CIRCUITOS-ELÉTRICOS_II

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NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CIRCUITOS ELETRICOS II 
Prof. Acácio 
Referencias Bibliográficas: 
 
1. INTRODUÇAO AOS CIRCUITOS ELÉTRICOS – DORF, RICHARD C.; 
SVOBODA, JAMES A. Ed. LTC ( 6ª. ou 7ª. ou 8ª. Ed. ) 
 
2. INTRODUÇÃO A ANALISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS – BOYLESTAD, 
ROBERT; Ed. PEARSON PREN HALL 
 
3. CIRCUITOS ELÉTRICO – NILSOM – RIEDEL 8ª. Ed. Ed;. PEARSPON – PREN 
HALL. 
 
5. CIRCUITOS LINEARES – CLOSE, CHARLES; Ed. LTC 
 
5. ANALISE BÁSICA DE CIRCUITOS PARA ENGENHARIA, IRWIN, J. DAVI, Ed. 
LTC. 
 
6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ELEMENTARES E PROBLEMAS DE VALORES 
DE CONTORNO – BOYDE, WILLIAM E, DIPRIMA, RICHARD C. LTC 
 
 
Revisão de solução de equações diferenciais elementares de ordem 2: 
 
     
0;1)0(2
0
2
2







t
td
tyd
yt
td
tyd
td
tyd
 
 
        0;0)0(;23
0
2
2
2









t
t
td
tyd
yety
td
tyd
td
tyd
 
 
        0;0)0(;.102
0
2
2









t
t
td
tyd
yetty
td
tyd
td
tyd
 
 
          0;0)0(;244
0
2
2







t
td
tyd
ytsenty
td
tyd
td
tyd
 
 
 
 
 
 
 
   
k
ty
td
tyd
 
 
        1;0)0(;22
0
2
2
2







t
td
tyd
ytty
td
tyd
td
tyd
 
Separando as variáveis temos: 
 
  
td
kty
tyd


 
 
 
Integrando ambos os membros teremos: 
 
 
 
 
Dtd
kty
tyd

  
1 
 
Onde D é uma constante de integração. A solução da equação acima é: 
 
   Dtkty  ln
 
 
Explicitando y(t) teremos: 
 
   /teAkty  
 
 
Onde A = eD é uma constante que depende da condição inicial y(0+). 
 
ANLISE DE CIRCUITOS DE 1ª. ORDEM 
 
 
Os circuitos que contem capacitores e indutores, além de resistores podem ser 
representados por equações diferencias. Os circuitos, que em geral, apresentam apenas 
um indutor e nenhum capacitor, ou um capacitor e nem um indutor, com os demais 
componentes são representados por uma equação diferencial de primeira ordem. Daí são 
chamados “circuitos de 1ª. ordem". 
 
Portanto faz-se necessário rever problemas de equações diferenciais tanto de primeira 
ordem, quanto de segunda ordem. Segue então alguns problemas abordando tais 
assuntos: 
 
 
 
RESPOSTA LIVRE, RESPOSTA NATURAL OU 
COMPORTAMENTO NATURAL DO CIRCUITO. 
 
 
A resposta natural ou comportamento natural de um circuito é a solução da equação 
diferencial homogênea que representa o circuito, ou seja, quando a entrada (fonte de 
alimentação) do circuito é nula, ou simplesmente o circuito responde a energia 
armazenadas previamente em um dos dois componentes armazenadores de energia: 
capacitor ou indutor. 
 
 
 
 
L
CiL(t)
+ vL(t) -
iC(t)
+ vC(t) -
 
 
 
 
 
 
       
           





0
1
0
1
11
00
C
t
CCL
t
LL
t
CC
t
LL
C
C
L
L
vtdti
C
tvitdtv
L
ti
tdti
C
tvtdtv
L
ti
td
tvd
Cti
td
tid
Ltv
 
 
TEOREMA 3.3.1 
 
Se todas as tensões e correntes permanecerem finitas, a tensão nos terminais de uma 
capacitância e a corrente passando por uma indutância não se poderão alterar 
instantaneamente. 
 
)0()0()0()0(
  LLCC iievv
 
 
TEOREMA 3.3.2 
 
A tensão nos terminais de uma capacitância e a corrente que passa por uma indutância 
devem sempre permanecer finitas. 
 
 
 
 Suponha que, em algum instante no passado, uma carga tenha sido colocada na 
capacitância do circuito abaixo, tal que vC(0+) = A volts. Se a chave fecha em t = 0, 
determinar vC(t) para todo t > 0. 
 
 
 
1 
R C 
t = 0
+ 
vC(t)
-
R C 
t > 0
+ 
vC(t)
-
iR(t)
vC(t)
t (u.t)
vC( 0+ )
T
0,37.vC(0+)
 
 
 
Escrevendo uma equação de nó para o circuito acima: 
 
 
 
  RCtC
C
C eAtvésoluçãocuja
td
tvd
Ctv
R
/
.:0
1 
 
 
Onde T = RC é denominada “constante de tempo do circuito”, que é o tempo necessário 
para que a resposta do circuito atinja aproximadamente 37% do seu valor inicial. 
 
 
 
 Para T < 0 a chave esta na posição inferior e vC(t) = 0. Em t = 0 a chave é acionada 
 para a posição superior, de maneira que i(t) igual a 1 A. Determinar vC(t) para todo 
 t > 0. 
 
R C 
t = 0
+ 
vC(t)
-
iR(t)
1 A
iC(t)
t (u.t.)
Rx1
vC(t)
0,63 x R
T
 
 
Escrevendo uma equação de nó para o circuito acima: 
 
 
 
 
   RCtCCC eRtvésoluçãocuja
td
tvd
Ctv
R
/
1.:1
1 
 
 
Onde T = RC é denominada “constante de tempo do circuito”, que é o tempo necessário 
para que a resposta do circuito atinja aproximadamente 63% do seu valor final. 
 
