Aulas 6-Vigas Retangular

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Concreto Armado
Prof.a M.a Rafaela de Oliveira Amaral
Referências:
Bastos, P. S. S. Apostila FLEXÃO NORMAL
SIMPLES – VIGAS, Estruturas de Concreto I.
Universidade Estadual Paulista. Bauru/SP. 2015.
Moro, Claydson M. Apostila Estruturas de Concreto
Armado 1 e 2. Dimensionamento e Detalhamento.
Universidade Anhembi Morumbi. 2019.
Vigas
• A viga possui o comprimento longitudinal pelo menos
três vezes maior que as dimensões da seção
transversal. Neste elemento a flexão é preponderante.
• Na flexão simples, a linha neutra cortará a seção
transversal, então a viga de concreto terá um banzo
comprimido e outro tracionado. Isso ocorre nos
domínios 2, 3 e 4.
• A ruína das vigas de concreto, caso ocorram, não pode
apresentar ruptura frágil, não avisada. Ela deverá ser
procedidas de avisos que permitam as necessárias
providências emergenciais.
• No domínio 4 as armaduras tracionadas não entram em
escoamento, sendo que o estado limite último verifica-se
pelo esmagamento do concreto comprimido, cuja
ruptura ocorre de forma frágil. Então, deve ser evitado o
domínio 4. Assim, na prática, as vigas serão
dimensionadas sempre nos domínios 2 ou 3.
• As armaduras serão colocadas nos banzos tracionados,
de forma mais afastada possível da linha neutra.
• Quando se necessita de vigas com armadura dupla,
essa será disposta também no banzo comprimido,
auxiliando o concreto a absorver esforços de
compressão.
Intervalo entre os domínios:
• Domínio 2: 0 ≤
𝑥
𝑑
≤ 0,259
• Domínio 3: 0,259 ≤
𝑥
𝑑
≤ ቐ
0,772: CA25
0,628: CA50
0,585: CA60
• Domínio 4: ൡ
0,772: CA25
0,628: CA50
0,585: CA60
≤
𝑥
𝑑
≤ 𝑑
• Domínio 4a: 𝑑 ≤
𝑥
𝑑
≤ ℎ
Armaduras na viga:
• Armadura longitudinal: resistir as tensões de tração
provenientes da flexão.
• Armadura transversal: resistir aos esforços
cortantes.
Vão efetivo: 𝑙𝑒𝑓 = 𝑙0 + 𝑎1 + 𝑎2
Com 𝑎1 ≤ ቊ
𝑡1/2
0,3ℎ
e 𝑎2 ≤ ቊ
𝑡2/2
0,3ℎ
No entanto, é usual adotar o vão teórico como sendo,
simplesmente, a distância entre os eixos dos apoios. Este modelo
acaba se tornando mais utilizados quando temos vigas
engastadas em pilares parede, que possuem dimensões muito
grandes.
Pré-dimensionamento – Largura:
Para que a viga fique embutida nas paredes de vedação
(estética), a largura das vigas deve ser definida em função
da espessura final da parede.
𝒃𝒘 ≥ 𝟏𝟐 cm. 
O limite de 12 cm para a largura pode ser reduzido,
respeitando-se um mínimo absoluto de 10cm em casos
excepcionais, sendo obrigatoriamente respeitadas as
seguintes condições (item 13.2.2 da NBR6118, 2014):
• alojamento das armaduras e suas interferências com as
armaduras de outros elementos estruturais, respeitando
os espaçamentos e coberturas estabelecidos nessa
Norma;
• lançamento e vibração do concreto de acordo com a
NBR-14931/04 – Execução de Estruturas de
Concreto - Procedimento. Sempre que possível, a
largura das vigas deve ser adotada de maneira que elas
fiquem embutidas nas paredes.
Porém, nos casos de grandes vãos ou de tramos muito
carregados, pode ser necessário adotar larguras maiores.
Nesses casos, procura-se atenuar o impacto na arquitetura
do edifício.
