Livro - Apostila de Acionamentos e Comandos Elétricos - Cefet_(LGCL)

Prévia do material em texto

Campus VIII – Varginha 
Curso Técnico de Mecatrônica 
 
 
 
 
 
Teoria e Laboratório - 2ª edição (experimental) 
 
Com Guias de Aulas Práticas, Problemas Resolvidos & Listas de Exercícios e Problemas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANDRÉ BARROS DE MELLO OLIVEIRA 
 
VARGINHA - 2012
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CEFET-MG – Campus VIII 
 
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS 
Av. dos Imigrantes, 1000. Bairro Vargem. CEP: 37.022-560. Varginha – MG. 
Homepage: http://www.varginha.cefetmg.br
 
 
 
CEFET-MG - Acionamentos e Comandos Elétricos – Ensino Técnico – Curso Técnico de Mecatrônica. i 
Prefácio 
 
 
Este texto tem por objetivo principal oferecer um material básico de referência para a 
disciplina Acionamentos e Comandos Elétricos, do Curso Técnico de Mecatrônica. 
O texto conta com oito capítulos, numa seqüência que possibilita ao aluno consolidar os 
conceitos teóricos através da leitura dos tópicos, dos exemplos resolvidos e da resolução de problemas 
e exercícios, incluindo exercícios de simulação. Além disso, foram inseridos vários guias de aulas 
práticas (Apêndice III) que os (as) alunos (as) utilizarão nas aulas em laboratório (trabalhando em 
grupos de até cinco alunos). 
É importante que o leitor tenha como pontos de partida conceitos fundamentais da 
eletricidade, como o conhecimento do Sistema Internacional de Unidades (SI), da notação científica e 
de grandezas elétricas básicas. No primeiro capítulo são apresentados conceitos básicos de corrente 
alternada (CA), com ênfase no sistema trifásico. Para um aprofundamento neste assunto, o aluno já 
conta com uma disciplina no curso: Circuitos Elétricos. 
Vale salientar que o presente texto não deve substituir a literatura técnica da área de 
Acionamentos e Comandos Elétricos, pois as referências bibliográficas são, além de base desta obra, 
muito enriquecedoras em aspectos teóricos e práticos. O bom aluno deve sempre ler e pesquisar os 
assuntos referentes a esta disciplina do curso nos excelentes livros editados em português, além de 
apostilas e tutoriais disponíveis na Internet. 
Pede-se a compreensão dos alunos e professores pelos eventuais erros. Assim sendo, são 
imensamente bem-vindas as críticas, sugestões e correções, que certamente contribuirão para a 
melhoria deste material didático, que brevemente, poderá se transformar em livro. 
 
Varginha, fevereiro de 2012. 
 
Professor André Barros de Mello Oliveira. 
E-mail: mellogalo@gmail.com 
Espaço virtual: mellogalo.4shared.com 
 
CEFET-MG - Acionamentos e Comandos Elétricos – Ensino Técnico – Curso Técnico de Mecatrônica. ii 
 
 
CEFET-MG - Acionamentos e Comandos Elétricos – Ensino Técnico – Curso Técnico de Mecatrônica. iii 
Agradecimentos 
 
 Em primeiro lugar, agradeço a Deus pelo dom da vida e por ter me proporcionado saúde e 
vontade para realizar este trabalho. 
 Agradeço aos professores Márcio Silva Basílio, diretor geral do CEFET-MG, Fernando 
Teixeira Filho, diretor do Campus VIII -Varginha e Wanderley Xavier Pereira, coordenador do curso 
técnico de Mecatrônica, pelo constante incentivo para a produção de um material didático de 
qualidade. 
Aos professores Egidio Ieno Júnior e Daniel Soares de Alcântara, pela importante contribuição 
com idéias, discussões e ótimas referências bibliográficas, para a elaboração de guias de aulas práticas. 
 Agradeço também ao técnico de laboratório da área Eletro-Eletrônica, Antônio Carlos Borges, 
pelo constante apoio durante a elaboração de várias aulas práticas, desde 2009, juntamente com o prof. 
Daniel. 
 E, finalmente, aos alunos da disciplina Acionamentos e Comandos Elétricos, pelas dicas de 
melhoria das transparências e guias de aulas práticas, material de base para este texto e à Gráfica do 
CEFET-MG, localizada no Campus I, em Belo Horizonte, que sempre nos atendeu com ótimos 
serviços de impressão e encadernação, sempre dentro do prazo. 
 
 
André Barros. 
 
 
 
 
 
 
 
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CEFET-MG - Acionamentos e Comandos Elétricos – Ensino Técnico – Curso Técnico de Mecatrônica. v 
BIOGRAFIA 
 
 
André Barros de Mello Oliveira nasceu em Belo Horizonte, Minas Gerais, em 17 de julho de 1969. 
Formou-se em Engenharia Industrial Elétrica pelo Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas 
Gerais (CEFET-MG), em dezembro de 1992. Obteve o título de Mestre em Engenharia Elétrica pela 
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), em dezembro de 1998, na área de Eletrônica de 
Potência. Atuou como professor em Escolas de formação técnica em Belo Horizonte, como o SENAI, 
a Utramig, o SESI e o CEFET-MG, até 2001. De 2001 a 2006 foi professor/pesquisador nos cursos de 
Engenharia de Telecomunicações e de Engenharia Elétrica do Centro Universitário de Belo Horizonte 
(Uni-BH). Desde outubro de 2006 é professor do CEFET-MG em Varginha (campus VIII), tendo 
atuado nos cursos técnicos de Informática Industrial e Mecatrônica, até 2009. Atualmente é professor 
no curso técnico de Mecatrônica, onde, além de ministrar aulas, orienta alunos de Iniciação Científica 
e no Estágio Supervisionado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Acionamentos e Comandos Elétricos. Ensino Técnico – MECATRÔNICA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Um país se constrói com Homens e Livros.” 
(Monteiro Lobato) 
 
 
“Há grandes homens que fazem 
com que todos se sintam pequenos. 
Mas o verdadeiro grande homem é aquele 
que faz com que todos se sintam grandes.” 
(Gilbert Keith Chesterton)
 
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CEFET-MG - Acionamentos e Comandos Elétricos – Ensino Técnico – Curso Técnico de Mecatrônica. ix 
Lista de Abreviaturas 
 
 
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas - atua em todas as áreas técnicas do país. Os 
textos das normas são adotados pelos órgãos governamentais (federais, estaduais e municipais) e pelas 
firmas. Compõe-se de normas: NB, TB (terminologia), SB (simbologia), EB (especificação), MB 
(método de ensaio) e PB (padronização). 
AC – Alternating Current (corrente alternada). 
ANSI – American National Standards Institute, Instituto de normas dos Estados Unidos que publica 
recomendações e normas em praticamente todas as áreas técnicas. Na área dos dispositivos de 
comando de baixa tensão, tem adotado frequentemente especificações da UL e da NEMA. 
AT – Alta Tensão. 
BT – Baixa Tensão. 
CA – Corrente Alternada. 
CC – Corrente Contínua. 
CNC – Controle Numérico Computadorizado. 
CV – Cavalo-Vapor, unidade de potência mecânica, correspondente a 736 Watts. 
DC – Direct Current (corrente contínua). 
DIN – Deutshe Industrie Normen, Associação de normas industriais alemãs. Suas publicações são 
devidamente coordenadas com as da VDE. 
fem – força eletromotriz. 
FT – Relé de Sobrecarga. 
IEC – International Electrotechinical Comission. Comissão formada por representantes de todos os 
paises industrializados. As recomendações do IEC, publicadas por esta comissão, são normalmente 
adotadas na íntegra pelos diversos paises ou, em outros casos, está se processando uma aproximação 
das normasnacionais ao texto destas internacionais. 
HP – Horse-Power, unidade de potência mecânica, correspondente a 746 Watts. 
K – Contator. 
KT – Relé de Tempo. 
MI – Motor de Indução. 
MIM ou MM – Motor de Indução Monofásico. 
MIT – Motor de Indução Trifásico. 
NA – Normalmente Aberto (relativo ao tipo de contato de uma chave). 
NEMA – National Electrical Manufactures Association, Associação americana dos fabricantes de 
materiais elétricos. 
NF – Normalmente Fechado. 
 
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 - Rendimento. 
RPM (ou rpm) – Rotações por minuto. 
UL – Underwriters’ Laboratories Inc., entidade nacional de ensaio da área de proteção contra 
incêndio, nos Estados Unidos, que entre outras coisas, realiza ensaios de equipamentos elétricos e 
publica as suas prescrições. 
VCC – Tensão Contínua (o mesmo que VDC). 
VDE – Verband Deutscher Elektrotechniker, Associação de normas alemãs que publica normas e 
recomendações da área de eletricidade. 
VF – Tensão de Fase (tensão elétrica entre fase e neutro, VFN). 
VL – Tensão de linha (tensão elétrica entre duas fases, VFF). 
 
