aula 3 e 4

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Combinac¸o˜es Lineares
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Base, Dimensa˜o e Coordenadas
Mudanc¸a de Base
Refereˆncias
Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear II
Espac¸o Vetorial - Parte II
Docente: William R. P. Conti1
DCMar - IMar - UNIFESP
2o semestre de 2018
1e-mail: wrpconti@gmail.com
Docente: William R. P. Conti
Combinac¸o˜es Lineares
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Base, Dimensa˜o e Coordenadas
Mudanc¸a de Base
Refereˆncias
Suma´rio desta Aula
1 Combinac¸o˜es Lineares
2 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
3 Base, Dimensa˜o e Coordenadas
4 Mudanc¸a de Base
5 Refereˆncias
Docente: William R. P. Conti
Combinac¸o˜es Lineares
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Base, Dimensa˜o e Coordenadas
Mudanc¸a de Base
Refereˆncias
Definic¸a˜o e Exemplos
Subespac¸o Gerado e Geradores
1 Combinac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o e Exemplos
Subespac¸o Gerado e Geradores
2 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
3 Base, Dimensa˜o e Coordenadas
4 Mudanc¸a de Base
5 Refereˆncias
Docente: William R. P. Conti
Combinac¸o˜es Lineares
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Base, Dimensa˜o e Coordenadas
Mudanc¸a de Base
Refereˆncias
Definic¸a˜o e Exemplos
Subespac¸o Gerado e Geradores
Definic¸a˜o (Combinac¸a˜o Linear)
Sejam v1, . . . , vn elementos de um espac¸o vetorial V . Dizemos que v ∈ V e´ combinac¸a˜o linear de
v1, . . . , vn se existirem nu´meros reais a1, . . . , an tais que
v = a1v1 + · · · + anvn.
Observac¸a˜o
Sejam V um espac¸o vetorial e W ⊂ V um subespac¸o vetorial. Se w1, . . . ,wn ∈ W e b1, . . . , bn ∈ R,
enta˜o a combinac¸a˜o linear b1w1 + · · · + bnwn pertence a W.
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Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Base, Dimensa˜o e Coordenadas
Mudanc¸a de Base
Refereˆncias
Definic¸a˜o e Exemplos
Subespac¸o Gerado e Geradores
Exemplo 1. Considere o espac¸o vetorial R3, e v1 = (1, 0, 0) e v2 = (1, 1, 0) dois elementos desse
espac¸o. O vetor v = (2, 3, 0) pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear de v1 e v2, a saber,
v = −v1 + 3v2.
Exemplo 2. Considere o espac¸o vetorial R3, e v1 = (1, 0, 0) e v2 = (1, 1, 0) dois elementos desse
espac¸o. O vetor v = (2, 3,−10) NA˜O pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear de v1 e v2.
Exemplo 3. Considere o espac¸o vetorial P2(R), e p1(x) = 1, p2(x) = x e p3(x) = x2 treˆs elementos
desse espac¸o. O polinoˆmio p(x) = 2 + 5x2 pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear de p1(x), p2(x)
e p3(x), a saber,
p(x) = 2p1(x) + 0p2(x) + 5p3(x).
Exemplo 4. Considere o espac¸o vetorial P2(R), e q1(x) = 1, q2(x) = 1 + x e q3(x) = 1 + x + x2
treˆs elementos desse espac¸o. O polinoˆmio p(x) = 2 + 5x2 pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear
de q1(x), q2(x) e q3(x), a saber,
p(x) = 2q1(x)− 5q2(x) + 5q3(x).
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Refereˆncias
Definic¸a˜o e Exemplos
Subespac¸o Gerado e Geradores
Definic¸a˜o
Sejam V um espac¸o vetorial e {v1, . . . , vn} um subconjunto na˜o vazio de V . O conjunto W de todas as
combinac¸o˜es lineares de v1, . . . , vn e´ chamado subespac¸o gerado por v1, . . . , vn e e´ denotado por
W = [v1, . . . , vn]. Formalmente, escrevemos
W = [v1, . . . , vn] = {v ∈ V : v = a1v1 + · · · + anvn, ai ∈ R, 1 ≤ i ≤ n}.
Os elementos v1, . . . , vn sa˜o chamados de geradores de W.
Proposic¸a˜o
Sejam V um espac¸o vetorial e {v1, . . . , vn} um subconjunto na˜o vazio de V . W = [v1, . . . , vn] e´ um
subespac¸o vetorial de V .