Pré-dimensionamento – Altura:
A altura deve ser suficiente para proporcionar resistência
mecânica e baixa deformabilidade (flecha). Deve ser
preferencialmente modulada de 5 em 5 cm, ou de 10 em
10 cm. A altura mínima indicada é de 25 cm. De forma
grosseira, podemos estimar as alturas das vigas conforme
a seguir:
• tramos intermediários: ℎ =
𝑙0
12
• tramos extremos ou vigas bi-apoiadas: ℎ =
𝑙0
10
• balanços: ℎ =
𝑙0
10
As vigas não podem invadir os espaços de portas e de
janelas. Considera-se a abertura de portas com 2,20m de
altura.
Cargas verticais:
• Peso próprio: 𝑔0 = 𝑏𝑤. ℎ. 𝛾𝑐 (KN/m)
• Paredes: 𝑔𝑝𝑎𝑟 = 𝑒. ℎ. 𝛾𝑎𝑙𝑣 (KN/m)
• Lajes: reações.
• Outras vigas: calcular os esforços e
deslocamentos de todas as vigas por meio de
uma grelha.
• Armaduras Longitudinais Mínimas:
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝜌𝑚𝑖𝑛. 𝑏𝑤. ℎ
• Armaduras Longitudinais Máximas:
𝐴𝑠 + 𝐴′𝑠 < 4% 𝐴𝑐
calculada na região fora da zona de emendas,
devendo ser garantidas as condições de
ductilidade.
Detalhamento dos elementos Lineares
• Armaduras de pele:
Segundo a NBR 6118, a armadura de pele
(armadura lateral com CA-50 ou CA-60) deve ser
colocada nas vigas com h > 60 cm, com
espaçamento máximo de 20 cm e devidamente
ancorada nos apoios, com área mínima em cada
face da alma da viga igual a:
𝐴𝑠𝑝,𝑓𝑎𝑐𝑒 = 0,10%. 𝑏𝑤. ℎ
Em vigas com altura a partir de 50 cm, para evitar
o aparecimento de fissuras superficiais por
retração nas faces laterais verticais e
preocupações aos executores da obra,
recomenda-se a aplicação de armadura de pele,
com área mínima em cada face da alma da viga:
𝐴𝑠𝑝,𝑓𝑎𝑐𝑒 = 0,05%. 𝑏𝑤. ℎ
• Espaçamento mínimo:
Espaçamento livre horizontal mínimo entre as
faces de duas barras da mesma camada:
𝑒ℎ,𝑚𝑖𝑛 ≥ ൞
2 𝑐𝑚
𝜙𝑙
1,2 𝑑𝑚á𝑥,𝑎𝑔𝑟
Espaçamento livre vertical mínimo entre as
faces de duas barras de camadas adjacentes:
𝑒𝑣,𝑚𝑖𝑛 ≥ ൞
2 𝑐𝑚
𝜙𝑙
0,5 𝑑𝑚á𝑥,𝑎𝑔𝑟
𝑑𝑚á𝑥,𝑎𝑔𝑟= dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado
no concreto (brita 1 𝑑𝑚á𝑥 = 19 mm e brita 2 𝑑𝑚á𝑥 = 25 mm)
𝜙𝑙 = diâmetro da barra, do feixe ou da luva.
• Espaçamento horizontal:
𝑒ℎ =
𝑏𝑤 − [2. ∅𝑡 + 𝑐 + 𝑛. ∅]
𝑛 − 1
Onde
𝑛= número de barras de diâmetro ∅
∅𝑡= diâmetro do estribo
É necessário garantir a largura livre para a passagem do
vibrador:
• obrigatório para armadura inferiores com mais de 3
camadas;
• para armaduras superiores, sempre deve ser previsto
a passagem do vibrador.