 
 
CEFET-MG - Acionamentos e Comandos Elétricos – Ensino Técnico – Curso Técnico de Mecatrônica. xi 
Sumário 
Capítulo 1 - Revisão de Conceitos e Aplicações de Corrente Alternada (CA) ...................................................... 17 
1.1 – Introdução ................................................................................................................................................ 17 
1.2 – Geração de Corrente Alternada ................................................................................................................ 23 
1.2.1 - Princípio de Funcionamento de um Gerador Elementar ................................................................... 25 
1.2.2 - Lei de Faraday – F.E.M. Induzida .................................................................................................... 25 
1.2.3 – Sinais CA – Principais Parâmetros .................................................................................................. 28 
1.2.4 – Sinais CA – Valores Característicos e Conceitos Importantes ......................................................... 30 
1.2.4.1 – Valor Médio, VCC ou VDC ..................................................................................................... 33 
1.2.4.2 – Valor Eficaz, Vef ou Vrms .......................................................................................................... 34 
1.3 – Relacionando Graus Elétricos e Tempo e Graus Elétricos e Mecânicos ................................................. 36 
1.4 – Representação Fasorial de uma Grandeza Elétrica Senoidal ................................................................... 38 
1.4.1 – Fasores ............................................................................................................................................. 38 
1.4.2 - Representação Matemática de um Fasor........................................................................................... 39 
1.6 - Sistema Trifásico ...................................................................................................................................... 54 
 
Capítulo 2 – Motores Elétricos. O Motor de Indução. ........................................................................................... 67 
2.1 – Introdução ................................................................................................................................................ 67 
2.2 – Aplicações de Motores CC e CA ............................................................................................................. 68 
2.2.1 – Motores de Corrente Contínua (ou motores CC) ............................................................................. 69 
2.2.2 – Motores de Corrente Alternada (ou motores CA) ............................................................................ 71 
2.3.1 – Motor de Indução ............................................................................................................................. 73 
2.3.1.1 - Motor de Indução com Rotor do Tipo Gaiola de Esquilo ......................................................... 73 
2.3.1.2 - Motor de Anéis ou com Rotor Bobinado .................................................................................. 74 
2.3.2 – Motor Trifásico de Múltiplas Velocidades ....................................................................................... 75 
2.3.2.1 – Motor Trifásico de Enrolamentos Separados ........................................................................... 76 
2.3.2.2 – Motor Dahlander ...................................................................................................................... 76 
2.4 – Partes Constituintes ................................................................................................................................. 77 
2.5 – Princípio de Funcionamento do Motor CA .............................................................................................. 78 
2.5.1 – Campo Girante de um Motor Trifásico ............................................................................................ 78 
2.5.2 – Velocidade Síncrona (ns) ................................................................................................................. 86 
2.5.3 - Escorregamento (s) ........................................................................................................................... 87 
2.5.3.1 – Tensões Induzidas no Rotor ..................................................................................................... 88 
2.5.4 – Conjugado ........................................................................................................................................ 90 
2.5.5 – Energia, Potência Elétrica e Potência Mecânica .............................................................................. 91 
2.5.6 – Potência Aparente, Ativa e Reativa ................................................................................................. 93 
2.5.7 – Fator de Potência .............................................................................................................................. 93 
2.5.8 – Rendimento ...................................................................................................................................... 95 
2.5.9 – Categorias de Conjugado ................................................................................................................. 96 
2.4 – Principais Características Nominais ...................................................................................................... 100 
2.5 – Ligações de Motores de Indução ........................................................................................................... 103 
2.5.1 – Ligações de motores de 6 (seis) terminais ..................................................................................... 104 
2.5.2 – Ligações de motores de 9 (nove) terminais .................................................................................... 106 
2.5.3 – Ligações de motores de 12 (doze) terminais .................................................................................. 108 
2.5.4 – Ligações de motores de duas velocidades (Dahlander) .................................................................. 111 
 
Capítulo 3 – Contator Magnético ........................................................................................................................ 115 
3.1 – Introdução .............................................................................................................................................. 115 
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CEFET-MG - Acionamentos e Comandos Elétricos – Ensino Técnico – Curso Técnico de Mecatrônica. xii 
3.2 – Contatores – Aspectos Construtivos, Classificação e Aplicações .......................................................... 118 
3.2.1 – Classificação dos Contatores ......................................................................................................... 118 
3.2.2 – Tipos de Contatores ....................................................................................................................... 118 
3.2.3 – Outras Considerações ..................................................................................................................... 119 
3.3 – Diagrama de Carga ................................................................................................................................ 123 
3.4 – Diagrama de Comando .......................................................................................................................... 126 
Exercício de Simulação 1 – ES1 – Uso de Aplicativos em FLASH e do CADE Simu .................................. 133 
 
Capítulo 4 – Dispositivos de Proteção e de Comando ......................................................................................... 141 
4.1 – Introdução .............................................................................................................................................. 141 
4.1.1 - Curto-circuito & Proteção............................................................................................................... 142 
4.2 – Fusíveis .................................................................................................................................................. 143 
4.2.1 - Operação do Fusível ....................................................................................................................... 143 
4.2.2 - Fusível – Definição Clássica .......................................................................................................... 144 
4.2.3 - Classificação ................................................................................................................................... 145 
4.2.4 - Principais Características ................................................................................................................ 146 
4.3 – Disjuntores ............................................................................................................................................. 155 
4.3.1 - Aspectos construtivos de um Disjuntor .......................................................................................... 156 
4.3.2 – Disjuntor – Curvas de Disparo ....................................................................................................... 157 
4.3.3 – Disjuntor Diferencial Residual ....................................................................................................... 158 
4.3.3.1 - Princípio de Proteção das Pessoas .......................................................................................... 160 
4.4 – Relés de Sobrecarga ............................................................................................................................... 163 
4.4.1 – Relé de Sobrecarga Bimetálico com Botão RESET e Tecla Multifunções .................................... 165 
4.4.2 – Relés Eletrônicos ........................................................................................................................... 167 
4.5 – Relé de Tempo ....................................................................................................................................... 170 
4.5.1 – Relés de Tempo Eletrônicos .......................................................................................................... 171 
 
Capítulo 5 – Dispositivos de Acionamento e de Sinalização .............................................................................. 181 
5.1 – Botão de Comando ................................................................................................................................ 181 
5.1.1 – Tipos de Contato ............................................................................................................................ 181 
5.2 – Chave de fim-de-curso ........................................................................................................................... 187 
5.3 – Sinalizadores .......................................................................................................................................... 188 
5.4 – Tomadas de Uso Industrial .................................................................................................................... 190 
 
Capítulo 6 – Comando de Motores Trifásicos com Contator .............................................................................. 199 
6.1 – Comando Local e à Distância ................................................................................................................ 199 
6.2 – Partida Direta ......................................................................................................................................... 200 
6.3 – Reversão de Rotação (manual e semi-automático) ................................................................................ 201 
6.3.1 – Chave Reversora de Comando Manual .......................................................................................... 202 
6.3.2 – Chave Reversora de Comando Semi-Automático .......................................................................... 204 
6.4 – Motor de duas Velocidades (Dahlander) ............................................................................................... 206 
6.5 – Comando Condicionado de Motores Elétricos ...................................................................................... 208 
 
Capítulo 7 – Sistemas de Partida de Motores Elétricos de Indução .................................................................... 223 
7.1 – Introdução .............................................................................................................................................. 223 
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3o. Bim.nullnullAgosto enullnullSet.nullnullnullnullCap. 6 e 7
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CEFET-MG - Acionamentos e Comandos Elétricos – Ensino Técnico – Curso Técnico de Mecatrônica. xiii 
7.2 – Chave Estrela-Triângulo Manual e Semi-Automática ........................................................................... 224 
7.2.1 - Vantagens e Desvantagens da Partida Y- ..................................................................................... 225 
7.2.2 – Diagrama da Chave de Partida Estrela-Triângulo no Modo Manual ............................................. 227 
7.2.3 – Diagrama da Chave de Partida Estrela-Triângulo no Modo Semi-Automático ............................. 228 
7.2.4 – Dimensionamento dos Contatores para a Chave de Partida Estrela-Triângulo .............................. 228 
7.3 – Chave Compensadora Semi-Automática ............................................................................................... 232 
7.3.2 – Correntes da Chave Compensadora ............................................................................................... 238 
7.3.2.1 – O Autotransformador .............................................................................................................238 
7.3.2.2 – Equacionamento das Correntes da Chave Compensadora: IK1, IK2 e IK3 ................................ 240 
7.4 – Chave para Motor de Indução com Rotor Bobinado (Resistência Rotórica) ......................................... 242 
7.4.1 – Chave de Partida para Motor de Indução com Rotor Bobinado ..................................................... 245 
 
Capítulo 8 – Motor Monofásico .......................................................................................................................... 251 
8.1 – Motor Monofásico - Princípio de Funcionamento e Componentes ....................................................... 251 
8.2 – Diagramas de Ligação em 127 V e em 220 V ....................................................................................... 256 
8.3 – Sistema de Reversão de Rotação no MM .............................................................................................. 258 
 
