MRU E MRUV COM EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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Quanto à velocidade 
 Uniforme 
O movimento é denominado de uniforme quando o móvel desenvolve velocidade constante. 
 
Variado 
É considerado o movimento em que existe aceleração escalar não nula, e assim a velocidade do móvel é variável. 
 
 ​Quanto ao sentido do movimento 
 Progressivo 
Ocorre quando o sentido do movimento coincide com o sentido adotado para a trajetória. Nesse caso a velocidade do 
móvel é positiva. 
 
 
Retrógrado. 
É considerado retrógrado o movimento que ocorre no sentido contrário ao da trajetória. Nesse caso a velocidade do 
móvel é negativa. 
 
Quanto à mudança da velocidade 
Acelerado 
O movimento é acelerado quando o valor absoluto da velocidade aumenta e neste caso os sinais da velocidade e da 
aceleração são iguais. 
 
 
 
 
 
 
Retardado 
No movimento retardado, o valor absoluto da velocidade diminui e os sinais da velocidade e da aceleração são 
diferentes. 
 
 
 
 
 
MRU - função horária 
Definição 
 
No cotidiano observam-se muitos corpos em movimento. Ao observar atentamente os movimentos que ocorrem, é 
possível verificar que alguns possuem a característica de possuírem a velocidade com módulo constante ao longo do 
tempo. Neste caso, o movimento é chamado de uniforme. 
 
O movimento uniforme é aquele em que a velocidade escalar instantânea 
é constante e diferente de zero, sendo igual à velocidade escalar média. 
 
 
Função horária 
 
Considere um automóvel que se move em estrada, com uma velocidade constante de 70 km/h. Pode-se observar que 
após 1 hora de movimento ele terá percorrido 70 km, após 2 horas terá percorrido 140 km e em 3 horas, 210 km. 
Para se determinar o deslocamento (ΔS), pode-se multiplicar a velocidade e o tempo de movimento. Assim tem-se: 
para t = 1 h → ΔS = 70 . 1 = 70 km 
para t = 2 h → ΔS = 70 . 2 = 140 km 
para t = 3 h → ΔS = 70 . 3 = 210 km 
 
Assim, pode-se concluir que o deslocamento de um corpo em movimento uniforme é determinado por: 
ΔS =​ v . t (I) 
 
Onde: 
ΔS — deslocamento 
v — velocidade 
t — tempo de movimento 
 
Pode-se alterar a equação sabendo que o deslocamento (ΔS) é definido pela diferença entre as posições final (S) e 
inicial (S​o​) ocupadas pelo corpo. 
ΔS = S - S​o​ (II) 
 
Assim, substituindo a equação II na equação I ,tem-se: 
 
 
 
 
S – S​o​ = v . t ==> ​S = S​o​ + v . t 
 
Então, a função horária do movimento uniforme é: ​S = S​o​ + v . t 
 
A função horária do movimento uniforme é do primeiro grau em que ​S​o​ ​e ​v​ são constantes e se v > 0 o movimento é 
progressivo e se v < 0 o movimento é retrógrado. 
 
Os exemplos a seguir apresentam as grandezas em unidades do SI. 
 
 S = S​o ​+ v . t S​o v progressivo​/​retrógrado 
S = 2 + 3 t 2 m 3 m/s Progressivo 
S = 40 – 15 t 40 m -15 m/s Retrógrado 
S = 0,4 + 0,2 t 0,4 m 0,2 m/s Progressivo 
S = t 0 1 m/s Progressivo 
S = - 4 t 0 -4 m/s Retrógrado 
S = 3 – t 3 m - 1 m/s Retrógrado 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1- ​Considere que um corpo se movimenta segundo a equação ​S = 8 + 3 t ​(no SI). Determine: 
a) a posição inicial e a velocidade; 
b) a posição no instante 4 s; 
c) o instante em que se encontra na posição 32 m; 
d) o deslocamento após 12 s. 
 
