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1.3 Divisão e frações
A divisão é a operação aritmética inversa da multiplicação. Ela representa a repartição
de uma certa quantidade em porções iguais.
Exemplo 1. Times de basquete
Em uma aula de educação física, o professor precisar dividir uma turma que tem
30 alunos em times de basquete, cada qual com 5 alunos. O número de equipes a
serem formadas será igual aObserve que, multiplicando o número
de jogadores em cada time pelo nú-
mero de equipes obtemos 5 × 6 = 30,
que é o número de alunos da turma.
30 ÷ 5 = 6.
Exemplo 2. Água para todos
Durante um período de seca, o prefeito de uma pequena cidade contratou um
caminhão pipa para distribuir água potável aos 1.250 munícipes. Se o caminhão pipa
comporta 16.000 litros e todos os habitantes receberão o mesmo volume, caberá a
cada habitante
16.000 ÷ 1.250 = 12,8 litros.
Supondo que a e b sejam números inteiros, com b ≠ 0, podemos representar a
divisão de a em b partes iguais através da fração a
b
, às vezes escrita como a/b. São
exemplos de frações:Na fração a
b
, o termo a, que está
acima do traço, é chamado nume-
rador, enquanto o termo b, abaixo
do traço, é chamado denominador.
2
3
,
15
7
,
1
1000
, −2
4
,
36
36
.
Para efetuar divisões ou trabalhar com frações que envolvem números negativos,
usamos propriedades similares àquelas apresentadas para a multiplicação.
Divisão envolvendo números negativos
Suponha que a e b sejam números reais, e que b ≠ 0.
Propriedade Exemplo
1. (−a)
b
= a(−b) = −ab (−7)2 = 7(−2) = −72
2. (−a)(−b) = ab (−3)(−16) = 316
∎ A divisão como um produto
Se dividirmos o número 1 em n parcelas iguais, cada parcela valerá 1/n do total, de
modo que
1 = 1
n
+ 1
n
+ 1
n
+ 1
n
+⋯ + 1
n
+ 1
n´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
n parcelas
.
Dessa forma,Você se lembra que, ao dividirmos
um número por ele mesmo, obtemos
sempre o valor 1?
1 = n ⋅ ( 1
n
) = n
n
.
Embora a soma acima sugira que n deva ser um número natural, esse resultado vale
para qualquer n real, desde que n ≠ 0. O número 1/n é chamado inverso de n.
Seção 1.3. Divisão e frações 15
Se dividirmos o número 1 em n parcelas iguais e pegarmos a dessas parcelas,
teremos a fração a/n, ou seja,
1
n
+ 1
n
+ 1
n
+⋯ + 1
n´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
a parcelas
= a ⋅ ( 1
n
) = a
n
.
Observe que, ao efetuarmos o pro-
duto de a por 1/n, apenas o nume-
rador da fração é multiplicado por a.
Assim, a divisão de um número a por outro n corresponde à multiplicação de a
pelo inverso de n. Novamente, a e n podem ser quaisquer números reais, desde que
n ≠ 0.
Exemplo 3. Partes de um terreno
Um terreno retangular muito comprido foi dividido em 6 partes iguais, como mos-
tra a Figura 1.8. Tomando cinco dessas partes, obtemos
Figura 1.8: Cinco sextos de um
terreno.
1
6
+ 1
6
+ 1
6
+ 1
6
+ 1
6
= 5 ⋅ (1
6
) = 5
6
.
∎ Soma e subtração de frações com denominadores iguais
Um relógio de ponteiros marca exatamente meio-dia, como mostra a Figura 1.9a. A
cada hora transcorrida, o ponteiro das horas gira exatamente 1/12 de volta, de modo
que, após 12 horas (ou seja, à meia-noite), o ponteiro das horas volta a apontar o
número 12.
Entre o meio-dia e as 4 horas da tarde, o ponteiro das horas do relógio gira 4/12
de volta, como mostra a Figura 1.9b. Transcorridas mais cinco horas, o ponteiro
das horas do relógio percorre mais 5/12 de volta, atingindo a marca de 9 horas, que
corresponde a 9/12 da volta completa, como mostra a Figura 1.9c.
(a) Meio-dia. (b) 4 horas. (c) 9 horas.
Figura 1.9: Um relógio marcando várias horas do dia.
Observe que
4
12
+ 5
12
= 4 + 5
12
= 9
12
.
Ou seja, para somar duas frações com denominador 12, mantemos o denominador
e somamos os numeradores. Vamos mostrar, agora, que esse resultado vale para
quaisquer frações com o mesmo denominador.
Também é possível usar a propri-
edade distributiva da multiplicação
para mostrar que a/n+b/n = (a+b)/n.
Observe:
a
n
+ b
n
= a ⋅ ( 1
n
) + b ⋅ ( 1
n
)
= (a + b) ( 1
n
) = a + b
n
.
Somando a/n com b/n, obtemos
a
n
+ b
n
= 1
n
+ 1
n
+ 1
n
+⋯ + 1
n´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶

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