Equações diferenciais elementares - 9° edição- Boyce

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marielen dos santos pereira de souza 
natália frança santos de lima 
modelagem com equações diferenciais de primeira ordem 
exercício 1
Telêmaco Borba - PR
2018
marielen dos santos pereira de souza
natália frança santos de lima 
modelagem com equações diferenciais de primeira ordem 
exercício 1
Trabalho apresentado para a disciplina de Cálculo III, do Curso de Engenharia Civil, da Faculdade de Telêmaco Borba, como requisito parcial para aprovação desta disciplina.
Orientador: Prof. Fabiana de Oliveira Rosa 
Telêmaco Borba - PR
2018
SUMÁRIO
enunciado do exercício 
Considere um tanque usado em determinados experimentos hidrodinâmicos. Depois de um experimento, o tanque contém 200 litros de uma solução de tinta a uma concentração de 1 grama por litro. Para preparar o tanque para o próximo experimento, ele é lavado com água fresca fluindo a uma taxa de 2 litros por minuto, a solução bem misturada fluindo para fora à mesma taxa. Encontre o tempo gasto até a concentração de tinta no tanque atingir 1% de seu valor original.
legenda para a modelagem da equação
Tempo inicial (t) = 0
Qin = Quantidade de entrada 
Qout = Quantidade de saída 
Cin = Concentração de entrada 
Cout = Concentração de saída
modelando a equação 
Taxa de entrada= Qin. Cin 
Taxa de saída= Qout. Cout
desenvolvendo a equação 
Com a equação pronta precisamos captar alguns dados no enunciado do exercício. 
O tanque precisa ser esvaziado, e ao mesmo tempo precisa entrar uma água fresca, ou seja, sem nenhuma concentração de tinta. Então: 
Multiplicando os dois temos que a taxa de entrada é igual a 0.
Agora precisamos achar a taxa de saída pense que o tanque está cheio de água com uma mistura de tinta, e ela precisa sair, então a taxa de saída será: 
Pois o exercício fala que a quantidade de água que entra é a mesma que sai. Para achar a concentração, temos que:
sendo que Q é a taxa de concentração de tinta que existe dentro do tanque (pois existe 1g/l, e o tanque possui 200 litros, sendo assim 200 gramas).
Portanto minha taxa de saída será: 
Montando a equação: 
Simplificando: 
Método de separação das variáveis
Agora será preciso integrar os termos, para isso utilizaremos o formulário de integrais:
Utilizando o formulário de integrais: 
Integrando os termos 
Utilizando as propriedades logarítmicas podemos isolar o Q da seguinte maneira: 
Separando a constante C:
Qualquer variável acompanhada de uma constante, resulta na própria constante, então: 
Podemos utilizar como constante o valor 200. Pois no tempo (t)= 0 o valor da quantidade de concentração era de 200 gramas.
No Q(t) o valor de saída deve ser 1% do valor original, ou seja, 1% de 200 é equivalente a 2 litros. Então Q(t)= 2
Isolando na equação: 
 Separando a variável t
Para separar a variável t, é possível reutilizar a propriedade logarítmica abordada acima: 
Portanto a equação terá a forma:
O 200 que está multiplicando pode passar para o outro lado dividindo:
Simplificando a equação: 
Isolando a variável t
Agora basta isolar o t, para isso, o valor 100 que o divide, passará para o outro lado multiplicando a equação, ele ficará da seguinte forma:
Encontrando o valor de t
Digitando na calculadora a equação encontrada, teremos o valor de:
Multiplicando a equação por (-1), para retirar o valor negativo de t, temos que:
 representação gráfica 
No software wxMáxima, foi realizada a confecção do gráfico da seguinte maneira: declaramos a equação achada no exercício
A partir daí, quando teclamos em Shift + Enter, a equação já será resolvida:
O próximo passo foi a criação do gráfico: Barra de ferramentas>Gráfico>Gráfico 2D
Irá a aparecer uma janela, e lá digitamos as seguintes ordens:
Y está representando o tanque, e X representa o tempo. Como o resultado da equação foi de 460,51 minutos, na variável X foi colocado o tempo. Com isso, gerou o gráfico representado da seguinte forma:
 Pode ser entendido da seguinte forma: No tempo 0, o valor da concentração no tanque era de 200 gramas, com o passar do tempo ele foi esvaziando, sendo assim no tempo 460,51 minutos o tanque continha somente 1% de seu valor inicial.