Apontamento de Electrotecnia II

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GRANDEZAS SENOIDAIS
I. Introdução
Uma corrente contínua tem sempre o mesmo sentido e intensidade, uma corrente alternada muda tanto de valor como de sentido. Dependendo de como se da essa variação no tempo, teremos os diversos tipos de corrente alternada: senoidal, quadrada,
triangular, etc.
onda quadrada	 Onda Triangular	 Onda Senoidal
De todas as correntes alternadas existentes, a mais importante e a senoidal e por isso mesmo faremos uma revisão dos principais conceitos relativos a grandezas senoidais.
Consideremos uma circunferencia de raio Vrn e um	vetor ()A, que gira com rotaçao constante no sentido contrario ao	dos ponteiros do relÓgio. A ponta do vetor descreve uma circunferen cia, e o angulo formado entre o eixo horizontal 	direçao do vetor , a, varia com o tempo.
 
O angulo por unidade de tempo representa a velocidade angular ou frequência angular que representaremos pela letra grega (Ômega) .
t
11
48
28
Sendo a expresso em rd (radianos) , t em s (segundos) , em rd/s (radiano por segundo) .
Urna volta completa é 2 T rd ou 360 0 . O tempo que o vetor OA leva para completar uma volta é chamado de período (T) 
			
O numero de voltas (ciclos) completados por segundo é chamado de frequencia ( f ) , sendo f expresso em ciclos/ s ou Hertz
(Hz) .
	
— 
1.3 Valor Eficaz
Consideremos que no circuito da figura abaixo,a tensão aplicada é senoidal.
Pela lê Lei de OHM o valor	instantâneo da corrente será:
	A potencia
	instantanea entregue a carga sera dada por:
A figura 1.9 mostra os gráficos de v, i e p.
Podemos notar que a potência e uma grandeza pulsante.
	Figura
	1 . 9
Define-se valor eficaz de uma tensao alternada ao valor
	de uma
	tensao contínua que produz mesma dissipaçao de potencia,
que a tensao alternada em questao, num mesmo resistor .
v
VEF
(b)
v	Vm . sento t
Figura 1 . 1 0
Na figura 1.10, a dissipaçao de potencia e a mesma nos dois casos, logo dizemos que o valor da tensao continua, na figu ra 1 . IOb, é igual ao valor eficaz da tensao alternada na figura
1 . 10a .
No caso de uma tensao alternada, senoidal, pode—se pro var (atraves da matematica superior) que:
		ou	VEF	O, 707.Vm	( 7 )
obs. : Por vezes encontramos o valor eficaz denotado por	VRMS (RMS	Roo t	Means	Square	valor quadrático medi o) .
É claro que o mesmo vale para a corrente:
m _ VEF
No caso de um circuito puramente resistivo, a potenc ia dissipada pode ser calculada pelas mesmas equaçoes ja vistas em circuitos C. C. somente lembrando que os valores de tensao corrente sao eficazes.
	P = VEF	IEFVEF	2	( 8 )
Em uma grandeza seno ida I, a quantidade V m e chamada	de valor de pico e portanto 2 Vm e chamado de pico-a -pico (V pp) •
		VEFpp
Da figura 1 .9 observamos que a tensao e a corrente estao em fase, logo o diagrama fasorial correspondente sera:
	
	
	
	1
Os comprimentos dos vetores representam os valores	efi cazes da tensao e corrente ou valores de pico.
Exercxcios Resolvidos
1 O valor de pico de uma tensao senoidal é 5V e a sua frequencia é I KHz, pede—se:
		sua expressao matematica
b) valor eficaz e período
c ) desenhar o gráfico de v ( t )
Soluçao:
		f	IKHz	10 3 Hz
	A expressao flBtematica	generica de uma tensao senoidal 
 sen 2TT . f .t
logo :	5sen . 2 TT.	(v)
	1	1t(ms)
b)	VEF10-3 s	1 ms
	f	103
c)
2 Supondo que a tensao do exerci cio e aplicada a	um resistor de 100. Qual a potencia dissipada?
Soluçao :
	 VEF	( 3 , 53 ) 2	1 , 24 w
10
3 Dado o gráfico de uma corrente em função do tempo , pede-se •
a ) frequencia e peruodo valor de pico-a —pico (I pp) e valor eficaz ( I potencia dissipada ao passar em um resistor de 1 K Q.
d) expressao matematica
i(mA)
IO
	solução:
	
	
	
	a ) Do grafico tiramos
	T	200us	200 x
	10 - G s
	
	
		1	1
	T	200x10- 6
	 5000Hz 
	5 KHz
2x102 OrnA
10 3 x 50 x
	50 x IO —3 w	50mW
d ) lm. sen . 2TT . f . t	10senT. 10¼.t (mA)
4 - As expressoes matematicas de duas tensoes sao:
10. senwt (v)	2	IO. sen( wt + x) (v)
Pede-se:	2
a ) representar as duas t ensoes no diagrama fasorial-
b desenhar as suas formas de onda
c ) obtenha a soma VI + v 2
Soluçao:	b)
 Usando regra de soma de vetores
considerando as amplitudes do vetor igual ao valor de pico.
	A fase de v sera:	tgØ10	12
10
4
10.Nî.sen( wt— 
2 
	5 - Dadas as tensoes:	15. sen( ujt +10. sen
Solução:
a) representemos as duas tensoes no diagrama fasorial
	
	( 15V )
	
	(IOV)
	2
	
	
	2
	
	
Como neste caso, os vetores tem mesma direçao mas senti dos opostos, o vetor resultante da soma e igual ao modulo do maior, menos o modulo do menor, no sentido do maior.
= 5. sen ( ut +
Par a obtermos	v 2 devemos efetuar a operaçao v 1
	
	
	—V2
	
	
	
25. sen ( ut +
Esses dois exemplos servem para nos mostrar que a	soma t ensoes com fases diferentes deve ser feita,	considerando—se o modulo do vetor e a fase.
6 Dadas as t ensoes: 20. sen ( Ot + sen (at + -T9 (v) , obter:
b) desenhar as formas	onda de v l , v 2 e v 3 solução:
	 20v 	 cos
	
3
	4 Ov
		(•va lores 	
	pico)
	
	
	20
	X
	0, 5 
	
	
		 sen
	
3
	20
	x
	0, 866
	17 , 3 v
	
		 cos
	
6
	40
	x
	0 , 866
	34, 6 v
	
	sen
	
6
	
	X
	0 , 5
	20v
	
10 + 34 , 644 , 6vx
x
17 , 3 + 2037 , 3v
( 44 , 6 ) 2 + ( 37 , 3 ) 258,
	tgØ	Yx	44 37,, -63	0, 836	39,9 	40 0
b)	58,1
sen 
(ut 
+ 
40)
(v)
Exerci cios Propostos
1 — Uma tensão senoidal tem frequencia 60Hz e VEF=110v, pede—se:
período e frequencia angular
b) expressao matematica
c) valor da potencia dissipada em uma resistencia de IOOQ.
2 - Dado o gráfico de uma corrente em funçao do tempo , pede-se:
a ) período e frequencia
b) valor de pico-a-pico e valor eficaz
c ) expressão de i ( t )
50
-50ms)
3	Um chuveiro tem cazes) ,
a) tensão de pico e b) corrente de pico
4 Dada a forma de do tempo .300
a)
as características 2400W/220v	(Efi
corrente eficaz no chuveiro no chuveiro onda, dar a sua expressao em função
	5
	
	-5
	
Dadas as expressoes de duas tensoes v I — 10. + (v ) IO . sen (at + IT ) ( v ) pede—se:5
4
6 - Uma tensao alternada senoidal é aplicada a uma resis
tência de 100 Q, dissipando O, 25w, calcular:
a) valor eficaz da tensao e valor de pico
b) valor eficaz da corrente e seu valor de pico-a-pico.
Soluçao dos Exercxcios Propostos
1) a ) T16, 66ms	377 rd/s
	b)155. sen 377.t	( v )
		P	121w
2 ) a ) T — 4ms	f	250 Hz
	b) T pp1 OOmA	IEF	35, 46mA
— 50. sen 1570 . t ( rnA )
	10, 9A	310,2Vb)
15, 34A
4 ) a )5. cos(wt + 120 0 ) ( v )
b)5. cos (Ot + 900 ) ( v)
7, 65 sen (Ot + 112,
18,47 sen (ut + 22,
a ) VEF
	b) IEF	5 OrnA	7 OmA
SMO
2.1 Magnetismo
Campo magnético: É toda região do espaço na qual uma agulha imantada fica sob a ação de uma força magnética.
Um íman é uma substancia, encontrada na natureza,	que cria ao seu redor um campo magnético.
Todo íman tem duas regiões, onde o campo magnético é mais intenso, chamadas de polos: polo norte e Pólo sul.
Polos de mesmo nome se repelem e pólos de nomes diferentes se atraem.
Os pólos de um íman são inseparáveis. Se você partir	um íman, você obterá dois outros imanes.
Assim como o campo gravitacional é caracterizado em cada ponto pelo vetor aceleração da gravidade (g), o campo magnético e caracterizado em cada ponto pelo vetor indução magnética
A fim de que possamos visualizar o campo magnético, de vemos conceituar o que e linha de campo ou linha de indução.
As linhas de campo, além de permitir ver a forma do campo, também nos dá uma ideia da sua intensidade .
 Quanto maior o numero de linhas por unidade de volume, mais intenso e o campo.
Para representarmos um campo magnético através de suas linhas de campo, segue-se as seguintes regras:
a) As linhas de campo são orientadas: saem pelo Pólo Norte e entram pelo Pólo sul.
b) Em cada ponto, o vetor indução magnética e tangente à linha de campo que passa pelo ponto.
c) Duas linhas de campo não podem se cruzar.
d) As linhas de campo são perpendiculares a superfície do íman .
Na figura abaixo, alguns exemplos de íman e a forma do seu campo magnético.
As linhas de campo podem ser visualizadas na prática colocarmos limalha de ferro ao redor do íman. As limalhas de ferro tenderão a se orientar ao longodas linhas de campo.
2.2 Campo Magnético de uma Corrente Elétrica
Colocando—se uma Bússola nas proximidades de um fio que conduz uma corrente elétrica, a agulha sofrerá um desvio, indicando a existência de um campo magnético criado pela corrente.
Verificamos que, quanto mais intensa for a corrente, maior será o desvio da agulha (a intensidade do campo depende da intensidade da corrente).
Se o sentido da corrente for invertido, o desvio sofrido pela agulha também se inverte (a orientação do campo magnético depende do sentido da corrente).
2.2.1 Campo de um Condutor Retilíneo
As linhas de campo são circunferências concêntricas com o fio.
14
Para determinar o sentido das linhas de campo, usamos a
regra da mão direita.
"Segurando o fio com a mão direita, com o polegar no sentido da corrente, os outros dedos indicar ao o sentido das linhas de campo'
2-2.2 Campo de uma Espira Circular
Obs. : Para representar uma corrente saindo do plano do papel, usa
remos (Y) e para representar a corrente entrando no plano do papel, usaremos 
No caso de urna espira circular, as linhas de campo têm a forma indicada na figura a baxo.
1 1
( b)
2.2.3 Campo Magnético de um Solenóide
Um solenóide ou bobina consiste de um fio enrolado em forma de hélice, formando espiras iguais, urna ao lado da outra e igualmente espaçadas.
	s	
	(b)	(c)
Eletroíman
Um eletroíman é uma bobina enrolada num núcleo de ferro.
Quando fazemos passar uma corrente, o ferro se imanta. Cessada a corrente, cessa a imantação.
2.3 Força Eletromotriz Induzida
Toda vez que o fluxo de indução magnética através de uma espirar variar, uma tensão sera induzida na espira.
Chamamos de f. e. m induzida, a toda tensão gerada pela variação do fluxo magnético em um circuito.
O fluxo de indução magnética (Ø) , através de uma superfície de área S, é definido como sendo:
		Ø=B. S. cosα
Onde: B- intensidade do vetor induçao magnética;
S- Área da superfície;
- Angulo formado entre a perpendicular, a superfície e o vetor indução magnética.
Observe que o fluxo é máximo quando que e nulo quando = 90
normal
00
s
Da equação que da o fluxo, podemos verificar que o fluxo também pode variar se a intensidade de B variar.
Na pratica, podemos ter os seguintes casos de variação do fluxo magnético, induzindo uma tensão.
· Aproximando ou afastando um íman ou um eletroíman de uma espira ligada a um amperímetro, este dará uma indicação num sentido quando aproximamos e no outro sentido quando afastamos.
b) Ao invés de movimentarmos o íman ou o eletroíman, se a espira se movimentar ( aproximando, afastando ou g irando) , também será induzida uma tensão. Este e o princípio de funcionamento de um gerador de tensão.
c ) Se variarmos a corrente em um solenoide, a intensidade do campo ao seu redor também variará. Se colocarmos uma espira nas proximidades do solenoide, o fluxo de indução, através do espira variara induzindo uma tensão.
Este e o Princípio de funcionamento de um transformador.
 R Aumentando	 I + diminuindo
Lei de Lenz: "O sentido da corrente induzida é tal, que- ela orgina um campo magnético que se opora a variaçao do fluxo magnético que a produziu'
Consideremos um 1 ma se aproximando de uma espira, sendo o pólo norte o mais proximo da espira.
Se 0 1 ma esta se aproximando, e o pólo mais proximo	da espira e o polo norte, na face da espira voltada para o Ima deve ser induzido um pólo norte, de forma a se opor ao movimento (apro ximaçao) , portanto o sentido (de acordo com a regra da mao direi ta) da corrente e como esta indicado.
Se 0 1 ma se afastar, o pólo induzido na face superior de vera ser um pólo sul, desta forma se opondo ao movimento. A cor rente tera sentido oposto.
2.4 Transformador
É um dispositivo que permite modificar uma tensao alter nada, aumentando-a ou diminuindo-a.
Consiste, essencialmente, de duas bobinas isoladas, t ricamente, montadas em um mesmo nucleo de ferro (concentra as linhas de campo) .
Us
	( a )	(b)
Figura 2 . 7
A bobina que recebe a tensao a ser transformada (UP) , re
cebe o nome de primar io e a outra que fornece a tensao	trans formada (Us) é chamada de secundário.
A corrente alternada, passando no primario, origina um fluxo magnético alternado (o B e que varia) no nucleo de ferro. Este fluxo variavel atravessa o secundario, induzindo uma tensao alternada no secunda rio.
O nucleo é de ferro laminado para diminuir as perdas cau sadas pelas correntes de Foucault, e para aumentar o acoplamento entre as duas bobinas.
Em um transformador ideal, vale a relaçao:
		( 10)
potência do secundar io
UP	1p	potencia do primar io
Em um transformador real
A dissipaçao de potencia ocorre por efeito Joule nos con dutores dos enrolamentos e no nucleo do transformador. Consideremos o transformador ideal, logo vale:
sendo NPnumero de espiras do prima rio numero de espiras do secunda rio
valem as seguintes relaçoes:
	US		
	
