CONCRETO ARMADO

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Concreto Armado II 
Prof.: Diogo Kropf 
CONCRETO ARMADO II 
3 
 Vigas 
 INTRODUÇÃO 
 FLEXÃO SIMPLES; 
 DEFORMAÇÃO: 
 Domínios de deformação correspondentes aos estados limites 
últimos: domínios 1 a 5, 
• plástica excessiva: domínios 1 e 2; 
• ruptura: domínios 3,4 e 5 
 DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES NA SEÇÃO E EQUAÇÕES DE 
COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES 
 SEÇÕES RETANGULARES COM ARMADURA SIMPLES – DOMÍNIO 2 E 3; 
 SEÇÕES RETANGULARES COM ARMADURA DUPLA - DOMÍNIOS 3 E 4; 
 SEÇÕES "T", "L" OU CAIXÃO: LARGURA EFETIVA DA MESA: 
DIMENSIONAMENTO: 
 LINHA NEUTRA NA MESA E CORTANDO A ALMA P1 
CONCRETO II 
3 
 Vigas 
 CISALHAMENTO EM VIGAS: 
 TENSÕES DE CISALHAMENTO; 
 CÁLCULO DAS ARMADURAS COMPOSTAS DE ESTRIBOS 
VERTICAIS E; 
 BARRAS DOBRADAS; 
 DETALHAMENTO DE VIGAS: 
 DISTRIBUIÇÃO DA ARMADURA DE CISALHAMENTO E DE 
FLEXÃO; 
 ANCORAGEM; 
 PRESCRIÇÕES DA NBR_6118: VALOR ÚLTIMO DA TENSÃO 
CONVENCIONAL DE CÁLCULO, ARMADURAS MÍNIMAS, 
ESPAÇAMENTOS ; 
 BITOLAS MÁXIMAS E MÍNIMAS, ARMADURA DE PELE; 
 
P2 
P2 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
3 
 Vigas 
- “São elementos lineares em que a flexão é preponderante”. 
-São elementos de barras, normalmente retas e horizontais. Recebem ações 
(cargas) das lajes, de outras vigas, de paredes de alvenaria, e eventualmente de 
pilares, etc. 
-A função é basicamente vencer vãos e transmitir as ações nelas atuantes para 
os apoios, geralmente os pilares. 
-As ações (concentradas ou distribuídas) são geralmente perpendicularmente ao 
seu eixo longitudinal. Mas podem receber forças normais de compressão ou de 
tração, na direção do eixo longitudinal. 
-As vigas também fazem parte da estrutura de contraventamento responsável 
por proporcionar a estabilidade global dos edifícios às ações verticais e 
horizontais. 
 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
Vigas 
PILARES 
p1 
p2 F 
VIGA 
VIGA TRANSVERSAL 
5 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
Vigas 
6 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
Vigas 
Trecho da armadura de uma viga. 
7 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
7 
Vigas 
A seção transversal das vigas não pode 
apresentar largura menor que 12 cm 
 
Pré dimensionamento das vigas 
A altura das vigas depende de diversos fatores, sendo os mais importantes o 
vão, o carregamento e a resistência do concreto. A altura deve ser suficiente 
para proporcionar resistência mecânica e baixa deformabilidade (flecha). A 
altura das vigas será determinada em função dos vãos: 
 
Viga bí-apoiada h= 10% do vão 
 
Viga contínua h= 8% do maior vão 
 
Viga em balanço h= 20% do vão em balanço. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
8 
Vigas 
Furos que atravessam vigas na direção de sua largura 
simultaneamente, para dispensa da verificação, as Devem ser respeitadas, 
seguintes condições: 
 furos em zona de tração e a uma distância da face do apoio de no mínimo 2 h, 
onde h é a altura da viga; 
 
 dimensão do furo de no máximo 12 cm e/ou h/3; 
 
 distância entre faces de furos, em um mesmo tramo, de no mínimo 2 h; 
 
