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UNIDADE 3 O PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES OBJETIVOS • ESTUDAR O PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES E SUAS APLICAÇÕES 3.1 – EMPUXO E O PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES Qualquer corpo imerso em um fluido aparenta ter um peso menor do que realmente possui. Quando um objeto é colocado em um fluido, ele desloca uma quantidade de fluido com volume igual ao seu volume. E o corpo ficará em equilíbrio se sua densidade for igual à do fluido. Se sua densidade for menor que a do fluido, ele tenderá a subir. Se o corpo possuir densidade maior que a do fluido, ele afundará. Esse comportamento é observado a todo momento na Natureza, por exemplo, uma bola flutua quando colocada dentro de um tanque com água, ou um balão cheio de hélio ou de ar quente flutua no ar. Foi o filósofo e matemático grego Arquimedes quem descobriu como calcular a força de sustentação que atua em corpos imersos em fluidos. O princípio de Arquimedes diz que: Um corpo total ou parcialmente imerso num fluido recebe do fluido uma força igual e contrária ao peso do volume de fluido deslocado. Essa força é conhecida como Empuxo. Chamando de Pf o peso do volume de fluido deslocado, o empuxo sobre o corpo é dado por: gmPE ff .== onde g é a aceleração da gravidade. Sabendo que a massa do fluido é igual ao produto da densidade pelo volume, fff Vm .ρ= , temos: gVE ff ..ρ= (3.1) Exemplo 3.1: Um balde com água é suspenso por um dinamômetro. A leitura indicada pela balança varia quando um pedaço de ferro suspenso por um fio é imerso na água? E quando um pedaço de cortiça é colocado na água? Resposta: Sim, pois nesse caso a balança irá registrar também a massa do ferro, independente de ele afundar ou não, assim como a cortiça. De acordo com a terceira lei de Newton, a balança irá registrar a reação que o fundo do balde faz na água ou diretamente sobre o corpo colocado na água caso ele afunde. Atividade 3.1: Pegue um objeto mais denso que a água e amarre-o a um barbante. Suspenda-o pela extremidade do barbante e coloque- o em uma vasilha com água. Bem devagar puxe o barbante, suspendendo o objeto até ele sair completamente da água. Descreva o que ocorreu com a tensão no barbante à medida que você foi tirando o objeto da água, ela aumentou, diminuiu ou permaneceu constante? Suponhamos uma porção arbitrária de um fluido em repouso dentro de um saco plástico (figura 3.1). Essa porção de fluido é delimitada por uma superfície S irregular que está em contato com o fluido que o circunda. O volume de fluido deslocado estaria em equilíbrio com o resto do sistema. As setas representam as forças exercidas pelo fluido vizinho sobre a superfície de contorno. Observe que as setas indicando as forças sobre a superfície S são maiores na parte inferior. Isso é explicado pela Lei de Stevin. (a) (b) (c) Figura 3.1: Esquema de forças (E empuxo) atuando em sistema em equilíbrio dentro de um fluido. Uma vez que o fluido está em equilíbrio, a soma de todas as forças e a soma de todos os torques atuando sobre o sistema devem ser nulos. A componente da força resultante na horizontal se anula, e a resultante das forças na vertical sobre a superfície será uma força de baixo para cima com módulo igual ao peso mg do fluido no interior da superfície. Se substituirmos o elemento de fluido por um corpo com o formato exatamente igual ao do elemento de fluido considerado anteriormente (figura 3.1b e 3.1c), verificamos que a pressão em cada ponto dele é exatamente a mesma que no caso anterior: a força de baixo para cima exercida pelo fluido sobre o corpo também é igual ao peso mg do fluido. Se a densidade do corpo for igual à do fluido, a força peso será igual ao empuxo e o corpo ficará em equilíbrio (figura 3.1a). Se a densidade do corpo for maior que a do fluido (figura 3.1b), a força peso é maior que o empuxo e, assim, o corpo afundará, exercendo ainda uma força no fundo do recipiente. Se a densidade do corpo for menor que a do fluido (figura 3.1c), a força peso é menor que o empuxo e o corpo subirá até que a resultante das forças seja