	
	
	P
	( 12 )
( 1 1 )
Um transformador so pode ser usado com corrente alterna da, uma vez que nenhuma tensao sera induzida no secunda rio, nao houver variaçao do fluxo de induçao magnética.
Se uma tensao contínua e aplicada ao prima rio, uma ten sao sera induzida no secundario, somente no instante do fechamen to ou abertura do circuito primario, pois e somente nestes ins tantes que a intensidade do campo magnético (portanto o fluxo) varia.
Uma das principais vantagens de um transformador, a 1 em de transformar uma tensao, e acoplar dois circuitos, sem interli gá-los ele t ricamente.
Exercícios Resolvidos
1 Esboçar as linhas de campo no caso de dois 1 ma s em forma de barra, colocados um de frente para o outro.
	
	S
	
	S
	
Solução:
Os dois 1 mas se repelirao, o mesmo ocorrendo com as suas linhas de campo
observe que a configuraçao do campo e tal que, duas linhas campo nao se cruzam.
2 — Um transformador ideal tem 200 espiras no prima rio e 800 espiras no secundário. Aplicando-se uma tensao de 1 OV (efi caz) no primario, pede—se calcular:
a) tensao induzida no secundário.
b) corrente no primar io e no secunda rio se um resistor de 1009 for ligado ao secundario.
solução:
a )
R: loon
	800	10	40V
200
	b)	
	R	1000
Up• TP
	Us.ls	40 . 0, 4
1, 6A
	Up	10
Exerc xcios Propostos
1 Qual o sentido da corrente induzida na espira?
2 Um íma entra em uma bobina como indicado na	figura. Qual a polaridade da tensao induzida?
3 Um transformador tem 500 espiras no primar io e II OV de tensao primaria, se a tensao no secundar io deve ser 12V, qual o numero de espiras do secunda rio?
4 Por. que e usado nucleo de ferro laminado em um trans formador?
5 Por que o transformador nao funciona em C. C. ?
6 Qual deve ser a relaçao de espiras de um transforma dor abaixador de 11 OV para 24? Qual a corrente no primar io o secundar io fornece IA?
Resoluçao dos Exercícios Propostos
1 ) Observador olhando de cima: I sentido horário 2 ) Ponto B com potencial maior que ponto A
54, 5 espiras
4 ) Para diminuir as perdas
5 ) O fluxo de induçao magnética e constante.
		Ip = 0,22A
CAP. 3
CIRCUITO EM c . A.
FASORIÄL
3.1 Indutor e Indutancia
Genericamente, chamamos de indutor ou bobina a um fio enrolado em forma de helice sobre um nucleo, o qual pode ser de ar, ou nao. A figura 3. 1 mostra a simbologia adotada para indu tores.
	NÚcIeo de ar	Nucleo de ferro	Nucleo de ferrite
	(a )	(b)	(b)
Figura 3 . 1
Quando a chave no circuito da figura 3.2 é fechada,	uma corrente ele trica começa a circular no circuito (I) . Esta	cor rente origina um campo magnetico cujas linhas de campo cortam as espiras subsequentes, induzindo nelas uma f . e. m. Esta tensao in duzida chamamos de f . e. m. auto-induzida. De acordo com a lei de Lenz, esta tensao induzida devera se opor a causa que a	origi
nou (variação de I) . Como resultado desta oposiçao, temos que a corrente no circuito levara um certo tempo para atingir o seu valor de regime (imposto pelas resistencias ohmicas do circuito).
2
	(b)	f. e. m induzida
Figura 3 . 2
Se apos a corrente ter atingido o seu valor maximo (2A) , abrirmos a chave, a corrente I tendera a diminuir.
A variaçao do campo magnetico novamenteinduzira uma f. e. m. de auto—induçao corn polaridade tal, que originara uma cor rente I ' que tendera a se opor a diminuiçao de I.
Desta forma, se a chave foi aberta no instante	ainda havera corrente por um certo tempo .
	
	I(A)
2
	
	
	
	
	
	
	
	t(ms)
	
	1 ms	(b)	= f. e. m induzida
Figura 3 . 3
Concluímos que um indutor se opoe a uma variaçao de cor rente .
Observe a polaridade da f . e. m induzida na figura	3.3b. A tensao induzida se soma com a tensao da fonte, de forma que en tre os terminais da chave aberta, a tensao será E + e. Se a f. e. m induzida for suficientemente a I ta, pode aparecer um arco entre os conta tos da chave, o que sera perigoso para o operador.
Se na figura 3.2b, colocarmos um nucleo de ferro na bobi na (observe que na figura 3.2b o símbolo é de indutor com nucleo de ar) e repetirmos a experiencia, verificaremos que a oposiçao oferecida pelo indutor a variaçao de corrente sera maior. O tem po que levará para que a corrente atinja o seu valor de regime sera maior.
	( a )	(b)
Figura 3 . 4
Quando colocamos um nucleo de ferro na bobina, nos alte ramos a sua indutancia (L) , no caso, aumentamos .
Toda bobina ou indutor possui uma indutancia. 	ipdutan cia so depende das dimensoes da bobina (nÚmero de espiras,	com primentos, diâmetro do nucleo) e do material de que é feito o nu cleo.
A indutancia de uma bobina e uma medida do quanto de energia pode ser armazenada em um campo magnetico.
A unidade de indutância e chamada de Henry (H) .
3.2 Circuito em C -A com Indutancia Pura
Como foi visto anteriormente, como na figura 3 .2b, quan do aplicamos uma tensao a uma bobina, a corrente levara um certo tempo ate atingir o seu valor de reg i me. Existe pois, uma defa sagem entre a tensao aplicada e a corrente que percorre o indu tor .
No caso da tensao aplicada ser senoidal, a corrente (tam bém senoidal) estará 90 0 atrasada em relaçao a tensao.
Como ja vimos, um indutor oferece uma oposiçao a uma va riaçao de corrente. A medida desta oposiçao e dada pela reatan cia indutiva (XL) do circuito.
 reatância indutiva depende da indutância do indutor e da frequencia da corrente, sendo dada pela fÓrmu1a :
	XL 	( 12)
onde L = indutancia da bobina em Henry frequencia da c. a em Hz
XL — reatancia da bobina em Q
	
	
	1
	
	VO
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
valor eficaz de vg.
T — valor eficaz
	( a )	(b)	de i
	Figura 3 . 5	(c)
A primeira Lei de OHM é válida em um circuito C. A. Neste caso, . a resistência elétrica e substituída pela reatância indu ti va .
	1 	( 13)
Em um circuito puramente indutivo (sem resistencias) , não há dissipação de energia.
Na figura 3 . 6, está representado o gráfico da potência instantânea em função do tempo.
Vg.i.p 
p(t)
	p(t)	potênc ia
Figura 3 . 6
	instantanea
	
	Durante
	o primeiro quarto de ciclo, o circuito
	absorve
	energia, a qual
	e usada para aumentar a energia do campo
	magne
tico (a potencia e positiva, e a energia e representada pela area entre a curva p e o eixo t) .
No segundo quarto de ciclo, a corrente diminui. A de auto—indução tendera a se opor a essa diminuiçao.
	
	A bobina comporta—se como um gerador, devolvendo a ener (que estava armazenada no campo magnético) ao circuito (ago
a potência e negativa) .
	A sequencia se repete no segundo meio ciclo. Desta	for
	ma ,
	a potencia e continuamente trocada entre o campo magnetico circuito, nao havendo perdas.
A mesma conclusão pode ser obtida a partir da fÓrmuIa :
	
		p = V EF	IEF 	( 14)
	
	VEF
	tensao eficaz do circuito
	
	IEF
	corrente eficaz do circuito potencia real ou potencia ativa angulo de defasagem entre tens ao e corrente
	No caso	900 	P = VEF •I EF	o	o
	
	Exerc Icios Resolvidos
1 Uma bobina tem O, IH de indutancia, sendo ligada uma tensao de 110V, 60Hz. Determinar:
a) reatancia da bobina
b) valor eficaz da corrente no circuito
c ) desenhar os gráficos de v e i
	
Solução :
4, 
IA
155.5V
2 Em que frequencia, uma bobina de indutância 20mH te ra reatancia de 100 Q?
solução:
	L	20mH	20 x 10 -3 H
100 Q
	XL	100
	XL — 2 IT. f . L	f	 = 796Hz
2 T. L 6, 28X20XIO -3
3 — Em um circuito alimentado com 110V/60Hz, quer—se que a corrente seja limitada a 100mA. Qual deve ser o valor da indu tancia a que deve se colocar neste circuito?
Soluça o: In = IOOmÄ lm IOOmA
IIOV
60 Hz
IOOmA _ 7 mA XL VEF - 11 ov 1 , 55 n IEF 70, 7mA1
	logo 1, 556, 28	60 . L
	1, 55	- 0,0041H — 4, 1mH
6,28 x 60
3.3 Circuito RL Série
Circuitos na pratica possuem ambos resistencia e indutan cia, isto significa que a corrente ao percorrer tal circuito en contra ra dois tipos de oposiçao: a oferecida pela resistencia e a oposiçao da f. e. m de auto-indução (reatância indutiva) .
Ainda mais, em um circuito contendo resistencia e	indu tancia, a corrente continua atrasada em relaçao a tensao, so que de um angulo menor que 90 0 (nao se esqueça que a resistencia ten de a colocar VG e I em fase, enquanto a indutancia tende a defa sá-las de 90 0 ) .
No circuito da figura 3.7, a resistencia R representa todas as resistencias ao longo do caminho da corrente (inclusive a resistencia ohmica do fio da bobina) .
	( a )	(b)
Figura 3 . 7
Na figura 3. 7 b, diagrama fasorial, observe o atraso de 90 0 da corrente no indutor (que e a mesma na resistencia) em relaçao a tensao (VL) . Como a corrente na resistencia esta em fa se com a tensao V R, as duas sao representadas no mesmo eixo.
Observe na figura 3 . 7 b, que a obtençao da tensao do gera
dor e por soma vetorial.
	Do triângulo retângulo	tiramos:
( 15)
ou
Figura 3 . 8
Na relação (15) , dividindo ambos os membros por
	VG2	VR22	VL 2
ou
	1 2	1 2	1 21
onde :	 resistencia Ôhmica do circuito
VL
	XL	reatancia indutiva da bobina
1
impedancia do circuito
1
 impedancia e o efeito combinado de uma resistencia com uma indutancia .
Desta forma, podemos escrever:
( 16)
ou
	da
	O mesmo resultado seria lado do triângulo por I .
	obtido
	se
	ti vessemos dividido ca
	
