AULA 04 DAS VIGAS. (1)

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SISTEMAS ESTRUTURAIS
AULA 04
• ESTUDO DAS VIGAS
 NBR 6118 ( Projeto de estruturas de concreto)
 ELEMENTOS LINEARES:
As estruturas podem ser idealizadas como a composição de
elementos estruturais básicos, classificados e definidos de acordo com
sua forma geométrica e sua função estrutural.
 VIGAS:
Elementos lineares em que a flexão é preponderante.
 PILARES:
Elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical,
em que as forças normais de compressão são preponderantes.
Elementos lineares são aqueles em que o comprimento longitudinal
supera em pelo menos três vezes a maior dimensão da seção
transversal.
As vigas fazem parte da estrutura de concreto armado que dá
sustentação a uma edificação. Elas ficam apoiadas nos pilares e acima
das paredes. Cada viga, em geral, é um bloco retangular de concreto
armado dimensionado para suportar e distribuir o peso da laje para os
pilares.
A flexão simples é definida como a flexão sem força normal. Quando a
flexão ocorre com a atuação de força normal tem-se a flexão
composta.
Solicitações normais são aquelas cujos esforços solicitantes produzem
tensões normais (perpendiculares) às seções transversais dos
elementos estruturais. Os esforços que provocam tensões normais são
o momento fletor (M) e a força normal (N).
De modo geral a preferencia é de as vigas tenham a largura coincidente
com a alvenaria ficando embutidas e imperceptíveis. Para que isso
ocorra é necessario contabilizar as dimensões dos tijolo e a espessura
da argamassa de revestimento, entre 1,5 e 3 cm.
A altura das vigas depende de diversos fatores, sendo os mais
importantes o vão, o carregamento e a resistência do concreto. A altura
deve ser suficiente para proporcionar resistência mecânica e baixa
deformabilidade (flecha).
 Dimensões Mínimas: Vigas e vigas-parede (NBR 6118)
A seção transversal das vigas não deve apresentar largura menor que
12 cm e das vigas-parede, menor que 15 cm.
A altura mínima não deve ser inferior a 25 cm. Para vigas contínuas
deve respeitar uma certa padronização a fim de evitar alturas diferentes.
 VIGAS CONTÍNUAS
Denomina-se viga contínua a viga que se apoia em três ou mais
apoios.
A armadura longitudinal é constituída por barras de aço de eixo
retilíneo e seção transversal circular. Estas barras são posicionadas nas
regiões tracionadas da viga no caso da chamada armadura simples e
nas regiões tracionadas e comprimidas no caso da chamada armadura
dupla. Quando se emprega armadura simples, as barras devem
absorver todos os esforços (tensões) de tração gerados pelo momento
aplicado. No caso de se empregar armadura dupla, parte das barras
absorve os esforços de tração produzidos pelo momento e parte
colabora com o concreto aumentando a resistência da região
comprimida da viga.
Quando a armadura longitudinal localiza-se apenas na região
tracionada da viga é necessário dispor duas barras na região
comprimida da viga cuja finalidade é manter os estribos na posição de
projeto. Estas barras são chamadas de porta-estribos.
 CONSIDERAÇÕES SOBRE VIGAS:
 VÃO EFETIVO:
 CONSIDERAÇÕES SOBRE VIGAS:
 CARGAS VERTICAIS NAS VIGAS:
Normalmente, as cargas (ações) atuantes nas vigas são provenientes
de paredes, de lajes, de outras vigas, de pilares e, sempre o peso
próprio da viga.
As cargas nas vigas devem ser analisadas e calculadas em cada vão
da viga, trecho por trecho do vão se este conter trechos de carga
diferentes.
 PESO PRÓPRIO:
Onde:
• gpp = kN/m
• bw = largura da seção em “m”
• h = altura da seção em “m”
• Ɣc = 25 kN/m3
 PAREDES: Onde:
• gpar = kN/m
• e = espessura final da parede em “m”
• h = altura da parede em “m”
• Ɣalv = peso especifico parede “kN/m3”
Tijolo maciço 18 kN/m2; 
Tijolo Furado 13 kN/m3.