nula. Exemplo 3.2: Para entender melhor o que está ocorrendo, pense na situação mostrada na figura 3.2. A figura mostra um objeto cúbico (aresta L) suspenso por uma corda e submerso em um líquido (densidade ρ). A face inferior da caixa está a uma profundidade h. a) Calcule a força exercida pelo líquido sobre a face superior da caixa. b) Repita os cálculos para a face inferior. c) Determine a força resultante exercida pelo líquido sobre a caixa. Resposta: a) Lembrando que a força é o produto da pressão exercida pela área da superfície de aplicação da força e considerando que na face superior desse cubo atuam a pressão atmosférica além da pressão do líquido acima desta face, temos: ALhgPPAF o )]([1 −+== ρ Figura 3.2 h L ( ) 201 ][ LLhgPF −+= ρ Essa força atua na vertical apontada para baixo. b) Usando novamente a equação 3.1, temos: 2 02 ][ LghPF ρ+= Essa força atua na vertical, assim como a força que atua na face superior, porém, apontada para cima. c) Vamos aplicar a segunda lei de Newton, lembrando que há também o peso do bloco e a tensão no fio. ∑ =−−+⇒= →→→→→ 00 21 TFPFFR ⇒ ( ) 22 ghLLhgLTP ρρ +−−=− ⇒ EgVgLTP ===− ρρ 3 Note que a resultante das forças exercidas pelo líquido é igual ao peso do líquido deslocado. Essa força é chamada de empuxo (E). Atividade 3.2: Refaça os itens do exemplo 3.2 para a situação mostrada na figura 3.3. A caixa não está totalmente imersa, parte da caixa está fora do líquido. Figura 3.3 Exemplo 3.3: Estime a força de sustentação exercida pela atmosfera sobre você. E se você estiver dentro d'água, esse empuxo é muito maior? Quanto? Resposta: Para facilitar, vamos fazer uma aproximação bastante grosseira do formato do nosso corpo, considerando-o como um bloco retangular de 0,2m x 0,4m x 1,80m. O volume do corpo será V = 0,144m3. Usando para a densidade do ar ρ = 1,21 Kg/m3 e para água ρ = 998 Kg/m3, teremos: hL NEms m m KgE arar 704,1144.078,921,1 3 23 =⇒⋅⋅= Na água, esse valor será maior: NEms m m KgE águaágua 5,1405144,078,9998 3 23 =⇒⋅⋅= Atividade 3.3: Dois baldes idênticos são preenchidos com água até a mesma altura, porém, um dos baldes possui um bloco de madeira flutuando na água. Existe diferença de peso entre os baldes? Se existe, qual é o mais pesado? 3.2 – EQUILÍBRIO DE CORPOS FLUTUANTES Um corpo que flutua em um fluido tem a força de empuxo E atuando no centro de gravidade do fluido deslocado. Esse ponto é denominado centro de flutuação (C). Uma vez que o corpo está em equilíbrio, o empuxo deve ser igual à força peso do corpo. Essa força atua no centro de gravidade do corpo (G). Se o corpo está parcialmente submerso, esses dois pontos não coincidem um com o outro (figura 3.4). Se os dois pontos estiverem sobre a mesma linha vertical, o corpo flutuará em equilíbrio, pois tanto a força resultante do peso e do empuxo quanto o torque resultante sobre o corpo são nulos. Figura 3.4a 3.4b 3.4c Quando o corpo flutuante sofre um pequeno deslocamento dessa posição de equilíbrio, o volume do fluido deslocado se modifica e o centro de flutuação desloca sua posição em relação à vertical que passa pelo centro de gravidade do corpo (figura 3.4b). A vertical que passa pelo novo centro de flutuação corta a linha C-G antiga em um ponto denominado metacentro. Se o metacentro está acima do centro de gravidade do corpo, o torque gerado pelo novo empuxo !! e pelo peso do corpo tende a restabelecer a posição de equilíbrio. Se o metacentro ficar abaixo do centro de gravidade do corpo (figura 3.4c),o torque tende a aumentar o desvio e o equilíbrio do corpo fica instável; ele pode, então, virar. A distribuição correta do peso, bem como a fixação da carga e bagagem para que as mesmas não se movam em uma embarcação marítima ou aérea é fundamental para evitar acidentes sérios. O excesso de peso nestas embarcações quase sempre leva a acidentes graves. Exemplos de torque restaurados são os veleiros oceânicos ou trans-oceânicos onde a quilha do mesmo é profunda (em torno de 1,0m ou mais) e em geral possui chumbo na parte inferior. O veleiro se inclina em função de ventos e tormentas e quase sempre retorna à posição de equilíbrio. No caso de navios cargueiros, os mesmos tem