Unidade 4. Nivelamento Geométrico

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Universidade Federal de Rondônia 
Câmpus Rolim de Moura
Bacharelado em Agronomia
Topografia II (DRA 30029)
Bacharelado em Engenharia Florestal
Topografia II (EGF 30031)
Unidade IV
Nivelamento Geométrico
Professor:
Adriano Reis Prazeres Mascarenhas
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Conteúdo Programático
• Unidade IV
– Nivelamento Geométrico;
 Definição/Finalidade;
 Tipos de Nivelamento Geométrico;
 Convenções;
 Parâmetros do Nivelamento Geométrico;
 Procedimento de Campo;
 Nivelamento Geométrico Simples e
Composto;
 Cálculo do erro, tolerância e compensação do
erro.
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O que é o Nivelamento Geométrico?
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Definição/Finalidade
• Baseia-se em visadas horizontais sucessivas,
para a obtenção de leituras do fio médio (FM)
em miras falantes, objetivando-se a obtenção de
diferenças de nível (DN), cotas e altitudes entre
pontos na superfície de um determinado local.
• É considerado o nivelamento mais simples de
ser realizado e mais preciso.
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Definição/Finalidade
• É o método usado nos levantamentos
altimétricos de alta precisão que se
desenvolvem ao longo de rodovias e ferrovias;
• No SGB, os pontos cujas altitudes foram
determinadas a partir de nivelamento
geométrico são denominados referências de
nível (RN’s);
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Definição/Finalidade
• Utilizados para fins topográficos ou
geodésicos;
• A diferença entre estas duas finalidades de
nivelamento geométrico está na precisão (maior
no caso do nivelamento para fins geodésicos) e
no instrumental utilizado.
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Tipos de Nivelamento Geométrico
• Simples – o desnível entre os pontos de interesse é
determinado com apenas uma única instalação do
equipamento, ou seja, um único lance de onde podem
ser visados um ou mais pontos.
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Tipos de Nivelamento Geométrico
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Tipos de Nivelamento Geométrico
• Composto – o desnível entre os pontos será
determinado a partir de vários lances, sendo o desnível
final calculado pela somatória dos desníveis de cada
lance;
• Quando não for possível visualizarem-se pontos
necessários, devido a obstáculos no percurso, relevos
íngremes, distâncias grandes (acima de 80 m entre o
instrumento e o ponto);
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Tipos de Nivelamento Geométrico
• O instrumento será instalado mais de uma vez surgindo
duas ou mais estações;
• Pode-se dizer que o nivelamento geométrico composto
é uma sucessão de nivelamentos geométricos simples,
devidamente amarrados a pontos topográficos em
comum;
• O nível estacionado em um ponto pode realizar a leitura
de mais de uma mira, tanto em ré quanto em vante.
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Tipos de Nivelamento Geométrico
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Tipos de Nivelamento Geométrico
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Convenções
• Estação é todo ponto onde o instrumento é instalado;
• Visada à Ré ou de Ré é a primeira visada ou leitura que
é feita após a instalação do instrumento;
• Visada à vante ou leitura de vante é toda leitura ou
visada realizada após a de Ré;
• Isto se aplica não só nos nivelamentos, mas em todo
trabalho de Topografia.
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Convenções
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Método de Visadas Iguais
• Método mais preciso;
• Grande aplicação na engenharia;
• Miras são colocadas à mesma distância do
nível;
• Método simples de se aplicar.
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Método de Visadas Iguais
• As duas miras são colocadas à mesma
distância do nível, sobre os pontos que deseja-
se determinar o desnível, sendo então
efetuadas as leituras.
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Método de Visadas Iguais
• Método de Visadas Iguais.
− Não há necessidade de
alinhamento entre as miras
e o nível;
− Aceita-se situações como
a mostrada na figura ao
lado. Manter a visibilidade
entre o nível e as miras.
