planos ortogonais ao plano de projeção. Fonte: Miceli e Ferreira 
(????). 
 
 Figuras oblíquas em relação ao plano de projeção - sua projeção se apresenta 
como uma figura deformada, ou seja, com medidas lineares e angulares diferentes 
das reais. 
 
Figura: Projeções plano oblíquo aos planos de projeção. Fonte: Miceli e Ferreira 
(????). 
 
Vamos analisar as situações possíveis usando o 10 diedro: 
 26 
 
 
Figura: Projeções de plano paralelo ao plano de projeção () - HORIZONTAL. Fonte: 
Miceli e Ferreira (????). 
 
Figura: Projeções de plano paralelo ao plano de projeção (”) – DE PERFIL. Fonte: 
Miceli e Ferreira (????). 
 
Figura: Projeções de plano paralelo ao plano de projeção (’) - FRONTAL. Fonte: 
Miceli e Ferreira (????). 
 
Figura: Projeções de plano oblíquo aos planos de projeção - OBLÍQUO. Fonte: Miceli 
e Ferreira (????). 
 
 27 
 
EXERCÍCIOS 
 
4.9) Representar, em épura (dupla projeção), o plano frontal , com -2 cm de 
afastamento, limites de cota -3 a 5 cm e limites de abscissa 0 a 4 cm. Marcar seus 
pontos: 
E (2; ?; 4) cm 
F (2; ?; -2) cm 
G, situado no plano horizontal de projeção, na mesma abscissa dos pontos E e F 
 
4.10) Representar, em épura (dupla projeção), o plano horizontal , com 3 cm de 
cota. Marcar seus vértices: 
A (3;1;?) cm 
B (5;3;?) cm 
C (1;3;?) cm 
 
 28 
 
ÉPURA: SÓLIDO 
 
As faces do sólido projetado abaixo são retângulos paralelos ou ortogonais 
aos diferentes planos. Sua projeção fica então determinada pela junção destas 
faces. Considerando a face em destaque, vemos que está paralela a () e ortogonal 
a (’) e (”). Então a projeção horizontal está em VG e as demais estão reduzidas a 
um segmento de reta. 
 
Figura: Projeções de um sólido. Fonte: Miceli e Ferreira (????). 
 
 Veja que a face superior (e não a inferior) está projetada (representada) no 
plano (). Esta projeção é chamada de VISTA SUPERIOR, em que o observador 
olha “por cima” e representa a vista no plano. A representação é sempre da face que 
se enxerga primeiro (ou antes). 
 Veja outros exemplos: 
 
Figura: Projeções de um sólido com base retangular e faces triangulares. Fonte: 
Miceli e Ferreira (????). 
 
Figura: Projeções de um sólido com uma face circular e lateral como superfície 
curvilínea. Fonte: Miceli e Ferreira (????). 
 
 29 
 
EXERCÍCIOS 
 
4.11) Representar, em épura (dupla projeção), uma pirâmide de base quadrada 
horizontal com 7cm de altura, conhecendo-se os vértices A(4;2;0) e B(-2;3;0). 
Determinar (desenhar e escrever as coordenadas) os seguintes elementos que lhe 
pertencem: 
C (?,?,?) – vértice da base, à esquerda 
D (?,?,?) – vértice da base, à direita 
O (?,?,?) – centro da base 
V (?,?,?) – vértice “ponta” da pirâmide 
 
 30 
 
5. VERDADEIRA GRANDEZA 
 
Para que a forma e as dimensões de um objeto sejam compreendidas de 
modo satisfatório, é necessário que as dimensões da projeção correspondam às 
dimensões reais do objeto. Ou seja, o objeto deve ser representado em sua 
verdadeira grandeza (VG) ou uma escala de ampliação ou redução conveniente, 
sem distorções. Um objeto só está em VG caso esteja representado na escala 1:1 
(escala natural), ou seja, as dimensões do desenho são as reais. Se a 
representação estiver em qualquer outra escala, o desenho não está mais em VG. 
Nesse âmbito de estudo, quando a face de um objeto não é paralela ao plano 
de projeção, ela não é projetada em VG em nenhum dos três sistemas de projeção 
apresentados. Veja: 
 
 
 
Figura: Objeto oblíquo ao plano de projeção. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Se, por outro lado, a face for paralela ao plano de projeção, têm-se as 
seguintes situações: 
 
1. No Sistema de Projeções Cônicas, as dimensões da projeção não correspondem 
às dimensões reais do objeto. Ou seja, o objeto não é representado em VG. 
 
 
Figura: Objeto paralelo ao plano de projeção numa projeção cônica. Fonte: Cruz e 
Amaral (2012). 
 
2. No Sistema de Projeções Paralelas Oblíquas, o objeto é representado em VG, 
mas, como o ângulo das projetantes com o plano de projeção pode assumir 
qualquer valor, a projeção pode se localizar em muitas posições diferentes. 
 
 31 
 
 
Figura: Objeto paralelo ao plano de projeção numa projeção paralela oblíqua. Fonte: 
Cruz e Amaral (2012). 
 
3. No Sistema de Projeções Paralelas Ortogonais, o objeto também é representado 
em VG e, além disso, há somente uma posição em que a projeção pode se localizar, 
uma vez que as projetantes só podem assumir uma direção. Por esse motivo, o 
sistema mais utilizado em Geometria Descritiva e em Desenho Técnico é o Sistema 
de Projeções Cilíndricas Ortogonais. 
 
 
Figura: Objeto paralelo ao plano de projeção numa projeção paralela ortogonal. 
Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
 No capítulo posterior, será estudada uma formade desenhar uma face em 
verdadeira grandeza, mesmo que a mesma não esteja paralela aos planos de 
projeção convencionais. 
 
EXERCÍCIOS 
 
5.1) Se desenhamos um objeto identicamente ao real, mas na escala 1:50, ele está 
representado em verdadeira grandeza? Por que? 
 
 
 32 
 
6. MUDANÇA DE PLANO 
 
Quando um objeto possui uma face inclinada em relação aos planos 
principais de projeção, esta face não aparece em verdadeira grandeza. Veja o 
exemplo a seguir. 
 
 
Figura: Projeção de objeto com uma face inclinada. Fonte: Barison (2007). 
 
 Para obter a verdadeira grandeza, nesses casos, da face inclinada, é 
preciso projetá-la em um plano auxiliar que lhe seja paralelo. 
 
 
Figura: Criação de plano de projeção auxiliar, para que a face inclinada apareça em 
verdadeira grandeza. Fonte: Barison (2007). 
 
 O Método do Rebatimento pode ser usado para encontrar a vista auxiliar, 
onde se pode desenhar em verdadeira grandeza. Na figura a seguir, Galrinho (2012) 
mostra o procedimento para um segmento de reta de perfil. 
 