Apêndice I – Plano de Ensino da Disciplina de Acionamentos e Comandos Elétricos ....................................... 263 
Apêndice II – Normas e Símbolos utilizados em Comandos Elétricos ............................................................... 267 
Apêndice III - Aulas Práticas .............................................................................................................................. 269 
Aula Prática 1 - Acionamento de Lâmpadas e Medição de Corrente e Tensão Monofásicas .............................. 271 
Aula Prática 2 - Comandos de Acionamento por Chaves e Medição de Valores Trifásicos ............................... 275 
Aula Prática 3 – Controle de Carga utilizando Contator e Relé de Tempo ......................................................... 279 
Aula Prática 4 - Chave de Partida Direta - Motor de Indução Trifásico (MIT) de 6 Terminais .......................... 281 
Aula Prática 5 – Partida de um Motor Elétrico com Comando Direto e Intermitente ......................................... 285 
Aula Prática 6 – Partida Direta de um MIT com Reversão Temporizada ........................................................... 289 
Aula Prática 7 – Relé Eletrônico Temporizador aplicado na partida e na sinalização de um MIT ..................... 293 
Aula Prática 8 – Comando Condicionado de Cargas ........................................................................................... 299 
Aula Prática 9 – Montagem de Chave de Partida Manual e Automática para um Motor Dahlander .................. 303 
Aula Prática 10 – Montagem de Chave de Partida Estrela-Triângulo Semi-Automática .................................... 307 
Aula Prática 11 – Chave de Partida Compensadora ............................................................................................ 311 
Aula Prática 12 – Motor Monofásico – Acionamento Manual em 127 e em 220 V ............................................ 315 
Aula Prática 13 – Acionamento e Reversão Automática do Motor Monofásico ................................................. 319 
Aula Prática 14 – Chave de Partida para MIT com Enrolamentos Separados (2 velocidades) ........................... 323 
Aula Prática 15 – Frenagem de Motor de Indução .............................................................................................. 325 
Referências Bibliográficas ................................................................................................................................... 327 
mellogalo
Highlight
mellogalo
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4o. Bim.nullnullOut. enullnullNov.nullnullCap. 8.nullnullProjeto.
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. xiv 
Alfabeto Grego 
 
 
 
 
"Escola de Atenas", Rafael Sanzio. Retrata filósofos gregos e personalidades da época do pintor. 
Fonte: http://www.drsa.com.br/wp-content/uploads/2010/10/escola_atenas_rafael.jpg 
 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. xv 
 
 
Usina Hidrelétrica de Estreito. Descida do maior rotor Kaplan do Brasil. Agosto de 2010. 
Fonte: http://www.uhe-estreito.com.br/ver_imgprincipal.php?noticia_id=129
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. xvi 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 17 
Capítulo 1 
 
 
 Revisão de Conceitos e Aplicações 
de Corrente Alternada (CA) 
 
Capítulo 1 - Revisão de Conceitos e Aplicações de Corrente Alternada (CA) 
 
1.1 – Introdução 
 
 
No Brasil, a energia elétrica que é fornecida às residências, indústria e comércio, em geral, é 
produzida nas usinas hidrelétricas, onde ocorre a conversão de energia mecânica em elétrica 
(produção de tensão alternada pela rotação do eixo de um gerador trifásico, através de uma turbina 
acionada pela força da água). 
Em uma usina hidrelétrica, a água represada possui energia potencial gravitacional que se 
converte em energia cinética. Essa energia cinética é transferida às turbinas, que movimentam o 
gerador. Este, por sua vez, converte essa energia cinética em energia elétrica a qual será enviada 
através de condutores ao seu destino, através das linhas de transmissão (da usina geradora até as 
subestações de distribuição) e das linhas de distribuição (das subestações aos consumidores). 
Outras formas de se obter energia elétrica estão ilustradas na Figura 1.1: energia eólica (força 
dos ventos para tocar o eixo do gerador), energia solar, energia nuclear etc. 
 
 
 
 
Figura 1.1 – Exemplos de fontes alternativas de Corrente Alternada (CA). 
Fonte: BOYLESTAD, R. L. Introductory Circuit Analysis. 10th Edition, 2002. 
 
 As Figuras 1.2a e 1.2b mostram as partes constituintes de uma usina hidrelétrica. Tente 
descrever o processo em poucas palavras. 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 18 
 
(a) 
 
 
 
(b) 
 
Figura 1.2 – (a) Aspecto de uma Usina Hidrelétrica – vista de perfil. 
(b) Esquema de barragem de Usina Hidrelétrica com destaque para a turbina. 
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Hydroelectric_dam_portuguese.PNG 
 
- Questão importante: qual é a função do canal na entrada do duto? Responda se possível, 
com suas palavras. 
A Figura 1.3 mostra um zoom sobre a operação da turbina. Note-se que o seu eixo é que 
aciona o gerador de energia elétrica. 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 19 
 
 
Figura 1.3 – Esquema de uma turbina que aciona um gerador de uma usina hidrelétrica. 
Fonte: http://www.eletrica.ufpr.br/~jean/Eletrotecnica/Material_Didatico/Aula03_Sistemas_Trifasicos.ppt 
 
 
A Figura 1.4 mostra a represa Grand Coulee que é atualmente a terceira usina hidroelétrica 
mais potente do mundo. A represa, localizada no Rio Columbia, possui cerca de 1,6 km de 
comprimento, e o dobro da altura das Cataratas do Niágara. A sua construção foi iniciada em 1933, 
tendo sido inaugurada a 22 de março de 1941, quando possuía a maior capacidade de geração de 
eletricidade do mundo – aproximadamente 21000 GWh/ano. 
 A instalação de uma turbina do tipo Francis é mostrada na Figura 1.5. Repare no diâmetro do 
rotor da turbina, onde os técnicos trabalham. Na Figura 1.6 vê-se o rotor de uma turbina de um 
gerador da usina de Itaipu. 
A Turbina Francis é uma turbina hidráulica que foi desenvolvida pelo engenheiro americano 
James B. Francis, em 1849, daí o seu nome. Turbinas Francis são adequadas para operar entre 
quedas de 40 m até 400 m. No Brasil, a usina hidrelétrica de Itaipu, assim como a usina hidrelétrica 
de Tucuruí, usina hidrelétrica de Furnas, usina hidrelétrica de Foz do Areia, AHE de Salto Pilão e 
outras funcionam com turbinas tipo Francis, com cerca de 100 m de queda de água. Fonte: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Turbina_Francis.CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 20 
 
Figura 1.4 - Represa Grand Coulee, no estado americano de Washington, EUA. 
 
 
 
Figura 1.5 - Uma das 6 novas turbinas Francis, que produzem 1 milhão de HP de potência 
(cerca de 745 MW), sendo instalada na unidade 3 da represa Grand Coulee. 
Fonte: http://www.adrenaline.com.br/forum/showthread.php?t=111453 
 
 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 21 
 
Figura 1.6 – Descida do rotor do gerador da Unidade Geradora 1 (turbina) da Usina Hidrelétrica Estreito. 
Fonte: http://www.pnegrao.com.br/2010/12/montagem-da-primeira-unidade-geradora.html. 
 
 A usina hidroelétrica de ITAIPU, nacional, é uma das que mais produz eletricidade (veja a 
matéria a seguir, dados de 2010). É um empreendimento binacional desenvolvido pelo Brasil e pelo 
Paraguai no Rio Paraná. A potência instalada da usina é de 12.600 MW (megawatts), com 18 
unidades geradoras de 700 MW cada. A Figura 1.7 mostra o seu aspecto de sua barragem. 
 
Itaipu fecha 2010 com geração de 85,9 milhões de MWh 
 
Itaipu produziu em 2010 um total de 85.970.318 megawatts-hora (85,97 milhões de MWh), o 
suficiente para suprir todo o consumo do Paraná durante três anos e sete meses. Ou então, os três estados da 
região Sul por um ano e dois meses. O mesmo volume ainda abasteceria a demanda de Portugal por energia 
elétrica durante um ano e oito meses. 
Como comparação, a usina de Três Gargantas, na China, que tem maior capacidade instalada (maior 
barragem e maior represa do mundo), fechou o ano anterior (2009) com 79,5 milhões MWh. A produção da 
megausina chinesa em 2010 ainda não foi divulgada. A terceira maior produtora do mundo, a usina de Guri, na 
Venezuela, produziu 53,4 milhões MWh em 2009. Quase a metade de Itaipu. 
Com um detalhe: Itaipu foi projetada para gerar até 75 milhões MWh. Um número que foi superado já 
em 1995, com a produção de 77,2 milhões MWh. Depois disso, Itaipu sempre gerou acima do teto. Na maioria 
dos anos, muito acima. Considerando a média dos últimos cinco anos, a geração chega a 91,1 milhões MWh, 
um desempenho sem igual no setor elétrico mundial. 
 
Fonte: www.itaipu.gov.br/sala-de-imprensa/noticia/itaipu-fecha-2010-com-geracao-de-859-milhoes-de-mwh 
 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 22 
A Tabela 1.1 mostra uma comparação de alguns aspectos técnicos entre as usinas de Itaipu e 
a de Três Gargantas (chinesa). 
 
