GABARITO Lista de exercícios 2 Logaritmo 2018

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Colégio	Pedro	II	CAMPUS	CENTRO	Departamento	de	Matemática.	 Exercícios		 Logaritmo	–	Lista	2		 Data:	 13	 Agosto	 2018	
Aluno(a):	 GABARITO	 nº:	Turma:	 2ª	série	 Prof.:	Andreia	Maciel,	Sérgio	Correia	Jr		 	 	 	Coordenadora:	Andreia	Maciel			1. Analisando	o	gráfico	ao	 lado,	podemos	afirmar	que	os	pontos	A	e	B	correspondem	respectivamente,	a:	(a) (3,8)	e	(2,1)	(b) (2,1)	e	(3,8)	(c) 	(2,1)	e	(1,2)	(d) (1,2)	e	(1,	1)	(e) (1,2)	e	(2,	1)	O	ponto	A	pertence	a	função	exponencial	de	base	2,	logo	é	da	forma:	𝑥, 2! ,	com	isso	eliminamos	os	itens	(b)	e	(c).	O	ponto	B	pertence	a	função	logarítmica	de	base	2,	logo	é	da	forma:	𝑥, log! 𝑥 ,	com	isso	eliminamos	também	o	item	(b).	Como	os	retângulos	são	congruentes,	eliminamos	o	item	(a).	Resposta:	letra	(e)		2. O	 gráfico	 da	 função	 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔! 𝑥,	 definida	 no	 intervalo	 ]0, 10],	 está	representado	na	figura	abaixo.	Determine:	(a) A	base	b;	𝑦 = 𝑙𝑜𝑔!𝑥 	𝑥 = 2 𝑒 𝑦 = 3 ⟹ 𝑙𝑜𝑔! 2 = 3 ⟹ 𝑏! = 2 ⟹ 𝑏 = 2! = 2!! 	(b) o	valor	de	f(8)	Queremos	calcular	o	valor	de	y	quando	x	vale	8,	ou	seja,	𝑓 8 = 𝑦		𝑙𝑜𝑔!!! 8 = 𝑦 ⟹ 2!! ! = 2! ⟹ 2!! = 2!⟹ 𝑦 = 9	Logo,	𝑓(8) = 9.		3. Construir	o	 gráfico	das	 funções	 f(x)	=	 log3	 x	 e	 g(x)	=	3+	 log3	 x,	no	mesmo	plano	cartesiano.	Determine,	para	cada	função,	o	conjunto	imagem	e	a	equação	da	assíntota.	Faça	uma	tabela	com	valores	de	x	que	seja	potência	da	base	3.	3-2,	3-1,	30,	31	e	32	 x	 f(x)	=	log3	x	 g(x)	=	3	+	log3	x	3-2	 −2	 1	3-1	 −1	 2	30	 0	 3	31	 1	 4	32	 2	 5	
	Os	dois	gráficos	são	muito	parecidos,	sendo	que	a	função	f	passa	por	(0,1)	e	a	função	g	passa	por	(0,	4).	Im	f	=	Im	g	=	R	Assíntota	da	f		e	a	assíntota	da	g	é	o	eixo	y,	cuja	equação	é	x	=	0.		
