Medição e Erros - PUCRS

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Medição e Erros
Medidas Elétricas
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• Precisão e Exatidão - Apresentados os conceitos 
próprios dos instrumentos e de seu processo de 
calibração, convém agora retornarmos aos 
conceitos de Precisão e Exatidão, mais 
especificamente no que se refere à sua 
conceituação idiomática e à prática corrente.
Conceitos Fundamentais
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Conceitos Fundamentais
• Precisão: Qualidade do que é preciso, definido 
claramente. Ou seja, medidas precisas significam 
medidas com pouca dispersão. A precisão está, 
portanto, ligada ao conceito de repetibilidade e 
estabilidade de um instrumento, isto é, a precisão 
está conectada aos erros aleatórios. Por isso a 
precisão é também chamada de limite de erro do 
instrumento. Para se eliminar o erro sistemático as 
soluções são a escolha de instrumento coerente 
com a medição a ser realizada e sua aferição 
apropriada. [± 3% leitura + 1 dígito (LSD)]
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Conceitos Fundamentais
• Exatidão: Qualidade daquilo que é exato, em 
conformidade com um padrão. Medidas exatas 
implicam na inexistência de erros. Para se definir 
claramente os sistemas de medição deve-se utilizar 
os conceitos erro sistemático e erro aleatório. 
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• Precisão & Exatidão
Atirador 1 Atirador 2
Conceitos Fundamentais
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Conceitos Fundamentais
• Resolução - Se a entrada do instrumento for 
aumentada gradualmente a partir de um valor 
arbitrário qualquer diferente de zero, mais uma vez a 
saída do instrumento não variará até que um certo 
valor do incremento seja excedido. Define-se então 
resolução como a menor variação da entrada que 
pode ser medida pelo instrumento. 
• Menor diferença entre indicações de um dispositivo 
mostrador que pode ser significativamente 
percebida. Para dispositivo mostrador digital, é a 
variação na indicação quando o dígito menos 
significativo varia de uma unidade.
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• Incremento Digital (ou Resolução) - Nos 
instrumentos de indicação digital, o conceito de 
divisão da escala não é mais pertinente e passa-
se a falar em incremento digital. Este termo refere 
se à variação da entrada capaz de causar a 
variarão do último dígito da leitura. Na situação 
abaixo o incremento digital é de 10 mVCC digito.
Conceitos Fundamentais
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Conceitos Fundamentais
• Largura de banda (bandwidth) - É a banda (ou faixa) 
de freqüência na qual pode operar o instrumento. 
Um instrumento com largura de banda de 100 Hz 
mede a variável de interesse com freqüência de até
100 Hz.
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Conceitos Fundamentais
• Legibilidade da Escala - Em um instrumento 
analógico, a quantificação da saída depende da 
leitura por um observador humano, subjetiva até
certo ponto, da posição de um ponteiro em uma 
escala. Assim sendo, antes de efetuar quaisquer 
leituras o observador deve decidir até que ponto ele 
ou ela consegue quantificar diferentes posições do 
ponteiro entre duas graduações da escala. A esta 
característica do processo de medida, que depende 
tanto do instrumento quanto do observador, dá-se o 
nome de legibilidade da escala.
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Conceitos Fundamentais
• Faixa dinâmica (dynamic range) - É determinada 
pelos limites superior e inferior de entrada ou saída 
que mantêm a medição no nível adequado de 
precisão.
• Calibração (aferição) - Teste no qual valores 
conhecidos da variável medida são aplicados e os 
correspondentes valores de saída são gravados. A 
função de uma calibração é estabelecer uma escala 
de saída correta para o sistema de medidas. Há dois 
tipos de calibração: estática, na qual o sinal de 
entrada é constante, e a dinâmica, na qual a entrada 
é um sinal que varia com o tempo.
