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Prova 1 Cálculo Numérico Questão i) n xn f(xn) f'(xn) xn+1 0 1.5000000000 -2.3750000000 -7.2500000000 x1=x0-(f(x0)/f'(x0) 1 1.1724137931 -0.0888105293 -6.6004756243 x2=x1-(f(x1)/f'(x1) -0.3275862069 2 1.1589586219 -0.0002708770 -6.5600309573 x3=x2-(f(x2)/f'(x2) -0.0134551712 3 1.1589173299 -0.0000000026 -6.5599051664 x4=x3-(f(x3)/f'(x3) -0.0000412920 4 1.1589173295 0.0000000000 -6.5599051652 x5=x4-(f(x4)/f'(x4) -0.0000000004 5 1.1589173295 0.0000000000 -6.5599051652 x6=x5-(f(x5)/f'(x5) 0.0000000000 6 1.1589173295 0.0000000000 -6.5599051652 x7=x6-(f(x6)/f'(x6) 0.0000000000 Questão ii) n xn F(xn) xn+1 0 1.0000000000 1.0443218705 x1=Fx(0) 0.0443218705 1 1.0443218705 1.0524231335 x2=Fx(1) 0.0081012631 2 1.0524231335 1.0538332946 x3=Fx(2) 0.0014101611 3 1.0538332946 1.0540765262 x4=Fx(3) 0.0002432316 4 1.0540765262 1.0541184131 x5=Fx(4) 0.0000418869 5 1.0541184131 1.0541256245 x6=Fx(5) 0.0000072114 6 1.0541256245 1.0541268659 x7=Fx(6) 0.0000012415 Reta Cálculo Numérico x y x2 xiyi Método dos Mínimos Quadráticos 1.3000 2.0000 1.6900 2.6000 3.4000 5.2000 11.5600 17.6800 RETA: 5.1000 3.8000 26.0100 19.3800 6.8000 6.1000 46.2400 41.4800 ∑xi 24.6000 8.0000 5.8000 64.0000 46.4000 ∑xi2 149.5000 ∑yi 22.9000 ∑xiyi 127.5400 ∑xi∑yi 563.3400 n 5.0000 a1= 0.5224 a0= 2.0097 y=a1x+a0= 0.5224 x+ 2.0097 Exponencial Cálculo Numérico x y ln y x2 xiyi Método dos Mínimos Quadráticos 0.1000 5.9000 1.7750 0.0100 0.1775 1.5000 8.8000 2.1748 2.2500 3.2621 EXPONENCIAL: 3.3000 12.0000 2.4849 10.8900 8.2002 4.5000 19.8000 2.9857 20.2500 13.4356 ∑xi 14.4000 5.0000 21.5000 3.0681 25.0000 15.3403 ∑xi2 58.4000 ∑yi 12.4883 ∑xiyi 40.4156 ∑xi∑yi 179.8322 n 5.0000 a1= 0.2628 = α1 a0= 1.7407 α0=e^a0 α0= 5.7014 y=α0e^α1X= 5.7014 e^ 0.2628 X Logaritmo Cálculo Numérico x ln x y ln y x2 xiyi Método dos Mínimos Quadráticos 1.0000 0.0000 0.5000 -0.6931 0.0000 0.0000 3.0000 1.0986 0.2890 -1.2413 1.2069 -1.3637 LOGARITMO: 5.0000 1.6094 0.2200 -1.5141 2.5903 -2.4369 7.0000 1.9459 0.1890 -1.6660 3.7866 -3.2419 ∑xi 6.8512 9.0000 2.1972 0.1670 -1.7898 4.8278 -3.9325 ∑xi2 12.4116 ∑yi -6.9044 ∑xiyi -10.9750 ∑xi∑yi -47.3031 n 5.0000 a1= -0.5008 = α1 a0= -0.6946 α0=e^a0 α0= 0.4993 y=α0X^α1= 0.4993 X^ -0.5008 Parábola Cálculo Numérico x y x2 x3 x4 xiyi xi2yi Método dos Mínimos Quadráticos -2.0000 -30.5000 4.0000 -8.0000 16.0000 61.0000 -122.0000 -1.5000 -20.2000 2.2500 -3.3750 5.0625 30.3000 -45.4500 PARÁBOLA: 0.0000 -3.3000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 8.9000 1.0000 1.0000 1.0000 8.9000 8.9000 ∑xi 2.8000 2.2000 16.8000 4.8400 10.6480 23.4256 36.9600 81.3120 ∑xi2 21.7000 3.1000 21.4000 9.6100 29.7910 92.3521 66.3400 205.6540 ∑xi3 30.0640 ∑xi4 137.8402 ∑yi -6.9000 ∑xiyi 203.5000 ∑xi2yi 128.4160 n 7.0000 7.0000 2.8000 21.7000 -6.9000 -0.4000 -2.8000 -1.1200 -8.6800 2.7600 2.8000 21.7000 30.0640 203.5000 2.8000 21.7000 30.0640 203.5000 21.7000 30.0640 137.8402 128.4160 0.0000 20.5800 21.3840 206.2600 7.0000 2.8000 21.7000 -6.9000 -3.1000 -21.7000 -8.6800 -67.2700 21.3900 0.0000 20.5800 21.3840 206.2600 21.7000 30.0640 137.8402 128.4160 21.7000 30.0640 137.8402 128.4160 0.0000 21.3840 70.5702 149.8060 7.0000 2.8000 21.7000 -6.9000 0.0000 20.5800 21.3840 206.2600 -1.0391 0.0000 -21.3840 -22.2194 -214.3180 0.0000 21.3840 70.5702 149.8060 0.0000 21.3840 70.5702 149.8060 0.0000 0.0000 48.3508 -64.5120 7.0000 2.8000 21.7000 -6.9000 a0 -1.4130 0.0000 20.5800 21.3840 206.2600 a1 11.4087 0.0000 0.0000 48.3508 -64.5120 a2 -1.3342 Y=-1,3342X2+11,4087X-1,4130 Exercícios 1a PARÁBOLA: x y x2 x3 x4 xiyi xi2yi 2.0000 30.0000 4.0000 8.0000 16.0000 60.0000 120.0000 ∑xi 20.0000 3.0000 43.0000 9.0000 27.0000 81.0000 129.0000 387.0000 ∑xi2 90.0000 4.0000 58.0000 16.0000 64.0000 256.0000 232.0000 928.0000 ∑xi3 