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Definic¸a˜o e Exemplos
Subespac¸o Gerado e Geradores
Exemplo 5. Descreva algebricamente e geometricamente o conjunto gerado pelo vetor v = (2,−4)
(de R2).
Exemplo 6. Mostre que R2 = [(1, 1), (1,−1)].
Exemplo 7. Verifique se o subconjunto
V =
{[
a b
c d
]
: a, b, c, d ∈ R com b = c
}
,
e´ um subespac¸o deM2(R) (o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com coeficientes reais). Em
caso afirmativo, exiba um gerador.
Exemplo 8. O espac¸o S = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x2 = 0, x3 = 2x1} e´ um subespac¸o vetorial de R3.
Exiba um gerador.
Exemplo 9. O espac¸o S = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 − x2 + x3 = 0} e´ um subespac¸o vetorial de R3.
Exiba um gerador.
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Definic¸a˜o e Exemplos
Subespac¸o Gerado e Geradores
Proposic¸a˜o
Sejam S e T subconjuntos na˜o-vazios de um espac¸o vetorial V . Temos:
1. S ⊂ [S].
2. Se S ⊂ T , enta˜o [S] ⊂ [T ].
3. [[S]] = [S].
4. Se S e´ um subespac¸o vetorial, enta˜o S = [S].
5. [S ∪ T ] = [S] + [T ].
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Definic¸a˜o e Exemplos
Subespac¸o Gerado e Geradores
Definic¸a˜o
Dizemos que um espac¸o vetorial V e´ finitamente gerado se existir um subconjunto finito S ⊂ V tal que
V = [S].
Sa˜o exemplos de espac¸os vetoriais finitamente gerados:
1. Pn(R) = [1, x, . . . , xn].
2. Rn e´ gerado por e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1).
Ja´ P(R), o espac¸o vetorial formado por todos os polinoˆmios com coeficientes reais, NA˜O e´
finitamente gerado.
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Propriedades
1 Combinac¸o˜es Lineares
2 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Definic¸a˜o e Exemplos
Propriedades
3 Base, Dimensa˜o e Coordenadas
4 Mudanc¸a de Base
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Propriedades
Definic¸a˜o
Seja V um espac¸o vetorial e v1, . . . , vn ∈ V. Dizemos que o conjunto {v1, . . . , vn} e´ linearmente
independente (l.i., abreviadamente), ou que os vetores v1, . . . , vn sa˜o l.i., se a combinac¸a˜o linear
a1v1 + · · · + anvn = O
so´ for satisfeita se a1 = · · · = an = 0.
Observac¸a˜o
Note que, se a1 = · · · = an = 0, enta˜o a1v1 + · · · + anvn = O. Pore´m, a recı´proca nem sempre e´ va´lida:
basta ver que, por exemplo, em R2 temos 1(1, 1) + 1(−1,−1) = (0, 0).
Observac¸a˜o
A noc¸a˜o de independeˆncia linear para conjunto {v1, . . . , vn} equivale a dizer que se ai 6= 0 para algum
i ∈ {1, . . . , n}, enta˜o a1v1 + · · · + anvn 6= O.
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Propriedades
Definic¸a˜o
Seja V um espac¸o vetorial e v1, . . . , vn ∈ V. Dizemos que o conjunto {v1, . . . , vn} e´ linearmente
dependente (l.d., abreviadamente) se na˜o for linearmente independente.
Observac¸a˜o
A definic¸a˜o de dependeˆncia linear para o conjunto {v1, . . . , vn} e´ equivalente a dizer que e´ possı´vel
encontrar nu´meros reais a1, . . . , an na˜o todos nulos tais que a1v1 + · · · + anvn = O.
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Definic¸a˜o e Exemplos
Propriedades
Exemplo 10. Os vetores (1, 0) e (0, 1) de R2 sa˜o l.i..
Exemplo 11. Os vetores (1, 0), (0, 1) e (3, 4) de R2 sa˜o l.d..
Exemplo 12. Os vetoresO, v1, . . . , vn de um espac¸o vetorial V sa˜o l.d..
Exemplo 13. Os vetores (1, 1, 1), (1, 1, 0) e (1, 0, 0) de R3 sa˜o l.i..
Exemplo 14. Considere os vetores em R3 dados por
v1 = (x1, y1, z1), v2 = (x2, y2, z2), v3 = (x3, y3, z3).
Encontre uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que o conjunto {v1, v2, v3} seja l.i..
