Análise de Circuitos Ressonantes e Filtros Passivos

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UFU – FEELT – Mauro Guimarães 1 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
Unidade 7 
ANÁLISE DE CIRCUITOS MONOFÁSICOS SENOIDAIS 
 
7.1 – Impedância Série 
Para o circuito série indicado na figura ao lado, tem-se: 
( ) ( ) jXRXXjRRRZ +=−+++=• 21321 = Z /ϕ onde 
11 wLX = e 
1
2
1
wC
X = ; 
 
•
•
•
=
Z
VI ; 
•
+= IXjRV )( 111 ; 
•
−= IXjRV )( 222 ; 
•
= IRV 33 ; 
.cos
Z
Rfp == ϕ 
Considerando-se as quedas de tensões que a corrente I& = I / 0° provoca nos componentes resistivos, 
indutivo e capacitivo do circuito série acima, tem-se os diagramas fasoriais: 
 
Diagrama polar funicular 
 
Diagrama vetorial polar 
 
7.1.1 – Fator de Qualidade ( SQ ) em circuito Série 
O fator de qualidade em circuito série é definido como: 
ciclopor dissipada Energia
 armazenada energia Máxima2pi=SQ . Para 
circuitos série, RLC, submetidos a sinais alternados senoidais tem-se que: 
• A máxima energia armazenada no indutor é dada por: 22
2
1
eficazmáximoL ILILW == ; 
• A máxima energia armazenada no capacitor é dada por: 22
2
1
eficazCmáximoCC VCVCW == ; 
• A potência média no resistor é dada por: PIRIR eficazmáximo ==
22
2
1
 watts; 
• A energia dissipada no resistor num ciclo é dada por: TIRTPW eficazR
2
== , onde T é período do 
sinal alternado senoidal; 
• A freqüência angular do sinal alternado senoidal é dado por: 
T
fw pipi 22 == rd/s; 
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Aplicando a definição de SQ para o par RL e considerando as relações acima tem-se que: 
ciclopor dissipada Energia
 armazenada energia Máxima2pi=SQ = R
X
R
L
w
R
L
TTIR
IL L
eficaz
eficaz
====
pi
pi
22 2
2
. 
Similarmente para o par RC, tem-se que: 
ciclopor dissipada Energia
 armazenada energia Máxima2pi=SQ = 
( )
R
X
R
X
XIR
IX
T
C
TIR
VC CC
Ceficaz
eficazC
eficaz
eficazC
====
2
2
2
2
2
122 pipi . 
 
7.1.2 – O Decibel (dB) como medida da relação entre as Potências de Saída e Entrada 
O decibel foi inventado para medir a perda de potência nos circuitos em cascata em transmissões de 
sinais telefônicos. Sua magnitude é definida pela equação: 
E
S
Entrada
Saída
P
P
P
P
1010 log10log10dB == , onde SP e EP 
são as potências reais de saída e de entrada em watts, respectivamente. Com SP = EP , o nível decibel, 
conforme obtido pela equação anterior, é 0 dB. Com SP < EP , a relação de potência é menor que a unidade, 
de forma que o valor decibel é negativo e representa uma perda com relação a potência de entrada. 
Entretanto, com SP > EP , a relação de potência é maior que a unidade, de forma que o valor decibel é 
positivo e representa um ganho com relação a potência de entrada. 
Exemplo1: ES PP ⋅= 2
1
⇒ 50% de perda⇒ 01,3
2
1log102
1
log10 1010 −==












=
E
E
P
P
dB . 
Exemplo2: dB = -10⇒
E
S
P
P
10log1010 =− ⇒
E
S
P
P
10log1 =− ⇒ ES
E
S
E
S PP
P
P
P
P 1,01,010 1 =⇒=⇒= − ⇒10%. 
 
7.2 – Ressonância Série 
A condição geral para que um circuito série RLC seja 
ressonante é que a tensão V& aplicada no circuito e a corrente I& 
produzida estejam em fase, ou melhor, a impedância equivalente 
do circuito )( CL XXjRZ −+=& deve ser puramente resistiva. 
 
Dessa forma, se )( CL XXjRZ −+=& = Z / 0° , então, 0=− CL XX ⇒ CLXX CL ⋅=⋅⇒= ωω
1
. 
Concluímos, também, que os parâmetros do circuito que podem provocar a condição de ressonância 
( 0=− CL XX ) são: L, C ou f. Para o circuito série acima ressonante, teremos sempre que: 
� O fator de potência do circuito é unitário já que fp = cos 0° =1; 
� A corrente I é máxima já que ( )22 CL XXR
V
Z
VI
−+
== e Z é mínima; 
� A tensão no resistor é igual a tensão da fonte já que V
R
VRIRVR === ; 
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7.2.1 – Ressonância Série – Variação da Indutância L 
O comportamento das impedâncias, da corrente e das 
tensões para o circuito RLC série indicado na figura ao lado, 
quando variamos sua indutância de zero a infinito estão 
mostrados nas figuras abaixo. 
 
 
 
 
 
Nas curvas acima nota-se que: 
• O ponto ressonante ( rL ) é definido pela relação CwLCLXX rrCLr 2
11
=⇒
⋅
=⋅⇒=
ω
ω ; 
• No ponto ressonante ( rL ) a impedância rZ é mínima a corrente rI é máxima; 
• máxRV e VC máx ocorrem no ponto ressonante; 
• No ponto ressonante as tensões no capacitor e no indutor são iguais (
rr LC VV = ); 
• VL máx ocorre após o ponto ressonante. Note que IXV LL ⋅= onde XL é crescente. O valor de L ( máxL ) 
que produz a tensão máxima no indutor pode ser determinada fazendo-se 
( )
0
22
=








−+
=
L
CL
L
L
L
dX
XXR
VXd
dX
dV
 ⇒ 
C
C
Lmáx X
XR
X
22 +
= ; 
Nas curvas acima, com a indutância L variando de 0 a ∞, observamos que: 
• A impedância Z parte de um valor inicial 220 CXRZ += , passa por um mínimo RZ r = e 
tende para ∞; 
• A corrente I parte de um valor inicial 220 / CXRVI += , passa por um máximo RVI r /= e 
tende para 0; 
• A tensão no resistor RV parte de um valor inicial 


 += 22/
0 CR
XRVRV , passa por um máximo 
VV
rR
= (tensão da fonte) e tende para 0; 
• A tensão no capacitor CV parte de um valor inicial 


 += 22/
0 CCC
XRVXV , passa por um máximo 
VQV
R
X
V S
C
Cr
== e tende para 0. 
R
X
R
XQ rLCS == é o fator de qualidade do circuito série; 
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• A tensão no indutor LV parte de um valor inicial 00 =LV , passa pelo ponto ressonante VR
X
V r
r
L
L = = 
rCS VVQ = , passa por um máximo VQV SLmáxr
21 += e tende para V. 
Os Lugares geométricos da impedância e da corrente são mostrados nas figuras abaixo. 
 
 
Lugar Geométrico da Impedância 
•
Z 
 
Lugar Geométrico da Corrente 
•
I 
Analisando os lugares geométricos acima nota-se que: 
• A impedância Z& do circuito é capacitiva abaixo da ressonância e, puramente resistiva na ressonância e 
indutiva, acima da ressonância; 
• O lugar geométrico da corrente caminha sobre um semi-círculo no sentido horário. 
Exemplo numérico: Ressonância Série – Variação da Indutância (L) 
Resolva o circuito série RLC indicado na figura ao lado, 
sabendo-se que a tensão aplicada ao mesmo é alternada senoidal na 
referência e com valor eficaz de 120 volts, freqüência de 50 Hz, e os 
parâmetros do circuito com os valores, R = 5 ΩΩΩΩ, L = variável, e 
C = 310 µµµµF. 
 
 
R (Ω) L C (F) f (hz) pi V (volts) w (rd/s) 
 5 variável 0,00031 50 3,14159 120 314,159 
Ressonância (Ponto r) 
 
 
Lr = 1/(w2 C) Lr (mH) = 32,68 Ir (A) = 24 /0° 
 w (rd/s) = 314,16 
 
Vr (V) = 120 /0° 
 XLr (Ω) = 10,27 VLr (V) = 246,43 /90° 
 XC (Ω) = 10,27 VCr (V) = 246,43 /-90° 
 Xr (Ω) = 0,00 Q= 2,05 
 Zr (Ω) = 5,00 
Tensão máxima no Indutor (Ponto m) 
 XLm = (R2 + XC2) / XC XLm (Ω) = 12,70 Lm (mH) 40,43 
R (Ω) Xm (Ω) Zm (Ω) θZm (°) Im (A) θIm (°) VLm (V) θVLm (°) 
5,00 2,43 5,56 25,96 21,58 -25,96 274,10 64,04 
 
Observação: Os gráficos das impedâncias, da corrente e das tensões para este circuito RLC série, quandovariamos sua indutância de zero a infinito, foram apresentados no início desta seção. 
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7.2.2 – Ressonância Série – Variação da Capacitância C 
O comportamento das impedâncias, da corrente e das 
tensões para o circuito RLC série indicado na figura ao lado, 
quando variamos sua capacitância de zero a infinito estão 
mostrados nas figuras abaixo. 
 
 
 
 
 
Nas curvas acima nota-se que: 
• O ponto ressonante ( rC ) é definido pela relação LwCLCXX rrLCr 2
11
=⇒
⋅
=⋅⇒=
ω
ω ; 
• No ponto ressonante ( rC ) a impedância rZ é mínima a corrente rI é máxima; 
• máxRV e VL máx ocorrem no ponto ressonante; 
• No ponto ressonante as tensões no capacitor e no indutor são iguais (
rr LC VV = ); 
• VC máx ocorre antes do ponto ressonante. Note que IXV CC ⋅= onde XC é decrescente. O valor de C 
( máxC ) que produz a tensão máxima no capacitor pode ser determinada fazendo-se 
( )
0
22
=








−+
=
C
CL
C
C
C
dX
XXR
VXd
dX
dV
 ⇒ 
L
L
Cmáx X
XR
X
22 +
= 
Nas curvas acima, com a indutância C variando de 0 a ∞, observamos que: 
• A impedância Z parte de um valor inicial ∞=0Z , passa por um mínimo RZ r = e 
tende para 22 LXR + ; 
• A corrente I parte de um valor inicial 00 =I , passa por um máximo RVI r /= e 
tende para 22/ LXRV + ; 
• A tensão no resistor RV parte de um valor inicial nulo, passa por um máximo VV rR = (tensão da 
fonte) e tende para 



 + 22/ LXRVR ; 
• A tensão no indutor LV parte de um valor inicial nulo, passa por um máximo VQVR
X
V S
L
Lr
== e 
tende para 



 + 22/ LL XRVX . R
X
R
XQ rCLS == é o fator de qualidade do circuito série; 
• A tensão no capacitor CV parte de um valor inicial VVC =0 , passa por um máximo 
VQV SCmáxr
21 += , passa pelo ponto ressonante V
R
X
V r
r
C
C = = rLS VVQ = e tende para 0. 
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Os Lugares geométricos da impedância e da corrente são mostrados nas figuras abaixo. 
 
Lugar Geométrico da Impedância 
•
Z 
 
 
Lugar Geométrico da Corrente 
•
I 
Analisando os lugares geométricos acima nota-se que: 
• A impedância Z& do circuito é capacitiva abaixo da ressonância e, puramente resistiva na ressonância e 
indutiva, acima da ressonância; 
• O lugar geométrico da corrente caminha sobre um semi-círculo no sentido horário. 
 
Exemplo numérico: Ressonância Série – Variação da Capacitância (C) 
Resolva o circuito série RLC indicado na figura ao lado onde: 
V=10 volts, f = 2,6 KHz, R = 1,2 ΩΩΩΩ, 
C = variável, e L = 0,08 mH. 
 