 
 
2 
 
 Determinar a corrente no indutor após o fechamento da chave em t = 0; qual o valor 
da corrente após t = 35 μs? 
 
  5/44 tL eti

 
5 mH1 kΩ
t = 0 
4 mA
iL(t)
 
 
 
 
0
4
35
t (μs)
0
iL(t) mA
Resposta completa
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
FUNÇÕES SINGULARES ELEMENTARES 
 
U-1(t)
1
0
t
Função Degrau Unitário: U-1(t) Ξ u (t)
t
5
5
U-2(t)
Função Rampa Unitária: U-2(t)
Tan ( a  = 1
a 
 
 
 
 
 
 
 
 










 
0
00
01
00
21
tt
t
tU
t
t
tU
 
 
Função Impulso Unitário: U0(t) Ξ δ(t)
Δ
1
Δ
f(t)
0
t
Δ → 0 1
U0(t)
0
t
K
0
t
U0( t – a )
a
∞∞
 
     
 
 
 
 
 











 atK
at
atU
t
t
tUtUtf
0
01
00
lim 000
 
 
 
TEOREMA 3. 
 
Um impulso unitário de corrente entrando em uma capacitância descarregada altera sua 
tensão instantaneamente para 
C
1
 volts, enquanto um impulso unitário de tensão 
aplicado nos terminais de uma indutância descarregada, altera a corrente que passa por 
ela instantaneamente para 
L
1
 amperes. 
 
;1)0(;0)0(;1)0(;0)0(
L
iie
C
vv LLCC 
 
 
 
Resposta as funções singulares 
 
 
 
 Para os circuitos abaixo determinar as respostas ao degrau e ao impulso unitários 
 
 
iC(t)
r(t) = R ( 1 – e- t/RC ).U-1(t)
h(t) = 1 / C . e- t/RC .U-1(t)
 
R C 
+ 
vC(t) = ?
-
i(t)
R
Lv (t)
r(t) = 1 / R .( 1 - e- (R/L).t ) .U-1(t)
h(t) = 1 / L . e- (R/L).t . U-1(t)
 
Circ 1 Circ 2
 
 
Para os circuitos abaixo determinar as respostas ao degrau e ao impulso unitários 
 
 
L R
C
v(t)
R
i(t) = ?
+
v(t) = ?
-
i(t)
r(t) = 1 / R . e- t/RC . U-1(t) 
 
h(t) = 1 / R . U0(t) – 1 / (R2C) e
- t/RC .U-1(t) 
r(t) = R . e- (R/L).t .U-1(t)
 h(t) = R . U0(t) – R2 / L e
- (R/L).t .U-1(t) 
Circ 3 Circ 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Resposta ao degrau: r(t) 
 
 Determinar a corrente no indutor para todo t > 0, sabendo que a chave fecha no 
 instante t = 0. 
 
R
L
5 V
t = 0
iL(t)
R
L
5 V
t > 0
iL(t)
t (u.t.)
iL(t)
R
5.63,0
R5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 Determinar a tensãov0(t) no capacitor para qualquer instante de tempo t para a 
 fonte de tensão especificada. 
 
       038,4;076,838,4 0
16,1
0 
 ttvtetv t
 
 
 
 
3 Ω
5 Ω
vF(t)
460 mF
+
v0(t) = ?
-
vF(t) = 7 – 14 . U -1 (t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
 
 
 Determine e esboce as respostas ao degrau e ao impulso unitários para o circuito 
 abaixo. ( utilize também o teorema de Norton ). 
 
 tUe
RR
R
tr
RCt
1
21
2
1)( 












 
 
R2 C
R1
+
vC(t) = ?
-v1(t)
 
 
 
r(t)
0
t
R2
R1 + R2
h(t)
0
t
1
R1.C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 Se no circuito abaixo a chave K1 se fechar e a chave K2 permanecer aberta, i1(t) irá 
 eventualmente se aproximar de 1 / R1 = ½ A. Admitindo que K1 tenha sido fechada 
há bastante tempo, e K2 se fecha em t= 0, determinar a corrente i1(t) para todo t > 0. 
 
2 H
2 Ω 2 Ω
1 V
t = 0 t = 20 s
i1(t)
K1 K2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 Determinar a tensão v0(t) para todo t > 0, se: 
 a) v1(t) = 1 V para todo t > 0 e vC ( 0+ ) = 0; 
 b) v1(t) = 1 V para todo t > 0 e vC ( 0+) = 2; 
 
 
1/ 2 F
2 Ω 2 Ωv1(t)
+
 v0(t)
-
+ vC(t) -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 Determinar a corrente iL(t) para a forma de onda de v1(t) ao lado 
 
 
 
1 F
v1(t)
5 H
1 Ω
iL(t)
t
5 10
v1(t)
0
1
12
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 Determinar a corrente i1(t) e a tensão v0(t) para todo t > 0, e fazer um esboço em 
 escala. 
 
2 H
2 Ω
1 F
1 Ω
t = 0
6 V
i1(t)
+ v0(t) -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 No circuito abaixo v0(0+) = 2 volts. Se a chave fecha em t = 0, determine a 
 tensão no capacitor v0(t) para todo t > 0. 
  )().46()(;
2
4
1
2
0
2 tUetveti ttc 
 
 
 
2 Ω
1 / 4 F
6 V
t = 0 +
v0(t)
-
 
 
 
2 Ω
1 / 4 F
6 V
t = 0 +
v0(t)
-
+
-2 U –1 (t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 Determine a resposta ao degrau unitário para o circuito abaixo usando o 
 Teorema de Norton. 
 tUetr
t
1
9
.2
12
5
4
3
)( 










 
 
3 Ω 4 F
1 Ω
2 F
v1(t)
+ 
v0(t)
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 Determinar a tensão no capacitor depois que a chave é aberta em t = 0; qual o 
 valor da tensão no capacitor 50 ms após a abertura da chave? 
 
