Lista 3 - Cálculo de Predicados

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica do Parana´
Centro de Cieˆncias Exatas e de Tecnologia
Departamento de Informa´tica
Programa de Aprendizagem em Lo´gica Matema´tica
Prof. Bra´ulio Coelho A´vila
Lista 3 — 2008
1. Determinar o valor verdade das seguintes fo´rmulas:
(a) ∀x∃yP (x, y)
(b) ∃x∀yP (x, y)
(c) ∀x∀y(P (x, y)→ P (y, x))
(d) ∀x∀yP (x, y)
(e) ∃y¬P (a, y)
(f) ∀xP (x, x)
com relac¸a˜o a seguinte interpretac¸a˜o:
D = {a, b}
P (a, a) P (a, b) P (b, a) P (b, b)
v f f v
2. Simbolizar, somente com base no esquema apresentado:
(a) Esquema A
h(x) : x e´ homem;
p(x) : x e´ paciente;
i(x) : x e´ uma injustic¸a;
s(x) : x e´ sa´bio;
r(x,y) : x resiste a y;
a(x,y) : x e´ amigo de y;
am(x) : x e´ amigo;
g(x) : x e´ genu´ıno;
n(x,y) : x necessita de y;
d : Deus;
a : Antoˆnio.
simbolizar:
i. As pessoas pacientes sa˜o amigas de Deus.
ii. O homem sa´bio resiste a` injustic¸a.
iii. O amigo de que necessitamos e´ genu´ıno amigo.
iv. Os amigos de Antoˆnio sa˜o sa´bios.
v. Ha´ um amigo de Antoˆnio, paciente e sa´bio, que resiste a todas a`s injustic¸as.
(b) Esquema B
U : conjunto dos seres humanos;
h : Helena;
j : Jose´;
m : Maria;
p : Pedro;
p(x, y) : x e´ pai de y;
m(x, y) : x e´ ma˜e de y;
io(x, y) : x e´ irma˜o de y;
ia(x, y) : x e´ irma˜ de y;
mo(x, y) : x e´ marido de y.
simbolizar:
i. Pedro e´ irma˜o de Maria;
ii. Ce´lia e´ solteira;
iii. Regina e´ tia de Jose´;
iv. Todos teˆm ma˜e;
v. Nenhuma tia solteira e´ avo´;
vi. Nem toda esposa e´ ma˜e;
vii. Alguns maridos sa˜o pais;
viii. So´ os pais sa˜o avo´s;
ix. Helena e´ irma˜ de Pedro e Maria;
x. Alguns pais na˜o sa˜o avo´s;
xi. Cristina e´ filha u´nica;
xii. Algumas mulheres casadas na˜o teˆm filhos.
3. Traduzir, somente com base no esquema apresentado:
(a) Esquema A
A(x, y) : x ama y;
M(x, y) : x e´ ma˜e de y.
e tomando como universo o conjunto dos seres humanos,
traduzir:
i. ∀x∃yM(x, y)
ii. ∀y∃xM(x, y)
iii. ∃x∀y¬A(x, y)
iv. ¬∃x∀yM(x, y)
v. ∀y∃x(A(x, y) ∧ ¬M(x, y))
vi. ∀x∀y(M(x, y)→ A(x, y))
vii. ∃x∃y(M(x, y) ∧ ¬A(x, y))
viii. ∀y(¬∃xM(x, y))
(b) Esquema B
N(x) : x e´ novidade;
B(x) : x e´ bom;
P : Manuel Bandeira escreveu um novo poema.
traduzir:
i. ∀x(N(x) → B(x))
ii. ∃x(N(x) ∧ ¬B(x))
iii. ¬∀x(B(x) → N(x))
iv. ¬∀x(N(x) → B(x))
v. P → ∃x(N(x) ∧ B(x))
vi. ∀xB(x) → ∀x(N(x) → B(x))
4. Simbolizar livremente:
(a) Uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que um indiv´ıduo seja produtivo e´ que
ele seja esforc¸ado, trabalhe muito e tenha inspirac¸o˜es.
(b) Todo homem prefere as mulheres bonitas, inteligentes e sens´ıveis, como Rosa. E´
por isso que o professor Se´rgio prefere a sua amada Rosa.
(c) As filhas do professor Pedro sa˜o lindas e meigas.
(d) As filhas do professor Ilme´rio sa˜o lindas e inteligentes, e todos os rapazes da
Computac¸a˜o querem namora´-las.
(e) Nem todo pa´ssaro voa.
(f) Se toda panela tem seu “terc¸o”, toda pessoa tem seu amado (expressa˜o do folclore
nordestino).
(g) Toda pessoa ama algue´m, mas na˜o existe ningue´m que ame todas.
(h) Se existe na cidade um barbeiro que na˜o barbeia a quem se barbeia, enta˜o na˜o
existe na cidade ningue´m para barbear o barbeiro.
(i) Na˜o existe conjunto que conte´m a si pro´prio.
(j) Todo macaco tem seu galho.
(k) Toda pessoa que com ferro fere com ferro sera´ ferida.
(l) Quem na˜o se ama na˜o ama ningue´m.
(m) Todo irma˜o do pai de Pedro e´ seu tio.
(n) Pedro tem um tio que e´ mais novo que seu irma˜o e mora em Israel.
(o) Jamil admira a irma˜o do cunhado de seu tio que mora no L´ıbano.
(p) Rispoli admira o neto de seu neto, mas nem conhece o neto de seu filho.
(q) Os irma˜os de Cla´udio sa˜o gau´chos e torcem pelo Greˆmio como ele.
(r) Faina e Cla´udio sa˜o amigos. Mas nem todo amigo de Faina e´ amigo de Cla´udio e
vice-versa.
(s) Autran e´ bom pai e ama todos os seus filhos.
(t) Os filhos de Ana sa˜o os filhos de Nicolau. Ana ama seus filhos. Ma´rcio e´ filho de
Nicolau. Portanto, Ana ama Ma´rcio.