Resolução: 
 
a) Comparando a equação dada com a equação horária, obtêm-se os valores da posição inicial e da velocidade. 
 
 
 S​o ​ = 8 m e v = 3 m/s 
 
b) Substitui-se t por 3 na equação dada: 
S = 8 + 3 . (4) = 20 m 
 
c) Substitui-se S por 32 na equação dada: 
32 = 8 + 3 t => 32 – 8 = 3 t => 24 = 3 t 
t = 8 s 
 
d) Para determinar o deslocamento do corpo após 12 s, é mais fácil aplicar a equação ​DS = ​v . t, assim, tem-se: 
DS = 3 . 12 
DS = 36 m 
 
 
2- ​O movimento de um corpo é dado pela tabela a seguir: 
 
t (s) 0 1 2 3 4 
S (m) 44 40 36 32 28 
 
Determine: 
 
a) o espaço inicial ​S​o​ ​e a velocidade escalar ​v​ do movimento; 
b) a função horária do movimento; 
c) o instante que o corpo passa pela origem dos espaços. 
 
Resolução: 
 
a) Na tabela, observa-se que no instante t = 0 o espaço do corpo é: ​S​o​ = 44 m​. 
 
 
 
 
Para o cálculo da velocidade aplica-se a função horária do espaço, substituindo t = 3 s e S = 32 m: 
S = S​o​ + v t 
32 = 44 + v . 3 
-12 = 3 v 
v = - 4 m/s 
 
b) A função horária do movimento uniforme é S = S​o​ + v t. Substituindo S​o ​e v, tem-se: 
S = 44 – 4 t 
 
c) Na origem das posições (S = 0) o instante é: 
S = 44 – 4 t 
0 = 44 – 4 t 
4 t = 44 
t = 11 s 
 
MRU - gráficos do MRU 
Gráficos do MRU 
 
Sabe-se que o movimento de um corpo pode ser definido por uma expressão matemática, por uma tabela ou também 
por uma representação gráfica. A forma gráfica é muito importante pois pode fornecer muitos detalhes de um movimento, 
ou ainda, facilitar a comparação de movimentos de corpos diferentes. 
 
Gráfico v x t 
 
 
No movimento uniforme, a velocidade é constante e o diagrama da velocidade em função do tempo v = f(t) é uma​ reta 
paralela ao eixo dos tempos​. 
 
- Para o movimento uniforme progressivo tem-se: 
 
 
 
 - Para o movimento uniforme retrógrado tem-se: 
 
É importante observar, que a área (A) compreendida entre o gráfico e o eixo dos tempos é numericamente igual ao valor 
do deslocamento do corpo. 
 
Área do retângulo = base x altura; 
Deslocamento = v x t 
 
 
 
 
 
Gráfico S x t 
 
Ao observar que a função horária do espaço no movimento uniforme é do 1º. grau (S = S​o​ + v.t), conclui-se que o gráfico 
S x t é uma reta inclinada. 
 
- Se o movimento é progressivo, a reta é crescente ou inclinada para cima; 
 
 
 
 
 
- Se o movimento é retrógrado, a reta é decrescente ou inclinada para baixo; 
 
 
 
É fácil observar no gráfico que a posição inicial do móvel é indicada pelo ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas 
(eixo S) e que a declividade da reta representa a velocidade escalar do móvel: 
 
 
 
 
E​xercícios resolvidos 
 
 
 
 
 
 
1-​ O gráfico abaixo representa a velocidade de veículo numa viagem em função do tempo. Determine: 
a) o deslocamento do veículo na viagem; 
b) a velocidade média do veículo em km/h. 
 
 
 
 
Resolução 
 
Observa-se, no gráfico, que o veículo descreveu dois movimentos uniformes sucessivos numa viagem de 5 horas: 
mantém a velocidade de 90 km/h por 3 horas e, a seguir, mantém a velocidade de 60 km/h por 2 horas. 
Na primeira etapa, tem-se: DS​1​ = ​v​1​ . t​1​ =>​ ​DS​1​ = 90 . 3 => DS​1​ = 270 km 
 
Na segunda etapa, tem-se: DS​2​ = v​2​ . t​2​ => DS​2​ = 60 . 2 => ​D​S​2​ = 120 km 
 
Na viagem toda, tem-se: 
Ds​Total​ =​Ds​1​ + Ds​2​ = 270 + 120 
 
DS​Total​ = 390 km 
 
 
É possível determinar o deslocamento do veículo calculando a área do gráfico conforme a resolução a seguir: 
 
 
Ds​Total​ = área 1 + área 2 
Ds​Total​ = 3 . 90 + 2 . 60 
Ds​Total​ ​270 + 120 
 
DS​Total​ = 390 km 
 
 
2- O diagrama a seguir apresenta a relação entre o espaço ocupado por um móvel e o tempo. 
 
 
 
 
 
De acordo com o gráfico, determine: 
a) A posição inicial e a velocidade do móvel; 
b) a função horária do espaço; 
c) a posição do móvel no instante 13 s. 
 
Resolução 
 
a) Pelo gráfico, sabe-se que o movimento é uniforme. Para determinar a posição inicial S​o​, basta verificar em qual 
ordenada a reta corta o eixo S. Assim, tem-se: ​S​o​ = -23 m​. 
A velocidade pode ser determinada aplicando a função horária da posição: 
S = S​o​ + vt onde, para t = 8 s tem-se S = 25 m. Então: 
25 = -23 + v (8) 
48 = 8.v 
v = 6 m/s 
 
b) Para escrever a ​função horária da posição ​do móvel, deve-se substituir os valores constantes, S​o​ e v. Assim, tem-se: 
S = -23 + 6.t 
 
 
c) Substituindo na função horária da posição t= 18 s, tem-se: 
S = -23 + 6.(18) 
S = -23 + 108 
S = 85 m 
 
 
 
 
 
 
MRUV - Funções horárias 
 
MRUV 
 
Considere três corpos ​A​, ​B​ e ​C​, que descrevem trajetórias retilíneas com velocidades variadas. As tabelas a seguir 
apresentam as velocidades nos instantes: 0 s, 1 s, 2 s, 3 s e 4 s. 
A B C 
t (s) v (m/s) t (s) v (m/s) t (s) v (m/s) 
0 0 0 0 0 0 
1 1 1 2 1 1 
2 4 2 4 2 3 
3 9 3 6 3 6 
4 16 4 8 4 10 
 
Observa-se que os três corpos descrevem movimentos variados, porém somente um, descreve​movimento 
uniformemente variado​. Qual deles descreve este movimento? 
 
Definição 
 
 
É chamado movimento uniformemente variado, aquele em que a aceleração escalar instantânea é constante e diferente 
de zero. Assim, pode-se concluir que a aceleração escalar do movimento uniformemente variado é igual à aceleração 
escalar média. Neste caso, a velocidade varia de maneira uniforme com o tempo. 
No exemplo anterior, o corpo ​B​ descreve um movimento uniformemente variado, pois o aumento da velocidade é o 
mesmo para intervalos de tempos iguais. 
 
 
 
 
Função horária ​da velocidade 
 
Sabendo que a aceleração escalar do MUV é igual à aceleração escalar média, pode-se escrever: 
 
 
 
Onde: 
v ​→​ velocidade no instante t 
v​o​ ​→​ velocidade inicial 
t ​→​ tempo 
a ​→​ aceleração 
 
Função horária do espaço 
 
A função horária do espaço pode ser determinada usando a propriedade do gráfico v x t em que a área do gráfico é 
numericamente igual ao deslocamento. Sendo do 1º. Grau a função horária da velocidade (v = v​o​ + a.t), o gráfico v x t 
será uma reta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
S ​→​ posição do móvel no instante t 
S​o​ ​→​ posição inicial 
v​o​ ​→​ velocidade inicial 
t ​→​ tempo 
a ​→​ aceleração 
 
É importante observar que é possível deduzir a função horária da velocidade a partir da função horária do espaço: 
 
 
Exercícios resolvidos 
1. Determine os valores do espaço inicial ​S​o​, da velocidade inicial ​v​o​, da aceleração ​a​ e a função horária da velocidade 
referente às funções horárias do espaço a seguir dadas em unidades do SI: 
 
 
 
 
2. A fórmula da posição de um móvel, no SI, é dada por S = 20 t - t ​2​. Em que instantes, em segundos, a posição desse 
móvel é s = 0? 
a) 0 e 2 
b) 0 e 4 
c) 2 e 4 
d) 3 e 6 
e) 2 e 6 
 
Resolução: 
 
Para S = 0 , tem-se: 
 
S = 20 t - t ​2 
0 = 20 t - t ​2 
t ​2​ = 20 t 
 
t​1​ = 0 
t​2​ = 20 s 
 
Equação de Torricelli e Velocidade média 
Equação de Torricelli 
 
A equação de Torricelli permite que seja possível determinar a velocidade do móvel ou o seu deslocamento ou a sua 
aceleração sem que seja conhecido o tempo de movimento. 
Para isso, pode-se novamente iniciar determinando a área do gráfico v x t: 
 
 
 
 
Exercício resolvido 
 
1. Um trem corre a uma velocidade de 20m/s quando o maquinista vê um obstáculo 50m à sua frente. A desaceleração 
mínima que deve ser dada ao trem para que não haja choque é de: 
a) 4m/s​2 
b) 2m/s​2 
c) 1m/s​2 
d) 0,5m/s​2 
e) 0 
 
Resolução: 
 
Retirando os dados do texto, tem-se: 
v​o​ = 20 m/s 
v = 0 
Δ​S = 50 m 
 
Como não se conhece o tempo de movimento, aplica-se a equação de Torricelli. 
v​2​ = v​o​2​ + 2.a.​Δ​S 
 
0 = 20​2​ + 2 . a . 50 
-100 a = 400 
a = -4 m/s​2 
 
Alternativa A 
 
 
2. Uma partícula inicialmente em repouso passa a ser acelerada constantemente à razão de 3,0m/s​2​ no sentido da 
trajetória. Após ter percorrido 24m, sua velocidade é: 
a) 3,0m/s 
b) 8,0m/s 
c) 12m/s 
d) 72m/s 
e) 144m/s 
 
Resolução: 
 
Retirando os dados do texto, tem-se: 
v​o​ = 0 
a = 3 m/s​2 
Δ​S = 24 m 
 
Como não se conhece o tempo de movimento, aplica-se a equação de Torricelli. 
v​2​ = v​o​2​ + 2.a.​Δ​S 
 
v​2​ = 0​2 ​ + 2 . 3 . 24 
v​2​ = 144 
v = 12 m/s 
 
Alternativa C 
 
 
Velocidade média no MRUV 
 
Aproveitando o gráfico v x t pode-se observar: 
 
 
 
 
 
 
No movimento uniformemente variado, a velocidade média é igual à média da velocidade. 
 
Exercícios resolvidos 
 
Um trem de 120m de comprimento se desloca com velocidade escalar de 20m/s. Esse trem, ao iniciar a travessia de 
uma ponte, freia uniformemente, saindo completamente dela 10s após, com velocidade escalar de 10m/s. O 
comprimento da ponte é de: 
a) 150m 
b) 120m 
c) 90m 
d) 60m 
e) 30m 
 
Resolução: 
 
Retirando os dados do texto, tem-se: 
v​o​ = 20 m/s 
v = 10 m/s 
Δ​t = 10 s 
C​trem ​ = 120 m 
 
Para determinar o comprimento da ponte, deve-se calcular o deslocamento do trem para a travessia da ponte. Como não 
se conhece a aceleração do movimento, aplica-se a equação da velocidade média. 
 