 33 
 
 
Figura: Rebatimento para determinação da VG de um segmento de reta de perfil. 
Fonte: Galrinho (2012). 
 
 Na figura acima, o índice R indica que a projeção é no plano rebatido. 
 O caso a seguir demonstra o processo para um segmento de reta oblíquo. 
 
 
Figura: Rebatimento para determinação da VG de um segmento de reta oblíquo. 
Fonte: Galrinho (2012). 
 
 O próximo exemplo mostra a obtenção da verdadeira grandeza de um 
triângulo também pelo método do rebatimento. Perceba que, pelos exemplos 
anteriores e pelos próximos, o procedimento é prolongar a reta até a linha de terra e, 
naquele ponto, encontra-se o centro dos arcos de rebatimento. Note-se que este 
processo só vale para planos projetantes (ortogonais a pelo menos um dos planos 
de projeção). 
 
 34 
 
 
Figura: Rebatimento para determinação da VG de um triângulo no plano de topo. 
Fonte: Galrinho (2012). 
 
 O caso a seguir mostra um quadrilátero irregular num plano de perfil. 
 
 
Figura: Rebatimento para determinação da VG de um quadrilátero irregular num 
plano de perfil. Fonte: Galrinho (2012). 
 
 
 35 
 
EXERCÍCIOS 
 
6.1) Encontrar a VG do segmento de reta [AB], sendo A(0;4;3) cm e B(-4;0;5) cm. 
 
6.2) Encontrar a VG do segmento de reta [CD], sendo C(-1;4;5) cm e D(-5;1;3) cm. 
 
6.3) Representar o plano ω, definido pelos pontos P(4;3;4), Q(2;6;3) e R(2;0;3), em 
épura de dupla projeção. Encontrar sua verdadeira grandeza. 
 
 
 
 36 
 
7. TRAÇOS 
 
TRAÇOS DE RETA 
 
O traço de uma reta sobre um plano é o ponto onde essa reta intercepta o 
plano. Veja o exemplo a seguir, inclusive com a épura representada. 
 
 
Figura: Traços de reta. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
O ponto onde uma reta intercepta o plano horizontal de projeção é 
denominado traço horizontal, ou (H), enquanto o ponto onde uma reta atravessa o 
plano vertical de projeção é chamado de traço vertical, ou (V). O traço horizontal (H) 
sempre terá cota nula e o traço vertical (V) sempre terá afastamento nulo. Daí 
conclui-se que a projeção vertical H’ do traço horizontal (H) e a projeção horizontal V 
do traço vertical (V) estão sempre, sem exceção alguma, sobre a linha de terra. 
Em casos especiais, os traços horizontal e vertical podem coincidir em um 
mesmo ponto da linha de terra, como, por exemplo, no caso de uma reta que cruza a 
linha de terra. 
 
Figura: Reta com traços coincidentes. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 37 
 
Quando uma reta for paralela aos dois planos de projeção, não terá traços 
sobre nenhum desses planos. 
 
Figura: Reta fronto-horizontal (sem traços). Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Quando uma reta for paralela a um dos planos de projeção, não terá traço 
sobre esse plano. 
 
 
 
Figura: Retas com apenas 1 traço. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Uma reta só possui os dois traços quando é oblíqua aos dois planos de 
projeção. 
 
 
Figura: Reta oblíqua aos 2 planos de projeção (2 traços). Fonte: Cruz e Amaral 
(2012). 
 
 
Para a determinação dos traços da reta de perfil, é necessário efetuar-se o 
rebatimento da reta sobre o plano vertical de projeção, do mesmo modo que feito no 
estudo do traço de reta. 
 
 38 
 
 
Figura: Determinação dos traços de reta de perfil. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Veja, na figura a seguir, que, para finalizar a determinação dos traços da reta 
de perfil, deve-se realizar o alçamento (operação oposta ao rebatimento) do traço 
horizontal da reta. Com esta operação, determina-se a posição original do traço 
horizontal (H) e da projeção horizontal do traço horizontal H da reta de perfil. Vale 
lembrar que o alçamento sempre é realizado no sentido horário, ao contrário do 
rebatimento. 
 
 
Figura: Determinação dos traços de reta de perfil, em épura. Fonte: Cruz e Amaral 
(2012). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39 
 
EXERCÍCIOS 
 
7.1) Dada a reta (I)(J), achar os seus traços e desenhá-la no espaço. 
PONTOS: (I) [ 1 ; 1 ; 3 ] cm / (J) [ 3 ; 2 ; 1 ] cm. Desenhar primeiro a épura em dupla 
projeção e, depois, no espaço, considerando a figura abaixo. 
 
 
7.2) Dada a reta (I)(J), achar os seus traços e desenhá-la no espaço. 
PONTOS: (I) [ 0 ; -20 ; -10 ] mm / (J) [ 40 ; 20 ; 25 ] mm. Desenhar primeiro a épura 
em dupla projeção e, depois, no espaço, considerando a figura do exercício 7.1. 
 
7.3) Dada a reta (X)(Y) de perfil, achar os seus traços e desenhá-la no espaço. 
PONTOS: (X) [ 2 ; 2 ; 5 ] cm / (Y) [ ? ; 4 ; 1 ] cm. Desenhar primeiro a épura em dupla 
projeção e, depois, no espaço, considerando a figura do exercício 7.1. 
 
 40 
 
TRAÇOS DE PLANO 
 
O traço de um plano é a reta formada pela intersecção deste plano com outro. 
 
 
Figura: Traço do plano (sobre o plano (. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Na figura anterior, o traço do plano (sobre o plano ( é a reta . 
Geralmente, a expressão “traço de um plano” é utilizada para exprimir a 
intersecção de um dado plano com os planos de projeção. Assim o traço de um 
plano (sobre o plano horizontal de projeção é chamado de traço horizontal do 
plano (ou , enquanto o traço deste mesmo plano sobre o plano vertical de 
projeção é chamado de traço vertical do plano (ou ’. 
 
 
Figura: Traços do plano (. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
 41 
 
Em geral, um plano possui dois traços. Entretanto, quando for paralelo a um 
dos planos de projeção, não terá traço nesse plano. A configuração dos traços de 
um plano em épura dependerá da posição do plano no espaço. 
 
Figura: Traço de plano horizontal. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
 
Figura: Traço de plano frontal. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
 
Figura: Traço de plano de topo (perpendicular ao plano vertical). Fonte: Cruz e 
Amaral (2012). 
 42 
 
 
 
Figura: Traço de plano vertical (perpendicular ao plano horizontal). Fonte: Cruz e 
Amaral (2012). 
 