 cobrimentos suficientes e não seccionamento das armaduras 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Vigas 
Furos que atravessam vigas na direção de sua largura 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
Vigas 
Furos que atravessam vigas na dire ção de sua largura 
11 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
Vigas 
Vigas apoiadas sobre vigas 
12 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
Vigas 
Vigas em balanço 
13 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
Vigas - Armadura 
14 
d’ 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
flexão a solicitação que 
provoca, ou tende a provocar, curvatura nas peças. 
O esforço solicitante responsável 
comportamento é chamado de momento 
por este 
fletor, 
de esforço podendo ou não ser acompanhado 
cortante e força normal. 
Flexão 
Definimos como 
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FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
A solicitação de flexão pode ser classificada, de 
acordo com os outros esforços solicitantes que 
fletor atua 
acompanham o momento fletor, em: 
a) flexão pura - quando o momento 
sozinho na seção; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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16 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
c) flexão composta - Quando o carregamento atua num 
plano não perpendicular ao eixo da viga. 
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FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
b) flexão simples - quando junto com o momento 
atua uma força cortante, ou seja, carga aplicada atua 
perpendicularmente ao eixo da viga. 
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FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
Dimensionar as seções transversais das vigas 
aos momentos fletores máximos, e fazer o 
detalhamento das armaduras de flexão apenas na 
seção transversal correspondente. 
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FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 O dimensionamento das armaduras longitudinais 
deve conduzir a um conjunto de esforços resistentes 
(NRd, MRd) que constituam envoltória dos esforços 
solicitantes (NSd, MSd) determinados na análise 
estrutural . 
 Hipóteses básicas 
 No cálculo de vigas de concreto armado, solicitadas 
por flexão, são feitas as seguintes hipóteses básicas 
(NBR 6118/2014, item 17.2.2): 
a) as seções transversais permanecem planas após a 
deformação da peça; 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 Hipóteses básicas 
 
 b) as deformações das barras de aço (alongamentos e 
encurtamentos) são iguais às do concreto no entorno das mesmas; 
 c) as tensões de tração no concreto são desprezadas; 
 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 Hipóteses básicas 
 
 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 Hipóteses básicas 
d.1) as tensões de compressão no concreto se distribuem na 
seção de acordo com o diagrama parábola-retângulo (de 
cálculo) do concreto, ou, como simplificação, de acordo com 
um diagrama retangular de altura y = 0,8.x (onde x é a 
distância da linha neutra até a borda mais comprimida da 
seção) 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 Hipóteses básicas 
2 ‰ 3,5 ‰
 
 f
0,85 fcd
ck
c
c 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 Hipóteses básicas 
d.2) e tensão c = 0,80.fcd ou c = 0,85.fcd (conforme a largura 
da seção diminua ou não, da linha neutra para a borda mais 
comprimida); 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 Hipóteses básicas 
d.2.1) no caso da largura da seção, medida paralelamente à 
linha neutra, não diminuir da linha neutra em direção à borda 
comprimida, a tensão é: 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 Hipóteses básicas 
d.2.2) em caso contrário, isto é, quando a seção diminui, a 
tensão é: 
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 Hipóteses básicas 
 
e) as tensões no aço se distribuem na seção de acordo 
com o diagrama tensão deformação (de cálculo) do aço. 
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 Hipóteses básicas 
 
 f) o estado limite último (de esgotamento da 
capacidade resistente da seção) é atingido quando o 
encurtamento do concreto atinge o encurtamento de 
ruptura, R = 3,5 ‰, ou quando o alongamento do aço 
atinge o alongamento plástico limite, p = 10‰. 
 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 ESTÁDIOS DE CÁLCULO 
 Os estádios podem ser definidos como os vários 
estágios de tensão pelo qual um elemento fletido passa, 
desde o carregamento inicial até a ruptura. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 ESTÁDIOS DE CÁLCULO 
1 – Estádio Ia- o concreto resiste à tração com diagramatriangular; 
2 – Estádio Ib- corresponde ao início da fissuração no concreto tracionado; 
3 – Estádio II- despreza-se a colaboração do concreto à tração; 
4 – Estádio III - corresponde ao início da plastificação (esmagamento) do 
concreto à compressão. 
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 ESTÁDIOS DE CÁLCULO 
 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 ESTÁDIOS DE CÁLCULO 
 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
 Os domínios são representações das deformações que 
ocorrem na seção transversal dos elementos estruturais. As 
deformações são de alongamento e de encurtamento, 
oriundas de tensões de tração e compressão, respectivamente 
 Segundo a NBR 6118/2014, o estado limite último (ELU) 
de elementos lineares sujeitos a solicitações normais é 
caracterizado quando a distribuição das deformações na seção 
transversal pertencer a um dos domínios 1, 2, 3, 4, 4a e 5. 
 O estado limite último pode ocorrer por deformação 
plástica excessiva da armadura (reta a e domínios 1 e 2) ou por 
encurtamento excessivo do concreto (domínios 3, 4, 4a, 5 e 
reta b). 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
 Solicitação da reta a 
é a tração uniforme, com a 
força normal de tração 
aplicada no centro de 
gravidade da seção trans-
versal. 
A LN encontra-se no - ∞, e 
todos os pontos da seção 
transversal, inclusive as 
armaduras estão com defor- 
mação de alongamento igual 
à máxima de 10‰. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
 A força normal de 
tração não é aplicada no 
centro de gravidade da 
seção transversal. 
 Seção ainda está 
inteiramente tracionada, 
embora com deformações 
diferentes 
 A LN é externa à 
seção transversal (– ∞≥ 
LN ≤ 0) entre (reta a) 
(limite entre os domínios 
1 e 2), 
 