 
 
R (Ω) L (mH) C f (hz) pi V (volts) W (rd/s) 
 1,2 0,08 variável 2.600 3,14159 10 16.336 
Ressonância (Ponto r) 
Cr = 1/(w2 L) Cr(µµµµF)= 46,8386 Ir (A) = 8,333 /0° 
 w(rd/s)= 16.336 
 
Vr (V) = 10 /0° 
 XL (Ω)= 1,307 VLr (V) = 10,89 /90° 
 XCr (Ω)= 1,307 VCr (V)= 10,89 /-90°°°° 
 Xr (Ω) = 0 Q= 1,09 
 Zr (Ω) = 1,2 
Tensão máxima no Capacitor (Ponto m) 
 
 
XCm=(R2 +XL2)/XL XCm (Ω)= 2,409 Cm(µµµµF)= 25,413 
R (Ω) Xm (Ω) Zm (Ω) θZm (°) Im (A) θIm (°) VCm (V) θVCm (°) 
1,20 -1,102 1,629 -42,56 6,138 42,56 14,79 -47,44 
 
Observação: Os gráficos das impedâncias, da corrente e das tensões para este circuito RLC série, quando 
variamos sua capacitância, foram apresentados no início desta seção. 
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7.2.3 – Ressonância Série – Variação da Freqüência f 
O comportamento das impedâncias, da corrente e das 
tensões para o circuito RLC série indicado na figura ao lado, 
quando variamos sua freqüência de zero a infinito estão 
mostrados nas figuras abaixo. Para melhor ilustrar seus 
comportamentos usamos, aqui, um circuito com baixo fator 
 
de qualidade ( sQ = 0,93). 
 
 
 
Nas curvas acima nota-se que: 
• O ponto ressonante ( rw ) é definido pela relação CL
w
C
LXX r
r
rCL rr
11
=⇒
⋅
=⋅⇒=
ω
ω ; 
• No ponto ressonante ( rw ) a impedância rZ é mínima a corrente rI é máxima (a corrente tem a mesma 
forma de onda de RV ); 
• máxRV e I máx ocorrem no ponto ressonante; 
• No ponto ressonante as tensões no capacitor e no indutor são iguais (
rr LC VV = ); 
• VL máx ocorre após o ponto ressonante. Note que IXV LL ⋅= onde XL é crescente. O valor de w ( 4w ) 
que produz a tensão máxima no indutor pode ser determinada fazendo-se 
( )
0
22
=








−+
=
dw
XXR
VXd
dw
dV CL
L
L
 ⇒ 
2
2
4
R
C
LX C −= ; 
• VC máx ocorre antes do ponto ressonante. Note que IXV CC ⋅= onde XC é decrescente. O valor de w 
( 3w ) que produz a tensão máxima no capacitor pode ser determinada fazendo-se 
( )
0
22
=








−+
=
dw
XXR
VXd
dw
dV CL
C
C
 ⇒ 
2
2
3
R
C
LX L −= ; 
Nas curvas acima, com a freqüência angular w variando de 0 a ∞, observamos que: 
• A impedância Z parte de um valor inicial 0Z = ∞, passa por um mínimo RZ r = e 
tende para ∞; 
• A corrente I parte de um valor inicial 0I = 0, passa por um máximo RVI r /= e 
tende para 0; 
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• A tensão no resistor RV parte de um valor inicial 0RV = 0, passa por um máximo VV rR = (tensão da 
fonte) e tende para 0; 
• A tensão no indutor LV parte de um valor inicial 00 =LV , passa pelo ponto ressonante VR
X
V r
r
L
L = = 
rCS VVQ = , passa por um máximo máxrLV após o ponto ressonante e tende para V; 
• A tensão no capacitor CV parte de um valor inicial VVC =0 , passa por um máximo máxrCV antes do 
ponto ressonante, passa pelo ponto ressonante V
R
X
V r
r
C
C = = rLS VVQ = e tende para 0; 
• As reatâncias no ponto ressonante são dadas por: 
rr CrL
X
C
L
LC
LL
LC
LX =====
21
ω ; 
• O fator de qualidade é dado por: 
C
L
RLC
L
RR
L
LCR
L
R
XQ rLS r
111 2
=====
ω
. 
Os Lugares geométricos da impedância e da corrente são mostrados nas figuras abaixo. 
 
Lugar Geométrico da Impedância 
•
Z 
 
Lugar Geométrico da Corrente 
•
I 
Analisando os lugares geométricos acima nota-se que: 
• A impedância Z& do circuito é capacitiva abaixo da ressonância e, puramente resistiva na ressonância e 
indutiva, acima da ressonância; 
• O lugar geométrico da corrente caminha sobre um círculo no sentido horário. 
 
7.2.3.1 – O circuito série RLC como Seletor 
Observando-se o comportamento da corrente 
produzida, indicado na figura ao lado, num circuito 
RLC série quando variamos sua freqüência de zero a 
infinito nota-se que este circuito permite mais 
facilmente a passagem de sinais com freqüências 
próximas a freqüência ressonante. Dessa forma, ele 
tem características seletivas. A faixa de freqüência 
que passa mais facilmente ( 12 www −=∆ ) é designa- 
 
da faixa de freqüência ou largura de faixa. Os circuitos com estas características correspondem aqueles com 
médio/alto fator de qualidade, em especial a figura acima corresponde a um circuito com sQ = 4 (médio). 
Em geral, os pontos 1w e 2w são definidos como sendo aqueles onde as correntes no circuito( 1I e 
2I ) sejam 2 vezes menor que a corrente máxima (neste caso a corrente ressonante RVI r /= ). Por isso 
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mesmo esses pontos são também conhecidos como pontos de meia potência já que a potência real 
consumidas em R para as correntes 1I e 2I é a metade da potência consumida por rI . Note que: 
• 
222
22
2
2
2
121
rrr PIR
I
RIRIRPP ==





==== . 
Tendo em mente o que foi apresentado no início desta seção e na seção anterior temos algumas 
expressões e relações interessantes a serem apresentadas e discutidas. Tem-se: 
a) Expressão para o cálculo de 1w correspondente à corrente 1I 
Considerando o circuito RLC série com f variável e como 2/1 rII = 
então 221 RZZ r == já que na ressonância RZ r = . Como o 
ponto 1 está abaixo da ressonância e, neste caso, o circuito tem 
característica predominantemente capacitiva teremos, assim, a 
impedância 1Z& conforme indicada na figura ao lado. Tem-se que: 
 
LC
LCCRRCRCLCRL
C
RXXX LC 2
4011
22
11
2
11
1
1 11
++−
=⇒=−+⇒=−⇒=−= ωωωω
ω
. 
b) Expressão para o cálculo de 2w correspondente à corrente 2I 
Similarmente ao item anterior, como o ponto 2 está acima da ressonância 
e, neste caso, o circuito tem característica predominantemente indutiva 
teremos, assim, a impedância 2Z& conforme indicada na figura ao lado. 
Tem-se que: ⇒=−⇒=−= R
C
LRXXX CL
2
22
1
22 ω
ω 
 
LC
LCCRRCRCLC
2
401
22
22
2
2
+++
=⇒=−−⇒ ωωω . 
c) Largura de Faixa - 12 www −=∆ 
Observe que 12 www −=∆ = LC
LCCRRC
2
422 +++
- 
LC
LCCRRC
2
422 ++−
 = 
L
R
. 
d) Largura de Faixa função do fator de qualidade ( SQ ) do circuito RLC série 
w∆
 = 
L
R
 = 
S
r
S
r
L
r
r
r
r
r
Q
w
QwX
R
w
Lw
R
w
Lw
Rw
r
====
1
. A largura de faixa é inversamente proporcional 
ao fator de qualidade do circuito. Dessa forma, circuitos com altos fatores de qualidade tem larguras de 
faixa estreitas e, conseqüentemente, são altamente seletivos. Similarmente, circuitos com baixos fatores de 
qualidade tem larguras de faixa largas e, conseqüentemente, são poucos seletivos. 
e) A Freqüência angular ressonante ( rw ) é igual à média geométrica de 1w e 2w 
Observe que 21 ww = LC
LCCRRC
2
422 ++−
*
LC
LCCRRC
2
422 +++
=
LC
1
 ⇒ 
LC
ww
1
21 = = LC
1
 = rw . 
f) Cálculos aproximados de 1w e 2w 
Observa-se claramente na curva WI × , mostrada no início desta seção, que a corrente não é simétrica em 
relação ao ponto ressonante ( rw ). Nota-se que ao variar w de 0 a 25 krd/s a corrente cresceu de 0 a 0,6 A, 
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seu valor ressonante. Por outro lado ao variar w de 25 krd/s a 50 krd/s a corrente decresceu de 0,6 a 0,1 A, 
mantendo-se ainda com um valor significativo (16,7 % de seu valor máximo). Embora 1w e 2w não sejam 
simétricos em relação a rw é usual, em operações práticas, aproximá-los como se fossem, ou melhor: 
• 
L
Rw
w rr 221
−=
∆
−≅ ωω ; 
• 
L
Rw
w rr 222
+=
∆
+≅ ωω . 
 
7.2.3.2 –Exemplos numéricos 
a) Exemplo 1 – Circuito com baixo fator de qualidade ( sQ = 0,93) 
Resolva o circuito série RLC indicado na figura ao lado onde: 
V=2 volts, f = variável, R = 2.500 ΩΩΩΩ, C = 0,12 µµµµF e L = 650 mH. 
 
 
 
R (Ω) L (mH) C
 
(µF) f (hz) pi V (volts) 
 2.500 650 0,12 variável 3,14159265 2 
Ressonância (Ponto r) 
 Wr=1/(LC)0,5 Ir (µA) = 800 /0° 
 Wr (rd/s) = 3.580,57 Vr (V) = 2 /0° 
 XLr (Ω) = 2.327,37 VLr (V) = 1,86 /90° 
 XCr (Ω) = 2.327,37 VCr (V) = 1,86 /-90° 
 Xr (Ω) = 0,00 Q=XLr / R = 0,93 
 Zr (Ω) = 2.500,00 Q=(L/C)0,5/R = 0,93 
Tensão máxima no Capacitor (Ponto 3) 
 XL3 = (L/C - R2/2)0,5 XL3 (Ω) = 1.513,825 W3 (rd/s) = 2.328,96 
 XC3 (Ω) X3 (Ω) Z3 (Ω) θZ3 (°) I3 (µA) θI3 (°) 
 3.578,132 -2.064,307 3.242,123 -39,55 617 39,55 
 VR3 (V) θVR3 (°) VL3 (V) θVL3 (°) VC3 (V) θVC3 (°) 
 1,54 39,55 0,93 129,55 2,21 -50,45 
Tensão máxima no Indutor (Ponto 4) 
 XC4 = (L/C - R2/2)0,5 XC4 (Ω) = 1.513,825 W4 (rd/s) = 5.504,82 
 XL4 (Ω) X4 (Ω) Z4 (Ω) θZ4 (°) I4 (µA) θI4 (°) 
 3.578,132 2.064,307 3.242,123 39,55 617 -39,55 
 VR4 (V) θVR4 (°) VL4 (V) θVL4 (°) VC4 (V) θVC4 (°) 
 1,54 -39,55 2,21 50,45 0,93 -129,55 
Relações Interessantes 
 W4 - W3 W4 - Wr Wr - W3 (W3 * W4)0,5 
 3.175,86 1.924,24 1.251,61 3.580,57 
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Ponto de meia potência abaixo da ressonância (Ponto 1) 
W1=[(R2C2+4LC)0,5-RC]/(2LC) W1 (rd/s) = 2.141,25 XL1 (Ω)= 1.391,811 
 XC1 (Ω) X1 (Ω) Z1 (Ω) θZ1 (°) I1 (µA) θI1 (°) 
 3.891,811 -2.500,000 3.535,534 -45,000 566 45,000 
 VR1 (V) θVR1 (°) VL1 (V) θVL1 (°) VC1 (V) θVC1 (°) 
 1,414 45,000 0,787 135,000 2,202 -45,000 
 W1 = (Wr/2Q)*[(1+4Q2)0,5-1] W1 (rd/s) = 2.141,25 
Ponto de meia potência acima da ressonância (Ponto 2) 
W2=[(R2C2+4LC)0,5 + RC]/(2LC) W2 (rd/s) = 5.987,40 XL2 (Ω)= 3.891,811 
 XC2 (Ω) X2 (Ω) Z2 (Ω) θZ2 (°) I2 (µA) θI2 (°) 
 1.391,811 2.500,000 3.535,534 45,000 566 -45,000 
 VR2 (V) θVR2 (°) VL2 (V) θVL2 (°) VC2 (V) θVC2 (°) 
 1,414 -45,000 2,202 45,000 0,787 -135,000 
 W2 = (Wr/2Q)*[(1+4Q2)0,5 + 1] W2 (rd/s) = 5.987,40 
Relações Interessantes 
 W2 - W1 R / L Wr / Q W2 - Wr Wr - W1 (W1 * W2)0,5 
 3.846,15 3.846,15 3.846,15 2.406,83 1.439,33 3.580,57 
Observação: Os gráficos das impedâncias, da corrente e das tensões para este circuito RLC série, quando 
variamos sua freqüência, foram apresentados no início da seção 7.2.3. 
 
b) Exemplo 2 – Circuito com médio fator de qualidade ( sQ = 4) 
Resolva o circuito série RLC indicado na figura ao lado onde: 
V=6 volts, f = variável, R = 100 ΩΩΩΩ, C = 0,1 µµµµF e L = 16 mH. 
 