Tabela 1.1 – Quadro comparativo das usinas de Itaipu e de Três Gargantas (dados de 2010). 
Fontes: http://www.itaipu.gov.br/energia/comparacoes e China Three Gorges Corporation. 
Usina Itaipu (Brasil) Três Gargantas (China) 
Turbinas 20 32 (6 subterrâneas) 
Potência nominal 700 MW 700 MW 
Potência instalada 14.000 MW 
22.400 MW (quando completa, em 
2011) 
Recorde de 
produção anual 
94,7 bilhões kWh/ano 
(2008) 
84,3 bilhões kWh/ano (2010) 
Produção anual 
85,9 bilhões kWh/ano 
(2010) 
84,3 bilhões kWh/ano (2010) 
Concreto utilizado 12,57 milhões m³ 27,94 milhões m³ 
Altura 196 metros 181 metros 
Comprimento da 
barragem 
7.744 metros 
(concreto, enroscamento e 
terra) 175 metros (dique de 
Hernandárias) 
4.149 metros (concreto 2.309 m e dique 
Maoping 1.840 m) 
Vertedouro - 
capacidade de 
vazão 
62.200 m³/s 120.600 m³/s 
Escavações 63,85 milhões m³ 134 milhões m³ 
Número de 
pessoas 
reassentadas 
40 mil 1,13 milhão 
 
 
Figura 1.7 – Aspecto da Barragem da Usina hidrelétrica de Itaipu. 
Fonte: http://www.adrenaline.com.br/forum/showthread.php?t=111453. 
 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 23 
1.2 – Geração de Corrente Alternada 
 
A Figura 1.8 apresenta o esquema de um gerador elementar de uma espira, submetida à ação 
de um fluxo magnético, interno à região entre os pólos norte e sul de um ímã. 
 Mas, o que é uma espira? Numa definição simples, uma espira constitui um tipo de circuito 
elétrico, com aplicações na produção de campo magnético e eletricidade. É um componente 
encontrado em geradores de energia elétrica, motores elétricos, transformadores e indutores, dentre 
outros. 
 
 
Figura 1.8 – Aspecto básico de um gerador CA com um alternador para geração de uma tensão senoidal. 
 
A Figura 1.9 mostra dois exemplos de bobinas, construídas a partir de um conjunto de 
espiras. A Figura 1.10 mostra a aplicação de uma bobina em um disjuntor (dispositivo de proteção, a 
ser estudado no capítulo 4). 
 
 
 (a) (b) 
Figura 1.9 – (a) Detalhe de uma bobina. (b) Indutor ou bobina de comprimento l formado por N espiras. 
 
 
 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 24 
 
Figura 1.10 - Aspecto de um Disjuntor 
(veja detalhe da bobina). Fonte: 
 http://www.abracopel.org.br 
O transformador é outro equipamento 
onde, a partir do projeto de suas bobinas 
(entrada: primário e saída: secundário), se pode 
elevar ou reduzir a amplitude de um sinal 
alternado aplicado nos terminais de entrada – 
veja a Figura 1.11a. 
Estas bobinas são enroladas em torno 
de um núcleo comum (em baixa freqüência o 
núcleo é feito de material magnético como o 
aço laminado e em alta freqüência é feito de 
materiais não magnéticos, como o ferrite). 
A Figura 1.11b mostra um 
transformador de potência (rede de distribuição 
de energia elétrica). 
 
 
 
 
(a) 
 
 (b) 
Figura 1.11 – (a) Esquema de um transformador monofásico. (b) Transformador trifásico, 
do tipo encontrado em postes nos sistemas de distribuição de energia elétrica. 
BOBINA 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 25 
1.2.1 - Princípio de Funcionamento de um Gerador Elementar 
 
O condutor (na prática uma bobina) é girado por uma turbina a vapor ou qualquer outra 
forma de energia mecânica. Esta rotação provoca uma alteração contínua no fluxo magnético em 
torno do condutor, o que faz surgir uma tensão induzida sob forma senoidal no mesmo. A Figura 
1.12a mostra uma espira inclinada em relação às linhas de campo magnético (pelo vetor 
B
 ). 
 
 
 (a) (b) 
Figura 1.12 – (a) Espira da Figura 1.8 inclinada por um ângulo alfa () em relação às linhas de campo 
magnético B. (b) A mesma espira girando na região de campo magnético, o que produz uma tensão senoidal 
nos seus terminais. Fonte: http://macao.communications.museum/images/exhibits/small/2_4_1_1_por.png 
 
1.2.2 - Lei de Faraday – F.E.M. Induzida 
 
 Está associado à quantidade de linhas de indução magnética que atravessa a superfície 
delimitada por uma espira. 
cosBA 
 (1.1) 
Onde: 
- B é dado em Tesla [T]; A é a área da espira, em m
2
 e  é o 
ângulo determinado entre a reta normal à superfície e a direção 
do vetor indução. 
A Lei de Faraday, também chamada de lei da Indução 
Eletromagnética, está relacionada com a força eletromotriz 
induzida em uma espira, quando há variação de fluxo magnético 
com o tempo. 
 “A f.e.m. em volts, induzida em um circuito é igual 
ao negativo da taxa de variação com que o fluxo magnético 
através do circuito está mudando no tempo”. (Michael 
Faraday, 1791-1867 – Figura 1.13). 
 
Figura 1.13 - Michael Faraday. 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentose Comandos Elétricos. 26 
Matematicamente a Lei de Faraday pode ser expressa pela Equação (1.2): 
 
N
t



 

 (1.2) 
 
A variável N, nesta equação, é o número de espiras e o sinal negativo indica a polarização da 
f.e.m. induzida (Lei de Lenz). 
Para uma variação infinitesimal (valores do delta, , tendendo para zero), utiliza-se a 
derivada, d/dt. Logo, para uma função cosenoidal - veja a Equação (1.1): 
 
cos sen
d
x x
dx
 
 (1.3) 
 
A função seno é a derivada do co-seno, daí: 
 
 
 
 
cos
cos
. sen
Nd BANd
dt dt
d
NBA k
dt



 
   
     
 
 
 . k sen  (1.4) 
 
Onde k = B.A.N é o valor máximo da tensão ou f.e.m. induzida. 
Logo, teremos 
 
max em  = 90 graus (sen 90
o
 = 1). 
min em  = 270 graus (sen 270
o
 = - 1). 
 
 A Figura 1.14 mostra a formação de uma senóide de acordo com o giro de uma espira. Pela 
Equação (1.4), determina-se o valor da f.e.m. induzida nos instantes 1, 2, 3, 4 e 5. 
Outra interpretação da formação da senóide da Figura 1.13 leva em conta que: 
- para os instantes 1, 3 e 5, onde a f.e.m. é nula, isto se justifica pelo fato de que não há 
variação de fluxo magnético. A variação máxima ocorre nos intervalos entre os instantes 1 e 2 
(variação max positiva), 2 e 3 (max negativa), 3 e 4 e 4 e 5. 
 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 27 
 
Figura 1.14 – Um ciclo completo da tensão CA com o giro de 360 graus de uma espira. 
 
Pela Figura 1.15, pode-se acompanhar o ciclo completo da senóide formada pelo giro de um 
fasor, indicado no diagrama indicando um ciclo de 0 a 360 graus. 
Para um gerador de 2 pólos (norte e sul), a rotação de uma bobina ao longo de 360º 
geométricos (ou graus mecânicos) gera sempre 1 ciclo de 360º elétricos de tensão (gerador de 2 
pólos). Observe que, por exemplo, para um ângulo  de 90 graus – veja a Equação (1.4), a tensão 
induzida na espira é máxima, já que 
0
max.sen .sen90 .k k    
 
 
 
Figura 1.15 – Dois ciclos de tensão alternada gerados pela rotação de uma espira. 
Fonte: B. Grob, Eletrônica Básica, 4a. Ed. New York: McGraw Hill, 1977. 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 28 
1.2.3 – Sinais CA – Principais Parâmetros 
 
• Período (T) - duração de um ciclo ou ainda o intervalo de tempo entre dois pontos da curva de 
mesma situação (picos positivos ou negativos, p. ex.). 
É medido em segundos (s). 
• Freqüência (f) – número de repetições de um movimento ou ainda a quantidade de ciclos que 
cabem em um segundo. 
É medida em Hertz (Hz). 
1
f
T
 
 Logo, 
1
T
f
 
. Daí, Hz = 1/s ou s
-1
. 
• A freqüência do sistema elétrico no Brasil é de 60 Hz; em outros países se usa 50 Hz. 
• Curiosidade 1: na área de telefonia celular, os padrões de freqüência de operação atuais estão na 
faixa de GHz (lembre-se de que 1 G = 1 x 10
9
). 
• Curiosidade 2: para ondas de rádio (sinais sonoros), temos os sinais em AM (amplitude 
modulada) e em FM (frequência modulada). O Rádio FM oferece maior qualidade sonora do que 
o AM, já que a sua banda de passagem é de 200 kHz por canal, bem maior que os 10 kHz do 
rádio AM. Fonte: http://www.willians.pro.br/frequencia/cap3_espectro.htm 
 
EF - Exercícios de Fixação 
Série 1 
EF1 – Para a forma de onda de corrente CA (e mA) da Figura 1.16, pede-se: 
a) Encontrar o seu período e a sua freqüência. 
b) Desenhar outro sinal de corrente com freqüência duas vezes maior. 
 