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Método de Visadas Iguais
• A alteração da altura do nível não altera o
resultado.
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Método de Visadas Extremas
• Determina-se o desnível entre a posição do
nível e da mira através do conhecimento da
altura do nível e da leitura efetuada sobre a mira
Em que:
hi = altura do instrumento;
LM = Leitura do fio nivelador (fio médio);ΔhAB = desnível entre os pontos A e B.
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Método de Visadas Extremas
• A vantagem é o rendimento apresentado, pois se instala
o nível em uma posição e faz-se a varredura dos pontos
que se deseja determinar as cotas;
• Tem a desvantagem de não eliminar os erros como
curvatura, refração e colimação, além da necessidade
de medir a altura do instrumento, o que pode introduzir
um erro de 0,5 cm ou maior;
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Método de Visadas Extremas
• Para evitar este último, costuma-se realizar uma visada
de ré inicial sobre um ponto de cota conhecida, e desta
forma determinar a altura do instrumento já no
referencial altimétrico a ser utilizado.
Em que:
hi: altura do instrumento;
Lm : Leitura na mira sobre o ponto;
LRN: Leitura na mira sobre a RN;
HRN: altitude da RN;
HB: altitude do ponto B;
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Altura do Instrumento (AIPR) e 
leituras de Ré e Vante
• Altura do instrumento ao plano de referência
(AIPR) é a distância vertical compreendida entre
a linha de visada do instrumento e o plano de
referência;
• Este pode ser o plano de referência qualquer
(PRQ) ou o nível médio dos mares (NMM). Em
cada estação só podemos ter uma altura do
instrumento com relação ao plano de referência.
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Altura do Instrumento (AIPR) e 
leituras de Ré e Vante
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Altura do Instrumento (AIPR) e 
leituras de Ré e Vante
• A visada de Ré é a primeira leitura que se faz
numa estação;
• Somente há uma leitura de Ré para cada
estação;
• O nome Ré deriva de referencial, pois essa
leitura é feita em cima do ponto onde se tem a
cota ou a altitude conhecida;
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Altura do Instrumento (AIPR) e 
leituras de Ré e Vante
• A leitura de Vante ou visada de Vante é a leitura
posterior ou posteriores à visada de Ré na
mesma estação;
• Podemos ter uma ou mais leituras de Vante
para cada estação.
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Procedimento de Campo
• Posicionar miras e nível;
• Miras dispostas o mais vertical possível sobre o
ponto (utilizar níveis das miras);
• Realizar leituras dos fios estadimétricos.
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Procedimento de Campo
• A média das leituras dos fios superior e inferior
deve ser igual leitura do fio médio, com um
desvio tolerável de 2 mm;
• As distâncias podem ser medidas com trenas ou
pelo nível:
𝐃𝐧í𝐯𝐞𝐥 Ͱ𝐦𝐢𝐫𝐚 = 𝐟𝐢𝐨 𝐬𝐮𝐩𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫 – 𝐟𝐢𝐨 𝐢𝐧𝐟𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫 ∗ 𝐒
S = constante estadimétrica do aparelho, normalmente tem valor igual 
a 100.
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Procedimento de Campo
• Utilização de cadernetas.
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Procedimento do Nivelamento 
Geométrico Simples
• Como encontrar a altura do instrumento
• Para obtenção da altura do instrumento é
necessário utilizar o procedimento que consta
em se somar a cota/altitude inicial da estação
com a leitura de Ré, aplicando-se a seguinte
fórmula:
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Procedimento do Nivelamento 
Geométrico Simples
• Como encontrar a cota/altitude intermediária
ou final
• Para obtenção da cota/altitude intermediária ou
final é necessário utilizar o procedimento que
consta em subtrair da altura do instrumento a
leitura de Vante, aplicando-se a seguinte
fórmula:
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Geométrico Simples
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Procedimento do Nivelamento 
Geométrico Composto
• Como visto anteriormente, o nivelamento
geométrico composto caracteriza-se por
apresentar duas ou mais estações.