um sistema de compartimentos vazios no casco para receber água salgada à medida que carga é empilhada no seu convés. Dessa forma, o centro de flutuação do navio fica sempre abaixo da linha d’água, isto é, abaixo da superfície do mar ou rio. Por outro lado, barcos com cascos chatos podem ser extremamente perigosos em dias de ventania, pois o centro de flutuação deles é bastante próximo à superfície ou acima da superfície, tornando este tipo de embarcação muito instável. Atividade 3.4: Pegue um pequeno frasco de vidro que tenha tampa e coloque-o, cheio de ar, em uma vasilha com água. Dessa forma, ele bóia. Caso você encha o frasco com água, ele afunda. Tente colocar uma quantidade de água no frasco de forma que ele fique parcialmente dentro d’água, na profundidade em que você escolher. Qual é a densidade média do frasco com essa quantidade de água dentro? Exemplo 3.4: Explique, agora, como um submarino emerge, submerge e mantém-se a uma profundidade fixa. Pode-se afirmar que a força de sustentação atuante em um submarino submerso é a mesma em todas as profundidades? Resposta: O teste do frasco parcialmente preenchido com água foi bastante conclusivo, à medida que as tentativas para igualar sua densidade à da água foram sendo feitas pode-se observar que quando muito cheio o frasco afundava e quando muito vazio o frasco flutuava, de modo que os submarinos devem possuir compartimentos que se enchem com água para que se possa submergi-los e esvaziados para que voltem à superfície. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO EF 3.1: Um bloco de madeira flutua na água com 0,65 de seu volume submerso. Quando colocado em óleo, o bloco tem 0,92 de seu volume submerso. Determine a densidade da madeira e do óleo. EF 3.2: Determine a fração do volume total de um iceberg que fica acima do nível da água. Dados: ρágua = 1,0 g/cm3 e ρgelo = 0,92 g/cm3. EF 3.3: Uma lata fabricada com folha-de-flandres possui um volume de 1,0 L e uma massa de 100g. Quantos gramas de chumbinhos ela poderia conter em seu interior sem afundar na água? A densidade do chumbo é de 11,4 g/cm3. EF 3.4: Três crianças constroem uma jangada unindo toras de madeira. Assumindo valores razoáveis para as variáveis envolvidas, estime o número de toras necessárias para a jangada flutuar levando as três crianças. EF 3.5: Uma bola flutua na superfície da água contida em um recipiente aberto para a atmosfera. A bola permanecerá com a mesma parte (inicial) submersa, afundará um pouco mais ou terá uma parte submersa menor se: (a) o recipiente for coberto e o ar em seu interior for removido? (b) o recipiente for coberto e o ar em seu interior for comprimido? EF 3.6: Explique por que, uma vez que começa a subir, um balão inflado sobe apenas até uma altura definida, enquanto um submarino, ao começar a afundar, sempre afunda até a parte mais profunda do oceano, caso nenhuma alteração seja realizada. EF 3.7: Por que um balão possui o mesmo peso quando vazio ou quando cheio com ar à pressão atmosférica? Seria o peso ainda idêntico caso a medida fosse feita no vácuo? EF 3.8: Uma rolha flutua na água com 1/4 de seu volume submerso quando coloca-se um pouco de óleo sobre a água. A parte submersa da rolha aumenta, diminui ou permanece a mesma? Justifique a sua resposta. EF 3.9: Um bloco de madeira flutua em um balde de água, dentro de um elevador. Quando o elevador acelera para cima, a parte do bloco que está submersa aumenta ou diminui? Justifique. EF 3.10: Por que toras de madeira jogadas verticalmente em um lago não permanecem na vertical, mas flutuam "deitadas" na água? Por que um navio que está afundando, geralmente, tomba à medida que submerge na água? PROBLEMAS DA UNIDADE 3 P 3.1: Quando se fazem pesagens precisas usando uma balança analítica sensível – precisão de um miligrama (0,001 g) –, deve-se corrigir o empuxo do ar, no caso de a densidade do corpo que está sendo "pesado" ser muito diferente da dos "pesos" padrões, geralmente, feitos de latão. Suponha, por exemplo, que um pedaço de madeira de densidade 0,4g/cm3 seja equilibrado numa balança de braços iguais por "pesos" de latão de 20g, cuja densidade é 8,0g/cm3. Determine