 
Figura: Traço de plano de perfil. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
 
Figura: Traço de plano de rampa. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
 
 43 
 
 
Figura: Traço de plano que passa pela linha de terra. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
 
Figura: Traço de plano genérico. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Sempre que um plano possuir os dois traços e estes não forem paralelos à 
linha de terra, os mesmos concorrerão com ela em um mesmo ponto, denominado 
ponto de concursoou ponto de concorrência dos traços. 
Para se determinar os traços de um plano conhecendo-se duas retas 
pertencentes a ele, determinam-se os traços das duas retas e unem-se os traços de 
mesma direção, dando origem ao traço vertical e ao traço horizontal do plano (figura 
a seguir). 
 
 44 
 
 
Figura: Traços do plano que contém as retas (r) e (s). Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
EXERCÍCIOS 
 
7.4) Determinar os traços de um plano () definido por duas retas paralelas (A)(B) e 
(C)(D). Dados (em mm): (A) [ -20 ; 40 ; 10 ] (B) [ 5 ; 10 ; 30 ] (C) [ 0 ; 25 ; 10 ] (D) 
[ 45 ; ? ; ? ]. Desenhar primeiro a épura em dupla projeção e, depois, no espaço, 
considerando a figura do exercício 7.1, com o eixo vertical não mais a 1,5 cm da 
extremidade, mas a 2,5 cm. No espaço, hachurar o plano. 
 
7.5) Representar, numa épura dupla projeção, os traços principais dos seguintes 
planos: 
- Plano horizontal , com 2 cm de cota 
- Plano frontal , com 3 cm de afastamento 
 
7.6) Representar, no espaço, considerando a figura do exercício 7.1, o plano de 
rampa cujos traços frontal e horizontal têm, respectivamente, 4 cm de cota e 2 cm de 
afastamento. Hachurar o plano. 
 
 
 45 
 
8. VISIBILIDADE 
 
 Neste ponto, é interessante definirmos os octantes, que são divisões dos 
diedros e aparecem em alguns livros. A figura a seguir explica. 
 
Figura: Diedros e octantes. Adaptado de: http://1.bp.blogspot.com/-
dt3cF4zJhfg/Tnm7ARY8zHI/AAAAAAAABNk/Amjp82bd1WQ/s1600/diedro.gif. 
 
Alguns autores, como Campos (2009), sugerem diferenciar de uma forma 
mais clara as partes das retas ou de suas projeções que se situam em diedros 
diferentes, no percurso que a reta faz no espaço. 
Para tal, representam-se como visíveis (linha cheia) as partes que se situam 
no 1.º diedro. Representam-se como invisíveis (linha tracejada) as partes que se 
situam nos outros diedros. Veja o exemplo a seguir. 
 
Figura: Partes visíveis (1º diedro) e invisíveis (demais diedros) das projeções de uma 
reta. Fonte: Campos (2009). 
 
 
 46 
 
EXERCÍCIOS 
 
8.1) Fazer novamente o exercício 7.2, agora considerando os estudos de 
visibilidade, ou seja, desenhar as linhas tracejadas onde necessário. Fazer em 
escala 2:1. Na épura, marque, da mesma maneira que feito na figura anterior, a 
região correspondente a cada diedro (use a visão espacial para entender). 
 
 
 47 
 
9. PERTINÊNCIA 
 
PERTINÊNCIA ENTRE PONTO E RETA 
 
Em geral, um ponto pertence a uma reta (ou segmento de reta) quando as 
projeções desse ponto estão nos mesmos planos de projeção da reta, ou seja, 
quando a projeção horizontal do ponto está sobre a projeção horizontal da reta e a 
projeção vertical do ponto está sobre a projeção vertical da reta. Na figura a seguir, o 
ponto (C), que não pertence ao segmento de reta (A)(B), possui apenas a projeção 
horizontal sobre a projeção horizontal desse segmento. Já o ponto (D), que pertence 
ao segmento (A)(B), possui as duas projeções sobre as projeções de mesmo nome 
do segmento. 
 
 
Figura: Pertinência de ponto e reta. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Para que um ponto pertença a uma reta vertical, basta que sua projeção 
horizontal coincida com a projeção horizontal da reta, que é reduzida a um ponto. 
 
 
Figura: Pertinência de ponto e reta vertical. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Seguindo-se o mesmo raciocínio, para que um ponto pertença a uma reta de 
topo, basta que sua projeção vertical coincida com a projeção vertical da reta, que 
também é reduzida a um ponto. 
 
 48 
 
 
Figura: Pertinência de ponto e reta de topo. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
A regra geral de pertinência de ponto e reta apresentada anteriormente possui 
uma exceção: no caso da reta de Perfil (paralela ao plano vertical, em qualquer 
inclinação), não é suficiente que as projeções do ponto estejam sobre as projeções 
de mesma direção da reta para que o ponto pertença a ela. Veja um exemplo da reta 
(A)(B): 
 
Figura: Reta de perfil. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Como a reta pertence a um plano ortogonal à linha de terra, qualquer ponto 
localizado na mesma abscissa (eixo x ou linha de terra) terá suas projeções sobre as 
projeções correspondentes da reta. Na figura anterior, um ponto localizado no plano 
() terá sua projeção horizontal sobre a projeção horizontal da reta e terá sua 
projeção vertical sobre a projeção vertical da reta, mesmo não pertencendo à reta 
(A)(B). 
Então, para se verificar se um dado ponto pertence a uma reta de perfil, torna-
se necessário visualizar a reta e o ponto sob outro ponto de vista. Isso pode ser feito 
com uma operação denominada rebatimento, pela qual se rebate o plano que 
contém a reta de Perfil, denominado plano de Perfil, sobre o plano vertical de 
projeção. 
 49 
 
Como exemplo, tem-se, na figura a seguir, a partir da figura anterior, o 
rebatimento do plano () e do segmento (A)(B) sobre o plano vertical de projeção. 
 
 
 
Figura: Pertinência de ponto e reta de perfil. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Cabe salientar que no processo de rebatimento somente as projeções 
horizontais são rebatidas, e sempre no sentido anti-horário. 
Em épura, para se rebater a projeção horizontal de um determinado ponto, 
traça-se um arco de circunferência a partir dessa projeção, no sentido anti-horário, 
até que este intercepte a linha de terra (veja o processo na figura anterior, a partir da 
figura mostrando a reta de perfil). O centro do arco de circunferência deve estar 
localizado na linha de terra, na abscissa correspondente à da reta de Perfil. A nova 
posição de uma dada projeção horizontal é obtida no ponto em que o arco de 
circunferência intercepta a linha de terra. As novas posições das projeções 
horizontais, bem como as novas posições dos pontos rebatidos são representadas 
com o índice “1”. Esta notação deve ser utilizada sempre que o rebatimento for 
realizado, de modo a indicar a nova posição dos pontos no espaço. 
Para se determinar se um ponto pertence a uma reta de perfil, deve-se 
rebater também o ponto sobre o plano vertical de projeção. Assim, imagine a reta de 
perfil com projeções AB e A’B’ da figura a seguir. Veja que o ponto com projeções C 
e C’ pode ou não pertencer à reta (A)(B). Somente o rebatimento confirma que o 
ponto C NÃO PERTENCE à reta (A)(B), pois a projeção (C1) não está sobre a reta 
rebatida (A1)(B1). 
 
