Aula 02 – Sistemas de Numeração

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CCE0091 – Arquitetura e Organização de Computadores
Aula 02 – Sistemas de Numeração
Arquitetura e Organização de Computadores
Conteúdo da Aula
Unidade II – Sistemas de Numeração
Objetivos
 Apresentar as sequência de numeração em diversas bases de numeração;
 Apresentar a notação posicional base decimal;
 Descrever as conversões entre bases de numeração de potência de 2.
Arquitetura e Organização de Computadores
Representações Numéricas
Introdução
 O número é um conceito abstrato que representa a ideia de quantidade e 
fundamental para a área de computação.
 O sistema de numeração é composto do conjunto de símbolos utilizados para 
representar quantidades e as regras que definem a forma de representação.
 O sistema de numeração é determinado fundamentalmente pela BASE que o 
compõe, que indica a quantidade de símbolos e o valor de cada símbolo.
Arquitetura e Organização de Computadores
Representações Numéricas
Introdução
 Decimal (base 10): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
 Binário (base 2): 0, 1
 Octal (base 8): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
 Hexadecimal (base 16): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
 Base B genérica: 0 a B - 1
Arquitetura e Organização de Computadores
Notação Posicional
O objetivo principal de qualquer base numérica é a de representar números.
No sistema posicional, o valor de cada símbolo é determinado por sua posição no 
número apresentado.
O valor do número é a soma dos valores relativos de cada número.
A formação dos números depende da quantidade de algarismos disponíveis no 
referido sistema (chamado Base).
Arquitetura e Organização de Computadores
Notação Posicional
 Cada posição corresponde a uma potência da base, começando em ZERO.
Ex.: 258 na base 10 ou 25810
258 = 2 * 10² + 5 * 10¹ + 8 * 100 (2 centenas + 5 dezenas + 8 unidades)
 Esta forma pode ser generalizada pelo somatório de cada algarismo multiplicado 
pela potência da base equivalente a sua posição.
 A representação dos números nas bases binária, octal e hexadecimal obedece às 
mesmas regras da representação na base decimal (notação posicional).
Arquitetura e Organização de Computadores
Notação Posicional
 Para uma determinada base B, empregando-se n dígitos pode-se representar Bn
combinações distintas
 Considere, por exemplo, a representação em base decimal com 3 dígitos. Esta 
representação fornece 103 números distintos (1000 valores de 000 a 999).
 Se, no entanto, utilizarmos a base binária, para os mesmos 3 dígitos, tem-se 23
números distintos (8 valores de 000 a 111).
Arquitetura e Organização de Computadores
Conceitos de base de numeração
Sistemas Decimal
Arquitetura e Organização de Computadores
Conceitos de base de numeração
Sistema Binário
Arquitetura e Organização de Computadores
Conceitos de base de numeração
Sistema Octal
Arquitetura e Organização de Computadores
Conceitos de base de numeração
Sistema Hexadecimal
Arquitetura e Organização de Computadores
Conversão Entre Bases
 Algoritmo de conversão entre bases:
DA BASE DECIMAL PARA OUTRA BASE
1) Dividir sucessivamente o número decimal pela base, ATÉ que o quociente da divisão
seja igual a 0;
2) Extrair o resto da divisão como algarismo e colocá-lo à esquerda do anterior (ou, ao
final, juntar os restos de “trás pra frente” para formar o número na nova base).
Arquitetura e Organização de Computadores
Conversão Entre Bases
Conversão Decimal para Binário
Convertendo 5610 para a base 2 (binária)
56 |_2_
0 28 |_2_
0 14 |_2_
0 7 |_2_
1 3 |_2_ 
1 1 |_2_
1 0
Portanto,
5610 = 1110002
Conferindo...
1 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 0 x
20
1 x 32 + 1 x 16 + 1 x 8 = 5610
QUOCIENTE IGUALA ZERO
Arquitetura e Organização de Computadores
Conversão Entre Bases
Conversão Decimal para Octal
Convertendo 68010 para a base 8 (octal)
680 |_8_
0 85 |_8_
5 10 |_8_
2 1 |_8_
1 0
Portanto,
68010 = 12508
Conferindo...