 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
 Solicitação de flexão 
simples, tração excêntrica com 
grande excentricidade e 
compressão excêntrica com 
grande excentricidade. 
 A seção transversal 
tem parte tracionada e parte 
comprimida. 
 A deformação de alongamento é fixada em 10‰ na armadura 
tracionada. LN (x) - 0 ≤ x ≤ x2lim, a deformação de encurtamento na 
borda mais comprimida varia de zero até 3,5‰. 
 Quando a linha neutra passar por x2-3, ou seja, x = x2-3, as 
deformações na armadura tracionada e no concreto da borda 
comprimida serão os valores últimos, 10‰ e 3,5‰, 
respectivamente. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
 A armadura 
tracionada (As2) é 
aproveitada ao máximo, 
com εsd = 10‰, mas o 
concreto comprimido não, 
com εcd ≤ 3,5‰. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
 Solicitação são os 
mesmos do domínio 2, ou 
seja, flexão simples, tração 
excêntrica com grande 
excentricidade e compres-
são excêntrica com grande 
excentricidade. 
 A seção transversal tem parte tracionada e parte comprimida. 
 A deformação de encurtamento máxima é fixada em 3,5‰ 
no concreto da borda comprimida. A deformação de alongamento 
na armadura tracionada varia da deformação de início de 
escoamento do aço (εyd) até o valor máximo de 10‰, o que 
implica que a tensão na armadura é a máxima permitida, fyd. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
 LN pode variar, 
desde o valor x2-3 até x3-4 
(x2-3 ≤ x ≤x3-4m), que delimita 
os domínios 3 e 4. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
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 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
 Casos de solicitações 
do domínio 4 são a flexão 
simples e a flexão composta 
(flexo-compressão ou 
compressão excêntrica com 
grande excentricidade). 
A seção transversal tem parte tracionada e parte comprimida. 
 A deformação de encurtamento máxima é fixada em 
3,5‰ no concreto da borda comprimida. A deformação de 
alongamento na armadura tracionada varia de zero até a 
deformação de início de escoamento do aço (εyd), o que implica 
que a tensão na armadura é menor que a máxima permitida, fyd. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
44 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
 A posição da LN 
pode variar de x3-4 até a 
altura útil d (x3-4 ≤ x ≤ d). 
 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
45 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
 Solicitação é de flexão 
composta (flexo-compressão). 
A seção transversal tem uma 
pequena parte tracionada e a 
maior parte comprimida 
 É caracterizado pela deformação de 
encurtamento máxima fixada em 3,5‰ no 
concreto da borda comprimida. A LN ainda 
está dentro da seção transversal, na 
região de cobrimento da armadura menos 
comprimida (As2), ou seja, d ≤ x ≤ h 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
46 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
Compressão não uniforme ou 
flexo-compressão com peque-
na excentricidade (flexão com-
posta). 
A LN não corta a seção transversal, que está 
completamente comprimida, embora com 
deformações diferentes. As duas armaduras 
também estão comprimidas. A posição da linha 
neutra varia de h até + ∞ (figura 35). O que 
caracteriza o domínio 5 é o ponto C a 3/7 h, 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
47 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
 A solicitação da reta b é 
a compressão uniforme, com a 
força normal de compressão 
aplicada no centro de gravidade 
da seção transversal. 
 