a massa verdadeira desse pedaço de madeira. P 3.2: Um objeto, flutuando em mercúrio, possui ¼ de seu volume submerso. Se uma quantidade suficiente de água for adicionada de forma a cobrir o objeto, qual será a fração de seu volume que permanecerá imerso no mercúrio? P 3.3: Um bloco de ferro, de densidade ρFe está suspenso em um dinamômetro. Um béquer, contendo um líquido de densidade ρL, está em repouso sobre uma balança. Nessa situação, a leitura do dinamômetro é D e a da balança é B. Em seguida, o bloco de ferro, ainda suspenso no dinamômetro, é completamente submerso no líquido, como mostrado na figura 3.5. Determine as leituras da balança e do dinamômetro nessa nova situação. P 3.4: O peso de um recipiente com água é igual ao peso do suporte e da bola de ferro maciço mostrados na figura 3.6a. Quando a bola suspensa é abaixada e mergulhada na água, a balança se inclina, como mostrado na figura 3.6b. O volume da bola é V e a densidade da água é ρ. Determine a massa adicional que deve ser colocada no lado direito da balança a fim de equilibrá-la novamente, com a bola ainda suspensa e imersa na água. P 3.5: Um bloco maciço homogêneo em forma de cubo é colocado na água. Supondo que o cubo tem aresta igual a 2 metros e massa 800 kg, qual a altura da parte inferior do bloco à superfície do líquido? P 3.6: Uma estatueta de ouro de massa m=15 kg foi encontrada no fundo do mar. Para retirá-la, usa-se uma corda inextensível e de massa muito menor que a da estatueta. Figura 3.6a 3.6b Figura 3.5 (a) Uma vez que a estatueta não está mais em contato com o fundo, qual a tensão na corda de sustentação quando a estatueta ainda está debaixo d’água? (b) Essa tensão varia com a profundidade? (c) Qual a tensão na corda de sustentação quando a estatueta está completamente fora d’água? P 3.7: Considere o cubo de aresta L e peso P (no vácuo) imerso em um fluido de densidade ρ (figura 3.7). Para efeitos de cálculo, considere L=0,608 m, P=4450 N e ρ=944 kg/m3. (a) Faça um diagrama das forças atuantes no bloco. (b) Determine a força para baixo exercida na parte superior do objeto. (c) Determine a força para cima exercida na parte inferior do objeto. (d) Determine a tração no cabo. (e) Fazendo uso do princípio de Arquimedes, determine o empuxo sobre o objeto. P 3.8: Uma barra de ferro fundido apresenta algumas cavidades e pesa 6130 N no ar e 3970 N na água. Determine o volume total das cavidades. Considere a densidade do ferro ρ = 7870 kg/m3. P 3.9: Uma esfera oca de raio r=55 cm é presa no fundo de um lago através de uma corda de massa desprezível. A tensão na corda é de T=900 N. (a) Calcule o empuxo sobre a esfera. (b) Calcule a massa da esfera. Figura 3.7 P 3.10: Umbalão de borracha esférico com raio igual a 5 m está cheio de hidrogênio. Suponha a densidade do hidrogênio ρH = 0,0899 kg/m3 e a densidade do ar ρar = 1,29 kg/m3. Desprezando a massa da superfície do balão, calcule a força resultante sobre o balão. P 3.11: Qual fração de um iceberg fica aparente (acima do nível da água)? Considere as densidades de água doce igual a 917kg/m3 e de água do mar igual a 1.024kg/m3. RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS Atividade 3.1 A tensão no fio permanece a mesma até que o objeto chegue à superfície da água. A partir desse ponto, a tensão no fio aumenta gradativamente à medida que o objeto vai saindo porque o volume de água deslocada pelo objeto diminui e o empuxo, também. Após retirar completamente o objeto da água e tensão fica constante novamente, igual ao peso do objeto. Atividade 3.2 Considerando que parte do cubo não está submerso, o volume de fluido deslocado é igual a: hLV 2= Realizando o mesmo procedimento do exemplo 2, teremos: (a) !! = !! (b) !! = !! + !"ℎ !! (c) ! = ! − ! = !! − !! => ! = !"