4. (UERJ)	 No	 sistema	 cartesiano	 ao	 lado,	 estão	 representadas	 as	funções	𝑦 = 𝑙𝑜𝑔! (𝑥 + 𝑎)	 e	𝑦 = 3,	 onde	 a	 é	 número	 real	 diferente	de	zero.	Assim,	o	valor	de	a	é:		(a)	5	(b)	6	(c)	8	(d)	10	(e)	20	Observando	o	gráfico	vemos	que	a	função	𝑦 = 𝑙𝑜𝑔! (𝑥 + 𝑎)	passa	pelo	ponto	(2,	3).	Logo,	𝑙𝑜𝑔! 2 + 𝑎 = 3.	Pela	definição	de	logaritmo	2 + 𝑎 = 2!.	Resolvendo	a	equação	encontramos	𝑎 = 6.	Resposta:	letra	(b).		5. Quanto	tempo	será	necessário	para	que,	investindo	um	capital	a	2%	ao	mês,	eu	possa	triplicá-lo?	Use	0,0086	como	aproximação	de	𝑙𝑜𝑔 102.	𝐶 ∙ 1 + 0,02 ! = 3𝐶 ⟹ 1,02! = 3 ⟹ 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔!,!" 3 	⟹ 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔 3𝑙𝑜𝑔 1,02 = 𝑙𝑜𝑔 3𝑙𝑜𝑔 102100 = 𝑙𝑜𝑔 3𝑙𝑜𝑔 102 − 𝑙𝑜𝑔100 = 0,4772,0086 − 2 = 0,4770,0086 ≅ 55,46	Aproximadamente	56	meses.		6. João	 aplica	 um	 capital	 em	 uma	 modalidade	 de	 investimento	 que	 rende	 14%	 ao	 ano.	 Se	 essa	 rentabilidade	 se	mantiver,	e	João	deixar	seu	capital	investido,	após	quantos	anos	seu	capital	terá	triplicado?	Dados:	𝑙𝑜𝑔3 ≅ 0,477	e	𝑙𝑜𝑔 114 ≅ 2,057.	𝐶 ∙ 1 + 0,14 ! = 3𝐶 ⟹ 1,04! = 3 ⟹ 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔!,!" 3 	⟹ 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔 3𝑙𝑜𝑔 1,14 = 𝑙𝑜𝑔 3𝑙𝑜𝑔 114100 = 𝑙𝑜𝑔 3𝑙𝑜𝑔 114 − 𝑙𝑜𝑔100 = 0,4772,057 − 2 = 0,4770,057 ≅ 8,36	Aproximadamente	9	anos.		7. (IMJ-2004)	O	número	de	automóveis	no	pátio	de	uma	montadora,	dado	em	milhares	de	unidades,	 se	 comportou	aproximadamente,	no	ano	de	2004,	segundo	a	função	𝑁 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔!(64 − 4𝑡),	onde	t	é	o	número	de	meses	contados	a	partir	do	final	de	dezembro	de	2003,	considerado	na	função	como	mês	zero.	Assim,	janeiro	é	o	mês	1,	fevereiro,	o	mês	2,	assim	por	diante.	Considerando	os	dados	acima,	determine:	(a) O	número	de	veículos	em	dezembro	de	2003.	𝑡 = 0 ⟹ 𝑁 0 = 𝑙𝑜𝑔! 64 − 4 ∙ 0 = 6	Resposta:	6.000	automóveis.	(b) Em	que	mês	havia	no	pátio	5000	automóveis.	𝑙𝑜𝑔! 64 − 4𝑡 = 5 ⟹ 64 − 4𝑡 = 2! ⟹ 64 − 4𝑡 = 32 ⟹ −4𝑡 = −32 ⟹ 𝑡 = 8	Resposta:	agosto.	(c) Em	relação	a	dezembro	de	2003,	quantos	carros	a	menos	estarão	no	pátio	da	montadora	no	final	de	Dezembro	de	2004.	dez	2004		⟹ 𝑡 = 12 ⟹ 𝑁 = 𝑙𝑜𝑔! 64 − 48 ⟹ 𝑁 = 𝑙𝑜𝑔! 16 ⟹ 𝑁 = 4	Resposta	:	6000	–	4000	=	2000	automóveis.		8. O	nível	sonoro	β	e	a	intensidade	I	de	um	som	estão	relacionados	pela	equação	logarítmica	𝛽 = 120 + 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔!" 𝑰,	em	que	β	é	medido	em	decibéis	e	I,	em	watts	por	metro	quadrado.	