 OUTRAS VIGAS:
Quando é possível definir claramente qual viga serve de apoio e
qual viga está apoiada em outra, a carga concentrada na viga que serve
de apoio é igual a reação de apoio daquela que está apoiada.
 LAJES:
As reações das lajes sobre as vigas de apoio devem ser
conhecidas. Importante é verificar se uma ou duas lajes descarregam a
sua carga sobre a viga.
qv =
𝑞𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑥 𝐴𝑟𝑒𝑎
𝐿
EXEMPLO:
Considere a planta de formas a seguir. Determine para a laje L2 
como seria a distribuição das cargas da laje na viga, especificando a 
angulação adotada e delimitando as áreas a considerar. E determinar a 
parcela de influencia da laje em cada viga supondo carga total na L2 
igual a 4,9 kN/m2.
SOLUÇÃO:
SOLUÇÃO:
1. Determinar qual a parcela de carga da laje influenciará cada uma 
das vigas → qv ;
2. Então deve-se determinar as áreas de influência (A1, A2, A3 e A4) → 
através de relações trigonométricas;
3. Calcular as cargas da laje sobre a viga → qv = (qL x Área)/ Lviga ;
4. Calcular a carga total da viga;
SOLUÇÃO:
1. Para determinar as áreas é necessário
conhecer as dimensões dos triângulos e
trapézios correspondentes.
• Triângulo A3, sabe-se:
Vão efetivo
 a + b = 425 e tg45ᵒ = c/b
 tg45ᵒ = 1 → b = c
 tg30ᵒ = c/a →
3
3
= 𝑐/𝑎 → a 3 /3 = b
a 3 /3 = b → a 3 /3 = 425 – a → a = 268,99
SOLUÇÃO:
• Triângulo A3, sabe-se:
 Se a = 268,99 cm então b = 156,01 cm
e b = c então c = 156,01 cm.
• Triângulo A4, sabe-se que a = 268,99 cm
• Determinar “d” → 525 – a – c = d
d = 525 – 2268,99 – 156,01 → d = 100 cm
SOLUÇÃO:
2. Determinar as áreas:
• A1 = (525 + 100). 268,99 = 84.059,38 cm2 = 8,41 m2
2
• A2 = (525 + 100). 156,01 = 48.753,13 cm2 = 4,87 m2
2
• A3 = (425 x 156,01)/2 = 33.152,13 cm2 = 3,32 m2
• A4 = (425 x 268,99)/2 = 57.160,36 cm2 = 5,72 m2
3. Para verificar sabe-se que o somatório de todas 
as áreas deverá se igual a área da laje,
Alaje = ∑ Ai →22,32 = 8,41 + 4,87 + 3,32 + 5,72
22,32 m2 = 22,32 m2 (ok!!!)
SOLUÇÃO:
4. Calcular a parcela de carga que vai para cada viga sabendo que a
carga da laje é igual a 4,9 kN/m2.
• V1B → qv = (4,9 x 3,32)/4,25 = 3,83 kN/m
• V2B → qv = (4,9 x 5,72)/4,25 = 6,59 kN/m
• V5B → qv = (4,9 x 8,41)/5,25 = 7,85 kN/m
• V6B → qv = (4,9 x 4,87)/5,25 = 4,55 kN/m
 CARGA LINEARMENTE DISTRIBUIDA TOTAL:
Se um tramo de viga suportar seu peso próprio (qc) e,
simultaneamente, a carga de uma parede de alvenaria (qa) e as cargas de
duas lajes adjacentes L1 (qL1) e L2 (qL2), a carga linearmente distribuída
total (qt) será:
qt = qc + qa + qL1 + qL2
EXEMPLO:
Continuando o exercício anterior, considere que o tramo de viga V6B
possui seção transversal (20 x 45) cm e sustenta uma parede de alvenaria
ao longo de todo o seu comprimento, com altura de 280 cm e espessura de
15 cm. Determine a carga linearmente distribuída total sobre a viga.