10 kΩ
8 V
+
v0(t)
-
2 μF 2 V
t = 0
 
 
 
 
2
8
150
t (ms)
0
v0(t)
Resposta completa
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 O circuito abaixo opera no regime estacionário. No instante t = 0 a chave abre. 
 Determinar a corrente i0(t) para todo t > 0. 
  Aeti t 120/0 7,167,66  
 
2 μF
2 V
8 V
60 k Ω 30 k Ω
60 k Ω
i0(t)
( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 Determinar a tensão no capacitor v0(t) para qualquer instante de tempo t, 
 sabendo que o mesmo opera no regime de estado estacionário. No instante 
t = 20 ms a chave fecha e permanece fechada; no instante t = 90 ms a chave abre e 
assim permanece. 
 30 kΩ 150 kΩ
60 kΩ
0,5 μF12 V
+
v0(t)
-
t = 20 ms
t = 90 ms
 
 
 
20 90
t (ms)
3
8
30
τ1 = 10 ms τ2 = 22,5 ms
112,5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 O circuito abaixo opera no regime estacionário quando no instante t = 0, a chave 
 abre. Determinar a corrente no indutor i0(t) para todo ≥ 0. 
 
 3 kΩ
9 V
6 kΩ
t = 0
i0(t)
5 H 5 mA 2 kΩ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 O circuito abaixo opera no regime estacionário quando no instante t = 0, a chave 
 abre. Determinar a tensão no capacitor v0(t) para todo ≥ 0. 
 
30 kΩ
6 V
60 kΩ 5 μF
t = 0
60 kΩ
36 V
+
v0(t)
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 O circuito abaixo opera no regime estacionário quando no instante t = 0 a chave 
 é fechada. Determinar a corrente no indutor i0(t) para todo t ≥ 0. 
 
2 H
20 V
5 Ω
20 Ω
5 Ω
18 Ω
2 A
i0(t)
t = 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 O circuito abaixo opera no regime estacionário quando no instante t = 0 a chave 
 é fechada. Determinar a corrente no indutor para todo t > 0. 
 
  Aeti tL
2
.2,03,0

 
 16 Ω
10 Ω
40 Ω
20 H
12 V
t = 0
iL(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 O circuito abaixo opera no regime estacionário quando no instante t = 0 a chave 
 é fechada. Determinar a tensão v0(t) para todo t > 0. 
 
   08 8,10 
 tVetv t
 
 
10 Ω
10 Ω
40 Ω
25 H
18 V
t = 0+
v0(t)
-
iL(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 Determinar a tensão no capacitor v0(t) para todo t ≥ 0, sabendo que a chave 
 fecha no instante t = 0. 
 
 6 Ω
3 Ω
10 Ω
12 Ω
18 V
1 / 24 F
+
v0(t)
-
t = 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 O circuito abaixo opera no regime estacionário quando no instante t = 0 a chave 
 é fechada. Determinar a corrente no indutor iL(t) para todo ≥ 0. 
 
 
3,5 H
24 V
 
5 Ω
20 Ω
20 Ω
20 Ω
 
t = 0
iL(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 Se o circuito abaixo não contiver energia inicialmente armazenada, determine a 
 resposta ao impulso unitário. 
 
 
5 H
3 Ω
3 Ω
i1(t)
+
v0(t) = ?
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
Relação entre as funções singulares e entre suas respostas 
 
 
 
d (...)
dt
U -1 (t) U 0(t)
Cir.L
d (...)
dt
r (t)
Cir.L
h (t)Determinar a resposta ao degrau e ao impulso unitários para o circuito abaixo. 
 
 
 
2 H
2 Ω
i1(t)
1 H
4 Ω
+ 
v0(t) = ?
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 O circuito opera normalmente há bastante tempo, quando em t = 0 a chave 
 fecha. Determinar a corrente passando pela chave i0(t) para todo t > 0. 
 
 
½ F
1 Ω
2 Ω
+
vC(t)
-
t = 0
i0(t) = ?
4 A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 Determinar a resposta ao impulso unitário para o circuito abaixo 
 
 
 
2 H
4 Ω½ F
1 Ω
+
v0(t) = ?
-
i1(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 O circuito abaixo opera no regime estacionário. Determinar a tensão v0(t) para 
 todo t > 0. 
 
   0.12.20 23/100 
 tVeetv tt
 
4 Ω
2 / 5 H 2 Ω
12 V
+
v0(t)
-
i2(t)
i2(t) = 6 . e 
– 2 t . U-1(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 O circuito abaixo opera no regime estacionário quando no instante t = 0 a chave 
 é fechada. Determine a tensão no resistor de 24 Ω v0(t) para todo t > 0. 
 
8 mH24 Ω
v1(t)
6 Ω
t = 0
v1(t) = 25 . sen ( 4.000 t ) U -1(t)
5 mA
+ v0(t) -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 O gráfico ao lado do circuito mostra a tensão no indutor em função do tempo. 
 a) Determine a equação que representa a tensão no indutor em função do tempo; 
b) determine o valor do resistor R; c) determine a equação que representa a corrente no 
indutor em função do tempo. 
 
