Optica

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Óptica
Óptica geométrica
• Raios luminosos
• Propagação da luz em linha recta em meios 
homogéneos e isotrópicos
• Reversibilidade dos raios luminosos
• Independência dos raios luminosos
 1 
4ª aula 
 
Sumário: 
Reflexão de ondas e leis da reflexão. Refracção de ondas e leis da refracção. 
 
 
Reflexão de ondas e leis da reflexão 
 
 
 As frentes de onda são o lugar geométrico dos pontos que estão na mesma fase 
de vibração (ver 2ª aula). A distância entre as frentes de onda é o comprimento de onda. 
A Fig. 4.1 mostra frentes de ondas esféricas (a fonte que produz a onda é pontual) e de 
ondas planas (a fonte que produz a onda é longa). 
 
 
 
Figura 4.1 
 
Na direcção perpendicular às frentes de onda podemos desenhar os raios que indicam a 
direcção de propagação. 
Se a onda for sinusoidal, é descrita genericamente por 
 
( ) ϕsin, Atxy = (4.1) 
 
sendo ϕ a fase. Se se tratar de uma onda progressiva que se propaga no sentido positivo 
do eixo dos xx, a fase é dada por αωϕ +−= tkx . Os pontos de intercepção dos raios 
com uma frente de onda estão na mesma fase. 
A representação das ondas pelas frentes de onda e/ou pelos raios é sugestiva e, 
embora seja esquemática é suficientemente rica para permitir o estudo de alguns 
fenómenos ondulatórios. Contam-se entre estes a reflexão e a refracção de ondas. 
Vamos começar por estudar a reflexão de ondas, tomando uma onda plana que 
incide obliquamente numa superfície reflectora plana (a que chamamos espelho plano 
no caso da reflexão da luz). A onda pode ser representada pelos raios incidentes i e i’, 
ou pelas frentes de onda. A Fig. 4.2 mostra estes raios incidentes (a vermelho) e 
também os reflectidos (a azul). 
 
 
 
Raios luminosos
Frente de onda
Raio Frente de onda
Princípio de Fermat: a luz percorre sempre 
o caminho mais rápido entre dois pontos
Óptica geométrica
Princípio de Huygens: cada ponto de uma 
frente de ondas é um centro emissor de ondas 
esféricas
Óptica geométrica
The ray approximation and the assumption that ! "" d are used in this chapter
and in Chapter 36, both of which deal with geometric optics. This approximation is
very good for the study of mirrors, lenses, prisms, and associated optical instruments,
such as telescopes, cameras, and eyeglasses.
35.4 Reflection
When a light ray traveling in one medium encounters a boundary with another
medium, part of the incident light is reflected. Figure 35.5a shows several rays of a
beam of light incident on a smooth, mirror-like, reflecting surface. The reflected
rays are parallel to each other, as indicated in the figure. The direction of a
reflected ray is in the plane perpendicular to the reflecting surface that contains the
1098 C H A P T E R 3 5 • The Nature of Light and the Laws of Geometric Optics
Active Figure 35.4 A plane wave of wavelength ! is incident on a barrier in which
there is an opening of diameter d. (a) When ! "" d, the rays continue in a straight-line
path, and the ray approximation remains valid. (b) When ! ! d, the rays spread out
after passing through the opening. (c) When ! ## d, the opening behaves as a point
source emitting spherical waves.
(c)(a)
d
(b)
λ << dλ λ ≈ dλ
λ >> dλ
At the Active Figures link
at http://www.pse6.com, you
can adjust the size of the
opening and observe the effect
on the waves passing through.
(b)(a)
Figure 35.5 Schematic representation of (a) specular reflection, where the reflected
rays are all parallel to each other, and (b) diffuse reflection, where the reflected rays
travel in random directions. (c) and (d) Photographs of specular and diffuse reflection
using laser light.
Co
ur
te
sy
 o
f H
en
ry
 Le
ap
 a
nd
 J
im
 Le
hm
an
(c) (d)
Reflexão
The ray approximation and the assumption that ! "" d are used in this chapter
and in Chapter 36, both of which deal with geometric optics. This approximation is
very good for the study of mirrors, lenses, prisms, and associated optical instruments,
such as telescopes, cameras, and eyeglasses.
35.4 Reflection
When a light ray traveling in one medium encounters a boundary with another
medium, part of the incident light is reflected. Figure 35.5a shows several rays of a
beam of light incident on a smooth, mirror-like, reflecting surface. The reflected
rays are parallel to each other, as indicated in the figure. The direction of a
reflected ray is in the plane perpendicular to the reflecting surface that contains the
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Active Figure 35.4 A plane wave of wavelength ! is incident on a barrier in which
there is an opening of diameter d. (a) When ! "" d, the rays continue in a straight-line
path, and the ray approximation remains valid. (b) When ! ! d, the rays spread out
after passing through the opening. (c) When ! ## d, the opening behaves as a point
source emitting spherical waves.
(c)(a)
d
(b)
λ << dλ λ ≈ dλ
λ >> dλ
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opening and observe the effect
on the waves passing through.
(b)(a)
Figure 35.5 Schematic representation of (a) specular reflection, where the reflected
rays are all parallel to each other, and (b) diffuse reflection, where the reflected rays
travel in random directions. (c) and (d) Photographs of specular and diffuse reflection
using laser light.
Co
ur
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ry
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 a
nd
 J
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an
(c) (d)
The ray approximation and the assumption that ! "" d are used in this chapter
and in Chapter 36, both of which deal with geometric optics. This approximation is
very good for the study of mirrors, lenses, prisms, and associated optical instruments,
such as telescopes, cameras, and eyeglasses.
35.4 Reflection
When a light ray traveling in one medium encounters a boundary with another
medium, part of the incident light is reflected. Figure 35.5a shows several rays of a
beam of light incident on a smooth, mirror-like, reflecting surface. The reflected
rays are parallel to each other, as indicated in the figure. The direction of a
reflected ray is in the plane perpendicular to the reflecting surface that contains the
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Active Figure 35.4 A plane wave of wavelength ! is incident on a barrier in which
there is an opening of diameter d. (a) When ! "" d, the rays continue in a straight-line
path, and the ray approximation remains valid. (b) When ! ! d, the rays spread out
after passing through the opening. (c) When ! ## d, the opening behaves as a point
source emitting spherical waves.
(c)(a)
d
(b)
λ << dλ λ ≈ dλ
λ >> dλ
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can adjust the size of the
opening and observe the effect
on the waves passing through.
(b)(a)
Figure 35.5 Schematic representation of (a) specular reflection, where the reflected
rays are all parallel to each other, and (b) diffuse reflection, where the reflected rays
travel in random directions. (c) and (d) Photographs of specular and diffuse reflection
using laser light.
Co
ur
te
sy
 o
f H
en
ry
 Le
ap
 a
nd
 J
im
 Le
hm
an
(c) (d)
Reflexão especular Reflexão difusa
 2 
Α
Β
X
Y
W
T
i
i' r
r'
d
 