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Procedimento do Nivelamento 
Geométrico Composto
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Procedimento do Nivelamento 
Geométrico Composto
• O ponto que é comum às duas estações, que no
caso é o ponto P2, é chamado de ponto de
mudança pois é ele a ligação entre elas.
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Transporte de RN 
• Transporte de RN (Referencial de nível) é o
nome atribuído ao processo de transporte de
um valor conhecido de cota ou altitude de um
ponto topográfico para outro ponto a partir
daquele original.
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Contranivelamento
• É o processo inverso ao nivelamento;
• Serve para conferir as altitudes/cotas de
diversos pontos topográficos obtidos no
nivelamento geométrico;
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Contranivelamento
• Após a última estação no nivelamento, retira-
se o instrumento do local e instala-se
novamente, caracterizando-se como uma nova
estação;
• Realiza-se uma nova leitura de Ré no último
ponto obtido e seguindo-se o percurso inverso
ao do nivelamento.
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Contranivelamento
• Não há necessidade de se levantar todos os
pontos novamente.
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Contranivelamento
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Cálculo do erro de nivelamento
• Para verificação da correção do cálculo do
nivelamento geométrico considera-se que a
diferença entre as cotas extremas é igual à soma
das visadas de ré menos a soma das visadas
de vante de mudança:
Em que:
CF= Cota Final;
CI= Cota Inicial;
∑RÉ= Somatório das visadas de Ré;
∑VM= Somatório das visadas de Vante de Mudança;
EN = Erro de nivelamento.
𝐄𝐍= 𝐂𝐅− 𝐂𝐈 ou 𝐄𝐍= ∑𝐑É − ∑𝐕𝐌
𝐂𝐅 − 𝐂𝐈 = ∑𝐑É − ∑𝐕𝐌
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Cálculo da distância média do 
nivelamento
Em que:
DMédia = Distância média do nivelamento;
DNivelamento = Distância percorrida no nivelamento;
DContra-Nivelamento = Distância percorrida no contra-nivelamento.
DMÉDIA =
DNivelamento+DContra−nivelamento
𝟐
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Tolerância do 
nivelamento/contranivelamento
• A tolerância de um nivelamento é calculada em
função do perímetro percorrido em km, sem
contar com o contranivelamento.
Em que:
DMÉDIA = distância média percorrida no nivelamento (km);
T = Tolerância Altimétrica (mm).
Espartel (1987)
𝐓 = 𝟓𝐦𝐦 ∗ DMÉDIA
𝟏
𝟐
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Tolerância do 
nivelamento/contranivelamento
• O erro do nivelamento tem que ser menor que a
tolerância;
• Caso contrário, o nivelamento tem que ser
refeito.
Em que:
EN= Erro do Nivelamento (mm).
T = Tolerância Altimétrica (mm).
𝐄𝐍 < 𝐓
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Tolerância do 
nivelamento/contranivelamento
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Tolerância do 
nivelamento/contranivelamento
• Segundo GARCIA e PIEDADE (1984), classifica-se em:
a) alta ordem: tolerância é de ±1,5 mm/km percorrido.
b) primeira ordem: tolerância é de ±2,5 mm/km percorrido.
c) segunda ordem: tolerância é de 1,0 cm/km percorrido.
d) terceira ordem: tolerância é de 3,0 cm/km percorrido.
e) quarta ordem: tolerância é de 10,0 cm/km percorrido.
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Compensação do Erro de 
Nivelamento
• Se o erro estiver abaixo da tolerância, deve-se fazer a distribuição
desse erro no trabalho;
Em que:
Cerro = Compensação do erro de nivelamento (m);
EN= Erro do Nivelamento (m);
NE= Número de estações;
Cc = Cota corrigida;
CLE = Cota levantada na estação;
E = Número da estação referente à correção.