 
Figura 1.16. 
 
 
EF2 – Por que, na construção de uma bobina, utiliza-se o fio de cobre envernizado? 
EF3 – Explicar matematicamente (através de uma ou mais equações) por que em uma bobina com 
muitas espiras se consegue induzir mais tensão elétrica. 
EF4 – Seja o esquema da Figura 1.17. 
a) Por que a corrente é alternada no resistor R? 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 29 
b) Se um técnico projeta uma espira 3 x menor em relação à apresentada nesta figura, o que ocorre 
com o valor de pico da senóide produzida? Justifique. 
c) Se a espira fica parada, há indução de tensão nos terminais do resistor R? 
 
EF5 – Examinar a Figura 1.18 e explicar porque a corrente é contínua no circuito externo 
(representado pelo resistor R). 
 
 
 
Figura 1.17. 
 
 
 
Figura 1.18. 
 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 30 
1.2.4 – Sinais CA – Valores Característicos e Conceitos Importantes 
 
 A equação geral de um sinal de tensão senoidal (o mesmo vale para um sinal de corrente) é 
dada, de acordo com a Lei de Faraday, pela Equação (1.5): 
 
maxv(t) = V .sen (ωt+ )
 (1.5) 
Onde: 
 
1) v(t) é o valor instantâneo da tensão; 
2) Vmax é o máximo valor que a tensão pode atingir, também denominada de amplitude ou tensão de 
pico (ver a Figura 1.19); 
3) Valor de pico-a-pico, Vpp : é a distância entre os valores máximo e mínimo. Matematicamente, 
para um sinal simétrico como o da Figura 1.19, este parâmetro é: 
 
pp max max maxV =V -(-V )=2.V
 (1.6) 
 
 
Figura 1.19 – Representação de uma senóide. 
 
4) O ângulo  (phi, legra grega) é o ângulo de fase inicial, que indica a posição angular onde se 
inicia o semiciclo positivo da forma de onda senoidal. 
Pela Figura 1.20a vê-se que o semiciclo positivo começa antes do zero (0) no eixo t. A 
onda senoidal está ADIANTADA em relação ao instante 0 (zero). O ângulo de fase é considerado 
positivo ( > 0) na Equação (1.5). 
Já na Figura 1.20b o semiciclo positivo começa após o instante zero (0) no eixo  t. 
Portanto, a onda senoidal está ATRASADA em relação ao instante 0 (zero) e o ângulo de fase é 
considerado negativo ( < 0) na Equação (1.5). 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 31 
 
 (a) (b) 
Figura 1.20 – (a) Ângulo de fase  > 0 (onda senoidal ADIANTADA em relação a t = 0. 
(b) Ângulo de fase  < 0 (onda senoidal ATRASADA em relação a t = 0. 
 
Na Equação (1.5)  (letra grega teta) é um ângulo, em função da frequência angular  (rad/s) 
e do tempo (s). Graficamente é representada no eixo horizontal. 
 
 =t = (2/T).t [rad] (1.7) 
 
EExemplo 1.1 
 
A expressão
0( ) 5.sen (100 35 )v t t 
 mostra que este sinal está com um ângulo de fase  = 
35
0
, logo, encontra-se adiantada em relação ao instante 0 s (ou ao ângulo 0
0
). 
Teste: para t = 0, 
0( ) 5.sen (35 ) 2,87 V.v t  
 Veja a forma de onda deste sinal na Figura 1.21, 
bem como o valor instantâneo em t = 0, para um ângulo de fase  = 350. Nesta figura, o ângulo de 
fase está indicado com a letra grega , ao invés de . 
 
 
Figura 1.21. 
 
5)  (letra grega ômega) indica a velocidade de giro angular, dada por 
 
  = 2f ou  = 2 / T [rad/s] (1.8) 
onde f = freqüência e T = período. 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 32 
6) Identificação de grandezas elétricas variantes no tempo 
 
 As grandezas elétricas, quando variantes no tempo, são identificas pela letra MINÚSCULA. 
Por exemplo: v(t), tensão CA e i(t), corrente CA. 
 Quando se quer escrever/identificar os parâmetros destas grandezas, como valor máximo, 
valor de pico-a-pico, valor médio, valor eficaz etc.,faz-se o uso de letras MAIÚSCULAS. 
 Exemplo: 
pp max RMS DCV ,V ,V ,V
 etc. 
 
 
EF - Exercícios de Fixação 
Série 2 
 
EF6 – Sejam as formas de onda da Figura 1.22. Pede-se determinar as equações de i(t) e v(t). As 
duas formas de onda estão em fase? Justifique. 
 
Figura 1.22 – EF6 (BOYLESTAD, 2002). 
 
EF7 – Seja a tensão senoidal (Figura 1.23), cuja equação é v(t) = 20 sen (500..t -  /4). 
 
 
Figura 1.23 - EF7 (BOYLESTAD, 2002). 
 
a) Qual é o seu valor máximo, Am? Qual é a sua velocidade angular () em rad/s? 
b) Qual é o seu ângulo de defasagem inicial () em rad? Encontre este parâmetro em ms. 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 33 
c) Encontre para este sinal o período (T) em s e a freqüência (f) em Hz. 
EF8 – Para o sinal da Figura 1.24, pede-se encontrar, com base nas informações: 
Escala vertical: 2 V/div. e 1 A/div. Escala Horizontal: 0,2 ms / div. 
a) o período de i(t) e e(t), em ms e a amplitude de pico a pico do sinal e(t); 
b) o defasamento em graus e em ms entre os sinais e(t) e i(t). 
 
 
Figura 1.24 – Dois sinais defasados no tempo (BOYLESTAD, 2002). 
 
1.2.4.1 – Valor Médio, VCC ou VDC 
 
 O valor médio de uma função representa o resultado líquido da variação de uma grandeza 
física como deslocamento, temperatura, tensão, corrente, etc. (MUSSOI, 2006). 
 Para uma grandeza em função do tempo, por exemplo, o valor médio é dado pela soma das 
áreas positivas e negativas que são descritas periodicamente ao longo do tempo. 
Assim, para uma forma de onda, como mostra a Figura 1.25, o valor médio é determinado 
pela área total sob a curva, dividido pelo período da forma de onda: 
 
 
Comprimento da curva
med
A Areas sob a curva
V
T
 
  (1.9) 
 
 
Figura 1.25 - Conceituando graficamente o valor médio de uma forma de onda (MUSSOI, 2006). 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 34 
EExemplo 1.2 - Qual é o valor médio da forma de onda da Figura 1.26? 
 
 
 
 Figura 1.26 (BOYLESTAD, 2002) – ER1. 
Solução: 
 
 
 
EExemplo 1.3 
 
Determine o valor médio para a forma de onda da Figura 1.27. 
 
 
 
Figura 1.27 (MUSSOI, 2006). 
 
Solução:        4 2 2 2 3 2 1 2 8 4 6 2 12
1,5.
8 8 8
medioV
          
   
 
 
1.2.4.2 – Valor Eficaz, Vef ou Vrms 
 
 O valor eficaz de uma função representa a capacidade de produção de trabalho efetivo de 
uma grandeza variável no tempo entre as excursões positivas e negativas da mesma. 
 Para uma grandeza senoidal (Figura 1.28), cuja equação no domínio do tempo é dado por 
v(t) = Vmax sen t, o seu valor eficaz é dado pela Equação (1.10). 
 
max
2
ef
V
V 
 (1.10) 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 35 
 
Figura 1.28 – Valor eficaz de uma senóide (MUSSOI, 2006). 
 
 
 Para entender de modo simples o significado físico do valor eficaz (também conhecido como 
valor RMS, de root mean square, valor médio quadrático), faz-se a análise da potência elétrica 
fornecido a um mesmo resistor, primeiro com uma fonte de tensão contínua e depois com uma fonte 
CA senoidal, como mostra a Figura 1.29. 
No primeiro circuito, alimentado pelo sinal em CC: 
 
 
1 1 127 100 1,27 .I V R A  
 
Daí, P1 = V1I1 = 127 V  1,27 A = 161,29 W. 
 
 
Figura 1.29 - Circuitos para medição da potência RMS num resistor. Simulação no Software PSpice
®
. 
 
 O segundo circuito é alimentado por um sinal senoidal, que é ajustado para que um 
amperímetro indique uma corrente de 1,27 A (alternada), a fim de que seja dissipada a mesma 
potência que no primeiro circuito. 
 Logo, P2 RMS = 127 VRMS . 1,27RMS A = 161,29 WRMS. 
 O valor ajustado para a senóide equivale a uma tensão contínua a qual aplicada a um 
elemento resistivo, dissipa a mesma potência (em CA) que no primeiro circuito (em CC). O circuito 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 36 
da Figura 1.30 mostra um modo prático de se medir a energia térmica entregue por ambas as fontes 
ao resistor R. 
 
 
 
Figura 1.30 – Circuito para medição da energia dissipada pelo resistor alimentado por fontes 
CC e CA. Fonte: BOYLESTAD, R. L. Introductory Circuit Analysis. 10th Edition, 2002. 
 
Em resumo: o valor da tensão eficaz ou da corrente eficaz é o valor que produz numa resistência o 
mesmo efeito que uma tensão/corrente contínua constante desse mesmo valor. 
 
Observações: 
 
• Os instrumentos comuns de medição em corrente alternada (voltímetros, amperímetros e 
multímetros) fornecem valores eficazes somente para sinais senoidais; 
• Para medir o valor eficaz de uma forma de onda de tensão (ou de corrente) não perfeitamente 
senoidal deverá ser usado um voltímetro (ou amperímetro) mais sofisticado, conhecido como True 
RMS (Eficaz Verdadeiro) que é capaz de fazer a integração da forma de onda e fornecer o valor 
eficaz exato para qualquer forma de onda. 
• Para uma forma de onda contínua constante (de tensão ou corrente, por exemplo) o valor eficaz é 
igual ao valor médio. 
 
1.3 – Relacionando Graus Elétricos e Tempo e Graus Elétricos e Mecânicos 
 
 De acordo com a Figura 1.15, é muito simples relacionar graus elétricos (referentes a 
grandezas elétricas, obviamente) e o tempo em segundos. 
 Supondo que um ciclo da senóide desta figura (360 graus) ocorre em um tempo de 10 ms, 
para encontrar, por exemplo o instante onde ocorre o primeiro valor máximo positivo (vB), basta 
resolver a regra de três simples: 
 
 360 graus 10 ms 
 090 graus tB 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 37 
 Encontra-se para tB o instante 2,5 ms, correspondente a ¼ de ciclo. 
 Para relacionarmos graus elétricos e mecânicos, basta aplicar a seguinte definição: 
 
Numa máquina de p pólos (veja a Figura 1.31), uma rotação completa do rotor 
corresponderá a p/2 ciclos de tensão. A denominação da posição do rotor de graus mecânicos e do 
ângulo correspondente a cada valor do ciclo de tensão gerada de graus elétricos permite 
estabelecer a seguinte relação: 
 
2
elet mec
p
  
 (1.11) 
 
Onde elet = graus elétricos (em graus ou radianos); mec = graus mecânicos (físicos, em graus ou 
radianos) e p = número de pólos. 
 
 
 
(a) 
 
 
 
 
 
(b) 
 
Figura 1.31 – (a) Gerador elementar CA monofásico de 2 pólos. (b) Gerador elementar CA trifásico de 2 pólos. 
 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 38 
1.4 – Representação Fasorial de uma Grandeza Elétrica Senoidal 
 
1.4.1 – Fasores 
 
Uma grandeza senoidal pode ser representada por um vetor que gira com velocidade angular 
constante , em rad/s. Se este representa uma grandeza elétrica (tensão ou corrente), damos a ele o 
nome de FASOR (Figura 1.32). 
 
Figura 1.32 – (a) Representação fasorial de uma grandeza senoidal x(t), ilustrada em (b). 
 
 
Notas: 
 
1) o FASOR não é como o vetor, pois possui somente módulo e sentido (horário ou anti-horário); 
2)  = 2f  frequência angular (rads/s). 
Na Figura 1.33 a onda B está adiantada ou atrasada da onda A? Qual é o ângulo de fase? 
 
 
 
 (a) (b) 
 
Figura 1.33 – Ondas senoidais. (a) Formas de onda. (b) Diagrama de fasores. 
 
 
 
CEFET-MG– Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 39 
 Na Figura 1.34 vêem-se dois sinais, de tensão, v(t) e de corrente, i(t). No primeiro gráfico o 
defasamento é de 180 graus (sinais fora de fase). No segundo gráfico as grandezas estão em fase 
(ângulo de defasagem nulo entre ambas as formas de onda). 
 
 
Figura 1.34 – Sinais em contra fase e em fase. 
 
 O oscilograma da Figura 1.35 mostra três sinais de tensão. Qual deles está mais adiantado? 
Os três sinais possuem a mesma freqüência? Justifique. 
 
 
 Figura 1.35 – Três senóides defasadas entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.2 - Representação Matemática de um Fasor 
 
 FASOR é um NÚMERO COMPLEXO que representa a amplitude (alguns autores utilizam 
o valor máximo; outros o valor eficaz) e a fase (ângulo de fase) de uma tensão ou corrente senoidal. 
Neste texto será adotado o valor eficaz como amplitude do fasor. 
 
DOMÍNIO DO TEMPO: 
 max( )x t X sen t  
 
FORMA POLAR: 
eficazX X 
 
 
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EExemplo 1.4 
 
Seja um sinal de 
 0( ) 180. 377 45v t sen t 
 [V]. Qual é a sua forma polar? 
Solução: 
Na forma polar ele pode ser representado como: 
0180 45 V.
2
V 
 
Relembrando, o valor eficaz de um sinal senoidal é 
max
2
ef
V
V  
 
 
EExemplo 1.5 
 
Um fasor é representado como 
05 15 AI  
. Pede-se encontrar a expressão de i(t) e a queda de 
tensão em um resistor R de 10 ohms por onde circula esta corrente, escrita no domínio do tempo e na 
forma polar. 
Solução: 
a) i(t) será representado no domínio do tempo como: 
 0( ) 5 2. 15 .i t sen t 
 
b) Da Lei de Ohm, vR(t) = Ri(t). 
    0 0
0
( ) ( ) 10 5 2. 15 50 2. 15
 50 -15 .
R
R
v t R i t sen t sen t
Na forma polar V V
       
 
 
 
 
EF - Exercícios de Fixação 
Série 3 
 
EF9 - Escreva a função e desenhe a forma de onda de um sinal senoidal 1 com freqüência 50 Hz e 
valor de pico de 5 V. Adote este sinal como referência (angulo 0°). 
 
EF10 - Suponha um sinal senoidal 2 atrasado de 90° em relação ao sinal 1, com valor de pico de 2 V 
e mesma frequencia. Escreva a função e a forma de onda do sinal 2. 
 
EF11 - Desenhar o diagrama fasorial dos sinais 1 e 2. Qual o período destes sinais? 
 
EF12 - Desenhe um sinal senoidal com período 1 ms e valor eficaz (rms) de 8 V, adiantado de 45° 
em relação à referência. Escreva a função e o diagrama fasorial do sinal. 
 
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EF13 - Uma certa tensão elétrica é descrita pela equação v = 120 sen 377t. 
 
a) Qual é a tensão instantânea quando t = 10 ms ? 
b) A onda co-seno (com o mesmo aspecto da onda senoidal) é deslocada da onda senoidal de 90 
graus (1/4 de período à frente). Escreva a equação da onda de tensão dada neste exercício na forma 
co-senoidal e desenhe a mesma no oscilograma da Figura 1.36. 
 
EF14 - Se uma tensão CA tiver um valor máximo de 155,6 V, qual será o ângulo de fase para o qual 
a tensão instantânea é de 110 V? 
 
 
Figura 1.36 – EF 14. 
 
EF15 – Encontre o defasamento entre as formas de onda de tensão e corrente nas duas situações da 
Figura 1.37 (formas de onda em (a) e em (b)). 
 
 
(a) 
 
 
(b) 
Figura 1.37 – EF15. 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 42 
1.4.3 – Operações Matemáticas com Fasores 
 
 Na análise de circuitos elétricos, a representação trigonométrica (expressões trigonométricas, 
no domínio do tempo) permite realizar algumas operações matemáticas entre as grandezas tensão, 
corrente e potência elétricas, mas de modo trabalhoso. 
 A representação fasorial surge então como uma importante ferramenta, já que facilita as 
operações matemáticas, pois os sinais senoidais de tensão, de corrente e de potência podem ser 
representados através de fasores e estes, por sua vez, podem ser representados por números 
complexos. 
Os números complexos são operados por uma álgebra própria, bem mais simples que os 
cálculos envolvendo trigonometria. A Figura 1.38 explica isto de forma bastante visual. 
Assim, uma forma de onda senoidal dada por v(t) = 5 sen (30t + 45
0
) poderá ser 
representada na forma retangular ou polar na seguinte forma: 
05 45 V
2
ef vV V   
 
 
 
Figura 1.38 – Representação em diagrama de blocos da operação com fasores (MUSSOI, 2006). 
 
 
1.4.3.1 – Fasores representados por Números Complexos 
 
 Um fasor é um vetor radial girante, como já foi visto, e permite realizar com facilidade 
operações algébricas entre os sinais de um sistema elétrico. 
Basta, para isto, utilizar uma ferramenta matemática para a sua representação, a qual faz uso 
dos números complexos. 
Um número complexo pode ser representado na forma retangular (ou forma cartesiana), 
como mostra a Figura 1.39. É um número composto por uma parte real e uma parte imaginária: 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 43 
Z a jb 
 (1.12) 
 
onde j é um operador matemático que desloca um fasor real de  90 graus para o eixo imaginário 
(logo, o fasor b, deslocado de + 90 graus é representado por +jb e, deslocado de – 90 graus, é 
representado por - jb). Assim, j é considerado um operador rotacional. 
 
 
Figura 1.39 – Álgebra fasorial e números complexos. 
 
 O operador j, apresentado na Equação (1.12), é denominado operador complexo e definido: 
 
1j  
 (1.13) 
 
 Na matemática é utilizado o operador i é usado invés do j, mas em Eletricidade o fator i 
poderia ser confundido com o valor instantâneo da corrente, daí o uso preferencial do j. 
 Na Figura 1.38 o coeficiente a representa a projeção de Z no eixo real e b representa a 
projeção de Z sobre o eixo imaginário. 
O ângulo do fasor pode ser encontrado facilmente da Equação (1.14): 
 
 1tan b a 
 (1.14) 
 
 já que tan  = b/a, onde a = cateto adjacente e b = cateto oposto (ao ângulo teta, ), como 
ilustra melhor a Figura 1.40. 
 
 
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Figura 1.40 – O fasor Z e seus componentes a e b. 
 
 Resumindo, as relações apresentadas anteriormente possibilitam transformações entre as 
notações RETANGULAR  POLAR e POLAR  RETANGULAR. 
 
EExemplo 1.6 
 
Um fasor representado forma POLAR como 
01 30 AI  
 será representado na forma 
RETANGULAR ou COMPLEXA como I = (1.cos 30
0
) + j (1.sen 30
0
)  I = 0,87 + 0,5 j. 
 
1.4.3.2 – Adição e Subtração entre Fasores 
 
 Para estas operações, utiliza-se a forma retangular para obter o fasor resultante. Sejam os 
fasores 
1 1 1Z a jb 
 e 
2 2 2Z a jb 
, sobre os quais se deseja obter: 
 
SOMA: 
1 2Z Z Z 
 
12( ) 1 1 2 2
12( ) 1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
soma
soma
Z a jb a jb
Z a a j b b
   
   
 
SUBTRAÇÃO: 
1 2Z Z Z 
 
12( .) 1 1 2 2
12( .) 1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
Subtr
Subtr
Z a jb a jb
Z a a j b b
   
   
 
 
Em resumo: 
1) na operação de soma e subtração entre dois fasores, trabalha-se na forma complexa e somam-se ou 
subtraem-se separadamente os coeficientes reais e os imaginários; 
2) soma e subtração algébrica de números complexos são feitas na forma retangular. 
 
EExemplo 1.7 
 
Determinar a resultante de 
1 2Z Z Z 
, onde: 
1 25 2 e 5 7. Z j Z j   
 
Solução: (5 5) (27)
10 5
Z j
Z j
   

 
 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 45 
EExemplo 1.8 
 
Qual é a resultante C12 dos fasores indicados na Figura 1.41? 
Solução: 
 
12 12(2 3) (4 1) 5 5C j C j      
 
O fasor resultante está desenhado na Figura 1.42. Conferir as suas coordenadas. 
 
 
Figura 1.41. 
 
Figura 1.42. 
 
 
1.4.3.3 – Multiplicação e Divisão entre Fasores 
 
a) Multiplicação 
 
 A multiplicação de números complexos deve ser feita na forma polar, não sendo 
recomendável a multiplicação na forma retangular, embora possa ser realizada (os cálculos ficam 
difíceis). Multiplicam-se os módulos e somam-se algebricamente os ângulos. 
 Sejam dois números complexos escritos na forma polar: 
1 1 1 2 2 2 C Z e C Z  
 
 A multiplicação destes entes será dada por: 
1 2 1 2 1 2 C C Z Z     
 
 
b) Divisão 
 
 A divisão de números complexos também deve ser feita na forma polar. O processo é 
análogo ao da multiplicação, porém, deve-se, ao dividir C1 por C2, dividir os seus respecitivos 
coeficientes e subtrair os seus respectivos ângulos. De modo resumido: dividem-se os módulos e 
subtraem-se algebricamente os ângulos. 
Matematicamente, pode-se escrever: 
1 1
1 2
2 2
 
C Z
C Z
  
 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 46 
 A Tabela 1.2 mostra um resumo de alguns parâmetros e operadores de tensão e corrente 
elétricas. 
 
Tabela 1.2 – Representações matemáticas de sinais senoidais. 
 
 
 
1.5 - Comportamento de Circuitos Resistivos, Indutivos e Capacitivos em CA 
 
 Os componentes passivos - resistores (R), indutores (L), capacitores (C) – possuem 
comportamentos distintos quando conectados em uma fonte de CA. Todos estes tendem a fazer 
oposição à passagem da corrente, porém cada qual irá provocar ou não um defasamento entre os 
ângulos da tensão e o da corrente. 
 
1.5.1 – Circuito RESISTIVO - corrente e tensão em fase 
 
 Considerando a carga R puramente resistiva (Figura 1.43), a potência fornecida pelo gerador 
AC será totalmente absorvida por R. Isto ocorre porque a corrente (iR) e tensão (vR) presentes em R 
estão na mesma fase. 
 A oposição à passagem da corrente é dada pelo valor ôhmico de R, ou seja: 
max
max
 
 
 
R R
R
R
V sen tv v
i sen t
R R R
i I sen t



   

 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 47 
 
Figura 1.43 – Circuito CA com carga puramente resistiva. 
 
EExemplo 1.9 (BOYLESTAD, 2002) 
 
Dado um circuito puramente resistivo como o da Figura 1.43, onde, esboçar as suas formas 
de onda de v(t) e i(t) e o seu diagrama fasorial. São dados: R = 2 ohms e i(t) = 4 sen (t + 300) A. 
 
Solução: 
 O fasor de corrente será dato por: 
0 04 30 2,83 30 .
2
I A A 
 
 Logo, a tensão v(t) na forma polar será encontrada por: 
 
0 0 0 0 00 2,83 30 = 2 0 2,83 30 5,66 30 .V R I R V     
 
 
No domínio do tempo, encontra-se v(t) por: 
    
 
0
max
0
( ) . 5,66 2 30
( ) 8,0. 30
v t V sen t t sen t
v t sen t
   

    
 
 
 A Figura 1.44a mostra as formas de onda de v(t) e i(t). Os respectivos fasores estão 
desenhados na Figura 1.44b, em fase (0
0
 de deslocamento entre ambos). 
 
 
 (a) (b) 
Figura 1.44 – (a) Formas de onda do circuito do Exemplo 1.8. (b) Fasores de i(t) e v(t). 
 
 
 
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1.5.2 – Circuito puramente INDUTIVO – tensão adiantada de 90 graus da corrente 
 
 Seja uma bobina alimentada por 
um sinal CA senoidal, como mostra a 
Figura 1.45. 
 Um indutor oferece uma 
oposição à variação de corrente i(t) 
devido à sua propriedade de auto-
indução de tensão. Esta oposição 
estabelecida por um indutor em um 
circuito AC senoidal pode ser 
encontrada aplicando a equação 
 
 
 
Figura 1.45 – Circuito puramente indutivo alimentado por 
uma fonte de tensão senoidal (MUSSOI, 2006). 
 
Efeito = Causa / Oposição  Oposição = Causa / Efeito 
 Do circuito da Figura 1.45: 
Oposição 
max
 max max
max max max
.2
2
L ef
L ef
V
V V L I
L
II I I
      
 Esta oposição à corrente iL é a reatância indutiva do indutor L – Equação (1.15). 
 
XL = L = 2π f L (1.15) 
 
onde: XL: reatância indutiva Ω; f: frequência em Hertz (Hz) e L: indutância em Henry (H). 
 A tensão induzida na bobina é fornecida pela Equação (1.16). 
. ( )Lv L di t dt
 (1.16) 
 
 
 (a) (b) 
Figura 1.46 – (a) Formas de onda do circuito indutivo puro (Figura 1.42). (b) Fasores. 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 49 
 Pela Figura 1.46a é fácil verificar que quando a derivada diL(t)/dt é máxima (instante A, 
igual em ângulo a 90 graus), a tensão induzida na bobina é máxima. Para o instante B, diL(t)/dt é nula 
e, pela Equação (1.16), vL(t) = 0. Na Figura 1.46b vê-se o fasor VL adiantado de 90
0
 do fasor IL. 
 Observando as formas de onda da Figura 1.47 - agora com a corrente iL(t) na referência, ou 
seja, com ângulo de fase nulo - se conclui que: 
nos terminais de um indutor num circuito CA, a tensão sempre estará adiantada de 90
0
 em 
relação à corrente. 
 
 
Figura 1.47 – Sinais de i(t) e vL(t) para o circuito da Figura 1.45 (BOYLESTAD, 2002). 
 
 
1.5.3 - Circuito puramente CAPACITIVO – corrente adiantada de 90 graus da tensão 
 
 A oposição à passagem da corrente iC(t) em um circuito capacitivo puro (Figura 1.48) é 
determinada pela reatância capacitiva do capacitor C, expressa por: 
 
 
1 1
 
2
CX
C fC 
  
 (1.17) 
 
 Onde:  = frequência angular, em rad/s; XC: reatância capacitiva em ohms (Ω); f: 
frequência do gerador em Hertz (Hz) e C: capacitância em Farad (F). 
 
 
Figura 1.48 – Circuito capacitivo puro, alimentado por uma fonte de tensão senoidal. 
 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 50 
 As formas de onda deste circuito são visualizadas na Figura 1.49. A corrente em um 
capacitor é encontrada pela Equação (1.18). 
 
( )
( ) CC
dv t
i t C
dt
 
 (1.18) 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 1.49 – (a) Ondas de corrente e tensão em um circuito capacitivo puro. (b) Fasores. 
 
 Analisando a Figura 1.49a, vê-se que o máximo da corrente ocorre quando a derivada da 
tensão no capacitor é máxima (inclinação da reta tangente na curva vc(t), em 90 graus), o que é fácil 
comprovar com a Equação (1.18). 
 Se conclui então que: nos terminais de um capacitor num circuito CA, a corrente sempre 
estará adiantada de 90
0
 em relação à tensão. 
 Na Figura 1.49b vê-se o fasor IC adiantado de 90
0
 do fasor VC. 
 
 
1.5.4 – Impedância de Circuito CA 
 
 A impedância Z, dada pela relação entre tensão e corrente num circuito misto, contendo 
elementos resistivos (R), capacitivos (C) e indutivos (L), representa a medida da oposição que este 
circuito oferece à passagem de uma correntealternada (MUSSOI, 2006). 
 Os elementos XL e XC (reatâncias indutiva e capacitiva, respectivamente), são fasores que 
são posicionados no eixo imaginário, enquanto que a resistência R fica posicionada no eixo real do 
plano complexo, também chamado de Plano de Argand-Gauss ou Diagrama de Argand. 
 As Figuras 1.50 e 1.51 mostram a disposição destes fasores no plano complexo. O fasor XL 
está posicionado para cima, com ângulo de + 90
0
 enquanto XC está posicionado para baixo, com 
ângulo de - 90
0
. Estes dois fasores são denominados de componentes reativas de um circuito, ou seja, 
armazenam energia. Já o resistor é um elemento passivo, pois somente dissipa a energia elétrica que 
recebe. 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 51 
 
(a) (b) (c) 
Figura 1.50 (MUSSOI, 2006) – Diagrama fasorial de impedância (Z). (a) Reatâncias indutiva e capacitiva 
(disposição no eixo imaginário do plano complexo). (b) Z resultante em um circuito RL (resistência + reatância 
indutiva). (c) Z resultante em um circuito RC (resistência + reatância capacitiva). 
 
 Do diagrama fasorial da Figura 1.51, a impedância COMPLEXA ou retangular é: 
 
 ( ) L CZ R j X X   
 (1.19) 
 
 Como encontrar o módulo da 
impedância Z? 
 O módulo de Z é encontrado 
aplicando-se o teorema de Pitágoras no 
triângulo formado pelos fasores R (cateto 
adjacente ao ângulo  ou T ou ainda ) e pela 
resultante X = XL – XC, a qual é o cateto oposto 
ao ângulo . 
 
Figura 1.51 – Diagrama fasorial de impedância (Z). 
 
 
22
L CZ R X X  
 (1.20) 
 O ângulo da impedância é calculado por: 
 1tanT L CX X R    
 
 Daí, na forma POLAR, a impedância Z é dada pela Equação (1.21). Os componentes de Z 
podem ser encontrados em função do ângulo T – Equações (1.22) e (1.23). 
 
 TZ Z  
 (1.21) 
cos TR Z  
 (1.22) 
 TX Z sen  
 (1.23) 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 52 
 Se são conhecidas as equações de v(t) e i(t) em um circuito – indicadas a seguir -, determina-
se a sua impedância Z (assunto do próximo item). 
Equações de tensão e corrente no domínio do tempo, onde Vp = Vmax: 
 
 
 
A Tabela 1.3 mostra de modo muito didático, as relações físicas e matemáticas entre tensão e 
corrente elétrica nos elementos passivos de um circuito RLC. 
Tabela 1.3 (MUSSOI, 2006). 
 
 
EExemplo 1.10 
 
Dado o diagrama fasorial da Figura 1.52, onde o ângulo da 
impedância é de 60 graus, pede-se calcular: 
a) o módulo da impedância Z; 
b) o valor de XL (reatância indutiva); 
c) a representação de Z na forma complexa; 
d) a representação de Z na forma polar. 
 
Figura 1.52. 
 Solução: 
a) Pela expressão (1.22), 
cos TR Z  
 
0 02 cos60 2 cos60 4 .Z Z     
 
b) 
0 4 60 3,46 .L TX Z sen sen      
c) 
4 (3,46 0) 4 3,46 .Z j j     
 
d) 
04 60 .Z  
 
 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 53 
1.5.4.1 – Lei de Ohm para a impedância Z em Corrente Alternada 
 
 Como já é sabido, a Lei de Ohm relaciona as grandezas tensão e corrente elétricas através de 
uma constante de proporcionalidade, expressa pela oposição entre a causa (tensão aplicada) e efeito 
(corrente). Para um circuito CA, a relação entre a tensão e a corrente é a impedância Z. No domínio 
fasorial, tem-se: 
 T V IZ V I  
 (1.25) 
 Onde, obviamente o ângulo da impedância é 
.T V I   
 
 
1.5.4.2 – Associação de Impedâncias 
 
 As impedâncias, da mesma forma que as resistências, podem ser associadas, em série e em 
paralelo. As Figuras 1.53 e 1.54 mostram os esquemas destas associações e as suas respectivas 
equações, para se encontrar a impedância equivalente. 
 
1
n
eq i
i
Z Z

 
Impedância equivalente de 
uma associação em série. 
 
Figura 1.53 – Associação em série de impedâncias e sua equação de Z equivalente. 
 
 
 
 
1
1n
eq
i i
Z
Z
 
  
 
 
Impedância equivalente de 
uma associação em paralelo. 
 
Figura 1.54 – Associação em paralelo de impedâncias e sua equação de Z equivalente. 
 
EExemplo 1.11 
 
Encontre a impedância equivalente para um circuito RLC série, onde os parâmetros são 
dados por: R = 10 , XL = 15  e XC = 5 . 
 
Solução: 
( ) 10 15 5
10 10 .
 
L CZ R jX jX j j
Z j
      

  
 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 54 
EExemplo 1.12 
 
Mostrar que, para duas impedâncias conectadas em paralelo, a sua impedância equivalente é 
dada pela razão entre o produto e a soma entre elas. 
Solução: 
2 1 1 2
1 2 1 2 2 1
1 1 1 1 1
 eq
eq eq eq
Z Z Z Z
Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
 
      
 
 
 
1.6 - Sistema Trifásico 
 
 O sistema trifásico consta de três ondas senoidais defasadas entre si de 120 graus. A Figura 
1.55a mostra um gerador trifásico e a Figura 1.55b as bobinas deste gerador. Se conectadas com o 
ponto neutro (N) em comum, tem-se a ligação em estrela (Y). 
 A Figura 1.56 mostra um gerador de dois pólos girando a uma velocidade n em RPM, 
produzindo um campo girante com velocidade  em rad/s. 
 
Figura 1.55 – (a) Gerador trifásico. (b) Bobinas do gerador, defasadas entre si de 120 graus. 
 
 
 
Figura 1.56 – (a) Modelo elementar de um gerador trifásico. Repare nas fases a, b e c 
e a conexão do neutro. (b) Formas de onda (defasamento de 120 graus entre as tensões). 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 55 
Definições importantes: 
 
- Tensão de fase (VF ou VFN): é a tensão de cada fase em relação ao condutor neutro. 
- Tensão de linha (VL ou VFF): é a tensão entre duas fases (por exemplo, vab na Figura 1.56a). 
- Em qualquer instante de tempo (veja a Figura 1.56b), a soma fasorial das três tensões de fase de um 
gerador trifásico é nula (BOYLESTAD, 2002). 
 A Figura 1.57 mostra as formas de onda de um sistema abc (tensões de fase e de linha). 
 
 
Figura 1.57 – Formas de onda de um sistema trifásico equilibrado (tensões de fase e de linha). 
Fonte: http://www.ee.pucrs.br/~fdosreis/ftp/Eletronica_de_Potencia/trifasico1.gif 
 
A representação fasorial das tensões trifásicas está ilustrada na Figura 1.58a. As três tensões 
de fase (VFN) são defasadas entre si de 120 graus e têm o mesmo módulo. Tomando como base esta 
figura, pode-se obter o fasor de uma tensão de linha (VFF), o qual será calculado posteriormente 
através da aplicação matemática da Lei dos Cossenos. 
 A tensão de linha vbc (entre as fases b e c), é encontrada pela Equação (1.26). Para se obter 
o fasor 
cn-V
bastou desenhar o mesmo com defasamento de 180 graus. 
b c bn cn bn cnV = V -V = V -V = V + (-V )bc
       (1.26) 
 
 
CEFET-MG – Campus VIII – Varginha – Acionamentos e Comandos Elétricos. 56 
 
 
 (a) (b) 
Figura 1.58 – (a) Diagrama fasorial para um gerador trifásico – tensões de fase. (b) – Obtendo a tensão 
 de linha vbc, a partir das tensões nas fases b e c em relação ao neutro (regra do paralelogramo). 
 
Pela regra do paralelogramo, aplicada no diagrama fasorial da Figura 1.58b, se obtém o fasor 
resultante (diagonal Vbc ). 
 
 Relembrando... 
 
 A rede elétrica CA monofásica é formada por dois fios, um chamado