1 x 83 + 2 x 82 + 5 x 81 + 0 x 80
1 x 512 + 2 x 64 + 5 x 8 = 68010
QUOCIENTE IGUALA ZERO
Arquitetura e Organização de Computadores
Conversão Entre Bases
Conversão Decimal para Hexadecimal
Convertendo 45110 para a base 16 (hexadecimal)
451 |_16_
3 28 |_16_
12 1 |_16_
1 0
QUOCIENTE IGUALA ZERO
Portanto,
45110 = 1C316
Conferindo...
1 x 162 + 12 x 161 + 3 x 160
1 x 256 + 12 x 192 + 3 x 1 =
451
Arquitetura e Organização de Computadores
Conversão Entre Bases
 De outra base para a base decimal
1) Multiplicar cada algarismo pela potência da base referente a posição do algarismo;
2) Somar todos os resultados.
Exemplo:
101102 = 1 x 2
4 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20
16 + 0 + 4 + 2 = 2210
Arquitetura e Organização de Computadores
Conversão entre Bases
Conversão Binário para Decimal
Convertendo...
1110002
1 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20
1 x 32 + 1 x 16 + 1 x 8 + 0 x 4 + 0 x 2 + 0 x 1
32 + 16 + 8 = 5610
101102
1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20
1 x 16 + 0 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1
16 + 4 + 2= 2210
Arquitetura e Organização de Computadores
Conversão entre Bases
Conversão Octal para Decimal
Convertendo...
10678
1 x 83 + 0 x 82 + 6 x 81 + 7 x 80
1 x 512 + 0 x 64 + 6 x 8 + 7 x 1
512 + 48 + 7 = 5678
17748
1 x 83 + 7 x 82 + 7 x 81 + 4 x 80
1 x 512 + 7 x 64 + 7 x 8 + 4 x 1
512 + 448 + 56 + 4 = 102010
Arquitetura e Organização de Computadores
Conversão entre Bases
Conversão Hexadecimal para Decimal
Convertendo...
3D716
3 x 162 + D x 161 + 7 x 160
3 x 256 + 13 x 16 + 7 x 1 =
768 + 208 + 7 = 98310
2A516
2 x 162 + A x 161 + 5 x 160
2 x 256 + 10 x 16 + 5 x 1
512 + 160 + 5 = 67710
Arquitetura e Organização de Computadores
Conversão Entre Bases
De binário para hexadecimal
Converte-se diretamente cada conjunto de 4 bits por um digito em hexadecimal, pois
com 4 bits podemos escrever 16 números diferentes (24 = 16)
De hexadecimal para binário
Analogamente ao item anterior, cada dígito em hexadecimal é convertido em 4 dígitos
binários.
Exemplo: 0001110000112
1 C 316
Arquitetura e Organização de Computadores
Conversão entre Bases
Conversão entre bases binária, octal e hexadecimal.
Decimal Binário Octal Binário Hexadecimal
0 000 0 0000 0
1 001 1 0001 1
2 010 2 0010 2
3 011 3 0011 3
4 100 4 0100 4
5 101 5 0101 5
6 110 6 0110 6
7 111 7 0111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F
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Conversão entre Bases
Exercícios
Converta os valores decimais para base binária.
a) 7210
b) 12710
c) 3510
d) 2310
e) 16510
f) 4010
g) 2210
h) 1410
Arquitetura e Organização de Computadores
Conversão entre Bases
Exercícios
Converta os valores decimais para base binária.
Respostas
a) 7210 = 10010002
b) 12710 = 11111112
c) 3510 = 1000112
d) 2310 = 101112
e) 16510 = 101001012
f) 4010 = 1010002
g) 2210 = 101102
h) 1410 = 11102
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Conversão entre Bases
Exercícios
Converta os valores binários para a base decimal.
a) 100 0012
b) 11 0112
c) 1 100 1002
d) 10 000 0002
e) 11 001 0112
f) 10 110 0012
g) 1 1002
h) 100 110 0002
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Conversão entre Bases
Exercícios
Converta os valores binários para a base decimal.