Sejam,	𝑰𝟏	a	intensidade	correspondente	ao	nível	sonoro	de	80	decibéis	de	um	cruzamento	de	duas	avenidas	movimentadas,	e	𝑰𝟐	a	 intensidade	correspondente	ao	nível	sonoro	de	60	decibéis	do	interior	de	um	automóvel	com	ar-condicionado.	Determine	a	razão	𝑰 𝟏𝑰 𝟐.	120 + 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔!" 𝐼! = 80 ⟹ 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔!" 𝐼! = −40 ⟹ 𝑙𝑜𝑔!" 𝐼! = −4 ⟹ 𝐼! = 10!!	120 + 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔!" 𝐼! = 60 ⟹ 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔!" 𝐼! = −60 ⟹ 𝑙𝑜𝑔!" 𝐼! = −6 ⟹ 𝐼! = 10!!	𝐼!𝐼! = 10!!10!! = 10!!!(!!) = 10! = 100		9. Determinar	os	valores	reais	da	constante	K	para	que	a	equação	2x	+	2-x	=	2k	admita	raízes	reais.	2! + 2!! = 2! ⟹ 2! + !!! = 2! 		Substituindo	𝑦 = 2! ,	temos:	𝑦 + !! = 2! ⟹ 𝑦! + 1 = 2! ∙ 𝑦 ⟹ 𝑦! − 2! ∙ 𝑦 + 1 = 0		Para	que	a	equação	admita	raízes	reais	∆≥ 0.	∆= −2! ! − 4 ∙ 1 ∙ 1 = 2!! − 4		Logo,	devemos	resolver	a	inequação	2!! − 4 ≥ 0.	2!! − 4 ≥ 0 ⟹ 2!! ≥ 4 ⟹ 2!! ≥ 2!		Como	a	base	da	exponencial	é	maior	que	0	temos:	2𝑘 ≥ 2 ⟹ 𝑘 ≥ 1 	Com	isso,	o	valor	de	k	pode	ser	qualquer	número	real	maior	ou	igual	a	1.		
10. Em	uma	certa	cultura,	a	quantidade	de	bactérias	por	hora	é	dada	pela	expressão	𝑄(𝑡) = 1000 ∙ 2 !!".	Quanto	tempo	é	necessário	para	que	se	tenham	4000	bactérias?	Quanto	tempo	é	necessário	para	que	se	tenham	15000	bactérias?	Q t = 4000 ⟹ 1000 ∙ 2 !!" = 4000 ⟹ 2 !!" = 4 ⟹ 2 !!" = 2! ⟹ !!" = 2 ⟹ t = 20 horas.		Q t = 15000 ⟹ 1000 ∙ 2 !!" = 15000 ⟹ 2 !!" = 15 ⟹ !!" = log! 15 ⟹ !!" = !"# !"!"# ! 		⟹ !!" = !"# !!!"# !!"# ! ⟹ t ≅ 39,07 horas.			11. O	volume	de	um	 líquido	volátil	diminui	20%	por	hora.	Após	um	 tempo	 t,	 seu	volume	se	 reduz	à	metade.	Qual	o	valor	de	t?	V = V! ∙ 1 − 0,2 ! ⟹ !!! = V! ∙ 0,8! ⟹ 0,8! = 0,5 ⟹ t = !"# !,!!"# !,! ⟹ t = !"# !!"# ! ⟹ t ≅ 3,103 horas. 	12. Apliquei	 R$	 1380,00	 em	 uma	 certa	 modalidade	 de	 investimento,	 de	 modo	 que,	 a	 cada	 14	 meses	 era	 possível	triplicar	meu	capital.	Em	quanto	tempo	este	capital	dobrou?	Qual	era	o	meu	montante	após	dois	anos?	Qual	a	taxa	mensal	de	rendimento	proporcionada	por	este	investimento?	Você	pode	primeiro	responder	a	última	pergunta	para	depois	responder	as	duas	primeiras.		3C! = C! ∙ 1 + i ! ⟹ 1 + i !" = 3 ⟹ 1 + i = 3!" ⟹ i = 3!" − 1⟹ i ≅ 0,082 ou 8,2%.		Conhecendo	a	taxa,	podemos	calcular:	
• O	tempo	necessário	para	que	o	capital	dobre.	2C! = C! ∙ 1 + 0,082 ! ⟹ 1,082! = 2 ⟹ t = log!,!"# 2 ⟹ t = !"# !!"# !,!"# ⟹ t ≅ 8,8 meses.	