• os espaçamentos variam de acordo com o vibrador
disponível em obra. (25mm a 63mm)
Hipóteses básicas para o dimensionamento:
Para o ELU:
a) as seções transversais permanecem planas
após a deformação (distribuição linear de
deformações na seção);
b) a deformação em cada barra de aço é a mesma
do concreto no seu entorno. Essa propriedade
ocorre desde que haja aderência entre o concreto
e a barra de aço;
c) no estado-limite último (ELU) despreza-se
obrigatoriamente a resistência do concreto à
tração;
d) o ELU é caracterizado segundo os domínios de
deformação;
e) o alongamento máximo permitido ao longo da
armadura de tração é de 10 ‰, a fim de prevenir
deformações plásticas excessivas;
f) a distribuição de tensões de compressão no
concreto é feita de acordo com o diagrama
tensão-deformação parábola-retângulo, com
tensão máxima σcd de 0,85𝑓𝑐𝑑 . Esse diagrama
pode ser substituído por um retangular,
simplificado, com profundidade 𝑦 = 0,8𝑥.
Diagramas 𝜎 × 𝜀 parábola-retângulo e retangular
simplificado para distribuição de tensões de
compressão no concreto, para concretos do Grupo
I de resistência (𝑓𝑐𝑑 ≤ 50 MPa)
As vigas devem ser projetadas à flexão simples
nos domínios 2 ou 3, e não podem ser projetadas
no domínio 4.
Limites para a posição da linha neutra:
• 𝑥/𝑑 ≤ 0,45 para concretos com 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 MPa
• 𝑥/𝑑 ≤ 0,35 para concretos com 𝑓𝑐𝑘 > 50 MPa.
Quanto menor for a relação x/d (x = posição da
linha neutra, d = altura útil da viga), maior será a
ductilidade.
Dimensionamento para vigas retangulares com
armadura simples (Flexão simples):
• banzo tracionado: barras de aço (As)
• região comprimida: cabe exclusivamente ao
concreto equilibrar as resultantes de compressão
(Rcc).
Área da armadura:
Para fck ≤ 50 MPa:
Normalmente, utilizam-se as unidades kN e cm resultando Md em
kN.cm/m, x em cm e AS em cm² / m.
1 MPa = 0,1 KN/cm2
Considerações sobre a escolha da Armadura:
Para atender a área da armadura calculada, um ou mais diâmetros
podem ser escolhidos, preferencialmente diâmetros próximos entre si.
A área de aço escolhida deve atender ao valor calculado de 𝐴𝑠 ,
admitindo-se uma área de até 5% inferior à calculada.
Quanto mais barras de menor diâmetro são utilizadas menor é a
fissuração, por isso deve-se escolher barras de diâmetro menor, porém
deve-se tomar cuidadopara não exagerar no diâmetro escolhido
aumentado o trabalho de montagem da armadura.
Por isso a escolha da combinação das barras para atender 𝐴𝑠 deve
levar em consideração a fissura, facilidade de execução, porte da obra,
número de camadas de barras, exequibilidade (largura da viga
principalmente), entre outros.
Quanto mais próximo estiver o centro de gravidade da armadura à
borda tracionada, maior será a resistência da seção, por isso
detalhamentos com uma única camada resultam seções mais
resistentes que seções com duas ou mais camadas.
Para vigas de construções de pequeno porte, o mais recomendado é
usar barras de ∅ 10, ∅ 12,5 e ∅ 16 mm, que são mais fáceis de
manusear.
A distância das barras entre os ramos verticais do estribo deve
proporcionar uma distância livre entre as barras suficiente para a
passagem do concreto, para evitar o surgimento de nichos de
concretagem, (‘bicheiras’)
Além da armadura tracionada 𝐴𝑠, também são usadas barras ‘porta-
estribos’, que são duas barras na borda comprimida da seção que
servem para a amarração dos estribos da viga. Embora não sejam
levadas em conta no cálculo, essas armaduras construtivas auxiliam
na confecção e montagem das armaduras e colaboram com a
resistência da peça.
Exemplo
1. Calcular a armadura longitudinal 𝐴𝑠 de
uma viga submetida à flexão simples, sendo
dados:
• ℎ = 50cm
• 𝑏𝑤 = 20cm
• 𝑑 = 47cm
• 𝑐 =2,5 cm
• 𝑀𝑘 = 10000 KNcm
• 𝛾𝑐 = 1,4 e 𝛾𝑠 = 1,15
• Concreto C20 com brita 1
• Aço CA-50
• Estribo ∅𝑡 = 5mm
Solução:
Posição da linha neutra:
𝑥 = 1,25. 𝑑 1 − 1 −
𝑀𝑑
0,425.𝑏𝑤.𝑑
2.𝑓𝑐𝑑
𝑥 = 1,25 × 47 1 − 1 −
10000×1,4
0,425×20×47²×
2
1,4
= 18 cm
𝑥
𝑑
=
18
47
= 0,386 domínio 3 < 0,45 ok!