Sabe-se que o peso especifico do concreto e da alvenaria são
respectivamente 25 kN/m3 e 18 kN/m3.
• SOLUÇÃO EXEMPLO:
a) Carga de peso próprio: qc = Ɣc . B . H = 25 . 0,2 . 0,45 = 2,25 kN/m
b) Carga de alvenaria : qa = Ɣa . H . e = 18 . 2,80 . 0,15 = 7,56 kN/m
c) Carga da laje = qL2 = correspondente a A2 = 4,55 kN/m
d) Carga total distribuída linearmente na viga 6B:
qt = qc + qa + qL1 + qL2
qt = 2,25 + 7,56 + 4,55 + 0 = 14,36 kN/m
 EXERCÍCIO 01: (resolução deve ser feita em sala)
Na planta de formas abaixo (cotas em cm, sem escala). As lajes L1, L2 e 
L3 possuem contrapiso em argamassa com peso especif. de 19 kN/m3, e
espessura de 2,5 cm e
receberá revest. cerâmico.
As vigas (20x45) cm são
executadas em concreto
armado. Sobre cada Viga há
uma parede de alvenaria com
altura de 265 cm. Calcular a
carga linearmente
distribuída total para viga
V2.
Adotar: Ɣc = 25kN/m3
Ɣalv= 13 kN/m3
 RESPOSTAS EXERCÍCIO 01:
1. ÁREAS DE INFLUÊNCIADA LAJE SOBRE A VIGA “V2”:
2. CARGA DA LAJE:
qL1 = 5,33 kN/m2 qL2 = 5,33 kN/m2
3. INFLUÊNCIA DA CARGA DA LAJE NA VIGA:
q = (qL x A)/L → qvL1 = 7,11 kN/m qvL2 = 5,60 kN/m
4. CARGA DISTRIBUIDA NA VIGA “V2”:
qv2 = qc + qalv + qL1 + qL2 = 2,25 + 6,81 + 7,11 + 5,60 = 21,77 kN/m
LAJE 1 LAJE 2
a = 135,82 cm a = 142,41 cm
b = 234,18 cm b = 82,59 cm
c = 135,82 cm c = 82,59 cm
d = 60 cm d = 205,00 cm
A1 = 5,74 m2 A2 = 4,52 m2
 Uma vez determinada a carga distribuída da viga passa-se ao cálculo
das reações e dos momentos máximo no meio do vão, respectivamente,
diagrama de força cortante e diagrama de momentos fletores. Porque
onde a cortante é nula o momento é máximo.
Fazer a majoração para o valor de 1,4 (concreto).
 Conhecidos estes valores podemos passar ao cálculo do
dimensionamento das vigas. Dimensionar uma viga é fixar sua forma
geométrica, as armaduras positivas (tração em baixo), armaduras
negativas (tração em cima). E prever os estribos que tem a missão de
dar resistência as vigas para vencer o cisalhamento.
 Utilizaremos as mesmas tabelas de aço que foram usadas para lajes no
que tange descobrir Kc e Ks.
Kc = bw . d 2 / M As = Ks . (M/d)
SEÇÃO TIPICA DE VIGA BI-APOIADA – ARMADURA SIMPLES
ah → 20 mm ou 1,2 x dim. 
Max. Agreg. Graúdo;
av → 20 mm ou 0,5 x dim. 
Máx. agreg. Graúdo.
 Caso o exercício não dê as dimensões da viga o primeiro passo é
arbitrar as mesmas a partir das dimensões mínimas, isto é, base
maior igual a 12 cm e altura maior igual a 25 cm.