 
 
R (Ω) L (mH) C
 
(µF) f (hz) pi V (volts) 
 100 16 0,1 variável 3,14159265 6 
Ressonância (Ponto r) 
 Wr=1/(LC)0,5 Ir (mA) = 60 /0° 
 Wr (rd/s) = 25.000,00 Vr (V) = 6 /0° 
 XLr (Ω) = 400,00 VLr (V) = 24,00 /90° 
 XCr (Ω) = 400,00 VCr (V) = 24,00 /-90° 
 Xr (Ω) = 0,00 Q=XLr / R = 4,00 
 Zr (Ω) = 100,00 Q=(L/C)0,5/R = 4,00 
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Tensão máxima no Capacitor (Ponto 3) 
 XL3 = (L/C - R2/2)0,5 XL3 (Ω) = 393,700 W3 (rd/s) = 24.606,27 
 XC3 (Ω) X3 (Ω) Z3 (Ω) θZ3 (°) I3 (mA) θI3 (°) 
 406,400 -12,700 100,813 -7,238 59,5 7,238 
 VR3 (V) θVR3 (°) VL3 (V) θVL3 (°) VC3 (V) θVC3 (°) 
 5,95 7,238 24,43 97,238 24,19 -82,762 
Tensão máxima no Indutor (Ponto 4) 
 XC4 = (L/C - R2/2)0,5 XC4 (Ω) = 393,700 W4 (rd/s) = 25.400,03 
 XL4 (Ω) X4 (Ω) Z4 (Ω) θZ4 (°) I4 (A) θI4 (°) 
 406,400 12,700 100,803 7,238 59,5 -7,238 
 VR4 (V) θVR4 (°) VL4 (V) θVL4 (°) VC4 (V) θVC4 (°) 
 5,95 -7,238 24,19 82,762 23,43 -97,238 
Relações Interessantes 
 W4 - W3 W4 - Wr Wr - W3 (W3 * W4)0,5 
 793,75 400,03 393,73 25.000,00 
Ponto de meia potência abaixo da ressonância (Ponto 1) 
W1=[(R2C2+4LC)0,5-RC]/(2LC) W1 (rd/s) = 22.069,56 XL1 (Ω)= 353,113 
 XC1 (Ω) X1 (Ω) Z1 (Ω) θZ1 (°) I1 (mA) θI1 (°) 
 453,113 -100,000 141,421 -45,000 42,43 45,000 
 VR1 (V) θVR1 (°) VL1 (V) θVL1 (°) VC1 (V) θVC1 (°) 
 4,243 45,000 14,981 135,000 19,224 -45,000 
 W1 = (Wr/2Q)*[(1+4Q2)0,5-1]W1 (rd/s) = 22.069,56 
Ponto de meia potência acima da ressonância (Ponto 2) 
W2=[(R2C2+4LC)0,5 + RC]/(2LC) W2 (rd/s) = 28.319,56 XL2 (Ω)= 453,113 
 XC2 (Ω) X2 (Ω) Z2 (Ω) θZ2 (°) I2 (A) θI2 (°) 
 353,113 100,000 141,421 45,000 42,43 -45,000 
 VR2 (V) θVR2 (°) VL2 (V) θVL2 (°) VC2 (V) θVC2 (°) 
 4,243 -45,000 19,224 45,000 14,981 -135,000 
 W2 = (Wr/2Q)*[(1+4Q2)0,5 + 1] W2 (rd/s) = 28.319,56 
Relações Interessantes 
 W2 - W1 R / L Wr / Q W2 - Wr Wr - W1 (W1 * W2)0,5 
 6.250,00 6.250,00 6.250,00 3.319,56 2.930,44 25.000,00 
 
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Veja os comportamentos da corrente e das tensões no resistor, indutor e capacitor para este circuito 
RLC série, quando variamos sua freqüência, nos gráficos abaixo. 
 
 
 
c) Exemplo 3 – Circuito com alto fator de qualidade ( sQ = 31,43) 
Resolva o circuito série RLC indicado na figura ao lado onde: 
V=6 volts, f = variável, R = 9 ΩΩΩΩ, C = 0,1 µµµµF e L = 8 mH. 
 
 
 
R (Ω) L (mH) C
 
(µF) f (hz) pi V (volts) 
 9 8 0,1 variável 3,14159265 6 
Ressonância (Ponto r) 
 Wr=1/(LC)0,5 Ir (mA) = 666,7 /0° 
 Wr (rd/s) = 35.355,34 Vr (V) = 6 /0° 
 XLr (Ω) = 282,84 VLr (V) = 188,56 /90° 
 XCr (Ω) = 282,84 VCr (V) = 188,56 /-90° 
 Xr (Ω) = 0 Q=XLr / R = 31,43 
 Zr (Ω) = 9 Q=(L/C)0,5/R = 31,43 
Tensão máxima no Capacitor (Ponto 3) 
 XL3 = (L/C - R2/2)0,5 XL3 (Ω) = 282,771 W3 (rd/s) = 35.346,39 
 XC3 (Ω) X3 (Ω) Z3 (Ω) θZ3 (°) I3 (mA) θI3 (°) 
 282,914 -0,143 9,001 -0,912 666,6 0,912 
 VR3 (V) θVR3 (°) VL3 (V) θVL3 (°) VC3 (V) θVC3 (°) 
 6,00 0,912 188,49 90,91 188,59 -89,09 
Tensão máxima no Indutor (Ponto 4) 
 XC4 = (L/C - R2/2)0,5 XC4 (Ω) = 282,771 W4 (rd/s) = 35.364,29 
 XL4 (Ω) X4 (Ω) Z4 (Ω) θZ4 (°) I4 (mA) θI4 (°) 
 282,914 0,143 9,001 0,912 666,6 -0,912 
 VR4 (V) θVR4 (°) VL4 (V) θVL4 (°) VC4 (V) θVC4 (°) 
 6,00 -0,912 188,59 89,09 188,49 -90,91 
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Relações Interessantes 
 W4 - W3 W4 - Wr Wr - W3 (W3 * W4)0,5 
 17,903 8,953 8,950 35.355,34 
Ponto de meia potência abaixo da ressonância (Ponto 1) 
W1 = [(R2C2+4LC)0,5-RC]/(2LC) W1 (rd/s) = 34.797,31 XL1 (Ω)= 278,379 
 XC1 (Ω) X1 (Ω) Z1 (Ω) θZ1 (°) I1 (mA) θI1 (°) 
 287,379 -9,000 12,728 -45,000 471 45,000 
 VR1 (V) θVR1 (°) VL1 (V) θVL1 (°) VC1 (V) θVC1 (°) 
 4,243 45,000 131,229 135,000 135,472 -45,000 
 W1=(Wr/2Q)*[(1+4Q2)0,5-1] W1 (rd/s) = 34.797,31 
Ponto de meia potência acima da ressonância (Ponto 2) 
W2=[(R2C2+4LC)0,5 + RC]/(2LC) W2 (rd/s) = 35.922,31 XL2 (Ω)= 287,379 
 XC2 (Ω) X2 (Ω) Z2 (Ω) θZ2 (°) I2 (mA) θI2 (°) 
 278,379 9,000 12,728 45,000 471 -45,000 
 VR2 (V) θVR2 (°) VL2 (V) θVL2 (°) VC2 (V) θVC2 (°) 
 4,243 -45,000 135,472 45,000 131,229 -135,000 
 W2 = (Wr/2Q)*[(1+4Q2)0,5 + 1] W2 (rd/s) = 35.922,31 
Relações Interessantes 
 W2 - W1 R / L Wr / Q W2 - Wr Wr - W1 (W1 * W2)0,5 
 1125,00 1125,00 1125,00 566,97 558,03 35.355,34 
 
Veja os comportamentos das reatâncias, impedância, corrente e das tensões no resistor, indutor e 
capacitor para este circuito RLC série, quando variamos sua freqüência, nos gráficos abaixo. Observe que 
as curvas das tensões no indutor e no capacitor são, praticamente, coincidentes no entorno do ponto 
ressonante e, dessa forma, suas tensões máximas e ressonantes são muito próximas. 
 
 
 
 
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d) Exemplo 4 – Circuitos Seletores com Correntes e Freqüências ressonantes iguais 
Aplicando-se a mesma tensão V, alternada 
senoidal, em dois circuitos série RLC, com freqüência 
variável, obteve-se a curva 1, para o circuito 1 com os 
parâmetros R L eC1 1 1, e a curva 2, para o circuito 2 
com os parâmetros R L eC2 2 2, . Nota-se que os dois 
circuitos tem o mesmo ponto ressonante ( rw ) e, 
também, o mesmo valor da corrente ressonante. Em 
função dessas igualdades e das larguras de faixas indi- 
 
cadas pode-se concluir: 
• Como 
R
VI r = e 2121 RRII rr =⇒= ; 
• Como 
LC
wr
1
= e 2211
2211
11
21
CLCL
CLCLrr
=⇒=⇒= ωω ; 
• Como 
ω
ω
∆
=
r
SQ , 21 rr ωω = e 2121 SS QQ <⇒∆>∆ ωω ; 
• Como 
L
R
w =∆ , 21 RR = e 2121 LL <⇒∆>∆ ωω ; 
• Como 2211 CLCL = e 21 LL < ⇒⇒⇒⇒ 21 CC > . 
 
7.3 – Diagrama Circular do Circuito Série RL - Variação da Resistência R 
 
Nas seções anteriores 
analisamos circuitos série onde 
a resistência (R) tinha valor 
constante. Veremos, agora, o 
comportamento da corrente 
quando o elemento R é 
variável, conforme indicado na 
 
figura acima. Circuitos deste tipo podem representar uma carga variável como, por exemplo, um motor de 
indução. Para mostrar que o lugar geométrico da corrente mostrado corresponde ao circuito RL, com R 
variável, tem-se que: 
• Para R = 0, a corrente (I) é puramente indutiva ⇒ atrasa de 90° da tensão V, é máxima e igual a 
XV / . Assim, o segmento de reta XVOC /= ; 
• No triângulo retângulo OAC: cos α = θseno
X
V
I
OC
I
==
 ⇒ θθ senoZseno
I
VX == já que 
seno θ = cos α.(ângulos complementares); 
• Note que para qualquer ponto do semi-círculo OAC a equação XsenoZ =θ é verdadeira, equação esta 
que relaciona a impedância e a reatância de um circuito RL. Conclui-se, então, que o lugar geométrico 
da corrente I& do circuito RL acima é o vetor com origem no ponto O e a extremidade um ponto A 
genérico sobre o semi-círculo OAC. 
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7.4 – Ramos Paralelos 
Para o circuito genérico com três ramos paralelos, tem-se que: 
1
1
•
•
•
=
Z
VI ; 
2
2
•
•
•
=
Z
VI ; 
3
3
•
•
•
=
Z
VI ; 321
••••
++= IIII ⇒⇒⇒⇒ 
=








++=
•••
••
321
111
ZZZ
VI
•
•
••••••
=⋅=




 ++=
Z
VYVYYYV 321 . 
 