 50 
 
 
 
ÉPURA APÓS O REBATIMENTO 
 
Figura: Exemplo de pertinência de ponto (C) e reta de perfil (A)(B). Fonte: Cruz e 
Amaral (2012). 
 
Já no exemplo da figura abaixo, o ponto M PERTENCE à reta (A)(B), pois a 
projeção (M1) está sobre a reta rebatida (A1)(B1). 
 
 
 
Figura: Exemplo de pertinência de ponto (M) e reta de perfil (A)(B). Fonte: Cruz e 
Amaral (2012). 
 
EXERCÍCIOS 
 
9.1) Considerando as coordenadas a seguir, o ponto C pertence ao segmento de 
reta de perfil AB? 
A (3; 2; 1) cm / B (?; 4; 4) cm / B (3; 2,4; 2,5) cm 
 
9.2) Considerando as coordenadas a seguir, o ponto G pertence ao segmento de 
reta KL? 
K (4; 2; 2) cm / L (1; 4; 2) cm / G (2; 3; 2) cm 
 51 
 
PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO 
 
Em geral, uma reta pertence a um plano quando os seus traços estão sobre 
os traços de mesma direção do plano. Aplicando-se esta regra, percebe-se que a 
reta (r) da figura a seguir pertence ao plano (), uma vez que (H) está sobre  e (V) 
está sobre ’. Por outro lado, a reta (s) não pertence ao plano () ainda que (V) 
esteja sobre ’, pois (H) não está sobre. 
 
 
RETA PERTENCENTE A PLANO RETA NÃO PERTENCENTEA PLANO 
 
Figura: Pertinência de reta e plano. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Quando uma reta horizontal (não tem traço horizontal e á paralela ao plano 
horizontal) pertence a um plano qualquer, seu traço vertical está sobre o traço 
vertical do plano e sua projeção horizontal é paralela ao traço horizontal do plano. 
 
 
Figura: Reta horizontal pertencente a plano qualquer. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
 52 
 
Quando uma reta frontal (paralela ao plano vertical) pertence a um plano 
qualquer, seu traço horizontal está sobre o traço horizontal do plano e sua projeção 
vertical é paralela ao traço vertical do plano. 
 
 
Figura: Reta frontal pertencente a plano qualquer. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Quando uma reta de perfil pertence a um plano qualquer, seus traços estão 
sobre os traços correspondentes do plano. Para saber se uma reta de Perfil pertence 
ao plano, é necessário rebater-se a reta de perfil sobre o plano vertical de projeção 
para obter-se os traços da mesma. 
 
 
Figura: Reta de perfil pertencente a plano qualquer. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Quando uma reta horizontal ou uma reta de topo estiver contida em um plano 
horizontal, o traço vertical da reta estará sobre o traço vertical do plano e a projeção 
vertical da reta coincidirá com o traço vertical do plano. 
 53 
 
 
 
RETA HORIZONTAL RETA DE TOPO 
 
Figura: Retas pertencentes a plano horizontal. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Quando uma reta fronto-horizontal estiver contida em um plano horizontal, a 
projeção vertical da reta coincidirá com o traço vertical do plano. 
 
 
Figura: Reta fronto-horizontal pertencente a plano horizontal. Fonte: Cruz e Amaral 
(2012). 
 
Quando uma reta frontal ou uma reta vertical estiver contida em um plano 
frontal, o traço horizontal da reta estará sobre o traço horizontal do plano e a 
projeção horizontal da reta coincidirá com o traço horizontal do plano. 
 
 
RETA FRONTAL RETA VERTICAL 
 
Figura: Retas pertencentes a plano frontal. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Quando uma reta fronto-horizontal estiver contida em um plano frontal, a 
projeção horizontal da reta coincidirá com o traço horizontal do plano. 
 
 54 
 
 
Figura: Reta fronto-horizontal pertencente a plano frontal. Fonte: Cruz e Amaral 
(2012). 
 
 As figuras a seguir mostram situações de pertinência de retas a um plano de 
topo. 
 
 
 
Figura: Reta de topo pertencente a plano de topo. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
 
Figura: Reta frontal pertencente a plano de topo. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
 55 
 
 
Figura: Reta qualquer pertencente a plano de topo. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
 As figuras a seguir mostram situações de pertinência de retas a um plano 
vertical. 
 
Figura: Reta vertical pertencente a plano vertical. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Figura: Reta horizontal pertencente a plano vertical. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 56 
 
 
Figura: Reta qualquer pertencente a plano vertical. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
 As figuras a seguir mostram situações de pertinência de retas a um plano de 
perfil. 
 
Figura: Reta de perfil pertencente a plano de perfil. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
 
Figura: Reta de topo pertencente a plano de perfil. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 57 
 
 
Figura: Reta vertical pertencente a plano de perfil. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
 As figuras a seguir mostram situações de pertinência de retas a um plano de 
rampa. No caso da reta de perfil, para verificar a sua pertinência a um plano de 
rampa, é necessário rebatê-la sobre o plano vertical de projeção, obtendo-se os 
seus traços. 
 
Figura: Reta qualquer pertencente a plano de rampa. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
 
Figura: Reta de perfil pertencente a plano de rampa. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 58 
 
 Para verificar se uma reta fronto-horizontal pertence a um plano de rampa, é 
necessário, antes, obter o conceito de CONCORRÊNCIA DE RETAS. Duas retas 
são CONCORRENTES se os pontos de encontro das projeções fazem uma linha 
vertical ou as projeções verticais ou horizontais coincidam. Veja a figura a seguir. 
 
 
 
Figura: Retas concorrentes. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Sendo assim, para esta verificação, é necessário passar uma reta auxiliar por 
qualquer ponto da reta e que pertença ao plano (traços coincidentes) e verificar se 
ela é concorrente com a reta fronto-horizontal. Veja a figura a seguir. 
 