 
4 H
5 Ω
12 V 6 V
R Ω
+
vL(t)
-
iL(t)
t = 0
4
vL(t) V
0 0,4
t(seg)
2
0,14
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 O circuito abaixo opera no regime estacionário, e no instante t = 0 a chave ch1 
 passa da posição p1 para a posição p2, e no instante t = 1 ms a chave ch2 abre. 
Determinar a corrente no indutor para todo t > 0 e o seu valor no instante t = 1 ms. (pag. 
4 do Visio ) 
 
      68,31.68,3 2/1   tiAeti L
t
L
 
 
10 A
2 mH 2 Ω 2 Ω
t = 0 t = 1 ms
iL(t)
p1
p2
ch1 ch2
 
 
 
10
iL(t) V
4
t(ms)
3,68
1
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 O circuito abaixo opera no estado permanente estacionário quando em t = 0 a 
 chave abre. Determinar a corrente no indutor iL(t) para todo t > 0. 
 
   0.5.3 24   tAeeti ttL
 
 
t = 0
5 Ω 4 Ω
1 H
10 V
vs(t)
iL(t)
vs(t) = 10 . e 
- 2 t. U-1(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 Se a capacitância no circuito abaixo estiver descarregada para t < 0, determinar 
 v0(t) para todo t > 0, quando: a) i1(t) = U-1(t); b) i1(t) = cos (  t ). U-1(t) 
 
 
RC
i1(t)
+
v0(t)
-
 
 
 
    tsenCRt
CR
R
eKtv RCt  .cos1.)( 2/0  
 
 
  21 CR
R
K


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 Determinar a tensão v0(t) para todo t > 0. 
 
     ttsenetv t 2cos
17
160
2
17
40
17
160 2/
0 

 
 
 
+
v0(t)
-
4 Ω1/2 FiF(t)
iF(t) = [ 10 sen ( 2 t ) ] . U-1(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 Determinar a tensão no capacitor v0(t) para todo t ≥ 0. 
 
 
 
+ 
v0(t)
-
20 Ω
120 Ω
10 Ω
50 Ω
1 m F
20 U-1(t) A
8 Ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 Determinar a tensão no capacitor v0(t) para todo t ≥ 0. 
 
 5 Ω
20 V
5 Ω
20 Ω
4 Ω
18 Ω 20 mF
+
v0(t)
-
i(t) = 2.U-1(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 Determinar a corrente no indutor i0(t) para todo t ≥ 0. 
 
 
 
12 U-1(t) 
2 H
12 Ω
 
24 Ω
18 Ω
2 A
24 Ω
i0(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 Determinar a corrente i0(t) para todo t ≥ 0. 
 
 
i0(t)
vF(t) = 30 – 24 . U-1(t)
20 H
100 Ω
vF(t)
50 Ω
100 Ω 5 H
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 Determinar a tensão v0(t) para todo t ≥ 0. 
 
 0,25 H3 Ω
3 Ω
3 Ω
+
v0(t)
-
iF(t) = 2 + 4 . U-1(t)
iF(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 O circuito abaixo opera no regime estacionário. No instante t = 0 ambas as 
 chaves são acionadas no sentido determinado. Determinar a tensão v0(t) para 
todo t ≥ 0. 
 
   0.5,975,37 400.60 
 tVetv t
 
0,1 H
100 V
400 Ω
600 Ω
400 Ωt = 0
0,5 A
t = 0
iL(t)
+
v0(t)
-
ch2ch1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
COMUTAÇÃO SEQÜENCIAL 
 
 
 O circuito abaixo opera no regime estacionário quando no instante t = 0, a chave 
 fecha. A chave permanece fechada por um tempo t = 1,5 segundos e em seguida 
é aberta. Determinar a corrente no indutor i0(t) para todo ≥ 0. 
 
   
     5,1.53,03
5,102
5,1667,0
5,0




tAeti
tAeti
t
L
t
L 
 
4 Ω
4 Ω
4 Ω
24 V
i0(t)
t = 0
12 H
t = 1,5 
s
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 O circuito abaixo opera no regime estacionário quando no instante t = 0, a chave 
 ch1 fecha. A chave ch2 abre no instante t = 51 ms e permanece aberta. 
Determinar a corrente i1(t) para todo ≥ 0. 
 1 H
6 Ω
6 Ω 12 Ω 2 Ω
52 V
t = 0 t = 51 ms
iL(t)
i1(t)
ch1 ch2
 
 
 
 
   
     51.47,1
510.
3
2
051,014
6
1




tAeti
tAeti
t
L
t
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 Determinar a resposta ao degrau unitário e à rampa unitária para o circuito 
 abaixo. 
 
1 Ω
½ Ω
1 F
+
v0(t) = ?
-
i2(t)
iB(t)
i1(t)
i2(t) = 4 . iB(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43O circuito abaixo contém uma fonte controlada de corrente controlada por 
 corrente e opera no regime estacionário quando em t = 0 a chave abre. 
Determinar a tensão no capacitor v0(t) para todo t ≥ 0. 
 
   0.18.4 590 
 tVeetv tt
 
 
3 Ω
1 / 36 F
v1(t)
12 Ω
t = 0
38,5 Vi2(t)
i2(t) = 2.iA(t) v1(t) = 8. e 
- 5 t . U-1(t) 
iA(t)
+
v0(t)
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 Se o circuito abaixo não contem energia armazenada para t < 0, determinar a 
 resposta ao degrau unitário. 
 
3 Ω4 Ω
1 F
6 Ω
i1(t)
iB(t)
4 Ω
1 F
2 Ω
i0(t) = ?
i2(t)
i2(t) = 10 . iB(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 Determinar a tensão no capacitor v0(t) para todo t ≥ 0. Observe que a fonte de 
 alimentação possui duas componentes. 
 
 
 
96 Ω
120 Ω
32 Ω
30 Ω
5 + 15 . U-1(t) V
12,5 m F
+ 
v0(t)
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 Determinar a corrente no indutor i0(t) para todo t > 0. 
 