 
Cuidado:Observe que a admitância 1Y& equivalente à impedância série 1Z& 
indicado na figura (a) ao lado é 22
1
1
11
1
!
1
1
11
L
L
L jXR
jXR
jXRZ
Y
+
−
=
+
==
•
•
e 
 
não 
1
11
'
1
1
LjXR
Y +=
•
 que seria a admitância equivalente do circuito paralelo indicado na figura (b). 
 
7.4.1 – O ramo Paralelo equivalente a uma impedância Série 
Considerando que o circuito paralelo indicado na 
figura (b) ao lado seja o equivalente do circuito série (a) e 
recordando que seus fatores de qualidades são: 
P
P
P
P
P X
R
RV
XV
P
QQ === 2
2
, 
S
S
S
S
S R
X
IR
IX
P
QQ === 2
2
, tem-se que: 
 
PS YY
••
= ⇒ 
PPS
S
S
S
SS
SS
SS X
j
RZ
Xj
Z
R
XR
jXR
jXR −=−=+
−
=
+
11
2222
S
S
P R
Z
R
2
=⇒ e 
S
S
P X
Z
X
2
= onde: 
2
SS ZR é a condutância da impedância série SZ& e 
2
SS ZX é a susceptância da impedância série SZ& . 
Observe que: 
( )2222 1 SS
S
SS
S
S
P QRR
XR
R
Z
R +=
+
== 
( )2222 11 SS
S
SS
S
S
P QXX
XR
X
Z
X +=
+
== 
7.4.2 – A impedância Série equivalente ao ramo Paralelo 
Considerando que o circuito série indicado na figura (b) ao 
lado seja o equivalente do circuito paralelo (a) e fazendo PS ZZ
••
=tem-se que: 
)()(
)(
PPPP
PPPP
PP
PP
PSSS jXRjXR
jXRjXR
jXR
jXR
ZjXRZ
−+
−⋅
=
+
⋅
==+= && ⇒ 
 
 
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22
22
PP
PPPP
SS XR
XjRXRjXR
+
+⋅
=+ . Igualando-se as partes reais e imaginárias tem-se que: 
1
1
222
2
+
=⇒
+
⋅
=
P
PS
PP
PP
S Q
RR
XR
XR
R e 
12
2
22
2
+
=⇒
+
⋅
=
P
P
PS
PP
PP
S Q
Q
XX
XR
XR
X . 
 
7.4.3 – Exemplos numéricos - O Paralelo equivalente do Série e vice-versa 
 
 
 
Conversão do circuito Série para o equivalente Paralelo 
RS (Ω) LS (mH) f (hz) w (rd/s) XS (Ω) ZS (Ω) QS 
10,00 5,00 6.000 37.699,11 188,50 188,76 18,850 
QS = XS / RS 
RP = ZS2 / RS RP (Ω) XP (Ω) QP LP (mH) 
XP = ZS2 / XS 3.563,06 189,03 18,850 5,014 
QP = RP / XP 
RP = RS (1 + QS2) RP (Ω) XP (Ω) 
XP = XS (1 + 1/QS2) 3.563,06 189,03 
 
Conversão do circuito Paralelo para o equivalente Série 
RP (Ω) LP (mH) f (hz) w (rd/s) XP (Ω) ZP (Ω) QP 
3.563,06 5,014 6.000 37.699,11 189,03 3.568,07 18,850 
QP = RP / XP 
RS = RP (XP2 / ZP2) RS (Ω) XS (Ω) QS LS (mH) 
XS = XP (RP2 / ZP2) 10,00 188,50 18,850 5,000 
QS = XS / RS 
RS = RP / (1 + QP2) RS (Ω) XS (Ω) 
XS = XP (QP2/ (1 + QP2)) 10,00 188,50 
 
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7.5 – Ressonância em ramos paralelos 
Para o circuito paralelo de dois ramos, indicado na figura ao lado, 
e considerando a condição geral de ressonância de que a tensão aplicada 
V& e a corrente produzida I& estejam em fase tem-se que: 
a) °=
+
=
•
0|eq
CL
CL
eq Z
ZZ
ZZ
Z &
&&
&&
; 
b) °=+=+=
••
•••
0|11 eq
CL
CLeq Y
ZZ
YYY & . Desenvolvendo esta relação e fazendo a parte imaginária igual a 
zero obtém-se a condição geral de ressonância para o circuito acima, ou melhor: 
2222
11110|
CC
CC
LL
LL
CCLLCL
eq XR
jXR
XR
jXR
jXRjXRZZ
Y
+
+
+
+
−
=
−
+
+
=+=°
••
&
 ⇒ a condição geral: 
2222
CC
C
LL
L
XR
X
XR
X
+
=
+
. Analisando esta equação em termos da variação de um dos parâmetros: LR , 
L, CR , C e f, observa-se que dependendo dos valores dos demais parâmetros é possível obter a 
igualdade indicada e, dessa forma, determinar o valor específico do parâmetro variável que provocará 
ressonância no circuito paralelo acima. 
 
7.5.1 – Ressonância Paralela – Variação da Indutância (L) 
Para o circuito indicado na figura (a), abaixo, com a indutância variando de zero a infinito obtém-se 
os lugares geométricos da corrente I& mostradas nas figuras (b), (c) ou (d), função dos parâmetros do 
circuito, LR , CR , C e f. 
 
 
Para as figuras (b), (c) e (d) acima podemos salientar que: 
• O lugar geométrico da corrente LC III &&& += é vetor que tem como origem o ponto O e como 
extremidade, um ponto genérico sobre a semi-circunferência, dependente do parâmetro variável L; 
• Os pontos ressonantes não propiciam nem correntes mínimas e nem máximas e, sim, pontos com fator 
de potência unitário, ou melhor, corrente produzida e tensão aplicada em fase. Na figura (b) temos dois 
pontos ressonantes (3) e (6); na figura (c), um ponto ressonante (3) e na figura (d), nenhum; 
• A corrente mínima é definida pela normal à semi-cícunferência (menor distância de um ponto externo à 
uma semi-circunferência); 
• A corrente máxima é definida como sendo o vetor RaioOC + tal que o ângulo do vetor Raio mais se 
alinha com o vetor OC . Observe que para qualquer ponto P pertencente a semi-circunferência tem-se 
que: CPCOOP IIII &&&& ++= 11 = CPOC II && + ; 
• Observe que se )( CC senoI θ < Raio tem-se dois pontos ressonante; se for igual, tem-se um ponto 
ressonante e se for maior, não temos ponto ressonante; 
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• Ponto mais indutivo ou menos capacitivo é o ponto de tangência a circunferência a partir do ponto O; 
• A tabela seguinte sintetiza os pontos característicos para os lugares geométricos indicados nas figuras 
(b), (c) e (d): 
Pontos característicos da corrente LC III &&& += Figura b Figura c Figura d 
Pontos ressonantes 3 e 6 3 nenhum 
Ponto de corrente máxima 7 4 5 
Ponto de corrente mínima 2 2 2 
Ponto de meia potência 5 3 3 
Ponto mais indutivo ou menos capacitivo 4 3 4 
Ponto mais capacitivo 1 1 1 
• Expressão literal de LX e de L que provocam ressonância. À partir da equação 
2222
CC
C
LL
L
XR
X
XR
X
+
=
+
tem-se que: 222
C
C
LL
L
Z
X
XR
X
=
+
 ⇒ 0222 =+− CLLCLC XRXZXX ⇒ 
C
LCCC
L X
RXZZ
X
2
4 2242 −±
= ou 




−±= 2242 4
2 LCCC
RXZZCL ; 
• Observe que a condição de ressonância é que o 04 224 ≥−=∆ LCC RXZ ⇒ LCC RXZ 2
2 ≥ , expressão 
equivalente aquela (Raio ≥ )( CC senoI θ ) encontrada na solução gráfica já que: 
Raio ≥ )( CC senoI θ ⇒ 2
Diâmetro ≥ )( CC senoI θ ⇒
C
C
CL Z
X
Z
V
R
V ≥
2
⇒ LCC RXZ 2
2 ≥ . 
 
Exemplo numérico - Ressonância Paralela 
Resolva o circuito paralelo indicado 
abaixo, sabendo-se que ao variarmos um 
de seus parâmetros, de zero à ∞, obteve-
se o lugar geométrico das correntes 
indicado na figura à direita, onde: 
&V =150 / 0°°°° volts, f = 1,2 kHz, 
IF = 4 A, θθθθ = 55°°°° e R = 5C = 5 A. 
 
 
 
Qual é o elemento variável? 
• FI& adiantado de V& ⇒ FI& = CI& ∴ a corrente do ramo capacitivo não varia, CR e C fixos; 
• VI& atrasado de V& ⇒ VI& = LI& ∴ a corrente do ramo indutivo é variável, LR ou L varia; 
• LI& máximo é 17I& em fase com V& , circuito puramente resistivo ⇒ L = 0, ∴ L é variável. 
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 V (volts) f (Hz) IC θC (°) R (raio) 
 150 1.200 4 55 5,00 
Parâmetros do circuito 
 ZC (Ω) θZC (°) RC (Ω) XC (Ω) C (µF) RL (Ω) 
 37,500 -55,000 21,509 30,718 4,3176 15,000 
Pontos ressonantes: P3 e P6. A corrente I está em fase com a tensão. 
 XL = (ZC2 ± RAIZ(ZC4 - 4 XC2 RL2)) / (2 XC) XL3 (Ω) XL6 (Ω) 
 40,179 5,600 
 L = C × (ZC2 ± RAIZ(ZC4 - 4 XC2 RL2)) / 2 L3 (mH) L6 (mH) 
 5,329 0,743 
IP3 = IO3: Ponto ressonante de maior indutância 
 
ZLr3 = RL + j XLr3 ILr3 = V/ZLr3 
 
 
 ZLr3 (Ω) θZr3 (°) ILr3 (A) θLr3 (°) 
 42,89 69,528 3,4975 -69,528 
IP3 = IF + ILr3 Real (IP3) Imag (IP3) IP3 (A) θIP3 (°) 
 
 
 3,5176 0,000 3,5176 0,000 
IP3 = gr3 × V onde gr3 = RL / ZL2 + RC / ZC2 para Lr sendo a maior L ressonante. 
 
 
gr (mohs) IP3 (A) θIP3 (°) 
 0,02345 3,5176 0,000 
IP6 = IO6: Ponto ressonante de menor indutância 
 
ZLr6 = RL + j XLr6 ILr6 = V/ZLr6 
 ZLr6 (Ω) θZr6 (°) ILr6 (A) θLr6 (°) 
 16,01 20,472 9,3684 -20,472 
IP6 = IF+ILr6 Real (IP6) Imag (IP6) IP6 (A) θIP6 (°) 
 11,071 0,000 11,071 0,000 
Corrente mínima (Imin) é o vetor IO2. Menor distância de um ponto a um círculo. 
 IOC = IF + R /0° Real (IOC) Imag (IOC) IOC (A) θIOC (°) 
 7,2943 3,2766 7,9964 24,19 
 Imin = IOC /α - R /α Imin (A) θImin (°) Real (Imin) Imag (Imin) 
 2,9964 24,190 2,7333 1,2278 
 ILmin = Imin - IF Real (ILmin) Imag (ILmin) ILmin (A) θILmin (°) 
 
 
 0,43903 -2,0488 2,0953 −77,905 
 ZLmin = V / ILmin ZLmin (Ω) θZLmin (°) RLmin (Ω) XLmin (Ω)71,59 77,905 15,00 70,00 
Corrente máxima: I7 = IO7. Raio do semi-círculo mais alinhado com IOC. 
 