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O Resultado de uma Medição
• É um fato que, se repetirmos a medição de uma mesma 
grandeza física em condições supostas idênticas, não 
obtemos sempre o mesmo resultado mas sim um conjunto de 
valores diferentes. Cada um destes valores representa um 
“valor medido” da referida grandeza e torna-se evidente que 
não se pode esperar que o valor medido represente o seu 
valor verdadeiro (exato). Nenhuma medição é exata. As 
medidas de massa, comprimento, tempo, e todas as 
propriedades derivadas como o volume, densidade, força, 
energia, são inevitavelmente de precisão limitada. Nestas 
condições, a crítica dos resultados obtidos numa experiência 
é parte fundamental da própria experiência. Ao realizar uma 
medição não basta indicar o número que se obteve como 
resultado: é necessário fazê-lo acompanhar de um outro que 
indique em que medida o experimentador está certo do valor 
que apresenta. 
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O Resultado de uma Medição
• Por exemplo, ao medir-se a distância focal f de uma 
lente, o resultado final pode ser apresentado como: 
f = (256 ± 2) mm.
• Significa isto que dadas as condições em que foi 
efetuada a medição, o experimentador considera 
como provável que a distância focal tenha um valor 
qualquer compreendido entre 254 mm e 258 mm.
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Incerteza
• A palavra “incerteza” significa “dúvida”. 
De forma ampla “incerteza da medição”
significa “dúvida acerca do resultado de 
uma medição”. Formalmente, define-se 
incerteza como: “parâmetro, associado 
com o resultado de uma medição, que 
caracteriza a dispersão de valores que 
podem razoavelmente ser atribuídos ao 
mensurando”.
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O Resultado de uma Medição
• Qualquer medida ou valor experimental tem pouco 
significado, a não ser que se tenha uma estimativa do seu erro 
ou incerteza e a não ser que o valor por nós medido reflita a 
precisão com que foi medido.
• Convém estabelecer uma distinção clara entre uma medida 
direta e uma medida indireta (o valor da grandeza é
determinado a partir da medição direta de outras grandezas). 
É o caso, por exemplo, da determinação de uma resistência, 
para a qual se determinou a tensão (U) através de um 
voltímetro e a corrente (I) através de um amperímetro, e para o 
qual se calculou a resistência R = U/I: as medições de U e I 
são diretas e a determinação de R é dita indireta.
• Os erros das medidas indiretas são calculados a partir dos 
erros determinados para as medidas diretas. Utilizando-se a 
lei de propagação dos erros.
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Classificação dos Erros:
• Os erros podem ser classificados como:
• - Grosseiros
• - Sistemáticos
• - Acidentais, Aleatórios ou residuais
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Tipos de erros:
• Graves ou grosseiros:
• São em sua maioria de origem humana, 
como a má leitura dos instrumentos, ajuste 
incorreto e aplicação inapropriada, assim 
como equivocações nos cálculos. Um erro 
grave típico é o erro por efeito de carga ouerro de inserção.
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Tipos de erros: 
ERROS SISTEMÁTICOS E ALEATÓRIOS
• Os erros sistemáticos são devidos a defeitos constantes do 
método escolhido, do instrumento (escala descalibrada, 
zero desajustado) ou da pessoa que faz a medição (por 
exemplo, se dispara o cronômetro sempre demasiado tarde 
ou cedo). São erros que se reproduzem sempre nas 
mesmas condições, afetando o resultado sempre no 
mesmo sentido. 
• Os erros acidentais são devidos a causas fortuitas de que 
se não tem perfeito conhecimento, afetando o resultado 
umas vezes para mais outras para menos. Pode-se aplicar 
um cálculo estatístico da Teoria das Probabilidades para 
expressa-lo.
• Os erros sistemáticos podem eliminar-se, uma vez 
conhecida a sua causa. Para isso é necessário fazer variar 
as condições da experiência, o método, o observador. 
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Tipos de erros: 
ERROS SISTEMÁTICOS E ALEATÓRIOS
• Os erros acidentais não podem eliminar-se; é no 
entanto possível atenuar os seus efeitos, 
aumentando o número de medições e avaliar a 
sua ordem de grandeza. A preocupação 
fundamental do experimentador que realiza uma 
medição é, naturalmente, a de tomar todas as 
precauções para reduzir os erros durante a 
experiência. Apesar disso, todas as medições 
são afetadas por um erro experimental devido a 
inevitáveis imperfeições nos aparelhos de 
medida ou às limitações impostas pelos nossos 
sentidos (vista, audição, etc.) que registram a 
informação.