• O	montante	em	dois	anos.	M = 1380 ∙ 1,082!" ⟹ M ≅ 9 148,15.		13. Em	quantos	anos	500	g	de	uma	substância	radioativa,	que	se	desintegra	a	uma	taxa	de	3%	ao	ano,	reduzir-se-á	a	100	g?	Use	log	0,97	=	−0,013.	500 ∙ 1 − 0,03 ! = 100 ⟹ 0,97! = !! ⟹ t = log!,!" !! ⟹ t = !"# !,!!"# !,!" ⟹ t ≅ 53 anos.			14. O	 número,	 em	 centenas	 de	 indivíduos,	 de	 um	 determinado	 grupo	 de	 animais,	 x	 dias	 após	 a	 liberação	 de	 um	predador	no	seu	ambiente,	é	expresso	pela	função	𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔! !! (𝑥!).	Após	cinco	dias	da	liberação	do	predador,	o	número	de	indivíduos	desse	grupo	presentes	no	ambiente	será	igual	a:	(A)	3	 	 (B)	4	 	 (C)	300	 	 (D)	400	𝑓 5 = 𝑙𝑜𝑔! !! 5! = 𝑙𝑜𝑔!!! 5! = !!! = 3.	Como	o	número	é	expresso	em	centenas	de	indivíduos	a	resposta	é	300.		15. Uma	substância	radioativa	desintegra-se	a	uma	taxa	de	8%	ao	ano.	Em	quantos	anos	50	g	dessa	substância	reduzir-se-ão	a	5g?	50 ∙ 1 − 0,08 ! = 5 ⟹ 0,92! = 0,1 ⟹ t = log!,!"0,1 ⟹ t = !"# !,!!"# !,!" ⟹ t ≅ 27,8 anos. 	16. Num	laboratório,	uma	pessoa	verifica	que	a	taxa	de	crescimento	de	bactérias	numa	cultura	é	de	2,5%	por	minuto.	Nessas	condições,	em	quantos	minutos	o	número	de	bactérias	passará	de	4	000	para	6000?	4000 ∙ 1 + 0,025 ! = 6000 ⟹ 1,025! = 1,5 ⟹ t = log!,!"# 1,5 ⟹ t = !"# !,!!"# !,!"# ⟹ t ≅ 16,42 minutos. 	17. Calcule	a	meia-vida	de	uma	substância	radioativa	que	se	desintegra	a	uma	taxa	de	4%	ao	ano.	!!! = V! ∙ 1 − 0,04 ! ⟹ 0,096! = 0,5 ⟹ t = log!,!"# 0,5 ⟹ t = !"# !,!!"# !,!"#⟹ t ≅ 0,296 anos. 	18. A	 intensidade	 I	de	um	 terremoto,	medida	na	escala	Richter,	 é	um	número	que	varia	de	0,0	até	8,9	 (valor	para	o	maior	terremoto	conhecido).	Esta	intensidade	é	dada	pela	expressão 𝐈 = !! ∙ log !!! ,	na	qual	E	é	a	energia	liberada	no	terremoto	em	quilowatt-hora	e	E0	=	7	.	10-3	kWh.	(a) Qual	é	a	energia	liberada	em	um	terremoto	de	intensidade	8	na	escala	Richter?	!! ∙ log !!! = 8 ⟹ log !!! = 12 ⟹ !!! = 10!" ⟹ E = E! ∙ 10!" ⟹ E = 7 ∙ 10!! ∙ 10!" 		⟹ E = 7 ∙ 10! kWh		(b) Aumentando	de	uma	unidade	a	intensidade	do	terremoto,	por	quanto	fica	multiplicada	a	energia	liberada?	Vamos	chamar	a	energia	liberada	de	EI	e	EI+1	para	as	intensidades	I	e	I	+	1,	respectivamente.	Assim	I = !! ∙ log !!!! 				e					I + 1 = !! ∙ log !!!!!! .	Substituindo	o	valor	de	I,	expresso	na	primeira	equação,	na	segunda	equação.	!! ∙ log !!!! + 1 = !! ∙ log !!!!!! ⟹ !! ∙ log !!!!!! − !! ∙ log !!!! = 1 ⟹ !! ∙ log !!!!!! − log !!!! = 1 		 ⟹ log !!!!!! − log !!!! = !! ⟹ log !!!!!! ÷ !!!! = !! ⟹ log !!!!!! = !! ⟹ !!!!!! = 10!,! 		⟹ E!!! = 10!,! ∙ E!				