Real (I7) Imag (I7) I7 (A) θI7 (°) 
 I7 = IF + 2R /0 12,294 3,2766 12,723 14,923 
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Corrente mais indutiva: I4 = IO4. Ponto de tangência do ponto O ao semi-círculo. 
 I4 = Raiz(IOC2 - R2) Real (I4) Imag (I4) I4 (A) θI4 (°) 
 θI4 = θIoc-arc sin(R/OC) 6,0413 -1,5638 6,2404 -14,513 
 IL4 = I4 - IF Real (IL4) Imag (IL4) IL4 (A) θIL4 (°) 
 
 
 3,7470 -4,8405 6,1213 −52,256 
 ZL4 = V / IL4 ZL4 (Ω) θZL4 (°) RL4 (Ω) XL4 (Ω) 
 
 
 24,50 52,256 15,00 19,38 
Corrente do ramo variável onde XL = RL : I5 = IO5. Ponto de meia potência. 
 I5 = IF + (R - jR) Real (I5) Imag (I5) I5 (A) θI5 (°) 
 
 
 7,2943 -1,7234 7,4951 -13,293 
 IL5 = (R - jR) Real (IC5) Imag (IL5) IL5 (A) θIL5 (°) 
 
 
 5,0000 -5,0000 7,0711 −45,000 
 ZL5 = V / IL5 ZL5 (Ω) θZL5 (°) RL5 (Ω) XL5 (Ω) 
 
 
 21,21 45,000 15,00 15,00 
Observe que para os pontos ressonantes ( 3P e 6P ) poder-se-ia calcular, facilmente, as correntes 
ressonantes ( 3I e 6I ) através de cálculos fasoriais de correntes, sem a necessidade de determinar os valores 
numéricos dos parâmetros do circuito ( RL , L, RC e C). Observe que: 
• 333 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / -(180 - β)° = 3OI /0° ; 
• 666 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / - β = 6OI /0° 
onde CFOC III 1&&& += = FI& + R / 0° = OCI / α e β = arc seno ( FI seno θ / R). 
De maneira similar, para os demais pontos característicos tem-se: 
• Corrente máxima: 777 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / 0° = 17II F && + = FI& + 2R / 0° ; 
• Corrente mínima: 222 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / (α - 180)° = ( RIOC − ) / α ; 
• Corrente de 2
1
 potência: 555 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / - 90° ; 
• Corrente mais capacitiva: FO III &&& == 11 ; 
• Corrente mais indutiva: 444 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / - (180 - α - δ)° 
onde γ é o ângulo C do triângulo retângulo OC4, ou melhor, γ = arc cos 
OCI
R
. 
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7.5.2 – Ressonância Paralela – Variação da Capacitância (C) 
Para o circuito indicado na figura (a), abaixo, com a capacitância variando de zero a infinito obtém-se 
os lugares geométricos da corrente I& mostradas nas figuras (b), (c) ou (d), função dos parâmetros do 
circuito, LR , CR , L e f. 
 
 
Para as figuras (b), (c) e (d) acima podemos salientar que: 
• O lugar geométrico da corrente LC III &&& += é vetor que tem como origem o ponto O e como 
extremidade, um ponto genérico sobre a semi-circunferência, dependente do parâmetro variável C; 
• Os pontos ressonantes não propiciam nem correntes mínimas e nem máximas e, sim, pontos com fator 
de potência unitário, ou melhor, corrente produzida e tensão aplicada em fase. Na figura (b) temos dois 
pontos ressonantes (3) e (6); na figura (c), um ponto ressonante (3) e na figura (d), nenhum; 
• A corrente mínima é definida pela normal à semi-cícunferência (menor distância de um ponto externo à 
uma semi-circunferência); 
• A corrente máxima é definida como sendo o vetor RaioOC + tal que o ângulo do vetor Raio mais se 
alinha com o vetor OC . Observe que para qualquer ponto P pertencente a semi-circunferência tem-se 
que: CPCOOP IIII &&&& ++= 11 = CPOC II && + ; 
• Observe que se )( LL senoI θ < Raio tem-se dois pontos ressonante; se for igual, tem-se um ponto 
ressonante e se for maior, não temos ponto ressonante; 
• Ponto mais capacitivo ou menos indutivo é o ponto de tangência a circunferência a partir do ponto O; 
• A tabela seguinte sintetiza os pontos característicos para os lugares geométricos indicados nas figuras 
(b), (c) e (d): 
Pontos característicos da corrente LC III &&& += Figura b Figura c Figura d 
Pontos ressonantes 3 e 6 3 Não tem 
Ponto de corrente máxima 7 4 5 
Ponto de corrente mínima 2 2 2 
Ponto de meia potência 5 3 3 
Ponto mais capacitivo ou menos indutivo 4 3 4 
Ponto mais indutivo 1 1 1 
• Expressão literal de CX e de C que provocam ressonância. À partir da equação 
2222
CC
C
LL
L
XR
X
XR
X
+
=
+
tem-se que: 222
CC
C
L
L
XR
X
Z
X
+
= ⇒ 0222 =+− LCCLCL XRXZXX ⇒ 
L
CLLL
C X
RXZZ
X
2
4 2242 −±
= ou C
L
Z Z R X
r
L L C L
=
± −
2
42 4 2 2
; 
• Observe que a condição de ressonância é que o 04 224 ≥−=∆ CLL RXZ ⇒ CLL RXZ 2
2 > expressão 
equivalente aquela (Raio ≥ )( LL senoI θ ) encontrada na solução gráfica já que: 
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Raio ≥ )( LL senoI θ ⇒ 2
Diâmetro ≥ )( LL senoI θ ⇒
L
L
LC Z
X
Z
V
R
V ≥
2
⇒ CLL RXZ 2
2 > . 
 
Exemplo numérico - Ressonância Paralela 
Resolva o circuito paralelo indicado 
abaixo, sabendo-se que ao variarmos um 
de seus parâmetros, de zero à ∞, obteve-
se o lugar geométrico das correntes 
indicado na figura à direita, onde: 
&V =120 / 0°°°° volts, f = 3 kHz, 
IF = 1,4 A, θθθθ = 40°°°° e 5C = 3,25 A. 
 
 
Qual é o elemento variável? 
• FI& atrasado de V& ⇒ FI& = LI& ∴ a corrente do ramo indutivo não varia, LR e L fixos; 
• VI& adiantado de V& ⇒ VI& = CI& ∴ a corrente do ramo capacitivo é variável, CR ou C varia; 
• CI& máximo é 17I& em fase com V& , circuito puramente resistivo ⇒ C = ∞, ∴ C é variável. 
 
 V (volts) f (Hz) IL θL (°) R (raio) 
 120 3.000 1,4 -40 3,25 
Parâmetros do circuito 
 ZL (Ω) θZL (°) RL (Ω) XL (Ω) L (mH) RC (Ω) 
 85,714 40,000 65,661 55,096 2,923 18,462 
Pontos ressonantes: P3 e P6. A corrente I está em fase com a tensão. 
 XC = (ZL2 ± RAIZ(ZL4 - 4 XL2 RC2)) / (2 XL) XC3 (Ω) XC6 (Ω) 
 130,741 2,607 
 C = 2 L / (ZL2 ± RAIZ(ZL4 - 4 XL2 RC2)) C3 (µF) C6 (µF) 
 0,40578 20,3505 
IP6 = IO6: Ponto ressonante de maior capacitância 
 
ZCr6 = RC - j XCr6 ICr6 = V/ZCr6 
 
 
 ZCr6 (Ω) θZr6 (°) ICr6 (A) θC6 (°) 
 18,64 -8,037 6,4362 8,037 
IP6 = IF + ICr6 Real (IP6) Imag (IP6) IP6 (A) θIP6 (°) 
 
 
 7,4454 0,000 7,4454 0,000 
IP6 = gr6 × V onde gr6 = RL / ZL2 + RC / ZC2 para Cr sendo a maior C ressonante. 
 
 
gr6 (mohs) IP3 (A) θIP3 (°) 
 0,062045 7,4454 0,000 
 
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IP3 = IO3: Ponto ressonante de menor capacitância 
 
ZCr3 = RC - j XCr3 ICr3 = V/ZCr3 
 ZCr3 (Ω) θZr3 (°) ICr3 (A) θCr3 (°) 
 132,04 -81,963 0,90883 81,963 
IP3 = IF+ICr3 Real (IP3) Imag (IP3) IP3 (A) θIP3 (°) 
 1,1995 0,000 1,1995 0,000 
Corrente mínima (Imin) é o vetor IO2. Menor distância de um ponto a um círculo. 
 IOC = IF + R /0 Real (IOC) Imag (IOC) IOC (A) θIOC (°) 
 4,3225 -0,8999 4,4151 -11,761 
 Imin = IOC /-α - R /-α° Imin (A) θImin (°) Real (Imin) Imag (Imin) 
 1,1651 -11,761 1,1407 -0,23748 
 ICmin = Imin - IF Real (ICmin) Imag (ICmin) ICmin (A) θICmin (°) 
 
 
 0,068224 0,66242 0,66592 84,120 
 ZCmin = V / ICmin ZCmin (Ω) θZCmin (°) RCmin (Ω) XCmin (Ω) 
 
 
 180,20 -84,120 18,46 -179,25 
Corrente máxima: I7 = IO7. Raio do semi-círculo mais alinhado com IOC. 
 
Real (I7) Imag (I7) I7 (A) θI7 (°) 
 I7 = IF + 2R /0 7,5725 -0,8999 7,6257 -6,777 
Corrente mais capacitiva: I4 
 I4 = Raiz(IOC2 - R2) Real (I4) Imag (I4) I4 (A) θI4 (°) 
 θI4 = θIoc-arc sin(R/OC) 2,4287 1,7414 2,9885 35,640 
 IC4 = I4 - IF Real (IC4) Imag (IC4) IC4(A) θIC4 (°) 
 
 
 1,3563 2,6413 2,9691 62,820 
 ZC4 = V / IC4 ZC4 (Ω) θZC4 (°) RC4 (Ω) XC4 (Ω) 
 
 
 40,42 -62,820 18,46 -35,95 
Corrente do ramo variável onde XC = RC : I5 = IO5. Ponto de meia potência. 
 I5 = IF + (R + jR) Real (I5) Imag (I5) I5 (A) θI5 (°) 
 
 
 4,3225 2,3501 4,9200 28,533 
 IC5 = (R + jR) Real (IC5) Imag (IC5) IC5 (A) θIC5 (°) 
 
 
 3,250 3,250 4,5962 45,000 
 ZC5 = V / IC5 ZC5 (Ω) θZC5 (°) RC5 (Ω) XC5 (Ω) 
 
 
 26,11 -45,000 18,46 -18,46 
Observe que para os pontos ressonantes ( 3P e 6P ) poder-se-ia calcular, facilmente, as correntes 
ressonantes ( 3I e 6I ) através de cálculos fasoriais de correntes, sem a necessidade de determinar os valores 
numéricos dos parâmetros do circuito ( RL , L, RC e C). Observe que: 
• 333 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / (180 - β)° = 3OI /0° ; 
• 666 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / β = 6OI /0° 
onde CFOC III 1&&& += = FI& + R / 0° = OCI / -α e β = arc seno ( FI seno θ / R). 
CE2 - Unidade 7 - Análise de Circuitos Monofásicos Senoidais 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 25 
 
De maneira similar, para os demais pontos característicos tem-se: 
• Corrente máxima: 777 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / 0° = 17II F && + = FI& + 2R / 0° ; 
• Corrente mínima: 222 COCO IIII &&&& +== = OCI& - R / -α = ( RIOC − ) / -α; 
• Corrente de 2
1
 potência: 555 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / + 90° ; 
• Corrente mais indutiva: FO III &&& == 11 ; 
• Corrente mais capacitiva: 444 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / + (180 - α - δ)° 
onde γ é o ângulo C do triângulo retângulo OC4, ou melhor, γ = arc cos 
OCI
R
. 
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7.5.3 – Ressonância Paralela – Variação do Resistor LR 
Para o circuito indicado na figura (a), abaixo, com a resistência LR variando de zero a infinito obtém-
se os lugares geométricos da corrente I& mostradas nas figuras (b) ou (c), função dos parâmetros do circuito, 
CR , L, C e f. 
 