 
 
Figura 4.2 
 
Os pontos A e B pertencem a uma mesma frente de onda, logo estão na mesma fase que 
podemos considerar nula: 0BA == ϕϕ . Também os pontos X e Y estão na mesma fase 
(X é um ponto onde se dá a reflexão): YX ϕϕ = , tendo-se tkd ωϕ −=X , sendo t o tempo 
que a frente de onda demora a percorrer a distância d. Em X, o raio incidente é 
reflectido, emergindo o raio r segundo uma direcção que,
à partida, não conhecemos. 
Mas essa direcção vai ser também a direcção do raio r’ que resulta da reflexão de i’ no 
ponto W, pois os pontos X e W estão em pé de igualdade. Assim, se ii’ são raios 
paralelos, também rr’ o são (embora, insistimos, não saibamos segundo que direcção se 
propagam). Logo, os pontos T e W pertencem à mesma frente de onda e portanto estão 
“em fase”: WT ϕϕ = . Para tal acontecer, o tempo t’ que a frente em Y demora a chegar a 
W tem de ser igual ao tempo que a frente em T (já do raio reflectido) demorou a lá 
chegar a partir de X. Explicitamente, as fases em T e Y são 
 
'XTXT tk ωϕϕ −+= e 'YWYW tk ωϕϕ −+= (4.2) 
 
Sendo estas duas fases iguais, as distâncias percorridas também terão de ser iguais: 
YWXT = . A Fig. 4.3 representa com mais pormenor a parte de baixo da Fig. 4.2. 
Como a hipotenusa XW é comum aos dois triângulos rectângulos e os catetos YW e XT 
são iguais, segue-se que os ângulos α e β representados na figura são também iguais. 
 
 
X
Y
W
T
α β
 
 
Figura 4.3 
 
Raios incidentes Raios reflectidos
XT = YW
⇥T = ⇥X + kXT � �t
⇥W = ⇥Y + kYW � �t
�W = �T
�A = �B
�X = �Y
Reflexão (especular...)
 2 
Α
Β
X
Y
W
T
i
i' r
r'
d
 
 
 
