MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO 5

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PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
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Aula 4 – Matemática e Raciocínio Lógico – Senado Federal 
1.  Comentários .......................................................................................................................... 2 
2.  Ângulos .................................................................................................................................. 2 
I.  Ângulo reto, agudo, obtuso .............................................................................................. 2 
II.  Bissetriz de um ângulo ...................................................................................................... 3 
III.  Ângulos complementares, suplementares e replementares ........................................ 4 
IV.  Ângulos opostos pelo vértice ........................................................................................ 4 
3.  Paralelismo ............................................................................................................................ 7 
I.  Lei Angular de Tales .......................................................................................................... 9 
4.  Polígonos ............................................................................................................................. 11 
I.  Polígono Regular ............................................................................................................. 12 
II.  Número de diagonais de um polígono de n lados .......................................................... 13 
III.  Soma dos ângulos internos de um polígono convexo ................................................. 17 
5.  Classificação dos Triângulos ................................................................................................ 24 
I.  Síntese de Clairaut ........................................................................................................... 26 
6.  Teorema de Tales ................................................................................................................ 29 
7.  Teorema de Pitágoras e suas aplicações ............................................................................. 33 
I.  Diagonal do quadrado ..................................................................................................... 33 
II.  Altura do triângulo equilátero ......................................................................................... 34 
8.  Semelhança de Triângulos .................................................................................................. 43 
9.  Quadriláteros ...................................................................................................................... 48 
I.  Trapézios ......................................................................................................................... 49 
II.  Paralelogramo ................................................................................................................. 50 
III.  Losango ....................................................................................................................... 51 
IV.  Retângulo .................................................................................................................... 51 
V.  Quadrado ........................................................................................................................ 52 
10.  Circunferência e Círculo ...................................................................................................... 58 
I.  Corda, diâmetro e tangentes .......................................................................................... 72 
II.  Relações entre cordas e secantes ................................................................................... 80 
11.  Triângulos, circunferências e áreas ..................................................................................... 82 
12.  Questões FGV ...................................................................................................................... 86 
13.  Relação das questões comentadas ..................................................................................... 90 
14.  Gabaritos ........................................................................................................................... 104 
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1. Comentários 
 
Olá pessoal! 
Vamos iniciar a aula 4 do nosso curso de Raciocínio Lógico e Matemática para o 
Senado Federal. Apesar de este assunto aparecer explicitamente no edital 
(geometria), não encontrei muitas questões de concursos da FGV, exceto em provas 
de concursos para Professor de Matemática. Por se tratar de um concurso com 
Matemática como matéria específica, deixei para comentar tais questões no final da 
aula como um “extra”. Mesmo assim, não resolverei algumas questões desta prova por 
estarem envolvidos assuntos avançados de Geometria como Teorema de Menelaus, 
Teorema de Pappus, tópicos de Geometria Espacial (troncos de cone), dentre outros. 
Sem mais delongas, vamos começar. 
2. Ângulos 
 
Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem. Essas semi-retas são os 
lados do ângulo e a origem comum das semi-retas é o vértice do ângulo. 
 
 
 
 
O vértice do ângulo é o ponto O. Os lados do ângulo são as semi-retas AO e OB. 
I. Ângulo reto, agudo, obtuso 
 
Os ângulos são medidos em graus ou em radianos. Nesta aula trabalharemos apenas 
com graus. Na próxima aula (trigonometria) trabalharemos com os ângulos medidos 
em radianos. 
Quando as semi-retas que formam o ângulo são opostas, dizemos que o ângulo é raso 
e sua medida é, por definição, 180º (180 graus). 
 
 
 
 
 
 
Pois bem, a partir da figura anterior, vamos traçar uma semi-reta que divida 
A
B
O 
O
180º
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exatamente o ângulo ao meio. Teremos dois ângulos de 90º que são chamados de 
ângulos retos. 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo reto. 
Ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto e menor que um ângulo raso. 
 
 
 
 
 
Podemos dizer que o ângulo de 1 grau (1º) é um ângulo reto dividido em 90 partes 
iguais. 
O ângulo reto tem 90 graus (90º). 
Existem ainda submúltiplos do grau. Dizemos que um grau (1º) é igual a um ângulo de 
60 minutos (60’). 
1° ൌ 60Ԣ 
Podemos ainda dizer que o ângulo de um minuto (1’) é igual a um ângulo de 60 
segundos (60’’). 
1ᇱ ൌ 60ԢԢ 
II. Bissetriz de um ângulo 
 
Considere um ângulo de vértice O. Uma semi-reta interna ao ângulo e que o divide em 
dois ângulos congruentes. 
 
 
 
Quando este símbolo aparecer em 
alguma  figura,  estará  indicado 
que se trata de um ângulo reto. 
O
Ângulo agudo 
Ângulo obtuso
O 
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III. Ângulos complementares, suplementares e replementares 
 
Dois ângulos são complementares se e somente se a soma de suas medidas é 90º. 
Um deles é o complemento do outro. 
Se um dos ângulos mede ݔ, diremos que a medida do outro é ܿ݋݉݌ሺݔሻ ൌ 90° െ ݔ. 
Por exemplo, o complemento de 30º é ܿ݋݉݌ሺ30°ሻ ൌ 90° െ 30° ൌ 60°. 
Dois ângulos são suplementares se e somente se a soma de suas medidas é 180º. 
Um deles é o suplemento do outro. 
Se um dos ângulos mede ݔ, diremos que a medida do outro é ݏݑ݌ሺݔሻ ൌ 180° െ ݔ. 
Por exemplo, o suplemento de 30º é ݏݑ݌ሺ30°ሻ ൌ 180° െ 30° ൌ 150°. 
Dois ângulos são replementares se e somente se a soma de suas medidasé 360º. Um 
deles é o replemento do outro. 
Se um dos ângulos mede ݔ, diremos que a medida do outro é ݎ݁݌ሺݔሻ ൌ 360° െ ݔ. 
Por exemplo, o replemento de 30º é ݎ݁݌ሺ30°ሻ ൌ 360° െ 30° ൌ 330°. 
IV. Ângulos opostos pelo vértice 
 
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são as semi-retas 
opostas dos lados do outro. 
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes (têm a mesma medida). 
 
 
 
 
 
 
 
 
ߙ  ߙ
Ângulos opostos pelo vértice 
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01. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Se dois ângulos são 
suplementares e a medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor, 
assinale a alternativa que indica a medida do menor desses dois ângulos: 
a) 25º 
b) 36º 
c) 43º 
d) 65º 
e) 137º 
Resolução 
Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180º. Em 
tempo, dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 90º e 
dois ângulos são replementares se a soma de suas medidas é 360º. 
Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por sup ሺݔሻ, o seu 
complemento é denotado por ܿ݋݉݌ሺݔሻ e o seu replemento é denotado por 
ݎ݁݌ሺݔሻ. 
Assim, tem-se as seguintes relações: 
supሺݔሻ ൌ 180௢ െ ݔ 
compሺݔሻ ൌ 90௢ െ ݔ 
repሺݔሻ ൌ 360௢ െ ݔ 
Voltemos ao enunciado: Dois ângulos são suplementares. Digamos que o 
maior meça x graus. Assim, o menor medirá (180 – x) graus. 
A medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor. 
ݔ ൌ 4 · ሺ180 െ ݔሻ െ 35 
ݔ ൌ 720 െ 4ݔ െ 35 
5ݔ ൌ 685 
ݔ ൌ 137௢ 
Atenção!!! A resposta não é a letra E!!! O problema pede o menor dos ângulos. 
Como os ângulos são suplementares, o menor ângulo será 180௢ െ 137௢ ൌ 43௢. 
Letra C 
 
 
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02. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Na figura 
abaixo, as duas aberturas angulares apresentadas são suplementares. Qual o 
valor da medida do ângulo X? 
 
 
(A) 100º 45’ 
(B) 106º 37’ 
(C) 98º 99’ 
(D) 360º 
(E) 111º 11’ 
 
Resolução 
 
Vimos na questão passada que dois ângulos são suplementares se a soma de 
suas medidas é 180º. Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por 
sup ሺݔሻ e 
 
supሺݔሻ ൌ 180௢ െ ݔ 
 
supሺ72௢83′ሻ ൌ 180௢ െ 72௢83′ 
 
Lembremos que 1º é o mesmo que 60’ (60 minutos). Assim, 180º = 179º60’ e 
72º83’=73º23’ 
 
supሺ72௢83′ሻ ൌ 179௢60′ െ 73௢23′ 
 
supሺ72௢83′ሻ ൌ 106௢37′ 
Letra B 
 
EP 1. Qual é o ângulo que excede o seu complemento em 58º? 
Resolução 
Vamos considerar que o ângulo mede ݔ graus. Desta forma, seu complemento é igual 
a 90° െ ݔ. 
Podemos reescrever o enunciado assim: 
Â݊݃ݑ݈݋ ݉݁݊݋ݏ ݋ ݏ݁ݑ ܿ݋݉݌݈݁݉݁݊ݐ݋ é ݅݃ݑ݈ܽ ܽ 58° 
ݔ െ ሺ90° െ ݔሻ ൌ 58° 
ݔ െ 90° ൅ ݔ ൌ 58° 
2ݔ ൌ 148° 
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ݔ ൌ 74° 
O ângulo procurado é 74º. 
EP 2. Determine dois ângulos suplementares, sabendo que um deles é o triplo do 
outro. 
Resolução 
Se um dos ângulos mede ݔ graus, então o outro medirá 180° െ ݔ. 
ݔ ൌ 3 · ሺ180° െ ݔሻ 
ݔ ൌ 540° െ 3ݔ 
4ݔ ൌ 540° 
ݔ ൌ 135° 
O outro ângulo é 180° െ 135° ൌ 45°. 
Resposta: Os ângulos são 135º e 45º. 
3. Paralelismo 
 
Duas retas são paralelas se são coincidentes (iguais) ou se são coplanares 
(pertencem ao mesmo plano) e não possuem pontos comuns. 
Para os nossos objetivos, vamos trabalhar apenas com retas paralelas distintas. 
 
 
 
 
 
 
 
As retas r e s são paralelas e indicamos assim: ݎ צ ݏ. 
Vamos agora considerar duas retas paralelas distintas r e s, e uma reta t concorrente 
com r e s. 
Desta forma, 8 ângulos importantes ficam determinados. 
 