Figura: Verificação da pertinência de uma Reta Fronto-horizontal (r) a um plano de 
Rampa. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 59 
 
 Na figura anterior, a proposta é verificar se a reta fronto-horizontal (r) pertence 
ao plano de rampa (). Para tanto, passa-se a projeção da reta auxiliar, a’, por um 
ponto qualquer M’. Encontra-se seus traços e sua projeção no plano horizontal, a. 
No caso, o ponto M’ faz uma linha vertical com o ponto M. Portanto, as retas auxiliar 
(a) e (r) são concorrentes, o que garante que a reta (r) pertence ao plano (). 
 
EXERCÍCIOS 
 
9.3) Sabe-se que os traços vertical e horizontal de um plano (β), de rampa, 
encontram-se, respectivamente, 40 mm acima e 30 mm abaixo da linha de terra. 
Deseja-se saber se as retas (K)(L), fronto-horizontal, e (M)(N), de perfil, pertencem a 
esse plano. Dados (mm): 
(K) [ 20 ; 10 ; 20 ] (L) [ 50 ; ? ; ? ] (M) [ 70 ; 22,5 ; 10 ] (N) [ ? ; 7,5 ; 30 ] 
 
9.4) Considere a situação do ponto A (5,0,0) cm, que é o ponto de concorrência dos 
traços do plano ∆, que fazem um ângulo de 45º com a linha de terra, nos sentidos 
horário e anti-horário, respectivamente. Os pontos B (0,5; 2,91; 2,91) cm e C (-2; 
1,29; 1,29) cm pertencem ao plano ∆? 
 
 60 
 
PERTINÊNCIA DE PONTO E PLANO 
 
Como regra geral, um ponto pertence a um plano se pertence a uma reta do 
plano (projeções do ponto pertencem aos traços de mesma direção do plano). 
Quando o plano for projetante, ou seja, ortogonal a pelo menos um dos planos de 
projeção, a épura indica diretamente se um ponto pertence ao plano. Isso ocorre 
porque, nesses casos, todos os pontos pertencentes ao plano são projetados sobre 
o traço correspondente do plano. Desse modo, basta verificar se a projeção do 
ponto está sobre o traço de mesma direção do plano. 
 
 
 
Figura: Verificação da pertinência de 3 pontos a um plano frontal. Fonte: Cruz e 
Amaral (2012). 
 
 Na figura anterior, o ponto (B) não pertence ao plano frontal (), enquanto os 
pontos (A) e (C) pertencem. 
 
 
Figura: Verificação da pertinência de 4 pontos a um plano vertical. Fonte: Cruz e 
Amaral (2012). 
 
 61 
 
Na figura anterior, os pontos (F) e (G) pertencem ao plano vertical (), 
enquanto os pontos (D) e (E) não. 
 
Figura: Verificação da pertinência de 3 pontos a um plano horizontal. Fonte: Cruz e 
Amaral (2012). 
 
Na figura anterior, o ponto (B) não pertence ao plano horizontal (), enquanto 
os pontos (A) e (C) pertencem. 
 
 
Figura: Verificação da pertinência de 4 pontos a um plano de topo. Fonte: Cruz e 
Amaral (2012). 
 
Na figura anterior, os pontos (F) e (G) pertencem ao plano de topo (), 
enquanto os pontos (D) e (E) não. 
 
 62 
 
 
Figura: Verificação da pertinência de 3 pontos a um plano de perfil. Fonte: Cruz e 
Amaral (2012). 
 
Na figura anterior, o ponto (B) não pertence ao plano horizontal (), enquanto 
os pontos (A) e (C) pertencem. 
Os planos do tipo qualquer são ditos não projetantes, por serem oblíquosaos 
dois planos de projeção. Nesse caso, deve-se utilizar uma reta auxiliar pertencente 
ao plano e verificar se o ponto pertence à reta. 
 
Figura: Verificação da pertinência de 2 pontos a um plano qualquer. Fonte: Cruz e 
Amaral (2012). 
 63 
 
 
Veja, pela figura anterior, que se traça uma das projeções da reta auxiliar 
passando pela projeção correspondente do ponto (caso de r’ e s’). A segunda 
projeção da reta auxiliar deverá ser traçada paralela ao traço correspondente à 
direção desta projeção (caso de r e s). Se a segunda projeção da reta auxiliar 
também contiver a projeção correspondente do ponto, este pertencerá à reta (caso 
do ponto (B)) e, consequentemente, ao plano não projetante dado. 
Abaixo se tem um caso com um plano de rampa. 
 
 
 Figura: Verificação da pertinência de 2 pontos a um plano de rampa. Fonte: Cruz e 
Amaral (2012). 
 
Na figura acima, utilizou-se uma reta auxiliar (t) para a verificação da 
pertinência dos pontos (C) e (D) ao plano de rampa (). Traçou-se a projeção 
horizontal t da reta auxiliar pelas projeções horizontais dos pontos (C) e (D), 
posicionando-se os seus traços sobre os traços correspondentes do plano. Após o 
posicionamento dos traços da reta auxiliar (t), traçou-se a projeção vertical t’ da reta. 
Como as projeções da reta auxiliar (t) passam pelas projeções de mesmo nome do 
ponto (D), conclui-se que o ponto (D) pertence à reta (t) e, consequentemente, 
pertence ao plano (). Por outro lado, o ponto (C) não pertence ao plano () por não 
pertencer à reta auxiliar (t). 
Quando um determinado ponto possui uma das projeções sobre o traço de 
mesmo nome de um plano dado e a outra sobre a linha de terra, o ponto pertence ao 
plano, pois pertence ao traço do plano onde aquela projeção está situada. É o caso 
dos pontos (A) e (B) da figura posterior. 
 
 64 
 
 
Figura: Pontos pertencentes ao plano porque têm uma de suas projeções sobre a 
linha de terra e a outra sobre um traço do plano. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
EXERCÍCIOS 
 
9.5) Considere o plano vertical que cujos traços passam pelos pontos A (4; 0; 0) cm 
e C (2; 5; 0) cm. Verificar se os pontos X (3; 2,5; 5) cm, Y(2,5; 6; 4) cm e Z (1; 5; 4,5) 
cm pertencem a esse plano. 
 
9.6) Considere o plano de rampa cujos traços têm cota igual a 4,5 cm de cota e 6 cm 
de afastamento. Verificar se os pontos T (3,5; 3; 2,25) cm e F (2; 1,2; 2,5) cm 
pertencem a esse plano. 
 
 
 
 
 65 
 
10. ESTUDO DAS INTERSECÇÕES 
 
Dois planos podem ser paralelos ou secantes. Enquanto dois planos paralelos 
não se interceptam, dois planos secantes se interceptam e sua intersecção sempre 
gera uma reta (reta (i) no caso da figura a seguir). 
 
 
Figura: Planos secantes (a) e paralelos (b). Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
 Considere a figura a seguir. 
 