 6 Ω
vB(t)
4 Ω 1 Ω
3 Ω 5 H
i0(t)
ix(t)
i1(t)
i1(t) = 2,5 U-1(t) vB(t) = 2 . ix(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 O circuito abaixo é o de um marca-passo. A resistência dos condutores R, pode 
 ser desprezada, já que R << 1 mΩ. A resistência do coração RC é da ordem de 
1 kΩ. A primeira chave ch1 é acionada no instante t = t0 para a posição p2 e a segunda 
chave é acionada no instante t1 = t0 + 10 ms. O ciclo se repete a cada segundo. 
Determinar a tensão v0(t) no capacitor para t0 ≤ t ≤ t1. 
Observação: é mais fácil supor t0
 = 0 antes de iniciar os cálculos. O ciclo se repete 
quando a chave ch1 volta à posição p1 e a chave ch2 volta à posição aberta. 
 
 
100 μF
R Ω
3 V
R Ω
t = t0
400 μF RC 
t = t1
Ch2Ch1
+
Vo(t)
-
p1 p2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 O circuito abaixo opera no regime estacionário quando no instante t = 0 a chave 
 é aberta. A fonte de alimentação vS(t), é uma fonte de tensão contínua 
(constante). A tensão de saída no capacitor v0(t) é dada por: v0(t) = 2 + 8 . e 
– 0,5 t para 
t > 0. Determinar os valores da fonte de entrada vS(t), da capacitância C e da resistência 
R. 
 
10 Ω C
 vS(t)
R 10 Ω
t = 0 
+
v0(t)
-
v0(t) = 2 + 8 . e 
– 0,5 t
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 O circuito abaixo opera no regime estacionário quando no instante t = 0 a chave 
 é fechada. A saída do circuito é a tensão no resistor v0(t) = 6 – 3 . e – 0,35 t para 
t > 0. Determinar o valor da indutância L e das resistências R1 e R2. 
 24
R1 R2
t = 0 
+
v0(t)
-
v0(t) = 6 - 3 . e 
– 0,35 t
3 Ω
L
i(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
ESTABILIDADE para 1ª ordem 
 
 O circuito abaixo opera no estado estacionário antes que a chave seja fechada no 
 instante t = 0. Determinar a tensão no capacitor v0(t) para todo t > 0. 
 
   01224 20/0 
 tetv t
 
 
5 kΩ
10k Ω
12 V
2 μFi2(t) = 2.i1(t)
i1(t)
+
v0(t)
-
t = 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 O circuito abaixo contem uma fonte controlada de tensão controlada por 
 corrente. Quais os valores da constante K2 para que o circuito seja estável, 
sabendo que a saída é a corrente i0(t). 
 
5 mH
100 Ω
V2(t) = K2.i1(t)
400 Ω
vF(t)
i1(t) i0(t)
vF(t) = 4 + 8 . U-1(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 O circuito abaixo contem uma fonte controlada de tensão controlada por tensão. 
 Quais os valores da constante β para que o circuito seja estável, sabendo que a 
saída é a corrente i0(t). 
 
 
5 mH
V2(t) = β .v1(t)
4 kΩ
+ v1(t) -
i0(t)
iF(t) = 8 . U-1(t) mA
iF(t)
1 kΩ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 O circuito abaixo contém uma fonte controlada de corrente controlada por 
 corrente. Quais os valores da constante β para que o circuito seja estável, 
sabendo que a saída é a corrente i0(t). 
 
5 mH
6 kΩ
3 kΩ
vF(t)
i1(t)
i0(t)
vF(t) = 4 + 8 . U-1(t) i2(t) = β . i1(t)
i2(t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
CIRCUITOS DE 2ª. ORDEM 
 
L
CiL(t)
+ vL(t) -
iC(t)
+ vC(t) -
 
 
       
td
tvd
Ctitqqpara
td
tid
Ltv CC
L
L 
Logo, se desejarmos calcular a taxa de variação de corrente em um indutor e a taxa de 
variação de tensão em um capacitor em qualquer instante de tempo: 
 
 
       
C
ti
td
tvd
tqqpara
L
tv
td
tid C
tot
CL
tot
L 












 
 
 Se o circuito abaixo não contem energia armazenada para t < 0, determinar os 
 valores de 








0
0
0
)(
)0(
tdt
tvd
ev
 
 L
R2
C
R1
+
v0(t)
-
i0(t)
iC(t)i1(t)
iF(t)
iF(t) = U - 1(t)
 
 
 
 
 
 
55 
 
 O circuito opera no regime estacionário quando no instante t = 0 
 a chave é acionada. Determinar a tensão no capacitor v0(t) para todo t ≥ 0. 
 
vF(t) = 6 . e 
– 3 t . U-1(t)
1 H
6 Ω
4 Ω
1 / 4 F
10 V
vF(t)
+ 
 v0(t)
-
t = 0
iL(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 No circuito abaixo todas as chaves são acionadas no instante t = 0. As condições 
 Iniciais (antes do acionamento) são v0(0 
- ) = 5 V e v2(0 
- ) = 10 V. Determinar a 
tensão v0(t) para todo t ≥ 0. 
 
1 Ω
 va(t)
1 F
1 Ω 2 Ω
½ F vb(t)
+
v0(t)
-
 va(t) = 10 V vb(t) = 6 V
+
v2(t)
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
 O circuito opera no regime estacionário quando em t = o as chaves são 
 acionadas. Determinar a corrente no indutor iL(t) para todo t > 0. 
 
1 H
3 Ω 10 V½ F
iS(t)
iS(t) = 2 . e 
– 3 t
t = 0 t = 0iL(t)
+
vC(t)
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 Determinar a corrente no indutor i0(t) para todo t ≥ 0. 
 