 
Para as figuras (b) e (c) acima podemos salientar que: 
• O lugar geométrico da corrente LC III &&& += é vetor que tem como origem o ponto O e como 
extremidade, um ponto genérico sobre a semi-circunferência, dependente do parâmetro variável LR ; 
• O ponto ressonante não propicia nem corrente mínima e nem máxima e, sim, ponto com fator de 
potência unitário, ou melhor, corrente produzida e tensão aplicada em fase. Na figura (b) temos um 
ponto ressonante (2) e na figura (c), nenhum; 
• A corrente mínima é definida como sendo o vetor RaioOC + tal que o ângulo do vetor Raio mais se 
desalinha com o vetor OC . Observe que para qualquer ponto P pertencente a semi-circunferência tem-
se que: CPCOOP IIII &&&& ++= 11 = CPOC II && + . Nota-se que este ponto corresponde a um dos extremos do 
parâmetro variável e, também, depende da posição do ponto C em relação ao vetor tensão V; 
• A corrente máxima é definida como sendo o vetor RaioOC + tal que o ângulo do vetor Raio mais se 
alinha com o vetor OC ; 
• Observe que se )( CC senoI θ ≤ Diâmetro tem-se um ponto ressonante e se for maior, não temos ponto 
ressonante; 
• A tabela seguinte sintetiza os pontos característicos para os lugares geométricos indicados nas figuras (b) 
e (c): 
Pontos característicos da corrente LC III &&& += Figura b Figura c 
Ponto ressonante 2 Não tem 
Ponto de corrente máxima 4 2 
Ponto de corrente mínima 1 5 
Ponto de meia potência 3 3 
Ponto mais indutivo ou menos capacitivo 6 4 
Ponto mais capacitivo 1 1 
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• Expressão literal de LR que provoca ressonância. À partir da equação 2222
CC
C
LL
L
XR
X
XR
X
+
=
+
tem-se 
que: 222
C
C
LL
L
Z
X
XR
X
=
+
 ⇒ 0222 =−= CLLCLC XXXZRX ⇒ 
C
CLLC
L X
XXXZ
R
r
22
−
= ou R w L C R w L
L
CL r C
= − +2 2 2 2 ; 
• Observe que a condição de ressonância é que o 
C
CLLC
X
XXXZ 22 −
=∆ ≥0 ⇒ CLC XXZ >
2
 expressão 
equivalente aquela (Diâmetro ≥ )( CC senoI θ ) encontrada na solução gráfica já que: 
Diâmetro ≥ )( CC senoI θ ⇒ 
C
C
CL Z
X
Z
V
X
V ≥ ⇒
C
LXXZ CLC =>
2
. 
 
Exemplo numérico - Ressonância Paralela 
Resolva o circuito paralelo indicado abaixo, sabendo-se 
que ao variarmos um de seus parâmetros, de zero à ∞, 
obteve-se o lugar geométrico das correntes indicado na 
figura à direita, onde: &V =160 / 0°°°° volts, f = 1,4 kHz, 
IF = 3,5 A, θθθθ = 15°°°° e 3C = R= 2,1 A. 
 
 
 
Qual é o elemento variável? 
• FI& adiantado de V& ⇒ FI& = CI& ∴ a corrente do ramo capacitivo não varia, CR e C fixos; 
• VI& atrasado de V& ⇒ VI& = LI& ∴ a corrente do ramo indutivo é variável, LR ou L varia; 
• LI& máximo é 16I& atrasada 90° de V& , circuito puramente indutivo ⇒ LR = 0, ∴ LR é variável. 
 
 V (volts) f (Hz) IC θC (°) R (raio) w (rd/s) 
 160 1.400 3,5 +15 2,1 8.796,46 
 
Parâmetros do circuito 
 ZC (Ω) θZC (°) RC (Ω) XC (Ω) C (µF) XL (Ω) 
 45,714 -15,000 44,157 11,832 9,608 38,095 
 L (mH) = 4,331 
CE2 - Unidade 7 - Análise de Circuitos Monofásicos Senoidais 
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Ponto ressonante: P2. A corrente I está em fase com a tensão. 
 RLr = RAIZ((ZC2 XL - XC XL2) / XC) RLr (Ω) 
 RLr = RAIZ(ZC2 w2 L C - XL2) 72,646 
 RLr = RAIZ(RC2 w2 L C + L/C - w2 L2) 
 IF Real (IF) Imag (IF) IF (A) θIF (°) 
 3,381 0,9059 3,500 15,000 
 ILr = V / ZLr ZLr (Ω) θZLr (°) ILr (A) θILr (°) 
 82,028 27,672 1,951 -27,672 
 Ir = IF + ILr Real (Ir) Imag (Ir) Ir (A) θIr (°) 
 5,108 0,000 5,108 0,000 
 Ir = gr × V onde gr = RLr / ZLr + RC / ZC2 para RLr que produz ressonância. 
 
 
 gr (mohs) Ir (A) θIr (°) 
 0,03193 5,108 0,000 
Corrente máxima (Imax=I4 = IO4). Raio do semi-círculo alinhado com o vetor IOC. 
 IOC = IF + R /-90° Real (IOC) Imag (IOC) IOC (A) θIoc (°) 
 3,381 -1,194 3,585 -19,454 
 
 
 
 
 Imax = IOC + R /θIoc Real (Imax) Imag (Imax) Imax (A) θmax (°) 
 5,361 -1,894 5,685 -19,454 
 ILm = Imax - IF Real (ILm) Imag (ILm) ILm (A) θIlm (°) 
 
 
 1,980 -2,799 3,429 -54,727 
 ZLm = V / ILm ZLm (Ω) θZLm (°) RLm (Ω) XLm (Ω) 
 
 
 46,662 54,727 26,946 38,095 
Corrente mais indutiva: I6 Real (I6) Imag (I6) I6 (A) θI6 (°) 
 I6 = IF + 2R / -90° 3,381 -3,294 4,720 -44,257 
Corrente do ramo variável onde RL = XL (I43 = IO3). Ponto de meia potência. 
 I3 = IF + (R - jR) Real (I3) Imag (I3) I3 (A) θI3 (°) 
 
 
 5,481 -1,194 5,609 -12,291 
 IL3 = (R - jR) Real (IL3) Imag (IL3) IL3 (A) θIL3 (°) 
 2,100 -2,100 2,970 -45,000 
 ZL3 = V / IL3 ZL3 (Ω) θZL3 (°) RL3 (Ω) XL3 (Ω) 
 53,875 38,095 38,095 38,095 
Observe que para o ponto ressonante ( 2P ) poder-se-ia calcular, facilmente, a corrente ressonante ( 2I ) 
através de cálculo fasorial de correntes, sem a necessidade de determinar os valores numéricos dos 
parâmetros do circuito ( RL , L, RC e C). Observe que: 
• 222 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / β° = 2OI / 0° 
onde CFOC III 1&&& += = FI& + R / -90° = OCI / -α e β = arc seno 




 −
R
senoIR F θ
. 
CE2 - Unidade 7 - Análise de Circuitos Monofásicos Senoidais 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 29 
 
De maneira similar, para os demais pontos característicos tem-se: 
• Corrente máxima: 444 COCO IIII &&&&+== = OCI& + R / -α = ( OCI + R) / -α ; 
• Corrente mínima: FO III &&& == 11 = 1COC II && + = OCI& + R / +90°; 
• Corrente de 2
1
 potência: 333 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R /0° = 13II F && + = FI& + (R - jR); 
• Corrente mais capacitiva: FO III &&& == 11 ; 
• Corrente mais indutiva: 666 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / -90° = 16II F && + = FI& + 2R / -90°. 
 
7.5.4 – Ressonância Paralela – Variação do Resistor CR 
Para o circuito indicado na figura (a), abaixo, com a resistência CR variando de zero a infinito 
obtém-se os lugares geométricos da corrente I& mostradas nas figuras (b) ou (c), função dos parâmetros do 
circuito LR , L, C e f. 
 
 
Para as figuras (b) e (c) acima podemos salientar que: 
• O lugar geométrico da corrente LC III &&& += é vetor que tem como origem o ponto O e como 
extremidade, um ponto genérico sobre a semi-circunferência, dependente do parâmetro variável CR ; 
• O ponto ressonante não propicia nem corrente mínima e nem máxima e, sim, ponto com fator de 
potência unitário, ou melhor, corrente produzida e tensão aplicada em fase. Na figura (b) temos um 
ponto ressonante (5) e na figura (c), nenhum; 
• A corrente mínima é definida como sendo o vetor RaioOC + tal que o ângulo do vetor Raio mais se 
desalinha com o vetor OC . Observe que para qualquer ponto P pertencente a semi-circunferência tem-
se que: CPCOOP IIII &&&& ++= 66 = CPOC II && + . Nota-se que este ponto corresponde a um dos extremos do 
parâmetro variável e, também, depende da posição do ponto C em relação ao vetor tensão V; 
• A corrente máxima é definida como sendo o vetor RaioOC + tal que o ângulo do vetor Raio mais se 
alinha com o vetor OC ; 
• Observe que se )( LL senoI θ ≤ Diâmetro tem-se um ponto ressonante e se for maior, não temos ponto 
ressonante; 
• A tabela seguinte sintetiza os pontos característicos para os lugares geométricos indicados nas figuras (b) 
e (c): 
Pontos característicos da corrente LC III &&& += Figura b Figura c 
Ponto ressonante 5 Não tem 
Ponto de corrente máxima 3 4 
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UFU – FEELT – Mauro Guimarães 30 
 
Ponto de corrente mínima 6 1 
Ponto de meia potência 4 3 
Ponto mais capacitivo ou menos indutivo 1 2 
Ponto mais indutivo 6 5 
• Expressão literal de CR que provoca ressonância. À partir da equação 2222
CC
C
LL
L
XR
X
XR
X
+
=
+
tem-se 
que: 222
CC
C
L
L
XR
X
Z
X
+
= ⇒ 0222 =−= LCCLCL XXXZRX ⇒ 
L
LCCL
C X
XXXZ
R
r
22
−
= ou R
R
w L C w C
L
CC
L
r
= − +
2
2 2 2
1
; 
• Observe que a condição de ressonância é que o 
L
LCCL
X
XXXZ 22 −
=∆ ≥0 ⇒ CLL XXZ >
2
 expressão 
equivalente aquela (Diâmetro ≥ )( LL senoI θ ) encontrada na solução gráfica já que: 
Diâmetro ≥ )( LL senoI θ ⇒ 
L
L
LC Z
X
Z
V
X
V ≥ ⇒
C
LXXZ CLL =>
2
. 
 
Exemplo numérico - Ressonância Paralela 
Resolva o circuito paralelo indicado abaixo, sabendo-se 
que ao variarmos um de seus parâmetros, de zero à ∞, 
obteve-se o lugar geométrico das correntes indicado na 
figura à direita, onde: &V =140 / 0°°°° volts, f = 2,5 kHz, 
IF = 5 A, θθθθ = 70°°°° e 4C = R = 6 A. 
 
 
 
Qual é o elemento variável? 
• FI& atrasado de V& ⇒ FI& = LI& ∴ a corrente do ramo indutivo não varia, LR e L fixos; 
• VI& adiantado de V& ⇒ VI& = CI& ∴ a corrente do ramo capacitivo é variável, CR ou C varia; 
• CI& máximo é 17I& adiantada 90° de V& , circuito puramente capacitivo ⇒ CR = 0, ∴ CR é variável. 
 
