Aula 2 P.O Pesquisa Operacional 2

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Aula 02 
Prof° Me. Sergio Eduardo Nunes 
MÉTODOS DE 
PESQUISA 
OPERACIONAL II 
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 OBJETIVOS 
COMPREENDER PROGRAMAÇÃO LINEAR. 
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 PROGRAMAÇÃO LINEAR 
Conhecidas como PPL (Problema de Programação Linear, 
utiliza a programação matemática (maximização ou 
minimização) de uma função linear, denominada funções-
objetivo. Encontrada em: 
• Administração da produção; 
• Analise de investimentos; 
• Logística; 
• Planejamentos em geral. 
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 PROGRAMAÇÃO LINEAR 
Podemos escrever a função objetiva maximizada, 
matematicamente conforme mostrado a seguir: 
Max Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn 
s.r. 
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn <= b1 
am1x1 + am2x2 + … + amnxn <= b1 
x1, x2 , … >= 0 
Ou ainda, na forma reduzida: 
Max Z = s.r.  >= (para i = 1, 2, ..., m) 
 x1, x2 , … >= 0 
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 PROGRAMAÇÃO LINEAR - Terminologia 
• Solução: qualquer especificação de valores, dentro do 
domínio da função-objetivo; 
• Solução viável: que todas as restrições são satisfeitas; 
• Solução ótima: uma solução viável que tem o valor mais 
favorável da função-objetivo, f(x), isto é, maximiza ou 
minimiza a função-objetivo, podendo ser única ou não. 
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 PROGRAMAÇÃO LINEAR 
Como representar graficamente uma inequação? 
Exemplo: 
x1 + 2x2 >= 10 
 
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 PROGRAMAÇÃO LINEAR 
Mas como encontrar um grupo de soluções? 
Exemplo: 
x1 + 3x2 <= 12 
2x1 + x2 >= 16 
Com x1 >= 0 e x2 >= 0 
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 PROGRAMAÇÃO LINEAR 
Como avaliar a função-objetivo? 
Exemplo: Maximize o lucro com a Função L = 2x1 + 5x2 
Solução 
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 PROGRAMAÇÃO LINEAR 
? 
1. Transforme as inequações em 
equações. 
2. Escolha dois pontos em cada 
equação, prefira x1 = 0 e x2 = 0. 
3. Trace as retas das equações. 
4. Verifique o lado da reta de cada 
uma das inequações. 
5. Ache dois pontos da função-
objetivo e desloque-a ao ponto 
maximo. 
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 PROGRAMAÇÃO LINEAR 
(Adaptado PLT 401 – Pág. 21) Considere o seguinte 
problema de programação linear: 
 
Max Z = 3x1 + 2x2 Função-Objetivo 
s.r. 
2x1 + x2 <= 10 (a) 
x1 + x2 <= 8 (b) Restrições 
x1 <= 4 (c) 
x1, x2 >= 0 (d) Restrição Negativa 
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 PROGRAMAÇÃO LINEAR 
Solução Ótima 
 
 
 
Solução Viável 
 
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VAMOS PRATICAR ? 
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(PLT 401 – Pág. 25, exercícios 2.1) 
1) Obtenha graficamente a solução ótima para os problemas 
a seguir, por meio do deslocamento da função-objetivo: 
a) Max Z = 4x1 + 3x2 
sr. 
x1 + 3x2 <= 7 
2x1 + 2x2 <= 8 
x1 + x2 <= 3 
x2 <= 2 
x1, x2 >= 0 
 EXERCÍCIOS 
b) Max Z = x1 + 2x2 
sr. 
x1 + x2 >= 1 
-5x1 + 2x2 >= -10 
3x1 + 5x2 >= 15 
x1, x2 >= 0 
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c) Max Z = 4x1 + 8x2 
sr. 
3x1 + 2x2 <= 18 
x1 + x2 <= 5 
X1 <= 4 
x1, x2 >= 0 
 EXERCÍCIOS 
d) Max Z = 8x1 + 10x2 
sr. 
-x1 + x2 <= 2 
4x1 + 2x2 >= 20 
x1 <= 6 
x2 >= 4 
x1, x2 >= 0 
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 MODELAGEM – Programação Linear 
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Uma certa empresa fabrica dois produtos x1 e x2. O lucro 
unitário do produto x1 é de R$ 1.000,00 e x2 é de R$ 
1.800,00. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma 
unidade de x1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de 
x2. O tempo anual de produção é de 1200 horas. A demanda 
esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para x1 
e 30 para x2. 
Qual é o plano de produção para maximizar os lucros? 
 
• Variáveis: 
 
• Objetivo: 
 
• Restrições: 
 
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VAMOS PRATICAR ? 
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 EXERCÍCIOS 
1) Uma empresa amarra vergalhões de 5/16 e 1/4, para isso 
utiliza 12 rolos de arame, com os funcionários trabalhando 
8 horas. 
• Para amarrar os vergalhões de 5/16 utiliza-se 2 rolos de 
arame, 2 horas e gera R$ 400,00 de lucro por rolo. 
• Para amarrar os vergalhões de 1/4 utiliza-se 3 rolos de 
arame, e 1 hora e gera R$ 100,00 de lucro por rolo. 
 Encontre um programa de produção que maximize a 
margem de contribuição do lucro. 
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• Quantidade de 5/16  ____ 
• Quantidade de 1/4  ____ 
• Max Z = ____ 
• Restrições: 
• Rolo  ________________ 
• Tempo  ________________ 
• ________________ 
 EXERCÍCIOS 
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 EXERCÍCIOS 
PLT 401 – Pág. 26 
Exercícios 5 e 7. 
DÚVIDAS ? 
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 BIBLIOGRAFIA 
• LACHTERMACHER, gerson. Pesquisa Operacional na 
Tomada de Decisões. 4ª ed. Rio de Janeiro: Campus - 
Elsevier, 2006. Págs 20 a 26. 
• FREITAS FILHO, Paulo José. Introdução à Modelagem e 
Simulação de Sistemas com Aplicações em Arena. 2ª ed. 
Florianópolis: VisualBooks, 2008. 
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