 
 
 
r
s
8 7 
6  5 
4 3 
2  1 
r 
s 
t 
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Vamos considerar dois grupos de ângulos: 
Grupo I ՜ 1෠, 3෠, 5෠, 7෠. 
Grupo II ՜ 2෠, 4෠, 6෠, 8෠. 
Todos os ângulos do grupo I são congruentes entre si. 
Todos os ângulos do grupo II são congruentes entre si. 
Escolhendo-se um ângulo qualquer do grupo I e um ângulo qualquer do grupo II, 
certamente eles serão suplementares (a soma é igual a 180º). 
Se a reta t for perpendicular às retas r e s, então os oito ângulos serão congruentes. 
Resumindo: 
Vamos considerar que a reta t é concorrente obliqua. Então dos oito ângulos 
determinados, 4 são agudos e 4 são obtusos. 
Escolhendo-se 2 ângulos dentre os agudos, então eles são congruentes (têm a 
mesma medida). 
Escolhendo-se 2 ângulos dentre os obtusos, então eles são congruentes (têm a 
mesma medida). 
Escolhendo-se 1 ângulo agudo e 1 ângulo obtuso, então eles são suplementares (a 
soma é igual a 180º). 
03. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na figura abaixo, as retas r e s são 
paralelas. 
 
Se o ângulo a mede 44°30’ e o ângulo q mede 55°30’, então a medida do ângulo b é: 
a) 100°. 
b) 55°30’. 
c) 60°. 
d) 44°30”. 
e) 80°. 
Resolução 
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Tracemos uma reta paralela às retas “r” e “s” pelo ponto de interseção dos segmentos 
inclinados. O ângulo que fica acima da reta vermelha é igual a ߙ e o ângulo que fica 
abaixo da reta vermelha é igual a ߠ. Isso é verdade pois quando temos duas retas 
paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos agudos são congruentes. 
 
Assim, ߚ ൌ ߙ ൅ ߠ 
ߚ ൌ 44௢30′ ൅ 55௢30′ ൌ 99௢60′ ൌ 100௢ 
Letra A 
 
I. Lei Angular de Tales 
 
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º. 
 
04. (CGU 2003-2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 
2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a: 
 
a) 40° 
b) 70° 
c) 75° 
d) 80° 
e) 90° 
Resolução 
Se os ângulos do triângulo encontram-se na razão 2:3:4, podemos chamá-los de 2x, 
3x e 4x. Lembremos da Lei Angular de Tales: a soma dos ângulos de um triângulo 
qualquer é sempre 180º. 
Assim, 2ݔ ൅ 3ݔ ൅ 4ݔ ൌ 180௢ 
9ݔ ൌ 180௢ 
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ݔ ൌ 20௢ 
O maior ângulo é 4ݔ ൌ 4 · 20௢ ൌ 80௢ 
Letra D 
05. (Assistente de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Num triângulo ABC, o ângulo 
interno de vértice A mede 60º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos 
internos de vértices B e C mede: 
 
a) 45º 
b) 60º 
c) 90º 
d) 120º 
e) 150º 
 
Resolução 
 
A Lei Angular de Tales garante que ܣ ൅ ܤ ൅ ܥ ൌ 180°. Como ܣ ൌ 60°, então: 
 
60° ൅ ܤ ൅ ܥ ൌ 180° 
 
ܤ ൅ ܥ ൌ 120° 
 
Vamos traçar as bissetrizes dos ângulos B e C. Lembre-se que uma bissetriz é uma 
semi-reta interna ao ângulo que o divide em duas partes de mesma medida. A 
bissetriz do ângulo B o divide em dois ângulos de medida B/2. A bissetriz do ângulo C 
o divide em dois ângulos de medida C/2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos aplicar novamente a Lei Angular de Tales: 
ܺ ൅
ܤ
2
൅
ܥ
2
ൌ 180° 
ܺ ൅
ܤ ൅ ܥ
2
ൌ 180° 
Como ܤ ൅ ܥ ൌ 120°: 
ܺ ൅
120°
2
ൌ 180° 
ܺ ൅ 60° ൌ 180° 
X 
C/2 B/2 
60º 
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ܺ ൌ 120° 
Letra D 
4. Polígonos 
 
De acordo com o número ݊ de lados, os polígonos recebem nomes especiais. 
Número de Lados Nome do polígono 
3 Triângulo ou Trilátero 
4 Quadrilátero 
5 Pentágono 
6 Hexágono 
7 Heptágono 
8 Octógono 
9 Eneágono 
10 Decágono 
11 Undecágono 
12 Dodecágono 
15 Pentadecágono 
20 Icoságono 
 
O perímetrode um polígono é a soma dos seus lados. Temos o costume de indicar o 
perímetro de um polígono por 2݌ e o seu semiperímetro (metade do perímetro) por ݌. 
06. (Prefeitura Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Calcule o perímetro de 
um terreno retangular de medida 94 m e 36 m. 
(A) 320 m 
(B) 280 m 
(C) 260 m 
(D) 270 m 
(E) 300 m 
Resolução 
 
Temos o costume de denotar o perímetro (soma das medidas de todos os 
lados de um polígono) por 2p. 
 
Assim, 2݌ ൌ 94 ൅ 94 ൅ 36 ൅ 36 ൌ 260݉. 
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Letra C 
 
07. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Um pedreiro construiu 
um muro ao redor de um terreno retangular que tinha um perímetro de 96 metros. O 
comprimento desse terreno equivale ao triplo de sua largura. As dimensões desse 
terreno valem 
(A) 12 m por 36 m. 
(B) 25 m por 50 m. 
(C) 1 km por 12 km. 
(D) 15 m por 32 m. 
(E) 18 m por 36 m. 
Resolução 
Denotando a largura por x, o comprimento será 3x. 
 
O perímetro é igual a 96m. 
Assim, ݔ ൅ ݔ ൅ 3ݔ ൅ 3ݔ ൌ 96 
8ݔ ൌ 96 
ݔ ൌ 12݉ 
Assim, a largura é 12m e o comprimento 3 x 12 = 36m. 
Letra A 
 
I. Polígono Regular 
 
Um polígono que possui todos os lados congruentes (com mesma medida) é dito 
equilátero. 
Um polígono que possui todos os ângulos congruentes (com mesma medida) é dito 
equiângulo. 
 
 
Polígono equilátero  Polígono equiângulo 
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Um polígono convexo é regular se e somente se é equilátero e equiângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
É muito importante observar o seguinte fato: 
O único polígono que se é equilátero, então é equiângulo e se é equiângulo, então é 
equilátero é o triângulo. 
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, podemos concluir que 
cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede: 
180°
3
ൌ 60° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. Número de diagonais de um polígono de n lados 
 
Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não 
consecutivos do polígono. 
 
 
 
 
60º
60º
60º
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Um pentágono e suas 5 diagonais. 
Vamos deduzir a fórmula que fornece o número de diagonais de um polígono de duas 
maneiras: 
i) Argumento combinatório 
Um polígono de ݊ lados possui ݊ vértices. Para determinar uma diagonal devemos 
escolher dois dos ݊ vértices. Observe que uma diagonal AB é igual a uma diagonal 
BA. Portanto, não é relevante a ordem dos vértices. A priori, o número de diagonais 
seria igual a ܥ௡ଶ. 
Destas ܥ௡ଶ há alguns segmentos que são “pseudo-diagonais”. São os lados do 
polígono. Devemos das ܥ௡ଶ “pseudo-diagonais” retirar os ݊ lados. 
Portanto, o número de diagonais é igual a: 
ܦ ൌ ܥ௡ଶ െ ݊ 
ܦ ൌ
݊ · ሺ݊ െ 1ሻ
2 · 1
െ ݊ 
ܦ ൌ
݊ଶ െ ݊
2
െ ݊ ൌ
݊ଶ െ ݊ െ 2݊
2
ൌ
݊ଶ െ 3݊
2
 
ܦ ൌ
݊ · ሺ݊ െ 3ሻ
2
 
ii) Argumento geométrico 
Considere um polígono com ݊ lados. De cada vértice partem ݊ െ 3 diagonais. 
Subtraímos o número 3, porque não podemos “mandar” uma diagonal para o próprio 
vértice e nem para os vértices que estão “ao lado”. 
 
Vamos ver, por exemplo, um heptágono (polígono de 7 lados). 
Observe que cada vértice “manda” 4 diagonais (7 – 3). 
 
 
 
 
 
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Pois bem, então de cada vértice partem ݊ െ 3 diagonais. Isso é importantíssimo e já foi 
perguntado em prova!! 
Como são ݊ vértices, “então”o total de diagonais seria igual a ݊ · ሺ݊ െ 3ሻ. 
Porém, nesta conta cada diagonal é contada duas vezes, pois tem extremidades em 2 
vértices. Portanto, o número de diagonais é igual a: 
ܦ ൌ
݊ · ሺ݊ െ 3ሻ
2
 
08. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Assinale a 
alternativa que corresponde ao número de diagonais de um icoságono. 
a) 340 
b) 190. 
c) 170. 
d) 380. 
e) 95. 
Resolução 
Vamos lembrar os nomes dos polígonos em função do número de lados. 
 
Número de 
Lados 
Nome do polígono 
3 Triângulo ou Trilátero 
4 Quadrilátero 
5 Pentágono 
6 Hexágono 
7 Heptágono 
8 Octógono 
9 Eneágono 
10 Decágono 
11 Undecágono 
12 Dodecágono 
15 Pentadecágono 
20 Icoságono 
 
Portanto, o icoságono é um polígono com 20 lados. O número de diagonais de um 
polígono com n lados é igual a 
ܦ ൌ
݊ · ሺ݊ െ 3ሻ
2
 
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Assim, o número de diagonais do icoságono é igual a 
ܦ ൌ
20 · ሺ20 െ 3ሻ
2
ൌ 170 ݀݅ܽ݃݋݊ܽ݅ݏ. 
Letra C 
09. (AFT 2006/ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais 
determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um 
hexágono. Desse modo, n é igual a: 
 
a) 11 
b) 12 
c) 10 
d) 15 
e) 18 
 
Resolução 
 
Mostramos anteriormente a fórmula que fornece o número de diagonais de um 
polígono convexo. 
 
ܦ ൌ
݊ · ሺ݊ െ 3ሻ
2
 
 
De cada vértice partem (n – 3) diagonais. Isso porque não podemos traçar diagonais 
para o próprio vértice nem para os vértices adjacentes. 
 
Um hexágono possui 
 
ܦ ൌ
6 · ሺ6 െ 3ሻ
2
ൌ 9 ݀݅ܽ݃݋݊ܽ݅ݏ. 
 
Assim, se o polígono possui n lados, de cada vértice partem n – 3 diagonais. Dessa 
forma, 
 
݊ െ 3 ൌ 9 
 
݊ ൌ 12 
 
Letra B 
 
10. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 
2006/CETRO) Um joalheiro recebe uma encomenda para uma jóia poligonal. O 
comprador exige que o número de lados seja igual ao número de diagonais. Sendo 
assim, o joalheiro deve produzir uma jóia 
(A) triangular. 
(B) quadrangular. 
(C) pentagonal. 
(D) hexagonal. 
(E) decagonal. 
 
Resolução 
 
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O número de diagonais é igual ao número de lados. 
 