• Enfim não existe um sistema de medição perfeito.
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Tipos de erros: 
ERROS SISTEMÁTICOS E ALEATÓRIOS
• Ao repetir várias vezes uma medição, verifica-se que esses 
erros se agrupam em duas categorias: uns que se 
reproduzem sempre e no mesmo sentido, e outros que 
atuam ao acaso tanto num sentido como no outro. Os 
primeiros designam-se por erros sistemáticos e os 
segundos por erros acidentais ou aleatórios.
• Suponhamos que medimos o período de um pêndulo com 
auxílio de um cronômetro e que repetimos varias vezes a 
medição. Os atrasos ou antecipações do experimentador 
ao ligar e desligar o cronômetro, os erros na estimativa das 
divisões da escala, provocam variações nos resultados das 
sucessivas medições e podem ser considerados erros 
acidentais. Se não se manifestarem outros erros, alguns 
dos resultados terão valor muito elevado e outros serão 
muito reduzidos. Mas se, além disso, o cronômetro tiver 
tendência para se atrasar, todos os resultados virão 
reduzidos. Trata-se de um erro sistemático.
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Tipos de erros: Sistemáticos
• Resultam de falhas dos instrumentos, como 
partes defeituosas ou desgastadas, e a efeitos 
ambientais sobre o instrumento. Um exemplo 
típico é o galvanômetro de D’arsonval, se deriva 
da fricção dos amortecedores das partes móveis, 
do deterioro da mola antagônica, etc. Estes erros 
podem ser evitados mediante uma boa eleição do 
instrumento, a aplicação de fatores de correção e 
recalibrando os mesmos em relação a um 
padrão.
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Tipos de erros: Aleatórios ou Fortuitos
• Se devem a causas desconhecidas e ocorrem 
incluso quando todos os erros sistemáticos 
foram considerados. Para compensar estes 
erros se deve incrementar o número de leituras e 
usar meios estatísticos para se obter uma melhor 
aproximação do valor real da quantidade medida.
• Cabe ressaltar que alguns autores simplesmente 
classificam os erros em sistemáticos, e fortuitos 
(o residuais), e nos primeiros incluem os graves 
ou humanos, os instrumentais, os ambientais, 
etc.
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• a) Errores de cero: Se dan cuando al iniciar la medida no 
hemos prestado la suficiente atención a la posición del índice 
(aguja indicadora). Antes de medir, es conveniente calibrar con 
el tornillo de ajuste la aguja a cero.
• b) Error de paralaje: ocurre cuando el operario no encara de 
forma perpendicular la escala del aparato. Se corrige haciendo 
coincidir la aguja con su proyección sobre la escala. Algunos 
aparatos suelen incorporar un espejo sobre la escala para 
facilitar esta tarea.
Tipos de erros: Sistemático
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Erro Absoluto
• É a diferença entre o valor medido (Xm) e o valor 
verdadeiro (Xv). A obtenção do valor verdadeiro é
difícil, por este motivo, muitas vezes, tomasse como 
valor verdadeiro o valor obtido através de várias 
medias e de critérios estatísticos.
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Error Absoluto
• Este error nos indica cuánto nos hemos equivocado, 
pero no nos dice nada sobre la calidad de la medida 
y del aparato con la que se realiza. Se pueden 
obtener errores tanto positivos como negativos, en el 
primer caso se entiende que el aparato mide por 
exceso y en el segundo se entiende que lo hace por 
defecto.
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Erro Relativo
• Quando se necessita comparar erros de duas 
amplitudes medidas muito diferentes, a utilização do 
erro absoluto no é adequado. Para tal fim, se define, 
o erro relativo (ex):
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• El cual en general se expresa en porcentaje. Debido 
a la imposibilidad de conocer el valor verdadero, 
suele a veces utilizarse en su lugar, el valor 
verdadero convencional (Xvc) el cual puede 
determinarse con otro instrumento mucho más 
exacto respecto al utilizado en la medición. En la 
práctica generalmente con los datos del fabricante, 
uno puede determinar el error absoluto, entonces 
para hallar el error relativo, se suele utilizar en el 
denominador directamente el valor medido (Xm).