 
2 H
2 Ω
½ F10 Ω i0(t)
iF(t)
iF(t) = 20 . e 
– 5 t . U – 1 (t)59 
 
 Determinar a tensão v0(t) para todo t > 0. 
 
3 Ω
4 F
 v1(t)
2 F
2 Ω
+
v0(t)
-
+ v2(t) -+ v4(t) -
i0(t)
i4(t)
+
v3(t)
-
i3(t)
v1(t) = 6. cos ( 2 t ) . U – 1 (t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
 Determinar a corrente no indutor i0(t) para todo t ≥ 0. Determine a resposta 
 natural (comportamento) para o mesmo. 
 
2 H8 Ω
5 U-1(t) V
4 Ω 1 H
i0(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
 Determinar a tensão no capacitor v0(t) para todo t ≥ 0. 
 
 
 1 H
6 Ω
4 Ω 1/4 F
+
v0(t)
-
iF(t) = 6 U-1(t) A
iF(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 Determinar a tensão v0(t) para todo t ≥ 0. 
 
 
 
6 4 F 6 H 3
+
Vo(t)
-i(t)
i(t) = 12 U-1(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 O circuito opera no regime estacionário quando em t = 0 a chave fecha. 
 Determinar a tensão no capacitor v0(t) para todo t ≥ 0. 
 
6 4 F 1/2 H 12
+
Vo(t)
-
S
10 A
t = 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
 O circuito opera no regime estacionário quando no instante t = 0 a chave fecha. 
 Determinar a corrente no indutor i0(t) para todo t ≥ 0. 
 
1 F
2 Ω
1 H
4 Ω
1 Ω
t = 0
i0(t)
5 V
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
 Determinar a corrente no indutor i0(t) para todo t ≥ 0, para as três condições da 
 fonte de tensão. 
1 Ω 1 H
4 Ω
2 H
1 Ω
vF(t)
i0(t)
t = 0
vF(t) = 12 V; vF(t) = 5 . e 
– 3 t ; vF(t) = 10 cos ( 4 t )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
 O circuito abaixo contém uma fonte controlada de corrente controlada por 
 corrente e opera no regime estacionário. No instante t = 0 a chave fecha. 
Determinar a tensão no capacitor v0(t) para todo t ≥ 0. 
 
 
20 V
2 Ω
1 H
1 Ω
1 F
t = 0
+
v0(t)
-iB(t)
iB(t) = 3 . iA(t)
iA(t) iL(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 O circuito opera no regime estacionário quando no instante t = 0 a chave fecha. 
 Determinar a tensão no capacitor v0(t) para todo t ≥ 0. 2 H10 Ω40 Ω
20 V
50 Ω 5 mF
+ 
v0(t)
-
t = 0
iL(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 O circuito opera no regime estacionário quando no instante t = 0 a chave fecha. 
 Determinar a tensão no capacitor v0(t) para todo t ≥ 0. 
 
      tsentetv t 3004300cos3.4000 

 
 
0,8 H
250 Ω
6 V
250 Ω
5 pF
+
v0(t)
-
t = 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
 Para o circuito abaixo determinar a corrente i0(t) para todo t > 0, sabendo que a 
 capacitância está inicialmente energizada com vC( 0 
- ) = 1 V. 
 
segA
Ldt
tid
eiv
t
L
C /
1)(
0)0(1)0(
00






 

 
L
R
C
R
t = 0
+
 vC(t)
-
vC( 0
- ) = 1 V
i0(t)
+
 vL(t)
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
 O circuito abaixo opera no regime estacionário, quando no instante t = 0 a chave 
 é aberta. Determine a corrente no indutor iL(t) para todo t > 0. 
 
      tsenteti tL 2cos4.
2  
 
 
4 H
2 Ω
1 / 4 F
4 Ω 7 A
8 Ω
t = 0
iL(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
 O circuito opera no regime estacionário quando no instante t = 0 a chave fecha. 
 Determinar a corrente i0(t) para todo t ≥ 0. 
 
11 mA
2 kΩ
1 kΩ 1 μF
6,25 H
4 V
t = 0
i0(t) iL(t)
+
vC(t)
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
 O circuito opera no regime estacionário quando no instante t = 0 a chave abre. 
 Determinar a tensão no capacitor v0(t) para todo t ≥ 0. 
 
4 H
4 Ω
0,125 F 2 Ω 5 V
t = 0
+
v0(t)
-
 v1(t) = 10 . Cos ( t ). U-1(t)
i(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
 O circuito abaixo contém uma fonte controlada de corrente controlada por 
 tensão e opera no regime estacionário. Determinar a tensão no capacitor v0(t) 
para todo t ≥ 0. 
 
   016.75,6.75,0 3640 
 teetv tt
 
 
0,1 H4 Ω
v1(t)
v1(t) = 6 . U-1(t) + 10 iB(t) = 2 . vA(t)
 
0,625 F
+
v0(t)
-
iB(t)
- vA(t) +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
 
 O circuito abaixo contém uma fonte controlada de corrente controlada por 
 corrente e opera no regime estacionário quando no instante t = 0 a chave fecha. 
Determinar a tensão no capacitor v0(t) para todo t ≥ 0. 
 20 V
10 Ω 0,4 H
10 Ω 25 mF
t = 0
+
v0(t)
-iB(t)
iB(t) = 3 . iA(t)
iA(t) iL(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
 Determinar a tensão v0(t) para todo t > 0. 
 