ܦ ൌ ݊ 
 
݊ · ሺ݊ െ 3ሻ
2
ൌ ݊ 
 
݊ · ሺ݊ െ 3ሻ ൌ 2݊ 
 
Como n > 0, podemos “cortar n em ambos os membros”. 
 
݊ െ 3 ൌ 2 
 
݊ ൌ 5 
 
 
 
 
 
Trata-se, portanto, de um pentágono. O pentágono possui 5 diagonais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Letra C 
 
III. Soma dos ângulos internos de um polígono convexo 
 
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com ݊ lados é 
௜ܵ ൌ 180° · ሺ݊ െ 2ሻ 
Quem sabe que a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180° pode 
facilmente entender a fórmula acima. Ou seja, saber o valor da soma dos ângulos 
internos de um triângulo permite calcular a soma dos ângulos de qualquer outro 
polígono convexo. 
Como exemplo, considere o polígono de cinco lados disposto abaixo (pentágono). 
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Vamos tomar o vértice de cima como referência. A partir deste vértice, quantas 
diagonais podemos traçar? 
Diagonal é qualquer segmento de reta que une dois vértices de um polígono. 
Embora eu tenha dito “qualquer”, este “qualquer” tem exceção. Cada lado do polígono 
liga dois vértices. Só que os lados não são diagonais. 
Então uma diagonal seria qualquer segmento de reta que liga dois vértices não 
adjacentes de um polígono. 
Para exemplificarmos, vamos tomar como referência o vértice de cima (destacado em 
vermelho na figura abaixo). 
 
Queremos construir diagonais a partir deste vértice. As diagonais devem ligar este 
vértice aos demais. 
Não podemos ter diagonais ligando este vértice aos dois vizinhos, pois aí teríamoslados. Não podemos ter diagonal ligando este vértice a ele próprio. 
Assim, dos 5 vértices do pentágono, este vértice em destaque só pode formar diagonal 
quando ligado a dois dos demais vértices. Ou seja, só é possível construirmos 2 
diagonais a partir dele. 
Abaixo detalhamos as duas diagonais: 
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Você pode guardar isso como regra. A partir de um vértice, sempre conseguiremos 
traçar 3−n diagonais (onde n é o número de vértices do polígono). 
Por que precisamos subtrair 3? 
Porque não podemos formar diagonais com os dois vértices vizinhos, nem com o 
próprio vértice em análise. 
→ 
Número de diagonais que partem de um dado vértice do polígono de n 
lados: 
3−n 
Muito bem, traçadas as duas diagonais, nós conseguimos dividir o pentágono em 3 
triângulos. Ora, se a soma dos ângulos internos do triângulo é 180 e com 3 triângulos 
nós formamos um pentágono, então a soma dos ângulos internos de um pentágono 
fica: 
º540º1803 =× 
E nós podemos fazer isto para qualquer figura. 
Para um polígono de n lados ficaria assim. Partindo de um dos vértices nós 
conseguimos traçar 3−n diagonais. Com isso, dividimos a figura em 2−n triângulos. 
Logo, a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por: 
º180)2( ×−n 
→ 
Soma dos ângulos internos de um polígono de n lados 
º180)2( ×−n 
 
Observe que quando um polígono é regular, todos os seus ângulos têm a mesma 
medida. Portanto, a medida de cada ângulo interno de um polígono convexo de 
݊ lados é igual a: 
ܣ௜ ൌ
180° · ሺ݊ െ 2ሻ
݊
 
Vamos determinar a soma dos ângulos internos de alguns polígonos para exercitar. 
݊ ൌ 3 ՜ ݐݎ݅â݊݃ݑ݈݋ 
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ܵଷ ൌ 180° · ሺ3 െ 2ሻ ൌ 180° · 1 ൌ 180° 
Que já sabíamos através da Lei Angular de Tales 
݊ ൌ 4 ՜ ݍݑܽ݀ݎ݈݅áݐ݁ݎ݋ 
ܵସ ൌ 180° · ሺ4 െ 2ሻ ൌ 180° · 2 ൌ 360° 
݊ ൌ 5 ՜ ݌݁݊ݐá݃݋݊݋ 
ܵହ ൌ 180° · ሺ5 െ 2ሻ ൌ 180° · 3 ൌ 540° 
11. (SUSEP 2010/ESAF) A soma S1 dos ângulos internos de um polígono convexo 
de n lados, com n ≥ 3, é dada por Si=(n-2).1800. O número de lados de três polígonos 
convexos, P1 , P2 , e P3, são representados, respectivamente, por (x-3), x e (x+3). 
Sabendo-se que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 
32400, então o número de lados do polígono P2 e o total de diagonais do polígono P3 
são, respectivamente, iguais a: 
a) 5 e 5 
b) 5 e 44 
c) 11 e 44 
d) 5 e 11 
e) 11 e 5 
 
Resolução 
 
O enunciado foi muito generoso já fornecendo a fórmula da soma dos ângulos internos 
de um polígono. O primeiro polígono tem (x – 3) lados. Assim, na fórmula devemos 
substituir o “n” por “x – 3” obtendo ሺݔ െ 3 െ 2ሻ · 180௢. O segundo polígono tem “x” 
lados, e, portanto, devemos substituir o “n” por “x” obtendo ሺݔ െ 2ሻ · 180௢. Por fim, o 
terceiro polígono tem (x+3) lados e a soma dos seus ângulos internos será ሺݔ ൅ 3 െ
2ሻ · 180௢. Já que a soma de todos os ângulos internos é 3240º, temos a seguinte 
equação: 
 
ሺݔ െ 3 െ 2ሻ · 180௢ ൅ ሺݔ െ 2ሻ · 180௢ ൅ ሺݔ ൅ 3 െ 2ሻ · 180௢ ൌ 3.240௢ 
 
ሺݔ െ 5ሻ · 180௢ ൅ ሺݔ െ 2ሻ · 180௢ ൅ ሺݔ ൅ 1ሻ · 180௢ ൌ 3.240௢ 
 
180௢ · ݔ െ 900௢ ൅ 180௢ · ݔ െ 360௢ ൅ 180௢ · ݔ ൅ 180௢ ൌ 3.240௢ 
 
540௢ · ݔ െ 1.080௢ ൌ 3.240௢ 
 
540௢ · ݔ െ 1.080௢ ൌ 3.240௢ 
 
540௢ · ݔ ൌ 4.320௢ 
 
ݔ ൌ 8 
 
Portanto, o número de lados de P2 é 8. 
 
O primeiro polígono P1 possui 8 – 3 = 5 lados. 
 
O polígono P3 possui 8+3 = 11 lados. O número de diagonais de um polígono de n 
lados é dado por 
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ܦ ൌ
݊ · ሺ݊ െ 3ሻ
2
 
 
Assim, o número de diagonais de P3 é 
 
ܦ ൌ
11 · ሺ11 െ 3ሻ
2
ൌ 44 
 
A questão não tem resposta e foi anulada pela ESAF. 
 
 
12. (APO-MPOG 2008/ESAF) Dois polígonos regulares, X e Y, possuem, 
respectivamente, (n+1) lados e n lados. Sabe-se que o ângulo interno do polígono A 
excede o ângulo interno do polígono B em 5º (cinco graus). Desse modo, o número de 
lados dos polígonos X e Y são, respectivamente, iguais a: 
a) 9 e 8 
b) 8 e 9 
c) 9 e 10 
d) 10 e 11 
e) 10 e 12 
 
Resolução 
 
Esta questão foi anulada porque no início falava-se em polígonos X e Y e em seguida 
falava-se em polígonos A e B. Mas não vamos perder uma questão aqui só por causa 
disso. Vamos considerar que o polígono X é o polígono A e o polígono Y é o polígono 
B (esta era a intenção da ESAF). 
 
Vimos anteriormente que quando um polígono é regular, todos os seus ângulos têm a 
mesma medida. Portanto, a medida de cada ângulo interno de um polígono convexo 
de ݊ lados é igual a: 
ܣ௜ ൌ
180° · ሺ݊ െ 2ሻ
݊
 
O enunciado diz que o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do 
polígono B em 5º (cinco graus). 
ܣ௜ಲ ൌ ܣ௜ಳ ൅ 5° 
180° · ሺ݊஺ െ 2ሻ
݊஺
ൌ
180° · ሺ݊஻ െ 2ሻ
݊஻
൅ 5° 
180° · ሺ݊ ൅ 1 െ 2ሻ
݊ ൅ 1
ൌ
180° · ሺ݊ െ 2ሻ
݊
൅ 5° 
180° · ሺ݊ െ 1ሻ
݊ ൅ 1
ൌ
180° · ሺ݊ െ 2ሻ
݊
൅ 5° 
180° · ሺ݊ െ 1ሻ
݊ ൅ 1
ൌ
180° · ሺ݊ െ 2ሻ ൅ 5° · ݊
݊
 
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180° · ݊ െ 180°
݊ ൅ 1
ൌ
180° · ݊ െ 360° ൅ 5° · ݊
݊
 
180° · ݊ െ 180°
݊ ൅ 1
ൌ
185° · ݊ െ 360°
݊
 
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 
ሺ185° · ݊ െ 360°ሻ · ሺ݊ ൅ 1ሻ ൌ ሺ180° · ݊ െ 180°ሻ · ݊ 
185° · ݊ଶ ൅ 185° · ݊ െ 360° · ݊ െ 360° ൌ 180° · ݊ଶ െ 180° · ݊ 
Para evitar uma poluição visual, vamos deixar de escrever o símbolo do grau. 
5݊ଶ ൅ 5݊ െ 360 ൌ 0 
Vamos dividir os dois membros da equação por 5. 
݊ଶ ൅ ݊ െ 72 ൌ 0 
݊ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
 
݊ ൌ
െ1 േ ඥ1ଶ െ 4 · 1 · ሺെ72ሻ
2 · 1
 
݊ ൌ
െ1 േ √289
2
ൌ
െ1 േ 17
2
 
Como ݊ é positivo, só devemos usar o +. 
݊ ൌ
െ1 ൅ 17
2
ൌ
16
2
ൌ 8 
Como o polígono X tem ݊ ൅ 1 lados, então ele possui 9 lados. 
O polígono Y tem ݊ lados, então ele possui 8 lados. 
Poderíamos ter resolvido a equação do segundo grau da seguinte maneira: 
722 =+ nn 
72)1( =+× nn 
Um produto entre dois naturais seguidos que dá 72, só poderia ser 8 e 9. 
Letra A 
Questão anulada 
Mesmo que o candidato não soubesse como resolver a questão, dava para marcar a 
alternativa certa. Sabemos que X tem 1+n lados. Sabemos que Y tem n lados. Logo, 
X tem 1 lado a mais que Y. 
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A única alternativa que prevê isso é a letra A. Em todas as outras, Y tem mais lados 
que X, o que é falso. 
 
13. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra dois pentágonos 
regulares colados. 
 
O valor do ângulo ABC é: 
A) 18o 
B) 20o 
C) 22o 
D) 24o 
E) 26o 
Resolução 
Para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono com ݊ lados utilizamos a 
fórmula: 
ܵ௡ ൌ 180° · ሺ݊ െ 2ሻ 
Desta forma, a soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a: 
ܵହ ൌ 180° · ሺ5 െ 2ሻ ൌ 180° · 3 
ܵହ ൌ 540° 
Como os pentágonos do problema são regulares, então os pentágonos são 
eqüiângulos (têm todos os ângulos com as mesmas medidas). 
Para calcular a medida de cada ângulo dos pentágonos, devemos dividir 540° por 5. 
ܣ ൌ
540°
5
ൌ 108° 
 
Vamos calcular a medida do ângulo ݔ: 
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ݔ ൅ 108° ൅ 108° ൌ 360° 
ݔ ൅ 216° ൌ 360° 
ݔ ൌ 144° 
 
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. 
Como o triângulo ABC é isósceles, então os ângulos B e C são congruentes. 
Vamos chamar os ângulos B e C de ݕ. 
ݕ ൅ ݕ ൅ ݔ ൌ 180°2ݕ ൅ 144° ൌ 180° 
2ݕ ൌ 36° 
ݕ ൌ 18° 
Letra A 
5. Classificação dos Triângulos 
 
Os triângulos podem ser classificados: 
i) Quanto aos lados 
Triângulo Equilátero Triângulo Isósceles Triângulo Escaleno 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tem os três lados 
congruentes. 
Tem dois lados congruentes. Tem os três lados não- 
congruentes. 
 
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Quanto aos ângulos: 
Triângulo Acutângulo Triângulo Retângulo Triângulo Obtusângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tem três ângulos agudos. Tem um ângulo reto. 
Lados menores: catetos 
Lado maior (oposto ao 
ângulo reto): hipotenusa 
Tem um ângulo obtuso. 
 
Observe que todo triângulo equilátero é isósceles, mas nem todo triângulo isósceles é 
equilátero. 
Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é chamado base e 
o ângulo oposto é o ângulo do vértice. 
Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes (este teorema é 
conhecido como Pons Asinorum). 
 
 
 
 
 
 
 
 
O triângulo equilátero também é equiângulo (possui os três ângulos congruentes) e 
seus ângulos medem 60º. 
Como classificar um triângulo quanto aos lados sabendo apenas os valores dos 
ângulos? 
BASE
Ângulos Congruentes 
Ângulo do vértice 
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Se os três ângulos forem congruentes (o triângulo for equiângulo), então o triângulo 
será equilátero. 
Se apenas dois ângulos forem congruentes, então ele é isósceles (Pons Asinorum que 
foi visto no início desta página). 
Se os três ângulos forem diferentes, então o triângulo é escaleno. 
E como classificar um triângulo quanto aos ângulos, sabendo a medida de seus lados? 
Neste caso devemos utilizar a Síntese de Clairaut. 
 
 
 
 
 
I. Síntese de Clairaut 
 
Em geometria nós consideramos que o lado a é oposto ao ângulo A, o lado b é oposto 
ao ângulo B e o lado c é oposto ao ângulo C. 
 
 
 
 
 
Vamos considerar que o lado a é o maior lado do triângulo. 
O triângulo é acutângulo se e somente se ܽଶ ൏ ܾଶ ൅ ܿଶ. 
O triângulo é obtusângulo se e somente se ܽଶ ൐ ܾଶ ൅ ܿଶ. 
O triângulo é retângulo se e somente se ܽଶ ൌ ܾଶ ൅ ܿଶ (esta parte da Síntese de 
Clairaut é conhecida como TEOREMA DE PITÁGORAS). 
14. (Prefeitura de São José 2009/FEPESE) Relacione as colunas 1 e 2. Cada 
número pode ser usado apenas uma vez. 
Coluna 1 
1. Triângulo retângulo 
2. Triângulo acutângulo 
3. Triângulo obtusângulo 
CB 
A
a
bc
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Coluna 2 
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13 
( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13 
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12 
Assinale a alternativa que indica a sequência correta, assinalada de cima para baixo. 
a) 1, 2, 3 
b) 3, 2, 1 
c) 2, 3, 1 
d) 3, 1, 2 
e) 2, 1, 3 
Resolução 
Foram dados os lados de três triângulos e devemos classificá-los quanto aos 
ângulos. 
Para resolver esse problema utilizaremos a conhecida Síntese de Clairaut. 
Seja um triângulo de lados “a”, “b” e “c”. Consideraremos “a” como o maior lado. 
O triângulo é acutângulo se e somente se ܽଶ ൏ ܾଶ ൅ ܿଶ. 
O triângulo é retângulo se e somente se ܽଶ ൌ ܾଶ ൅ ܿଶ (Teorema de Pitágoras). 
O triângulo é obtusângulo se e somente se ܽଶ ൐ ܾଶ ൅ ܿଶ. 
Coluna 1 
1. Triângulo retângulo 
2. Triângulo acutângulo 
3. Triângulo obtusângulo 
Coluna 2 
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13 
13ଶ ? 6ଶ ൅ 12ଶ 
169 ? 36 ൅ 144 
169 ൏ 180 
O triângulo é acutângulo (2). 
 
( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13 
 
13ଶ ? 5ଶ ൅ 12ଶ 
169 ? 25 ൅ 144 
169 ൌ 169 
O triângulo é retângulo (1). 
 
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12 
 
12ଶ ? 6ଶ ൅ 10ଶ 
144 ? 36 ൅ 100 
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144 ൐ 136 
O triângulo é obtusângulo (3). 
 
Letra E 
 
15. (Pref. Municipal de Serra Negra 2006/CETRO) Um triângulo equilátero possui 
(A) os três lados com medidas diferentes. 
(B) dois lados com medidas iguais. 
(C) os três lados com medidas iguais. 
(D) um ângulo reto. 
(E) dois ângulos obtusos. 
Resolução 
Vimos no resumo anterior que um triângulo equilátero possui os três lados com 
medidas iguais. O gabarito oficial é a letra C. 
Por outro lado, quem possui três lados com medidas iguais também possui dois 
lados com medidas iguais. Ou seja, todo triângulo equilátero também é 
isósceles. A banca também deveria aceitar a letra B. 
Obviamente, o objetivo nosso é passar no concurso e não brigar com a banca 
organizadora. Facilmente se percebe que o objetivo da banca é fazer com que o 
candidato marque a alternativa C. 
16. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Um triângulo que possui os 
três lados com a mesma medida, é chamado de triângulo 
(A) isósceles 
(B) retângulo 
(C) equilátero 
(D) normal 
(E) escaleno 
Resolução 
Aqui não há discussão. O triângulo é chamado de equilátero. 
Letra C 
 
17. (EPPGG – MPOG 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, 
respectivamente, ܽ ൅ ݔ e ܽ ൅ ݕ, onde ܽ, ݔ ݁ ݕ, são números reais. Sabendo que o 
ângulo oposto ao cateto que mede ܽ ൅ ݔ é igual a 45º, segue-se que: 
 
a) ݕ ൌ െ2ݔ 
b) ݕ ൌ ቀ3
భ
మቁ 2ݔ 
c) ݕ ൌ 3
భ
మݔ 
d) ݕ ൌ ݔ 
e) ݕ ൌ 2ݔ 
 
Resolução 
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O triângulo é retângulo e um dos ângulos agudos mede 45º. Vamos considerar que a 
medida do terceiro ângulo é x. Pela Lei Angular de Tales, 
ݔ ൅ 45° ൅ 90° ൌ 180° 
ݔ ൌ 45° 
Portanto, os ângulos do triângulo são 45º, 45º e 90º. 
Como o triângulo possui dois ângulos congruentes, então ele é isósceles (também 
possui dois lados congruentes). Como a hipotenusa é o maior lado de um triângulo 
retângulo, podemos concluir que os catetos são iguais. 
ܽ ൅ ݔ ൌ ܽ ൅ ݕ 
ݔ ൌ ݕ 
Letra D 
 
 
6. Teorema de Tales 
 
Antes de enunciar o Teorema de Tales propriamente dito, vamos definir algumas 
coisas... 
Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas paralelas (em um mesmo plano) entre 
si. Uma reta é transversal a este feixe se concorre com todas as retas do feixe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d
c
b 
a 
Feixe de retas 
paralelas 
Transversais 
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Pois bem, o Teorema de Tales afirma que se duas retas são transversais de um feixe 
de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual 
à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. 
Na figura anterior, podemos afirmar, por exemplo, que: 
ܽ
ܾ
ൌ
ܿ
݀
 
18. (Pref. de Taquarivaí 2006/CETRO) Na figura abaixo, as retas R, S e T são 
paralelas. Então o valor de X será de: 
 
(A) 6 
(B) 5 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 2 
 
Resolução 
 
O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas 
paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à 
razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. 
Assim, 
 
4
8
ൌ
2ݔ ൅ 2
5ݔ െ 1
 
 
4 · ሺ5ݔ െ 1ሻ ൌ 8 · ሺ2ݔ ൅2ሻ 
 
20ݔ െ 4 ൌ 16ݔ ൅ 16 
 
4ݔ ൌ 20 
 
ݔ ൌ 5 
Letra B 
 
19. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Tales de Mileto foi um 
grande matemático grego que conseguia calcular a altura de pirâmides. O famoso 
Teorema de Tales poderá ajudar você a encontrar as medidas indicadas na figura, 
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sendo que as retas r, s e t são paralelas e a distância entre os pontos A e B é igual a 
21. 
 
Assinale a alternativa que represente o produto dos valores x e y. 
a) 36. 
b) 42. 
c) 49. 
d) 96. 
e) 98. 
Resolução 
O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas 
paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à 
razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. 
Observe que o segmento de comprimento 10 na reta da esquerda corresponde ao 
segmento de comprimento y na reta da direita. O segmento de comprimento 30 
(10+20) na reta da esquerda corresponde ao segmento AB de comprimento 21 (este 
valor encontra-se no enunciado). Assim, 
10
30
ൌ
ݕ
21
 
Em toda proporção, o produto dos meios (30 e y) é igual ao produto dos extremos (10 
e 21). 
30 · ݕ ൌ 10 · 21 
30 · ݕ ൌ 210 
ݕ ൌ 7 
Como o segmento AB mede 21 e y=7, então o segmento de comprimento 2x+2 mede 
14. 
 
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2ݔ ൅ 2 ൌ 14 
2ݔ ൌ 12 
ݔ ൌ 6 
 
O produto dos valores x e y é 6 x 7 = 42. 
 