Erro Relativo
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• Si podemos concluir que el Ex es el error absoluto 
límite (máximo medible), entonces podemos 
expresar la medición como se muestra abajo.
• En la mayoría de los instrumentos de indicación, la 
exactitud está garantizada por un cierto porcentaje 
de la lectura en plena escala, también conocido 
como error límite o de garantía. Este error, para el 
caso de instrumentos analógicos, está relacionado a 
la clase del instrumento. De esta manera, el 
fabricante promete que el error no será mayor que el 
error límite, pero cabe aclarar que, para lecturas lejos 
del fondo de escala, el error relativo aumenta.
Limite Superior do Erro (Ex) 
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• Para expresar el error límite absoluto y también el 
relativo de un instrumento analógico, es necesario 
conocer ciertas definiciones según la norma 
IEC60051-1:
• Error intrínseco (Ex): Error propio del 
aparato que comete cuando se encuentra 
en condiciones normales de uso.
Error en un instrumento analógico:
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• Es un valor convencional al cual se refieren los 
errores de un instrumento con el fin de 
especificar su exactitud. Esta puede ser:
• El límite superior del campo de medida en: 
aparatos con ‘0’ en un extremo no fuera de escala 
(excepto óhmetros).
• La suma absoluta de los valores extremos de la 
escala, en aparatos con ‘0’ dentro de la escala.
• 90° eléctricos para cosfímetros, y fasímetros.
• Lalongitud total de la escala para aparatos con 
escala no lineal contraída (por Ej. óhmetros).
Valor fiducial (Xf) IEC60051-1
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Classe de Exatidão
• É o limite de erro, garantido pelo fabricante 
de um instrumento, que se pode cometer em 
qualquer medida efetuada pelo mesmo, ou 
seja, é uma classificação do instrumento de 
medida para designar a sua exatidão. O 
número que a designa chama-se índice de 
classe (IC ou c).
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Índice de Classe (IC ou c)
• O índice de classe, é o quociente entre o valor 
absoluto máximo do erro, suposto constante em toda 
a gama de medição, e o valor fiducial (Xf) ou valor 
máximo da escala de medição na falta do valor 
fiducial.
• ou
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Classe de Exatidão
• Clase 0,1 y 0,2. Instrumentos de gran precisión para 
investigación.
• Clase 0,5. Instrumentos de precisión para laboratorio.
• Clase 1. Instrumentos de medidas portátiles de CC.
• Clase 1,5. Instrumentos de cuadros y portátiles de CA.
• Clase 2,5 y 5. Instrumentos de cuadros.
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Campo de Medida
• También llamado 
«capacidad» o «calibre»
del aparato, es la máxima 
medida que se puede 
realizar con un 
determinado aparato. Los 
aparatos de medida 
pueden llevar diferentes 
campos para una misma 
magnitud, según las 
condiciones de conexión.
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Campo de Lectura
• Como se puede apreciar en la 
Figura, existe una zona de la 
escala en la que no existen 
divisiones. Esto indica que 
ese aparato no realiza la 
medida con precisión en esa 
zona, con lo que el campo de 
medidas fiables es el 
correspondiente a la zona 
marcada con divisiones. Es el 
llamado «campo de lectura».
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Sensibilidade ou Constante de Medida
• Escalas Uniformemente 
graduadas: o amperímetro ao 
lado apresenta três diferentes 
constantes de medida (ou 
sensibilidades), já que o 
instrumento apresenta campos 
de medida com o mesmo 
número de divisões.
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Constante de Medida
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Escalas que precisan de acotación:
• En aquellos aparatos en los que el 
campo de lectura no se corresponde 
con el campo de medidas se recurre a 
precisar el tramo de lectura del mismo. 
Así, en el caso del voltímetro al lado, 
hemos de recurrir a acotar el número 
de divisiones entre un valor máximo y el 
valor mínimo, y contar el número de 
divisiones en ese tramo.
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Escalas que precisan de acotación:
• Lo primero sería elegir un tramo de 
la escala; para este caso elegimos 
como valor mayor 120 V y como 
valor menor 90 V. Se aprecia que en 
ese tramo hay seis divisiones. 