Solução:
Área de aço:
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑(𝑑−0,4𝑥)
=
10000×1,4
50
1,15
(47−0,4×18)
= 8,09 cm²
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 𝜌𝑚𝑖𝑛. 𝑏𝑤. ℎ =
0,15
100
20 × 50 = 1,5 cm² OK!
𝐴𝑠 + 𝐴′𝑠 < 4% 𝐴𝑐: 𝐴𝑠 < 0,04 × 20 × 50 = 40 cm²
Opções de armadura para 𝐴𝑠 = 8,09 cm²:
16∅8 - 10∅10 - 7∅12,5 - 4∅16
Muitas barras dificulta na execução.
Armadura de pele:
𝐴𝑠𝑝,𝑓𝑎𝑐𝑒 = 0,05%. 𝑏𝑤. ℎ =
0,05
100
× 20 × 50 = 0,5 cm² ⇒ 3∅5
Solução:
Espaçamento:
𝑒ℎ,𝑚𝑖𝑛 ≥ ൞
2 𝑐𝑚
𝜙𝑙 = 1,6 𝑐𝑚
1,2 𝑑𝑚á𝑥,𝑎𝑔𝑟 = 1,2 × 1,9 = 2,28 𝑐𝑚
∴ 𝑒ℎ ≥ 2,28 cm
𝑒ℎ =
20−[2 0,5+2,5 +4×1,6]
4−1
= 2,53cm ok
Conferindo a altura útil:
𝑎𝑐𝑔 = 𝑐 + ∅𝑡 + 𝑦𝑐𝑔 = 2,5 + 0,5 +
1,6
2
= 3,8 cm
𝑑 = 50 − 3,8 = 46,2 cm
O valor inicial adotado foi 47 cm. Diferenças de até 2 cm podem ser
desconsiderados em vigas de dimensões correntes.
2. Dada a seção retangular de uma viga, como
mostrada na Figura, calcular qual é o momento
fletor admissível (de serviço). São conhecidos:
• ℎ = 50cm
• 𝑏𝑤 = 20cm
• 𝑑 = 46cm
• 𝐴𝑠 = 8,00 cm²
• C20
• CA-50
𝑅𝑐𝑑 = 0,68𝑏𝑤 ∙ 𝑥 ∙ 𝑓𝑐𝑑
𝑅𝑠𝑑 = 𝐴𝑠 ∙ 𝜎𝑠𝑑
Fazendo σ𝐹 = 0 : 0,68𝑥20
2
1,4
− 8 ×
50
1,15
= 0 ∴ 𝑥 = 17,9 cm
𝑥
𝑑
=
17,9
46
= 0,389 domínio 3. ≤ 0,45 ok!
Calculo do momento fletor característico que a seção pode resistir:
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑(𝑑−0,4𝑥)
8 =
𝑀𝑘∙1,4
50
1,15
(46−0,4×17,9)
∴ 𝑀𝑘 = 9650 KNcm
Solução:
Vigas retangulares com armadura dupla:
A armadura deve ser calculada no domínio 2 ou 3.
Se resultar o domínio 4, alguma alteração deve ser
feita, a fim de diminuir a linha neutra (𝑥):
• diminuir o valor do momento fletor solicitante (𝑀𝑑);
• aumentar a largura ou a altura da viga (> 𝑑);
• aumentar a resistência do concreto.
Das alternativas listadas, de modo geral, a única que
resulta exequível é o aumento da altura da seção. Diminuir
a solicitação depende de outros fatores, como diminuir o
carregamento, o vão, etc., o que geralmente é inviável.