Letra B 
 
20. (AFC 2005/ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta 
transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse 
mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três 
segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B, compreendido entre a primeira 
e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos 
segmentos sobre a transversal B são iguais a: 
a) 6, 30 e 54 
b) 6, 34 e 50 
c) 10, 30 e 50 
d) 14, 26 e 50 
e) 14, 20 e 56 
 
 
 
 
Resolução 
 
Vamos construir uma figura que descreva bem a situação acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas 
paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à 
razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. 
Observe que, na reta A, o segmento compreendido entre a primeira e a quarta reta 
paralela do feixe mede 2 ൅ 10 ൅ 18 ൌ 30. O seu segmento correspondente na reta B 
mede 90 cm (exatamente o triplo). Então os segmentos correspondentes na reta B de 
2, 10 e 18 serão exatamente o triplo. 
 
Podemos afirmar que: 
90 
c 
b 
a 
30 
18 
10 
2 
A  B 
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ܽ ൌ 3 · 2 ൌ 6 
ܾ ൌ 3 · 10 ൌ 30 
ܿ ൌ 3 · 18 ൌ 54 
Letra A 
7. Teorema de Pitágoras e suas aplicações 
 
Vamos considerar um triângulo retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
O maior lado de um triângulo retângulo sempre fica oposto ao ângulo reto e é 
chamado de hipotenusa. Na figura acima, a hipotenusa é o lado a. Os outros lados são 
chamados de catetos. 
Vimos anteriormente que o Teorema de Pitágoras afirma que um triângulo é retângulo 
se e somente se ܽଶ ൌ ܾଶ ൅ ܿଶ. 
Vamos ver duas aplicações imediatas do Teorema de Pitágoras e em seguida resolver 
alguns problemas envolvendo diretamente este assunto. 
I. Diagonal do quadrado 
 
Vamos considerar um quadrado de lado ℓ. 
Um quadrado, por definição, é um quadrilátero regular, ou seja, possui todos os lados 
congruentes e todos os ângulos congruentes (retos). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo Teorema de Pitágoras: 
݀ଶ ൌ ℓଶ ൅ ℓଶ 
݀ଶ ൌ 2ℓଶ 
c  a 
b 
ℓ
ℓ
ℓ  ݀
ℓ
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݀ ൌ ℓ√2 
Desta forma, a diagonal de um quadrado de lado 5 ܿ݉ mede 5√2 ܿ݉. 
 
II. Altura do triângulo equilátero 
 
Por definição, a altura de um triângulo equilátero é um segmento que parte de um 
vértice e atinge o lado oposto formando um ângulo reto. 
Há uma propriedade que diz que a altura de um triângulo equilátero divide o lado 
oposto em dois segmentos de mesmo comprimento. Então se considerarmos que o 
lado do triângulo equilátero é igual a ℓ, então o lado oposto fica dividido em dois 
segmentos de comprimento ℓ/2. 
 
 
 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, podemos afirmar que: 
ℓଶ ൌ ݄ଶ ൅ ൬
ℓ
2
൰
ଶ
 
ℓଶ ൌ ݄ଶ ൅
ℓଶ
4
 
Vamos multiplicar os dois membros da equação por 4 para eliminar o denominador. 
4ℓଶ ൌ 4݄ଶ ൅ ℓଶ 
3ℓଶ ൌ 4݄ଶ 
݄ଶ ൌ
3ℓଶ
4
 
݄ ൌ
ℓ√3
2
 
Desta forma, a altura de um triângulo equilátero com 4 ܿ݉ de lado é igual a: 
݄ ൌ
4√3
2
ൌ 2√3 ܿ݉ 
21. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Os catetos de um triângulo 
retângulo medem 9 cm e 12 cm. O perímetro desse triângulo é igual a: 
ℓ/2
ℓ݄ℓ
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a) 36 cm 
b) 38 cm 
c) 40 cm 
d) 42 cm 
e) 44 cm 
Resolução 
“O teorema de Pitágoras fora impresso em milhões, se não bilhões, de 
mentes humanas. É o teorema fundamental que toda criança inocente é 
forçada a aprender.” 
Simon Singh 
O Último Teorema de Fermat – Editora Record 
O teorema de Pitágoras nos diz que em todo triângulo retângulo, o quadrado 
da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Vamos decodificar 
esta frase. 
 
 
 
Tem um triângulo retângulo na história. Ei-lo: 
 
 
 
A hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo reto. É 
sempre o maior lado do triângulo retângulo. No nosso exemplo, é o lado de 
medida a. Os outros lados, adjacentes ao ângulo reto, são chamados de 
catetos. O teorema de Pitágoras afirma que: 
ܽଶ ൌ ܾଶ ൅ ܿଶ 
Os catetos do problema medem 9 cm e 12 cm. Podemos calcular a hipotenusa 
com o auxílio do teorema de Pitágoras. 
ܽଶ ൌ 9ଶ ൅ 12ଶ 
ܽଶ ൌ 81 ൅ 144 
a
b 
c
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ܽଶ ൌ 225 
ܽ ൌ 15 
O perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados. É comum 
em geometria plana indicar o perímetro por 2݌ (desta forma o semiperímetro é 
indicado por ݌ሻ. 
2݌ ൌ 9 ൅ 12 ൅ 15 ൌ 36 ܿ݉ 
Letra A 
22. (ATRFB 2009/ESAF) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 
90º uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um 
carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento, com outro que se 
encontra na segunda estrada, a 4 km do cruzamento? 
a) 5 km 
b) 4 km 
c) 24 km 
d) 3 km 
e) 25 km 
 
Resolução. 
A figura abaixo representa a situação dada: 
 
Vamos chamar a distância entre os dois carros de x. 
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O triângulo de lados 3, 4, e x é retângulo. A hipotenusa, que é o maior lado, vale x. 
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 
222 43 +=x 
251692 =+=x 
5=x 
Letra A 
 
23. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 
2006/CETRO) Durante um vendaval, um poste de iluminação de 18 metros de altura 
quebrou-se em um ponto a certa altura do solo. A parte do poste acima da fratura, 
inclinou-se, e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 12 
metros da base dele. Calcule a quantos metros de altura do solo quebrou-se o poste. 
(A) 6 
(B) 5(C) 4 
(D) 3 
(E) 2 
Resolução 
 
O poste quebrado está mais espesso no desenho. Se o segmento vertical mede x 
metros, então o segmento inclinado medirá 18 – x, já que a soma dos dois segmentos 
deve ser 18 m (altura do poste). 
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo. 
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ݔଶ ൅ 12ଶ ൌ ሺ18 െ ݔሻଶ 
ݔଶ ൅ 12ଶ ൌ ሺ18 െ ݔሻଶ 
ݔଶ ൅ 144 ൌ 324 െ 36ݔ ൅ ݔଶ 
36ݔ ൌ 324 െ 144 
36ݔ ൌ 180 
ݔ ൌ 5 
Letra B 
24. (ENAP 2006/ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que 
a altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36 
metros, então a altura e a base medem, respectivamente 
a) 8 m e 10 m. 
b) 12 m e 10 m. 
c) 6 m e 8 m. 
d) 14 m e 12 m. 
e) 16 m e 14 m. 
Resolução 
 
Todo triângulo isósceles possui dois lados congruentes. O lado não-congruente é 
chamado de base. A altura relativa à base divide-a em dois segmentos de mesmo 
comprimento: chamemo-los de x. Assim, a base mede 2x. Como a base de um 
triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base, então essa altura 
mede 2x+2. Chamaremos os lados congruentes de y. 
O enunciado nos informou que o perímetro do triângulo é igual a 36. Assim, 
ݕ ൅ ݕ ൅ 2ݔ ൌ 36 
2ݕ ൅ 2ݔ ൌ 36 
Dividindo ambos os membros por 2, temos 
ݕ ൅ ݔ ൌ 18 
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ݕ ൌ 18 െ ݔ ሺ݁ݍݑܽçã݋ ܫሻ 
Ao traçarmos a altura relativa a base, obtemos dois triângulos retângulos que 
podemos aplicar o Teorema de Pitágoras. 
ݔଶ ൅ ሺ2ݔ ൅ 2ሻଶ ൌ ݕଶ ሺ݁ݍݑܽçã݋ ܫܫሻ 
Agora precisaríamos resolver este sistema de duas equações. 
Os valores de x e y que atenderem às duas equações simultaneamente são a nossa 
solução. 
Só que estas equações não são nada amigáveis. Dá certo trabalho resolvê-las. 
Então vamos parar um pouco para analisar as alternativas. 
Como a altura é maior que a base (informação dada no próprio enunciado), já 
podemos descartar algumas alternativas: 
a) 8 m e 10 m. 
b) 12 m e 10 m. 
c) 6 m e 8 m. 
d) 14 m e 12 m. 
e) 16 m e 14 m. 
Vamos testar a letra B. A base seria 10 m. Logo, metade da base valeria 5 m. 
5=x 
Da equação I, temos: 
xy −= 18 13=⇒ y 
Vamos substituir estes valores de x e y na equação II, para ver se ela é obedecida. 
222 )22( xxy ++= 
222 5)252(13 ++×= 
25144169 += 
169169 = 
As duas equações foram obedecidas. Logo, esta é a alternativa correta. 
 
Vamos agora resolver o sistema utilizando a força braçal. 
 
ݕ ൌ 18 െ ݔ ሺ݁ݍݑܽçã݋ ܫሻ 
ݔଶ ൅ ሺ2ݔ ൅ 2ሻଶ ൌ ݕଶ ሺ݁ݍݑܽçã݋ ܫܫሻ 
 
Como ݕ ൌ 18 െ ݔ, 
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ݔଶ ൅ ሺ2ݔ ൅ 2ሻଶ ൌ ሺ18 െ ݔሻଶ 
ݔଶ ൅ 4ݔଶ ൅ 8ݔ ൅ 4 ൌ 324 െ 36ݔ ൅ ݔଶ 
4ݔଶ ൅ 44ݔ െ 320 ൌ 0 
Dividindo ambos os membros por 4, obtemos: 
ݔଶ ൅ 11ݔ െ 80 ൌ 0 
ݔ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
 
ݔ ൌ
െ11 േ ඥ11ଶ െ 4 · 1 · ሺെ80ሻ
2 · 1
 
ݔ ൌ
െ11 േ √441
2
 
ݔ ൌ
െ11 േ 21
2
 
Como x > 0, então 
 
ݔ ൌ
െ11 ൅ 21
2
ൌ 5 
 
A base é 2x, logo a base é 
 
ܾ ൌ 2ݔ ൌ 2 · 5 ൌ 10 
 
Como a altura é 2x+2, então 
݄ ൌ 2 · 5 ൅ 2 ൌ 12 
 
Letra B 
 
 
 
25. (RIOPREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Na figura abaixo, os ângulos de vértices B 
e C são retos, AB = 9m, BC = 11m e CD = 4m. 
 