Aplicando la expresión:
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Interpretación de las Indicaciones 
Inscritas en los Aparatos de Medidas
• En la Figura se han resaltado 
estas indicaciones de las que 
se aclaran su significado a 
continuación. Las 
inscripciones superiores de 
la zona resaltada (VDE), 
corresponden a las normas y 
certificaciones que cumple 
dicho aparato.
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Interpretación de las Indicaciones 
Inscritas en los Aparatos de Medidas
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Erro Máximo (Ex)
• Determine o erro máximo do voltímetro.
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• El análisis estadístico de datos de mediciones es 
una práctica común ya que permite obtener una 
determinación analítica de la incertidumbre del 
resultado final, esto es, una vez hallados y 
acotados los errores sistemáticos puede 
obtenerse un valor que caracterice a los errores 
restantes (aleatorios o fortuitos). Cabe aclarar 
que el tratamiento estadístico de datos no puede 
eliminar tendencias fijas contenidas en las 
mediciones, como por ejemplo, la que puede 
derivar de un error sistemático.
Análise Estatística:
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• Para realizar el análisis y aplicar los 
métodos estadísticos mencionados, es 
necesario contar con un gran número de 
mediciones, o sea contar con una 
población de datos, y además los errores 
sistemáticos deben ser pequeños en 
comparación con los errores residuales (o 
aleatorios). 
Análise Estatística:
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• Como ejemplo, en la siguiente tabla se 
muestran 50 mediciones de voltaje.
Análise Estatística:
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Análise Estatística:
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• Valor Médio ou Média aritmética:
Análise Estatística:
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Análise Estatística:
• À diferença (δi) entre o valor de cada medida 
individual e a média aritmética ( ) chama-se 
desvio em relação ao valor médio.
• Cada um dos desvios pode ser positivo ou 
negativo. Portanto, a soma algébrica dos desvios 
deve, por isso, ser nula.
X
( )
1
0
n
i
i
δ
=
=∑
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Análise Estatística:
• Dá-se o nome de limite superior do erro de observação 
(ΔXobs) ao maior dos módulos dos δi. O cálculo do 
limite superior do erro equivale a considerar como 
nulas as probabilidades de erro muito pequenas. Se 
considerarmos uma distribuição estatística do desvio 
obteremos em regra uma distribuição do tipo 
Gaussiano. Os grandes desvios em relação à média 
têm uma probabilidade muito reduzida.
• No caso de se terem efetuado muitas leituras n>10 
podemos tratar os resultados estatisticamente. 
Determina-se um erro (μ) padrão de observação para a 
média dado por:
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Análise Estatística:
• Desvio médio: Dá uma indicação da 
precisão dos instrumentos:
1 1
n n
i i
i i
X X
D
n n
δ
= =
−
= =
∑ ∑
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4/17/2006 50/70
Análise Estatística:
• Variância (V): é definida como o desvio 
quadrático médio e é calculada de uma 
amostra de dados como:
( )2 2
1 1
1 1
n n
i i
i i
X X
V
n n
δ
= =
−
= =− −
∑ ∑
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4/17/2006 51/70
• Desvio Padrão: É
definido como sendo a 
raiz quadrada do desvio 
quadrático médio. É
muito utilizada na 
análise estatística de 
erros, para um número 
finito de amostras.
( )2
1
1
n
i
i
X X
n
σ =
−
= −
∑
Vσ =
Análise Estatística:
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Propagação de erros:
• Cuando se realiza una medición indirecta, esto es, la variable 
a determinar depende de más de una medición, surge la 
necesidad de evaluar como pesan cada uno de los errores en 
el error del resultado final.
•Como exemplo podemos dizer que a freqüência é dada pela 
equação de definição f = 1/T.
• O erro na medida da freqüência depende do erro 
determinado para o período T. O que pretendemos 
determinar é como o erro em T se propaga a f a partir da sua 
equação de definição.
• De um modo geral a equação de definição da grandeza Z 
como função das grandezas medidas (A, B, C,...) pode ser 
expressa por: Z = f(A, B, C,...)