Figura 4.2 
 
Os pontos A e B pertencem a uma mesma frente de onda, logo estão na mesma fase que 
podemos considerar nula: 0BA == ϕϕ . Também os pontos X e Y estão na mesma fase 
(X é um ponto onde se dá a reflexão): YX ϕϕ = , tendo-se tkd ωϕ −=X , sendo t o tempo 
que a frente de onda demora a percorrer a distância d. Em X, o raio incidente é 
reflectido, emergindo o raio r segundo uma direcção que, à partida, não conhecemos. 
Mas essa direcção vai ser também a direcção do raio r’ que resulta da reflexão de i’ no 
ponto W, pois os pontos X e W estão em pé de igualdade. Assim, se ii’ são raios 
paralelos, também rr’ o são (embora, insistimos, não saibamos segundo que direcção se 
propagam). Logo, os pontos T e W pertencem à mesma frente de onda e portanto estão 
“em fase”: WT ϕϕ = . Para tal acontecer, o tempo t’ que a frente em Y demora a chegar a 
W tem de ser igual ao tempo que a frente em T (já do raio reflectido) demorou a lá 
chegar a partir de X. Explicitamente, as fases em T e Y são 
 
'XTXT tk ωϕϕ −+= e 'YWYW tk ωϕϕ −+= (4.2) 
 
Sendo estas duas fases iguais, as distâncias percorridas também terão de ser iguais: 
YWXT = . A Fig. 4.3 representa com mais pormenor a parte de baixo da Fig. 4.2. 
Como a hipotenusa XW é comum aos dois triângulos rectângulos e os catetos YW e XT 
são iguais, segue-se que os ângulos α e β representados na figura são também iguais. 
 
 
X
Y
W
T
α β
 
 
Figura 4.3 
 
XT = YW
XW é a hipotenusa dos dois triângulos
� = ⇥
Reflexão
Reflexão
 2 
passando a ser o raio incidente, origina um raio reflectido que é o raio original revertido. 
A independência dos raios luminosos significa que podemos analisar o percurso óptico 
de cada raio independentemente dos outros raios, mesmo que se cruzem uns sobre os 
outros. 
A trajectória de um raio luminoso fica determinada pela pelas leis da reflexão e 
da refracção que assim se enunciam: 
 
Leis da reflexão (ver Fig. 27.1): 
1- O raio incidente (i) numa superfície polida, a normal à superfície no ponto de 
incidência (n) e o raio reflectido (r) estão no mesmo plano. 
2- O ângulo de incidência, α e o ângulo de reflexão, β são iguais. 
 
α β
i r
n
 
 
Figura 27.1 
 
Leis da refracção (ver Fig. 27.2): 
1- o raio incidente (i) numa superfície de separação de dois meios ópticos, a normal à 
superfície no ponto de incidência (n) e o raio refractado (R) estão no mesmo plano. 
O ângulo de incidência, α e o ângulo de refracção, γ relacionam-se através de 
 
1
2
sin
sin
n
n
=
γ
α
 (27.1) 
sendo 1n e 2n os índices de refracção dos meios. 
 
 
 