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Propriedades
Exemplo 15. Verifique se as matrizes(
1 0
0 1
)
,
(
1 1
0 1
)
,
(
0 1
0 0
)
sa˜o l.i. emM2(R). (sa˜o l.d.)
Exemplo 16. Verifique se as func¸o˜es sin e cos sa˜o l.d. em C1(R;R). (sa˜o l.i.)
Exemplo 17. Verifique se as func¸o˜es sin2, cos2 e 1 sa˜o l.d. em C1(R;R). (sa˜o l.d.)
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Proposic¸a˜o
Se v1, . . . , vn sa˜o l.d. em um espac¸o vetorial V , enta˜o pelo menos um destes vetores se escreve como
combinac¸a˜o linear dos outros.
Proposic¸a˜o
Se v1, . . . , vn em V sa˜o l.d., enta˜o qualquer sequ¨eˆncia finita de vetores de V que os contenha tambe´m
sera´ l.d..
Proposic¸a˜o
Se v1, . . . , vn, vn+1, . . . , vm sa˜o l.i. em um espac¸o vetorial V , enta˜o qualquer subsequ¨eˆncia destes
vetores tambe´m e´ l.i..
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Proposic¸a˜o
Se v1, . . . , vn sa˜o l.i. em um espac¸o vetorial V e v1, . . . , vn, vn+1 sa˜o l.d., enta˜o vn+1 e´ combinac¸a˜o linear
de v1, . . . , vn.
Proposic¸a˜o (Unicidade)
Sejam v1, . . . , vn vetores l.i. em um espac¸o vetorial V . Enta˜o, cada vetor v ∈ [v1, . . . , vn] se escreve de
maneira u´nica como v = a1v1 + · · · + anvn.
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Dimensa˜o
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A noc¸a˜o de base de um espac¸o vetorial e´ muito simples. Ela consiste em escolher um conjunto de
geradores que seja o menor possı´vel, isto e´, um conjunto que gere o espac¸o, mas que se deste conjunto
for subtraı´do qualquer elemento, o que resta na˜o gera mais o espac¸o todo.
Vejamos a definic¸a˜o precisa de base.
Definic¸a˜o
Seja V 6= {O} um espac¸o vetorial finitamente gerado. Uma base b de V e´ uma sequ¨eˆncia de vetores l.i.
de V que gera V .
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Base
Dimensa˜o
Coordenadas
Exemplo 18. Os vetores de b = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} formam uma base de R3.
Exemplo 19. Os vetores de b = {e1, e2, . . . , en}, em que
e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1) sa˜o vetores com n entradas, formam
uma base de Rn.
Exemplo 20. Os vetores (1, 1) e (1,−1) formam uma base de R2.
Exemplo 21. As matrizes em
b =
{(
1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
formam uma base deM2(R).
Exemplo 22. Os elementos de b = {1 + x, 1− x, 1− x2} formam uma base de P2(R).
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Base
Dimensa˜o
Coordenadas
Proposic¸a˜o
Seja {v1, . . . , vn} uma base de V. Enta˜o {v1, . . . , vn−1} na˜o e´ uma base de V.
Teorema
Todo espac¸o vetorial V 6= {O} finitamente gerado admite uma base. Em outras palavras, ha´ uma
sequ¨eˆncia de vetores l.i. de V formada por geradores.
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Dimensa˜o
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Teorema
Em um espac¸o vetorial V 6= {O} finitamente gerado, toda base possui o mesmo nu´mero de elementos.
Definic¸a˜o
Seja V um espac¸o vetorial finitamente gerado. Se V = {O}, definimos a dimensa˜o de V como sendo 0.
Se V 6= {O}, definimos a dimensa˜o de V como sendo o nu´mero de elementos de uma base qualquer de
V . Usaremos o sı´mbolo dimV para designar a dimensa˜o de V .
Definic¸a˜o
Se um espac¸o vetorial na˜o e´ finitamente gerado, dizemos que V possui dimensa˜o infinita.
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Dimensa˜o
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Proposic¸a˜o
Em um espac¸o vetorial de dimensa˜o m, qualquer sequ¨eˆncia de vetores com mais de m elementos e´
linearmente dependente.
Proposic¸a˜o
Todo subespac¸o vetorial de um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita tambe´m tem dimensa˜o finita.
Proposic¸a˜o
Se V e´ um espac¸o vetorial n-dimensional e v1, . . . , vn sa˜o vetores de V linearmente independentes,
enta˜o estes vetores formam uma base de V.
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Dimensa˜o
Coordenadas
Exemplo 23. dimRn = n.