( , ,..., )Z f A B W=
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Propagação de erros:
• O limite superior do erro ΔZ, no cálculo de Z, resultando 
no fato de A ser medido com um erro limite ΔA, B ser 
medido com um erro limite ΔB, etc., é dado pelo 
desenvolvimento em série de Taylor:
...Z Z ZZ A B W
A B W
∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ ≅ Δ + Δ + + Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
...Z Z ZdZ dA dB dW
A B W
∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
...Z
Z Z ZE A B W
A B W
⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ± Δ + Δ + + Δ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
( , ,..., )Z f A B W=
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4/17/2006 54/70
Propagação de erros:
• Apresentaremos em seguida uma tabela dos 
limites superiores do erro para as funções mais 
comuns.
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4/17/2006 55/70
• Por exemplo para a soma de duas medidas A e B 
os erros absoluto e relativo podem ser expressos 
como:
Propagação de erros:
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4/17/2006 56/70
Propagação de erros:
• A lei de propagação dos erros assim definida não toma em 
consideração a probabilidade dos erros de algumas 
variáveis terem sinais opostos. Um tratamento que toma 
esta situação em consideração é o seguinte: eleva-se ao 
quadrado a expressão anterior e depois tomam-se os 
valores médios dos erros ΔA, ΔB, ΔA2,... de acordo com a 
distribuição de freqüência a que obedecem os observáveis 
A, B,... Uma vez que cada erro individualmente tem valor 
médio nulo, os termos cruzados ΔA, ΔB de (ΔZ)2
desaparecem e então obtém-se o designado erro 
quadrático médio ou desvio padrão de Z.
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Propagação de erros:
• Se os erros das variáveis forem de ordem 
equivalente o σ(Z) vem menor valor que o erro ΔZ 
por um fator aproximadamente igual à raiz 
quadrada do número de variáveis.
• Na tabela seguinte apresentam-se os valores de 
σ (Z) para as funções mais comuns:
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Distribución normal de errores:
• Esta distribución, muchas veces da una 
buena descripción de muchos resultados en 
mediciones que están afectadas de errores. 
Las medidas repetidas y realizadas con gran 
cuidado siguen en muchos casos esta 
particular distribución.
• El contorno de la misma es una curva con 
forma de campana llamada campana de 
Gauss.
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A distribuição Normal
• É a mais familiar das distribuições de 
probabilidade e também uma das mais 
importantes em estatística.
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A distribuição Normal
• Para un punto cualquiera de esta curva, la 
función distribución de probabilidad será:
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A distribuição Normal
• Esta distribución normal o gaussiana de error es la 
base del estudio analítico de los efectos aleatorios.
• Todas las observaciones incluyen pequeños 
efectos de distorsión, llamados errores aleatorios.
• Los errores aleatorios pueden ser positivos o 
negativos.
• Hay igual probabilidad de errores aleatorios 
positivos o negativos.
• El área total bajo la distribución normal entre los 
límites -∞, y +∞ representa el número entero de 
observaciones. Ahora el área sombreada entre ±1σ
incluye alrededor del 68% de todos los casos.
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Error probable:
• En el gráfico anterior se define____________ 
como error probable, esto es, se tiene igual 
probabilidad (50%) de que alguna 
observación tenga un error aleatorio ≤ ± r. El 
coeficiente que multiplica a la desviación 
estándar se define como factor de cobertura 
k.
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Error probable: Factor de Cobertura k
r kσ= ±
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Incertidumbre de la medición:
• Un hecho significativo de las medidas es que el 
valor ‘verdadero’ de una magnitud medida no es 
nunca conocido con absoluta certeza. Los 
fenómenos físicos y las leyes que los describen 
son estadísticos por naturaleza. Si bien en la 
mayoría de los fenómenos macroscópicos las 
incertidumbres son despreciables, al seguir 
magnitudes al nivel de calibraciones, se alcanza 
inevitablemente el límite del ‘ruido’ de 
fluctuaciones aleatorias. Esta característica 
intrínseca de las magnitudes físicas requiere 
entonces estimarse.
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Incertidumbre de la medición:
• Se debe prestar atención y tener claro la 
diferencia entre error e incertidumbre. Por ejemplo 
el resultado de una medición luego de aplicar una 
corrección (por los errores sistemáticos) puede 
estar muy cerca del valor de la cantidad, aunque 
no lo podemos saber, es decir con un error 
pequeño, aunque puede existir, debido a los 
métodos e instrumentos utilizados en la medición, 
una gran incertidumbre.