19. Numa	 fábrica,	 o	 lucro	 originado	 pela	 produção	 de	 x	 peças	 é	 dado	 em	 milhares	 de	 reais	 pela	 função	L(x)=log10(100+x)	+	k.	Sabendo	que	não	havendo	produção	não	há	lucro,	determine	k.	Qual	o	número	necessário	de	peças	para	que	o	lucro	seja	igual	a	mil	reais?	Quando	x	=	0,	L(x)	=	0.	Logo	temos	que	resolver	a	equação	log	(100	+	0)	+	k	=	0.	Resolvendo	a	equação	encontramos	k	=	−2.	Basta	então	calcular	o	valor	de	x	quando	f(x)	=	1.	log(100	+	x)	–	2	=	1	⟹		log(100	+	x)	=	3	⇒	100	+	x	=	103	⇒	x	=	900	peças.		20. A	expressão	M	=	A(1+i)n	permite-nos	calcular	o	montante	M	resultante	da	aplicação	do	capital	A	a	uma	taxa	anual	i,	após	n	anos.	Nessas	condições,	se	o	capital	de	R$	800	000,00	for	aplicado	à	taxa	anual	de	12%,	após	quanto	tempo	de	aplicação	serão	obtidos	juros	de	R$	700	000,00?	800 000 ∙ 1 + 0,012 ! = 1 500 000 ⟹ 1,12! = 1,875 ⟹ t = log!,!" 1,875 ⟹ t = !"# !,!"#!"# !,!" 		⟹ t ≅ 5,571 anos.			21. Os	 biólogos	 dizem	 que	 há	 uma	 alometria	 entre	 duas	 variáveis,	 x	 e	 y,	 quando	 é	 possível	determinar	duas	constantes,	c	e	k,	de	maneira	que	y	=	cxk.	Nos	casos	de	alometria,	pode	ser	conveniente	 determinar	 c	 e	 k	 por	 meio	 de	 dados	 experimentais.	 Consideremos	 uma	experiência	hipotética	na	qual	 obtiveram-se	os	dados	da	 tabela	 ao	 lado.	 Supondo	que	haja	uma	relação	de	alometria	entre	x	e	y,	determine	o	valor	de	k.	Substituindo	os	valores	de	x	e	y	na	lei,	encontramos	o	sistema:	 !∙!"!!!"!∙!!!!" .	Dividindo	as	duas	equações	encontramos:	!∙!"!!∙!! = !"!" ⟹ 10! = 2,5 ⟹ k = log 2,5 ⟹ k ≅ 0,398.				22. Sejam	 x	 e	 y	 duas	 quantidades.	 O	 gráfico	 abaixo	 expressa	 a	 variação	 de	 log	 y	 em	função	de	log	x,	onde	log	é	o	logaritmo	na	base	decimal.	Determine	uma	relação	entre	x	e	y	que	não	envolva	a	função	logaritmo.	log 𝑦 = 2 log 𝑥 + 2 ⇒ log 𝑦 − log 𝑥! = 2 ⇒ log !!! = 2 ⇒ !!! = 100 ⇒ 𝑦 = 100 𝑥!				23. A	figura	mostra	o	gráfico	da	função	logaritmo	na	base	b.	O	valor	de	b	é:	(a)	
