01 Revisao Tensoes

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ECV 112
Resistência dos Materiais II
Prof.: Maila Pereira
CAPÍTULO 01
Revisão - Tensões
1 - Revisão – Tensões
A tensão normal que age na seção transversal de um 
elemento pode ser de tração (+) ou compressão (-).
1.1 Tensão Normal
s = tensão normal média
P = força normal (axial) interna
A = área da seção transversal
P
A
s 
É dada por:
Onde:
1 - Revisão – Tensões
Um mancal de encosto está sujeito às cargas mostradas. Determine a tensão normal 
média desenvolvida mas seções transversais que passam pelos pontos B, C e D. 
Faça um rascunho dos resultados sobre um elemento de volume infinitesimal 
localizado em cada seção. (Hbbeler 1.37)
Exemplo 01
1 - Revisão – Tensões
Os diâmetros das hastes AB e BC são 4 mm e 6 mm respectivamente. Se a carga 
vertical de 8 kN for aplicada ao anel em B, determine o ângulo q da haste BC de 
modo que a tensão normal média em cada haste seja equivalente. Qual é essa 
tensão? (Hbbeler 1.57)
Exemplo 02
1 - Revisão – Tensões
1.2 Tensão de Cisalhamento
A tensão de cisalhamento age na área 
secionada de um elemento .
t = tensão de cisalhamento média
v = força de cisalhamento interna
A = área secionada da seção
V
A
t 
É dada por:
Onde:
1 - Revisão – Tensões
1.2 Tensão de Cisalhamento
Cisalhamento Simples
med
V F
A A
t  
A junta de madeira da figura é um exemplo de 
cisalhamento simples. Ao fazer um corte entre 
os elementos obtém-se o diagrama de corpo 
livre como na figura. Para manter o equilíbrio a 
área da seção transversal de fixação entre os 
elementos (cola) está submetida a uma única
força de cisalhamento: 
V F
Cisalhamento Duplo
Ocorre quando duas superfícies de 
cisalhamento são consideradas, como na 
figura. Ao se fazer um corte entre cada um 
dos elementos, os diagramas de corpo livre 
do elemento central mostra a situação de 
duplo cisalhamento
2
F
V  med
2
V F
A A
t  
1 - Revisão – Tensões
1.2 Tensão de Cisalhamento – Força Cortante
As tensões de cisalhamento ocorrem frequentemente em parafusos, pinos, soldas 
e cola (madeira)
med
V
A
t 
2
F
V 
med
2
V F
A A
t  
Cisalhamento Simples
Cisalhamento Duplo
1 - Revisão – Tensões
Exemplo 03
As componentes de madeira A e B devem ser unidas por cobrejuntas de madeira 
compensada que serão totalmente coladas às superfícies em contato. Como parte do 
projeto da junção, e sabendo que as extremidades das componentes deve ser 6 mm, 
determine o comprimento L mínimo permitido para que a tensão de cisalhamento 
média na cola não exceda 700 kPa. (Beer)
1 - Revisão – Tensões
1.3 Tensão de Esmagamento em Conexões
A tensão normal produzida pela compressão de uma 
superfície contra outra é denominada tensão de 
esmagamento, pois se essa tensão for muito grande 
poderá esmagar ou deformar uma ou ambas as 
superfícies.
