02 Introdução à Topografia

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TOPOGRAFIA
Professor: Igor Lima
INTRODUÇÃO
2
HISTÓRICO E CONCEITO
• Sobrevivência, orientação, segurança, guerras, navegação, construção, etc.
• Mapas surgiram antes da escrita.
• A topografia surgiu como uma ferramenta para facilitar a obtenção de dados
e posterior representação dos mesmos.
• Etimologicamente a palavra TOPOS, em grego, significa lugar e
GRAPHEN descrição, portanto topografia significa “descrição do
lugar”
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CONCEITOS FUNDAMENTAIS
• “A Topografia tem por objetivo o estudo dos instrumentos e métodos
utilizados para obter a representação gráfica de uma porção do terreno
sobre uma superfície plana” DOUBEK (1989).
• “A Topografia tem por finalidade determinar o contorno, dimensão e
posição relativa de uma porção limitada da superfície terrestre, sem levar
em conta a curvatura resultante da esfericidade terrestre” ESPARTEL
(1987).
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CONCEITOS FUNDAMENTAIS
• Principal objetivo da topografia é efetuar levantamentos (lineares e
angulares), realizadas sobre a superfície da Terra e a partir delas são
calculados áreas, volumes, coordenadas, etc.
• ABNT NBR 13133:1994 – Execução de levantamento topográfico.
• Fixa as condições exigíveis para a execução de levantamento topográfico.
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CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Topografia
Topologia Topometria
Planimetria Altimetria
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CONCEITOS FUNDAMENTAIS
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• Topografia
• Topologia – formas exteriores do terreno.
• Topometria – medição de distâncias, ângulos e desníveis.
• Planimetria – posição planimétrica dos pontos (coordenadas X e Y).
• Altimetria – determinar a cota ou altitude de um ponto (coordenada Z).
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
8Desenho representando o resultado de um levantamento planialtimétrico.
Fonte: Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion (2007).
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
• A topografia é a base para diversos trabalhos de engenharia, onde o 
conhecimento das formas e dimensões do terreno são importantes.
• Exemplos de aplicação
• Projetos e execução de estradas;
• Grandes obras de engenharia, como pontes, portos, viadutos, túneis, etc;
• Locação de obras;
• Trabalhos de terraplenagem;
• Monitoramento de estruturas;
• Planejamento urbano;
• Irrigação e drenagem;
• Reflorestamentos;
• Etc.
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CONCEITOS FUNDAMENTAIS
• Topografia na etapa de planejamento e projeto.
• Fornecendo informações sobre o terreno.
• Na execução e acompanhamento de obra.
• Realizando locações e fazendo verificações métricas.
• No monitoramento da obra após a sua execução.
• Determinando deslocamentos de estrutura.
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SISTEMAS DE COORDENADAS
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SISTEMAS DE COORDENADAS
Sistema de 
Coordenada 
Cartesiano
Sistema de 
Coordenada 
Esférico
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SISTEMAS DE COORDENADAS 
CARTESIANAS
13
Sistema de Coordenadas Cartesianas
SISTEMAS DE COORDENADAS 
CARTESIANAS
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Na figura é apresentado um sistema de coordenadas, cujas coordenadas da origem são O (0,0). 
Nele estão representados os pontos A(10,10), B(15,25) e C(20,-15).
• Um ponto é definido neste sistema através de uma coordenada denominada
abscissa (coordenada X) e outra denominada ordenada (coordenada Y). Um dos
símbolos P(x,y) ou P=(x,y) são utilizados para denominar um ponto P com abscissa
x e ordenada y.
SISTEMAS DE COORDENADAS 
CARTESIANAS
15Sistema de coordenadas cartesianas, dextrógiro e levógiro
• Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço tridimensional é
caracterizado por um conjunto de três retas (X, Y, Z) denominadas de eixos
coordenados, mutuamente perpendiculares, as quais se interceptam em um único
ponto, denominado de origem. A posição de um ponto neste sistema de
coordenadas é definida pelas coordenadas cartesianas retangulares (x,y,z).
SISTEMAS DE COORDENADAS 
ESFÉRICAS
16Sistema de coordenadas esféricas.
