Lógica matemática-Equivalência Logica/ Negação de uma proposição composta-Com gabarito

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Já vimos que uma proposição P(p, q, r, ....) é Logicamente Equivalente ou apenas Equivalente a uma 
proposição Q(p, q, r, ......) se as tabelas verdade de ambas são idênticas. 
 
 Indicamos por: P(p, q, r, ...) ⟺ Q(p, q, r, ...) ou P(p, q, r, ...) ≡ Q(p, q, r, ...) 
 
PROPRIEDADES DA EQUIVALÊNCIA: 
Reflexiva: P(p, q, r, ...) ⟺ P(p, q, r, ...) 
Simétrica: Se P(p, q, r, ...) ⟺ Q(p, q, r, ...), então Q(p, q, r, ...) ⟺ P(p, q, r, ...) 
Transitiva: Se P(p, q, r, ..) ⟺ Q(p, q, r, ..) e Q(p, q, r, ..) ⟺ R(p, q, r, ..), então P(p, q, r, ..) ⟺ R(p, q, r, ..) 
 
Exemplo: Verificar se as condicionais “p → p ∧ q” e “p → q” são equivalentes. 
p q p ∧ q p → p ∧ q p → q 
 
Logo as condicionais são equivalentes, isto é, 
p → p ∧ q ⟺ p → q 
V V V V V 
V F F F F 
F V F V V 
F F F V V 
 
 
 
 
 
 
PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL: 
Dada uma condicional p  q, chamam-se proposições associadas a p  q as três seguintes proposições 
condicionais que contêm p e q: 
∙ Proposição recíproca de p  q : q  p 
∙ Proposição contrária ou inversa de p  q : ~ p  ~ q 
∙ Proposição contrapositiva ou contra – recíproca de p  q: ~ q  ~p 
 
Exemplos: 
1. Recíproca: 
p: T é um triângulo equilátero 
q: T é um triângulo isósceles 
p  q: Se T é equilátero, então T é isósceles. 
A recíproca desta proposição é: q  p: Se T e isósceles, então T é equilátero. 
Aqui, a condicional p q é verdadeira, mas a sua recíproca q  p é falsa. 
 
2. A contrapositiva da condicional: p  q: Se Carlos é professor, então é pobre: 
p: Carlos é professor. 
q: Carlos é pobre 
 ~ q  ~ p: Se Carlos não é pobre, então não é professor. 
 
3. A contrapositiva da condicional: “Se x é menor que zero, então x não é positivo”. 
p: x é menor que zero 
q: x é positivo 
A condicional fica: p → ∼ q e sua contrapositiva fica ∼∼q → ∼p ⟺ q → ∼p. 
Em linguagem corrente temos: “Se x é positivo, então x não é menor que zero”. 
EQUIVALÊNCIA LÓGICA 
AULA 4 – 17.09.2018 
Profª. M. Helena Marciano 
 
 
 
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4. Dizer que não é verdade que "José é gordo e Carlos é alto" é logicamente equivalente a dizer que é 
verdade que: 
a. José é gordo ou Carlos não é alto; p ∨ ∼ q 
b. Se José não é gordo, então Carlos é alto; ∼p ⟶ q 
c. José não é gordo ou Carlos não é alto; ∼p ∨ ∼ q 
d. José não é gordo e Carlos não é alto; ∼p ∧ ∼ q 
 
Resolução: p: José é gordo q: Carlos é alto 
 a b c d 
p q ∼p ∼q p ∧ q ∼(p ∧ q) p ∨ ∼ q ∼ p ⟶ q ∼ p ∨ ∼ q ∼ p ∧ ∼ q 
V V F F V F V V F F 
V F F V F V V V V F 
F V V F F V F V V F 
F F V V F V V F V V 
 
EXERCÍCIOS: 
1. A proposição p ˄ (p → q) é logicamente equivalente à proposição: 
a. p ˅ q 
b. ~ p 
c. p 
d. ~ q 
e. p ˄ q 
 
2. Dizer que “X é azul ou Y não é vermelho” é logicamente equivalente a dizer que: 
a. Se X é azul, então Y não é vermelho. 
b. X é azul se, e somente se, Y não é vermelho. 
c. Se X não é azul, então Y é vermelho. 
d. Se Y é vermelho, então X é azul. 
e. X não é azul e Y é vermelho. 
 