 
Figura: Determinação dos traços da reta formada pela intersecção de 2 planos. 
Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Conforme a regra de pertinência de reta e plano, uma reta pertence a um 
plano quando os seus traços estão sobre os traços de mesma direção do plano. 
 66 
 
Assim, a reta formada pela intersecção de dois planos deve ter seus traços sobre os 
traços de mesma direção dos dois planos secantes. Em outras palavras, os traços 
da reta intersecção encontram-se na intersecção dos traços de mesma direção dos 
dois planos secantes. Visualize isso na figura anterior. A épura correspondente 
encontra-se na figura a seguir. 
 
 
Figura: Determinação das projeções da reta formada pela interseção de dois planos. 
Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Quando dois planos secantes não se interceptam no 1º diedro (figura a 
seguir), normalmente é necessário prolongar os traços dos dois planos para obter-se 
a reta intersecção. 
 
 
Figura: Planos que não se interceptam no 1º diedro: (a) intersecção no espaço e (b) 
em épura. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 67 
 
Em alguns casos (veja a figura a seguir), entretanto, os traços não se 
encontram mesmo que sejam prolongados, pois os dois planos secantes possuem 
traços horizontais ou verticais paralelos. 
 
 
 
Figura: Intersecção de dois planos quaisquer com traços horizontais (a) e traços 
verticais (b) paralelos. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Nos casos da figura anterior, a reta intersecção possui apenas um traço, 
sendo sua projeção no plano “sem traço” paralela aos traços dos planos. 
Quanto dois planos de Topo se interceptam (figura a seguir), a reta originada 
não possui traço horizontal. 
 
Figura: Intersecção de dois planos de topo. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 68 
 
 
Da mesma forma, quando dois planos Verticais se interceptam (figura a 
seguir), a intersecção é uma reta vertical. 
 
 
Figura: Intersecção de dois planos verticais. Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Em algumas situações, nem os traços verticais nem os traços horizontais de 
dois planos secantes se interceptam (figura a seguir). 
 
 
 
 
Figura: Intersecção de um plano horizontal e um plano frontal. Fonte: Cruz e Amaral 
(2012). 
 
Nos casos como o da figura anterior, as projeções da reta intersecção (i e i’) 
coincidem com os traços nas respectivas direções (’ e ). 
A determinação da intersecção de dois planos de rampa ou de um plano de 
rampa e um plano que passa pela linha de terra é mais trabalhosa, pois estes planos 
não são projetantes (veja figura a seguir). 
 
 69 
 
 
Figura: Intersecção de dois planos de rampa ( e ). Fonte: Cruz e Amaral (2012). 
 
Nos casos como o da figura anterior, deve-se utilizar um plano auxiliar 
qualquer , determinando-se a intersecção deste com os dois planos secantes ( e 
). Primeiro determinam-se os pontos Hr e Hs, intersecções entre os 3 traços 
horizontais. Depois determinam-se os pontos V’r e V’s, intersecções entre os 3 
traços horizontais. Em seguida determinam-se todas as projeções destes pontos, ou 
seja, H’r, H’s, Vr e Vs. Liga-se Hr e Vr e acha-se a reta r. Liga-se Hs e H’r e acha-se 
a reta s. O ponto I, onde essas duas intersecções concorrem, é um ponto comum 
aos três planos e, portanto, é um ponto pertencente à intersecção dos dois planos 
secantes dados. Faz-se o mesmo para o plano de projeção vertical, achando o 
ponto I’ e as retas r’ e s’. Finalmente, as projeções da reta intersecção são horizontal 
i, passando pelo ponto I e vertical i’, passando pelo ponto I’. 
 
EXERCÍCIOS 
 
10.1) Determinar, em épura dupla projeção, a intersecção dos planos () e (). Os 
traços do plano () se encontram no ponto (T) e os traços do plano () se encontram 
no ponto (J). Dados: 
^' = 30° ^ = -45° ^' =120° ^ = -150° 
(T) [ 0 ; 0 ; 0 ] (J) [ 80 ;0 ; 0 ] mm 
 
 
 70 
 
10.2) Determinar, em épura dupla projeção, a intersecção de um plano frontal () que 
contém o ponto (A) com um plano (), cujos traços encontram-se no ponto (U). 
Dados: 
(A) [ 40 ; 20 ; 10 ] mm (U) [ 0 ; 0 ; 0 ] mm ^' = 45° ^ = -45° 
 
 
 
 
 
 
 
 71 
 
11. ESTUDO DAS SOMBRAS 
 
 O estudo das sombras deve dar condições ao profissional de desenhar as 
sombras que acontecem nos planos de projeção quando submetido a um raio 
luminoso. Veja o resultado na figura a seguir: 
 
 
 
Figura: Sombras de um sólido nos planos de projeção. Fonte: Galrinho (2012). 
 
 Para se chegar ao entendimento necessário para construir o desenho 
anterior, o estudo começa pelas sombras de um ponto no espaço. Perceba que as 
sombras aqui estudadas nada mais são do que projeções paralelas oblíquas. 
 
SOMBRAS DE UM PONTO NO ESPAÇOAqui se mostra como se processa a determinação das sombras de um ponto 
nos planos de projeção. De um modo geral, considera-se a direção luminosa vindo 
da esquerda para a direita, considerando-se o 1º diedro, mas sob um ponto de vista 
diferente do habitual. 
Considere a figura a seguir, que tem um raio luminoso na direção I passando 
por um ponto B no espaço. Repare que os nomes dos planos são diferentes dos 
apresentados nos capítulos anteriores devido à fonte bibliográfica. 
 
 72 
 
 
Figura: Sombras de um ponto B no espaço. Fonte: Galrinho (2012). 
 
O ponto B tem sua projeção B2 no plano 0. O raio de luz l passa pelo ponto 
B e cruza o plano 0 no ponto BS2 (“S” significando a “sombra” e 2 porque o ponto 
está no mesmo plano da projeção B2), que é a sombra real do ponto. 
O ponto B tem sua projeção B1 no plano v0. Sendo assim, o raio I atravessa o 
plano 0 e intercepta o plano v0 no ponto BV1, que corresponde à sombra virtual do 
ponto. 
Conceituando, “sombra real” é aquela que é visível para o observador 
colocado no 1º diedro e “sombra virtual” é aquela que o ponto teria se o plano 0 não 
existisse e não impedisse sua visão. 
Os segmentos de reta B1BV1 e B2BS2 equivalem às projeções do raio de luz 
que passa pelo ponto B. 
Se planificarmos a figura anterior na vertical (0), girando o plano v0 no sentido 
anti-horário, a épura é obtida como na figura a seguir. 
 