 A LN encontra-se no +, e todos 
os pontos da seção transversal estão 
com deformação de encurtamento igual 
a 2‰. As duas armaduras, portanto, 
estão sob a mesma deformação e a 
mesma tensão de compressão. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
48 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
Como considerações adicionais sugeridas pela NBR 6118/2014 destacam-se: 
• Reta a: tração uniforme; 
• Domínio 1: tração não uniforme sem compressão; 
• Domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do 
concreto (podendo chegar εcu= 3,5‰ e com o máximo alongamento 
permitido de εsd < 10‰); 
• Domínio 3: flexão simples ou composta com ruptura à compressão do 
concreto e com o inicio de escoamento do aço até o limite (εsd > εyd ); 
• Domínio 4: flexão simples ou composta, com ruptura à compressão do 
concreto e sem escoamento do aço tracionado; 
• Domínio 4a: flexão composta com todas as armaduras comprimidas; 
• Domínio 5: compressão não uniforme, sem tração. Toda a seção está 
comprimida; 
• Reta b: compressão uniforme. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
49 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
Além disso, a norma define três tipos de seção: 
 
• Seção sub-armada (domínios 2 e 3 ): a armadura escoa antes da 
ruptura do concreto a compressão. 
• Seção super-armada (domínio 4): o concreto atinge o encurtamento 
convencional de ruptura antes da armadura escoar - εsd < εyd. 
• Seção normalmente armada (limite dos domínios 3 e 4): o 
esmagamento convencional do concreto comprimido e a deformação 
de escoamento do aço ocorrem simultaneamente. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
50 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
 Dutilidade em vigas 
Nas vigas é necessário garantir boas condições de dutilidade 
respeitando os limites da posição da linha neutra, sendo adotada, se 
necessário, armadura de compressão. 
A introdução da armadura de compressão para garantir o 
atendimento de valores menores da posição da linha neutra (x), que 
estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos estruturais 
com ruptura frágil. A rupturafrágil está associada a posições da linha 
neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
51 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
52 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
DETERMINAÇÃO DE x2-3 
Linha Neutra (x) =???? 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
53 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
Linha Neutra (x) =???? 
𝑥 = 
𝑑
λ
(1 − 1 − 
𝑀𝑠𝑑
0,5. α𝑐. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝑑
2
2
 ) 
 λ = 0,8, para fck ≤ 50 MPa; ou 
 λ = 0,8 – (fck – 50)/400, para fck > 50 MPa. 
 para concretos de classes até C50, αc = 0,85 
 para concretos de classes de C50 até C90, αc = 0,85 . [1,0 – (fck – 50) / 200] 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
54 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
X2-3 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
55 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
X2-3 
X2-3 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
56 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
X2-3 
X2-3 
 εcu X2-3 
(εcu + εs ) d 
 0,0035 X2-3 
(0,0035 + 0,010) d 
X2-3 = 0,259 . d 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
57 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
X3-4 
D3 
X3-4 
X3-4 = ?? 
D2 
X2-3 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
58 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
X3-4 
X3 
X3-4 
 εcu X3-4 
(εcu + εyd ) d 
 0,0035 X3-4 
(0,0035 + εyd) d 
CA -25 => εyd = 1.04 °/oo 
CA -50 => εyd = 2,07 °/oo 
CA -60 => εyd = 2.48 °/oo 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
Como saber qual domínio se encontra a seção? 
𝑥 = 
𝑑
λ
(1 − 1 − 
𝑀𝑠𝑑
0,5. α𝑐. 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏𝑤. 𝑑
2
2
 ) 
𝑥 : 𝒙 2-3 
𝑥 : 𝒙 3-4 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
 Define-se viga com 
armadura simples a seção que 
necessita apenas de uma armadura 
longitudinal resistente tracionada. 
 No entanto, por questões 
construtivas são colocadas barras 
longitudinais também na região 
comprimida, para a amarração dos 
estribos, não sendo esta armadura 
considerada no cálculo de flexão 
como armadura resistente, ou seja, 
na seção com armadura simples as 
tensões de compressão são 
resistidas unicamente pelo concreto. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
 A formulação dos esforços internos resistentes da 
seção é feita com base nas equações de equilíbrio das forças 
normais e dos momentos fletores:. 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
- Σ N = 0 
- ΣM = 0 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
- Σ N = 0 
- ΣM = 0 
 O equacionamento será feito segundo o diagrama retangular 
simplificado, que conduz a equações mais simples e com resultados muito 
próximos àqueles obtidos com o diagrama parábola-retângulo. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
- Σ N = 0 
- ΣM = 0 
Distribuição de tensões de compressão segundo os diagramas 
parábola-retângulo e retangular simplificado 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO : FORÇAS NORMAIS 
- Σ N = 0 
 Considera-se que na 
flexão simples não ocorrem 
forças normais solicitantes, e 
que a força resultante das 
tensões de compressão no 
concreto deve estar em 
equilíbrio com a força 
resultante das tensões de 
tração na armadura As. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO : FORÇAS NORMAIS 
- Σ N = 0 
Força Resultante (R) 
Rcc = Rst 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO : MOMENTOS FLETORES 
- Σ M = 0 
 Considerando o equilíbrio 
de momentos fletores na seção, o 
momento fletor solicitante deve 
ser equilibrado por um momento 
fletor resistente, proporcionado 
pelo concreto comprimido e pela 
armadura tracionada. Assumindo 
valores de cálculo, por 
simplicidade de notação ambos os 
momentos fletores devem ser 
iguais ao momento fletor de 
cálculo Md. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO : MOMENTOS FLETORES 
- Σ M = 0 
 Msolic = Mresist = Md 
Md = ?? 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO : MOMENTOS FLETORES 
- Σ M = 0 
As forças resistentes internas, 
proporcionadas pelo concreto 
comprimido e pela armadura 
tracionada, formam um binário 
oposto ao momento fletor 
solicitante. 
Md = Rcc . zcc 
Md = Rst . zcc 
Md = afcd . bw .lx .(d − l
𝑥
2
) 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO : MOMENTOS FLETORES 
- Σ M = 0 
Md = afcd . bw .lx .(d − l
𝑥
2
) 
As = 
𝑀𝑑
𝑠(𝑑−
l𝑥
2
)
 