	VL
	
	1
xc
1
	( a )	(b)	( c )
Figura 3 . 9
O ângulo de defasagem entre V e 1, 4, pode ser calcu lado por:
	VL	XL
		( 17 )
ou	cos 4)( 18)
z
Exercícios Resolvidos
1 — Determine a tensao que deve ser aplicada a uma bobi na, a fim de produzir uma corrente de 5A, se a resistencia da bobina é 6 Q e a sua reatância indutiva é 8 Q. Qual o valor da in dutância se a frequencia é 60Hz? Qual a impedância do circuito?
Solução 
:
4 
ov
2500 
=50V
21mH
2 — Uma bobina quando ligada a uma fonte c. c de 12V con some 3A, e consome 4A quando ligada a uma fonte de 20V/60Hz . cal
cular:
a ) resistencia da bobina
b) reatancia indutiva e indutancia c ) impedancia do circuito angulo de defasagem entre V e I
e) potencia dissipada no circuito
f) desenhe o diagrama fasorial Solução :
a) Quando a bobina e ligada a uma fonte c . c so existe o efeito de resistência (a reatancia e nula) .
	V
	
	
	
	12V	12 
		12V	
b) Quando a bobina é ligada a uma fonte C . A a Iém da resisten cia, soma-se o efeito da reatancia, isto e, a fonte C.Ä "vê' uma impedância .
por 
d)
Da
A potência dissipada no circuito é a potência dissipada na resistencia, sendo chamada de potência real.
	P = VEF	IEF = 20.4.cos37 0 - 20. 4 .0, 8	64W
Evidentemente, nao precisamos decorar a formula acima pa r a calcular a potencia dissipada em R, bastaria usar uma das formulas .
ou
onde V e T sao a tensao e corrente 
logo- 64W2
16
16V
	
	
	
	O diagrama
	fasorial
	diagrama da
- 64W
16V
 1
na resistencia .
f i gura 3 . 8VL 
12V
20V
As expressoes matematicas da tensao e corrente no cir cuito sao:
observe que poderiam ser também
(v)
	370 )	(A)
3.4 Fator de Potência
Se na figura 3.8, multiplicarmos os lados do triangulo por I, obteremos um triângulo cujos lados representam potencia.
		VR.I
	(a )	(b)
Figura 3 . 1 0
	A base do triângulo é a potência real,	ou potencia a
ti va .
P = VR.I =
sendo P dado em watts (W)
	A hipotenusa do triângulo é chamada de potencia	aparen
te, PAP
	( 19 ) sendo PAP dado em volt -ampere (V. A)
A altura do triangulo é a potencia rea ti va , No caso, potencia reativa indutiva, Pri.
	Pri	VL serV	( 20)
Pr e dado em volt—ampere, poremno símbolo	colocamos um índice, indicando que a potencia e reativa (V. Ar) .
Do triangulo de potência tiramos a relaçao entre as tres potencias
PAP 2( 21 )
ou	PAP
A relaçao entre a potencia real ( P) e a potencia aparen te (PAP) é chamada de fator de potência (F. P) . No caso ma i s geral, a potencia real e menor que a potencia aparente, desta forma, o f ator de potencia e menos que a unidade.
Do triângulo de potência tiramos que :
	co	( 22)	
PAP
por isso as vezes, simplesmente chamamos o fator de potência de "cosseno fi'
Exercícios Resolvidos
1 — Com relaçao ao circuito pede-se
a ) leitura dos aparelhos
b) potencia real entregue ao circuito
c) potência aparente e reativa fator de potencia
e) faça o diagrama fasorial do circuito
120 v
60 Hz
Soluçao:
a) A impedância do circuito sera
	120 v	z: 30nz
30Q
- 120Vno amperímetro A
1corrente 
72V
- 24 4 = 96V
b)	1 — 72 . 4 - 288Windutiva
c )	96 . 4384 v. Ari obs. :
PAP
480
V.A
Desta forma, de toda a potência entregue pelo gerador C. A à carga, somente uma parte e realmente consumida (288W) . outra parte (reativa) nao e usada para realizar trabalho útil, sendo constantemente trocada entre gerador e carga .
Um wattÔmetro ( aparelho que mede potência) conectado no circuito mediria 288W.
Disso tudo, tiramos uma conclusao importantíssima :	Se aumentarmos a potencia reativa, sem aumento da potencia real, es taremos aumentando a potência aparente (o que aumenta I)	sem conseguir energia transformada adicional.
Observe que aumentar PAP sem aumentar P, implica numa di minuição do A concessionaria de força e luz controla o do usuario, e para tanto estipula que o mínimo valor para é 0,85. Por isso e importante que o usuario controle o F. P de sua instalaçao, principalmente quando houver variação da car ga (entrada de motores, eletroímas ou outros elementos induti
vos) .
Quando o F. P cair abaixo de O , 8, é possível fazer a cor reção introduzindo-se capacitores (capítulo 3.12) .
d) F P	cos	P288
arc coso, 6
	VL : 96 V
	
	
	
	VR: 72V
	
		2	Um gerador de 120V entrega a uma carga uma
	potência
	aparente de 24KVA. Determinar a corrente consumida nos tes casos:
	seguin
	
	cos cþ — 0, 5
Solução:
a) A corrente consumida pela carga sera:
		 PAP	24000	200Ä
120
	
	No caso do cos (P = 0 0 o circuito é resistivo (tensao e corrente em fase) . A potencia real consumida é:
		 120 x 200 x 1 24000W
	puramente
a)
b)
nao existe potencia reativa.
b)	cos 4) — 0, 8	neste caso, a potencia real sera:
	P	120 x 200 x 0,8	19200W
Agora, o gerador fornece menos potencia Útil, embora corrente consumida seja a mesma 200A. Se quisermos obter a mes ma potência real do item a, porem com co" 0, 8, deveremos mentar a corrente.
c)
	120 x 200 x 0, 5	12000W
Se quisermos obter a mesma potencia real do í tem a,	com 0, 5, a corrente deveria ser 400A. A instalação deve entao ser redimensionada. Por isso e importante manter o F. P o	mais prÓximo possível de 1.
3 — A potência consumida ( potência real) de uma instala çao é 1 KW. Se a tensao é 220 V, calcule a potencia aparente e	a corrente consumida se:
0, 9
0 , 6
Soluçao:
a) Com F. P
1000
	P = Vxlxcos
b) com F . P	0, 6
	1 
220 x 0, 9
	5 , 05A
	1000
1
220 x 0, 6
	7, 5A
	
Desta forma, com a mesma potencia consumida, mais	cor rente é solicitada pela carga .
É por esta razao que a tarifa paga pelo consumo em C.Ä, leva em conta tanto a potencia real como a potencia reativa, as respectivas energias podem ser calculadas pelas equaçoes:
	t	(KW. h)	( 2 3 )
	t	(KVArh)
Exercícios Propostos
1 - Com relaçao ao circuito pede-se calcular:
a) impedancia
b) tensão do gerador
c) F . P do circuito
d) desenhar d i agrama fasorial
e ) potencia real e potencia aparente
f) desenhar o diagrama (triângulo) de potência do	cir cuito
R:20n
60Hz XL : 3011
 2 — Um motor C. A, que pode ser representado por uma re sistencia em serie com uma indutancia, é ligado em 220V, consu mindo uma corrente de IOÄ. O F. P é 0,9, determinar :
a) potência aparente
b) potência real
c) potencia reativa
3 - No circuito, calcular:
impedancia e corrente b) frequencia do gerador
c) F. P do circuito
R: IOOn
IO v
L : 100 mH
4 — Quando uma bobina é ligada a uma fonte C. C de 50V, consome uma corrente de 2, 5A. Quando a mesma bobina é conecta da a uma fonte C. A de 110V/60Hz, consome uma corrente de 4, 4Ä. Calcular:
a) impedância
b) resistencia e reatancia indutiva da bobina
c) F. P da bobina e indutância
A corrente, tensao e F. P em uma instalação sao 10Ä, 220V e 0, 8 respectivamente. Calcular: potência aparente
b) potência real
c) potência reativa
d) resistencia e reatancia indutiva
Calcule a corrente consumida por um motor monofasi co, sabendo—se que a potência real é ZKW, a tensão é 110V e F. P é 0,8.
7 — Um gerador de 5V/IKHz é ligado a um circuito RL sé rie. A corrente no circuito é 1mÄ e a tensao no indutor e Determinar :
a ) indutancia do indutor
b) tensao do resistor
c ) i mpedância
d) fator de potência
e) diagramas de tensao e potencia
3.5 Circuito RL Paralelo
Figura 3 . 1 1
	Na figura 3.11, temos que VRVG, o diagrama	fa
sorial correspondente é
Figura 3. 12
No diagrama da figura 3 . 12, veja que a corrente no indu tor I L, está atrasada de 90 0 em relação a tensao, VL. Ao contrá rio do circuito RL serie, neste desenhamos o diagrama de corren te (obs. : A fase de VGé escolhida arbitrariamente) .
IR
3 . 1 3
Do triangulo de correntes tiramos
1 2 = IR 2 + 11.2	(25) ou	1	IR 2 + IL 2
Se dividirmos, na figura 3. 13, os lados do triangulo por VG' obteremos o triângulo de admitancias .
	
	
	