Exemplo 24. A dimensa˜o de P(R) e´ infinita.
Exemplo 25. dimPn(R) = n + 1.
Exemplo 26. dimMm×n(R) = mn.
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Base
Dimensa˜o
Coordenadas
Extra - Dimensa˜o de Soma de Subespac¸os Vetoriais
Teorema (Teorema do Completamento)
Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o n. Se os vetores v1, . . . , vr , em que r < n, sa˜o l.i. em V, enta˜o
existem vr+1, . . . , vn tais que v1, . . . , vr , vr+1, . . . , vn formam uma base de V.
Este resultado e´ utilizado para demonstrar o seguinte:
Proposic¸a˜o
Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita. Se U e W sa˜o subespac¸os vetoriais de V , enta˜o
dimU ≤ dimV e dimW ≤ dimV. Ale´m disso,
dim(U + W ) = dimU + dimW − dim(U ∩W ).
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Base
Dimensa˜o
Coordenadas
Sejam V um espac¸o vetorial finitamente gerado e b uma base de V formada pelos vetores
v1, . . . , vn. Como b e´ uma base de V , todo elemento de v ∈ V se escreve como
v = a1v1 + · · · + anvn,
com coeficientes a1, . . . , an ∈ R. Pela Proposic¸a˜o “Unicidade”,
enunciado da Proposic¸a˜o “Unicidade”
os coeficientes a1, . . . , an sa˜o unicamente determinados pelo vetor v . Estes coeficientes sa˜o
denominados coordenadas de v em relac¸a˜o a` base b. Representaremos as coordenadas de v em
relac¸a˜o a` base b como
[v ]b =

a1
...
an
 .
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Mudanc¸a de Base
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Base
Dimensa˜o
Coordenadas
Exemplo 27. Considere o espac¸o vetorial V = R2, e o elemento v = (4, 3) ∈ R2. Em relac¸a˜o a`
base b = {(1, 0),(0, 1)},
[v ]b =
[
4
3
]
.
Em relac¸a˜o a` base c = {(1, 1), (0, 1)},
[v ]c =
[
4
−1
]
.
Exemplo 28. Mostre que os vetores (1, 1, 1), (0, 1, 1) e (0, 0, 1) formam uma base de R3. Encontre
as coordenadas de (1, 2, 0) ∈ R3 em relac¸a˜o a` base b formada pelos vetores acima.
Exemplo 29. Mostre que os polinoˆmios 1, x e x2 − x formam uma base de P2(R). Encontre as
coordenadas de 1 + x + x2 em relac¸a˜o a` base b formada pelos polinoˆmios acima. Encontre tambe´m as
coordenadas deste mesmo polinoˆmio em relac¸a˜o a` base formada pelos polinoˆmios 1, x e x2.
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Matriz de Mudanc¸a de Base
A Inversa da Matriz de Mudanc¸a de Base
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Matriz de Mudanc¸a de Base
A Inversa da Matriz de Mudanc¸a de Base
5 Refereˆncias
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Matriz de Mudanc¸a de Base
A Inversa da Matriz de Mudanc¸a de Base
Sejam b = {v1, . . . , vn} e c = {w1, . . . ,wn} duas bases ordenadas de um mesmo espac¸o vetorial
V . Dado um vetor v ∈ V , podemos escreveˆ-lo como
v = x1v1 + · · · + xnvn ⇔ [v ]b =

x1
...
xn

e
v = y1w1 + · · · + ynwn ⇔ [v ]c =

y1
...
yn
 .
Ja´ que b = {v1, . . . , vn} e´ uma base de V , podemos escrever os vetores wi como combinac¸a˜o linear dos
vj , isto e´, 
w1 = a11v1 + a21v2 + · · · + an1vn
w2 = a12v1 + a22v2 + · · · + an2vn
...
wn = a1nv1 + a2nv2 + · · · + annvn
.
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Mudanc¸a de Base
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Matriz de Mudanc¸a de Base
A Inversa da Matriz de Mudanc¸a de Base
Isso implica que
v = y1w1 + · · · + ynwn
= (a11y1 + a12y2 + · · · + a1nyn)v1 + · · · + (an1y1 + an2y2 + · · · + annyn)vn.
Mas v = x1v1 + · · · + xnvn, e como as coordenadas em relac¸a˜o a uma base sa˜o u´nicas, temos que
x1 = a11y1 + a12y2 + · · · + a1nyn
x2 = a21y1 + a22y2 + · · · + a2nyn
...
xn = an1y1 + an2y2 + · · · + annyn
.