440.0000 5.0000 75.0000 25.0000 125.0000 625.0000 375.0000 1875.0000 ∑xi4 2274.0000 6.0000 94.0000 36.0000 216.0000 1296.0000 564.0000 3384.0000 ∑yi 300.0000 ∑xiyi 1360.0000 ∑xi2yi 6694.0000 n 6.0000 5.0000 20.0000 90.0000 300.0000 -4.0000 -20.0000 -80.0000 -360.0000 -1200.0000 20.0000 90.0000 440.0000 1360.0000 20.0000 90.0000 440.0000 1360.0000 90.0000 440.0000 2274.0000 6694.0000 0.0000 10.0000 80.0000 160.0000 5.0000 20.0000 90.0000 300.0000 -18.0000 -90.0000 -360.0000 -1620.0000 -5400.0000 0.0000 10.0000 80.0000 160.0000 90.0000 440.0000 2274.0000 6694.0000 90.0000 440.0000 2274.0000 6694.0000 0.0000 80.0000 654.0000 1294.0000 5.0000 20.0000 90.0000 300.0000 0.0000 10.0000 80.0000 160.0000 -8.0000 0.0000 -80.0000 -640.0000 -1280.0000 0.0000 80.0000 654.0000 1294.0000 0.0000 80.0000 654.0000 1294.0000 0.0000 0.0000 14.0000 14.0000 5.0000 20.0000 90.0000 300.0000 a0 10.0000 0.0000 10.0000 80.0000 160.0000 a1 8.0000 0.0000 0.0000 14.0000 14.0000 a2 1.0000 Y=a2X2+a1X+a0 Y=8X2+X+10 1b EXPONENCIAL: x y ln y x2 xiyi X Y 1.0000 11.0000 2.3979 1.0000 2.3979 1.0000 11.0000 ∑xi 24.0000 3.0000 29.0000 3.3673 9.0000 10.1019 3.0000 29.0000 ∑xi2 148.0000 5.0000 63.0000 4.1431 25.0000 20.7157 5.0000 63.0000 ∑yi 19.6055 7.0000 113.0000 4.7274 49.0000 33.0917 7.0000 113.0000 ∑xiyi 106.0657 8.0000 144.0000 4.9698 64.0000 39.7585 8.0000 144.0000 ∑xi∑yi 470.5326 n 5.0000 ln y = ln (α0e^α1X) -> ln y = ln α0 + ln (e^α1X) a1= 0.3646 = α1 ln y = ln α0 + α1X ln e --> ln y = ln α0 + α1X a0= 2.1710 α0=e^a0 y = α0 + α1X α0= 8.7669 a0 = ln α0 α0 = e^a0 y=α0e^α1X= 8.7669 e^ 0.3646 X 2 RETA: x y x2 xiyi X Y -2.0000 4.4000 4.0000 -8.8000 -2.0000 4.4000 ∑xi 9.7000 -0.5000 5.1000 0.2500 -2.5500 -0.5000 5.1000 ∑xi2 51.5100 1.2000 3.2000 1.4400 3.8400 1.2000 3.2000 ∑yi 14.0000 2.1000 1.6000 4.4100 3.3600 2.1000 1.6000 ∑xiyi -5.9600 3.5000 0.1000 12.2500 0.3500 3.5000 0.1000 ∑xi∑yi 135.8000 5.4000 -0.4000 29.1600 -2.1600 5.4000 -0.4000 n 6.0000 a1= -0.7981 a0= 3.6235 y=a1x+a0= -0.7981 x+ 3.6235 3 PARÁBOLA: x y x2 x3 x4 xiyi xi2yi -7.0000 19.0000 49.0000 -343.0000 2401.0000 -133.0000 931.0000 ∑xi -7.0000 -5.0000 3.0000 25.0000 -125.0000 625.0000 -15.0000 75.0000 ∑xi2 91.0000 0.0000 -2.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 ∑xi3 -403.0000 1.0000 3.0000 1.0000 1.0000 1.0000 3.0000 3.0000 ∑xi4 3283.0000 4.0000 30.0000 16.0000 64.0000 256.0000 120.0000 480.0000 ∑yi 53.0000 ∑xiyi -25.0000 ∑xi2yi 1489.0000 n 6.0000 5.0000 -7.0000 91.0000 53.0000 1.4000 7.0000 -9.8000 127.4000 74.2000 -7.0000 91.0000 -403.0000 -25.0000 -7.0000 91.0000 -403.0000 -25.0000 91.0000 -403.0000 3283.0000 1489.0000 0.0000 81.2000 -275.6000 49.2000 5.0000 -7.0000 91.0000 53.0000 -18.2000 -91.0000 127.4000 -1656.2000 -964.6000 0.0000 81.2000 -275.6000 49.2000 91.0000 -403.0000 3283.0000 1489.0000 91.0000 -403.0000 3283.0000 1489.0000 0.0000 -275.6000 1626.8000 524.4000 5.0000 -7.0000 91.0000 53.0000 0.0000 81.2000 -275.6000 49.2000 3.3941 0.0000 275.6000 -935.4108 166.9892 0.0000 -275.6000 1626.8000 524.4000 0.0000 -275.6000 1626.8000 524.4000 0.0000 0.0000 691.3892 691.3892 5.0000 -7.0000 91.0000 53.0000 a0 -2.0000 0.0000 81.2000 -275.6000 49.2000 a1 4.0000 0.0000 0.0000 691.3892 691.3892 a2 1.0000 Y=a2X^2+a1X+a0 Y=X^2+4X-2 4 EXPONENCIAL: x y ln y x2 xiyi x y 1.0000 6.0000 1.7918 1.0000 1.7917594692 1.0000 6.0000 ∑xi 12.0000 2.0000 12.0000 2.4849 4.0000 4.9698132996 2.0000 12.0000 ∑xi2 46.0000 4.0000 48.0000 3.8712 16.0000 15.4848040436 4.0000 48.0000 ∑yi 12.7122 5.0000 96.0000 4.5643 25.0000 22.8217409573 5.0000 96.0000 ∑xiyi 45.0681 ∑xi∑yi 152.5466 n 4.0000 ln y = ln a0 + ln 2^X a1= 0.6931 y = α0 + α1^X a0= 1.0986 a0 = ln α0 α0= 3.0000 a1 = ln α1 α1= 2.0000 y=α0α1^X= 3x 2^X 5 LOGARÍTMICA: x y ln x ln y xi^2 xiyi 2.0000 2.0000 0.6931 0.6931 0.4805 0.4805 ∑xi 7.4005 4.0000 8.0000 1.3863 2.0794 1.9218 2.8827 ∑xi2 11.8478 5.5000 15.1300 1.7047 2.7167 2.9062 4.6313 ∑yi 11.3356 6.0000 18.0000 1.7918 2.8904 3.2104 5.1789 ∑xiyi 18.5666 6.2000 19.2200 1.8245 2.9560 3.3290 5.3933 ∑xi∑yi 83.8890 n 5.0000 y = α0X^a1 α0=a1= 2.0001 a0= -0.6932 α0=e^a0 α0= 0.5000 y=α0X^α1= 0.5000 X^ 2.0001 Interpolação Exemplo 1 (pág 29) INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA x y 0.1000 0.8100 0 a2x02 a1x0 a01 y0 0.3000 0.4900 1 a2x12 a1x1 a01 y1 0.5000 0.2500 2 a2x22 a1x2 a01 y2 0.0100 0.1000 1.0000 0.8100 -9.0000 -0.0900 -0.9000 -9.0000 -7.2900 0.0900 0.3000 1.0000 0.4900 0.0900 0.3000 1.0000 0.4900 0.2500 0.5000 1.0000 0.2500 0.0000 -0.6000 -8.0000 -6.8000 0.0100 0.1000 1.0000 0.8100 -25.0000 -0.2500 -2.5000 -25.0000 -20.2500 0.0000 -0.6000 -8.0000 -6.8000 0.2500 0.5000 1.0000 0.2500 0.2500 0.5000 1.0000 0.2500 0.0000 -2.0000 -24.0000 -20.0000 0.0100 0.1000 1.0000 0.8100 0.0000 -0.6000 -8.0000 -6.8000 -3.3333 0.0000 2.0000 26.6667 22.6667 0.0000 -2.0000 -24.0000 -20.0000 0.0000 -2.0000 -24.0000 -20.0000 0.0000 0.0000 2.6667 2.6667 0.0100 0.1000 1.0000 0.8100 a0 1.0000 0.0000 -0.6000 -8.0000 -6.8000 a1 -2.0000 0.0000 0.0000 2.6667 2.6667 a2 1.0000 Y=X2-2X+1 X= 0.2 Y= 0.64 Exemplo 1 (pág 32) MÉTODO DE NEWTON-GREGORY x f(x) ∆f(x) ∆^2f(x) ∆^3f(x) ∆^4f(x) r= 1.5000 0.1000 0.1250 -0.0610 0.0240 -0.0060 -0.0000 r(r-1)= 0.75 0.2000 0.0640 -0.0370 0.0180 -0.0060 - r(r-1)(r-2)= -0.375 0.3000 0.0270 -0.0190 0.0120 - - r(r-1)(r-2)(r-3)= 0.5625 0.4000 0.0080 -0.0070 - - - 0.5000 0.0010 - - - - h= 0.1000 x= 0.2500 r= 1.5000 P4( 0.2500 )= 0.0429 Exemplo 2 (pág 33) MÉTODO DE NEWTON-GREGORY x f(x) ∆f(x) ∆^2f(x) ∆^3f(x) ∆^4f(x) ∆^5f(x) r= 2.5000 1960.0000 352724.0000 331184.0000 219938.0000 -191100.0000 5838.0000 -68118.0000 r(r-1)= 3.75 1970.0000 683908.0000 551122.0000 28838.0000 -185262.0000 -62280.0000 - r(r-1)(r-2)= 1.875 1980.0000 1235030.0000 579960.0000 -156424.0000 -247542.0000 - - r(r-1)(r-2)(r-3)= -0.9375 1990.0000 1814990.0000 423536.0000 -403966.0000 - - - r(r-1)(r-2)(r-3)(r-4)= 1.40625 2000.0000 2238526.0000 19570.0000 - - - - 2010.0000 2258096.0000 - - - - - h= 10.0000 x= 1985.0000 r= 2.5000 P5( 1985.0000 )= 1532322.6953 Exercício 1 INTERPOLAÇÃO LINEAR x y 0.1000 1.2010 a1x0 a01 y0 0.2000 1.4160 a1x1 a01 y1 1.2010 0.1000 (x-1) 1.4160 0.2000 -1.201 -0.1 P1 (X)= a1X+a0 1.4160 0.2000 = 2.15 X+ 0.986 0.21499999999999986 0.1 a1= 2.15 P1( 0.1500 )= 1.3085 a0= 0.986 Exercício 2 INTERPOLAÇÃO LINEAR x y 15.0000 15.0000 a1x0 a01 y0 25.0000 20.0000 a1x1 a01 y1 15.0000 15.0000 (x-1) 20.0000 25.0000 -15 -15 P1 (X)= a1X+a0 20.0000 25.0000 = 0.5 X+ 7.5 5 10 a1= 0.5 P1( 23.0000 )= 19 a0= 7.5 Exercício 3 INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA x y 0.0000 0.0000 0 a2x02 a1x0 a01 y0 0.5236 0.3282 1 a2x12 a1x1 a01 y1 0.7854 0.5601 2 a2x22 a1x2 a01 y2 0.6169 0.7854 1.0000 0.5601 -0.4444 -0.2742 -0.3491 -0.4444 -0.2489 0.2742 0.5236 1.0000 0.3282 0.2742 0.5236 1.0000 0.3282 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.1745 0.5556 0.0792 0.6169 0.7854 1.0000 0.5601 a2 0.3300 0.0000 0.1745 0.5556 0.0792 a1 0.4540 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 a0 0.0000 P1 (X)= a2X^2+a1X+a0 = 0.3300 X^2 + 0.4540 X+ 0.0000 Exercício 4a LAGRANGE x y 0.0000 1.0000 0 0.1000 0.7610 1 0.3000 0.0670 2 x= 0.32 L0= 0.1466666667 y0L0= 0.1466666667 L1= -0.32 y1L1= -0.24352 L2= 1.1733333333 y2L2= 0.0786133333 P 0.32 = -0.01824 Exercício 4b LAGRANGE x y 0.0000 1.0000 0 0.1000 0.7610 1 0.3000 0.0670 2 0.4000 -0.3760 3 x= 0.32 L0= 0.0293333333 y0L0= 0.0293333333 L1= -0.0853333333 y1L1= -0.0649386667 L2= 0.9386666667 y2L2= 0.0628906667 L3= 0.1173333333 y3L3= -0.0441173333 P 0.32 = -0.016832 Exercício 4c f(x)= x^3-4x^2-2x+1 0.32 f(0,32)= -0.0168 Exercício 5 MÉTODO DE