• Um ponto do espaço tridimensional pode ser
determinado de forma unívoca, pelo afastamento
r entre a origem do sistema e o ponto R
considerado, pelo ângulo β formado entre o
segmento OR e a projeção ortogonal deste
sobre o plano xy e pelo ângulo α que a projeção
do segmento OR sobre o plano xy forma com o
semi-eixo OX.
• As coordenadas esféricas de um ponto R são
dadas por (r, α, β).
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
17
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
18
• Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se modelos
para a sua representação, mais simples, regulares e geométricos e que
mais se aproximam da forma real para efetuar os cálculos.
• Quanto mais complexo o modelo, mais complexo os cálculos.
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
MODELO ESFÉRICO
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• - Latitude Astronômica (Φ): é o arco de meridiano contado desde o equador até o
ponto considerado, sendo, por convenção, positiva no hemisfério Norte e negativa no
hemisfério Sul.
• - Longitude Astronômica (Λ): é o arco de equador contado desde o meridiano de
origem (Greenwich) até o meridiano do ponto considerado. Por convenção a
longitude varia de 0º a +180º no sentido leste de Greenwich e de 0º a -180º por
oeste de Greenwich.
Terra Esférica
Coordenadas Astronômicas
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
MODELO ESFÉRICO
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
MODELO ELIPSOIDAL
• Biaxial ou elipsoide de revolução.
• Semi-eixos a (maior) e b (menor)
• Achatamento 𝑓  𝑓 =
𝑎−𝑏
𝑎
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
MODELO ELIPSOIDAL
• Biaxial ou elipsoide de revolução.
• Semi-eixos a (maior) e b (menor)
• Achatamento 𝑓  𝑓 =
𝑎−𝑏
𝑎
Elipsoide de revolução
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
MODELO ELIPSOIDAL
• Latitude Geodésica ( φ ): ângulo que a normal forma com sua projeção no plano do equador, 
sendo positiva para o Norte e negativa para o Sul.
• Longitude Geodésica ( λ ): ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico de Greenwich 
(origem) e do ponto P, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste.
Coordenadas Elipsódicas
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
MODELO ELIPSOIDAL
• No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro (SIRGAS2000 - SIstema
de Referência Geocêntrico para as AméricaS) adota o elipsóide de
revolução GRS80 (Global Reference System 1980), cujos semi-eixo
maior e achatamento são:
a = 6.378.137,000 m
f = 1/298,257222101
Coordenadas Elipsódicas
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
MODELO GEOIDAL
• Mais próximo da forma real da Terra.
• Definido como sendo o nível médio dos mares em repouso,
prolongado através dos continentes.
Superfície física da Terra, elipsoide e geoide.
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
MODELO PLANO
• Considera a porção da Terra em estudo como sendo plana.
• Simplificação utilizada pela Topografia.
• Limitações (adota-se entre 20 e 30km, NBR 13133 ~ 80km)
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
MODELO PLANO
• Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializada pelo fio de prumo);
• EixoY: definido pela meridiana (linha norte-sul magnética ou verdadeira);
• Eixo X: sistema dextrógiro (formando 90º na direção leste).
Plano em Topografia 27
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
MODELO PLANO
Plano em Topografia
28
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
MODELO PLANO
Eixos definidos por uma 
direção notável
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
MODELO PLANO
• Efeito da Curvatura na Distância e Altimetria.
Efeito da curvatura para a distância. 30
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
MODELO PLANO
• Efeito da Curvatura na Distância e Altimetria.
Efeito da curvatura para diferentes distâncias.
S (km) ∆s
1 0,008 mm
10 8,2 mm
25 12,8 cm
50 1,03 m
70 2,81 m
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
MODELO PLANO
• Efeito da Curvatura na Distância e Altimetria.
Efeito da curvatura na altimetria. 32
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
MODELO PLANO
• Efeito da Curvatura na Distância eAltimetria.
Efeito da curvatura na altimetria.
S ∆h
100 m 0,8 mm
500 m 20 mm
1 km 78 mm
10 km 7,8 m
70 km 381,6 m
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CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE 
OBSERVAÇÃO
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CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE 
OBSERVAÇÃO
• Ao efetuar medidas de grandezas, para representar a superfície da Terra,
como direções, distâncias e desníveis, inevitavelmente estas observações
estarão afetadas por erros.
• Condições ambientais
• Instrumentais
• Pessoais
• Erros grosseiros
• Erros sistemáticos
• Erros aleatórios
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CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE 
OBSERVAÇÃO: ERROS GROSSEIROS
• Anotar 196 ao invés de 169;
• Engano na contagem de lances durante a medição de uma distância
com trena.