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Então, entre as alternativas abaixo, a que mais se aproxima da distância entre os 
pontos A e D é: 
a) 15m 
b) 16m 
c) 17m 
d) 19m 
e) 21m 
Resolução 
Já que o objetivo é calcular a distância entre os pontos A e D, o primeiro passo é 
traçar um segmento que ligue estes dois pontos. 
 
 
Vamos também prolongar o segmento AB para a direita até o ponto E, de forma que 
BE = CD. 
Vamos ligar o ponto D ao ponto E. Obviamente ܦܧ ൌ ܤܥ ൌ 11. 
Está formado o triângulo retângulo ADE. 
O cateto AE mede 13, o cateto DE mede 11 e queremos calcular a hipotenusa AD. 
Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras que diz que o quadrado da hipotenusa é igual 
à soma dos quadrados dos catetos. 
ሺܣܦሻଶ ൌ 11ଶ ൅ 13ଶ 
ሺܣܦሻଶ ൌ 290 
O problema pede o valor mais próximo da medida de AD. Observe que 17ଶ ൌ 289, 
portanto: 
ܣܦ ؆ 17 
Letra C 
26. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O terreno de uma grande fazenda é muito plano. 
Certo dia, o fazendeiro saiu de casa com seu jipe e andou 11 km para o norte. Em 
4
9 4
E
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seguida, andou 6 km para o leste, 3 km para o sul e 2 km para oeste. Neste ponto, a 
distância do fazendeiro à sua casa é de, aproximadamente: 
a) 7 km 
b) 8 km 
c) 9 km 
d) 10 km 
e) 11 km 
Resolução 
O trajeto feito pelo fazendeiro é o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular a distância do fazendeiro até sua casa, devemos ligar o ponto inicial e o 
ponto final do trajeto. Podemos formar um triângulo retângulo como é feito na figura 
abaixo. 
 
Devemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo vermelho. 
ݔଶ ൌ 8ଶ ൅ 4ଶ 
ݔଶ ൌ 80 
Como 9ଶ ൌ 81, então: 
2 ݇݉
11 ݇݉
3 ݇݉
6 ݇݉
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ݔ ؆ 9 
Letra C 
8. Semelhança de Triângulos 
 
Observem os dois triângulos da figura abaixo: 
 
Eles são muito parecidos. Pegamos o triângulo menor, da esquerda, e demos um 
zoom. Com isso, chegamos ao triângulo da direita. Quando isso acontece, dizemos 
que os triângulos são semelhantes. Um é o outro “aumentado”. 
Explicação meio “grosseira” esta que nós demos, né? 
Bom, melhorando um pouquinho a definição, dizemos que dois triângulos são 
semelhantes se e somente se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e 
os lados homólogos (correspondentes) proporcionais. 
 
Dois triângulos são semelhantes se e somente se possuem os três ângulos 
ordenadamente congruentes e os lados homólogos (correspondentes) proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os segmentos correspondentes são proporcionais. Isto é: 
ܽ
ܽԢ
ൌ
ܾ
ܾԢ
ൌ
ܿ
ܿԢ
ൌ ݇ 
A constante de proporcionalidade ݇ é a chamada razão de semelhança. 
Esta constante indica em quantas vezes precisamos aumentar o triângulo menor para 
chegar no maior. Ou seja, ela nos diz de quantas vezes foi o “zoom”. 
a  a’
b' c'
b c 
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Exemplo: se a razão de semelhança é 3, isto significa que pegamos cada lado do 
triângulo pequeno e triplicamos. Com isso, obteremos o triângulo grande. 
 
Se a razão entre os segmentos correspondentes dos triângulos é ݇, pode-se afirmar 
que a razão entre as áreas dos triângulos é ݇ଶ. 
Isto significa que se multiplicamos os lados de um triângulo por 4, então a área será 
multiplicada por 16 = 4². 
27. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 
2006/CETRO) Em um terreno plano, a sombra de um prédio, em determinada hora do 
dia, mede 15m. Próximo ao prédio, e no mesmo instante, um poste de 5m. de altura, 
produz uma sombra que mede 3m. A altura do prédio, em metros, é: 
(A) 75 
(B) 45 
(C) 30 
(D) 29 
(E) 25 
Resolução 
 
Os dois triângulos acima são semelhantes, assim: 
ݔ
15
ൌ
5
3
 
3ݔ ൌ 75 
ݔ ൌ 25݉ 
Letra E 
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28. (Prefeitura Municipal de Mairinque 2009/CETRO) Umacriança está ao lado de 
um poste. Sabe-se que ela mede 80cm e que a medida da sombra do poste é de 5,4 
metros. Se a sombra da criança mede 60cm, então, a altura do poste é de 
(A) 6,2 metros. 
(B) 6,6 metros. 
(C) 6,8 metros. 
(D) 7,0 metros. 
(E) 7,2 metros. 
Resolução 
 
Os dois triângulos acima são semelhantes, assim: 
ݔ
5,4
ൌ
80
60
 
60ݔ ൌ 432 
ݔ ൌ 7,2݉ 
Letra E 
29. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um poste de 8m de altura tem no 
alto uma forte lâmpada. Certa noite, uma criança de 1,60m de altura ficou 
parada a uma distância de 6m do poste. O comprimento da sombra dessa 
criança no chão era de: 
a) 1,5m 
b) 1,6m 
c) 1,75m 
d) 1,92m 
e) 2,00m 
Resolução 
 
 
 
8 
1,6 
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Usemos a semelhança dos triângulos: 
ܤܽݏ݁ ݀݋ ݐݎ݅â݊݃ݑ݈݋ ݉ܽ݅݋ݎ
ܤܽݏ݁ ݀݋ ݐݎ݅â݊݃ݑ݈݋ ݉݁݊݋ݎ
ൌ
ܣ݈ݐݑݎܽ ݀݋ ݐݎ݅â݊݃ݑ݈݋ ݉ܽ݅݋ݎ
ܣ݈ݐݑݎܽ ݀݋ ݐݎ݅â݊݃ݑ݈݋ ݉݁݊݋ݎ
 
ݔ ൅ 6
ݔ
ൌ
8
1,6
 
ݔ ൅ 6
ݔ
ൌ 5 
5ݔ ൌ ݔ ൅ 6 
4ݔ ൌ 6 
ݔ ൌ 1,5 ݉݁ݐݎ݋ݏ 
Letra A 
30. (ENAP 2006/ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, T1, e T2, é 
igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo T1 é igual a 128 m2. Assim, a área do 
triângulo T2 é igual a 
a) 4 m2. 
b) 16 m2. 
c) 32 m2. 
d) 64 m2. 
e) 2 m2. 
Resolução 
Relembremos uma propriedade importantíssima: 
A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao quadrado da razão 
de semelhança. 
Assim, 
128
ܣ்ଶ
ൌ 8ଶ 
128
ܣ்ଶ
ൌ 64 
64 · ܣ்ଶ ൌ 128 
ܣ்ଶ ൌ 2 
6  x 
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Letra E 
31. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O triângulo retângulo ABC da figura abaixo tem 
catetos AB = 8 e AC = 6. Pelo ponto M, médio da hipotenusa, traçou-se o segmento 
MN perpendicular a BC. O segmento AN mede: 
 
a) 7/4 
b) 2 
c) 9/4 
d) 5/2 
e) 11/4 
Resolução 
Vamos calcular o valor da hipotenusa do triângulo retângulo ABC. 
ሺܤܥሻଶ ൌ ሺܣܤሻଶ ൅ ሺܣܥሻଶ 
ሺܤܥሻଶ ൌ 8ଶ ൅ 6ଶ 
ሺܤܥሻଶ ൌ 100 
ܤܥ ൌ 10 
Observe que os triângulos ABC e MNB são semelhantes: ambos são triângulos 
retângulos e têm um ângulo em comum B. Vamos chamar o ângulo B de ߚ. O outro 
ângulo agudo do triângulo ABC e o outro ângulo agudo do triângulo MNB serão 
chamados de ߙ. 
 
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Como o ponto M é o ponto médio da hipotenusa BC, então ܥܯ ൌ ܯܤ ൌ 5. 
Os triângulos ABC e MNB são semelhantes. 
ܪ݅݌݋ݐ݁݊ݑݏܽ ݀݋ ݐݎ݅â݊݃ݑ݈݋ ܯܰܤ
ܪ݅݌݋ݐ݁݊ݑݏܽ ݀݋ ݐݎ݅â݊݃ݑ݈݋ ܣܤܥ
ൌ
ܮܽ݀݋ ݋݌݋ݏݐ݋ ܽ ߙ ݊݋ ݐݎ݅â݊݃ݑ݈݋ ܯܰܤ
ܮܽ݀݋ ݋݌݋ݏݐ݋ ܽ ߙ ݊݋ ݐݎ݅â݊݃ݑ݈݋ ܣܤܥ
 
ܤܰ
ܤܥ
ൌ
ܯܤ
ܣܤ
 
ܤܰ
10
ൌ
5
8
 
8 · ܤܰ ൌ 5 · 10 
ܤܰ ൌ
50
8
ൌ 6,25 
 
ܣܰ ൅ ܤܰ ൌ ܣܤ 
ܣܰ ൅ 6,25 ൌ 8 
ܣܰ ൌ 1,75 ൌ
175
100
ൌ
7
4
 
Letra A 
9. Quadriláteros 
 
De acordo com a teoria já vista, os quadriláteros (polígonos com 4 lados) possuem 2 
diagonais a soma dos ângulos internos é igual a 360º. 
ߙ 
ߙ
ߚ
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Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os paralelogramos, os retângulos, os 
losangos e os quadrados. 
I. Trapézios 
 
Um quadrilátero é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos. Os lados 
paralelos do trapézio são as bases. 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com os dois lados que não são bases, temos: 
- trapézio escaleno (como o da figura acima), se estes lados não são congruentes. 
- trapézio isósceles (como o da figura abaixo), se estes lados são congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O trapézio é retângulo quando possui dois ângulos retos. 
 
 
 
 
 
 
Base Menor (b) 
Base Maior (B) 
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Em qualquer trapézio, os ângulos opostos são suplementares (a soma é 180º). 
 
 
 
 
 
ܽ ൅ ܾ ൌ ܿ ൅ ݀ ൌ 180° 
Se o trapézio é isósceles, então os ângulos da base são congruentes. 
 
 
 
 
 
 
O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é 
chamado de base média e a sua medida é igual à média aritmética das bases. 
 
 
 
 
 
 
ܤெ ൌ
ܤ ൅ ܾ
2
 
A área de um trapézio qualquer é calculada da seguinte forma: 
ܣ ൌ
ሺܤ ൅ ܾሻ · ݄
2
 
Onde ݄ é a altura do trapézio. A altura do trapézio é a distância entre as bases. 
II. Paralelogramo 
 
Um quadrilátero é paralelogramo se e somente se possui os lados opostos paralelos. 
 