Figura: Épura contendo as projeções e sombras real e virtual de um ponto B no 
espaço. Fonte: Galrinho (2012). 
 73 
 
 Observe que o exemplo anterior considera um raio luminoso na direção a 45º 
do eixo x (ou linha de terra). Sendo assim, a sombra depende sempre da direção da 
fonte luminosa. No caso da figura anterior, o ponto B está num local do espaço em 
que a cota é maior que o afastamento. Neste caso, as sombras real e virtual 
aparecem no plano vertical (0). 
 Caso a posição do ponto resulte numa cota menor que o afastamento, as 
sombras ficam no plano horizontal (v0). É o caso do ponto A da épura da figura a 
seguir. 
 
 
Figura: Épura contendo as projeções e sombras real e virtual de um ponto A no 
espaço, cuja cota é menor que o afastamento e a fonte luminosa está a 45º do eixo 
x. Fonte: Galrinho (2012). 
 
 E, por fim, caso a cota seja igual ao afastamento, não existe sombra virtual e 
a sombra real fica sobre o eixo x. Veja a figura a seguir. 
 
 
Figura: Épura contendo as projeções e sombras real e virtual de um ponto A no 
espaço, cuja cota é igual ao afastamento e a fonte luminosa está a 45º do eixo x. 
Fonte: Galrinho (2012). 
 
 Veja a seguir situações em que o ponto está sobre um dos planos de projeção 
ou sobre o eixo x. 
 
 74 
 
 
 PONTO D NO PLANO 0 PONTO E NO PLANO v0 PONTO F NO EIXO x 
 
Figura: Épuras contendo as projeções e sombras de pontos sobre os planos de 
projeção e sobre o eixo x, sendo que a fonte luminosa está a 45º do eixo x. Fonte: 
Galrinho (2012). 
 
 Baseado nas situações anteriormente apresentadas, o processo de desenho 
para encontrar as sombras real e virtual, diretamente na épura, é o seguinte 
(acompanhe pelas figuras anteriores): 
 
1) posicionar as projeções do ponto (índices 1 e 2, referentes aos planos 0 e v0, 
respectivamente) 
2) unir as projeções ao eixo x (caso estejam fora dele), com a mesma direção da 
fonte luminosa; se coincidirem num ponto, obtém-se a sombra real 
3) a partir do ponto que intercepta o eixo x, considerando o MENOR segmento 
obtido em 2), traçar uma vertical até encontrar o MAIOR segmento obtido em 2); 
obtém a sombra real (índice s) 
4) a partir do ponto que intercepta o eixo x, considerando o MAIOR segmento obtido 
em 2), traçar uma vertical até o PROLONGAMENTO do MENOR segmento obtido 
em 2); obtém a sombra virtual (índice v) 
 
 75 
 
EXERCÍCIOS 
 
11.1) Desenhe, em épura dupla projeção, as sombras real e virtual do ponto P (8; 6; 
3) cm. Considerar fonte luminosa I com projeções a 45º da linha de terra, conforme 
as figuras anteriores. 
 
11.2) Desenhe os pontos e sombras do exercício anterior no espaço. Considerar os 
diedros representados na figura abaixo. Considerar a visibilidade. 
 
 
 76 
 
SOMBRAS DE UM SEGMENTO DE RETA NO ESPAÇO 
 
Considere a figura a seguir, que tem um raio luminoso na direção I passando 
pelos pontos A e B que formam um segmento de reta no espaço. 
 
Figura: Sombras de um segmento de reta AB no espaço. Fonte: Galrinho (2012). 
 
Repare nas sombras do ponto B (BS2 e BV1) e do ponto A (AS1). Para 
determinar a sombra do segmento de reta AB, escolhemos começar pelo plano v0. 
Sendo assim, a projeção é obtida unindo-se os pontos BV1 e AS1 (que estão no 
plano v0). Veja que esse segmento corta o plano 0 no ponto de quebra QS. A 
sombra real é obtida unindo-se BS2, QS e AS1. Perceba que a sombra real tem uma 
parte projetada no plano 0 e uma parte no plano v0. 
Nas situações em que as sombras reais dos pontos ficam em planos 
diferentes, basta determinar a sombra virtual de um dos pontos. Se as 2 sombras 
reais estiverem no mesmo plano, basta uni-las. É o caso dos segmentos de reta da 
figura abaixo, considerando o raio luminoso I, cujas projeções estão indicadas (I1 e 
I2). 
 
Figura: Sombras de segmentos de reta cujas sombras reais dos pontos estão no 
plano paralelo ao segmento de reta. Fonte: Galrinho (2012). 
 77 
 
 Veja, pela figura anterior, que o processo de construção das sombras é o 
mesmo descrito anteriormente, para cada ponto, acrescentando-se a união das 
sombras reais dos pontos. 
 As sombras, no caso da figura anterior, são paralelas às projeções dos planos 
paralelos ao segmento de reta. Veja que é necessário visualizar a situação espacial 
do segmento de reta, considerando os planos vertical (vista frontal) e horizontal 
(vista superior). 
Se a sombra ocorrer no plano não paralelo ao segmento de reta, como nos 
casos da figura abaixo, as sombras não serão paralelas a nenhuma das projeções. 
 
Figura: Sombras de segmentos de reta cujas sombras reais dos pontos estão no 
plano não-paralelo ao segmento de reta. Fonte: Galrinho (2012). 
 
 No caso da sombra real ocorrer nos dois planos, como na primeira figura 
deste capítulo, é necessário encontrar os pontos de sombra virtual para achar os 
pontos de quebra ou, no caso de um dos planos ser paralelo ao segmento de reta, 
considerar a parte da sombra paralela à projeção que acontece no plano paralelo ao 
segmento de reta. 
 
Figura: Sombras de segmentos de reta cujas sombras reais estão nos dois planos 
de projeção, e um deles é paralelo ao segmento de reta. Fonte: Galrinho (2012). 
 
 78 
 
Veja a seguir e estude os casos de segmentos de reta de topo, vertical e 
horizontal. 
 
Figura: Sombras de segmentos de reta de topo, vertical e horizontal. Fonte: Galrinho 
(2012). 
 
Quando o segmento de reta é oblíquo aos planos de projeção, não resta outra 
saída senão encontrar uma das sombras virtuais para então obter a sombra real. 
 
 
Figura: Sombras de segmento de reta oblíquo aos planos de projeção. Fonte: 
Galrinho (2012). 
 
Um segmento de reta de perfil (com qualquer inclinação) é ainda oblíquo aos 
planos de projeção. 
 
 79 
 
 
Figura: Sombras de segmento de reta de perfil, que é oblíquo aos planos de 
projeção. Fonte: Galrinho (2012). 
 