	1
	
	
	( a )	(b)	(c )
Figura 3 . 14
Da figura 3.14c tiramos:
2	2	2 1	1	1 z	XL daí tiramos:
		( 26)
O ângulo de defasagem entre ic e I pode ser calculado por :
1 cos (i —z	( 27 )
1 z
1
XL ou	tg (þ —(28)
	1	XL
Exerc {cios Resolvidos
	1	No circuito, determinar:
a) impedancia
b) correntes T, IR e IL
c) potência aparente, potencia real e potencia reativa
d) fator de potência do circuito
e ) desenhar o diagrama fasorial
1
c: 
120 
V
60n
Soluçao:
 48n
68
64
b)
	1	1120V2, 5A
48Q
120V
	120 V	z 48n	R	80 9	 1, 5A
VL 120V XL 600
c) PAP 120	2, 5 - 300 V.A
	120	1 , 5	180W
	120	2 — 240 V. Ari
80R
 Diagrama fasorial
2 — Calcule a tensao aplicada em um circuito RL parale que consome uma corrente de 10mA, sendo R 1,2KQ e XL solução:
1: IOmA
zl: 
10mA
z 0,96K1.6
	1	O, 96KQ X 10mÄ	9, 6V
3 - Um gerador de 5V/1KHz é ligado a um c ircuito RL rale 10. Sabendo—se que a corrente consumida é 5mÄ e a	corrente na resistencia é 4mA, pede-se determinar:
a) corrente no indutor
b) valor da indutancia
c) impedância no circuito
d) ângulo de defasagem entre tensao e corrente
solução:	5mA
IKHz
Podemos determinar IL com o auxílio do diagrama fasori ou usando diretamente a equaçao ( 23 ) .
1 23 rnA
	 Como IL	VL3 
mA
-y 
1, 
66K 
XL
	IL	3mA
e XL = 6, 28. f. L + L 0,053H
 — 53mH
c) z 
cos 3 705mA
1
Exerclcios Propostos
1 No circuito, determinar:
a ) impedancia
b) corrente no indutor e no resistor
c) valor da indutância
d ) fator de potência
e) expressao matemática da corrente no circuito (i) , no indutor ( i L) e no resistor ( i R)
	XL	300 n60Hz
	XL	400 Q
2 Dado o circuito, pede—se:
	360mA	200mA
 L = 500AH(5KHz 
a ) valor da tensao do gerador
b) valor de IR e valor de R potencia aparente e real
d) fator de potência
3 Em um circuito RL paralelo, a defasagem entre tensao e corrente é 60 0 . Sabendo-se que a tensao aplicada é 1 OV e que a corrente consumida é 100mÄ, determinar o valor da resistencia e da indutancia se f IOOOHz .
3.6 Capacitor — Capacitancia
Um capacitor e um dispositivo que consiste de duas pla cas condutoras (chamadas de armaduras) , separadas por um mate rial isolante (dielétrico) . Um capacitor serve para armazenar cargas.
A capacidade que tem um capacitor para armazenar cargas depende da sua capacitancia (C) . A capacitancia por sua vez, pende da área das placas, da espessura do dielétrico e do ma t e rial de que é feito o dieletrico.
CAPACITOR PLANODIELÉTRICO
TERMINAL
SÍMBOLO
(b)
Figura 3 . 1 5
No caso de um capacitor de placas planas e paralelas,	a sua capacitancia sera dada por:
c	( 29 ) d
constantedieletrica
S area de uma das placas (são iguais) em m 2 d espessura do dielétrico em m
A capacitancia C será dada em Farads (F) .
Quando ligamos um capacitor a um gerador, o capacitor ad quire uma carga Q.
c
Figura 3 . 1 6
A placa superior fica com uma carga Q (falta de trons) , enquanto a placa inferior ficara com uma carga —Q (exces so de elétrons) .
O numero de eletrons, em excesso em uma placa, e	igual ao numero de elétrons faltantes na outra placa.
 relaçao entre capacitância, carga adquirida é tensao aplicada é dada pela formula:
		( 30)
	Q	U	c
A carga adquirida é diretamente proporcional capaci tancia e a tensao aplicada.
	Por exemplo se C10 -6 F e U	a carga	do
capacitor sera de:
	Q	1 . 10-6	luc
Quando ligamos um vés de uma resistencia R, tempo até atingir o valor
c
cvc
( c )
Figura 3 . 1 7
capacitor a uma fonte de tensao atra a tensao no capacitor levara um certo da tensao da fonte.
c
(b)
c
(d )
Considerando o capacitor	inicialmente descarregado.	No instante em que a chave e fechada (t	O ) , toda a tens ao da fon
te está aplicada	resistencia.
t (t=O) + VC (t=O) E ( 2 a Lei de Kirchhoff) como VC ( t=O) O (capacitor inicialmente descarregado)
	E	logo
Nao existe uma corrente passando atraves do capacitor, e sim uma movimentação de cargas de uma placa para a outra atra ves do circuito. No caso, vamos ter um deslocamento de cargas positivas, indo da placa inferior para a placa s.uperior (na rea I idade elétrons deslocando—se) .
Com a chegada de cargas no capacitor, aumenta a sua ten sao e consequentemente diminui a tensao na resistencia.
Depois de algum tempo, a tensao no capacitor sera igual
a tensao da fonte.
O comportamento dinamico das t ensoes no circuito e	da corrente, pode ser melhor entendido através dos graficos.
(b)
Figura 3 . 1 8
 Observe no gráfico da figura 3.18b, que a soma Vc+VR = E, isto e, a medida que VR diminui, Vc cresce na mesma proporçao.
Uma medida da velocidade de crescimento da tensao no capacitor nos e dada pela constante de tempo do circuito ( T ) , de finida como sendo:
		( 31 )
Fisicamente, a constante de tempo significa que passando um tempo igual a uma constante de tempo, a tensao no capacitor atingiu 63% da tensao da fonte.
Da figura 3.10 podemos também verificar que existe	urna defasagem entre a tensao no caþacitor e a corrente (quando	uma e maxima a outra e mx nima e vice—versa) .
A expressao que relaciona a tensao no capacitor com o tempo é dada por:
( 32)
A expressao da tensao no resistor é dada por:
RC
( 33 )
Estas expressoes sao chamadas de exponenciais, e a sua representaçao gráfica é dada na figura 3.18b.
Na expressão ( 32) , consideremos o tempo dado em	cons tantes de tempo e calculemos a tensao em função de E.
	t
	o
	0, 5 RC
	RC
	2RC
	4RC
	5RC
	IORC
	Vc(t)
	o
	O, 393E
	0, 632E
	0,865E
	0,981. E
	O, 993E
	I.E
colocando num gráfico, resulta:
Vc(t) IE
O,9E
O.8E
O.7E
0$3E
0.6 E O,5E
O.4E
0.3 E
0.2E
O,IE t(RC)
	0 0.5 1	2	3	4	5	6
Figura 3 . 19
Do gráfico anterior foi concluído que podemos considerar o capacitor totalmente carregado do ponto de vista prático, pag sado um tempo igual a t O, 98E) .
3.7 Circuito C. A com Capacitancia Pura
Caso a tensao aplicada no capacitor seja senoidal, a cor rente no circuito tambem sera senoidal e defasada de 90 0 em rela çao a tensao. No caso, a tensao estará 90 0 atrasada em relaçao a corrente.
Voltamos a insistir que nao há passagem de corrente (car gas) pelo capacitor, mas estas circulam pelo circuito, de forma que um amperímetro C. A colocado no circuito indicara uma cor rente.
c
	semiciclo positivo	semiciclo negativo
Figura 3 . 20
Um capacitor em um circuito C. A oferece uma oposiçao passagem da corrente, sendo esta oposiçao medida pela reatancia do capacitor (xc) •
A reatancia do capacitor depende da capacitancia (C) e da frequencia do gerador, sendo dada por:
	
	xc - 1
2TT . f . C
	
	( 34)
	sendo
	C em Farads
	(F)
	
	
	f em Hertz
	(Hz)
	
	
	XC em Ohms
	( Q)
	
	c	
	(a )
	(b)
	Ic
	900
	
	
(c) Diagrama Fasorial
Fig u ra 3 . 21
A primeira lei de OHM para este caso e:
xc
	V	tensao eficaz
	1	corrente eficaz
Em um circuito puramente capacitivo, nao ha consumo de potencia.
A potencia real é dada pela fÓrmu1a:
	T	cos $
angulo formado entre tensao e corrente, no caso 900 cos 90 0 — O, portanto P
Este mesmo resultado pode ser mostrado graficamente. p = potencia instantanea tensa o instantanea i corrente instantanea
v,i,p 
Figura 3 . 22
Durante o primeiro quarto de ciclo, o capaci tor a r ma z e na energia eletrica nas suas armaduras. No segundo quarto do ci CIO, o capacitor devolve a energia ao circuito.
Exercicios Resolvidos
1 Calcular a reatancia de um capacitor de 5uF nas fre quências de 60Hz e 400Hz.
Soluçao:
	
	60Hz	xc 
	1 1
530 n
2 TT. f.C	6 , 28 . 60 . 5 . 10- 6
	
	f 
	400Hz	XC 
	1
80 9
	
	2 
	Um capacitor
	de 5uF é ligado a uma tensao de
	110V/
	60Hz. Qual solução:
	a intensidade
	da corrente no circuito?
	
	xc
	 5300	1
	110V _
 0, 2A
	
	xc	530Q
3 Em que frequencia um capacitor de 100nF apresenta una reatancia de 100 Q?
Solução:
100
	6, 28. f.C	6, 28 . 100. 100. 10- 9
15.923Hz
3.8 Circuito RC Série
No circuito da figura 3. 23a, a tensao aplicada VG é soma vetorial da tensao no resistor V R, a qual está em fase com a corrente, com a tensao no capacitor Vc.
(b)
Fi ra 3 . 23
O diagrama fasorial c orre s ponden te 
(b)
Figura 3 . 24
As expressoes matematicas sao:
sen (Dt lm. sen( wt + 90) sen ( 	+ 90)
sen ( at + 90
	Os triangulos de tensao,	impedancia e potencia sao:
	
	
	
	
	1
	
		vc	vc•l
1
	( a )	(b)	(c )
Figura 3 . 25
Da figura 3 . 25a tiramos
( 35)2
VR2
VG2
ou
	Da
	figura 3 . 25 b t iramos
	
	
	 - z 1
	impedancia do circuito
	
	
		1	
	resistencia
	
	
	vc
 = xc
1
	reatancia capacitiva
	
	
	
	+ xc 2
	( 36)
ou xc
z
Do triângulo de potência obtemos: PAP VG.I potência aparente (V. A) p VR.I = potência real (Watts)
I . cos
	1	potência reativa (V. Arc)
Exercícios Resolvidos
	1	No circuito, determinar:
a ) impedância
b) corrente, VR e V c
c) valor da capacitancia
(VG)
IO V f : IOOHz
solução:
a) z
b) 1
4
3
c) xc30 -	1
6,28.100.c
1 c 
6, 28 . 100 . 3
2 Para o circuito determinar:
a ) impedancia e corrente
b) tensao em R e em C
c ) ângulo de defasagem
d ) expressoes matematicas da corrente e da tensao
e) diagrama fasorial
R : 60n
C:47HF
solução:
a) xc	1	1	= 56 Q 2TT. f .C	6, 28 . 60 . 47 . 10-6
z82 <234 
A
I, 
1
	z	820
1 , 3480, 5V
1 , 3475V
c) cos 	60	0 , 73	430 z	82
d) Com referencia à figura 3 . 24, considerando que no instante t O, os fasores que representam a tensao e a corrente estao como mostra a figura, teremos:
sen ( (Dt + 90)+ 
90 
+ 
47)
— O
(v)
3 - Dispõe-se de uma lâmpada 110V/60W e deseja-se usa— 1a em uma rede de 220V/60Hz. Uma maneira de fazer isso e colocar em serie com a lâmpada um capacitor. Qual deve ser o valor des te capacitor?
Solução :
O capacitor deve apresentar uma reatancia de forma que a tensao na lâmpada seja exatamente 11 OV e para tanto a tensao no capacitor devera ser:
545A
1
110V
A 
corrente 
igual 
a 
corrente
na
lâmpada 
.
1
190V
logo a reatancia do capacitor deve ser
		190V
xc348 Q
	1	0, 545
e o valor do capacitor sera
	1	1
 6
	6, 28.f.Xc	6, 28 . 60 . 348
Exerc ícios Propostos
I — Um resistor de I OOQ e capacitor de I ÞF s ao ligados a uma fonte de tensao de 5V/1KHz. Pede—se calcular:
a) corrente no circuito
b) tensao no capacitor e na resistencia
c) ângulo de defasagem
2 — A defasagem entre tensao e corrente num c ircuito RC serie é 60 0 Determinar o valor da resistencia e da ca pac i tan cia, sabendo-se que a impedância vale 200Q e a frequencia 60Hz.
3 Em um circuito RC série, a tensao no capacitor é 80V e no resistor 80V. Sabendo-se que a corrente no circuito vale 200mA, com f 60Hz, determinar:
a) tensao no gerador
b) as expressoes matemáticas da corrente, tensao no gera dor e tensao no capacitor
c) diagrama fasorial
d) defasagem entre tensao e corrente obs. : Os valores de tensao dados sao eficazes
4 - No circuito, deseja-se que o F. P seja igual a 0, 8 . Qual deve ser o valor de C?
R: 150n
I IO Vc
60 Hz
5 — No circuito, espera—se que a tensaono capacitor ja a metade da tensao no resistor. Determinar:
a) tensao no resistor e capacitor
b) valor de C
c) defasagem entre tensao e corrente
R : 20n
IIOV
c
60 Hz
Em um circuito RC série, o fator de potência é 0,85. A corrente consumida é 8A. A tensao de alimentação é 110V/60Hz.
Calcular:
a) potência aparente
b) potencia real
c) potencia reativa
3.9 Circuito RC Paralelo
Em um circuito RC paralelo, a tensao e a mesma nos dois componentes .
3 . 25
O diagrama fasorial correspondente sera:
		(b)
Fi gura 3 . 26
As expressoes materna ticas das corrente e da tensao sao:
Os triângulos de corrente, impedancia e potencia s ao respectivamente
V. Ic
	Figura 3 . 2 7
	(b)
	(c )
	Da figura 3. 27a
	tiramos :
	
( 37 )
ou
Da figura 3 . 27 b tiramos:
	
	1
	z
	
	1	1	1
		e resolvendo obtemos
z .
Lia figura 3.27c
potencia aparente (em V. A)PAP
	1	cos ci = potência real (em W)
	1	sen 	potência reativa (em V. Arc)
O ângulo de defasagem pode ser calculado em qua I quer caso por:
	cos (ê	ou	cos	z	ou cos
	1	PAP
Exercxcios Resolvidos
	1	No circuito, determinar:
impedânc ia
b) corrente fornecida pelo gerador, corrente no resistor e no capacitor
c ) angulo de defasagem
d ) diagrama fasorial
e) potencia aparente, real e reativa
	