ℎ!! Atividade 3.3 Analisemos o balde em que foi colocado o bloco de madeira. Sendo assim, quando se coloca água no balde estando o bloco no seu interior, para que o nível de água nesse balde seja igual ao nível do outro balde, uma quantidade de água, igual ao volume submerso do bloco, será colocado a menos. Supondo que o bloco que flutua no fluido esteja em equilíbrio, essa quantidade que foi colocada a menos será igual ao peso do bloco de madeira. Assim, o peso dos dois baldes é o mesmo. Atividade 3.4 Nessas condições, a densidade média do frasco é igual à da água, pois o frasco permanece em equilíbrio qualquer que seja a profundidade em que for abandonado. GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO EF 3.1 gVgVPE blocoblocoblocoOH ρρ =⇒= 65,02 37,64865,0 2 m Kg blocoOHbloco =⇒= ρρρ 31,70595,0 m KggVgVPE óleoblocoblocoblocoóleo =⇒=⇒= ρρρ EF 3.2 OH gelo geloOH V VgVgVPE 2 2 '' ρ ρ ρρ =⇒=⇒= 92,0' = V V 92% do volume do iceberg fica submerso e 8% fica acima da superfície do mar. EF 3.3 Trabalhando com a unidade de densidade em Kg/dm3, teremos que a densidade da lata é 0,1Kg/dm3, a do chumbo é 11,4Kg/dm3 e arredondando, a da água é 1,0Kg/dm3. Sem necessidade de cálculo, notemos que a densidade da lata se igualará à da água se sua massa for acrescida de 900 gramas, dessa forma, suas densidades serão iguais e a lata ficará estável em qualquer posição em que for abandonada, inclusive na superfície da água. Assim, a massa de chumbo é 900 gamas. EF 3.4 Vamos imaginar que a massa de cada criança seja de 40Kg e as dimensões das toras conforme a figura. Para facilitar os cálculos, vamos arredondar sua densidade com um valor próximo do encontrado no EF 3.1, podendo ser de 650Kg/m3. A situação crítica para o sistema permanecer em equilíbrio é aquela em que as toras estão com todo seu volume dentro d’água, porém ainda está na superfície. Sendo mc a massa de cada criança, V o volume de cada tora e n o número de toras, teremos: ( ) ( ) cmadOHmadcOH mnVgVnmVgnPE 33 .. 22 =−⇒+=⇒= ρρρρ ( ) torasnKg Kgn V mn madOH c 57,8 14 1203 .2 =⇒=⇒ − = ρρ Se os meninos construírem a jangada com 8 toras, ela afunda. Por outro lado, se ela for construída com 9 toras, eles sequer molharão os pés. EF 3.5 a) Vamos considerar uma bola não flexível, pois, caso contrário, uma vez que o ar for retirado do recipiente, deixará de existir pressão de fora para dentro da bola e seu volume tenderá a aumentar. Na situação proposta por esta parte do problema, deve-se notar que a parte submersa da bola aumentará; isso, porque, quando se reduz a pressão de um líquido, este tenderá a passar ao estado gasoso que é menos denso. b) Agora teremos uma situação inversa da anterior porque a pressão exercida pelo ar se distribuirá por todo o volume do líquido aumentando, assim, sua densidade, então, a parte submersa da bola irá diminuir. Não devemos pensar que a redução ou aumento da pressão fará alguma diferença na parte imersa da bola. Deve-se lembrar do principio de Pascal que diz que a variação de pressão se transmite de forma igual por todo o volume do fluido, no caso da água, aumentando ou diminuindo, portanto, também na parte submersa. EF 3.6 No caso do balão, temos que ter em mente que o mesmo só sai do chão porque é inflado com algum gás que é menos denso que o ar, ou tem o ar aquecido em seu interior. De qualquer forma, o resultado será o mesmo quando o balão atingir uma altitude em que a temperatura do ar externo sofrer uma redução significativa além de se tornar mais rarefeito. A conseqüência da redução da temperatura é uma diminuição no volume do balão, portanto, ocorre um aumento de sua densidade. Já o efeito da rarefação do ar externo é que este se torna menos denso. A conjugação desses fatores faz reduzir o empuxo sob o balão. Com relação ao submarino, podemos notar que a redução da temperatura da água exerce pouca influência sobre o submarino e a compressibilidade da água também é bastante pequena, ou seja, se nada for feito, a densidade do submarino continua maior que a da água, o que o leva para o fundo. EF 3.7 Enchendo-se um balão com ar atmosférico, seu peso irá aumentar devido ao ar colocado em seu interior da mesma forma que o empuxo exercido sobre ele pelo ar atmosférico. Logo, não será detectado aumento em seu peso. No vácuo, a situação é diferente, pois não haverá empuxo e, uma vez cheio, se o balão não vier a estourar, seu peso será maior do que quando vazio e o acréscimo será igual ao peso do volume de ar que for colocado em seu interior. EF 3.8 Foi feita uma experiência: introduziu-se um prego em uma rolha de cortiça no sentido de seu comprimento, dessa forma, a rolha flutuou na vertical sobre a água, porém, seu volume submerso foi superior a ½ de seu volume. À medida que foi sendo colocado óleo de girassol usado sobre a água, pode-se notar facilmente que seu volume submerso diminuía até que a rolha saiu completamente da água quando a altura da coluna de óleo se tornou suficientemente grande. O resultado final levou à conclusão que o óleo possuía densidade intermediária entre a da água e a da rolha, já que, flutuando no óleo, a parte submersa do conjunto rolha mais prego foi superior a ¾ de seu volume. EF 3.9 É de se esperar que ambos, água e bloco de madeira, tendam a permanecer embaixo por inércia, o mesmo ocorrendo com o ar. Dessa maneira, segundo o princípio de Pascal, ocorrerá um acréscimo de pressão na parte submersa do bloco maior do que aquela que atuará imersa, uma vez que sua área é menor que a superfície da água, assim, o bloco tenderá a imergir um pouco mais. EF 3.10 Podemos analisar a situação com base na figura. Nela, pode-se notar que qualquer perturbação que faça com que a tora se incline terá seu efeito ampliado já que o torque não é restaurador. Em outras palavras, pode-se dizer que a posição vertical é de equilíbrio instável para a tora enquanto a posição horizontal é de equilíbrio estável. O navio se inclina porque à medida que enche d’água, seu centro de massa, bem como seu centro de sustentação, mudam de posição. GABARITO DOS PROBLEMAS DA UNIDADE 3 P 3.1 Seja “E1” o empuxo que atua na madeira, “M” a massa do bloco de madeira, “NE2“ o empuxo que atua nos pesos de latão, “m” a massa do peso de latão e “N” o número de pesos necessários para equilibrar a balança. Assim, pode-se escrever a seguinte equação: 0.21 =−−+ madlatão PNENPE Substituindo o que for possível, teremos:00 =−−+⇒=−−+ MggmNNmggMMggVNNmggV latão ar mad arlatãoarmadar ρ ρ ρ ρρρ que depois de manipulada fica: NgMNmM latão ar mad ar 06,2011 . =⇒⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ρ ρ ρ ρ Se N for igual a 1, teremos que a verdadeira massa do bloco de madeira é 20,06g. P 3.2 A figura mostra um esquema da situação proposta nessa questão. A linha pontilhada representa a interface entre os fluidos (água e mercúrio), V1 é o volume do sólido que está submerso na água, V2 é o volume submerso no mercúrio. Estando as forças que atuam no objeto, mostradas na figura, basta, agora, aplicar a segunda lei de Newton, veja: 000 21..21 2 =−−⇒=−−⇒=Σ gVgVgVEEPF HgOHobjobjy ρρρ Sabendo que V1+V2=Vobj., e cancelando a gravidade na equação, teremos, após manipulação algébrica que: ( ) ( )OHHg OHobj objVV 2 2. .2 ρρ ρρ − − = Se a densidade do objeto é ¼ da densidade do mercúrio, teremos que após a substituição dos valores, o volume que permanecerá submerso no mercúrio será 0,20, ou seja, um quinto de seu volume. P 3.3 O valor “D” indicado pelo dinamômetro é o peso do bloco de ferro e o valor “B” indicado pela balança é a massa do Becker com o líquido, portanto, “Bg” será o peso desse conjunto. Dessa forma, teremos, conforme o desenho e sabendo que a balança registra a massa, que: g DBM g gVBgM Fe lblocol ρ ρρ +=⇒ + = Sabendo que o dinamômetro registra forças, se tira que: Fe l Fel g DgDFgVDFEDFEFD ρ ρ ρ −=⇒−=⇒−=⇒+= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= Fe lDF ρ ρ 1 P 3.4 Vamos novamente identificar as forças através de um desenho (figura 3.6). Nessa situação, pode-se notar que o lado esquerdo da balança penderá devido à ação do empuxo (E) e do peso do Becker (Pb), enquanto do lado direito restarão o peso do suporte (Ps), a força (F) que na verdade equivale ao peso da esfera (Pe) subtraído do empuxo (E) e o peso da massa adicional (Pa), dessa forma teremos: esbaaesb PPPEPEPPPPE −−+=⇒−++=+ 2 Mas foi dito que o peso do Becker é igual ao peso do suporte e da esfera juntos, desta forma, teremos que: VMEP aa ρ22 =⇒= Aqui, Ma é a massa adicional, conforme pedido no enunciado e obtido dividindo-se o peso adicional pela aceleração da gravidade. P 3.5: 0,2m P 3.7: a) 38,4kN b)40,5kN c)2,35kN d)2,08kN P 3.10: 628kgF
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