 
O deslocamento do trem é igual ao seu comprimento mais o comprimento da ponte: 
C​trem ​ + C​ponte​ = 150 m 
120 + C​ponte​ = 150 
C​ponte​ = 30 m 
 
Alternativa E 
 
Gráficos do MRUV 
Gráficos do MRUV 
 
O movimento de um corpo pode ser descrito por uma função horária, mas também se pode usar diagramas. Para isso é 
importante conhecer as características de cada função. 
 
Gráfico da velocidade em função do tempo (v x t) 
 
A função horária da velocidade de um MRUV é dada por v = v​o​ + a.t, que é uma função do primeiro grau. Então a 
representação gráfica é uma reta de inclinação não nula. 
 
 
 
 
 
Observe que no gráfico I a função é crescente e neste caso a aceleração é positiva. No gráfico II, a função é decrescente 
e a aceleração é negativa. 
 
Lembrando que em todo gráfico v x t a área delimitada pelo eixo dos tempos e a reta representativa é numericamente 
igual ao deslocamento ΔS, entre dois instantes t​1​ e t​2​. 
 
 
Outra propriedade importante do gráfico v x t, é o da inclinação da reta. 
O ângulo ​α​ que a reta do gráfico v x t forma com um eixo horizontal é tal que sua tangente é numericamente igual à 
aceleração do corpo, também denominada coeficiente angular da reta ou declividade da reta. 
 
 
 
Gráfico da aceleração em função do tempo (a x t) 
 
A principal característica do MUV é possuir a aceleração constante. Assim, seu gráfico é uma reta paralela ao eixo t. 
 
 
A propriedade desse gráfico é que entre dois instantes quaisquer t​1​ e t​2​, a variação de velocidade ΔV é numericamente 
igual à área. 
 
 
Gráfico do espaço em função do tempo (S x t) 
 
A função horária do MUV é uma função do segundo grau S = So + vo.t + at²/2, então a representação gráfica será uma 
parábola. Quem determina se a concavidade da parábola é para cima ou para baixo é o sinal da aceleração (a). 
 
 
Análisando o gráfico observa-se que no vértice da parábola ocorre a inversão no sentido do movimento concluindo que a 
velocidade do corpo é nula. 
 
 
 
Analisando mais profundamente o gráfico S x t, tem-se: 
 
 
 
Gráfico com a concavidade voltada para cima ​→​ a > 0. 
- O ponto onde a curva toca o eixo S corresponde ao espaço inicial S​o​ . 
- Nos instantes t​1 ​ e t​2​ o corpo passa pela origem dos espaços (S = 0). 
- No instante t​2 ​ o corpo inverte o sentido de seu movimento (v = 0). 
- Do instante 0 até t​2 ​ – o espaço diminui, o movimento é retrógrado (v < 0) e retardado, pois a e V tem sinais contrários (a 
> 0 e V < 0). 
- Após t​2​ – o espaço aumenta, o movimento é progressivo (v > 0) e acelerado, pois a e V tem mesmo sinal (a > 0 e V > 
0). 
 
 
Gráfico com a concavidade voltada para baixo ​→​ a < 0. 
- O ponto onde a curva toca o eixo S corresponde ao espaço inicial S​o​ . 
- No instante t​2 ​ o corpo passa pela origem dos espaços (S = 0). 
- No instante t​1 ​ o corpo inverte o sentido de seu movimento (v = 0). 
- Do instante 0 até t​1 ​ – o espaço aumenta, o movimento é progressivo (v > 0) e retardado, pois a e V tem sinais 
contrários (a < 0 e V> 0). 
- Após t​1​ – o espaço diminui, o movimento é retrógrado (v < 0) e acelerado, pois a e V tem mesmo sinal (a < 0 e V < 0). 
 
É importante salientar que o gráfico S x t não representa 
a forma da trajetória do corpo. Apenas apresentam as 
funções horárias do movimento. 
 
 
 
Revisão