3. Determinar a contrapositiva da condicional: “Se x2 é impar, então x é ímpar. 
 
4. Determinar a contrapositiva da condicional: Se x é menor que zero, então x não é positivo. 
 
5. Determinar: 
a. A contrapositiva da contrapositiva de p  q. 
b. A contrapositiva da recíproca de p  q. 
c. A contrapositiva da contrária de p  q. 
 
6. Determinar: 
A contrapositiva da recíproca de x = 0  x < 1. 
 A contrapositiva da contrária de x < 1  x < 3. 
 
7. X e Y são números tais que: "Se X ≤ 4, então Y > 7. Sendo assim: 
a. Se Y≤ 7, então X > 4; 
b. Se Y > 7, então X ≥ 4; 
c. Se X ≥ 4,então y < 7; 
d. Se Y < 7, então X ≥ 4; 
e. Se X < 4, então Y ≥ 7. 
 
 
 
 
 
Gabarito parte 1
1)RESPOSTA: e
a b c d e
p q p→q pΛ(p→q) pVq ~p p ~q pΛq
V V V V V F V F V
V F F F V F V V F
F V V F V V F F F
F F V F F V F V F
2) X é azul ou Y não é vermelho= pV~q
RESPOSTA: d
a c d e
p q ~p ~q pV~q p→~q ~p→q q→p ~pΛq
V V F F V F V V F
V F F V V V V V F
F V V F F V V F V
F F V V V V F V F
3) Se x2 é impar, então x é ímpar= p→q
Resposta: Se x não é ímpar, então x2 não é ímpar= ~q→~p
4) Se x é menor que zero, então x não é positivo= p→~q
Resposta: se x é positivo, então x não é menor que zero= ~~q→~p ou então
q→~p
5) A) A contrapositiva da contrapositiva de p→q
Contrapositiva de p→q= ~q→~p
Contrapositiva de ~q→~p= ~~p→~~q ou p→q
Resposta: ~~p→~~q ou p→q
B) A contrapositiva da reciproca de p→q
Reciproca de p→q= q→p
Contrapositiva de q→p= ~p→~q
Resposta: ~p→~q
C) A contrapositiva da contrária de p→q
Contraria de p→q= ~p→~q
Contrapositiva de ~p→~q= ~~q→~~p ou q→p
Resposta: ~~q→~~p ou q→p
6) A) A contrapositiva da recíproca de x=0→x<1.
recíproca de x=0→x<1 == x<1→ x=0
Contrapositiva de x<1→ x=0 == x≠0→x≥1
B) A contrapositiva da contrária de x < 1 → x < 3
contrária de x < 1 → x < 3 == x≥1→x≥3
Contrapositiva de x≥1→x≥3 == x<3→x<1
7) Se X ≤ 4, então Y > 7 == p→q
p→q é equivalente a ~q→~p(que seria a contrapositiva)
Então fazendo a contrapositiva de X ≤ 4, então Y > 7
Se Y≤7, então X>4;
RESPOSTA: a
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NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA 
 
Quando negamos uma proposição composta primitiva, geramos outra proposição também composta e 
equivalente à negação de sua primitiva. 
 