Aumentar a largura da seção também não é uma solução
prática, pois normalmente as vigas são projetadas para
ficarem completamente embutidas nas paredes. Não é
usual também fazer os elementos estruturais de um
mesmo pavimento com concretos de diferentes
resistências.
Resta ainda a solução de dimensionar a viga com
armadura dupla, que é uma solução interessante porque
possibilita resolver o problema sem se fazer alterações nos
dados iniciais, como será mostrado em seguida.
Para concretos 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 MPa: 𝛽𝑥 =
𝑥
𝑑
≤ 0,45
Comportamento da viga:
• Com o aumento do momento (𝑀𝑑 ↑), a linha
neutra aumenta a profundidade ( 𝑥 ↑ ) e,
consequentemente, a altura da região
comprimida do concreto também aumenta.
• Se a seção passar a trabalhar no domínio 4 o
aço não entrará mais em escoamento (𝜀𝑠 < 𝜀𝑦𝑑).
Nessa situação, a viga de concreto é dita de
superarmada e o Estado Limite Último se dará
por esmagamento do concreto comprimido, sem
escoamento da armadura tracionada, ocorrendo
o que se define como ruptura frágil em caso de
colapso da viga.
• Como deve-se evitar o dimensionamento dentro do
domínio 4, dado à ruptura frágil, a linha neutra
deverá subir até atingir o domínio 3 novamente.
• Então o domínio 4 é evitado alterando-se a posição
da linha neutra para o limite entre os domínios 3 e
4, ou seja, com a linha neutra passando por x3lim, no
que resulta na máxima seção comprimida possível
no domínio 3.
• Para que seja possível manter o equilíbrio da seção
nessa nova configuração, torna-se necessário a
colocação de uma armadura (A's) na região
comprimida de concreto, tendo-se assim uma viga
com Armadura Dupla.
Dimensionamento para armadura dupla:
• banzo tracionado: barras de aço (As)
• região comprimida: barras de aço (A’s) e
concreto comprimido (Rcc).
Para 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 MPa:
𝑅𝑐𝑑 = 0,68 𝑏𝑤 𝑥 𝑓𝑐𝑑
𝑅′𝑠𝑑 = 𝐴′𝑠 𝜎′𝑠𝑑
𝑅𝑠𝑑 = 𝐴𝑠 𝜎𝑠𝑑
Equações de equilíbrio: 
σ𝐹 = 0: 𝑅𝑐𝑑 + 𝑅′𝑠𝑑 = 𝑅𝑠𝑑
σ𝑀 = 0
Decompondo o momento fletor em duas parcelas:
𝑀𝑑1 = 0,68 𝑏𝑤 𝑥 𝑓𝑐𝑑 (𝑑 − 0,4𝑥)
𝑀𝑑2 = 𝑀𝑑 −𝑀𝑑1
Define-se 𝑥 = 0,45 𝑑, no limite de ductilidade.
Área da armadura positiva: 𝑨𝒔 = 𝑨𝒔𝟏 + 𝑨𝒔𝟐
• 𝐴𝑠1 =
𝑀𝑑
1
𝑓𝑦𝑘
1,15
(𝑑−0,4𝑥)
• 𝐴𝑠2 =
𝑀𝑑
2
𝑓𝑦𝑘
1,15
(𝑑−𝑑′)
Área da armadura negativa: 𝑨’𝒔
• 𝐴′𝑠 =
𝑀𝑑
2
𝜎′𝑠(𝑑−𝑑′)
Normalmente, utilizam-se as unidades kN e cm resultando Md em
kN.cm/m, x em cm e AS em cm² / m.
Exemplo
3. Dimensionar a armadura longitudinal de flexão para o
momento fletor negativo no apoio intermediário de uma
viga contínua, considerando os dados a seguir:
• ℎ = 50cm
• 𝑏𝑤 = 20cm
• 𝑐 = 3 cm
• 𝑀𝑘 = −15700 KNcm
• 𝛾𝑐 = 1,4 e 𝛾𝑠 = 1,15
• Concreto C25 com brita 1
• Aço CA-50
• Estribo ∅𝑡 =6,3mm
Solução:
𝑀𝑑 = 1,4 × 15700 = 21980 KNcm
Adotando 𝑎𝑐𝑔 = 5 cm:
𝑑 = ℎ − 𝑎𝑐𝑔 = 50 − 5 = 45 cm
Adotando d’=3 cm.