Respostas
a) 100 0012 = 3310
b) 11 0112 = 2710
c) 1 100 1002 = 10010
d) 10 000 0002 = 12810
e) 11 001 0112 = 20310
f) 10 110 0012 = 17710
g) 1 1002 = 1210
h) 100 110 0002 = 30410
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Conversão entre Bases
Exercícios
Converta os valores decimais paraa base octal.
a) 56710
b) 98310
c) 102010
d) 6510
e) 68010
f) 10510
g) 29410
h) 67910
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Conversão entre Bases
Exercícios
Converta os valores decimais para a base octal.
Respostas
a) 56710 = 10678
b) 98310 = 17278
c) 102010 = 17748
d) 6510 = 1018
e) 68010 = 12508
f) 10510 = 1518
g) 29410 = 4468
h) 67910 = 12478
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Conversão entre Bases
Exercícios
Converta os valores decimais para a base Hexadecimal.
a) 56710
b) 98310
c) 102010
d) 6510
e) 68010
f) 10510
g) 29410
h) 67910
Arquitetura e Organização de Computadores
Conversão entre Bases
Exercícios
Converta os valores decimais para a base Hexadecimal.
Respostas
a) 56710 = 23716
b) 98310 = 3D716
c) 102010 = 3FC16
d) 6510 = 4116
e) 68010 = 2A816
f) 10510 = 6916
g) 29410 = 12616
h) 67910 = 2A716
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Conversão entre Bases
Exercícios
Converta os valores hexadecimais para a base Octal.
a) F516
b) AB716
c) 98A16
d) F1E216
e) E22916
f) 13516
g) 71016
h) CE116
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Conversão entre Bases
Exercícios
Converta os valores hexadecimais para a base Octal.
Respostas
a) F516 = 3658  1111 10012
b) AB716 = 52678  1010 1011 01112
c) 98A16 = 46128  1001 1000 10102
d) F1E216 = 1707428 1111 0001 1110 00102
e) E22916 = 1610518 1110 0010 0010 10012
f) 13516 = 4658  0001 0011 10012
g) 71016 = 34208  0111 0001 00002
h) CE116 = 63418  1100 1110 00012
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Conversão entre Bases
Exercícios
Converta os valores octais para a base Binária.
a) 33658
b) 7528
c) 6258
d) 137038
e) 671058
f) 20048
g) 3218
h) 76548
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Conversão entre Bases
Exercícios
Converta os valores octais para a base Binária.
Respostas
a) 33658 = 110111101012
b) 7528 = 1111010102
c) 6258 = 1100101012
d) 137038 = 10111110000112
e) 671058 = 1101110010001012
f) 20048 = 100000001002
g) 3218 = 110100012
h) 76548 = 1111101011002
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Conversão entre Bases
Exercícios
Converta os valores binários para a base Hexadecimal.
a) 1 100 101 001 011 0102
b) 1 111 101 011 001 0102
c) 11 010 000 000 111 011 0102
d) 1 110 110 100 010 0012
e) 100 110 101 011 110 011 011 1102
f) 10 010 001 101 000 1012
g) 1 100 111 100 010 011 0102
h) 1 011 000 011 001 0102
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Conversão entre Bases
Exercícios
Converta os valores binários para a base Hexadecimal.
Respostas
a) 1 100 101 001 011 0102 = CA5A16
b) 1 111 101 011 001 0102 = FACA16
c) 11 010 000 000 111 011 0102 = D01DA16
d) 1 110 110 100 010 0012 = ED1116
e) 100 110 101 011 110 011 011 1102 = 9ABCDE16
f) 10 010 001 101 000 1012 = 1234516
g) 1 100 111 100 010 011 0102 = 6789A16
h) 1 011 000 011 001 0102 = B0CA16
Exercício