EXERCÍCIOS 
 
11.3) Determinar, em épura dupla projeção, a sombra do segmento de reta que tem 
como extremos os pontos: P(7;2;5) cm e Q(4;4;1) cm. Considerar fonte luminosa I 
com projeções a 45º da linha de terra, conforme as figuras anteriores.80 
 
SOMBRAS DE UMA RETA NO ESPAÇO 
 
 Como visto anteriormente, a reta diferencia-se do segmento de reta porque 
ela é “infinita”, podendo apresentar seus traços. 
 No caso da figura a seguir, temos uma reta frontal f, paralela ao plano 0, 
portanto com traço apenas horizontal H. 
 
 
Figura: Sombra de reta paralela ao plano 0. Fonte: Galrinho (2012). 
No caso da figura anterior, para determinar a sombra da reta f, basta 
determinar a sombra real (no plano horizontal ou no vertical) de um dos seus pontos 
(no caso, P) e uni-la à sombra do traço da reta (que é o próprio traço; no caso, H). O 
ponto de quebra surge naturalmente. Note que uma reta paralela a um plano projeta, 
sobre esse plano, sombra paralela à própria reta. A épura encontra-se na figura a 
seguir. Repare que, na figura anterior, espacial, a sombra usada é Ps2 e, na épura 
(figura posterior), é usado Ps1. Veja que o resultado é o mesmo. 
 
 
Figura: Épura relacionada à figura anterior. Fonte: Galrinho (2012). 
 
 81 
 
As figuras a seguir mostram o caso de uma reta oblíqua. Para determinar a 
sua sombra determina-se também a sombra real de um dos seus pontos, que se une 
aos traços da reta. O ponto de quebra surge naturalmente. 
 
 
 
Figura: Sombra de reta oblíqua, em vista espacial. Fonte: Galrinho (2012). 
 
 
Figura: Sombra de reta oblíqua, em épura. Fonte: Galrinho (2012). 
 
 Vejamos o caso de uma reta horizontal. 
 
 82 
 
 
Figura: Sombra de reta horizontal n, em épura. Fonte: Galrinho (2012). 
 
No caso da figura anterior, a partir da sombra do ponto auxiliar P (Ps1), 
traçou-se a sombra da reta no plano horizontal (ns1), paralela à sua projeção 
horizontal (n1). Unindo o ponto de quebra (Qs) à sombra do traço da reta (Fs2) 
determina-se a sua sombra no plano vertical (ns2). 
 Vejamos os casos de retas vertical e de topo. 
 
 
Figura: Sombra de reta vertical (à esquerda) e de reta de topo (à direita). Fonte: 
Galrinho (2012). 
 
Nos casos da figura anterior, as sombras podem ser determinadas 
diretamente, ou seja, sem a ajuda de qualquer ponto auxiliar. Isso é possível porque 
a sombra projetada num dos planos faz sempre 45º (a partir do traço, no caso, H1) e 
a outra faz sempre 90º com o eixo x (a partir da quebra Qs). 
 Vejamos o caso de retas fronto-horizontais. 
 
 83 
 
 
Figura: Sombras de retas fronto-horizontais. Fonte: Galrinho (2012). 
 
Uma reta fronto-horizontal faz sombra no plano de projeção que lhe está mais 
próximo. A reta a da figura anterior faz sombra no plano vertical, uma vez que tem 
menor afastamento do que cota. A reta b tem cota e afastamento iguais, pelo que a 
sua sombra se projeta no eixo x (linha de terra). Para determinar a sombra destas 
retas, utiliza-se também um ponto auxiliar P qualquer da reta. 
Podemos ter retas oblíquas com traço em sombra virtual. Veja o caso a 
seguir. 
 
 
Figura: Sombra de reta oblíqua com o traço horizontal em sombra virtual. Fonte: 
Galrinho (2012). 
 
Para determinar a sombra da reta da figura anterior, da mesma maneira que 
par uma reta oblíqua com traço em sombra real, determina-se a sombra real de um 
dos seus pontos (Ps2), que se une aos traços da reta. A diferença aqui é que se usa 
o prolongamento QsH1 para achar a direção da sombra horizontal (rs1). O ponto de 
quebra surge naturalmente pelo prolongamento da reta F2Ps2. 
 84 
 
Vejamos casos de retas de perfil, onde não é possível marcar um ponto 
auxiliar em épura. Sendo assim, usa-se um dos seus traços como ponto auxiliar. 
 
 
Figura: Sombra de reta de perfil de traços com cota e afastamento positivos. Fonte: 
Galrinho (2012). 
 
 
Figura: Sombra de reta de perfil de traço horizontal com afastamento positivo e de 
traço vertical com cota negativa. Fonte: Galrinho (2012). 
 
 85 
 
 
Figura: Sombra de reta de perfil em que se conhecem apenas 2 pontos A e B e não 
seus traços. Fonte: Galrinho (2012). 
 
No caso da figura anterior, onde os traços são inicialmente desconhecidos, 
acham-se as sombras próprias (As2 e Bs1) e uma virtual (Bv2) desses pontos. No 
prolongamento das sombras da reta, determinam-se os seus traços, antes 
desconhecidos. 
 
EXERCÍCIOS 
 
11.4) Determinar, épura dupla projeção, a sombra da reta oblíqua r, cujos traços são 
H(3;4;0) cm e F(-1;0;6) cm. Considerar fonte luminosa I com projeções a 45º da linha 
de terra, conforme as figuras anteriores. 
 
11.5) Determinar, épura dupla projeção, a sombra da reta oblíqua S, que contem 
K(3;3;1) e L(1;4;6). Considerar fonte luminosa I com projeções a 45º da linha de 
terra, conforme as figuras anteriores. 
 
 86 
 
SOMBRAS DE POLÍGONOS E SÓLIDOS 
 
Com os conhecimentos básicos adquiridos neste capítulo, o aluno pode se 
especializar nos estudos para criar as sombras de polígonos e sólidos, como os 
exemplos a seguir, em épura. Este aprofundamento não é objetivo desta disciplina. 
 
Figura: Sombra de um pentágono frontal. Fonte: Galrinho (2012). 
 
 
Figura: Sombra cone de revolução com base frontal. Fonte: Galrinho (2012). 
 
 
 
 87 
 
12. BIBLIOGRAFIA 
 
BARISON, Maria Bernardete. Mudança de planos em Geometria Descritiva. 
Geométrica. v.2, 9ª ed. Londrina, 2007. Disponível em: 
<http://www.mat.uel.br/geometrica/php/pdf/gd_pdf/gd_mudan%C3%A7a_de_planos.
pdf>. Acesso em 17/06/2014. 
 
CAMPOS, Antônio de. Geometria Descritiva – percurso de uma recta no espaço. 
[S.l.], 2009. Disponível em: < www.antoniodecampos.eu/rectapercurso.ppt>. Acesso 
em 17/06/2014. 
 
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