𝑥 = 1,25. 𝑑 1 − 1 −
𝑀𝑑
0,425.𝑏𝑤.𝑑
2.𝑓𝑐𝑑
𝑥 = 1,25.45 1 − 1 −
21980
0,425.20.45².
2,5
1,4
= 26,23 cm
𝑥
𝑑
=
26,23
45
= 0,58 > 0,45 logo armadura dupla!
Solução:
Nova posição da linha neutra:
𝑥
𝑑
= 0,45 ∴ 𝑥 = 0,45 × 45 = 20,25 cm
𝑀𝑑1 = 0,68 𝑏𝑤 𝑥 𝑓𝑐𝑑 𝑑 − 0,4𝑥
𝑀𝑑1 = 0,68 × 20 × 20,25 ×
2,5
1,4
45 − 0,4 × 20,25 = 18146,893 KNcm
𝑀𝑑2 = 𝑀𝑑 −𝑀𝑑1
𝑀𝑑2 = 21980 − 18147 = 3833 KNcm
Tensão na armadura comprimida:
𝜎′𝑠 = 𝜀′𝑠. 𝐸𝑠 =
0,0035(0,45𝑑−𝑑′)
0,45𝑑
21000 = 62,61 KN/cm²
62,61 >
50
1,15
a armadura está escoando, então usar 𝜎′𝑠 = 50 KN/cm²
Solução:
Área da armadura positiva: 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1+ 𝐴𝑠2
• 𝐴𝑠1 =
𝑀𝑑
1
𝑓𝑦𝑘
1,15
(𝑑−0,4𝑥)
=
18147
50
1,15
(45−0,4×20,25)
= 11,31 cm²
• 𝐴𝑠2 =
𝑀𝑑
2
𝑓𝑦𝑘
1,15
(𝑑−𝑑′)
=
3833
50
1,15
(45−3)
= 2,10 cm²
𝐴𝑠 = 11,31 + 2,10 = 13,41 cm² (3∅20 + 2∅16 → 13,45 cm²)
Área da armadura negativa: 𝐴’𝑠
• 𝐴′𝑠 =
𝑀𝑑
2
𝜎′𝑠(𝑑−𝑑′)
=
3833
50
1,15
(45−3)
= 2,10 cm² (2∅12,5 → 2,50 cm²)
Armadura de pele:
𝐴𝑠𝑝,𝑓𝑎𝑐𝑒 = 0,05%. 𝑏𝑤. ℎ =
0,05
100
× 20 × 50 = 0,5 cm² ⇒ 3∅5
Solução:
𝑑′ = 𝑐 + ∅𝑡 + 𝐶𝐺 = 3 + 0,63 +
1,25
2
= 4,3 cm
𝑒ℎ ≥ ൞
2 𝑐𝑚
𝜙𝑙 = 2 𝑐𝑚
1,2 𝑑𝑚á𝑥,𝑎𝑔𝑟 = 1,2 × 1,9 = 2,28 𝑐𝑚
𝑒𝑣 ≥ ൞
2 𝑐𝑚
𝜙𝑙 = 2 𝑐𝑚
0,5 𝑑𝑚á𝑥,𝑎𝑔𝑟 = 0,5 × 1,9 = 1 𝑐𝑚
𝑒ℎ =
20−[2 3+0,63 +3×2]
2
= 3,37 > 2,3 cm ok!
𝑎𝑐𝑔 = 𝑐 + ∅𝑡 + 𝑦𝑐𝑔 = 3 + 0,63 +
3,15×1×3+2×(0,8+2+2)×2
3,15×3+2×2
= 5,76 cm
𝑦𝑐𝑔=
σ𝐴. 𝑦
σ𝐴
Anexo: Equação da Flexão 
para armadura dupla
Obrigada
rdamaral@anhembi.br
Faculdade de Engenhraia e Tecnologia