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Matriz de Mudanc¸a de Base
A Inversa da Matriz de Mudanc¸a de Base
Definindo
[I]cb =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
...
...
...
...
an1 an2 an3 · · · ann
 ,
temos
[v ]b = [I]
c
b [v ]c .
A matriz [I]cb e´ chamada matriz de mudanc¸a da base c para a base b.
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Matriz de Mudanc¸a de Base
A Inversa da Matriz de Mudanc¸a de Base
Exemplo 30. Sejam b = {(2,−1), (3, 4)} e c = {(1, 0), (0, 1)} duas bases ordenadas de R2. Para
montar a matriz [I]cb , fazemos:
1. w1 = (1, 0) = a11(2,−1) + a21(3, 4) ⇒ a11 = 4/11 e a21 = 1/11;
2. w2 = (0, 1) = a12(2,−1) + a22(3, 4) ⇒ a12 = −3/11 e a22 = 2/11.
Portanto,
[I]cb =
[
a11 a12
a21 a22
]
=
[
4/11 −3/11
1/11 2/11
]
.
Podemos usar esta matriz para encontrar, por exemplo, [v ]b para v = (5,−8):
[(5,−8)]b = [I]cb [(5,−8)]c
=
[
4/11 −3/11
1/11 2/11
][
5
−8
]
=
[
4
−1
]
,
isto e´, (5,−8) = 4(2,−1)− 1(3, 4).
Docente: William R. P. Conti
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Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Base, Dimensa˜o e Coordenadas
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Matriz de Mudanc¸a de Base
A Inversa da Matriz de Mudanc¸a de Base
Exemplo 31. Consideremos em R2 a base b = {e1, e2} e a base c = {f1, f2}, obtida da base
canoˆnica b pela rotac¸a˜o de um aˆngulo θ. Dado um vetor v ∈ R2 de coordenadas
[v ]b =
[
x1
x2
]
em relac¸a˜o a` base b, quais sa˜o as coordenadas
[v ]c =
[
y1
y2
]
em relac¸a˜o a` base c? Temos enta˜o
v = x1e1 + x2e2
= y1f1 + y2f2
e queremos calcular
[v ]c = [I]
b
c [v ]b,
ou seja, temos de achar a matriz [I]bc . Para isto, devemos escrever e1 e e2 em func¸a˜o de f1 e f2:
e1 = cos θ f1 − sin θ f2 e e2 = sin θ f1 + cos θ f2.
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Matriz de Mudanc¸a de Base
A Inversa da Matriz de Mudanc¸a de Base
Portanto,
[I]cb =
[
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
]
,
donde [
y1
y2
]
=
[
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
][
x1
x2
]
,
ou seja,
y1 = cos θ x1 + sin θ x2 e y2 = − sin θ x1 + cos θ x2.
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Se voltarmos ao inı´cio da subsec¸a˜o anterior (slide 42) e comec¸armos escrevendo os ui em func¸a˜o
dos wj , chegaremos a` relac¸a˜o
[v ]c = [I]
b
c [v ]b.
Um fato importante e´ que as matrizes [I]bc e [I]
c
b sa˜o inversı´veis e
([I]cb)
−1 = [I]bc .
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Refereˆncias
Refereˆncias
[1] J. L. Boldrini, S. I. R. Costa, V. L. Figueiredo e H. G. Wetzler, ”A´lgebra Linear”. Editora Harbra Ltda., 3a
edic¸a˜o.
[2] Serge Lang, “Linear Algebra”. Springer Verlag, New York, 3a edic¸a˜o, 1987.
[3] David Poole, ”A´lgebra Linear”. Cengage Learning, 5a reimpressa˜o da 1a ed. de 2004, 2012.
[4] Reginaldo J. Santos, “Um Curso de Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear”. Imprensa Universita´ria da
UFMG, Belo Horizonte, 2012. Disponı´vel no site do Prof. Reginaldo:
http://www.mat.ufmg.br/~regi/livros.html
[5] Se´rgio Luı´s Zani, “A´lgebra Linear”. Disponı´vel no site do Prof. Zani:
http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/szani/alglin.pdf
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	Combinações Lineares
	Definição e Exemplos
	Subespaço Gerado e Geradores
	Dependência e Independência Linear
	Definição e Exemplos
	Propriedades
	Base, Dimensão e Coordenadas
	Base
	Dimensão
	Coordenadas
	Mudança de Base
	Matriz de Mudança de Base
	A Inversa da Matriz de Mudança de Base
	Referências