4
1 	 (b)	2	 (c)	3	 (d)	4	 (E)	10	log! !! = −1 ⇒ 𝑏!! = 4!! ⇒ 𝑏 = 4 ⇒ (𝐷)					24. A	meia-vida	de	um	isótopo	radioativo	pode	ser	calculada	utilizando-se	equações	do	 tipo	A	=	C.	e	 kt	 ,	 em	que:	C	é	a	massa	 inicial;	A	é	a	massa	existente	em	t	anos;	K	é	uma	constante	associada	ao	isótopo	radioativo.	Em	 um	 laboratório,	 existem	 60	 mg	 de	 226Ra,	 cujo	 período	 de	semidesintegração	 é	 de	 1600	 anos.	 Daqui	 a	 100	 anos	 restará,	 da	quantidade	original	desse	isótopo,	o	correspondente,	em	mg,	a:	(a)	40,2	(b)	42,6	(c)	50,2	(d)	57,6		O	226Ra	passa	a	ter	metade	da	massa	inicial	em	1600	anos.	Com	isso,	!! = 𝐶𝑒!.!"## ⇒ !! = 𝑒!.!"## ⇒ !! = 𝑒!"##! ⇒ 1600𝑘 = log! !! 	⇒ 1600𝑘 = log! 2!! ⇒ 1600𝑘 = −log! 2		Observe	no	gráfico	que	a	imagem	do	2	é	0,693,	logo	log! 2 = 0,693	Assim,	1600𝑘 = −0,693 ⇒ 𝑘 = − !,!"#!"##	(não	vou	fazer	essa	conta	agora)		No	enunciado	temos	que	C	=	60	mg.	Substituindo	os	valores	de	𝑘,	C	e	𝑡 = 100	na	lei,	temos	𝐴 = 60 𝑒!!,!"#!"## .!"" ⇒ 𝐴 = 60 𝑒!!,!"#!" ⇒ 𝐴 = 60 𝑒!!,!"#		Veja	no	gráfico	que	a	imagem	do	0,96	é	-0,043,	ou	seja,	log! 0,96 = −0,043.		Pela	definição	de	logaritmo,	𝑒!!,!"# = 0,96.	Assim,	como	𝐴 = 60 𝑒!!,!"# ⇒ 𝐴 = 60×0,96 = 57,6 ⇒ (𝑑)	
x	 y	2	 16	20	 40	
 
2 
2 
6 
log y 
log x 
 
0,25 
–1 
1 
-0,043 
0,96 
2,00 
0,693 
x 
Log e x 
 
	 	25. Determine	o	valor	de	x	tal	que	log3	(2x	–	5)	–	log3	(x	+	3).	2𝑥 − 5 > 0 ⇒ 𝑥 > 52𝑥 + 3 > 0 ⇒ 𝑥 > −3 ⇒ 2𝑥 − 5 = 𝑥 + 3 ⇒ 𝑥 = 8		26. Um	estudante	pesando	120	kg	deseja	se	submeter	a	uma	dieta	durante	três	meses.	A	previsão	é	que	seu	peso	diário	P	(em	quilogramas)	obedeça	à	 lei:	𝑃 𝑡 = 120 ∙ 𝑒!!,!!"∙!	onde	t	 (em	dias)	é	o	 tempo	de	duração	da	dieta	(t	<	180	dias).	De	acordo	com	esta	lei,	o	estudante	emagrecerá	os	primeiros	20	kg	em:	(A)	12 ln 200 𝑑𝑖𝑎𝑠	 (B)	20 ln !"#! 𝑑𝑖𝑎𝑠	 (C)	20 ln !!"# 𝑑𝑖𝑎𝑠	 (D)	200 ln !! 𝑑𝑖𝑎𝑠	 (E)	200 ln !! 𝑑𝑖𝑎𝑠	100 = 120 𝑒!!,!!!! ⇒ ln !""!"# = ln 𝑒!!,!!"! ⇒ −0,005𝑡 = ln !! ⇒ 𝑡 = − !"""! ln !! = 200 ln !! ⇒ (𝐸)