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Incertidumbre de la medición:
• El Comité Internacional de Pesos y Medidas y el 
National Institute of Standars and Terminology
con su nota técnica 1297, coinciden en las 
siguientes definiciones. La incertidumbre del 
resultado de una medición generalmente consiste 
en varios componentes que pueden ser 
agrupados en dos categorías de acuerdo al 
método usado para estimar sus valores 
numéricos:
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Incertidumbre de la medición:
• A.- Aquellos componentes de incertidumbre que 
son evaluados mediante métodos estadísticos.
• B.- Aquellos que son evaluados por otros métodos 
o juicios científicos tales como resultados 
previos, conocimiento de propiedades de 
materiales componentes, especificaciones de 
fabricantes, reportes de calibraciones, etc.
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Incerteza Padrão (μi):
• Representa cada componente de incertidumbre 
que contribuye a la incertidumbre del resultado de 
una medición mediante la desviación estándar 
estimada:
( )2
1
1
n
i
i
i
X X
n
μ σ =
−
= = −
∑
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Incerteza Padrão Combinada (μc):
• Representa la estimación de la desviación 
estándar, a través de combinar las incertidumbres 
estándares μi obtenidas. Comúnmente llamada ley 
de propagación de incertidumbre o RSS (raíz 
cuadrada de la suma de los cuadrados).
• Para fines prácticos, suele estimarse solo una μi, 
por lo tanto la estándar coincide con la 
combinada.
( )2
1
1
n
i
i
c i
X X
n
μ μ σ =
−
= = = −
∑
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Incertidumbre expandida (U):
y U Y y U− ≤ ≤ +
• Se define a partir de la incertidumbre combinada y 
el factor de cobertura k.
• Por lo tanto para unacierta cantidad ‘y’ medida, el 
resultado de la medición será:
• Este entorno acotado alrededor del valor Y se 
define como intervalo de confianza el cual tiene un 
nivel de confianza determinado por la fracción p 
de la probabilidad asociada al factor de cobertura 
k.
cU kμ=
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Error probable: Factor de Cobertura k
y U Y y U− ≤ ≤ +
• Por ejemplo, si 
k=2.58, se tiene 
un nivel de 
confianza del 
99%.
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Distribuição t-Student:
• Foi desenvolvida pelo inglês William Gosset
e permite validar conclusões estatísticas a 
partir de pequenas quantidades de dados 
(n<25). Se pode considerar como uma 
aproximação a distribuição normal, de fato 
para uma população de dados maior que 30 
a diferença entre ambas é desprezível.
• Na prática, se substitui o fator de cobertura 
k pela letra t como coeficiente de Student.
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Distribuição t-Student:
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Erro em instrumentos digitais (IEC 485):
• Para determinar o erro máximo ou de garantia de 
um instrumento digital, existem várias 
expressões, entretanto a mais difundida entre a 
maioria dos fabricantes segue a norma IEC 485:
• onde p é um percentual do valor medido, e m
representa a quantidade de dígitos menos 
significativos na escala selecionada (LSD). 
Exemplo: Se mede uma tensão de 17.80 VCC em 
um multímetro digital na escala de 19.99 VCC, o 
catálogo do fabricante especifica que p=0,1% e 
m=1. Determine o erro máximo Ex:
[ ]%. . ( )x mE p X m dígitos LSD=± +
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Erro em instrumentos digitais (IEC 485):
• Indicadores 3 ½ dígitos (-1999 ... 1999) 
• Indicadores 4 ½ dígitos (-19999 ... 19999)
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Erro em instrumentos digitais (IEC 485):
[ ]%. . ( )x mE p X m dígitos LSD=± +
[ ]0,1%. 1. ( )u mE U dígitos LSD=± +
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Relación test de Incertidumbre (TUR):
• Se define como el cociente entre la 
incertidumbre especificada de un 
instrumento a testear y la incertidumbre del 
instrumento calibrador.