	R: 150n
	
	
IIOV
60HzC : IONE
Solução:
a)	z	xc -	1	 2659 6, 28 . 60 . 10. 10— 6
	z	265	150
1300
(2 ) 2 + ( 15 ) 2
1
b)IIOV
60Hz
1300
z
1
11 ov
	R	1500
 0,41 A(O,
	c) cosc#	IR	0, 73A
84A.
0,87
 44, 8 V.ArC
Exercmcios Propostos
	1	No circuito, determinar:
a ) impedancia
b) angulo de defasagem
c) corrente total, no resistor e capacitor
IO V Xc:5KQ
2 Em um circuito RC paralelo, o angulo de defasagem e Sabendo—se que a impedancia do circuito é 200 Q, determinar:
a) valor de R
b) valor de C se f	5KHz
3 - Em um circuito RC paralelo, a corrente consumida 4mA . Sabendo-se que a corrente no capacitor é 3mA e que o valor da resistencia é 1 OK, pede-se calcular:
a) corrente na resistencia
b) tensao total aplicada
c) ângulo de defasagem
d) valor de C se a frequencia de operaçao e 60Hz
3.10 Circuito RLC Série
A figura 3 . 28 mostra um circuito, contendo uma resisten cia, uma indutancia e uma capacitancia em serie. A tensao total aplicada é a soma vetorial da tensao na resistencia, da tensao na indutancia e da tensao na capacitancia.
Na construçao do diagrama fasorial, a tensao na resisten cia esta em fase com a corrente. A tensao na indutancia adiantada de 90 0 em relaçao a corrente, e a tensao na capacitan cia esta atrasada de 90 0 em relação a corrente.
	c
	
	
	
	
	vc
	( a )	(b)
Figura 3. 28
Na f i gura 3 . 28b, observe que VL e V c estao defasadas de
 Para somar as tres t ensoes, primeiramente somamos VL	com Vc •
Como VL e vc estao defasados de 180 0 a soma vetorial com vc é simplesmente a subtraçao VL - V c ( aqui considera mos VL > V c) .
 partir do diagrama da figura 3.28b, obtemos o diagr@ ma de tensoes na figura 3 . 29a e o diagrama de impedância da figura 3.29b.
		1
	(a)	(b)
Figura 3 . 2 9
Da figura 3. 29a tiramos:
		( 39)
Na figura 3 . 29b
impedância
1
resistencia do circuito
1
 - xc
XL reatancia indutiva xc reatancia capacitiva
Logo, podemos escrever:
	z	R 2 + (XL — xc) 2	( 40)
Da equação (40) quando XL = xc a impedancia do c ircuito sera igual a R, o circuito comporta-se como um circuito puramen te resistivo, e portanto a tensao aplicada e a corrente estar ao em fase. Esta situaçao e conhecida como ressonancia.
A ressonancia ocorre em uma frequencia fo na qual XL=Xc, isto é:
1
1
11
76
71
	
			1
	ou
			1
L.C
	e
	finalmente
1
	
	
		( 41 )
sendo que
Uma forma de visualizarmos o que acontece no circuito quando a frequencia varia, é desenhar o grafico da impedanc ia em funçao da frequência e o gráfico da corrente em funçao da frequencia . z 
	z
	
	fo	
(b)
Figura 3 . 30
Da figura 3. 30 tiramos algumas conclusoes:
· Na frequencia de ressonancia f o, o circuito e puramente resis ti vo Z = R. 	corrente sera maxima valendo V/ R.
· Abaixo da frequencia de ressonancia a impedancia aumenta. Como xc > XL, a impedancia e capacitiva, a corrente esta ra adianta da em relaçao a tensao aplicada. Observe que para frequencia zero (C. C) , a impedancia e infinita, sendo nula a corrente.
	 Acima da frequencia de ressonancia, XL > xc,	o circuito
	
	indutivo, a corrente estar a atrasada em relaçao a tensao.
	Quan
	to maior for a frequencia, maior a impedancia e menor a rente.
3. 10.1 Largura de Faixa — Fator de Qualidade
	cor
	Na figura 3.30b, define-se largura de faixa (L.F) sendo:
				 fci	( 42 )
fcs frequencia de corte superior fCi frequencia de corte inferior
	como
	As frequencias de corte, sao frequencias nas quais corrente cai para um valor igual a 70, 7% da corrente maxima.
	a
o
fcs
fci
Figu ra 3 . 31
A largura de faixa depende da qualidade da bobina. Uma bobina ideal tem resistencia ohmica do fio nula. Na prática, O fio da bobina apresenta uma resistencia R B. Define-se fator de qualidade da bobina como sendo:
XLO
	XLO
	2TT . f o. L = reatancia da bobina na frequencia de ressonancia resistencia ohmica do fio da bobina
O f ator de qualidade do circuito é dado por:
	
	XLo RT
	( 44)
	
	resistencia ohmica total
	do circuito
	XLo
	2TT . fo .L
	
	
	A largura de faixa do
	circuito esta relacionada com	
	f ator de qualidade atraves da
	expressao:
	Q'
	( 45 )
	Donde concluímos que,
	quanto maior o fator de	qualida
( 43)
de do circuito, menor a largura de faixa (mais aguda é a curva da figura 3 . 31) .
Exercícios Resolvidos
	1	Com relaçao ao circuito pede-se:
frequencia de ressonancia
b) valor da corrente na frequencia de ressonancia defasagem do circuito na ressonancia
d) se f	20KHz, calcular a corrente e a defasagem
e) se f	1 OK Hz, calcular a corrente e a defasagem
R: 
15V
C: 
lmH
C: 
IOOnF
Soluçao:
a )	1	15 . 923 Hz1
b) Na ressonancia XL	2TT.fo.L	6 , 28 . 15923	10— 3	100 Q
	1	1
xc 100 Q
a impedancia do circuito sera:
	z R	150 Q
logo, a corrente valera:
15V
	 O, IA	1 OOmAI 
máx
150 n
c) Como na ressonancia, o circuito e puramente resistivo,	sendo a defasagem entre a tensao e a corrente zero.
	se f	20KHz
	XL	6, 28 . 2 10	10- 3	125, 6 Q
1
xc
z157 Q
15 v
z	157 n	logo	195, 5 mA 157 n
Da figura 3.29b tiramos:
R	150 - 0, 955	17 0 z	157
o circuito e indutivo.
1 OKHz
314
10-62, 8 Q
1Q
	xc 	159, 2 
A impedância do circuito nesta frequencia sera:
z 178 0
15V
1 84mA
178o
	150	 o, 842	= 320 z	178
	O circuito e
	capacitivo.
	
	
	
	
	No caso em relaçao a
	em que f 20KHz, corrente.
	a
	tensao esta
	adiantada 
	
	No caso em relaçao a
	em que f IOKHz, corrente.
	a
	tensao esta
	atrasada 
	
2 - Em um circuito R LC série, a tensao no resistor 6V, no capacitor é 20V e no indutor e 12 V. Se a corrente consu mida é 0,01 A, pede—se:
a) tensão total aplicada
b) impedância do circuito
c) desenhe o diagrama fasorial
d) ângulo de defasagem
	Solução:	IZO,OIA
a )20V
12V
1 ov
	T	0,01 A
c )
	
	
	12V
	
	20V
	
d) tgt	- 1 , 33
 6
Exercícios Propostos
1 — A bobina de sintonia de um rádio tem indutância de 2001-1 H. Calcule quais os limites que deve ter um capacitor varia vel, para que o circuito entre em ressonancia na faixa de 540KHz a 1300KHz.
2 — Em um circuito R LC série, c 50pF, L = 50 PH, R=IOO Q. Calcular:
a ) frequencia de ressonancia
b) corrente no c ircuito se f — fo/2, sabendo-se
1 ov
3 Num circuito RLC serie, a defasagem é 60 0 circuito capacitivo. Sendo a impedância igual a 200 Q e xc 2XL, deter minar:
a ) valor de R
b) valor da reatancia capacitiva
c ) valor da reatancia indutiva
3.11 Circuito RLC Paralelo
No circuito da figura 3 . 32 , a tensao aplicada mesma em todos os componentes.
1
Fi gura 3 . 32
O diagrama fasorial do circuito e:
	
	Ic
	IR
	v
	
	
	
	
(b)
Figura 3 . 33
Da figura 3.33b obtemos:
1
Se dividirmos os lados do triangulo de corrente na figura 3.33b por VG obteremos:
Figura 3 . 34
Ña figura 3. 34
	1	1
z
portanto na f i gura 3 . 34 , escrevemos:
	1	1	21
1
desenvolvendo a expressao acima chegamos a :
( 47)
Na equação (46) , xc, podemos observar que resul tará para a impedância:xc
z
Assim como no circuito RLC série, a frequencia na qua 1 isto ocorree chamada de frequencia de ressonancia, valendo:
	1	1
O comportamento da impedância e da corrente em funçao da frequência é dado pelos gráficos da figura 3.35.
(b)
Figura 3 . 35
Na frequencia zero (c . c) , o indutor comporta-se	como um curto-circuito, desta forma a impedância e zero, e a corrente tende para infinito (é claro que na pratica existe a resistencia Ôhmica da bobina) . À medida que a frequencia aumenta, a impedan cia aumenta . Na frequencia de ressonancia, o valor da impedancia e maximo e igual à R, a corrente e mm n ima, valendo VG
Aumentando muito a frequencia, a reatancia do capacitor diminui, tendendo para zero, enquanto a corrente aumenta muito.
Exerci cios Resolvidos
1 Num circuito R LC paralelo, R 200 Q xc 500Q. A tensão aplicada é IOV, pede—se determinar:
 corrente em cada componente corrente total
c ) impedância do circuito
d) defasagem entre tensao e corrente
Soluçao:
IO v50mA
a)
b)
1 ov
131, 6mÄ
c) z10V	 0, 316K 3160
	1	31, 6mA
	
	Ic : 20mA
	ILZ50m
	IR: 10mA
	d)	
10
cos c»	- 0, 316	71 , 50 31 , 6
	2	Sabendo-se que o circuito e capacitivo, determinar:
 valor de IR b) tensao aplicada
c) valor de Ic
d) valor de XL e angulo de defasagem
xc 
= 
4n
solução:
No circuito, a corrente de 3 A é o resultado da soma vetorial de IC com I L. Sabendo—se que o circuito e capacitivo Tc ou ainda Tc
Tiramos IR
IR 
b) 2 ovIR
4
c) xc
d ) 
Exercícios Propostos
1 - No circutio, pede—se determinar:
a ) corrente em todos os componentes
b) corrente total
c ) impedância angulo de defasagem
IT
	
	
	
	
	
	XL : 4n
	
	
	