 
 
c  b 
d a 
a  a 
b  b 
Base Menor (b) 
Base Maior (B) 
BM
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Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes e os ângulos adjacentes 
são suplementares (a soma é 180º). 
Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes. 
As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio. 
A área do paralelogramo é o produto da base pela altura. A altura é a distância entre 
as bases. 
ܣ ൌ ܾ · ݄ 
III. Losango 
 
Um quadrilátero é losango se e somente possui os quatro lados congruentes 
(quadrilátero equilátero). 
Todo losango é um paralelogramo. 
As diagonais de um losango são perpendiculares (formam quatro ângulos retos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como todo losango é um paralelogramo, então os losangos possuem todas as 
propriedades dos paralelogramos. 
A área do losango é o semi-produto das diagonais. 
ܣ ൌ
ܦ ൈ ݀
2
 
IV. Retângulo 
 
Um quadrilátero é um retângulo se e somente se possui os quatro ângulos retos. 
O retângulo é um quadrilátero equiângulo (ângulos com mesma medida). 
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Todos os retângulos são paralelogramos. 
As diagonais do retângulo são congruentes e podem ser calculadas com o auxílio do 
Teorema de Pitágoras. 
 
 
 
 
 
݀ଶ ൌ ܽଶ ൅ ܾଶ 
A área de um retângulo é igual ao produto dos lados (base vezes altura). 
ܣ ൌ ܽ ൈ ܾ 
V. Quadrado 
 
Um quadrilátero é um quadrado se e somente se é equilátero e equiângulo 
(quadrilátero regular). 
Seus quatro ângulos são retos e os quatro lados são congruentes. 
Podemos afirmar que o quadrado é um quadrilátero que é simultaneamente retângulo 
e losango. 
Já vimos que um quadrado de lado ℓ tem diagonal com medida ℓ√2. 
A área de um quadrado é igual ao quadrado do lado. 
ܣ ൌ ℓଶ 
 
 
 
32. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Para construir um jardim, um 
jardineiro recebeu as seguintes recomendações da dona da casa: o jardim tem que 
ocupar uma área de 36m2, perímetro de 26m e formato retangular. As dimensões 
desse jardim são de: 
 
(A) 2m e 18m 
(B) 20m e 6m 
(C) 4m e 9m 
d 
b 
a 
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(D) 3m e 12m 
(E) 10m e 16m 
Resolução 
 
A área é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. Assim, temos 
que ݔ · ݕ ൌ 36 ሺܫሻ 
Como o perímetro é igual a 26m, então 
2ݔ ൅ 2ݕ ൌ 26 
Dividindo ambos os membros por 2, temos 
ݔ ൅ ݕ ൌ 13 
Devemos pensar em dois números cuja soma é 13 e o produto é 36. Podemos testar 
as alternativas ou resolver o sistema. Rapidamente verificamos que a alternativa C 
satisfaz as condições do problema. 
ݔ ൅ ݕ ൌ 13 
ݕ ൌ 13 െ ݔ 
Substituindo essa expressão na equação (I): 
ݔ · ݕ ൌ 36 ሺܫሻ 
ݔ · ሺ13 െݔሻ ൌ 36 
13 · ݔ െ ݔଶ ൌ 36 
ݔଶ െ 13ݔ ൅ 36 ൌ 0 
ݔ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
 
ݔ ൌ
െሺെ13ሻ േ ඥሺെ13ሻଶ െ 4 · 1 · 36
2 · 1
 
ݔ ൌ
13 േ √169 െ 144
2
 
ݔ ൌ
13 േ 5
2
 
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Assim, ݔ ൌ 9 ֜ ݕ ൌ 13 െ 9 ൌ 4 
Ou ݔ ൌ 4 ֜ ݕ ൌ 13 െ 4 ൌ 9. 
Logo, as dimensões são 4m e 9m. 
Letra C 
33. (Assistente de Informática – Pref. de Itapeva 2006/CETRO) A soma das áreas 
de dois quadrados é de 25 m2 e a soma dos seus perímetros é igual a 28m. Portanto, 
as medidas dos lados x e y desses quadrados são, respectivamente: 
 
Obs.:Figuras fora de escala. 
(A) 3m e 4m 
(B) 3,5m e 3,5m 
(C) 5m e 2m 
(D) 7m e 7m 
(E) 20m e 8m 
Resolução 
A área de um quadrado é igual ao quadrado do seu lado. 
Assim, um quadrado de lado ℓ tem área ℓଶ. 
A soma das áreas é igual a 25 m2. Podemos escrever que 
ݔଶ ൅ ݕଶ ൌ 25 
Os quatro lados de um quadrado têm a mesma medida. Assim, o perímetro do 
primeiro quadrado é 4x e o perímetro do segundo quadrado é 4y. Como a soma dos 
perímetros é 28m, temos que 
4ݔ ൅ 4ݕ ൌ 28 
Dividindo ambos os membros por 4, temos 
ݔ ൅ ݕ ൌ 7 
Neste ponto, podemos testar as alternativas e marcar a letra A. 
Isolando o y: 
ݕ ൌ 7 െ ݔ 
Devemos agora substituir na primeira equação para encontrarmos os valores das 
incógnitas: 
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ݔଶ ൅ ݕଶ ൌ 25 
ݔଶ ൅ ሺ7 െ ݔሻଶ ൌ 25 
ݔଶ ൅ 49 െ 14ݔ ൅ ݔଶ ൌ 25 
2ݔଶ െ 14ݔ ൅ 24 ൌ 0 
Dividindo ambos os membros por 2, 
ݔଶ െ 7ݔ ൅ 12 ൌ 0 
ݔ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
 
ݔ ൌ
െሺെ7ሻ േ ඥሺെ7ሻଶ െ 4 · 1 · 12
2 · 1
 
ݔ ൌ
7 േ 1
2
 
Assim, ݔ ൌ 4 ֜ ݕ ൌ 3 
Ou ݔ ൌ 3 ֜ ݕ ൌ 4 
Assim, as dimensões são 3m e 4m. 
Letra A 
34. (Analista de Sistemas – UDESC – FEPESE/2010) Seja ABCD o paralelogramo 
abaixo, e seja E um ponto no segmento AD, conforme descrito na figura abaixo: 
 
Sabendo que AB = 5, AE = 3 e AD = 8, a área do paralelogramo 
ABCD é: 
a) 15. 
b) 24. 
c) 30. 
d) 32. 
e) 40. 
 
Resolução 
 
A área de um paralelogramo é o produto do comprimento da base pelo comprimento 
da altura. O comprimento da base AD já foi fornecido: 8. 
Precisamos calcular o comprimento da altura do paralelogramo. A altura é a distância 
entre as bases: o segmento BE. 
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Para calcularmos o comprimento de BE, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras (já 
visto na aula passada) no triângulo ABE. 
 
Os valores 5 e 3 foram fornecidos no enunciado. O Teorema de Pitágoras diz que um 
triângulo é retângulo se e somente se a soma dos quadrados dos catetos é igual 
ao quadrado da hipotenusa. 
 
Assim, 
ݔଶ ൅ 3ଶ ൌ 5ଶ 
ݔଶ ൅ 9 ൌ 25 
ݔଶ ൌ 16 
ݔ ൌ 4 
Assim, a área do paralelogramo é dada por 
Áݎ݁ܽ ൌ ሺܿ݋݉݌ݎ݅݉݁݊ݐ݋ ݀ܽ ܾܽݏ݁ሻ · ሺܿ݋݉݌ݎ݅݉݁݊ݐ݋ ݀ܽ ݈ܽݐݑݎܽሻ ൌ 8 · 4 ൌ 32 
Letra D 
35. (Pref. Municipal de Arujá 2006/CETRO) Em um trapézio, os lados paralelos 
medem 16m e 44m, e os lados não paralelos, 17m e 25m. A área do trapézio, em m2, 
é: 
(A) 600. 
(B) 550. 
(C) 500. 
(D) 450. 
(E) 400 
Resolução 
Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se e somente se possui dois lados 
paralelos. 
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Lembremos a fórmula da área de um trapézio: 
ܣ ൌ
ሺܤ ൅ ܾሻ · ݄
2
 
Onde B é a base maior, b é a base menor e h é a altura. Para calcularmos a altura, 
devemos projetar a base menor sobre a base maior. 
 
A base maior ficou dividida em três segmentos. O da esquerda foi chamado de x. O do 
meio é igual à base menor: 16. Já que a base maior mede 44, então o segmento da 
esquerda mede 44 – x – 16 = 28 – x. 
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da esquerda: 
ݔଶ ൅ ݄ଶ ൌ 17ଶ 
ݔଶ ൅ ݄ଶ ൌ 289 ሺܫሻ 
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da direita: 
ሺ28 െ ݔሻଶ ൅ ݄ଶ ൌ 25ଶ 
784 െ 56ݔ ൅ ݔଶ ൅ ݄ଶ ൌ 625 
Sabemos por (I) que ݔଶ ൅ ݄ଶ ൌ 289. 
Assim, 
784 െ 56ݔ ൅ 289 ൌ 625 
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1.073 െ 56ݔ ൌ 625 
56ݔ ൌ 448 
ݔ ൌ 8 
Voltemos para (I). 
ݔଶ ൅ ݄ଶ ൌ 289 ሺܫሻ 
 
8ଶ ൅ ݄ଶ ൌ 289 
 
݄ଶ ൌ 289 െ 64 
 
݄ଶ ൌ 225 
 
݄ ൌ 15 ݉ 
 
A fórmula da área de um trapézio: 
ܣ ൌ
ሺܤ ൅ ܾሻ · ݄
2
 
 
ܣ ൌ
ሺ44 ൅ 16ሻ · 15
2
ൌ
60 · 15
2
ൌ 450 ݉ଶ 
Letra D 
10. Circunferência e Círculo 
 
Circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um 
ponto dado (centro) desse plano é igual a uma distância dada (raio). O dobro 
do raio é denominado diâmetro. Portanto, um diâmetro é um segmento que tem 
as duas extremidades no círculo e que passa pelo seu centro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Círculo é a reunião da circunferência com o seu interior. Portanto, o círculo é 
uma região do plano e a circunferência é apenas a linha que delimita o círculo. 
Como a circunferência é uma linha, podemos calcular o seu comprimento. 
r
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Como o círculo é uma região, podemos calcular a sua área. 
Existe um número muito famoso em matemática chamado ߨ (pi). Este é um 
número irracional e suas primeiras casas decimais são: 
ߨ ൌ 3,1415926535 … 
Pois bem, o comprimento da circunferência é dado por: 
ܥ ൌ 2ߨݎ 
A área do círculo é dada por: 
ܣ ൌ ߨݎଶ 
36. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) A figura a seguir mostra três 
circunferências com centros em A,B e C, tangentes entre si duas a duas. 
 