 V (volts) f (Hz) IL θL (°) R (raio) w (rd/s) 
 140 2.500 5 -70,00 6 15.707,96 
Parâmetros do circuito 
 ZL (Ω) θZL (°) RL (Ω) XL (Ω) L (mH) XC (Ω) 
 28,000 70,000 9,577 26,311 1,675 11,667 
 C (µF) = 5,457 
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Ponto ressonante: P3. A corrente I está em fase com a tensão. 
 RCr = RAIZ((ZL2 XC - XL XC2) / XL) RCr (Ω) 
 RCr = RAIZ(ZL2 / (w2 L C) - XC2) 14,544 
 RCr = RAIZ(RL2 / (w2 L C) + L/C - 1 / w2 C2) 
 IF Real (IF) Imag (IF) IF (A) θIF (°) 
 1,710 -4,699 5,000 -70,000 
 ICr = V / ZCr ZCr (Ω) θZcr (°) ICr (A) θICr (°) 
 18,645 -38,736 7,509 38,736 
 Ir = IF + ICr Real (Ir) Imag (Ir) Ir (A) θIr (°) 
 7,567 0,000 7,567 0,000 
 Ir = gr × V onde gr = RL / ZL2 + RCr / ZCr2 para RCr que produz ressonância. 
 
 
 gr (mohs) Ir (A) θIr (°) 
 0,054052 7,567 0,000 
Corrente máxima (Imax=I5 = IO5). Raio do semi-círculo alinhado com o vetor IOC. 
 IOC=IF+R/90° Real (IOC) Imag (IOC) IOC (A) θIoc (°) 
 1,710 1,3015 2,149 37,274 
 
 
 
 
 Imax=IOC+R/θIoc Real (Imax) Imag (Imax) Imax (A) θmax (°) 
 6,485 4,935 8,149 37,274 
 ICm = Imax - IF Real (ICm) Imag (ICm) ICm (A) θIcm (°) 
 
 
 4,775 9,634 10,752 63,637 
 ZCm = V / ICm ZCm (Ω) θZCm (°) RCm (Ω) XCm (Ω) 
 
 
 13,021 5,782 5,782 11,667 
Corrente mais capacitiva: I7 Real (I7) Imag (I7) I7 (A) θI7 (°) 
 I7=IF+2R/+90° 1,710 7,302 7,499 76,818 
Corrente do ramo variável onde XC = RC (I4 = IO4). Ponto de meia potência. 
 I4=IF+(R+jR) Real (I4) Imag (I4) I4 (A) θI4 (°) 
 
 
 7,710 1,302 7,819 9,582 
 IC4= (R+ jR) Real (IC4) Imag (IC4) IC4 (A) θIC4 (°) 
 6,000 6,000 8,485 45,000 
 ZC4 = V / IC4 ZC4 (Ω) θZC4 (°) RC4 (Ω) XC4 (Ω) 
 16,499 11,667 11,667 11,667 
 
Observe que para o ponto ressonante ( 3P ) poder-se-ia calcular, facilmente, a corrente ressonante ( 3I ) 
através do cálculo fasorial de correntes, sem a necessidade de determinar os valores numéricos dos 
parâmetros do circuito ( RL , L, RC e C). Observe que: 
• 333 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / -β° = 3OI / 0° 
onde CFOC III 1&&& += = FI& + R / +90° = OCI / α e β = arc seno 




 −
R
senoIR F θ
. 
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UFU – FEELT – Mauro Guimarães 32 
 
De maneira similar, para os demais pontos característicos tem-se: 
• Corrente máxima: 555 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / +α = ( OCI + R) / +α ; 
• Corrente mínima: FO III &&& == 11 = 1COC II && + = OCI& + R / -90°; 
• Corrente de 2
1
 potência: 444 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R /0° = 14II F && + = FI& + (R + jR); 
• Corrente mais capacitiva: 777 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / 90° = 17II F && + = FI& + 2R / 90°.; 
• Corrente mais indutiva: FO III &&& == 11 = 1COC II && + = OCI& + R / -90° . 
 
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7.5.5 – Ressonância Paralela – Variação da Freqüência f 
Para o circuito indicado na figura ao lado, com a freqüência f 
variando de zero a infinito, o lugar geométrico da corrente I& é 
totalmente dependente dos parâmetros do circuito LR , CR , L e C e, 
também das relações de suas grandezas como veremos mais adiante 
nesta seção. Por hora, vamos salientar que ao variarmos a freqüência 
seria equivalente ao variarmos, ao mesmo tempo, a indutância e a 
capacitância. Assim o lugar geométrico do ramo indutivo ( LI& ) é uma 
semi-circunferência abaixo do eixo x com diâmetro igual a LRV / e 
 
canto esquerdo na origem. Similarmente, o lugar geométrico do ramo capacitivo ( CI& ) é uma semi-
circunferência acima do eixo x com diâmetro igual a CRV / e canto esquerdo na origem. Concluindo, o lugar 
geométrico da corrente LC III &&& += é a figura resultante da soma das correntes correspondentes dos ramos 
indutivo e capacitivo para cada pontoao variarmos a freqüência f. 
Diante da impossibilidade de obtermos uma figura geométrica simples que representa o lugar 
geométrico da corrente I& , vamos proceder inicialmente a análise matemática da expressão literal de w que 
provoca ressonância. À partir da equação 2222
CC
C
LL
L
XR
X
XR
X
+
=
+
tem-se que: 
1)/(1
)/(1
22222222 +
=
+
=
+ CwR
wC
wCR
wC
LwR
wL
CCL
 ⇒ 
1222222 +
=
+ CwR
C
LwR
L
CL
 ⇒ 
LCRCLLCRw LC −=−
22222 )( ⇒ 
2
1
2
2 11
/
/1
∆
∆
=∆=
−
−
=
LCLCCLR
CLR
LC
w
C
L
r , onde 
CLReCLR CL //
2
2
2
1 −=∆−=∆ . Observando a expressão encontrada acima para rw tem-se que: 
• A condição para existência de ponto ressonante é que ∆>0 ou melhor: 
0000 2121 <∆<∆>∆>∆ eoue , numerador ( 1∆ ) e denominador ( 2∆ ), ambos 
positivos ou ambos negativos; 
• Não teremos ponto ressonante se: 
0000 2121 >∆<∆<∆>∆ eoue , numerador ( 1∆ ) e denominador ( 2∆ ), de sinais 
contrários, um positivo e o outro negativo; 
• Observando as condições de ressonância e de não ressonância acima podemos afirmar que 
� Teremos ponto ressonante se ambas as resistências 
forem maiores que CL / (figura a) ou se ambas 
forem menores que CL / (figura b); 
� Não teremos ponto ressonante se as resistências forem 
uma delas maior e a outra menor que CL / e vice-
versa (figuras c e d); 
� Existindo ressonância e se ocorrer predominância das 
resistências sobre as reatâncias ( LR e CR maiores que 
CL / , figura a), então, a corrente I& passará por um 
máximo no ponto ressonante ou próximo dele. Vere- 
 
mos, posteriormente, que neste caso os fatores de qualidade dos dois ramos são baixas, menores 
que 1; 
� Existindo ressonância e se ocorrer predominância das reatâncias sobre as resistências ( LR e CR 
menores que CL / , figura b), então, a corrente I& passará por um mínimo no ponto ressonante ou 
CE2 - Unidade 7 - Análise de Circuitos Monofásicos Senoidais 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 34 
 
próximo dele. Veremos, posteriormente, que neste caso os fatores de qualidade dos dois ramos são 
médio ou alto, maiores que 1; 
• Se LR = CR a expressão para rw torna-se LC
wr
1
= e, neste caso, o lugar geométrico da corrente é 
uma circunferência com o centro ( CC xy , ) sobre o eixo x ( 0=cy )e deslocada da origem de uma 
distância maior ou igual ao seu raio ( raioxc ≥ ), função de seus parâmetros; 
• Se LR = CR = CL / a expressão para rw torna-se 0
01
LC
wr = , indeterminado. Prova-se 
matematicamente que neste caso o circuito é ressonante para qualquer freqüência e 
CL
r R
V
R
VI == , 
correntes máximas do ramo indutivo e do ramo capacitivo. Observe que para um circuito paralelo de 
dois ramos (RL e RC), freqüência variável, com a tensão V& na referência, para uma freqüência genérica 
f, tem-se que: 
L
LL
L Z
V
Z
VI θ−∠==
&
&
& ; C
CC
C Z
V
Z
VI θ∠==
&
&
& ; 
L
L
L Z
R
=θcos
 
L
L
L Z
X
seno =θ ; 
C
C
C Z
R
=θcos ; 
C
C
C Z
X
seno =θ ⇒ 
 
CL III &&& += = 





++





−+− )()(cos)()(cos C
C
C
C
L
L
L
L
seno
Z
Vj
Z
V
seno
Z
Vj
Z
V θθθθ ⇒ 
=I& 





+−+





+
C
C
CL
L
LC
L
CL
L
L Z
X
Z
V
Z
X
Z
Vj
Z
R
Z
V
Z
R
Z
V
=












−
+












+
444 8444 7648476 b
CL
CLLC
a
CL
LC
L ZZ
ZXZXjV
ZZ
ZZVR 22
22
22
22
 
Considerando a hipótese de que LR = CR = CL / ⇒ 
2
LR =
2
CR = CL XXwCwLCL == , 
substituindo 2LR e 
2
CR em (a) e (b) da equação da corrente )(I& acima, simplificando, obtém-se: 
( )( ) ( )( ) ( )( )2
2
22
22
2222
2222
22
22 2
LCCL
LC
CLCLLC
LLCC
CCLL
LLCC
CL
LC
XXXX
XX
XXXXXX
XXXX
XRXR
XRXR
ZZ
ZZ
a
+
+
=
++
++
=
++
+++
=
+
= ⇒ 
22
111
CLCL RRXX
a === e, também, 
22
22
22
2222
22
22 )()()()(
CL
CCLLLCLC
CL
CCLLLC
CL
CLLC
ZZ
XXXXXXXX
ZZ
XRXXRX
ZZ
ZXZXb +−+=+−+=−= ⇒
00)()( 2222 ==
+−+
=
CLCL
CLCLLCLC
ZZZZ
XXXXXXXXb ; Dessa forma, tem-se para a corrente )(I& : 
222
01
CLL
L ZZ
jV
R
VRI +=& = 0j
R
V
L
+ , circuito ressonante para qualquer freqüência e igual a 
LR
V
. 
• Uma característica comum aos lugares geométricos da corrente I& , com f variável, é que caminharemos, 
sempre, no sentido horário, similarmente as variações de L e de C. 
 
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a) Exemplo numérico 1 
 
 
Resolva o circuito paralelo indicado à direita, variando a freqüência, 
de zero à ∞, onde: &V =100 / 0°°°° volts, RL = 5 ΩΩΩΩ, L = (20/377) H, RC 
= 1 ΩΩΩΩ e C = (1/7.540) F. 
 
 
 V (volts) RL (Ω) L (mH) RC (Ω) C (µF) 
 100 5 53,0504 1,000 132,626 
 ∆ = (RL2 - L/C) / (RC2 - L/C) = 0,93985 Ω2 =C
L
 20,0 Ω 
 ∆ > 0 ⇒ Um ponto ressonante wr (rd/s) XLr (Ω) XCr (Ω) 
 wr = Raiz (∆) / Raiz (L C) 365,486 19,389 20,630 
 
Observe que LR e CR são menores que C
L
 e, portanto, teremos ponto ressonante. Para o ponto de 
ressonância temos que 
L
Lr
L R
XQ = = 3,878 e 
C
Cr
C R
XQ = = 20,63 ambos maiores que 1, ou seja, com 
predominância das reatâncias sobre as resistências e, assim, a corrente deverá passar por um mínimo no 
entorno da ressonância. 
 