𝐂𝐞𝐫𝐫𝐨 =
𝐄𝐍
𝐍𝐄
𝐂𝐂 = 𝐂𝐋𝐄 ± (𝐄 ∗ 𝐂𝐞𝐫𝐫𝐨)
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Compensação do Erro de 
Nivelamento
• Quando o erro de nivelamento exceder a Cota
deve-se subtrair a distribuição do erro;
• Quando o erro de nivelamento for menor que a
Cota deve-se somar a distribuição do erro;
• Para proceder à compensação de erros em um
nivelamento, é necessário iniciar e terminar o
levantamento no mesmo ponto.
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Exemplo Prático Nivelamento 
Geométrico Composto
240 Metros
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Exemplo Prático Nivelamento 
Geométrico Composto
240 Metros
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Exemplo Prático Nivelamento 
Geométrico Composto
RÉ VI VM
A 1,8200 51,8200 50,0000 — —
B 3,7250 48,0950 0,0005 48,0945
C 3,7490 48,0710 0,0005 48,0705
C 0,8330 48,9040
D 2,5010 46,4030 0,0010 46,4020
E 2,0340 46,8700 0,0010 46,8690
F 3,6860 45,2180 0,0010 45,2170
G 3,9900 44,9140 0,0010 44,9130
G 3,4540 48,3680
C 0,3010 48,0670 0,0015 48,0655
C 2,8670 50,9340 0,0020
A 0,9320 50,0020 0,0020 50,0000
1
2
3
4
Leituras na Mira
(m)Estação Ponto
Ai
(m)
Cotas
(m)
Compensação do
 erro
(m)
Cotas
Corrigidas
(m)
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Cálculo do Erro de Nivelamento
𝐄𝐍 = 𝐂𝐅− 𝐂𝐈→= 50,002 – 50,000 →= 0,002m
𝐄𝐍=∑𝐑É − ∑𝐕𝐌→= (1,820+...+2,867) – (3,749+...+0,932) →=
0,002m
𝐄𝐍= 𝐂𝐅− 𝐂𝐈 ou 𝐄𝐍= ∑𝐑É − ∑𝐕𝐌
𝐂𝐅 − 𝐂𝐈 = ∑𝐑É − ∑𝐕𝐌
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Cálculo do Erro de Nivelamento
RÉ VI VM
A 1,8200 51,8200 50,0000 — —
B 3,7250 48,0950 0,0005 48,0945
C 3,7490 48,0710 0,0005 48,0705
C 0,8330 48,9040
D 2,5010 46,4030 0,0010 46,4020
E 2,0340 46,8700 0,0010 46,8690
F 3,6860 45,2180 0,0010 45,2170
G 3,9900 44,9140 0,0010 44,9130
G 3,4540 48,3680
C 0,3010 48,0670 0,0015 48,0655
C 2,8670 50,9340 0,0020
A 0,9320 50,0020 0,0020 50,0000
8,9740 8,9720SOMA
1
2
3
4
Planilha para Nivelamento Geométrico Composto
Leituras na Mira
(m)Estação Ponto
Ai
(m)
Cotas
(m)
Compensação do
 erro
(m)
Cotas
Corrigidas
(m)
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Topografia II (DRA 30029)
Bacharelado em Engenharia Florestal
Topografia II (EGF 30031)
Cálculo da Distância Média do 
Nivelamento
DMÉDIA =
DNivelamento+DContra−nivelamento
𝟐
DMÉDIA =
0,24 + 0,24
2
DMÉDIA = 0,24km
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Câmpus Rolim de Moura
Bacharelado em Agronomia
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Tolerância do 
nivelamento/contranivelamento
𝐓 = 𝟓𝐦𝐦 ∗ DMÉDIA
𝟏
𝟐
T = 5 ∗ 0,24
1
2
T = 2,45 mm
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Tolerância do 
nivelamento/contranivelamento
• O erro do nivelamento foi menor quea
tolerância;
• Nivelamento de Alta precisão.