Dimensionamento das seções 
retangulares com armadura 
simples: 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO : MOMENTOS FLETORES 
- Σ M = 0 
As = 
𝑀𝑑
𝑠(𝑑−
l𝑥
2
)
 
 As equações acima proporcionam o dimensionamento das 
seções retangulares com armadura simples. Nota-se que são sete as 
variáveis contidas nas duas equações, o que leva, portanto, na 
necessidade de se adotarem valores para cinco das sete variáveis. 
Md = afcd . bw .lx .(d − l
𝑥
2
) 
• Md 
• d 
• fcd 
• bw 
• 𝑠 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO : MOMENTOS FLETORES 
- Σ M = 0 
 Na prática fixam-se os materiais (concreto e aço) e a seção 
transversal, e o momento fletor solicitante geralmente é conhecido, 
ficando como incógnitas apenas a posição da linha neutra (x) e a área de 
armadura (As). • Md 
• d 
• fcd 
• bw 
• 𝑠 
x = ? As =? 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
x = ? As =? 
𝑥 = 
𝑑
λ
(1 − 1 − 
𝑀𝑠𝑑
0,5. α𝑐. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝑑
2
2
 ) 
𝑥 ∶ x2−3 
𝑥 ∶ x3−4 
 Nos domínios 2 ou 3 a tensão na armadura 
racionada (σsd) é igual à máxima tensão possível, isto é, 
fyd 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
x = ? As =? 
𝑥 ∶ x2−3 => 𝑥 ≤ x2−3 => Domínio 2 
 
σsd = fyd 
 
𝑥 ∶ x3−4 => x3−4 ≥ 𝑥 ≥ x2−3 => Domíno 3 
σsd = fyd 
 
 
As = 
𝑀𝑑
fyd (𝑑−
l𝑥
2
)
 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
74 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO - Dimensionamento 
𝑥 > x2−3 ??? 
𝑥 ∶ 𝑥𝑙𝑖m (NBR 6118/14) 
𝑥𝑙𝑖m = 0,45d => fck ≤ 50MPa 
 
𝑥𝑙𝑖m = 0,35d => fck > 50MPa 
 
𝑥 ≤ 𝑥𝑙𝑖m => D3 => 
 
As = 
𝑀𝑑
fyd (𝑑−
l𝑥
2
)
 