 
½ F1 Ω
2 H
2 Ω
2 Ω
+
v1(t)
-
+
vL(t)
-
+
v4(t)
-
- v2(t) + - vC(t) +
+
v0(t)
-
i0(t)
i1(t)
i3(t) = 3. v1(t)
iF(t)
iF(t) = U-1(t)
i0(t)
i2(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76 
 
 O circuito abaixo não contém energia armazenada para t < 0. Se R2 = L / C, 
 determine i0(t), iC(t) e v1(t) se i1(t) for igual a um degrau unitário. 
 
i1(t)
L
R
C
R
i0(t)
iC(t)
+
v1(t)
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
 Admitindo que não há energia inicialmente armazenada, tanto na indutância 
 quanto na capacitância para o circuito abaixo, determinar a tensão v0(t) para 
todo t > 0. 
  0.4)( 320   ttodoparaeetv tt
 
 
1 F
1 Ω
1 / 6 H 
i2(t)
 v1(t) = U-1(t) i2(t) = 4. vG(t)
v1(t)
+ vG(t) -
+
v0(t)
-
iC(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
78 
 
 A capacitância do circuito abaixo foi anteriormente carregada tal que vC( 0
- ) = 1 
 volt. Se a chave fecha em t = 0 determinar a tensão v0(t) para todo t > 0 
 
1 H
1 Ω0,1 H
0,1 F
1 Ω
1 Ωt = 0
1 F
+
vC(t)
-
+
v0(t)
-
vC( 0 
- ) = 1 V
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
 
 Determinar a corrente i0(t) e a tensão v0(t) para todo t > 0, quando i1(t) = 6 U-1(t) 
 
2 H3 Ω
 
1 / 4 F
2 H
1 Ω
 
+
v0(t)
-
i1(t)
i0(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
 Determine as respostas ao degrau e ao impulso unitários para o circuito abaixo. 
 
 
 
2 H
2 Ω
 
1 H
1 Ωv1(t)
+
v0(t) = ?
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
81 
 
 Se o circuito abaixo não contiver energia inicialmente armazenada, determine 
 v0(t) para todo t > 0, quando v1(t) tem a forma de onda ao lado. 
 
 
1 F 1 Ω
+
v0(t)
-
v1(t)
1 H
1 Ω
- 1
1
21
0
t
v1(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82 
 
 Pode o circuito abaixo ser instável para algum valor da constante real β? Pode 
 ele ser instável para algum valor negativo de β (correspondente a inverter a 
direção da fonte controlada)? Pode a resposta livre, em algum caso, conter uma 
oscilação senoidal de amplitude constante? 
 
1 F
1 Ω 1 Ω 1 H
+
v0(t) = ?
-
i1(t)
i3(t)
i2(t)
i3(t) = β i2(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
 No circuito abaixo a chave esteve fechada por um longo tempo, suficiente para 
 desaparecer quaisquer transitórios. Subitamente a chave abre em t = 0. 
Determine a corrente i0(t) para todo t > 0. 
 
1 Ω
1 H
2 Ω
2 Ω 1 Ω
2 V
3 V
1 V
t = 0 
i0(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
84 
 
 No circuito abaixo, após serem alcançadas condições de estado permanente 
 (estacionário), a chave se fecha em t = 0. Determinar i0(t) para todo t > 0. 
 3 H4 Ω
 
120 V 4 F
2 Ω 4 Ω
t = 0 i0(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
85 
 
 O circuito abaixo está operando no estado permanente (estacionário) com a 
 chave aberta para t < 0. Se a chave se fecha em t = 0, determine a tensão v0(t) 
para todo t > 0. 
1 Ω
12 V
6 H
6 Ω
 
1 H
2 Ω
 
3 Ω
2 F
t = 0
v0(t)
+
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
86 
 
 O circuito abaixo está operando no estado permanente (estacionário) com a 
 chave fechada para t < 0. Se a chave abre em t = 0, determine a tensão v0(t) nos 
terminais da fonte de corrente de 1 A para todo t > 0. 
 
1 / 6 F
4 Ω 1 Ω
3 Ω
2 Ω
9 V
2 Ω
5 Ω6 Ω
2 A
1 A
+
v0(t)
-
i2(t) = 4. v4(t)
- v0(t) +
t = 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
87 
ESTADO PERMANENTE EM CORRENTE CONTINUA 
 
 No circuito abaixo a chave esteve fechada por um longo tempo, suficiente para 
 ter desaparecido quaisquer transitórios. Se a chave abre em t = 0, determine a 
tensão vCh(t) nos terminais da chave para todo t > 0. 
 
2 H 3 Ω
2 Ωt = 0
10 V
+ Vch (t) -
iL(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
88 
 
 No circuito abaixo a chave esteve fechada por um longo tempo e subitamente se 
 abre em t = 0. Determinar a corrente i1(t) para todo t > 0 
 
1 Ω
4 V
2 H
2 Ω
 
2 F
1 Ω
2 Ω
4 V
t = 0
i1(t)
+
vL(t)
-
i2(t)
i3(t)
+
vC(t)
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
89 
 
 No circuito abaixo a chave esteve fechada por um longo tempo, suficiente para 
 terem desaparecido quaisquer transitórios. Se a chave abre em t = 0, determine a 
tensão nos terminais da capacitância v0(t) para todo t > 0. 
 
½ H
5 Ω
10 V
1 / 8 F
2 Ω 2 Ω
16 V
+ 
 v0(t)
- iL(t)
t = 0
i1(t) i2(t)
iC(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
90 
 
 No circuito abaixo admite-se que qualquer transitório associado a ligação da 
 fonte de tensão ao circuito tenha desaparecido. Em um dado instante t = 0 a 
resistência de 1 Ω ligada entre os pontos P e Q queima subitamente. Determinar a 
tensão v0(t) entre os pontos A e B para todo t > 0. 
 