NEWTON-GREGORY x f(x) ∆f(x) ∆^2f(x) ∆^3f(x) ∆^4f(x) r= 2.5000 0.0000 0.0000 0.0490 -0.0280 0.0240 -0.0210 r(r-1)= 3.75 2.0000 0.0490 0.0210 -0.0040 0.0030 - r(r-1)(r-2)= 1.875 4.0000 0.0700 0.0170 -0.0010 - - r(r-1)(r-2)(r-3)= -0.9375 6.0000 0.0870 0.0160 - - - 8.0000 0.1030 - - - - h= 2.0000 x= 5.0000 r= 2.5000 P4( 5.0000 )= 0.0783 Exercício 6 LAGRANGE Dia 1 x y 6.0000 18.0000 0 8.0000 20.0000 1 10.0000 24.0000 2 12.0000 28.0000 3 x= 9 L0= -0.0625 y0L0= -1.125 L1= 0.5625 y1L1= 11.25 L2= 0.5625 y2L2= 13.5 L3= -0.0625 y3L3= -1.75 P 9 = 21.875 MÉTODO DE NEWTON-GREGORY Dia 1 x f(x) ∆f(x) ∆^2f(x) ∆^3f(x) r= 1.5000 6.0000 18.0000 2.0000 2.0000 -2.0000 r(r-1)= 0.75 8.0000 20.0000 4.0000 0.0000 - r(r-1)(r-2)= -0.375 10.0000 24.0000 4.0000 - - 12.0000 28.0000 - - - h= 2.0000 x= 9.0000 r= 1.5000 P3( 9.0000 )= 21.8750 LAGRANGE Dia 2 x y 6.0000 17.0000 0 8.0000 20.0000 1 10.0000 25.0000 2 12.0000 27.0000 3 x= 9 L0= -0.0625 y0L0= -1.0625 L1= 0.5625 y1L1= 11.25 L2= 0.5625 y2L2= 14.0625 L3= -0.0625 y3L3= -1.6875 P 9 = 22.5625 MÉTODO DE NEWTON-GREGORY Dia 2 x f(x) ∆f(x) ∆^2f(x) ∆^3f(x) r= 1.5000 6.0000 17.0000 3.0000 2.0000 -5.0000 r(r-1)= 0.75 8.0000 20.0000 5.0000 -3.0000 - r(r-1)(r-2)= -0.375 10.0000 25.0000 2.0000 - - 12.0000 27.0000 - - - h= 2.0000 x= 9.0000 r= 1.5000 P3( 9.0000 )= 22.5625 LAGRANGE Dia 3 x y 6.0000 18.0000 0 8.0000 21.0000 1 10.0000 22.0000 2 12.0000 23.0000 3 x= 9 L0= -0.0625 y0L0= -1.125 L1= 0.5625 y1L1= 11.8125 L2= 0.5625 y2L2= 12.375 L3= -0.0625 y3L3= -1.4375 P 9 = 21.625 MÉTODO DE NEWTON-GREGORY Dia 3 x f(x) ∆f(x) ∆^2f(x) ∆^3f(x) r= 1.5000 6.0000 18.0000 3.0000 -2.0000 2.0000 r(r-1)= 0.75 8.0000 21.0000 1.0000 0.0000 - r(r-1)(r-2)= -0.375 10.0000 22.0000 1.0000 - - 12.0000 23.0000 - - - h= 2.0000 x= 9.0000 r= 1.5000 P3( 9.0000 )= 21.6250 Média: LAGRANGE 22.0208333333 Média: MÉTODO DE NEWTON-GREGORY 22.0208 Exercício 7 LAGRANGE x y 0.0000 1.0000 0 0.1000 1.2010 1 0.2000 1.4160 2 0.3000 1.6810 3 x= 0.15 L0= -0.0625 y0L0= -0.0625 L1= 0.5625 y1L1= 0.6755625 L2= 0.5625 y2L2= 0.7965 L3= -0.0625 y3L3= -0.1050625 P 0.15 = 1.3045 MÉTODO DE NEWTON-GREGORY x f(x) ∆f(x) ∆^2f(x) ∆^3f(x) r= 1.5000 0.0000 1.0000 0.2010 0.0140 0.0360 r(r-1)= 0.75 0.1000 1.2010 0.2150 0.0500 - r(r-1)(r-2)= -0.375 0.2000 1.4160 0.2650 - - 0.3000 1.6810 - - - h= 0.1000 x= 0.1500 r= 1.5000 P3( 0.1500 )= 1.3045 Prova 2 Cálculo Numérico 1/6/15 QUESTÃO 01 - MÉTODO DE LAGRANGE x y 98.9000 1544.0000 0 104.4000 1538.0000 1 110.0000 1532.0000 2 x= 100 L0= 0.7207207207 y0L0= 1112.7927927928 L1= 0.3571428571 y1L1= 549.2857142857 L2= -0.0778635779 y2L2= -119.287001287 P2 100 = 1542.7915057915 m/s QUESTÃO 02 - MÉTODO DE NEWTON-GREGORY x f(x) ∆f(x) ∆^2f(x) ∆^3f(x) ∆^4f(x) ∆^5f(x) r= 3.4000 1940.0000 132165.0000 19161.0000 8836.0000 -12854.0000 16133.0000 -18822.0000 r(r-1)= 8.16 1950.0000 151326.0000 27997.0000 -4018.0000 3279.0000 -2689.0000 r(r-1)(r-2)= 11.424 1960.0000 179323.0000 23979.0000 -739.0000 590.0000 - r(r-1)(r-2)(r-3)= 4.5696 1970.0000 203302.0000 23240.0000 -149.0000 - - r(r-1)(r-2)(r-3)(r-4)= -2.74176 1980.0000 226542.0000 23091.0000 - - - 1990.0000 249633.0000 - - - - h= 10.0000 x= 1974.0000 r= 3.4000 P4( 1974.0000 )= 212391.0323 QUESTÃO 03 x f(x) 680.0000 96.9200 690.0000 97.3200 700.0000 97.7100 710.0000 98.1100 720.0000 98.4900 730.0000 98.8800 740.0000 99.2600 780.0000 100.7300 A função que melhor se ajusta aos dados acima é a função logarítmica. QUESTÃO 04 x f(x) ln y x2 xiyi 0.0000 0.4500 -0.7985076962 0.0000 0 10.0000 0.3130 -1.1615520884 100.0000 -11.6155208844 20.0000 0.2500 -1.3862943611 400.0000 -27.7258872224 30.0000 0.2150 -1.5371172509 900.0000 -46.1135175256 40.0000 0.1920 -1.650259907 1600.0000 -66.0103962782 60.0000 0.1640 -1.8078888512 3600.0000 -108.4733310695 70.0000 0.1540 -1.8708026766 4900.0000 -130.9561873598 ∑xi 230.0000 ∑xi2 11500.0000 ∑yi -10.2124 ∑xiyi -390.8948 ∑xi∑yi -2348.8573 n 7.0000 a1= -0.0140 = α1 a0= -0.9977 α0=e^a0 α0= 0.3687 y=α0e^α1X= 0.3687 e^ -0.0140 X f(90)= 0.1042460124 μ Integração Exercício 1 Exercício 2 REGRA DOS TRAPÉZIOS - COMPOSTA REGRA DOS TRAPÉZIOS x y 2y a= 3.0 b= 6.0 0.0000 5.0210 0 5.0210 f(a)= 11.0 f(b)= 20.0 0.5000 6.1460 1 12.292 1.0000 6.6300 2 13.26 Função= 3x+2 1.5000 6.9450 3 13.89 2.0000 7.1780 4 14.356 IT= 46.5 2.5000 7.3640 5 14.728 3.0000 7.5190 6 7.5190 Exercício 4 a= 0.0 b= 3.0 n= 6 h= 0.5 REGRA DE SIMPSON IT= 20.2665 x y i *y 2.0000 0.0717 0 0.0717 Exercício 3 2.2000 0.0722 1 0.2887 2.4000 0.0720 2 0.1440 REGRA DOS TRAPÉZIOS - COMPOSTA 2.6000 0.0713 3 0.2853 2.8000 0.0703 4 0.1406 x y i *y 3.0000 0.0690 5 0.2761 0.0000 1.0000 0 1.0000 3.2000 0.0676 6 0.1352 0.2500 0.7751 1 1.5503 3.4000 0.0660 7 0.2642 0.5000 0.5851 2 1.1701 3.6000 0.0644 8 0.1289 0.7500 0.4181 3 0.8362 3.8000 0.0628 9 0.2512 1.0000 0.2702 4 0.2702 4.0000 0.0611 10 0.0611 a= 0.0 b= 1.0 a= 2.0 b= 4.0 n= 4 h= 0.25 n= 10 h= 0.2 Função= (cos x)/(1+x) Função= ln(x+x^2)/(x+3)^2 IT= 0.60334212 IT= 0.136458144 Exercício 5 REGRA DE SIMPSON x y i *y 2.0000 41.0000 0 41.0000 2.5000 77.2500 1 309.0000 3.0000 130.0000 2 260.0000 3.5000 202.2500 3 809.0000 4.0000 297.0000 4 297.0000 a= 2.0 b= 4.0 n= 4 h= 0.5 Função= f(x) IT= 286 Exercício 6 REGRA DE SIMPSON x y i *y -2.0000 0.4444 0 0.4444 -1.8333 0.4187 1 1.6747 -1.6667 0.3906 2 0.7812 -1.5000 0.3600 3 1.4400 -1.3333 0.3265 4 0.6531 -1.1667 0.2899 5 1.1598 -1.0000 0.2500 6 0.2500 a= -2.0 b= -1.0 n= 6 h= 0.1666666667 Função= x^2/(x-1)^2 IT= 0.3557366371 EDO - Euler Exemplo 1 MÉTODO DE EULER y'= x-y+2 x= 0.0 f(xi,yi)= xi-yi+2 y= 2.0 h= 0.1 intervalo: 0 1 x xi f(xi,yi) y' 0.0000 x0 0.0000 y1= 2 0.1000 x1 0.1000 y2= 2.01 0.2000 x2 0.1900 y3= 2.029 0.3000 x3 0.2710 y4= 2.0561 0.4000 x4 0.3439 y5= 2.09049 0.5000 x5 0.4095 y6= 2.131441 0.6000 x6 0.4686 y7= 2.1782969 0.7000 x7 0.5217 y8= 2.23046721 0.8000 x8 0.5695 y9= 2.287420489 0.9000 x9 0.6126 y10= 2.3486784401 1.0000 x10 Exemplo 2 MÉTODO DE EULER y'= x^2 + y^2 x= 0.0 f(xi,yi)= xi^2 + yi^2 y= 0.0 h= 0.2 intervalo: 0 1 x xi f(xi,yi) y' 0.0000 x0 0.0000 y1= 0 0.2000 x1 0.0400 y2= 0.008 0.4000 x2 0.1601 y3= 0.0400128 0.6000 x3 0.3616 y4= 0.1123330048 0.8000 x4 0.6526 y5= 0.2428567456 1.0000 x5 1.0590 Exercício 1 MÉTODO DE EULER y'= x-y+2 x= 0.0 f(xi,yi)= xi-yi+2 y= 2.0 h= 0.01 intervalo: 0 1 100 x xi f(xi,yi) y' 0.0000 x0 0.0000 y1 2 0.0100 x1 0.0100 y2 2.0001 0.0200 x2 0.0199 y3 2.000299 0.0300 x3 0.0297 y4 2.00059601 0.0400 x4 0.0394 y5 2.0009900499 0.0500 x5 0.0490 y6 2.0014801494 0.0600 x6 0.0585 y7 2.0020653479 0.0700 x7 0.0679 y8 2.0027446944 0.0800 x8 0.0773 y9 2.0035172475 0.0900 x9 0.0865 y10 2.004382075 0.1000 x10 0.0956 y11 2.0053382543 0.1100 x11 0.1047 y12 2.0063848717 0.1200 x12 0.1136 y13 2.007521023 0.1300 x13 0.1225 y14 2.0087458128 0.1400 x14 0.1313 y15 2.0100583546 0.1500 x15 0.1399 y16 2.0114577711 0.1600 x16 0.1485 y17 2.0129431934 0.1700 x17 0.1571 y18 2.0145137615 0.1800 x18 0.1655 y19 2.0161686238 0.1900 x19 0.1738 y20 2.0179069376 0.2000 x20 0.1821 y21 2.0197278682 0.2100 x21 0.1903 y22 2.0216305895 0.2200 x22 0.1984 y23 2.0236142836 0.2300 x23 0.2064 y24 2.0256781408 0.2400 x24 0.2143 y25 2.0278213594 0.2500 x25 0.2222 y26 2.0300431458 0.2600 x26 0.2300 y27 2.0323427143 0.2700 x27 0.2377 y28 2.0347192872 0.2800 x28 0.2453 y29 2.0371720943 0.2900 x29 0.2528 y30 2.0397003734 0.3000 x30 0.2603 y31 2.0423033697 0.3100 x31 0.2677 y32 2.044980336 0.3200 x32 0.2750 y33 2.0477305326 0.3300 x33 0.2823 y34 2.0505532273 0.3400 x34 0.2894 y35 2.053447695 0.3500 x35 0.2966 y36 2.056413218 0.3600 x36 0.3036 y37 2.0594490859 0.3700 x37 0.3106 y38 2.062554595 0.3800 x38 0.3174 y39 2.0657290491 0.3900 x39 