Lista 1 Cálculo I (1) (1)

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ENGENHARIA ELÉTRICA E ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO – 1º PERÍODO – CÁLCULO I 
PROFESSORA: FLÁVIA FARIA DATA ___/___/___ 
 ALUNO: _________________________________________________________________ 
 
Lista de Exercícios 
 
1) Em cada parte da figura abaixo, determine se o gráfico define 𝑦 como função de 𝑥: 
a) b) c) d) 
 
 
2) Os segmentos de retas no plano 𝑥𝑦 formam letras, conforme indicado. 
 
 
 
 
 
a) Se o eixo 𝑦 é paralelo à letra I, quais das letras representam o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) para alguma 
função 𝑓? 
b) Se o eixo 𝑦 é perpendicular à letra I, quais das letras representam o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) para 
alguma função 𝑓? 
3) Dado o gráfico de uma função 𝑓, responda as seguintes questões, fazendo aproximações 
razoáveis onde for necessário: 
 
a) Para quais valores de 𝑥 vale 𝑦 = 1? 
b) Para quais valores de 𝑥 vale 𝑦 = 3? 
c) Para quais valores de 𝑦 vale 𝑥 = 3? 
d) Para quais valores de 𝑥 vale 𝑦 ≤ 0? 
e) Quais são os valores máximo e mínimo de 𝑦 
e em quais valores de 𝑥 eles ocorrem? 
f) Em qual intervalo 𝑓 é crescente? 
 
 
 
4) Encontre 𝑓(0), 𝑓(2), 𝑓(−2), 𝑓(3), 𝑓(√2) e 𝑓(3𝑡) para cada uma das funções abaixo: 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2 b) 𝑓(𝑥) = {
1
𝑥
, 𝑥 > 3
2𝑥, 𝑥 ≤ 3
 
5) Dada a função 𝑓(𝑥) = {
1
𝑥−1
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 1
3𝑥2 + 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 1
 , faça o que se pede: 
a) Determine 𝑓(− 1 2⁄ ), 𝑓(1) 𝑒 𝑓(2); 
b) Esboce o gráfico de 𝑓; 
c) Determine o domínio e a imagem de 𝑓. 
 
6) Determine o domínio natural das funções abaixo: 
a) 𝑓(𝑥) = 5 f) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 + 5 
b) 𝑓(𝑡) = 𝑡2 − 6𝑡 g) 𝑓(𝑡) =
𝑡+2
√9−𝑡2
 
c) 𝑔(𝑥) =
𝑥+1
𝑥2−𝑥−2
 h) ℎ(𝑥) =
𝑥
|𝑥|
 
d) 𝑓(𝑥) =
2𝑥+5
√𝑥2−3
3 i) 𝑓(𝑥) =
𝑥√𝑥+√𝑥
𝑥−1
 
e) 𝐺(𝑥) = √𝑥2 − 2𝑥 + 5 j) 𝐺(𝑥) =
3𝑥+|𝑥|
𝑥
 
7) Esboce o gráfico das seguintes funções: 
a) 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 2, 𝑥 ≤ −1
𝑥2, 𝑥 > −1
 d) 𝑓(𝑥) =
1
3𝑥+7
 
b) 𝑓(𝑥) = |𝑥| + 3𝑥 + 1 e) 𝑓(𝑥) =
−5
𝑥−3
 
c) 𝑓(𝑥) =
−3
𝑥+5
 f) 𝑓(𝑥) =
𝑥−2
𝑥−3
 
8) Os gráficos de 𝑓 e 𝑔 são mostrados a seguir. Verifique se cada função é par, ímpar ou nem par 
nem ímpar. Justifique sua resposta. 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Classifique cada uma das funções abaixo como par, ímpar ou nem par nem ímpar. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 7 c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥5 d) 𝑓(𝑥) =
𝑥5−𝑥
1+𝑥2
 
10) Determine as funções 𝑓(𝑔(𝑥)) e 𝑔(𝑓(𝑥)): 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e 𝑔(𝑥) = √1 − 𝑥 c) 𝑓(𝑥) =
2𝑥+3
𝑥−1
 e 𝑔(𝑥) =
𝑥+3
𝑥−2
 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 e 𝑔(𝑥) = 1 − 𝑥 d) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 e 𝑔(𝑥) =
4−𝑥
2+𝑥
 
11) Sejam 𝑓(𝑥) = √𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 1. Determine: 
a) 𝑓(𝑔(2)) b) 𝑔(𝑓(4)) c) 𝑓(𝑓(16)) d) 𝑔(𝑔(0)) 
12) Determine 𝑓°𝑔°ℎ, dadas as funções 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, 𝑔(𝑥) =
1
𝑥
 e ℎ(𝑥) = 𝑥3: 
13) Determine ℎ(𝑥) e 𝑔(𝑥) tais que 𝑓(𝑥) = 𝑔(ℎ(𝑥)): 
a) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 + 2(𝑥 − 1) + 3 d) 𝑓(𝑥) = √3𝑥 − 5 
b) 𝑓(𝑥) = (𝑥5 − 3𝑥2 + 12)3 e) 𝑓(𝑥) = √2 − 𝑥
3
+
4
2−𝑥
 
c) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2+1
 f) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 4 −
1
(𝑥+4)3
 
14) Uma pesquisa de mercado mostra que os consumidores comprarão 𝑥 mil unidades de uma certa 
cafeteira se o preço unitário for, em reais, dado por 𝑝(𝑥) = −0,27𝑥 + 51. O custo, em mil reais, 
para produzir as 𝑥 mil unidades é dado por 𝐶(𝑥) = 2,23𝑥2 + 3,5𝑥 + 85. 
a) Determine as funções receita e lucro, 𝑅(𝑥) e 𝑃(𝑥), para este processo de produção. 
b) Para que valores de 𝑥 a produção das cafeteiras é lucrativa? 
15) O custo total, em reais, para fabricar 𝑛 unidades de um certo produto é dado pela função 
𝐶(𝑛) = 𝑛3 − 30𝑛2 + 500𝑛 + 200. 
a) Determine o custo de fabricação de 10 unidades do produto. 
b) Determine o custo de fabricação de 10ª unidade do produto. 
16) Suponha que o número de homens-horas necessário para distribuir catálogos telefônicos para 
𝑥% das residências em uma certa região rural seja dado pela função 𝑊(𝑥) =
600𝑥
300−𝑥
 . 
a) Qual é o domínio da função 𝑊? 
b) Para que valores de 𝑥 a função 𝑊(𝑥) tem significado neste contexto? 
c) Quantos homens-horas são necessários para distribuir catálogos para 50% das residências? 
d) Quantos homens-horas são necessários para distribuir catálogos para todas as residências? 
e) Que porcentagem das residências terá recebido novos catálogos depois de 150 homens-horas de 
trabalho? 
17) Os ambientalistas estimam que em uma certa cidade a concentração média diária de monóxido 
de carbono no ar será 𝑐(𝑝) = 0,5𝑝 + 1 partes por milhão quando a cidade tiver uma população de 𝑝 
mil habitantes. Um estudo demográfico indica que a população da cidade dentro de 𝑡 anos será 
𝑝(𝑡) = 10 + 0,1𝑡2 mil habitantes. 
a) Determine a concentração média de monóxido de carbono no ar em função do tempo. 
b) Daqui a quanto tempo a concentração de monóxido de carbono atingirá o valor de 6,8 partes por 
milhão? 
18) Se um objeto é arremessado verticalmente para cima a partir do solo com uma velocidade 
inicial de 50 metros por segundo, sua altura (em metros) 𝑡 segundos mais tarde é dada pela função 
𝐻(𝑡) = −4,9𝑡2 + 49𝑡. 
a) Faça o esboço do gráfico da função 𝐻(𝑡). 
b) Determine em que instante o objeto se chocará com o solo. 
c) Determine a altura máxima atingida pelo objeto. 
19) Escreva uma equação para a reta que apresenta as propriedades indicadas: 
a) Passa pelo ponto (2,0) com inclinação 1. 
b) Passa pelo ponto (2,5) e é paralela ao eixo 𝑥. 
c) Passa pelo ponto (1,0) e (0,1). 
d) Passa pelos pontos (−
1
5
, 1) e (
2
3
,
1
4
). 
20) Sejam 𝑓 e 𝑔 funções afins com equações 𝑓(𝑥) = 𝑚1𝑥 + 𝑏1 e 𝑔(𝑥) = 𝑚2𝑥 + 𝑏2. A função 𝑓°𝑔 
também é afim? Em caso afirmativo, qual é a inclinação do seu gráfico? 
21) A função de Heaviside 𝐻 é definida por 𝐻(𝑡) = {
0 𝑠𝑒 𝑡 < 0
1 𝑠𝑒 𝑡 ≥ 0
. Essa função é usada no estudo 
de circuitos elétricos para representar o surgimento repentino de corrente elétrica, ou voltagem, 
quando uma chave é instantaneamente ligada. 
a) Esboce o gráfico da função de Heaviside. 
b) Esboce o gráfico da voltagem 𝑉(𝑡) no circuito se uma chave for ligada no instante 𝑡 = 0 e 120 
volts forem aplicados instantaneamente no circuito. Escreva uma fórmula para 𝑉(𝑡) em termos de 
𝐻(𝑡). 
c) Esboce o gráfico da voltagem 𝑉(𝑡) no circuito quando é ligada uma chave em 𝑡 = 5 segundos e 
240 volts são aplicados instantaneamente no circuito. Escreva uma fórmula para 𝑉(𝑡) em termos de 
𝐻(𝑡). 
22) Determine se a equação 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 27 = 0 é uma função de 𝑥. 
23) Resolva as seguintes inequações: 
a) 3𝑥 + 1 > 0 e) 4𝑥2 + 4𝑥 + 1 ≤ 0 g) 𝜋𝑥2 − 𝑥 + 3 < 0 
b) 2 − 𝑥 ≤ 0 f) 𝑥(𝑥 − 1) < 0 h) 2𝑥2 − 1 ≥ 0 
c) 𝑥2 + 2𝑥 − 3 > 0 d) −𝑥2 + 𝑥 − 1 < 0 i) 
𝑥2−8𝑥+12
𝑥2−5𝑥
≤ 0 
 