𝑥 > 𝑥𝑙𝑖m => Armadura Dupla 
 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
75 
 Armadura Dupla 
 Define-se seção com armadura dupla a seção 
que, além da armadura resistente tracionada, contém 
também armadura longitudinal resistente na região 
comprimida, ali colocada para auxiliar o concreto na 
resistência às tensões de compressão. 
 A armadura dupla é um artifício que permite 
dimensionar as seções cujas deformações encontram-se fora da 
fronteira do domínio 2 e 3 (x2-3), sem que haja a necessidade de se 
alterar algum dos parâmetros inicialmente adotados. 
resistência da seção é “compensada” pelo acréscimo de uma armadura 
longitudinal próxima à borda comprimida, que irá auxiliar o concreto no 
trabalho de resistência às tensões de compressão. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
76 
 Armadura Dupla 
 A seção com armadura dupla surge como soluçãoao dimensionamento antieconômico e a segurança 
(ruptura frágil, sem aviso prévio). 
 Afim de melhorar a ductilidade das estruturas 
altera-se a posição da linha neutra para um xlimite , no que 
resulta na máxima seção comprimida possível. Ao se fazer 
assim, a área de concreto comprimido considerada para a 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
77 
 Armadura Dupla 
𝑥 > x2−3 
Seção comprimida é maior que 25,9% da altura 
útil da viga. 
↓ 
menos ductilidade das estruturas = ruptura frágil 
↓ 
altera-se a posição da linha neutra para um xlimite: 
 45% da altura útil comprimida => fck ≤ 50 MPa 
x > xlimite 
35% da altura útil comprimida => fck > 50 MPa 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 Armadura Dupla 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
- Σ N = 0 
- ΣM = 0 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 Armadura Dupla 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
Equilíbrio de Forças Normais 
Força Resultante (R) 
Rcc + Rsc = Rst 
Rcc = a fcd . bw . lx 
Rsc = A’s σ’sd 
Rst = As σsd 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 Armadura Dupla 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
Equilíbrio de Momentos Fletores 
Momento Resultante (M) 
Msolic = Mresist = Md 
Md = Rcc . zcc + Rsc . zsc 
Md = al fcd . bw . lx (d - 
l
2
x) + A's σ'sd (d-d’) 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 Armadura Dupla 
 Com o intuito de facilitar o cálculo pode-se decompor o 
momento fletor Md em duas parcelas 
Md1=al fcd . bw .x (d - 0,4x) Md2= A's σ'sd (d-d’) 
 Md1=As1 fyd (𝑑 −
l𝑥
2
) M2d= As2 sd(d- d’ ) 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 Armadura Dupla 
A armadura total tracionada é a soma da parcelas As1 e As2 
As = As1 + As2 
onde: 
As1 = parcela da armadura tracionada As que equilibra o 
momento fletor resistente proporcionado pela área de concreto 
comprimido com altura x; 
As2 = parcela da armadura tracionada As que equilibra o 
momento fletor resistente proporcionado pela armadura 
comprimida A's. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 Armadura Simples 
Md = afcd . bw .lx .(d − l
𝑥
2
) As = 
𝑀𝑑
𝑠(𝑑−
l𝑥
2
)
 
 Armadura Dupla 
Md1=al fcd . bw .x (d - 0,4x) 
Md2= A's σ'sd (d-d’) 
 
As1 = 
Md1 
fyd (𝑑−
l𝑥
2
) 
 