20V
2	Em um circuito R LC paralelo, R	5K C - InF.	Calcu lar:
a) valor de L para que o circuito ressoe em 100 KHz
b) com o valor de L calculado em a, calcule a impedância do circuito na frequencia de 50KHz e a defasagem
3 — No circuito, deterqinar:
a) R, XL, xc,
b) represente o diagrama fasorial
c ) angulo de defasagem
1
220 
v
60 
Hz
xc
3.12 Correçao do Fator de Potência
Antes de mostrarmos como corrigir o F. P de uma instala çao, vejamos o porquê desta necessidade.
Consideremos que uma instalaçao consome uma potencia de 120KVA, quando a tensao de alimentaçao é 600V. A corrente de ali mentaçao ser a:
	PAP	120 . 000	200A
600
No caso de carga puramente resistiva (aquecedores, lâm padas, etc) , toda a potencia consumida será potência real, F. P será igual a I .
A potencia real sera
	1	cos	600	200	1	120KW
11
84
80
No caso de circuito contendo resistencia e indutancia sendo o F. P 0, 5 , a potencia real sera:
	 600	200	0, 5	60KW
	Ä potência real diminui com a diminuiçao do F. P,	enquan
to a potencia reativa aumenta. Se quizermos manter a mesma	po
tencia real, com um F. P menor, a potencia aparente deve aumentar para
PAP 120.000 - 240KVÄ
enquanto a corrente consumida aumentara para:
240.000
 400A
600
Neste caso, algumas alteraçoes devem ser processadas. Se houver transformador, no caso de F. P 0, 5 , o transformador deve ser bem maior.
Como a corrente aumenta ( dobra) , há necessidade de tro car a fiaçao por outra mais grossa, evitando as perdas (R. 1 2 ) e a queda de tensao na linha.
Com tudo isso, concluímos que e importante controlar o F. P de uma instalaçao, procurando sempre manter o mais proximo possível de I.
A diminuiçao do F . P de uma instalaçao se deve a varios fatores, entre os quais citamos:
a) Motores C. A operando em vazio ou com pequena carga.
b) Transformadores operando em vazio.
	A melhoria do F . P pode ser feita de varias formas. so consideraremos uma, o uso de capacitores.
	Aqui
	O uso de capacitores oferece algumas vantagens em
	rela
	çao aos outros métodos, tais como: pequeno tamanho nao tem tes moveis e desta forma, e mais fácil de operar e e mais ro e por ultimo, dissipa pouca potencia.
Como ja foi visto, em um circuito C . A, um capacitor a propriedade de adiantar a corrente em relaçao a tensao.
	par segu
tem Como
c) Reatores de lâmpadas fluorescentes.
um indutor atrasa a corrente em relaçao a tensao, a colocaçao de um capacitor pode compensar esse atraso. O angulo de fase	pode ser reduzido a zero. Por razoes economicas e praticas, basta man ter o F. P acima de 0,85.
O valor do capacitor, que corrige o F . P, pode ser cal culado como se segue.
Consideremos uma impedancia Z indutiva, cujo angulo fase é e queremos diminuir esse angulo para .
A figura 3 . 36 mostra o circuito sem correçao e o seu diagrama fasorial.
	z	
(b)
Figura 3. 36
A colocaçao do capacitor em paralelo com a carga, reduz o ângulo de fase de para , o que equivale a dizer que o F. P aumenta .
	( a )	
(b)
Figura 3 . 3 7
Observe que a colocaçao do capacitor nao deve alterar a potência real (ativa) do circuito, so a potência aparente. Por isso mesmo que a colocaçao do capacitor deve ser tal, que o lor da corrente IR responsável pela parcela da potencia real nao mude . O valor desta corrente é dado pelo vetor OC.
	oc	1 1 = OA . cos
	Da fofmula de potência real P = VG	1	cos tiramos:
	oc	1 1	cos•l
A corrente total, no circuito corrigido, soma veto rial (regra do paralelograma) de IC com 1 1 . Dos triangulos OAC e OBC tiramos:
AC = OC
	BC	oc
Ainda nos diagramas,	temos que:
	AB = OD	AC - BC - oc .oc	tg	oc.	—tgn
Como OCe AB = OD
Por outro lado IC comparando as duas ex pressoes obtemos:
	c (tg cþ l	tg
Exercícios Resolvidos
1 Um motor consome uma potencia de I OKW a 600V com um 0,6. Calcule a capacitancia do capacitor que aumenta o F. P para 0,9, sendo a frequência 60Hz.
Solução:
1 , 33
0, 48
	p	1 OKW377 rd/s	600V
ctg (i) 10 . 000 ( 1 , 33 0, 48) uj.VG2377 . ( 600) 2
	c	62, 6 uF
2 - Uma carga tem uma potência real (ativa) de 11.ooow, consumindo uma corrente de 50A com um angulo de defasagem de 60 0 ( indutivo) . Calcular:
a ) valor da capacitancia que da um F. P - 0, 85
b) corrente total consumida após a correçao
c ) potencia aparente apos a correçao
Soluçao :
a) situaçao antes da correçao
II : 50A z
p 11 . 00050 cos 60 + VG 44 OV cos 0, 85310 (novo ângulo de defasagem)
apos a correçao:
	
	IR
	
	
	
	Ic
	lii
	
	
	
	
	
	c
	
	
	1	II = 50A
440 V
	No diagrama fasorial, temos que a soma vetorial de	
com 1	deve ser igual a I. c
	1 '	= componente reativa da corrente I 
1
	sen600	50	o, 866	43, 3Ä
componente real (ativa) da corrente na carga
	cos 60 0	50	0, 5	25A
	A corrente real na carga deve ser a mesma a correçao.
	antes e
	após
	A corrente fornecida pelo gerador agora e ângulo de defasagem ( — 310 ) .
	IR	25A
	I, com
	novo
129, IA
	cos 	O, 85
observe que a corrente fornecida pelo gerador diminui de 5 OA pa
	ra 29, IA, sem diminuir a potencia real.
	
	A componente reativa da corrente fornecida pelo 		valendo:
	T '	1	sen	29 , 1 . 0, 515	15A
Ainda do diagrama tiramos:
	gerador
43 , 315
28, 
3A
VG.w
Como		c	c	170, 6 
	evidentemente poder 1 amos ter usado a formula di reta
	c(tg	tg (þ)tgv. 
IR
	W . VG2	w. VG2
	
		c tgcþ )	25	(tg600
	tg310)
c	170, 6 b) A corrente total consumida pelo circuito, após a correçao, se
	1	29, IA
c) A potencia aparente, apos a correçao, sera:
	PAP 1	440	29, 1	12 .804 v. A
	antes tínhamos:	PAP	440	50	22 .000 v . A
Exercícios Propostos
1 — Uma instalaçao el é trica tem as características IOWA/' 220V e O, 5 indutivo. Pede—se calcular:
a) corrente total consumida
b) potência real (ativa)
c) potencia reativa
d ) valor do capacitor que aumenta o F. P para O, 85
e) valor total da corrente consumida apos a correçao
f) potencia aparente e potencia reativa apos a correçao
	2	No circuito, pede-se determinar:
a ) corrente total ( I )
b) impedância
c) angulo de defasagem entre tensao e corrente
1
	
	
	
	xc: 25n
	
	
R: lon
220 v
XL : lon
	3	No circuito, calcular:
a) valor de Rv para o qual o F. P é igual a 0,85. Valor de IR, TL e IT para essa condiçao
b) qual o valor do F. P se Rv o Q? ha necessidade da correção do F. P (F. p > 0, 85)? se há, qual deve ser o valor do capacitor?
IOOQ, ha necessidade de correçao do F. P?
há, qual deve ser o valor de C para que F. P > 0,85?
R : 20Q
220V
60Hz
Rv(0 a loon)
4 - Uma instalaçao elétrica alimentada por um gerador de 220V/60Hz tem uma potência de 20KVÄ. Calcule a potencia real con sumida pela instalaçao para osseguintes valores de F. P. . 0, 6; 	e 0, 2.
5 As características de um motor monofasico sao: U 120V; 1 IOA; F . p 0,8. Calcular:
a) sua resistencia
b) sua reatancia indutiva
c) impedancia do seu enrolamento
6 - A corrente, a tensao e a resistencia de uma sao respectivamente de IOA, 220V/60Hz e 10 Q. Calcular:
a ) potencia real potencia aparente
c) potencia reativa
d) impedância
e) fator de potência
f) valor do capacitor que corrige o F. P para 0, 85	
F. P em e for menor que 0,85)
3.13 Circuitos Mistos
Na figura 3.38, temos a associaçao paralela de dois cir cuitos RL serie.
A impedância de cada ramo sera:
	
	A corrente em cada ramo valera:
	1 2 - 
O angulo de fase entre tensao e corrente em cada	ramo ,
	poderá
	ser calculado por:
R I
cos 4) |	cos $ 2 
A figura 3.38b mostra o diagrama fasorial do	circuito.
	Como a
	tensao aplicada nos ramos e a mesma, consideremos que	
angulo inicial de fase da tensao é 90 0 Como em cada r amo temos uma indutancia, a corrente estar a atrasada em relaçao a tensao aplicada. Sejam e os angulos de fase, com
A corrente total consumida pelo circuito (T) pode ser obtida, somando—se vetorialmente I I com 1 2 (regra do pa ra Ie Io grama) .
1
(b)
Figura 3 . 38
Da figura 3. 38b tiramos:
	1	sen1	cos
	 1 2	sen	1y 2	2	cos1
1
1cos
1
A impedancia do circuito na figura 3. 38, pode ser cal culado por:
z
1
Exemplo : Na figura 3. 38a, são dados f	60Hz,	0, 02H, RI - ICQ,
	30mH, R 2 = 110V, f	60Hz . Calcular:
a) corrente em cada ramo
b) corrente total consumida
c ) angulo de fase do circuito
d) impedancia do circuito
e) potencia aparente, real e reativa
f) o circuito pode ser substituído por uma resistencia (R) em serie com uma indutância (L) . Quais os valo res de R e L?
solução:
a) cálculo da impedancia de cada Yamo
12, 52 n
3 70
13,85 Q
-1 IOV - 7,94A
1 2 
13 , 8513,85
	cos (i 2- 0, 577	540
6, 48A5,28Ä
IY2=
4, 
58A
c ) + 
16,5A
16,5
1
1 IOV
6, 66 Q
	1	16, 5Ä
	e)
	PAP 
	1
	110
	 16, 5 
	1815 V.A
	
	
	1
	cos
	 1815
	 0, 7	1270W
	
	pri =
	1
	sen
	 1815
	 0, 714 - 1296 V. Ari
16.5A
f)
IIOV
	
	
	
	8,78A 
	LI
	7,94 A
1-216
,5A
IIOV
	O circuito equivalente tem o
	seguinte diagrama
	fasorial:
	110	0, 714VGZIIOV
16,
4, 76 Q
	x
	
	4 76
377
	
	126mH
	VR 
	cos
	110 
			 77V
	
77v
4,66 Q
	1	16, 5A
Na figura 3 . 39, a associaçao é de um RC série em parale
10 com um RL serie. A análise é feita de maneira analoga ao cir
	
	cuito da figura 3.38.
A impedância de cada ramo e
	
			RI 2 + (CDLI ) 2
e a corrente em cada ramo vale
	
	
	1 
	1
2	z
2
	
	O ângulo de fase entre a
ramo , sera:
	cos 	cos
	tensao VG e a corrente em
	cada
	A figura 3. 39b mostra o diagrama fasorial, onde o
10 de fase da tensao é 90 0 .
	angu
	
	No caso do ramo 1, a corrente está atrasada de um	angu
10 em relaçao a tensao, pois tem uma indutancia. No ramo 2 , como existe um capacitor, a corrente esta ra adiantada de um angu
	Io 	em relaçao a tensao.
	Figura 3. 39
Da figura 3.3 9a tiramos:
	( b)
	
	
				 1 1	sen 
	IY I 
	1 1
	cos 
		lx 2 1 2	sen 4)2
	1Y2 
	1
2
	cos (ê 2
+ 1y2
	1	cos
1
Exemplo :
Na figura 3. 39a, são dados R4 Q XL I
	XC 249, VG	110V f — 60Hz, calcular:
a) valores de T I
b) valor de I
c) f ator de potência do circuito
impedancia no circuito
e) potencia aparente, real e reativa solução:
a)	
22A
- 22A
b)
	o, 83 	6 0
	cos (P 2 
	
	6
	
	
	1 sen
	 22
	 0, 6 13, 2A
	
	1cos
1
	- 22
	 0, 8 17 , 6A
	
	2 sen
	 22
				 — 17,6 A
	IY2	
	 cos
	 22
						 13,2A
2 lx	- 1x 2	13, 2 - 17, 6
Isto significa que I está adiantada em relação a tensao projeção de I no eixo horizontal está do lado esquerdo do xo vertical) .
	17, 6 + 13 ,2	30, 8ÄQ
- 31, 1 IA
O, 989 (capacitivo)
llov
	1	31, 1 IA
	1	11031, 11 - 3 .422 V.A
	1	cos3 .422	0, 989	3.387 w
	1	sen3 .422	o, 141	483, 9 V. Arc
Exercícios Propostos
1 - Com relação ao circuito, pede-se calcular:
a) 1 1 2 e IT desenhar o diagrama fasorial
c) a impedância total e o F. P do circuito se o F. P for menor que 0,85, calcular o capacitor que eleva o F. P para 0, 85
	
	RI : 30n
LIZO 2 H
	12
R2 : lon
220 v 60 Hz
1-2 : o,l H
	2	No circuito, calcular:
 valor de I I, 1 2 e IT
b) tensao em cada componente
c) impedância do circuito e angulo de defasagem
d) potencia real, aparente e reativa do circuito
IT
	
	
	XL : aon
RI :60n
	12
	
	
	
	
220a
60 Hz
3 - Dado o circuito, calcular:
a) IR, IL, IC e IT
b) angulo de defasagem
c ) potência real, aparente impedância
e) recalcule os í tens b, c e d se retirarmos C.
	