Negação de uma Conjunção (Lei de Morgan): Para negar uma conjunção, basta negar as partes e trocar o 
conectivo – conjunção pelo conectivo – disjunção. Assim: ~ (p

q) ⟺ ~ p

~ q 
EX: Proposição Primitiva: “É inteligente e estuda”. 
 Negação: Não é inteligente ou não estuda 
 
Negação de uma Disjunção (Lei de Morgan): Para negar uma disjunção, basta negar as partes e trocar o 
conectivo – disjunção pelo conectivo – conjunção. Assim: ~ (p

q) ⟺ ~ p

~ q 
EX: Proposição: “É médico ou professor”. 
 Negação: Não é médico e não é professor 
 
Negação de uma Condicional: Para negar uma condicional, conserva-se o valor lógico da 1ª parte, troca-se 
o conectivo – condicional pelo conectivo – conjunção e nega-se a 2ª parte. Assim: ~ (p

q) ⟺ p

~ q 
 
Negação de uma Bicondicional: Ao negarmos uma bicondicional do tipo p ↔ q, estamos negando uma 
conjunção cujas partes são duas condicionais, ou seja, vamos negar a proposição “(p → q) ∧ (q → p)”. 
~ (p ↔ q) = ∼ [(p → q) ∧ (q → p)] ⟺ (p ∧∼ q) ∨ (q ∧ ∼ p) 
 
Exercícios: 
A. Dar a negação em linguagem corrente de cada uma das seguintes proposições: 
1. Rosas são vermelhas e violetas são azuis 
2. É falso que não está frio ou que está chovendo. 
3. Não é verdade que está frio e chovendo 
4. Não é verdade que se está chovendo então está frio. 
5. x >5 ou x < 2 
6. Paulo foi ao mercado e a panificadora. 
7. Não é verdade que o pai de Marcos é pernambucano ou que a mãe é gaúcha. 
8. Marcos vai ao clube ou não sai de casa. 
9. y ≥ 4 e x < 10 
10. Não é verdade que as vendas estão diminuindo e que os preços estão aumentando. 
11. Se Roberto não estava em campo, então não cometeu a falta. 
12. Não é verdade que Jorge estuda Física, mas não Química. 
13. Se x ≥ y e y ≥ z, então x ≥ z 
14. O piso está molhado se, e somente se, o piso foi lavado ou choveu 
 
B. Se não é verdade que “Paulo gosta de futebol ou de cinema”, avalie as afirmativas a seguir: 
I. Paulo não gosta de futebol. 
II. Paulo não gosta de cinema. 
III. Paulo não gosta de futebol nem de cinema. 
IV. Pode ser que Paulo goste de futebol e de cinema. 
Estão corretas: 
a. I e II, apenas 
b. II e IV, apenas 
c. II, III e IV 
d. I e III, apenas 
e. I, II e III 
 
Gabarito parte 2
A)dar a negação
1) ~(pΛq) == ~pV~q
Rosas não são vermelhasou violetas não são azuis
2) ~(~(~pVq))== pΛ~q negando= ~pVq
não está frio e está chovendo
3) ~(~(pΛq)) == ~pV~q negando= pΛq
está frio e chovendo
4) ~(~(p→q)) == pΛ~q negando= ~pVq
não está chovendo ou está frio
5) ~(pVq) == ~pΛ~q
x≤5 e x≥2
6) ~(pΛq) == ~pV~q
Paulo não foi ao mercado ou a padaria
7) ~(~(pVq)) == ~pΛ~q negando= pVq
é verdade que o pai de marcos é pernambucano ou que a mãe é gaúcha
8) ~(pV~q) == ~pΛq
Marcos não vai ao clube e sai de casa
9) ~(pΛq) == ~pV~q
y<4 ou x≥10
10) ~(~(pΛq)) == ~pV~q negando= pΛq
é verdade que as vendas estão diminuindo e que os preços estão
aumentando.
11) ~(~p→~q) == pΛq
Roberto estava em campo e cometeu falta
12) ~(~(pΛ~q)) == ~pVq negando= pΛ~q
é verdade que Jorge estuda Física, mas não Química.
13) ~((pΛq)→r) == (~pV~q)→~r == (pΛq)→r se x<y e
*13 e 14 não consegui*
B) ~(pVq)= ~pΛ~q ---------> paulo não gosta de futebol e de cinema
Paulo não gosta de futebol.
Paulo não gosta de cinema.
Paulo não gosta de futebol nem de cinema.
Resposta: E