0.3243 y40 2.0689717586 0.4000 x40 0.3310 y41 2.072282041 0.4100 x41 0.3377 y42 2.0756592206 0.4200 x42 0.3443 y43 2.0791026284 0.4300 x43 0.3509 y44 2.0826116021 0.4400 x44 0.3574 y45 2.0861854861 0.4500 x45 0.3638 y46 2.0898236312 0.4600 x46 0.3702 y47 2.0935253949 0.4700 x47 0.3765 y48 2.0972901409 0.4800 x48 0.3827 y49 2.1011172395 0.4900 x49 0.3889 y50 2.1050060671 0.5000 x50 0.3950 y51 2.1089560065 0.5100 x51 0.4010 y52 2.1129664464 0.5200 x52 0.4070 y53 2.1170367819 0.5300 x53 0.4130 y54 2.1211664141 0.5400 x54 0.4188 y55 2.12535475 0.5500 x55 0.4246 y56 2.1296012025 0.5600 x56 0.4304 y57 2.1339051905 0.5700 x57 0.4361 y58 2.1382661385 0.5800 x58 0.4417 y59 2.1426834772 0.5900 x59 0.4473 y60 2.1471566424 0.6000 x60 0.4528 y61 2.151685076 0.6100 x61 0.4583 y62 2.1562682252 0.6200 x62 0.4637 y63 2.160905543 0.6300 x63 0.4691 y64 2.1655964875 0.6400 x64 0.4744 y65 2.1703405227 0.6500 x65 0.4797 y66 2.1751371174 0.6600 x66 0.4849 y67 2.1799857462 0.6700 x67 0.4900 y68 2.1848858888 0.6800 x68 0.4951 y69 2.1898370299 0.6900 x69 0.5002 y70 2.1948386596 0.7000 x70 0.5052 y71 2.199890273 0.7100 x71 0.5101 y72 2.2049913703 0.7200 x72 0.5150 y73 2.2101414566 0.7300 x73 0.5199 y74 2.215340042 0.7400 x74 0.5247 y75 2.2205866416 0.7500 x75 0.5294 y76 2.2258807752 0.7600 x76 0.5341 y77 2.2312219674 0.7700 x77 0.5388 y78 2.2366097477 0.7800 x78 0.5434 y79 2.2420436503 0.7900 x79 0.5480 y80 2.2475232138 0.8000 x80 0.5525 y81 2.2530479816 0.8100 x81 0.5570 y82 2.2586175018 0.8200 x82 0.5614 y83 2.2642313268 0.8300 x83 0.5658 y84 2.2698890135 0.8400 x84 0.5701 y85 2.2755901234 0.8500 x85 0.5744 y86 2.2813342222 0.8600 x86 0.5787 y87 2.2871208799 0.8700 x87 0.5829 y88 2.2929496711 0.8800 x88 0.5871 y89 2.2988201744 0.8900 x89 0.5912 y90 2.3047319727 0.9000 x90 0.5953 y91 2.310684653 0.9100 x91 0.5993 y92 2.3166778064 0.9200 x92 0.6033 y93 2.3227110284 0.9300 x93 0.6073 y94 2.3287839181 0.9400 x94 0.6112 y95 2.3348960789 0.9500 x95 0.6151 y96 2.3410471181 0.9600 x96 0.6190 y97 2.3472366469 0.9700 x97 0.6228 y98 2.3534642805 0.9800 x98 0.6265 y99 2.3597296376 0.9900 x99 0.6303 y100 2.3660323413 1.0000 x100 0.6340 Exercício 1 MÉTODO DE EULER y'= x-y+2 x= 0.0 f(xi,yi)= xi-yi+2 y= 2.0 h= 0.05 intervalo: 0 1 20 x xi f(xi,yi) y' 0.0000 x0 0.0000 y1 2 0.0500 x1 0.0500 y2 2.0025 0.1000 x2 0.0975 y3 2.007375 0.1500 x3 0.1426 y4 2.01450625 0.2000 x4 0.1855 y5 2.0237809375 0.2500 x5 0.2262 y6 2.0350918906 0.3000 x6 0.2649 y7 2.0483372961 0.3500 x7 0.3017 y8 2.0634204313 0.4000 x8 0.3366 y9 2.0802494097 0.4500 x9 0.3698 y10 2.0987369392 0.5000 x10 0.4013 y11 2.1188000923 0.5500 x11 0.4312 y12 2.1403600877 0.6000 x12 0.4596 y13 2.1633420833 0.6500 x13 0.4867 y14 2.1876749791 0.7000 x14 0.5123 y15 2.2132912302 0.7500 x15 0.5367 y16 2.2401266687 0.8000 x16 0.5599 y17 2.2681203352 0.8500 x17 0.5819 y18 2.2972143185 0.9000 x18 0.6028 y19 2.3273536025 0.9500 x19 0.6226 y20 2.3584859224 1.0000 x20 0.6415 Exercício 2 MÉTODO DE EULER y'= x-(2x/y) x= 0.0 f(xi,yi)= xi-(2xi/yi) y= 1.0 h= 0.20 intervalo: 0 1 5 x xi f(xi,yi) y' 0.0000 x0 1.0000 y1 1.2 0.2000 x1 0.8667 y2 1.3733333333 0.4000 x2 0.7908 y3 1.5314951456 0.6000 x3 0.7479 y4 1.6810845693 0.8000 x4 0.7293 y5 1.8269481804 1.0000 x5 0.4914 Exercício 3 MÉTODO DE EULER y'= 1/x x= 1.0 f(xi,yi)= 1/x' y= 0.0 h= 0.10 intervalo: 1 2 10 x xi f(xi,yi) y' 1.0000 x0 1.0000 y1 0.1 1.1000 x1 0.9091 y2 0.1909090909 1.2000 x2 0.8333 y3 0.2742424242 1.3000 x3 0.7692 y4 0.3511655012 1.4000 x4 0.7143 y5 0.4225940726 1.5000 x5 0.6667 y6 0.4892607393 1.6000 x6 0.6250 y7 0.5517607393 1.7000 x7 0.5882 y8 0.6105842687 1.8000 x8 0.5556 y9 0.6661398242 1.9000 x9 0.5263 y10 0.7187714032 2.0000 x10 0.5000 EDO - RK Exemplo 1 MÉTODO DE RUNGE KUTTA y'= x+3y x= 0.0 f(xi,yi)= xi+3yi y= 0.0 h= 0.50 intervalo: 0 2 3 x