 
GABARITO: 
1) a) sim b) não c) sim d) não 2) a) M b)I 3) a) −2,9; −2; 2,35; 2,9 b) nenhum c) 0 d) 
[−1,75 ≤ 𝑥 ≤ 2,15] e) 𝑦𝑚á𝑥 = 2,8 em 𝑥 = −2,6 e 𝑦𝑚í𝑛 = −2,2 em 𝑥 = 1,2 
f) [−3 ≤ 𝑥 ≤ −2,6] ∪ [−2,4 ≤ 𝑥 ≤ −0,2] ∪ [−1,2 ≤ 𝑥 ≤ 2,6] 4) a) −2; 10; 10; 25; 4; 27𝑡2 − 2 b) 
0; 4; −4; 6; 2√2; 𝑓(3𝑡) = 1 3𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 1 𝑒 𝑓(3𝑡) = 6𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≤ 1 ⁄ 5) a) − 2 3⁄ ; 4; 13 c) 𝐷(𝑓) = 𝑹 e 
𝐼𝑚(𝑓) = ]−∞, 0[ ∪ [4, +∞[ 6) a) 𝐷(𝑓) = 𝑹 b) 𝐷(𝑓) = 𝑹 c) 𝐷(𝑔) = 𝑹 − {−1,2} 
d) 𝐷(𝑓) = 𝑹 − {−√3, √3} e) 𝐷(𝐺) = 𝑹 f) 𝐷(𝑓) = 𝑹 g) 𝐷(𝑓) = ]−3,3[ h) 𝐷(𝑓) = 𝑹∗ i) 𝐷(𝑓) =
[0,1[ ∪ ]1, +∞[ j) 𝐷(𝐺) = 𝑹∗ 8) a) 𝑓 é ímpar; 𝑔 é par b) 𝑓 é nem par nem ímpar; 𝑔 é par 9) par; 
ímpar; nem par nem ímpar; ímpar 10) a) 𝑓(𝑔(𝑥)) = 1 − 𝑥 e 𝑔(𝑓(𝑥)) = √1 − 𝑥2 b) 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑥2 − 2𝑥 +
2 e 𝑓(𝑔(𝑥)) = −𝑥2 c) 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑥 e 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑥 
d) 𝑓(𝑔(𝑥)) =
2+𝑥
4−𝑥
 e 𝑔(𝑓(𝑥)) =
4𝑥−1
2𝑥+1
 11) a) 3 b) 9 c) 2 d) 2 12) 𝑥−6 + 1 
13) a) ℎ(𝑥) = 𝑥 − 1 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 3 b) ℎ(𝑥) = 𝑥5 − 3𝑥2 + 12 e 𝑔(𝑥) = 𝑥3 
c) ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 1 e 𝑔(𝑥) =
1
𝑥
 d) ℎ(𝑥) = 3𝑥 − 5 e 𝑔(𝑥) = √𝑥 e) ℎ(𝑥) = 2 − 𝑥 e 
 𝑔(𝑥) = √𝑥
3 +
4
𝑥
 f) ℎ(𝑥) = 𝑥 + 4 e 𝑔(𝑥) = √𝑥 −
1
𝑥3
 14) a) 𝑃(𝑥) = −2,5𝑥2 + 47,5𝑥 − 85 b) {𝑥 ∈
𝑵, 2 < 𝑥 < 17} 15) a) R$ 3.200,00 b) R$ 201,00 16) a) 𝐷(𝑊) = 𝑹 − {300} b) 0 ≤ 𝑥 ≤ 100 
c) 120 d) 300 e) 60% 17) a) 6 + 0,05𝑡2 b) 4 18) b) 10s c) 122,5m 19) a) 𝑦 = 𝑥 − 2 
b) 𝑦 = 5 c) 𝑦 = −𝑥 + 1 d) 𝑦 = −
45
52
𝑥 +
43
52
 22) não 23) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 > − 1 3⁄ } 
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ 2} c) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 < −3 𝑜𝑢 𝑥 > 1} d) 𝑆 = 𝑹 e) 𝑆 = {− 1 2⁄ } 
f) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅/0 < 𝑥 < 1} g) 𝑆 = ∅ h) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≤ −
√2
2
 𝑜𝑢 𝑥 ≥
√2
2
} 
i) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅/0 < 𝑥 ≤ 2 𝑜𝑢 5 < 𝑥 ≤ 6}