2 Ω
1 F
2 F
3 Ω
1 Ω
1 Ω
10 V
+
v0(t)
-P
Q
A
B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
91 
O SIGNIFICADO FÍSICO DA SOLUÇÃO COMPLEMENTAR 
(HOMOGENEA) OU TRANSITÓRIA 
 
Seja a equação diferencial de segunda ordem abaixo: 
 
       tqqtftya
td
tyd
a
td
tyd
a )(012
2
2 
 
 
Onde f(t) representa uma função daqui pra frente denominado de “função forçante”. 
 
A solução completa desta equação é da forma: 
 
     
     tytyty
tytyty
SST
PH

 
 
Onde yH(t) é denominada de solução Homogênea, ou solução complementar ou solução 
Transitória, e yP(t) é denominada de solução Particular ou solução de estado permanente 
ou estacionário ( sted state ). A solução transitória implica em fazer a função forçante 
igual a zero, ou seja corresponde a resposta livre ou comportamento natural do circuito. 
 
      0012
2
2  tya
td
tyd
a
td
tyd
a
 
 
Associando a esta equação sua equação característica tem-se: 
 
0
0
01
2
2
01
2
2


asasa
ouaaa  
O que passa a ser, agora, resolver uma equação algébrica de 20 grau, ou seja encontrar 
duas raízes: s1 e s2. De uma forma genérica tais raízes são: 
 
wjsewjs .. 21  aa 
 
E a solução transitória da equação diferencial fica: 
 
 
 
   
      
    






tweKty
twsenKtwKety
eKeKety
eKeKty
t
H
t
H
twjtwjt
H
tsts
H
cos.
.cos.
..
..
5
43
.
2
.
1
21
21
a
a
a
 
 
 Para o circuito abaixo estudar o comportamento da solução transitória segundo a 
 variação do resistor R. 
 
 
L
R
 
C
v1(t)
i0(t)
 
 
a = 0 
a = 0 
a = 0 
Real
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
92 
A taxa de amortecimento ξ (qsi) é uma grandeza adimensional que é definida por: 
 
0.a 
 
De tal modo que a equação característica pode ser reescrita como: 
 
0..2 00
2   ss 
 
Se ξ = 0 o comportamento natural do circuito consiste de uma senoide de amplitude de 
oscilação constante subamortecida ( também conhecido como marginalmente estável). 
 
Se 0 < ξ < 1 teremos uma oscilação amortecida, denominada criticamente amortecida. 
 
Se ξ > 1 não haverá oscilações, e tem-se um superamortecimento. 
 
Se o valor de R, e portanto de a e ξ pudesse ser negativo, as raízes da equação 
característica estariam no semiplanodireito, e a resposta livre cresceria sem limites, 
tornando o comportamento do circuito instável. 
 
 
 Exemplo 9.4.1 Determinar a resposta (comportamento) natural do circuito 
 abaixo, considerando as condições iniciais: v0(0
-) = 10 V e iL(0
-) = 2 A, para 
todo t ≥ 0. 
 
½ F 1 H 2 / 3 Ω 
+
vo(t) = ?
-i(t)
 
 
 
10
5
1 2 3
t (seg)
v0(t)
Circ. superamortecido
 
 
93 
 
 Determinar a resposta (comportamento) natural do circuito abaixo, considerando 
 as condições iniciais: v0(0 
- ) = 5 V e iL(0 
- ) = 6 A, para todo t ≥ 0. 
 
 
¼ F 1 H 1 Ω 
+
Vo(t) = ?
-i(t)
 
 
 
1 2
2,5
5
v0(t)
t ( seg)
Amortecimento crítico
 
 
 
 Exemplo 9.6.1 Determinar a resposta (ou comportamento) natural do circuito 
 abaixo, considerando as condições iniciais: v(0-) = 10 V e i(0-) = - 0,6 A, para 
todo t ≥ 0. 
 
1 mF 0,1 H
25 / 3 Ω
+
Vo(t) = ?
-
 
iL(t)
 
 
     naturalrespostatetv tH 80cos.10
60
0

 
 
 
 
 
 
 
 
94 
95 
 
 Para quais valores da constante real A será o circuito estável? Para quais valores 
 da constante A a resposta livre consistirá de uma oscilação de amplitude 
constante e qual será a freqüência angular de oscilação? 
 
v1(t)
1 F
2 F½ Ω
v2(t) = A.v0(t)
1 Ω
+
v0(t)
-
 
 
 
 
 
A = 2 
A = 2 
A = 1 
A = 0 
A = 0 
Real
Imaginário
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
96 
RESPOSTA FORÇADA A UMA FUNÇÃO DO TIPO: e s t. 
 
 
Seja a equação diferencial abaixo: 
 
 
         tqqtftya
td
tyd
a
td
tyd
a
td
tyd
a
n
n
nn
n
n )(011
1
1  

 
 
 
 
Onde: 
 
 
       txb
td
txd
b
td
txd
b
td
txd
btf
m
m
mm
m
m 011
1
1)(  

 
 
 
Se x(t) = e s t., e considerando agora como solução particular ou de estado permanente 
para a equação diferencial acima: 
 
    tsP esHty .
 
 
Substituindo na equação diferencial acima teremos: 
 
 
 
01
1
1
01
1
1
asasasa
bsbsbsb
sH
n
n
n
n
m
m
m
m








 
 
 
H(s) é denominada “função de circuito”, e quando exprime um ganho, seja de tensão ou 
de corrente, é conhecida como “função de transferência”. 
 
 
 
H(s) é o quociente de dois polinômios em s: 
 
 
   
  saídadepolinomio
entradadepolinomio
sA
sB
sH 
 
 
 
Se conhecermos a equação diferencial do circuito conheceremos H(s) e a recíproca é 
verdadeira.