xi K1 xi+h 3*(yi+h*K1) K2 y' 0.0000 x0 0.0000 0.5000 0 0.5000 y1 0.125 0.5000 x1 0.8750 1.0000 1.6875 2.6875 y2 1.015625 1.0000 x2 4.0469 1.5000 9.1171875 10.6172 y3 4.681640625 1.5000 x3 Exemplo 2 MÉTODO DE RUNGE KUTTA y'= ((2y)/(x+1))+(x+1)^3 x= 0.0 h/2= 0.1 f(xi,yi)= ((2yi)/(xi+1))+(xi+1)^3 y= 3.0 h= 0.20 intervalo: 0 1 5 x xi K1 K2 K3 K4 y' 0.0000 x0 7.0000 8.0583 8.2507 9.4782 y1 4.0929062443 0.2000 x1 8.5495 ERROR:#REF! y2 ERROR:#REF! 0.4000 x2 ERROR:#REF! ERROR:#REF! y3 ERROR:#REF! 0.6000 x3 0.8000 x4 1.0000 Derivada trabalho DERIVAÇÃO NUMÉRICA - Central K 10^-k 2*10^-k 2+10^-k (2+10^-k)^3 2*(2+10^-k) e^(2+10^-k) f'(t) 1 0.1 0.2 2.1 9.261 4.2 8.1661699126 1.5005947212 2 0.01 0.02 2.01 8.120601 4.02 7.4633173473 1.5000059418 3 0.001 0.002 2.001 8.012006001 4.002 7.3964488508 1.5000000594 4 0.0001 0.0002 2.0001 8.00120006 4.0002 7.3897950415 1.5000000006 K 10^-k 2-10^-k (2-10^-k)^3 2*(2-10^-k) e^(2-10^-k) 1 0.1 1.9 6.859 3.8 6.6858944423 2 0.01 1.99 7.880599 3.98 7.3155337623 3 0.001 1.999 7.988005999 3.998 7.3816707361 4 0.0001 1.9999 7.99880006 3.9998 7.3883172303 REGRA DOS TRAPÉZIOS - COMPOSTA x y 2y 0.0000 124.0000 0 124.00 6.0000 134.0000 1 268.00 12.0000 148.0000 2 296.00 18.0000 156.0000 3 312.00 24.0000 147.0000 4 294.00 30.0000 133.0000 5 266.00 36.0000 121.0000 6 242.00 42.0000 109.0000 7 218.00 48.0000 99.0000 8 198.00 54.0000 85.0000 9 170.00 60.0000 78.0000 10 156.00 66.0000 89.0000 11 178.00 72.0000 104.0000 12 104.00 a= 0.0 b= 72.0 n= 12 h= 6 IT= 8478 pés Prova 3 Cálculo Numérico 1/12/15 Questão 1 MÉTODO DE EULER x= 0.0 y= 2.0 h= 0.05 intervalo: 0 1 20 x xi f(xi,yi) y' e^-x 5e^-x 0.0000 x0 1.0000 y1 2.050000 1.0000 5.0000 -4.0000 0.0500 x1 0.6561 y2 2.0828073561 0.9512294245 4.7561471225 -4.1000 0.1000 x2 0.3586 y3 2.100735975 0.904837418 4.5241870902 -4.1656147123 0.1500 x3 0.1021 y4 2.1058393716 0.8607079764 4.3035398821 -4.20147195 0.2000 x4 -0.1180 y5 2.0999381227 0.8187307531 4.0936537654 -4.2116787433 0.2500 x5 -0.3059 y6 2.0846445062 0.7788007831 3.8940039154 -4.1998762455 0.3000 x6 -0.4652 y7 2.0613846108 0.7408182207 3.7040911034 -4.1692890125 0.3500 x7 -0.5993 y8 2.0314181721 0.7046880897 3.5234404486 -4.1227692215 0.4000 x8 -0.7112 y9 1.9958563664 0.670320046 3.3516002302 -4.0628363443 0.4500 x9 -0.8036 y10 1.9556777677 0.6376281516 3.1881407581 -3.9917127328 0.5000 x10 -0.8787 y11 1.9117426558 0.6065306597 3.0326532986 -3.9113555354 0.5500 x11 -0.9387 y12 1.8648058429 0.5769498104 2.8847490519 -3.8234853117 0.6000 x12 -0.9856 y13 1.8155281676 0.5488116361 2.7440581805 -3.7296116857 0.6500 x13 -1.0208 y14 1.764486795 0.5220457768 2.6102288838 -3.6310563352 0.7000 x14 -1.0460 y15 1.7121844415 0.4965853038 2.482926519 -3.5289735901 0.7500 x15 -1.0625 y16 1.6590576355 0.4723665527 2.3618327637 -3.4243688829 0.8000 x16 -1.0715 y17 1.605484113 0.4493289641 2.2466448206 -3.318115271 0.8500 x17 -1.0739 y18 1.5517894347 0.4274149319 2.1370746597 -3.210968226 0.9000 x18 -1.0707 y19 1.4982529061 0.4065696597 2.0328482987 -3.1035788694 0.9500 x19 -1.0628 y20 1.4451128714 0.3867410235 1.9337051173 -2.9965058123 1.0000 x20 0.0000 y(1)≈ 1.4451128714 Questão 2 MÉTODO DE RUNGE KUTTA 2ª ORDEM x= 0.0 y= 300.0 h= 1.00 intervalo: 0 30 30 t ti K1 K2 T' 0.0000 t1 -43.7414 -35.422660548 T1 260.417969726 1.0000 t2 -36.2137 -29.3265700167 T2 227.6478399764 2.0000 t3 -29.9815 -24.2795909635 T3 200.5173113913 3.0000 t4 -24.8218 -20.1011757263 T4 178.0558323879 4.0000 t5 -20.5501 -16.6418481344 T5 159.459879219 5.0000 t6 -17.0135 -13.7778562358 T6 144.0642111861 6.0000 t7 -14.0855 -11.4067452678 T7 131.3180727105 7.0000 t8 -11.6615 -9.4436925004 T8 120.7654909263 8.0000 t9 -9.6546 -7.8184728375 T9 112.0289639753 9.0000 t10 -7.9931 -6.4729466264 T10 104.7959564777 10.0000 t11 -6.6175 -5.3589798033 T11 