e
P
A
s 
Por exemplo a placa de base B provocará uma 
tensão de esmagamento no concreto igual a:
Nos parafusos a tensão de esmagamento é dada 
por:
dt
P
A
P
es
1 - Revisão – Tensões
Exemplo 04
Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for sadm = 28 
MPa, determine os tamanhos das chapas de apoio quadradas A’ e B’ exigidos para 
suportar a carga. A dimensão das chapas deve ter aproximação de múltiplos de 10 
mm. As reações nos apoios são verticais. Considere P = 75 kN. (Hibbeler 1.99)
1 - Revisão – Tensões
Exemplo 05
Determine a área da seção transversal exigida para o elemento BC e os diâmetros 
exigidos para os pinos em A e B se a tensão normal admissível for sadm = 21 MPa e a 
tensão de cisalhamento for tadm = 28 MPa. (Hibbeler 1.96)
1 - Revisão – Tensões
1.4 Tensão de Cisalhamento – Momento torçor
A tensão de cisalhamento provocada por um 
momento torçor é dada por:
max
T r
J
t 
t = tensão de cisalhamento
T = torque interno
r = raio externo da seção transversal
J = momento de inércia a torção
Onde:
41
2
J r
 4 41 2 12J r r 
(Seção cheia)
(Seção vazada de raio externo r2 e interno r1)
1 - Revisão – Tensões
Exemplo 06
Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 1,5 m de comprimento e diâmetro 
interno e externo, respectivamente iguais a 40 mm e 60 mm.
a) Qual é o maior torque que pode ser aplicado á barra circular se a 
tensão de cisalhamento não deve exceder a 120 MPa?
b) Qual o valor da tensão de cisalhamento mínima?
1 - Revisão – Tensões
1.5 Tensão de Flexão - Vigas
Seja uma viga submetida a um carregamento vertical 
qualquer, as solicitações internas que surgem ao longo 
da viga são o esforço cortante (DEC) momento fletor 
(DMF).
O momento fletor 
atuante na viga 
provocará tensões 
normais de compressão 
e tração ao longo do 
eixo da barra:
1 - Revisão – Tensões
1.5 Tensão de Flexão - Vigas
A tensão normal de flexão, no regime 
elástico, é dada por:
M y
I
s 
s = tensão normal de flexão
M = momento fletor atuante na seção
I = momento de inércia em relação ao eixo de 
flexão
y = distância da linha neutra à fibra mais 
tracionada ou comprimida
Posição da linha neutra (LN):
A LN passa pelo centróide da seção
Sabendo que W é o módulo elástico 
da seção, em relação ao eixo de 
flexão:
I
W
y

Então:
M
W
s 
1 - Revisão – Tensões
1.5 Tensão de Flexão - Vigas
Considere duas vigas de seção transversal retangular 
com mesma área A:
O módulo de resistência é dado por:
Ahbh
h
bh
c
I
W
6
13
6
1
3
12
1
2

Considerando as duas vigas com mesma área 
A de seção transversal, a que tiver altura h 
maior terá um módulo de resistência maior e, 
portanto, terá maior capacidade para resistir à 
flexão.
1 - Revisão – Tensões
1.5 Tensão de Flexão - Vigas
Flexão Pura:
Quando um elemento está submetido apenas a momentos fletores M e M’ iguais e 
opostos, atuando no mesmo plano longitudinal, estão esse elemento está em 
flexão pura.
1 - Revisão – Tensões
1.5 Tensão de Flexão - Vigas
Flexão simples:
Ocorre quando existe flexão apenas em torno de um dos eixos principais de inércia, 
neste caso o vetor momento está aplicada segundo a orientação de um desses eixos 
e a LN coincide com o eixo de aplicação do momento.
A flexão ocorre em torno do 
eixo x, e o momento está 
aplicado em z (a LN está 
passando no eixo z), logo:
x
z
M y
I
s 
A flexão ocorre em torno 
do eixo z, e o momento 
está aplicado em y (a LN 
está passando no eixo y), 
logo:
z
y
M x
I
s 
A flexão 
ocorre em 
torno do eixo 
z, e o 
momento está 
aplicado em x 
(a LN está 
passando no 
eixo x), logo:
z
x
M y
I
s 
Quando a seção transversal 
possui pelo menos um eixo 
de simetria, então esse eixo 
é eixo principal de inércia
1 - Revisão – Tensões
− O momento atua 
fora do plano de 
simetria da barra
1.5 Tensão de Flexão - Vigas
Flexão oblíqua (assimétrica):
No estudo de flexão assimétrica, o vetor momento não atua num plano de simetria 
da barra, isto porque
− A barra não 
possuiu plano 
de simetria.
Em ambos os casos, o momento deverá ser decomposto em relação aos eixos 
principais e o princípio da superposição aplicado
yz
x
z y
M zM y
I I
s   
Quando a barra não possui nenhum eixo de simetria, os eixos principais deverão ser 
determinados.
Quando um dos eixos da seção principal for eixo de simetria, então os eixos serão 
eixos principais.
1 - Revisão – Tensões
1.5 Tensão de Flexão - Vigas
Flexão composta:
Considere um elemento reto AB submetido a forçasaxiais iguais e opostas P e P’
Sejam a e b distâncias da linha de ação das forças até os eixos principais de inércia 
da seção transversal da barra.
O sistema representado em (a) 
pode ser substituído pelo sistema 
(b) pois eles são estaticamente 
equivalentes, onde:
ey zM P a M Pb 
Assim, a tensão de flexão será:
Os sinais de cada termo na equação varia de acordo com a força P (compressão ou 
tração) e com a posição da força P em relação aos eixos principais y e z.
yz
x
z y
M zM yP
A I I
s    
1 - Revisão – Tensões
Exemplo 07
Para a viga de aço com o carregamento mostrado, trace os diagramas de força 
cortante e momento fletor e determine as tensões normais de flexão nas seções A, B, 
C e D.
1 - Revisão – Tensões
Exemplo 08
Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e o carregamento 
mostrados e calcule o valor da tensão normal de flexão máxima.
1 - Revisão – Tensões
Exemplo 09
O momento M é aplicado a uma viga com seção transversal mostrada na figura em 
um plano formando um ângulo b com a vertical. Determine a tensão no ponto A, 
ponto B e ponto D. (Beer, 4.130)
1 - Revisão – Tensões
Exemplo 10
Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e o carregamento 
mostrados e calculo o valor da tensão normal de flexão máxima.
1 - Revisão – Tensões
1.6 Tensão de Cisalhamento - Vigas
Uma viga submetida a um carregamento vertical qualquer 
estará solicitada pelo esforço cortante (DEC) e momento 
fletor (DMF).
O esforço cortante provocará tensões transversais e 
longitudinais de cisalhamento que são numericamente 
iguais
Suponha uma viga 
composta por várias 
tábuas lisas soltas, ao
Se as tábuas estiverem unidas as tensões de 
cisalhamento longitudinais impedirão o deslizamento 
e a viga se comportará como uma unidade única.
Tensões de cisalhamento 
longitudinal:
aplicar a carga P as tábuas deslizam umas 
sobre a outras.
1 - Revisão – Tensões
1.6 Tensão de Cisalhamento - Vigas
Para uma viga com seção transversal 
retangular, a tensão de cisalhamento 
varia parabolicamente com a altura. A 
tensão de cisalhamento máxima ocorre 
ao longo do eixo neutro.
A tensão de cisalhamento em vigas é 
dada por:
V = esforço cortante
I = momento de inércia em relação ao 
eixo neutro
t = largura do elemento onde t está 
sendo calculada
Q = momento estático da área 
sombreada
V Q
I t
t 
*Q A y
1 - Revisão – Tensões
Exemplo 11
Uma viga de madeira deve suportar três forças concentradas mostradas. 
Sabendo que para o tipo de madeira utilizada, sadm = 12 MPa e tadm = 0,82 MPa 
determine a altura d mínima necessária para a viga 
1 - Revisão – Tensões
Exemplo 12
A viga é composta por três tábuas coladas nas linhas de junção A e B. Se for 
submetida ao carregamento mostrado na figura, determine a tensão de 
cisalhamento máxima desenvolvida nas juntas coladas. Os apoios exercem 
somente reação vertical sobre a viga. (Hibbeler 7.25)