 Com o fck utilizado, o valor de Kc, encontra-se Ks;
 Calcula-se “As”;
 Tabela mãe acha-se a quantidade de barras;
 Com o valor de Kc acha-se a posição da linha neutra;
d = hviga – Cmin
OBS: Para armadura longitudinal (principal) não deve-se usar aço menor que 8,0 
mm.
 Verifica-se se há espaço suficiente na seção tracionada para a
armadura determinada.
TABELA ÁREA DA SEÇÃO DE AÇO:
 EXEMPLO:
DIMENSIONAR uma viga de 16 cm de largura e que recebe um
momento de 78 kN.m para um concreto classe 25 e aço CA-50.
 ROTEIRO:
 Carga distribuída na viga;
 Reações de apoio e momento máximo;
 Majoração do momento;
 Determinar dimensões da viga;
 Determinar Kc e Ks;
 Determinar “As”;
 Determinar diâmetro da barra e quantidade (tabela mãe);
 Determinar LN;
 Verificar se a armadura satisfaz a área tracionada.
 EXEMPLO:
Mmax. = 78 kN.m
bw = 16 cm
C 25
CA -50
1. Momento máximo conhecido = 78 kN.m
2. Majorar momento = 78 x 1,4 = 109,2 kN.m
3. Largura da base conhecida = 16 cm
Estipular altura da viga = 40 cm
4. Determinar “Kc” e “Ks”.
Kc = (bw.d 2)/M → Kc = (16 x 36 2) / 10.920 = 1,898 cm2/kN = 1,9 cm2/kN
Ks = 0.030 cm2/kN
5. Determinar “As” → As = Ks.M/d → As = 0,030 x 10920 / 36 = 9,1 cm2
ATENÇÃO!!!
d = h – Cmin.
d = 40 – 3 – 1 = 36 cm
6. Na tabela mãe: 7Ø 12,5 mm → muitas barras para a largura de 16 cm;
7. Adota-se um diâmetro maior com menor numero de barras → 4Ø 16 mm;
8. Determinar LN: x/d = 0,56 → x = 36 x 0,56 = 20,16cm
 CONTINUAÇÃO EXERCÍCIO 01:
PARA A VIGA “V2” DO EXERCÍCIO 01 CALCULAR A ARMADURA
LONGITUDINAL SABENDO QUE O FCK É DE 30 MPa E O
COBRIMENTO DA ARMADURA É IGUAL A 3,0 CM.
 Solução:
 Reações e momentos: q = 21,77 kN/m
Ra = Rb = (21,77 x 4,30)/2 = 46,81 kN
Mmax. = q.l2 / 8 = 50,32 kN.m
ou
Mmax. = 46,81 x 2,15 – (21,77 x 2,15 x 1,075) = 50,32 kN.m
 Majorar o momento: M = 50,32 x 1,4 = 70,45 kN.m
 Dimensões: dadas no exercício = 20 x 45 cm
 Kc e Ks: Kc = (20 x 422)/ 7045 = 5,01 cm2/kN
Ks = 0,024 cm2/kN
 As = 0,024 x 7045 / 42 = 4,03 cm2 → 5Ø10mm →4Ø12,5mm
 DIMENSIONAMENTO AO CISALHAMENTO (ESTRIBOS)
Para exemplificar melhor esse fenômeno muitas vezes associa-se uma
viga em trabalho a uma treliça para uma comparação de fenômenos e
de elementos resistentes.
 Diâmetro do Estribo
As prescrições para o diâmetro do estribo (Øt) estão na NBR 6118:
Obs: Para pré-dimensionamento recomenda-se 6,3 mm .
 Espaçamento entre os Estribos (s):
“O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo
longitudinal do elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir a
passagem do vibrador, garantindo um bom adensamento da massa.”
(NBR 6118, 18.3.3.2)
O espaçamento transversal (st,máx) serve para definir qual o número
de ramos verticais deve ser especificado para os estribos.
s = 0,6d <= 30 cm
 FINALIZANDO O EXERCÍCIO 01:
Calcular os estribos para a V2.
