Resistencia dos Materiais (APRESENTAÇÃO-1-3) [Modo de Compatibilidade]

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Resistência dos Materiais
FANOR-2014
José Simões Moita
Introdução ao conceito de Resistencia dos 
Materiais
• A Resistência dos Materiais é o ramo da Mecânica dos 
Corpos Deformáveis.
• O objetivo principal do estudo da mecânica dos 
materiais é o de proporcionar ao futuro engenheiro os 
meios que possibilitem a análise e o projeto de 
estruturas e maquinas.
• Tanto a análise como o projeto de uma determinada 
estrutura, envolve a determinação de tensões e 
deformações que estas sofrem quando submetidas a 
cargas exteriores. 
• Basicamente pretende-se saber se as estruturas ou 
peças suportam com segurança as cargas exteriores 
aplicadas.
• isto depende não só das dimensões da estrutura, como 
também do tipo de material de que é constituída. 
• Considera-se que os materiais são: 
contínuos (ausência de imperfeições, bolhas etc)
homogêneos (iguais propriedades em todos os seus 
pontos)
isotrópicos (iguais propriedades em todas as direções). 
elásticos (sofrendo deformações proporcionais aos 
esforços a que estão submetidos)
ELEMENTOS ESTRUTURAIS E ESTRUTURAS TIPICAS
Barra
Estrutura Reticulada
Viga
Pórtico
Reservatório de pressão
Resistência dos materiais: enfoque 
matemático e físico
A solução de problemas a resolver no domínio da 
resistência dos materiais baseia-se em formulas 
matemáticas, as quais são deduzidas com o apoio da
observação de figuras geométricas, que representam oobservação de figuras geométricas, que representam o
problema físico
O Calculo é aplicado para obter formulas, relacionando
diferentes conceitos físicos.
A disciplina de Resistência dos Materiais faz uso desde
operações matemáticas simples até ao uso de derivadas 
Integrais e equações diferenciais.
Por sua vez os problemas físicos são representados por
diagramas de corpo livre, onde grandezas vetoriais 
entram na formulação.entram na formulação.
força, momento, aceleração, tensão, são exemplos de 
grandezas representadas por vetores.
Vetores
• Vetor é um ente geométrico representado por um 
segmento de reta cujo comprimento é proporcional à 
Conceitos da Mecânica Geral
segmento de reta cujo comprimento é proporcional à 
intensidade da grandeza representada, e que tem a 
mesma direção e o mesmo sentido da grandeza. 
V
Grandezas Fisicas: grandezas escalares e 
grandezas vetoriais
• Grandezas escalares são completamente definidas por um 
numero real.
Exemplos: área, volume, massa, energia, tempo, 
temperatura, etc. 
• Grandezas vetoriais são completamente definidas por um 
numero real (intensidade), por uma direção e um sentido.
Exemplos: deslocamento,velocidade, aceleração, força, 
momento, etc.
Princípios fundamentais da Mecânica
• 1ª Lei de Newton: 
Se a força resultante numa partícula é 
zero, a partícula permanece em repouso 
ou continua a mover-se em linha reta e 
com velocidade constante
• 2ª Lei de Newton: 
• 3ª Lei de Newton: 
As forças de ação e reação entre duas 
particulas tem a mesma linha de acção, 
a mesma intensidade e sentidos 
opostos.
• 2ª Lei de Newton: 
Uma particula terá uma aceleração 
propocional à força aplicada
amF r
r
=
ESTÁTICA DE PARTÍCULAS
As Forças são grandezas 
vetoriais e podem ser 
adicionadas recorrendo à lei 
do paralelogramo.
A intensidade e a direçãoA intensidade e a direção
da resultante R de duas 
forças P e Q podem ser 
determinadas graficamente 
ou recorrendo à trigonome-
tria.
P
R
QA
• Lei do paralelogramo
Q
Qualquer força F atuando numa partícula pode ser 
decomposta em duas ou mais componentes, i.e. pode 
ser substituída por duas ou mais forças que terão um 
efeito equivalente sobre a partícula A. 
A
Q
P
F
y
Uma força F pode ser decomposta em duas componentes 
retangulares estando essas componentes direcionadas 
segundo os dois eixos coordenados x , y.
Introduzindo os vetores unitários i e j segundo os eixos x e y,
F = Fx i + Fy j
Fx = F cos θ Fy = F sin θ
x
θ
Fx = Fx i
Fy = Fy j
F
i
j
Fx = F cos θ Fy = F sin θ
tan θ =
Fy
Fx
F = Fx + Fy
2 2
Adição de vetores
B
C
QPR
BPQQPR
rrr
+=
−+= cos2222
• Lei dos Cosenos
A
B
C
C
QPR +=
• Lei dos Senos
Q
C
R
B
P
A sinsinsin
==
• A adição de vectores é comutativa
PQQP rrrr +=+
Quando duas ou mais forças co-planares atuam sobre uma 
partícula, as componentes retangulares da sua resultante R
podem ser obtidas adicionando algebricamente as 
correspondentes componentes segundo a direção x e 
segundo a direção y.
Rx = Σ Fx Ry = Σ Fy
A intensidade e direção da resultante R são dadas por
tan θ = RyR
x
R = Rx + Ry
2 2
A partícula está em equilibrio quando a resultante de 
todas as forças atuantes é zero: Rx = Σ Fx = 0 
Ry = Σ Fy = 0 
Diagrama de corpo livre da 
partícula selecionada:
Diagramas de corpo livre da particula
Situação real a analisar
Triângulo de 
forças:
TAC = 480,39 N
TAB = 647,23 N
Para resolver um problema envolvendo uma partícula em 
equilibrio estático:
1. Desenhar o diagrama de corpo livre da particula,
mostrando todas as forças que atuam na partícula
2. Escrever as equações de equilibrio estático:
Σ Fx = 0 Σ Fy = 
0
2. Escrever as equações de equilibrio estático:
Exemplo 1:
As duas forças Q=60 N e P=40 N actuam no parafuso A.