As distâncias entre os centros são conhecidas: AB = 34, BC = 18 e CA = 30. O 
raio da circunferência de centro A é: 
a) 24 
b) 23 
c) 22 
d) 21 
e) 20 
Resolução 
Havendo circunferências tangentes, é importantíssimo ligar os centros. 
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AB = 34, BC = 18 e CA = 30 
Temos o seguinte sistema: 
ܽ ൅ ܾ ൌ 34 
ܾ ൅ ܿ ൌ 18 
ܽ ൅ ܿ ൌ 30 
Este é um sistema linear muito famoso em questões de matemática. É um 
sistema com 3 incógnitas. Só que em cada equação aparece a soma de 
duas das três incógnitas. O processo mais rápido para resolver esse tipo 
de sistema é o seguinte: 
i) Escolha a incógnita que você quer calcular. 
ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a 
incógnita escolhida por você. 
iii) Some as três equações. 
Nosso objetivo é calcular o raio da circunferência de centro A. Logo, queremos 
calcular o valor de ܽ. 
O termo ܽ não aparece na segunda equação. Portanto, multiplicaremos os dois 
membros da segunda equação por -1. Em seguida somaremos as três 
equações. Desta forma, ܾ ݁ ܿ serão cancelados. 
ܽ ൅ ܾ ൌ 34 
െܾ െ ܿ ൌ െ18 
ܽ ൅ ܿ ൌ 30 
ܽ ൅ ܽ ൌ 34 െ 18 ൅ 30 
2ܽ ൌ 46 
ܽ ൌ 23 
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Letra B 
37. (TRT-SC 2005/FEPESE) Um círculo de área 16π está inscrito em um 
quadrado. O perímetro do quadrado é igual a: 
a) 32 
b) 28 
c) 24 
d) 20 
e) 16 
Resolução 
A área de um círculo de raio r é igual a ܣ ൌ ߨݎଶ. 
Como a área é igual a 16ߨ, então 
ߨݎଶ ൌ 16ߨ 
ݎଶ ൌ 16 
ݎ ൌ 4 
O círculo está inscrito em um quadrado. 
 
Observe que o lado do quadrado é igual ao dobro do raio do círculo (diâmetro). 
Assim, ℓ ൌ 2 · 4 ൌ 8. 
O perímetro do quadrado é igual a 
2݌ ൌ ℓ ൅ ℓ ൅ ℓ ൅ ℓ ൌ 4 · ℓ ൌ 4 · 8 ൌ 32 
Letra A 
38. (LIQUIGÁS 2008/CETRO)A figura abaixo é formada por um quadrado de lado 
6m “cortado” por um arco de circunferência. 
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Considerando ߨ=3,14, a área da região pintada de preto é 
de 
(A) 7,74m² 
(B) 7,98m² 
(C) 8,42m² 
(D) 8,86m² 
(E) 9,12m² 
 
Resolução 
 
A área de um quadrado de lado र é igual a र૛. A área de uma circunferência de 
raio ࢘ é igual a ࣊࢘૛. 
 
Observe que a região branca é um quarto de círculo. Portanto, a área da região 
pintada de preto é igual à área do quadrado menos a área branca. Lembrando 
que a área branca é igual à área do círculo dividida por 4. 
 
ܣ ൌ ܣ௤௨௔ௗ௥௔ௗ௢ െ ܣ௖í௥௖௨௟௢/ସ ൌ ℓ
ଶ െ
ߨݎଶ
4
ൌ 6ଶ െ
3,14 · 6ଶ
4
ൌ 7,74 
 
Letra A 
 
39. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um ladrilho branco quadrado com 
8 cm de lado tem no seu interior um círculo cinza de 2 cm de raio. 
 
 
A porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza é, 
aproximadamente: 
a) 11% 
b) 14% 
c) 17% 
d) 20% 
e) 24% 
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Resolução 
Vamos lembrar as fórmulas das áreas do quadrado e do círculo. 
A área de um quadrado de lado ݈ é igual a ݈ଶ. 
Portanto, a área do quadrado é igual a 8ଶ ൌ 64 ܿ݉ଶ. 
A área de um círculo de raio ݎ é igual a ߨݎଶ. (ߨ ൌ 3,1415926535 … ሻ 
Portanto, a área do círculo é igual a ߨ · 2ଶ ൌ 4ߨ ؆ 4 · 3,14 ൌ 12,56ܿ݉ଶ 
Para calcular a porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza 
devemos dividir a área do círculo pela área do quadrado e multiplicar por 
100%. 
12,56
64
· 100% ൌ
1256
64
% ൌ 19,625% 
Letra D 
40. (BADESC 2010/FGV) Uma circunferência de centro em O está inscrita 
em um quadrado de vértices A, B, C e D, como ilustrado. P, Q e R são pontos 
em que a circunferência toca o quadrado. 
 
Com relação à figura, analise as afirmativas a seguir: 
I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a 
metade da área total do quadrado. 
II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do 
quadrado. 
III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do 
que o feito por sobre os lados do quadrado. Assinale: 
(A) se somente a afirmativa I estiver correta. 
(B) se somente a afirmativa II estiver correta. 
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(C) se somente a afirmativa III estiver correta. 
(D) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. 
(E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 
Resolução 
Se o raio da circunferência for igual a ݎ, então o lado do quadrado é igual a 2ݎ. 
Comprimento da circunferência: ܥ ൌ 2ߨr 
Área do círculo: ܣ௖ ൌ ߨݎଶ 
Área do quadrado: ܣ௤ ൌ ℓଶ ൌ ሺ2ݎሻଶ ൌ 4ݎଶ 
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. 
I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a 
metade da área total do quadrado. 
 
Para calcular a área interior ao quadrado e exterior à circunferência, devemos 
calcular a diferença entre a área do quadrado e a área do círculo. 
ܣோ௘௚௜ã௢ ൌ ܣ௤ െ ܣ௖ 
ܣோ௘௚௜ã௢ ൌ 4ݎଶ െ ߨݎଶ 
Usando uma boa aproximação para o número ߨ ൌ 3,14: 
ܣோ௘௚௜ã௢ ؆ 4ݎଶ െ 3,14ݎଶ ൌ 0,86ݎଶ 
Como á área do quadrado é 4ݎଶ, então a metade da área do quadrado é 2ݎଶ. 
Portanto, a área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do 
que a metade da área total do quadrado. 
0,86ݎଶ ൏ 2ݎଶ 
O item é verdadeiro. 
II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do 
quadrado. 
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O triângulo em destaque na figura é retângulo de catetos iguais a ݎ. A distância 
AO pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras: 
ሺܣܱതതതതሻଶ ൌ ݎଶ ൅ ݎଶ 
ሺܣܱതതതതሻଶ ൌ 2ݎଶ 
ܣܱതതതത ൌ ݎ√2 
Portanto, a distância de A até O é maior do que a metade da medida do lado 
do quadrado. Isto porque a metade da medida do lado do quadrado é igual ao 
raio da circunferência e ݎ√2 ൐ ݎ. 
O item é falso. 
III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do 
que o feito por sobre os lados do quadrado. 
 
ݎ
ݎ
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O percurso PQR feito por cima da circunferência equivale a 1/2 do 
comprimento da circunferência. 
1
2
· 2ߨݎ ൌ
2ߨݎ
2
؆ 3,14 · ݎ 
O mesmo percurso feito pelos lados do quadrado: 
 
Este comprimento é igual a ݎ ൅ ݎ ൅ ݎ ൅ ݎ ൌ 4ݎ. 
Como 3,14ݎ ൏ 4ݎ, o percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é 
mais curto do que o feito por sobre os lados do quadrado. O item é verdadeiro. 
Letra D 
41. (SEE-RJ 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra duas semicircunferências de 
diâmetros AB e AC. 
 
Se AB = 2 e BC = 1, a razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura 
é: 
A) 0,5 
B) 0,6 
C) 0,8 
D) 1 
E) 1,2 
Resolução 
ݎ  ݎ
ݎݎ
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Vamos calcular a área da região R que é uma semicircunferência. 
Seu diâmetro AB mede 2, portanto seu raio mede 1. A área de uma semicircunferência 
é a metade da área de uma circunferência. 
ܴ ൌ
ߨݎଵ
ଶ
2
ൌ
ߨ · 1ଶ
2
 
ܴ ൌ
ߨ
2
 
Vamos calcular o raio da semicircunferência maior. Seu diâmetro é igual a: 
ܣܤ ൅ ܤܥ ൌ 2 ൅ 1 ൌ 3 
Como o raio é a metade do diâmetro, então o raio da semicircunferência maior é igual 
a 3/2. 
A área da região S é igual à área da semicircunferência maior menos a área da região 
R. 
ܵ ൌ
ߨݎଶ
ଶ
2
െ ܴ 
ܵ ൌ
ߨ · ቀ32ቁ
ଶ
2
െ
ߨ
2
ൌ
ߨ · 94
2
െ
ߨ
2
 
ܵ ൌ
9ߨ
8
െ
ߨ
2
ൌ
9ߨ െ 4ߨ
8
 
ܵ ൌ
5ߨ
8
 
A razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é: 
ܴ
ܵ
ൌ
ߨ
2
5ߨ
8
ൌ
ߨ
2
·
8
5ߨ
ൌ
8
10
ൌ 0,8 
Letra C 
42. (ATRFB 2009/ESAF) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm 
de raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 
cm de altura. De quantos cm é a distância entre o centro da base do cone e o ponto 
onde a esfera toca na superfície? 
a) 5 
b) 7,5 
c) 5 + 2/25 
d) 25 
e) 10. 
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Resolução. 
Uma esfera é uma figura com formato de uma bola de futebol. Um cone é uma figura 
com formato daqueles “chapéus de palhaço” que vemos em festa de aniversário de 
criança. 
Segue o desenho de um cone: 
 
A base de um cone é uma circunferência. Seu perfil é de um triângulo. 
A figura abaixo representa uma esfera, encostada num cone, ambos sobre uma 
superfície horizontal. 
 
A esfera foi desenhada de modo que seu raio é igual à altura do cone (ambas valem 
5). 
 
Seja d a distância perguntada (entre o centro da base do cone e o ponto em que a 
esfera toca o solo). 
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Como os pontos P e Q estão a uma mesma distância em relação ao solo, então eles 
estão ao longo de uma mesma horizontal. 
Com isso, o segmento PQ tem medida igual à d. 
 
Seja R o ponto em que a circunferência toca o cone: 
 
O ângulo entre o raio da circunferência e o segmento de reta tangente à circunferência 
é de 90º. Assim, o ângulo destacado em vermelho na figura abaixo é de 90º: 
 
Agora vamos observar o triângulo PST na figura abaixo: 
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