As2 = 
M2d
sd(d− d’ ) 
 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 Distribuição transversal das barras 
 A disposição das barras entre os ramos verticais do estribo 
deve proporcionar uma distância livre entre as mesmas, 
suficiente para a passagem do concreto, a fim de evitar o 
surgimento de nichos de concretagem, chamados na prática de 
“bicheira”. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 Distribuição transversal das barras 
 A NBR 6118/14 estabelece os seguintes espaçamentos 
livres mínimos entre as barras: 
 20 mm 
eh,min ≥ fl 
 1,2dmáx,agr 
 20 mm 
ev,min ≥ fl 
 0,5dmáx,agr 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 Distribuição transversal das barras 
 Armadura de Pele 
Asp,face = 0,10 % Ac,alma = 0,0010 bw . h 
 Nas vigas com h > 60 cm, deve ser 
colocada uma armadura lateral, chamada 
armadura de pele, em cada face da alma 
da viga, composta por barras de alta 
aderência e com espaçamento não maior 
que 20 cm, com área mínima igual a: 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 Distribuição transversal das barras 
 Armadura de Pele 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T 
 Teoricamente, as vigas podem ter seção com qualquer 
forma geométrica, com forma de I e T por exemplo. Porém, as 
vigas de seção retangular, são as mais comuns. 
 A seção T é composta pela nervura e pela mesa, que pode 
estar parcial ou totalmente comprimida. Podem ser do tipo pré-
moldadas, quando são fabricadas com a forma do T numa 
empresa, ou moldadas no local, no caso de vigas retangulares 
que, com o trabalho conjunto com as lajes vizinhas, originam uma 
seção fictícia em forma de T. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T 
 A seção T é bastante comum nas estruturas moldadas no 
local quando as lajes do pavimento são do tipo maciça, onde a 
seção T é imperceptível 
visualmente, mas surge do 
trabalho conjunto entre as 
vigas retangulares e as lajes 
vizinhas nela apoiadas. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T 
 As tensões normais de compressão, provenientes da 
flexão, alcançam também as vizinhanças das lajes apoiadas nas 
vigas. A contribuição das lajes, porém, só pode ser considerada 
quando as lajes estão comprimidas 
pelas tensões normais da flexão. Se 
comprimida, a laje atua aumentando 
significativamente a área de concreto 
comprimido (A’c) da viga retangular. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T 
 As vantagens de se poder considerar a contribuição das 
lajes para formar seções T estão na possibilidade de vigas com 
menores alturas, economia de armadura e de fôrma, flechas 
menores 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T 
 LARGURA COLABORANTE (bf) 
 Define-se como largura colaborante a faixa da laje 
adjacente à viga que colabora para resistir às tensões normais de 
compressão. A largura colaborante 
não é constante ao longo do vão e 
depende de vários fatores: viga 
simples ou contínua, tipo de carga, 
vão, tipo de apoios, da relação 
hf/h, existência de vigas 
transversais. 
 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T 
 LARGURA COLABORANTE (bf) 
*a => distância entre pontos 
de momento fletor nulo 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T 
 LARGURA COLABORANTE (bf) 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T 
 LARGURA COLABORANTE (bf) 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T 
 LARGURA COLABORANTE (bf) 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T 
 LARGURA COLABORANTE (bf) 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T COM ARMADURA SIMPLES 
 Assim como apresentado na seção retangular, a seção T 
com armadura simples é aquela que tem armadura resistente 
apenas na região tracionada da viga, não havendo a necessidade 
de armadura comprimida. 
 No estudo das seções T com a utilização do diagrama 
retangular simplificado com altura lx observa-se a existência de 
dois casos, em função da posição da linha neutra na seção 
transversal. 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T COM ARMADURA SIMPLES 
• lx ≤ hf 
 seção A’c sob tensões de compressão é retangular 
Rcc = a fcd . bf . lx Rst = As σsd 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T COM ARMADURA SIMPLES 
• lx > hf 
 Quando lx > hf ocorre, a área da seção comprimida é 
diferente da retangular, sendo composta pelos retângulos I, II e 
III, 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T COM ARMADURA SIMPLES 
• lx > hf 
Equilíbrio de Momentos Fletores 
Md1=a fcd . (bf – bw)hf.(d - 
ℎf
2
) Md2=al fcd . bw .x (d - 
𝝺
2
x) 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 VIGAS - SEÇÃO T COM ARMADURA SIMPLES 
• lx > hf 
Equilíbrio de Momentos Fletores 
 Com o equilíbrio de momentos fletores em torno do centro 
de gravidade das áreas comprimidas de concreto e considerando o 
dimensionamento nos domínios 2/3, onde σsd = fyd , as parcelas de 
armadura As1 e As2 são: 
FLEXÃO SIMPLES - VIGAS 
 Armadura Simples 
Md = s .(d − l
𝑥
2
) As = 
𝑀𝑑
𝑠(𝑑−
l𝑥
2
)
 
 Armadura Dupla 
Md1=a fcd . bw .x l (d - l
𝑥2
) 
Md2= A's σ'sd (d-d’) 
 
As1 = 
Md1 
fyd (𝑑−
l𝑥
2
) 
 
As2 = 
M2d
fsd(d− d’ ) 
 
Md1=a fcd . bw .xl (d - l
𝑥
2
) 
Md2=a fcd . (bf – bw).hf(d - 
ℎf
2
) 
 Viga com seção T 
As2 = 
M2d
fsd(d− 
ℎf
2 f
 ) 
 
As1 = 
Md1 
fyd (𝑑−
l𝑥
2
)