• Ejemplo: Se tiene un multímetro digital con 
un rango de 10Vdc con la siguiente 
especificación: ± 20ppm de la lectura + 
1.6ppm del rango, por lo tanto, para una 
medición de 10Vdc, su resultado será: 
10V±216μV.
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Relación test de Incertidumbre (TUR):
• Por otro lado se tiene el calibrador que 
entrega los 10Vdc al multímetro anterior que, 
en el rango de 11Vdc, tiene la siguiente 
especificación: ± 5ppm de la salida ±4μV. 
Entonces el resultado es: 10V±54μV.
• Si el nivel de confianza es el mismo para 
ambos instrumentos (por Ej. 99%), vale decir 
que:
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Relación test de Incertidumbre (TUR):
• El cual es un valor aceptable para 
estándares de calibración, esto es, puede 
realizarse la calibración del multímetro con 
ese calibrador. Cabe aclarar que, cuando el 
instrumento y calibrador son especificados 
con niveles de confianza diferentes (≠k) 
basados ambos en distribuciones normales, 
entonces debe aplicarse la siguiente 
corrección:
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Temas a desenvolver:
• Quais são os erros sistemáticos 
estáticos e dinâmicos? Dar exemplos.
• Demonstrar que, tanto para um 
instrumento analógico como um digital, 
é conveniente medir no fundo de escala.
• Que lei segue a propagação da incerteza 
de medição para uma medição indireta?
	Medidas Elétricas
	Conceitos Fundamentais
	Conceitos Fundamentais
	Conceitos Fundamentais
	Conceitos Fundamentais
	Conceitos Fundamentais
	Conceitos Fundamentais
	Conceitos Fundamentais
	Conceitos Fundamentais
	O Resultado de uma Medição
	O Resultado de uma Medição
	Incerteza
	O Resultado de uma Medição
	Classificação dos Erros:
	Tipos de erros:
	Tipos de erros: �ERROS SISTEMÁTICOS E ALEATÓRIOS�
	Tipos de erros: �ERROS SISTEMÁTICOS E ALEATÓRIOS�
	Tipos de erros: �ERROS SISTEMÁTICOS E ALEATÓRIOS�
	Tipos de erros: Sistemáticos
	Tipos de erros: Aleatórios ou Fortuitos
	Tipos de erros: Sistemático
	Erro Absoluto
	Error Absoluto
	Erro Relativo
	Erro Relativo
	Limite Superior do Erro (Ex) 
	Error en un instrumento analógico:
	Valor fiducial (Xf) IEC60051-1
	Classe de Exatidão
	Índice de Classe (IC ou c)
	Classe de Exatidão
	Campo de Medida
	Campo de Lectura
	Sensibilidade ou Constante de Medida
	Constante de Medida
	Escalas que precisan de acotación:
	Escalas que precisan de acotación:
	Interpretación de las Indicaciones Inscritas en los Aparatos de Medidas
	Interpretación de las Indicaciones Inscritas en los Aparatos de Medidas
	Erro Máximo (Ex)
	Análise Estatística:
	Análise Estatística:
	Análise Estatística:
	Análise Estatística:
	Análise Estatística:
	Análise Estatística:
	Análise Estatística:
	Análise Estatística:
	Análise Estatística:
	Análise Estatística:
	Propagação de erros:
	Propagação de erros:
	Propagação de erros:
	Propagação de erros:
	Propagação de erros:
	Propagação de erros:
	Distribución normal de errores:
	A distribuição Normal
	A distribuição Normal
	A distribuição Normal
	Error probable:
	Error probable: Factor de Cobertura k
	Incertidumbre de la medición:
	Incertidumbre de la medición:
	Incertidumbre de la medición:
	Incertidumbre de la medición:
	Incerteza Padrão (μi):
	Incerteza Padrão Combinada (μc):
	Incertidumbre expandida (U):
	Error probable: Factor de Cobertura k
	Distribuição t-Student:
	Distribuição t-Student:
	Erro em instrumentos digitais (IEC 485):
	Erro em instrumentos digitais (IEC 485):
	Erro em instrumentos digitais (IEC 485):
	Relación test de Incertidumbre (TUR):
	Relación test de Incertidumbre (TUR):
	Relación test de Incertidumbre (TUR):
	Temas a desenvolver: