ELT2 SAI471 Notas 02 Dispositivos Basicos 12p rev4

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NOTAS DE AULA 02 – DISPOSITIVOS BÁSICOS – REV. 4 1 
ELT2 – ELETRICIDADE APLICADA 2 
 
DISPOSITIVOS BÁSICOS 
 
INTRODUÇÃO 
Elementos Resistivos 
Será estudada a resposta dos dispositivos básicos, resistor (R), indutor (L) e o 
capacitor(C) à aplicação de tensões senoidais, verificando como a freqüência influencia 
nas características de ‘oposição’ de cada dispositivo. 
 
A DERIVADA 
Defini-se a derivada dx/dt como sendo a taxa de variação de x em relação ao 
tempo. Se não houver variação de x em um instante particular, dx = 0 e a derivada será 
nula. No caso de uma forma de onda senoidal, dx/dt será zero apenas nos picos positivo 
e negativo (ωt = π/2 e 3π/2 na Figura 1), pois x não varia nesses instantes. O valor da 
derivada dx/dt em um ponto é a inclinação da curva neste ponto, ou seja, o valor da 
tangente. Se for traçada uma reta nos pontos mencionados se verificará que o valor da 
tangente será zero. 
 
Figura 1 – Valores máximos e mínimos da derivada de uma senóide. 
A variação de x será máxima quando ωt = 0, π e 2π. Para diversos valores de ωt 
entre esses valores máximo e mínimo, a derivada existe e tem valores compreendidos 
entre o mínimo e o máximo (Figura 2). 
A derivada de uma senóide é uma cossenóide. 
 
Figura 2 – Cossenóide - gráfico da derivada de uma função senoidal. 
O valor de pico de uma cossenóide é diretamente proporcional à freqüência da 
senóide original. Quanto maior a freqüência, maior a inclinação no ponto em que a 
curva corta o eixo horizontal e, portanto, maior o valor de dx/dt nesse ponto, como 
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mostra a Figura 3 para duas freqüências diferentes. 
 
Figura 3 – Efeito da freqüência sobre o valor de pico da derivada. 
Observa-se na Figura 3 que, embora as duas formas de onda (x1 e x2) tenham 
valores de pico iguais, a função senoidal de maior freqüência produz uma função 
derivada com um valor de pico maior. Além disso, nota-se que: 
A derivada de uma senóide tem o mesmo período 
e a mesma freqüência que a função original. 
No caso de uma tensão senoidal: 
)t(senE)t(e m 
 
a derivada pode ser determinada diretamente por diferenciação, produzindo o 
seguinte resultado: 
)tcos(Ef2)tcos(E)t(e
dt
d
mm 
 
Observa-se que o valor de pico da derivada, 2πf∙Em, depende da freqüência de 
e(t) e que a derivada de uma senóide é uma função cossenóide. 
 
RESPOSTA DOS DISPOSITIVOS BÁSICOS R, L e C A UMA TENSÃO OU 
CORRENTE SENOIDAL 
 
Resistor 
Na prática, nas freqüências da rede elétrica até as freqüências com algumas 
centenas de quilo-hertz, o valor da resistência não é influenciado por tensões ou 
correntes senoidais aplicadas. Nesta faixa de freqüência o resistor pode ser considerado 
constante e a lei de Ohm pode ser aplicada. 
Pa v = Vm sen (ωt): 
)t(senI)t(sen
R
V
R
)t(senV
R
v
i m
mm 


, onde 
R
V
I mm 
 
Além disso, para uma dada corrente i: 
))t(sen(V))t(sen(RIR))t(sen(IRiv mmm 
, onde RIV mm  
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O gráfico visto na Figura 4 revela que: 
Para um dispositivo puramente resistivo, a tensão e a corrente no dispositivo estão 
em fase, sendo a relação entre os seus valores de pico dado pela lei de Ohm. 
 
Figura 4 – Em um dispositivo resistivo a tensão e a corrente estão em fase. 
Indutor 
Para a configuração em série vista na Figura 5(a), a tensão vdispositivo do 
dispositivo no interior da caixa se opõe à da fonte e e, assim, reduz a corrente i. O valor 
da tensão sobre o dispositivo é determinado por sua oposição ao fluxo de carga, ou seja, 
à corrente i. No caso de um dispositivo resistivo, se observa que a oposição se deve à 
resistência e que vdispositivo e i estão relacionados por vdispositivo = i∙R. 
A tensão em um indutor é diretamente proporcional à taxa de variação da 
corrente que o atravessa. Consequentemente, quanto maior a freqüência, maior a taxa 
de variação da corrente no indutor e maior o valor da tensão induzida. 
A indutância determina a taxa de variação do fluxo magnético no indutor para 
uma variação da corrente. Quanto maior a indutância, maior a taxa de variação do fluxo 
e maior a tensão no indutor. 
Portanto, a tensão no indutor é diretamente proporcional à freqüência e à 
indutância do enrolamento. Para valores crescentes de f e L, conforme a Figura 5(b), o 
valor da tensão vL aumenta como descrito acima. 
(a) 
(b) 
Figura 5 – (a) Ilustração de como um dispositivo se opões à passagem de corrente; (b) Ilustração dos parâmetros 
que determinam a oposição de um indutor à passagem de corrente. 
Matematicamente, no caso de um indutor como 
o da Figura 6, tem-se que: 
dt
di
Lv LL 
, onde diL/dt é dado por: 
 
)tcos(I))t(senI(
dt
d
dt
di
mm
L 
 
Portanto, 
 
Figura 6 – Dispositivo indutivo. 
)tcos(IL)tcos(IL
dt
di
Lv mm
L
L 
 
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Definindo, 
mm ILV 
 
Sabendo-se que 
)º90t(sen)tcos( 
 
Chega-se a: 
)º90t(senVv mL 
 
Observa-se que o valor de pico de vL é diretamente proporcional a ω (2πf) e a L. 
O gráfico mostrado na Figura 7, revela que: 
Para um indutor, vL está adiantada 90º em relação a iL 
ou iL está atrasada 90º em relação à vL. 
 
Figura 7 – Em um indutor puro a tensão está adiantada 90º em relação à corrente. 
Se um ângulo de fase for incluído na expressão senoidal de iL, como, por 
exemplo: 
)t(senIi mL 
 
Então: 
)º90t(senILv mL 
 
Agora, lembrando que: 
m
m
I
V
efeito
causa
Oposição
oposição
causa
Efeito 
 
A oposição causada por um indutor em um circuito de corrente alternada 
senoidal pode ser calculada agora a partir de: 
L
I
IL
I
V
efeito
causa
Oposição
m
m
m
m 


 
Revelando que a oposição causada pelo indutor em um circuito de corrente 
alternada senoidal é diretamente proporcional ao produto da velocidade angular pela 
indutância. A grandeza ωL denominada reatância (derivada da palavra reação) indutiva, 
é simbolizada por XL e medida em ohms. Ou seja: 
LXL 
 (ohms, Ω) 
A reatância indutiva é uma oposição à corrente que resulta em uma troca 
contínua de energia entre a fonte e o campo magnético do indutor. 
 
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Capacitor 
Na configuração em série vista na Figura 5(a), usando agora o capacitor será 
determinada a corrente i para uma determinada tensão sobre o capacitor. Em um 
indutor a tensão induzida se opõe à variação instantânea da corrente no indutor. No 
caso de circuitos capacitivos, a tensão no capacitor é limitada pela taxa com que a carga 
é depositada nas placas do capacitor ou ainda retirada delas, durante as fases de carga e 
de descarga, respectivamente. Isto é, uma variação instantânea da tensão no capacitor 
sofre uma oposição devido ao fato de que é necessário um tempo para carregar (ou 
descarregar) as placas de um capacitor, e V = Q/C. 
Como a capacitância é uma medida da rapidez com que um capacitor armazena 
carga em suas placas: 
Para uma determinada variação da tensão em um capacitor, quanto maior 
o valor da capacitância, maior será a corrente capacitiva resultante. 
A equação fundamental que relaciona a tensão no capacitor á corrente dele, 
dtdv
Ci CC 
 
mostra que: 
Para uma determinada capacitância, quanto maior a taxa de variação da tensão 
entre os terminais de um capacitor, maior será a corrente capacitiva. 
E também um aumento na 
freqüência corresponde a um au-
mento da taxa de variação da ten-
são no capacitor e a um aumento 
da corrente no capacitor. Portanto, 
a corrente em um capacitor é dire-
tamente proporcional à freqüência 
e á sua capacitância (Figura 8). 
 
Figura 8 – Parâmetros que determinam a oposição de um 
dispositivo capacitivo á passagem de corrente. 
Determinando o valor de dvc/dt tem-se: 
)tcos(V))t(senV(
dt
d
dt
dv
mm
C 
 
Portanto: 
)tcos(VC))tcos(V(C
dt
dv
Ci mm
C
C 
 
Definindo, 
mm VCI 
 
Sabendo-se que 
)º90t(sen)tcos(  
Chega-se a: 
)º90t(senIi mC 
 
Observa-se que o valor de pico de iC é diretamente proporcional a ω (2πf) e a C. 
O gráfico mostrado na Figura 9, revela que: 
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Para um capacitor, iC está adiantada 90º em relação à vC 
ou vC está atrasada 90º em relação à iC. 
 
Figura 9 – A corrente em um dispositivo puramente capacitivo está adiantada 90º em relação à tensão. 
Se um ângulo de fase for incluído na expressão senoidal de vC, como, por 
exemplo: 
)t(senVv mC 
 
Então: 
)º90t(senVCi mC 
 
Agora, lembrando que: 
m
m
I
V
efeito
causa
Oposição
oposição
causa
Efeito 
 
A oposição causada por um capacitor em um circuito de corrente alternada 
senoidal pode ser calculada agora a partir de: 
C
1
VC
V
I
V
efeito
causa
Oposição
m
m
m
m




 
Revelando que a oposição causada pelo capacitor em um circuito de corrente 
alternada senoidal é inversamente proporcional ao produto da velocidade angular pela 
capacitância. A grandeza 1 / ωC denominada reatância capacitiva, e é simbolizada por 
XC e medida em ohms. Ou seja: 
C
1
XC


 (ohms, Ω) 
A reatância capacitiva é uma oposição à corrente que resulta em uma troca 
contínua de energia entre a fonte e o campo elétrico no capacitor. 
Resumindo: 
Se a corrente estiver adiantada em relação à tensão aplicada, o circuito 
será predominantemente capacitivo e, se a tensão aplicada estiver adiantada 
em relação à corrente, ele será predominantemente indutivo. 
 
EXEMPLOS NUMÉRICOS 
1. Considerando a tensão no resistor como indicado abaixo, calcule as expressões para 
a corrente sendo o resistor de 10 Ω. Esboce os gráficos de v e i. 
a) v = 100 sen (377t) 
b) v = 25 sen (377t + 60º) 
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Solução: 
a) 
A10I
10
V100
R
V
I m
m
m 


 
Como v e i estão em fase, resulta: 
)t377(sen10)t(senIi m 
 
As curvas de v e i são mostradas 
abaixo. 
 
 
b) 
A5,2I
10
V25
R
V
I m
m
m 


 
Como v e i estão em fase, resulta: 
)º60t377(sen5,2)t(senIi m 
 
As curvas de v e i são mostradas abaixo. 
 
2. A corrente em um resistor de 5 Ω vale i = 40 sen (377t + 30º). Determine a 
expressão senoidal para a tensão no resistor. 
Solução: 
V200V540RIV mmm 
 
Como v e i estão em fase, resulta: 
)º30t377(sen200)t(senVv m 
 
3. A corrente em um indutor de 0,1 H é dada nos itens a e b a seguir. Determine em 
cada caso a expressão para a tensão no indutor. Esboce as curvas de v e i. 
a) i = 10 sen (377t) 
b) i = 7 sen (377t – 70º) 
Solução: 
a) 
 7,37)H1,0()s/rad377(LXL
 
V3777,37A10XIV Lmm 
 
Como v está adiantado 90º em relação a 
i, resulta: 
)º90t377(sen377v
)º90t(senVv m

 
b) 
V9,2637,37A7XIV Lmm 
 
Como v está adiantado 90º em relação 
a i, resulta: 
)º20t377(sen9,263v
)º90º70t377(sen9,263v
)º90t(senVv m



 
As curvas de v e i são mostradas abaixo. 
a) 
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b) 
4. A expressão para a tensão em um capacitor de 1 μF é v = 30 sen (400t). Qual é a 
expressão senoidal para a corrente? 
Solução: 






2500X
400
10
)F101()s/rad400
1
C
1
X C
6
6C
 
m
m m
c
V 30V
I I 12mA
X 2500
   

 
Sabendo-se que em um capacitor, a corrente i está adiantada 90º em relação à v: 
)º90t400(sen1012)º90t(senIi 3m 
 
5. Dados os pares de expressões para tensões e correntes a seguir, determine se o 
dispositivo envolvido é um capacitor, um indutor ou um resistor e calcule os valores 
de C, L e R, se houver dados suficientes para isso. 
a) v = 100 sen (ωt + 40º) 
i = 20 sen (ωt + 40º) 
 
b) v = 1000 sen (377t + 10º) 
i = 5 sen (377t – 80º) 
c) v = 500 sen (157t + 30º) 
i = 1 sen (157t + 120º) 
 
d) v = 50 cos (ωt + 20º) 
i = 5 sen (ωt + 110º) 
Solução: 
a) Como v e i estão em fase, o dispositivo é um resistor e 
 5R
A20
V100
I
V
R
m
m
 
 
b) Como v está adiantada 90º em relação a i, o dispositivo é um indutor e: 
 200X
A5
V1000
I
V
X L
m
m
L
 e 
H521,0L
377
200
LLXL 
 
 
c) Como i está adiantada 90º em relação à v, o dispositivo é um capacitor e: 
 500X
A1
V500
I
V
X C
m
m
C
 e 
F74,12C
500157
1
C
C
1
XC 




 
 
d) 
)º110t(sen50v)º90º20t(sen50)º20tcos(50v 
 
Como v e i estão em fase, o dispositivo é um resistor e, 
 10R
A5
V50
I
V
R
m
m
 
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Comportamento de indutores e capacitores em regimes de corrente contínua, alta 
freqüência e baixa freqüência 
Para circuitos de corrente contínua, a freqüência é zero e a reatância de um 
indutor é dada por: 
 0XL02Lf2LX LL
 
O que indica que em regime permanente, num circuito de corrente contínua o 
indutor se comporta como um curto-circuito. 
Em altas freqüências, XL terá um valor muito elevado e, em algumas aplicações 
práticas, o indutor pode ser tratado como se fosse um circuito aberto. 
O capacitor pode ser substituído por um circuito aberto em circuitos de corrente 
contínua, pos f = 0, e 






 CC X
C02
1
Cf2
1
C
1
X
 
Em freqüências muito altas, para capacitâncias finitas XC é muito pequena e, em 
algumas aplicações práticas, o capacitor pode ser substituído por um curto-circuito. 
 
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DOS DISPOSITIVOS BÁSICOS 
Sabe-se que a reatância indutiva aumenta com a freqüência, enquanto a reatância 
capacitiva diminui. Entretanto, qual é o padrão para esse aumento ou diminuição? 
Como a freqüência dos sinais aplicados pode variar de uns poucos hertz até megahertz, 
é importante conhecer os efeitos da freqüência na intensidade das reações dos 
dispositivos. 
 
Resistores 
Em um componente 
real, todo resistor tem ca-
pacitâncias parasitas e in-
dutâncias dos terminais, 
que são sensíveis ao valor 
da freqüência aplicada. Os 
valores dessas capacitân-
cias e indutâncias são tão 
pequenos que seus efeitos 
não são notados até que se 
atinja a faixa dos mega-
hertz. 
As curvas da resis-
tência em função da fre-
qüência para alguns resis-
tores de carbono são for- 
 
Figura 10 – Variação da resistência com a freqüência para resistores de 
carbono.necidas na Figura 10. Observa-se que as resistências menores são menos afetadas pelo 
valor da freqüência. Pela figura é possível afirmar que o valor da resistência permanece 
inalterado até que a freqüência atinja cerca de 10 MHz. 
 
Indutores 
Para os indutores a equação XL = 2π∙f∙L, tem a forma de uma equação de uma 
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reta com uma inclinação de 2π∙L e intercepta o eixo das ordenadas em zero, como 
mostra a Figura 11. Quanto maior a indutância, maior a inclinação da reta para a 
mesma freqüência. 
 
Figura 11 – XL em função da freqüência. 
 
Capacitores 
No caso de capacitor, a expressão 
para a reatância XC = 1 / (2π∙f∙C) pode ser 
escrita na forma XC∙f = 1 / (2π∙C), que 
coincide com a forma básica de uma 
hipérbole, y∙x = k, sendo y = XC, x = f e k = 
1 / (2π∙C). Para f = 0 Hz, a reatância de um 
capacitor é tão grande, como mostra a 
Figura 12, que ele se comporta como um 
circuito aberto. Á medida que a freqüência 
aumenta, a reatância diminui, até que ao 
final seja equivalente a um curto-circuito. 
Figura 12 – XC em função da freqüência. 
POTÊNCIA MÉDIA E FATOR DE POTÊNCIA 
Para qualquer carga em um circuito de corrente alternada senoidal, a tensão e a 
corrente na carga variam de forma senoidal com o tempo. Tomando um caso geral e 
usando para v e i as expressões abaixo: 
)t(senVv vm 
 
e 
)t(senIi im 
 
A potência será dada por: 
)t(senI)t(senVivp imvm 
 
Usando a identidade trigonométrica: 
2
)BAcos()BAcos(
senBsenA


 
A função sen(ωt + θv)∙sen(ωt + θi), torna-se: 
2
)]t()tcos[()]t()tcos[( iviv  
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NOTAS DE AULA 02 – DISPOSITIVOS BÁSICOS – REV. 4 11 
2
]t2cos[]cos[ iviv  , de forma que 
 
]t2cos[
2
IV
]cos[
2
IV
p iv
mm
iv
mm 




 
Onde o primeiro termo representa uma parte fixa e o segundo termo varia com o 
tempo. As curvas de v, i e p estão no mesmo gráfico da Figura 13. 
 
Figura 13 – Determinação da potência média de um circuito de corrente alternada senoidal. 
Note-se que o segundo termo na equação anterior representa uma cossenóide de 
amplitude VmIm / 2 e freqüência duas vezes maior que a da tensão e corrente. O valor 
médio desse termo é zero e, portanto, ele não tem nenhuma influência no processo de 
dissipação de energia. 
Já o primeiro termo da equação é constante (não depende do tempo) e representa 
uma transferência líquida de energia. Este termo é chamado de potência média. A 
potência média, ou potência real, é a fornecida à carga e dissipada por esta. Ela 
corresponde à potência total dos circuitos de corrente contínua. O ângulo (θv – θi) é o 
ângulo de fase entre v e i. Fazendo θ igual a |θv – θi|, onde | | indica que apenas o valor 
absoluto é importante, ou seja, o sinal é irrelevante, tem-se: 


 cos
2
IV
P mm
 (watts, W) 
Onde P é a potência média em watts. Esta equação também pode ser escrita na 
forma: 












 cosIVcos
2
I
2
V
P efef
mm (watts, W) 
 
Resistores 
Em um circuito puramente resistivo, como v e i estão em fase, |θv – θi| = θ = 0º e 
cos θ = cos 0º = 1, de forma que: 
efef IVP 
 (watts, W) 
 
Indutores 
Em um circuito puramente indutivo, como v está adiantada em relação a i de 90º, 
|θv – θi| = θ = |–90º| = 90º, portanto: 
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NOTAS DE AULA 02 – DISPOSITIVOS BÁSICOS – REV. 4 12 
W0P)º90cos(
2
IV
P mm 


 
A potência média ou potência dissipada por um indutor ideal é zero. 
 
Capacitores 
Em um circuito puramente capacitivo, como i está adiantada em relação à v de 
90º, |θv – θi| = θ = |–90º| = 90º, portanto: 
W0P)º90cos(
2
IV
P mm 


 
A potência média ou potência dissipada por um capacitor ideal é zero. 
 
FATOR DE POTÊNCIA 
Na equação P = (VmIm / 2)∙cos θ, o fator que tem uma influência significativa no 
valor da potência fornecida é cos θ. Independentemente dos valores da tensão e da 
corrente, se cos θ = 0, a potência é nula; se cos θ = 1, a potência é máxima. A expressão 
cos θ recebe o nome de fator de potência. 
Para uma carga puramente resistiva, a diferença de fase entre v e i é 0º o que faz 
com que o fator de potência seja igual a 1. 
No caso de uma carga puramente reativa (indutiva ou capacitiva), a diferença de 
fase entre v e i é 90º levando o valor do fator de potência para 0. Note que neste caso a 
potência entregue à carga é nula, embora a corrente tenha o mesmo valor de pico 
que no circuito puramente resistivo. 
Nas situações em que a carga é uma combinação de dispositivos resistivos e 
reativos, o fator de potência tem um valor entre 0 e 1. Quanto mais resistiva for a 
impedância total, mais próximo da unidade estará o fator de potência; quanto mais 
reativa é a impedância, mais o fator de potência se aproxima do zero. 
Os circuitos capacitivos têm um fator de potência adiantado (corrente adiantada 
em relação à tensão), enquanto os circuitos indutivos têm um fator de potência atrasado 
(corrente atrasada em relação à tensão). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS – 10ª Edição. 
Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004.