Veja os cálculos das correntes para alguns valores de w. 
w (rd/s) ZL (Ω) θL (°) ZC (Ω) θC (°) ΙL (A) ΙC (A) Ι (A) θI (°) 
0 5,00 0° ∞ -90° 20,00 0 20,00 0° 
50 5,66 27,95° 150,80 -89,62° 17,67 0,66 17,37 -26,01° 
190 11,25 63,62° 39,70 -88,56° 8,888 2,519 6,763 -53,60° 
350 19,23 74,93° 21,57 -87,34° 5,20 4,64 1,62 -13,96° 
365,49 20,02 75,54° 20,65 -87,23° 4,99 4,84 1,48 0,00° 
400 21,80 76,74° 18,88 -86,96° 4,59 5,30 1,57 31,78° 
565 30,39 80,53° 13,38 -85,72° 3,29 7,47 4,35 75,34° 
7.500 397,91 89,28° 1,418 -45,15° 0,251 70,52 70,35 45,01° 
∞ ∞ +90° 1,00 0° 0 100,00 100,00 0° 
 
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Veja as curvas das impedâncias, correntes, bem como, o lugar geométrico da corrente I& . 
 
 
 
 
 
 
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b) Exemplo numérico 2 
 
 
Resolva o circuito paralelo indicado à direita, variando a freqüência, 
de zero à ∞, onde: &V =1,414 / 0°°°° volts, RL = 18 KΩΩΩΩ, L = 500 mH, 
RC = 12 KΩΩΩΩ e C = 0,012 µµµµF. 
 
 
 V (volts) RL (Ω) L (mH) RC (Ω) C (µF) 
 1,414 18.000 500 12.000 0,012 
 ∆ = (RL2 - L/C) / (RC2 - L/C) = 2,75896 Ω2 =C
L
 6.454,97 Ω 
 ∆ > 0 ⇒ Um ponto ressonante wr (rd/s) XLr (Ω) XCr (Ω) 
 wr = Raiz (∆) / Raiz (L C) 21.443,6 10.721,8 3.886,2 
 
Observe que LR e CR são, ambos, maiores que C
L
 e, portanto, teremos ponto ressonante. Para o 
ponto de ressonância temos que 
L
Lr
L R
XQ = = 0,596 e 
C
Cr
C R
XQ = = 0,324 ambos menores que 1, ou seja, com 
predominância das resistências sobre as reatâncias e, assim, a corrente deverá passar por um máximo no 
entorno da ressonância. 
 
Veja os cálculos das correntes para alguns valores de w. 
w (rd/s) ZL (Ω) θL (°) ZC (Ω) θC (°) ΙL (µA) ΙC (µA) Ι(µA) θI (°) 
0 18.000 ° ∞ -90° 78,56 0 78,56 0° 
4.000 18.110,8 6,34° 24.042,2 -60,06° 78,08 58,81 115,03 21,60° 
11.000 18.821,5 16,99° 14.191,3 -32,27° 75,13 99,64 159,20 11,32° 
21.443,6 20.951,3 30,78° 12.613,6 -17,94° 67,49 112,10 164,63 0° 
54.000 32.450,0 56,31° 12.098,8 -7,33° 43,58 116,87 141,71 -8,67° 
100.000 53.141,3 70,20° 12.028,8 -3,97° 26,61 117,55 127,41 -7,62° 
∞ ∞ +90° 12.000 0° 0 117,83 117,83 0° 
 
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Veja as curvas das impedâncias, correntes, bem como, o lugar geométrico da corrente I& . 
 
 
 
 
 
 
 
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c) Exemplo numérico 3 
 
Resolva o circuito paralelo indicado à direita, variando a freqüência, 
de zero à ∞, onde: &V =1,414 / 0°°°° volts, RL = 12 KΩΩΩΩ, L = 500 mH, 
RC = 18 KΩΩΩΩ e C = 0,012 µµµµF. 
 
 
 V (volts) RL (Ω) L (mH) RC (Ω) C (µF) 
 1,414 12.000 500 18.000 0,012 
 ∆ = (RL2 - L/C) / (RC2 - L/C) = 0,36246 Ω2 =C
L
 6.454,97 Ω 
 ∆ > 0 ⇒ Um ponto ressonante wr (rd/s) XLr (Ω) XCr (Ω) 
 wr = Raiz (∆) / Raiz (L C) 7.772,3 3.886,2 10.721,8 
Observe que LR e CR são, ambos, maiores que C
L
 e, portanto, teremos ponto ressonante. Para o 
ponto de ressonância temos que 
L
Lr
L R
XQ = = 0,324 e 
C
Cr
C R
XQ = = 0,596 ambos menores que 1, ou seja, com 
predominância das resistências sobre as reatâncias e, assim, a corrente deverá passar por um máximo no 
entorno da ressonância. 
 
 
Ressonância Paralela RL e RC
f variável
-60,0
-40,0
-20,0
0,0
20,0
40,0
0,0 50,0 100,0 150,0 200,0
Lugar geométrico da corrente (microA)
 
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d) Exemplo numérico 4 
 
Resolva o circuito paralelo indicado à direita, variando a freqüência, 
de zero à ∞, onde: &V =100 / 0°°°° volts, RL = 1 ΩΩΩΩ, L = (20/377) H, 
RC = 5 ΩΩΩΩ e C = (1/7.540) µµµµF. 
 
 
 V (volts) RL (Ω) L (mH) RC (Ω) C (µF) 
 100 1 53,0504 5 132,626 
 ∆ = (RL2 - L/C) / (RC2 - L/C) = 1,0640 Ω2 =C
L
 20,00 Ω 
 ∆ > 0 ⇒ Um ponto ressonante wr (rd/s) XLr (Ω) XCr (Ω) 
 wr = Raiz (∆) / Raiz (L C) 388,88 20,630 19,389 
Observe que LR e CR são menores que C
L
 e, portanto, teremos ponto ressonante. Para o ponto de 
ressonância temos que 
L
Lr
L R
XQ = = 20,63 e 
C
Cr
C R
XQ = = 3,878 ambos maiores que 1, ou seja, com 
predominância das reatâncias sobre as resistências e, assim, a corrente deverá passar por um mínimo no 
entorno da ressonância. 
 
 
 
 
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e) Exemplos numéricos diversos 
Objetivando analisar o comportamento do lugar geométrico da corrente I& , de um circuito paralelo de 
dois ramos RL e RC com freqüência variável, onde: &V =100 / 0°°°° volts, L = (20/377) H, C = (1/7.540) F, RL 
e RC como parâmetros, analise atentamente as figuras seguintes e os valores dos parâmetros 
correspondentes. Observe que temos curvas com ressonância, pontos de máximos, pontos de mínimos, curva 
ressonante para qualquer freqüência e, também, curvas onde não é possível obter ponto de ressonância. 
Sabe-se que CL =20 Ω, LC/1 =377 rd/s, 
CLR
CLR
C
L
/
/
2
2
−
−
=∆ , ∆=
LC
wr
1
, 
L
L
L R
XQ r= e 
C
C
C R
XQ r= . 
 
RL=5 Ω; RC=10 Ω; ∆=1,25 2Ω ; rw =421,5 rd/s; 
rL
X =22,4 Ω; 
rCX =17,9 Ω; LQ =4,5 e CQ =1,8 
 
RL=10 Ω; RC=5 Ω; ∆=0,8 2Ω ; rw =337,2 rd/s; 
rL
X =17,9 Ω; 
rCX =22,4 Ω; LQ =1,8 e CQ =4,5 
 
RL=40 Ω; RC=80 Ω; ∆=0,2 2Ω ; rw =168,6 rd/s; 
rL
X =8,94 Ω; 
rCX =44,7 Ω; LQ =0,22 e CQ =0,56 
 
RL=80 Ω; RC=40 Ω; ∆=5 2Ω ; rw =843,0 rd/s; 
rL
X =44,7 Ω; 
rCX =8,94 Ω; LQ =0,56 e CQ =0,22 
 
RL=10 Ω; RC=10 Ω; ∆=1 2Ω ; rw =377 rd/s; 
rL
X =20 Ω; 
rCX =20 Ω; LQ =2 e CQ =2 
 
RL=40 Ω; RC=40 Ω; ∆=1 2Ω ; rw =377 rd/s; 
rL
X =20 Ω; 
rCX =20 Ω; LQ =0,5 e CQ =0,5 
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RL=20 Ω; RC=20 Ω; ∆=0/0 2Ω ; rw =377 rd/s (qual-
quer w); 
rL
X =20 Ω; 
rCX =20 Ω; LQ =1 e CQ =1 
 
RL=20 Ω; RC=20 Ω; ∆=0/0 2Ω ; rw =377 rd/s (qual-
quer w); 
rL
X =20 Ω; 
rCX =20 Ω; LQ =1 e CQ =1 
 
RL=20 Ω; RC=20 Ω; ∆=0/0 2Ω ; rw =377 rd/s (qual-
quer w); 
rL
X =20 Ω; 
rCX =20 Ω; LQ =1 e CQ =1 
 
 
RL=20 Ω; RC=20 Ω; ∆=0/0 2Ω ; rw =377 rd/s (qual-
quer w); 
rL
X =20 Ω; 
rCX =20 Ω; LQ =1 e CQ =1 
 
RL=10 Ω; RC=40 Ω; ∆=-0,25 2Ω ; rw = não tem ponto 
ressonante 
 
RL=10 Ω; RC=40 Ω; ∆=-0,25 2Ω ; rw = não tem 
ponto ressonante 
 
RL=40 Ω; RC=10 Ω; ∆=-4 2Ω ; rw = não tem ponto 
ressonante 
 
RL=40 Ω; RC=10 Ω; ∆=-4 2Ω ; rw = não tem ponto 
ressonante 
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7.6 – Circuito supressor ou eliminador de faixa 
Um circuito com uma bobina real de alto fator de qualidade (
rLL
XR << ) em paralelo com um 
capacitor ideal ( 0=CR ). Para freqüências próximas da ressonância a impedância do circuito é muito grande 
e a freqüência ressonante pode ser aproximada por 
LC
wr
1
≅ . Considerando a condição geral de 
ressonância e, também, que 
rLL
XR << obtém-se: 
a) O valor de w que provoca ressonância ( rw ) 








−+=+
−
=
−
+
+
=+=°
•• 222
111110|
L
L
CL
L
CL
LL
CLLCL
eq Z
X
X
j
Z
R
X
j
Z
jXR
jXjXRZZ
Y& ⇒ 
2222222
2 1
11
LrLrLLCLL
L
rL
C
R
L
C
LC
wR
C
LLw
C
LXRXXZ
Z
X
X rrrr
rr
−=⇒−=⇒=+⇒=⇒= , 
Ou 
LC
wXX
XXX
X
XZ
X
X rCLLCL
L
CL
L
C
rr
rrr
r
rr
r
r
11111
22 ≅⇒≅⇒≅⇒≅⇒= . 
b) O valor da impedância Z& no ponto ressonante ( rZ ) 
No item anterior mostrou-se que a condutância (g) no ponto ressonante é 2
rL
L
Z
Rg = ⇒
L
L
r R
Z
Z r
2
= ⇒ 
rr
rr
LLL
L
L
L
L
r XQXR
X
R
X
Z ==≅
2
 ou 
C
L
RLC
L
RR
Lw
R
X
Z
LLL
r
L
L
r
r
11 2222
=≅== . 
Resolva o circuito paralelo indicado à direita (bobina real com 
alto fator de qualidade em paralelo com um capacitor ideal), variando a 
freqüência, de zero à ∞, onde: &V =5 / 0°°°° volts, LR = 10 ΩΩΩΩ, L = 5 mH, e 
C =10 nF. 
 
 
 V (volts) LR (Ω) L (mH) C (nF) 
 5 10 5 10 
 
∆ = 21 LRL
C
− = 0,9998 (caso particular RL // RC) =CL 707,11 Ω 
 ∆ > 0 ⇒ Um ponto ressonante wr (rd/s) XLr (Ω) XCr (Ω) 
 wr = Raiz (∆) / Raiz (L C) 141.407,21 707,04 707,18 
Observe que para o ponto de ressonância temos: LLrL RXQ = = 70,7 >> 1, ou seja, com forte 
predominância das reatâncias sobre a resistência e que. Ω=≅ kXQZ
rLLr
99,49 . 
 
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7.7 – Circuito Multiressonante - Sintonização Série-Paralela 
Circuito que recebe dois sinais alternados senoidais 1V& e 2V& , com freqüências 1f e 2f , onde se 
deseja impedir que