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CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE 
OBSERVAÇÃO: ERROS SISTEMÁTICOS
• Efeito da temperatura e pressão na medição de distâncias com
medidor eletrônico de distância;
• Correção do efeito de dilatação de uma trena em função da
temperatura.
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CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE OBSERVAÇÃO: 
ERROS ACIDENTAIS OU ALEATÓRIOS
• São os que permanecem após os anteriores terem sido eliminados.
• Inclinação da baliza na hora de realizar a medida;
• Erro de pontaria na leitura de direções horizontais.
• Peculiaridades dos erros acidentais:
• Erros pequenos ocorrem com mais frequência;
• Erros positivos e negativos do mesmo tamanho acontecem com igual frequência;
• A média dos resíduos é aproximadamente nula;
• Aumentando o número de observações, aumenta a probabilidade de se chegar próximo ao 
valor real.
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CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE OBSERVAÇÃO
PRECISÃO E ACURÁCIA
Preciso e 
não acurado
Preciso e 
acurado
Não preciso e 
não acurado
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REVISÃO MATEMÁTICA
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UNIDADES DE MEDIDA
• Medida de comprimento (metro)
Definição = distância percorrida pela luz no vácuo durante o intervalo de tempo de 1/299.792.458 s.
Nome Valor 
Numérico
Símbolo Nome Valor 
Numérico
Símbolo
Deca 101 da deci 10−1 d
Hecto 102 H centi 10−2 c
Kilo 103 K mili 10−3 m
Mega 106 M micro 10−6 µ
Giga 109 G nano 10−9 n
Tera 1012 T pico 10−12 p 41
UNIDADES DE MEDIDA
• Medida de comprimento (metro)
• Quantos decímetros tem em 2 hectômetro?
• Quantos quilômetros tem em 5.000 centímetros?
• Quantos quilômetros tem em 100 metros? E milímetros?
• Quantos cm² tem em 1m²?
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UNIDADES DE MEDIDA
• Medida Angular (Sexagesimal, Centesimal e Radianos)
• Radiano
Representação de um arco de ângulo
2πR — 360º arco = R = raio
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UNIDADES DE MEDIDA
• Medida Angular (Sexagesimal, Centesimal e Radianos)
• Unidade Sexagesimal
Grau ° 1° = (π/180) 𝑟𝑎𝑑
Minuto ’ 1′ = 1°/60 = (π/10800) 𝑟𝑎𝑑
Segundos ’’ 1′′ =1°/3600 = (π/648000) 𝑟𝑎𝑑
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UNIDADES DE MEDIDA
• Medida Angular (Sexagesimal, Centesimal e Radianos)
• Unidade Grado
1 grado = 1/400 da circunferência
Um grado é dividido em 100’ e cada minuto tem 100”.
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UNIDADES DE MEDIDA
EXERCÍCIOS
1. Transformação de ângulos: Transforme os seguintes 
ângulos em graus, minutos e segundos para graus e 
frações decimais de grau.
a) 32° 28’ 59” 
b) 17° 34’ 18,3”
c) 125° 59’ 57”
d) 93° 47’ 23”
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UNIDADES DE MEDIDA
EXERCÍCIOS
1. Transformação de ângulos: Transforme os seguintes 
ângulos em graus, minutos e segundos para graus e 
frações decimais de grau.
a) 32° 28’ 59”  32, 48305556º
b) 17° 34’ 18,3”  17,57175º
c) 125° 59’ 57”  125,9991667º
d) 93° 47’ 23”
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UNIDADES DE MEDIDA
EXERCÍCIOS
1. Transformação de ângulos: Transforme os seguintes 
ângulos em graus, minutos e segundos para graus e 
frações decimais de grau.