	
	
	
	
	Ic
	
	
	
IIOV
60 Hzc
Soluçao dos Exercxcios Propos tos
Item 3-4
VG (180V)
112
107
1 ) a ) z36Q
b)180V
- 56 , 20
	PAP
	900VA
	P	500W
f)500
748 VA ri
2)- 	KVA
P1980W
c) Pr = 959 vAri
3 ) a ) z166, 7 Q	160mA
b) 212 Hz
c) ) cos
a ) z25 0
b) R200
c )
5) a ) PAP2, 2 KVA
1760W
c )
pr1, 32 KVA
17 , 6 n XL - 13, 2 Q
6) 122, 7Ä
7) a ) L477 rnH
b)
c z5K Q
	
	
	(3mW)
	(5mW)
	
	p (4mW)
Item 3.5
1) a ) z	2400
b) IL12, 5mA	IR	16, 66mA
c) L1, 06H
d )0 , 8
	29, 36 sen	53, 130 )	(mA)s 
(mA)
17 , 62
	23 , 5	900 )
2) a ) VG - 3 , 14V
b) TR300mÄ	R	10, 46 Q
c) )1, 13VAo, 942W
d) )0, 83
200918, 4rnH
Item 3.8
a) 126, 6mA
b) VR2 , 66 V4, 23V
57, 80
	1000	c15 , 3
	a ) VG	112, 8V
159 sen 0t	112, 8 . sen45, 20 ) i	282 sen (Wt + 44, 80 )
c)
4) c	23 , 57uF
a )	98, 38V	49, 19V
b c
26, 50
6) a) PAP880VA
748W
c )463 VArc
Iłem 3.9
I) a ) z980 n
 11 , 30
	c) 110, 2mA1 OmA	— 2mA
2) a) R282, 8 n
 9, 38 uF
3) 2 , 64mA
b)26, 4V
48, 7 0
O, 3 uF
Iłem 3. 10
	I) Cm in7 5pF	CmáX	434pF
2) a )3, 18 MHz
b) 16 , 6mA a ) R100 Q
b) xc - 346 Q
c) 173 Q
Tłem 3. 11
	1 ) a )TLTc	25A
b) IT3, 1 n
2) a ) L2 , 5mH
b) z1020 Q
	3 ) a ) z28, 2 Q	R	44 Q	22 Q5501
	
	w
	
	IR(5A)
I L (IOA)
c )
Item 3. 12
1) a ) 145,45A p5000W c) pr8. 666 VAri
d) c305 'OF
e) ) 126, 77A f) PAP5 . 889VA	Pr	3 . 101 VAri
2 ) a ) 111, 22A
 19, 6A
- 11 , 3 0
3) a ) 26, 72 a,4, 71Ä	IL = 2, 92A,	IT5, 54 A
b) cos cp	O, 966 nao há necessidade de correçao
c) ) cos (P	O, 532 há necessidade de correçao com C21, 5ÞF
4) cos1 20KW 816KW
cos (P612KW
0, 48KW coso, 2 4KW
 9, 6 Q
7, 2Q
c ) z129
6)	1 KW22 9
2 , 2KVA0 , 45
	1, 96KVA	f) c	74, 5 uF
Item 3. 13
		11 - 2, 71A	128, 33A
b)
220 v
c) cos Q — o, 29226,4 
d)
	
	c
RZ 7.72n
220 v
220V60HzZ' ( cos() 0,85)
60 Hz
XL 25.2n
78, 5uF
	2) a) 1 13, 48A	1 2	5, 33A6, 14A
b) VL69, 6 V VRI208, 8V vc213, 2V VR253, 3V
c) 35, 8Q41 , 60	(capacitivo)
	 1010W	PAP1350VA897VArc
	a ) TRO, 55A	IL 0, 58A4 14 A
PAP62, 7VA
	60, 3W	PAP	88VA	z	1 37 , 5 0
CAP 4
CIRCUITOS EM C.Ä. ANÁLISE COM NÚMEROS COMPLEXOS
A analise de circuitos feita nos capítulos anteriores, considerando tensao, corrente e impedancia como um fasor, permi te urna soluçao gráfica. Atraves dos numeros complexos e suas propriedades e possxvel fazer a mesma analise.
4.1 NÚmeros Complexos
Chamamos de numero imagina rio puro a todo numero do tipo - 1 -25 -10 Seja j —I, os numeros anteriores po dem ser reescritos: -4 j2, -25 j 10 . Da definição de j segue que: j - 1 ,
 1, etc.14 
_
Um numero complexo generico e um numero do tipo: Z= X+jy onde x e y sao reais.
Exemplos: Z 1 -2+j3, z 3 -4 -j 3, Z LF 4—j3, j4, z 6 4 .
Um numeros complexo pode ser representado atraves eixos coordenados.
	
	Imaginário
	
	—6—5+—3-2—1 
	
	Real
Figura 4 . 1
A forma de representar um numero complexo vista anterior mente (Z x + j y) , é chamada forma cartesiana ou retangular.
Seja um numero complexo Z x + jy, representado no pla no cartesiano.
O segmento r e o mÓdu10 do numero complexo e e e o argumento de Z .
		x
Figura 4. 2
Na figura 4.2, podemos escrever: Z r (cose + j sene) que é a forma trigonometrica. Uma maneira de representar um numero complexo, muito usada na soluçao de circuitos, e a forma polar:
Exemplo I:
Representar os numeros 
 10, z 5	-10, z 6 — —j 5 na forma polar.
	
	
	
	
	r3=5
93=900
	
	
	
	900
510
	
	
	
	-j5
	— 900
 180 0
Exemplo 2:
Transformar os numeros ZI 10 450 , 5 para a forma retangular.
	10	sen4507, 07
X I = 10 cos450 = 7 , 07
7 ,
	5	sen3002 , 5
	5	cos 30 04 , 33
33 + j 2, 5
 sen (—20-1 , 37 cos (—203, 76
	3 , 76	j 1, 37
4.2 Operaçoes com Numeros Complexos
4.2.1 Soma e SubtraçaoPara somar ou subtrair dois numeros complexos ,	somam—se ou subtrai-se em separado, as partes real e imaginaria.
Exemplo 3 :
Z
4.2.2 Multiplicação e Divisao
Para multiplicar ou dividir dois numeros a maneira mais simples e usando a forma polar. Exemplo 4:
Sejam 
isto é, multiplicam—se os mÓdu10s e somam-se os argumentos.
	25
	
	1430
na divisao, dividem-se os mÓdu10s e subtraem-se os	argumentos .
	5
	
	5
	900
	370
1
	Exercxcios
	Propostos
	
	
	1
	— Converter
	para a
	forma polar:
	a )
	z					
	j10 j 150
	
	c)
	z	500 
	j 300
	
	2
	— Converter
	para a
	forma cartesiana:
50001 750a)
250 1 -60 0
	3
	Dados os numeros
	complexos :
	4
	j 10,
	z 2=15
 — 3 + j 5, efetuar:
4.3 Impedância Complexa
	(b)
Figura 4 . 3
	
	Como vimos, um numero complexo tem um modulo e um
	argu
	mento (ângulo) , um fasor tambem tem um mÓdu10 e uma fase
	( ângu
4.3.1 Circuitos RL
	Consideremos o circuito RL serie do capítulo diagrama fasorial.
	3 .
	o
	seu
10 ) . Isso sugere que elementos de circuito, t ensoes e correntes possam ser representados na forma de numeros complexos. Por exem PIO, a tensao no indutor VL l v 1 1 90 0 a tensao no resistor
I VR I l o o e a corrente I (o ponto em c ima sig nifica uma grandeza com mÓduIo e fase) .
Como e válida a 1 a Lei de OHM em C. A, para o indutor 
remos :
	XL VL	I VLI 1 90 0	I XLI 1 90 0
	00
	I I I	
como I XL I w L a reatancia indutiva e representada como um nume ro complexo puro.
joL
De maneira analoga para o resistor
I VRI
I I I
isto e , um resistor e uma impedancia com parte imaginaria nula. A impedancia do circuito RL serie na sua representação complexa e :
	arc tg
z = R + _jwL
Exemplo 5 :
Dar as expressoes da corrente e calcular o angulo de fasagem:
Dados: sen cot (V)
nos calculos usamos o valor efi caz (VG)
	z	1370
5
1—370
	i	4	2	sen ( tot-37 0 ) (A)
O diagrama fasorial correspondente 
Observe que as expressoes da tensão do gerador e da cor rente poderiam ser:
20 .x]î . + 37 0 ) (v)
sem) t (A)
O diagrama fasorial é:
O que importa e que num caso ou no outro, a corrente es tá 37 0 atrasada com relaçao a tensao.
Exemplo 6:
Determinar a impedancia e a corrente do circuito:
	120 900
11
j60(A)
z
Solução :z
z
48 
153 
0
	70
1 2 , 5120 
1 
48 
1 
compare esses resultados com os do primeiro exercicio	resolvi do do capítulo 3 . 5.
4.3.2 Circuitos RC
Da mesma forma que fizemos com os circuitos R L, os cir cuitos RC tambem podem ser representados na forma complexa . Con sideremos um circuito RC serie e seu diagrama fasorial, figura
4 . 4 .
	(a)	(b)
Figura 4 . 4
Na figura 4.4b, temos que :
iIII 
Como
onde	I xc I	1
logo , a reatancia de um capacitor representada na forma complexa
1
-j
se multiplicarmos o numerador e o denominador, da ultima expres sao, por j e lembrando que j -I, teremos a outra forma com plexa da reatancia capacitiva.
1
xc
O resistor corno ja foi visto, na forma complexa nao tem parte imaginaria.
Lembre-se que o diagrama fasorial da figura 4. 4b gira com velocidade angular e que a posiçao em que foram coloca dos os fasores e pura conveniencia, eles poderiam ser representa dos como na figura 4.5.
Figura 4. 5
O que importa e que, num caso ou no outro, a	corrente no circuito está adiantada em relação a tensao (VG) .
A tensao VG, que também pode ser representada na	forma complexa, é obtida somando—se VR com V c, isto é :
se dividirmos esta expressao por I, resulta:
onde	impedancia complexa do circuito
resistencia do circuito
reatancia do capacitor desta forma , a impedancia do circuito valera :
j 
Exemplo 7:
Com relaçao ao circuito, pede-se:
a) impedancia complexa
b) expressao matematica da corrente
c) desenhe o diagrama fasorial
Soluçao:
a)
z
b)
1
 3 7 0 )
c)
VG ( IOV)
Exemplo 8:
No circuito, determinar:
		impedancia complexa
b) expressao matematica da corrente do gerador
c ) desenhar o diagrama fasorial
· 265 Q
· 0, 84
4.3.3 Circuitos Mistos
Na resoluçao de um circuito com mais de uma malha, e que aparece a vantagem da resoluçao, usando numeros complexos.
Exemplo 9:
Para o circuito determinar:
a) impedância complexa
b) corrente do gerador e em cada ramo
c) diagrama fasorial
50020 9Solução:
50080 9
	110	2 sen wt (v)
110
iG
za)
	21 , 8 0
	z		50 + j 20	53, 3
	z	j80	94, 3
2
		179, 80
	53 , 3
	21 , 80
	94 , 31 580
	( 50+j20) + ( 50+j80)	j100	141 1450
	z	3 5, 6 1 34 , 8 0
b) z	1 34, 8 035,6 
	3, 09 	2	sen (Ot 34, 8) (A)
	-21 , 80
1 2 , 0653,3
121,80
21, 8 0 ) (A)
1 , 1606 
. 
X/T.
1 
c)
(3,09AY
circuito, 
determinar:
3,53 
1-8,2 
Exemplo 
10:
160
156
	, 20
110 1 90 0 5 1 36, 8 0
	22	
	i	- 22
	2	sen
	53 , 2 )
	(A)
	1	
	1 10
	143, 10
			5 1 -53 , 10
	
	
	i	22 	2	sen
	143 , 10 )
	(A)
	1 222	
c)	
Exemplo II :
Determinar no circuito, a impedancia e todas as	corren tes.
IO
110
-j5
Obs. : valores em ohms
Solução:	= IO+j5
110
0 
12-0 
'V 
110019-0
	37, 20
110120	z ( 3 , 11 + 
z j9,98 - 16 , 47
1 10 1 0 0
	1 16, 68 1 -37, 2 0	( A )
16, 47 1 37 , 2 0
	—37, 20
	20, 80
	58 0
	 = ž 14	i	5 , 87 	6, 68	39, 2
	20, 80
39, 2
	1 2- 4, 17	152, 80	(A)
9, 4 1 -320
39, 2 1 20, 80
	1- 7 , 84 1 -69, 20	(A)
3
5 1 90 0
	Exercxcios
	Propostos
	
	1 si pada .
	No circuito,
	determinar
5010
—j 
10
circuito.
—j 
10
2 
	20
—j 
10
	
	00
3 No circuito, determinar T 1 e
	10	—j5
	
	
	
	
	12
	
	
	