• Diâmetro do estribo: 6,3 mm
• Espassamento do estribo:
s = 0,6d <= 30 cm
Se d = 42 cm, então, 0,6 x 42 = 25,2 cm, usar 25 cm
 Exercício 02: Analisando o projeto abaixo.  DETERMINAR:
 LAJES 206 E 207
 Espessura;
 Armadura positiva;
 Armadura negativa.
 VIGA 227
 Carga distribuída;
 Reações nos apoios;
 Momento máximo;
 Armadura longitudinal;
 Estribos.
• Dados:
• Concreto armado – C25;
• Contra piso: cimento e areia (2 cm)
• L206 (sala); L207 (cozinha)
• Sala (granito – 2,5 cm); 
• Cozinha (cerâmico)
• CA-50 A; CAA-II; tolerância de 
cobrimento pode ser desprezada.
• Tijolo furado; P.d. = 3,0 m
 SOLUÇÃO 02:
 LAJES: Engastadas por todos os lados ( caso 6 )
 L 206: Lx = 432 cm; Ly = 444 cm → Ly/Lx = 1,03
mx = 52,62; my = 55,82; nx = 22,66; ny = 24,04
 L 207: Lx = 392 cm; Ly = 432 cm → Ly/Lx = 1,10
mx = 46,77; my = 56,59; nx = 20,20; ny = 24,44
 Espessura da laje: 
d(206) = 7,89 cm → H = 11 cm
d(207) = 7,29 cm → H = 10 cm
 Carga da laje:
206 207
Peso próprio 2,75 2,50
Contra piso 0,63 0,63
Revestimento 0,70 0,85
Variável 1,50 1,50
Total 5,58 
kN/m2
5,48 
kN/m2
ATENÇÃO!!!!!
FIQUE LIGADO NAS 
ESPECIFICAÇÕES...
 SOLUÇÃO 02:
 Momentos:
 Kc e Ks:
206 207
Mx 1,98 kN.m 1,80 kN.m
My 1,87 kN.m 1,49 kN.m
Xx - 4,60 kN.m - 4,17 kN.m
Xy - 4,33 kN.m - 3,46 kN.m
206 207
Kc (cm2/kN) Ks (cm2/kN) Kc (cm2/kN) Ks (cm2/kN)
31,44 0,023 29,52 0,023
33,29 0,023 35,67 0,023
13,53 0,024 12,74 0,024
14,38 0,024 15,36 0,024
Momentos 
negativos!!!!!
 SOLUÇÃO 02:
 Área aço:
 Área influencia laje na viga 227:
A(206) = 46.872 cm2 = 4,69 m2
A(207) = 46.256 cm2 = 4,63 m2
 Carga laje na viga 227:
qv (206) = 6,06 kN/m
qv (207) = 5,87 kN/m
 Carga total na viga: qv = qc + qalv +qL1 + qL2 = 17,19 kN/m
206 207
As (cm2) Ø (mm) As (cm2) Ø (mm)
0,58 4,2 c/ 24 0,57 4,2 c/ 24
0,55 4,2 c/ 25 0,47 4,2 c/ 29
1,40 5,0 c/ 14 1,37 5,0 c/ 14
1,32 5,0 c/ 15 1,14 5,0 c/ 17
 SOLUÇÃO 02:
 Reações e momento:
 Ra = Rb = 37,13 kN
 Mmáx. = 40,10 kN.m
 Majorar momento: M = 56,14 kN.m
 Kc e Ks: Kc = (12 x 372)/5614 = 2,93 cm2/kN
Ks = 0,026 cm2/kN
 Área de seção de aço:
As = 3,94 cm2 → 2 Ø 16 mm
 Estribos de 6,3 mm com espassamento de 22 cm.
BONS ESTUDOS !!!