a) 32° 28’ 59”  32, 48305556º  0,5669363 rad
b) 17° 34’ 18,3”  17,57175º
c) 125° 59’ 57”  125,9991667º
d) 93° 47’ 23”
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UNIDADES DE MEDIDA
EXERCÍCIOS
2. Soma e subtração de ângulos:
a) 30° 20’ + 20° 52’ 
b) 28° 41’ + 39° 39’
c) 42° 30’ - 20° 40’
d) 93° 47’ 23” + 32° 28’ 59” 
e) 87° 34’ 18,3” - 18° 36’ 12”
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UNIDADES DE MEDIDA
EXERCÍCIOS
2. Soma e subtração de ângulos:
a) 30° 20’ + 20° 52’  51º12’
b) 28° 41’ + 39° 39’  68°20’
c) 42° 30’ - 20° 40’  21°50’
d) 93° 47’ 23” + 32° 28’ 59” 
e) 87° 34’ 18,3” - 18° 36’ 12”
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UNIDADES DE MEDIDA
EXERCÍCIOS
• OBS: 
• Número de casas utilizadas na calculadora é importante!!!
• Para obter o décimo do segundo com segurança, é necessário manter um 
mínimo de 6 casas decimais.
• Ao obter resultados com várias casas decimais, recomenda-se o 
arredondamento.
30°20’-20°52’ 30,333333°-20,866666° = 09,466666° 0,9°27’59,999999” = 09°28’
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UNIDADES DE MEDIDA
EXERCÍCIOS
• Calculo de funções trigonométricas utilizando uma calculadora
• Para o ângulo 22º 09’ 04”, calcular o valor do seno, cosseno e tangente:
1. transformar para graus decimais ou radianos:
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UNIDADES DE MEDIDA
EXERCÍCIOS
• Calculo de funções trigonométricas utilizando uma calculadora
• Para o ângulo 22º 09’ 04”, calcular o valor do seno, cosseno e tangente:
2. aplicar a função trigonométrica desejada:
sen(22,1511111º) = sen(0.386609821864 rad) 
cos(22,1511111º) = cos(0.386609821864 rad)
tg(22,1511111º) = tg(0.386609821864 rad) 
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UNIDADES DE MEDIDA
EXERCÍCIOS
• Calculo de funções trigonométricas utilizando uma calculadora
• Para o ângulo 22º 09’ 04”, calcular o valor do seno, cosseno e tangente:
2. aplicar a função trigonométrica desejada:
sen(22,1511111º) = sen(0.386609821864 rad) = 0,377050629
cos(22,1511111º) = cos(0.386609821864 rad) = 0,926192648
tg(22,1511111º) = tg(0.386609821864 rad) = 0,407097411
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UNIDADES DE MEDIDA
EXERCÍCIOS
• Calculo de funções trigonométricas utilizando uma calculadora
• Sem a transformação pode-se incorrer erros. Exemplo:
• Para o ângulo α = 22° 09’ 04”
Calculando a função seno sem converter o calor do ângulo, obtém-se:
Sen 22,0904 = 0,376069016 
Transformando para graus decimais, obtém-se:
Sen 22,15111111° = 0,377050629 55
UNIDADES DE MEDIDA
EXERCÍCIOS
• Calculo de funções trigonométricas utilizando uma calculadora
• Considerando a distância de 300m, entre um vértice de uma poligonal e um 
ponto de detalhe qualquer, pode-se observar a seguinte diferença no valor 
calculado de Δx.
Δx = 300 . sen 22,0904 = 300 . 0,376069016 → Δx = 112,821m
Δx = 300 . sen 22,1511111° = 300 . 0,377050629 → Δx = 113,115m
Uma diferença de 29,40 cm
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REVISÃO DE TRIGONOMETRIA PLANA
• Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°
𝑆𝑒𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑛 α =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 (𝑐)
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 (𝑎)
𝐶𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑠 α =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑏)
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 (𝑎)
𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑔 α =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 (𝑐)
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑏)
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REVISÃO DE TRIGONOMETRIA PLANA
• Teorema de Pitágoras
“O quadrado do comprimento da hipotenusa é igual a soma dos quadrados 
dos comprimentos dos catetos”
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
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REVISÃO DE TRIGONOMETRIA PLANA
• Exercício 1:
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REVISÃO DE TRIGONOMETRIA PLANA
• Exercício 1:
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REVISÃO DE TRIGONOMETRIA PLANA
• Exercício 2: Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre
na outra margem segundo um ângulo de 56°00’00”. Afastando-se 20,00
metros o mesmo observador vê a mesma torre segundo um ângulo de
35°00’00”. Calcule a largura do rio (CEFET, 1984).
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REVISÃO DE TRIGONOMETRIA PLANA
• Triângulo Qualquer
• Lei dos Senos
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐶
• Lei dos Cossenos
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2. 𝑏. 𝑐. cos 𝐴
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ESCALAS
63
ESCALAS
• Simplificando: pode se definir escala como sendo a relação entre o valor de
uma distância medida no desenho e sua correspondenteno terreno.
• Normalmente são empregados três tipos de notação para a representação
da escala:
𝐸 =
1
𝑀
𝐸 =
1
𝑀
𝐸 =
1
𝑀
M = denominador da escala;
d = distância no desenho;
D = distância no terreno.
64
ESCALAS
d = 5 cm
D = 0,5 km
𝐸 =
5𝑐𝑚
0,5𝑘𝑚
=
5𝑐𝑚
50.000𝑐𝑚
=
1
10.000
65
ESCALAS
• Escalas podem ser de redução, ampliação, ou naturais.
• Quando uma escala é considerada grande? Ou pequena?
• O valor de uma escala é adimensional! Desenho Terreno
1 cm 200 cm
1 cm 2 m
1 cm 0,002 km 66
ESCALAS: 
PRINCIPAIS ESCALAS E SUAS APLICAÇÕES
Aplicação Escala
Detalhes de Terrenos Urbanos 1:50
Planta de Pequenos Lotes e Edifícios 1:100; 1:200
Planta de Arruamentos e Loteamentos Urbanos 1:500; 1:1.000
Planta de Propriedades Rurais 1:1.000; 1:2.000; 1:5.000
Planta Cadastral de Cidades e Grandes 
Propriedades Rurais ou Industriais
1:5.000; 1:10.000;
1:25.000
Cartas de Munícipios 1:50.000; 1:100.000
Mapas de Estados, Países, Continentes, etc. 1:200.000 a 1:10.000.000
67
ESCALAS:
EXERCÍCIO
1. Qual das escalas é maior 1:1.000.000 ou 1:1.000?
2. Qual das escalas é menor 1:10 ou 1:1.000?
3. Determinar o comprimento de um rio onde a escala do desenho é de
1:18.000 e o rio foi representado por uma linha com 17,5 cm de
comprimento.
68
ESCALAS:
EXERCÍCIO
4. Determinar qual a escala de uma carta sabendo-se que distâncias
homólogas na carta e no terreno são, respectivamente, 225 mm e 4,5 km.
5. Com qual comprimento uma estrada de 2500 m será representada na
escala 1:10000?
6. Calcular o comprimento no desenho de uma rua com 30 metros de
comprimento nas escalas abaixo. Escala Comprimento
1:100
1:200
1:250
1:500
1:1000
69
ESCALAS:
EXERCÍCIO
7. Um lote urbano tem a forma de um retângulo, sendo que o seu
comprimento é duas vezes maior que a sua altura e sua área é de
16.722,54 m². Calcular os comprimentos dos lados se esta área fosse
representada na escala 1:10560.
8. As dimensões de um terreno foram medidas em uma carta e os valores
obtidos foram: 250 mm de comprimento por 175 mm de largura.
Sabendo-se que a escala do desenho é de 1:2000, qual é a área do
terreno em m²?
9. Se a avaliação de uma área resultou em 2575 cm² para uma escala de
1:500, quantos metros quadrados corresponderá a área no terreno? 70
ESCALAS:
A ESCALA GRÁFICA
• Constitui-se em um segmento de reta dividido de modo a
mostrar graficamente a relação entre dimensões de um objeto
no desenho e no terreno.
71
ESCALAS:
A ESCALA GRÁFICA
• Também é possível definir o tamanho do retângulo no desenho,
como por exemplo, 1 cm.
72
ESCALAS:
A ESCALA GRÁFICA
• O talão consiste em intervalos menores:
Talão
73
ESCALAS:
A ESCALA GRÁFICA
• Apresentação final da escala gráfica.
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NORMALIZAÇÃO
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NORMALIZAÇÃO ABNT
• NBR 10068 – Folha De Desenho – Leiaute E Dimensões.
• NBR 8196 – Desenho Técnico – Emprego De Escalas.
• NBR 10647 – Desenho Técnico – Norma Geral.
• NBR 10124 – Trena De Fibra – Fibra Natural Ou Sintética.
• NBR 14166 – Rede De Referência Cadastral Municipal – Procedimento.
• NBR 13133 – Execução De Levantamento Topográfico.
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