98.8077190746 11.0000 t12 -5.4787 -4.4367219737 T12 93.850032081 12.0000 t13 -4.5358 -3.6731808281 T13 89.7455421163 13.0000 t14 -3.7552 -3.0410418944 T14 86.3474175693 14.0000 t15 -3.1090 -2.5176914061 T15 83.5340959296 15.0000 t16 -2.5739 -2.0844073302 T16 81.2049350826 16.0000 t17 -2.1310 -1.7256896169 T17 79.2766129971 17.0000 t18 -1.7642 -1.4287057097 T18 77.6801470124 18.0000 t19 -1.4606 -1.1828314808 T19 76.3584260926 19.0000 t20 -1.2092 -0.97927117 T20 75.2641677704 20.0000 t21 -1.0011 -0.8107427304 T21 74.3582266919 21.0000 t22 -0.8288 -0.6712173248 T22 73.6081942534 22.0000 t23 -0.6862 -0.5557036532 T23 72.9872392353 23.0000 t24 -0.5681 -0.4600693974 T24 72.4731479577 24.0000 t25 -0.4703 -0.3808933939 T25 72.0475296214 25.0000 t26 -0.3894 -0.3153432467 T26 71.6951584064 26.0000 t27 -0.3224 -0.2610740035 T27 71.4034287918 27.0000 t28 -0.2669 -0.2161442682 T28 71.1619046138 28.0000 t29 -0.2210 -0.178946751 T29 70.9619457286 29.0000 t30 -0.1829 -0.1481507696 T30 70.7963989245 T(15)= 83.5340959296 ºF MÉTODO DE RUNGE KUTTA 2ª ORDEM x= 0.0 y= 300.0 h= 1.00 intervalo: 0 30 30 t ti K1 K2 K3 K4 T' 0.0000 t1 -43.7414 -39.582030274 -39.9775447412 -36.1384705411 T1 260.1668299047 1.0000 t2 -36.1659 -32.7269096452 -33.0539258731 -29.8797320887 T2 227.2322747653 2.0000 t3 -29.9024 -27.0590115644 -27.3293926052 -24.7049301292 T3 200.0015793514 3.0000 t4 -24.7237 -22.3727236937 -22.596278065 -20.4263401986 T4 177.4869053385 4.0000 t5 -20.4419 -18.4980432225 -18.6828807273 -16.8887494006 T5 158.8714958457 5.0000 t6 -16.9016 -15.294409735 -15.4472356582 -13.9638258024 T6 143.4800462342 6.0000 t7 -13.9744 -12.6456061503 -12.771964504 -11.5454629834 T7 130.75420632 7.0000 t8 -11.5542 -10.4555427558 -10.5600173973 -9.5459308493 T8 120.2323253011 8.0000 t9 -9.5532 -8.6447713948 -8.7311523138 -7.8926930787 T9 111.5327046142 9.0000 t10 -7.8987 -7.1476033539 -7.2190241606 -6.5257757487 T10 104.3397511906 10.0000 t11 -6.5307 -5.9097263966 -5.9687779984 -5.3955916817 T11 98.3925287984 11.0000 t12 -5.3997 -4.8862344976 -4.9350590885 -4.4611415894 T12 93.4752921503 12.0000 t13 -4.4645 -4.0399988025 -4.080367575 -3.6885267557 T13 89.4096603883 13.0000 t14 -3.6913 -3.3403207178 -3.3736981156 -3.049719305 T14 86.0481460242 14.0000 t15 -3.0520 -2.7618182686 -2.7894151117 -2.5215454449 T15 83.2688045882 15.0000 t16 -2.5235 -2.2835053257 -2.3063227352 -2.0848447988 T16 80.970810892 16.0000 t17 -2.0864 -1.8880302994 -1.9068960143 -1.7237753314 T17 79.0708014296 17.0000 t18 -1.7251 -1.5610466817 -1.5766450869 -1.4252386533 T18 77.4998502286 18.0000 t19 -1.4263 -1.2906926035 -1.3035895568 -1.1784048546 T19 76.2009684466 19.0000 t20 -1.1793 -1.0671605251 -1.0778238848 -0.9743196328 T20 75.127037008 20.0000 t21 -0.9751 -0.8823414525 -0.8911580495 -0.8055794603 T21 74.2390972809 21.0000 t22 -0.8062 -0.7295307692 -0.73682044 -0.6660630096 T22 73.5049377894 22.0000 t23 -0.6666 -0.603185016 -0.6092122056 -0.5507090915 T23 72.8979256888 23.0000 t24 -0.5511 -0.4987207928 -0.5037041473 -0.4553330528 T24 72.3960406154 24.0000 t25 -0.4557 -0.4123484877 -0.4164687865 -0.3764749704 T25 71.9810758615 25.0000 t26 -0.3768 -0.3409348032 -0.3443415169 -0.3112741377 T26 71.6379778973 26.0000 t27 -0.3115 -0.2818890901 -0.2847058029 -0.2573652869 T27 71.3543002791 27.0000 t28 -0.2576 -0.233069368 -0.2353982609 -0.2127927858 T28 71.119752134 28.0000 t29 -0.2130 -0.1927046212 -0.1946301784 -0.1759396935 T29 70.9258248417 29.0000 t30 -0.1761 -0.1593305518 -0.1609226262 -0.1454691033 T30 70.7654833704 T(15)= 83.2688045882 ºF Comparação dos métodos: RK2: T(15)= 83.5340959296 ºF RK4: T(15)= 83.2688045882 ºF Os dois métodos RK apresentaram resultados próximos, porém sabe-se que o método RK4 é mais preciso.
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