	I l
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
10
j i 5
val ores em ohms
1 3 e a potência dis
val ores em ohms
valores em ohms
1 2 - 5	(A)
4 Dar a expressão de vx(t) no circuito.
IO
IO
141 sen ( Ot + 116,6 0 ) (v) valores em ohms
5 Determinar a potência dissipada nas resistencias do exerci cio 4.
Solução dos Exercícios Propostos
Item 4.2
	-63 , 40
1) a ) z = 22 , 3
180, 3 1 56, 30
	— 310
	c) z	 583 , 1
a) z1294 j4829
- 125 - j 216
3) a ) 17 j2, 5	 o, 54 1 127 , 20
	-50, 60
	b) -10 -j2,5	e) 2, 95
	c) 62 , 8
Item 4.3.3
	
	78, 70
	-11 , 30
1) 1 19	(A) i 20, 49	(A)
	, 70
1 30 , 69
P48W
	-33 , 30
	 j 197	358	(v)300
	—24, 30
3)7, 29	(A)90, 36 (v)
	
	31 , 44
	 sen ( ot +
	116 , 60 )
	(v)
600W
CAP. 5
CIRCUITOS TRIFÁSICOS
5. I Introduçao
De uma forma generica, em um sistema polifásico existem duas ou mais t ensoes de mesma frequencia mas com fases	diferen tes. O sistema polifasico e simetrico se as tensoes sao	iguais e defasadas entre si por um angulo 2 T/ n, onde n e o numero	fases.
	Se cada tensao ou fase atuar independentemente das	ou
tras, dizemos que o sistema e nao interligado. A grande desvanta gem do sistema e que usa um numero muito grande de fios	(2n) , por exemplo no caso de um sistema trifasico seis fios	deveriam ser usados. Num sistema polifásico interligado, as fases indivi duais sao interligados eletricamente.
Em relaçao a um sistema monofasico, o sistema polifasico apresenta algumas vantagens:
a) A mesma potencia eletrica pode ser transmitida, usando fios de bitola menor (mais finos) . É claro que a vantagem so apa rece quando a potencia for alta, por isso mesmo em sistemas de pequena potência ( residencias por exemplo) a linha monofá sica e preferida.
b) Com um sistema polifásico pode ser produzido urn campo	ma gn e tico girante, usado no acionamento de maquinas s 1 ncronas.
5.2 Sistema Trifásico
A figura 5.1 mostra o princípio de funcionamento de	um gerador monofásico. A espira (enrolamento na pratica) girando no campo magnéËico sob a açao de uma força externa (turbina,	motor diesel, etc) faz aparecer uma tensao induzida nos terminais	da espiras, a qual esta ligada a aneis coletores . Através de esco vas é feita a ligaçao entre o circuito externo e a espira.
	
s
Figura 5 . 1 a
Figura 5 . Ib
A f . e. m obtida nos terminais da espira e dada por:
seno • t
onde VM (tensao de pico) é proporcional a B (campo	magnetico) , £ ( comprimento do condutor) e v (velocidade tangencial do dutor) , 	e a velocidade angular (rd/s) da espira.
Para gerar a mesma f . e . m, ao inves da espira girar num campo magnético estaciona rio, pode-se ter um campo girante espira fixa, figura 5.2, o efeito e o mesmo.
CARGA
Figura 5 . 2
Num gerador trifásico, sao tres os enrolamentos com uma separaçao de 120 0 entre eles.As tensoes induzidas ser ao também defasadas de 120 0 . A figura 5 . 3 mostra esquematicamente um gera dor trifasico. No estator, estao os tres enrolamentos com um mes mo numero de espiras e separados fisicamente de 120 0 Os pontos A, B e C representam uma das extremidades e os pontos X, Y e Z respectivamente a outra extremidade.
x
Figura 
5.3
z
Podemos observar que, nesse caso o campo magnético e gi rante e os enrolamentos (I, II, T IT) onde sao obtidas as tensoes (e l , e 2 , e 3) são 'fixos.
O enrolamento que produz o campo magnético e energizado a partir de uma fonte c . c independente, ou a partir da retifica ção da propria tensao obtida do gerador ( auto—excitação) . A cor rente vai para o enrolamento atraves de aneis coletores. Sejam e l , e 2 e e 3 as tensoes induzidas respectivamente nos enrolamen tos I, II e T TI . As suas expressoes matematicas serao:
senat sen (	1200 )
	sen ( ujt	2400 )
O gráfico e a representaçao vetorial das tres tensoes sao dadas na figura 5.4
Figura 5 . 4
Se cada fase do gerador e conectada a circuitos separa dos, teremos um sistema trifasico nao interligado, o qual neces sita de seis fios para as ligaçoes com a carga trifasica.
CARGAc
Figura 5 . 5
Está claro que tal sistema nao e economico, nao sendo usado na prática. Os metodos de se interligar as fases em um sis tema trifasico sao dois: a ligaçao estrela (Y) e a ligação em triângulo ( A) .
5.2.1 Ligação Estrela
Nesta ligaçao, todos os finais dos enrolamentos sao ter ligados, formando um ponto chamado de neutro ( O) o qual é li gado ao neutro da carga. O sistema assim obtido tem quatro fios de ligaçao. Comparando com o circuito da figura 5. 5, observamos que neste sao necessarios tres fios para retorno, enquanto ligaçao estrela um unico fio e usado para retorno.
Figura 
5.6
A corrente no fio neutro e igual a soma vetorial das tres correntes de fase (IA, IB e Tc) isto é: i N iA + iB + ic
O ponto em cima da letra indicadora da corrente signifi
ca que a grandeza em questao e vetorial (tem mÓduIo e fase) .
As tensoes medidas entre os terminais do gerador (pontos A, B e C) e o neutro ( O) são chamadas de tensão de fase (VA, VB ou Vc) , genericamente V f.
As tensoes medidas entre os terminais sao chamadas	de tensão de 1 inha (VAB' V BC' v CA) ' genericamente V Z. Na	figura
5.6, as setas das t ensoes dao a orientaçao positiva (arbitraria) logo podemos escrever:
	V BC = VB - V C 	VCA= VC - VA
As tres expressoes• acima significam que em cada instante a tensão de linha ( VAB, VBC, VCA) é igual à diferença entre os valores instantaneos das respectivas tensoes de fase. Colocando isso num diagrama vetorial:
(b)
Com auxílio da figura 5.7 b, podemos determinar a relaçao existente entre tensao de fase (V f) e tensão de linha (V 9,) . acordo com a trigonometria, no triângulo COB temos:
		sen 120 0
	sen1200	sen 30 0	sen 30 0
	sen 120 0	sen 30 012
2 resultando:
	2 	(48)
na ligaçao estrela balanceada.
Na f igura 5 . 7 c, st 1' e sao respectivamente os angu 10s de defasagem entre tensao e corrente nas fases 1, No caso de carga balanceada
Na figura 5.6, a corrente que percorre cada fase e chama da de corrente de fase, designaremos genericamente por T f. À cor rente, passando na linha que liga o gerador com a carga, chama remos de corrente de linha, genericamente I L.
	De acordo com a figura 5.6 em uma ligaçao	em	estrela
A carga será balanceada quando Z l, Z 2 e Z 3 forem iguais em mÓduIo e fase. Se por exemplo Z 1 R I 50 Q, Z 2 = 50 Q e 1/ wC3 50Q o mÓduIo sera igual mas as fases ser ao diferen tes, a carga será desbalanceada.
Em um sistema balanceado, a corrente no fio neutro e nu Ia, isto pode ser demonstrado lembrando que IN = IA + IB + IC e
que
IA z
	z	z
	1	2
Figura 5 . 8
No instante	— O. O valor de IA e igual ao de	mas com fase oposta, desta forma um anula o outro. No	instante t 3 temos situaçao análoga. No instante t 2 a fase A esta no maxi mo valor positivo. No mesmo instante as correntes nas fases B e C sao iguais e negativas e somadas resulta um valor igual a TA. Novamente, a corrente total no neutro e zero. Se repetirmos	mesmo raciocxnio para qualquer instante, obteremos o mesmo resul t ado. Concluímos que, se a carga for balanceada nao havera neces s idade do fio neutro.
A importancia do fio de retorno e melhor	compreendida considerando os seguintes exemplos:
Exemplo I :
Seja uma carga trifásica em Y nao balanceada com RA=IOQ
20Q e Rc	30 Q sem f io de retorno.
c
	No caso de carga balanceada (RA = R B	RC) vA
VO = O (não há necessidade do fio de retorno) . ' No caso de carga desbalanceada VA VA VO O ( {7
O diagrama vetorial a seguir representa uma cargac
vac	c carga balanceada	carga desbalanceada
No caso de RA = O, o ponto neutro ( O' ) coincidirá com o fases crescerá 3 vezes ( sera No caso de RA igual a infinito (circuito aberto) as	re sistencias R B e RC ser ao conectadas em serie entre B e C, o ponponto 
igual 
to neutro (O' ) coincidirá com o ponto D.
c 
c
Desta forma, se RA variar de zero a infinito, o ponto neutro da carga (O ' ) se qeslqcará de A até D.
Como as tensoes VA, VB e VC representam as t ensoes na carga, concluímos que elas serao diferentes num sistema na o ba lanceado sem fio de retorno, sendo proporcional a resistencia da respectiva fase.
O problema torna—se de particular importância em instala çoes industriais com um numero muito grande de lampadas.	Quanto maior o numero de lâmpadas ligadas a uma determinada fase, menor a sua resistencia equivalente, portanto menor a tensao da fase. As lâmpadas brilharao menos.
O problema pode ser solucionado colocando um fio neutro, garantindo que a tensao da fase sera constante.
5.2.2 Ligaçao em Triângulo
A figura 5 . 9 mostra outra maneira se ligar o gerador trifasico com cada gerador independente do outro. Novamente, te mos o problema do numero excessivo de fios.
Figura 5 . 9
A figura 5. 10 mostra um sistema trifásico ligado em tri angulo ou delta. Do circuito tiramos as seguintes relaçoes:
Figura 5 . 1 0
O diagrama vetorial das correntes e tensoes esta repre sentado na figura 5 . 11.
( a )
Figura 5 . 1 1
Na figura 5. 11a, (h e sao os angulos de defasagem entre a tensao e a corrente em cada fase. NO caso de carga balan ceada
1 3 -
A relaçao entre a corrente de fase (I f) e a corrente de linha (T z) pode ser determinado no triângulo da figura 5. 11 b, de maneira análoga ao que foi feito com a tensao de linha e tensao de fase na ligaçao em estrela, resultando:
		( 49)
Exercícios Resolvidos
	1	Determinar a corrente no fio neutro no circuito.
c12n
Ic
Soluçao:
Como as cargas sao resistivas, as correntes de linha es t arão defasadas de 120 0	valendo:
	 120V12A,120VIOA,	120V = 6A
	12 Q	20 Q	
	(5,3A)
	
	IB (IOA)
	IBy
	IA (12A)
	IBX
	300
Icy
	
	IBX	10	cos600	TBy10	sen6008,66A
	Tcx	6	cos 60 0	Icy6	sen6005, 2A
 12Ao,
	lx	5, 2
5 , 3A
2 - A tensao de linha aplicada a um motor cujos enrola mentos tem 20 Q de impedância é 220V. Calcule as correntes de linha e as correntes de fase se o motor e ligado em triangulo.
Solução:
220V20n
 11 A
	z	20 Q
19A
Observe que apesar do motor ser projetado para uma ten sao de 220V quando ligado em triângulo, ele pode ser ligado uma tensao de linha de 380V, se os seus enrolamentos forem liga dos em estrela.
VE380V
Como na ligaçao estrela
	 220V	11 A
os enrolamentos trabalharao nas mesmas condiçoes quando ligados em triangulo.
Por tudo o que foi visto anteriormente, e que a maioria dos motores permitem o acesso aos seis terminais dos enrolamen tos. Assim, se na placa do motor estiver escrito 220/380V, sig n i fica que os enrolamentos devem ser ligados em triangulo se a tensao de linha é 220V e ligados em estrela para 380V.
	
c c
	
	x
	c	
5.3 Potencia em Sistemas Trifasicos
Como ja foi visto no capítulo 3.4, a potencia real (ati va) num circuito monofásico é dada por:
cos (i (W )
onde V f e T f sao respectivamente a tensao e a corrente de	fase e o angulo de fase entre eles.
No caso de um sistema trifasico balanceado, a potenc ia de cada fase e a mesma, desta forma a potencia total das tres fases e:
	P	3 .Vf cos tþ ( W