Determinar a sua resultante.
( ) ( ) ( )( ) °−+=
−+=
155cosN60N402N60N40
cos2
22
222 BPQQPR
N73.97=R
Aplicando a Lei dos cosenos:
Aplicando a Lei dos senos:
A
A
R
QBA
R
B
Q
A
+°=
°=
°=
=
=
20
04.15
N73.97
N60155sin
sinsin
sinsin
α
°= 04.35α
Exemplo 2:
Quatro forças actuam no parafuso A como mostra a figura.
Determinar as componentes segundo x e y bem como a 
resultante.
9.256.96100
0.1100110
2.754.2780
0.759.129150
4
3
2
1
−+
−
+−
++
F
F
F
F
FyFxFforça
r
r
r
r
1.199+=xR 3.14+=yR
22 3.141.199 +=R N6.199=R
N1.199
N3.14
tan =α °= 1.4α
Conceito de Momento de uma 
força em torno de um ponto O
Produto escalar - O produto escalar entre P e Q
resulta num número (e não num vetor) que é definido 
como P . Q = P Q cos φ onde φ é o ângulo entre os dois 
vetores.
Geometricamente, temos o produto do módulo de um 
vetor pela projeção do outro sobre si. Este tipo de produto 
aparece no cálculo do trabalho mecânico, potência de 
uma força, etc.
Produto vetorial – o produto vetorial de dois 
vetores r e F, resulta num vetor M que é definido 
por M= r x F
O vetor resultante tem o módulo dado por 
M = r F senφ = F dM = r F senφ = F d
e direção perpendicular ao plano que contém os vetores
r e F
O sentido do vetor M pode ser determinado pela regra
da mão direita ilustrada na Figura seguinte. 
regra: coloque a palma da mão e os dedos no sentido dos 
vetores r e F : o polegar indicará o sentido do vetor M
O
A
F
Mo
r
O momento da força F em
torno do ponto O é 
definido como o produto 
externo vetorial
MO = r x F
sendo r é o vetor posição
desenhado do ponto O
ao ponto de aplicação
F
θ
d
A
da força F. O ângulo 
entre as linhas de ação
de r e F é o ângulo θ. 
O valor do momento de F em torno de O pode ser dado por
MO = r F sen θ = F d
onde d é a distância medida na perpendicular de O até à 
linha de ação da força F.
Momento Resultante:
Regra da mão direita:
Sentido da rotação
Dois binários que tenham o 
mesmo valor M dizem-se 
equivalentes (uma vez que têm o 
mesmo efeito sobre o corpo 
rígido):
Um binário representado pelo vector M pode ser
decomposto vetorialmente segundo os 3 eixos.
Qualquerforça F atuante num ponto A de um corpo rígido
pode ser substituída por um sistema Força e Momento
num ponto arbitrário O. 
O vetor força F e o vetor momento Mo são sempre perpen-
diculares um ao outro.
O
A1r1
F1
O
M1
r2 A2
F2
r3
A3
F3
F1
M2M3
F2
F3 R
R
O
MRO
Qualquer sistema de forças pode ser reduzido a um 
sistema Força e Momento num dado ponto O. 
Em geral, a força resultante e o vetor momento não serão
perpendiculares entre si.
Dois sistemas de forças, F1, F2, F3 . . . , e F’1, F’2, F’3 . . . , 
são equivalentes se e só se
Σ F = Σ F’
ee
ΣMo = ΣMo’
Σ F = 0 Σ MO = 0
Para o caso bi-dimensional, as condições necessárias e 
suficientes para o equilíbrio podem ser expressas pelas 3 
equações escalares: 
Equilíbrio de corpo rígido em duas dimensões
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣMo = 
0
Estas equações podem ser usadas para determinar forças 
desconhecidas aplicadas ao corpo rígido ou as reações 
exercidas nos suportes.
Tipo de apoio Reacções
deslizante com pino superfície lisa
Pino superfície rugosa
Engastamento
ligação a um cabo ligação a uma barra força com direcção
conhecida
Tipo de apoio/ligação Reacções
corrediça sem atrito idem força com linha de 
acção conhecida
Diagramas de corpo livre
A estrutura é isolada dos apoios e são indicadas as forças 
aplicadas e as forças de reação.
Diagrama de Corpo Livre da Estrutura
1. Aplicam-se as condições de equilíbrio estático à 
estrutura, e no caso de não ser possível obter todas as 
reações, 
2. aplicam-se as mesmas condições de equilíbrio estático a 
qualquer componente tomado isoladamente 
Exemplo 4:
Diagrama de 
corpo livre:
Massa da grua: 1000 Kg
corpo livre:
• Calcular a reacção em B resolvendo a 
equação do equilibrio dos momentos de 
todas as forças em torno de A: 
( ) ( )
( ) 0m6kN5.23
m2kN81.9m5.1:0
=−
−∑ += BM A
kN1.107+=B
• Calcular as reacções em A• Calcular as reacções em A
(segundo x e y) resolvendo as equações
de equilibrio das forças horizontais e 
verticais:
0:0 =+=∑ BAF xx
kN1.107−=xA
0kN5.23kN81.9:0 =−−=∑ yy AF
kN 3.33+=yA