𝐄𝐍 < 𝐓
𝟐𝐦𝐦 < 𝟐, 𝟒𝟔𝐦𝐦
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Compensação do Erro de 
Nivelamento
𝐂𝐞𝐫𝐫𝐨 =
𝐄𝐍
𝐍𝐄
𝐂𝐞𝐫𝐫𝐨 =
𝟎, 𝟎𝟎𝟐
𝟒
𝐂𝐞𝐫𝐫𝐨 =𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓𝐦𝐦
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Compensação do Erro de 
Nivelamento
𝐂𝐂 = 𝐂𝐋𝐄 ± (𝐄 ∗ 𝐂𝐞𝐫𝐫𝐨)
• 𝐄𝐬𝐭𝐚çã𝐨 𝟎𝟏:
𝐂𝐂 = 𝐂𝐋𝐄 ± 𝟏 ∗ 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓𝐦𝐦
• 𝐄𝐬𝐭𝐚çã𝐨 𝟎𝟐:
𝐂𝐂 = 𝐂𝐋𝐄 ± 𝟐 ∗ 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓𝐦𝐦
• 𝐄𝐬𝐭𝐚çã𝐨 𝟎𝟑:
𝐂𝐂 = 𝐂𝐋𝐄 ± 𝟑 ∗ 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓𝐦𝐦
• 𝐄𝐬𝐭𝐚çã𝐨 𝟎𝟒:
𝐂𝐂 = 𝐂𝐋𝐄 ± 𝟒 ∗ 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓𝐦𝐦
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Cálculo do Erro de Nivelamento
RÉ VI VM
A 1,8200 51,8200 50,0000 — —
B 3,7250 48,0950 0,0005 48,0945
C 3,7490 48,0710 0,0005 48,0705
C 0,8330 48,9040
D 2,5010 46,4030 0,0010 46,4020
E 2,0340 46,8700 0,0010 46,8690
F 3,6860 45,2180 0,0010 45,2170
G 3,9900 44,9140 0,0010 44,9130
G 3,4540 48,3680
C 0,3010 48,0670 0,0015 48,0655
C 2,8670 50,9340 0,0020
A 0,9320 50,0020 0,0020 50,0000
8,9740 8,9720
Planilha para Nivelamento Geométrico Composto
Leituras na Mira
(m)Estação Ponto
Ai
(m)
Cotas
(m)
Compensação do
 erro
(m)
Cotas
Corrigidas
(m)
SOMA
1
2
3
4
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Exercícios
1) Em um trabalho de nivelamento geométrico a leitura no
ponto A em ré foi de 2,863, enquanto que a leitura no
ponto B em vante foi de 4,005. A distância do aparelho até
a mira de ré foi de 25,5m e até vante de 26,2m. Sabendo
que a cota de A é 500 metros, calcule a altura do
instrumento, a cota de B e o desnível entre estes dois
pontos e a declividade (em porcentagem) entre os
mesmos.
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Exercícios
2) Determine a elevação de um ponto B, em relação a um
ponto A, sabendo-se que: a elevação do ponto A é de
410,260m; a leitura do fio médio na régua estacionada em
A é de 3,710m; enquanto que a leitura do fio médio na
régua estacionada em B é de 2,820m.
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Exercícios
3) Na figura seguinte, referente a um nivelamento geométrico, estão
indicados os pontos visados e os valores das correspondentes
niveladas. O nível foi estacionado sucessivamente em A, B e C.
a) Sabendo que a cota do ponto 1 é 269,170 m, determine as cotas
dos pontos 2, 3 e 4.
b) Como classifica o nivelamento efetuado no que diz respeito à
possibilidade de avaliar o erro que possa ter sido cometido no trabalho
de nivelamento?
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Obrigado!
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adriano.mascarenhas@unir.br