α
i r
n
Rγ
meio 1
meio 2
 
 
Figura 27.2 
� = ⇥
i, n e r esta˜o no mesmo plano
Refracção
35.5 Refraction
When a ray of light traveling through a transparent medium encounters a boundary
leading into another transparent medium, as shown in Figure 35.10, part of the energy
is reflected and part enters the second medium. The ray that enters the second
medium is bent at the boundary and is said to be refracted. The incident ray, the
reflected ray, and the refracted ray all lie in the same plane. The angle of refraction,
!2 in Figure 35.10a, depends on the properties of the two media and on the angle of
incidence through the relationship
(35.3)
where v1 is the speed of light in the first medium and v2 is the speed of light in the
second medium.
The path of a light ray through a refracting surface is reversible. For example, the
ray shown in Figure 35.10a travels from point A to point B. If the ray originated at B, it
would travel to the left along line BA to reach point A, and the reflected part would
point downward and to the left in the glass.
sin !2
sin !1
"
v2
v1
" constant
1102 C H A P T E R 3 5 • The Nature of Light and the Laws of Geometric Optics
! "
# $
%
(b)
Glass
Air
Incident
ray
Refracted
ray
Reflected
ray
Normal
A
v1
v2
(a)
B
θ2θ
′θ1θθ1θ
Active Figure 35.10 (a) A ray obliquely incident on an air–glass interface. The re-
fracted ray is bent toward the normal because v2 # v1. All rays and the normal lie in
the same plane. (b) Light incident on the Lucite block bends both when it enters the
block and when it leaves the block.
He
nr
y L
ea
p 
an
d 
Ji
m
 Le
hm
an
At the Active Figures link
at http://www.pse6.com, vary
the incident angle and see the
effect on the reflected and
refracted rays.
Quick Quiz 35.2 If beam ! is the incoming beam in Figure 35.10b, which
of the other four red lines are reflected beams and which are refracted beams?
From Equation 35.3, we can infer that when light moves from a material in which its
speed is high to a material in which its speed is lower, as shown in Figure 35.11a, the angle
of refraction !2 is less than the angle of incidence !1, and the ray is bent toward the
normal. If the ray moves from a material in which light moves slowly to a material in
which it moves more rapidly, as illustrated in Figure 35.11b, !2 is greater than !1, and the
ray is bent away from the normal.
The behavior of light as it passes from air into another substance and then re-
emerges into air is often a source of confusion to students. When light travels in air,
35.5 Refraction
When a ray of light traveling through a transparent medium encounters a boundary
leading into another transparent medium, as shown in Figure 35.10, part of the energy
is reflected and part enters the second medium. The ray that enters the second
medium is bent at the boundary and is said to be refracted. The incident ray, the
reflected ray, and the refracted ray all lie in the same plane. The angle of refraction,
!2 in Figure 35.10a, depends on the properties of the two media and on the angle of
incidence through the relationship
(35.3)
where v1 is the speed of light in the first medium and v2 is the speed of light in the
second medium.
The path of a light ray through a refracting surface is reversible. For example, the
ray shown in Figure 35.10a travels from point A to point B. If the ray originated at B, it
would travel to the left along line BA to reach point A, and the reflected part would
point downward and to the left in the glass.
sin !2
sin !1
"
v2
v1
" constant
1102 C H A P T E R 3 5 • The Nature of Light and the Laws of Geometric Optics
! "
# $
%
(b)
Glass
Air
Incident
ray
Refracted
ray
Reflected
ray
Normal
A
v1
v2
(a)
B
θ2θ
′θ1θθ1θ
Active Figure 35.10
(a) A ray obliquely incident on an air–glass interface. The re-
fracted ray is bent toward the normal because v2 # v1. All rays and the normal lie in
the same plane. (b) Light incident on the Lucite block bends both when it enters the
block and when it leaves the block.
He
nr
y L
ea
p 
an
d 
Ji
m
 Le
hm
an
At the Active Figures link
at http://www.pse6.com, vary
the incident angle and see the
effect on the reflected and
refracted rays.
Quick Quiz 35.2 If beam ! is the incoming beam in Figure 35.10b, which
of the other four red lines are reflected beams and which are refracted beams?
From Equation 35.3, we can infer that when light moves from a material in which its
speed is high to a material in which its speed is lower, as shown in Figure 35.11a, the angle
of refraction !2 is less than the angle of incidence !1, and the ray is bent toward the
normal. If the ray moves from a material in which light moves slowly to a material in
which it moves more rapidly, as illustrated in Figure 35.11b, !2 is greater than !1, and the
ray is bent away from the normal.
The behavior of light as it passes from air into another substance and then re-
emerges into air is often a source of confusion to students. When light travels in air,
Normal
Raio refractado
Raio reflectidoRaio incidente
Ar
Vidro
 4 






−= t
v2
T
XT
ωϕ e 





−= t
v1
W
YW
ωϕ (4.4) 
 
Para escrever esta expressão, tivemos em conta que a onda mantém a frequência em 
qualquer meio onde se propaga, e o raio i’ demora o tempo t a percorrer a distância d1 
de Y a W , o mesmo tempo que o raio já refractado demora a percorrer a distância d2 de 
X a T (assim se garante a mesma fase em T e W). 
 
X
W
i i'
rf rf'
d1
Y
Td2
meio 1
meio 2
 
 
Figura 4.5 
 
A expressão anterior permite concluir que 
 
21
XTYW
vv
= (4.5) 
 
A Fig. 4.6 mostra em pormenor a parte central da Fig. 4.5. 
 
X W
Y
T
α
α
β
β
 
Figura 4.6 
 
Se dividirmos ambos os membros de (4.5) pela hipotenusa comum aos dois triângulos 
rectângulos representados na Fig. 4.6, podemos escrever 
 
�W = �T
�X = �Y YW
v1
=
XT
v2
Refracção
'T = 'X + !
✓
XT
v2
� t
◆
'W = 'Y + !
✓
YW
v1
� t
◆
 4 






−= t
v2
T
XT
ωϕ e 





−= t
v1
W
YW
ωϕ (4.4) 
 
Para escrever esta expressão, tivemos em conta que a onda mantém a frequência em 
qualquer meio onde se propaga, e o raio i’ demora o tempo t a percorrer a distância d1 
de Y a W , o mesmo tempo que o raio já refractado demora a percorrer a distância d2 de 
X a T (assim se garante a mesma fase em T e W). 
 
X
W
i i'
rf rf'
d1
Y
Td2
meio 1
meio 2
 
 
Figura 4.5 
 
A expressão anterior permite concluir que 
 
21
XTYW
vv
= (4.5) 
 
A Fig. 4.6 mostra em pormenor a parte central da Fig. 4.5. 
 
X W
Y
T
α
α
β
β
 
Figura 4.6 
 
Se dividirmos ambos os membros de (4.5) pela hipotenusa comum aos dois triângulos 
rectângulos representados na Fig. 4.6, podemos escrever 
 
YW
v1
=
XT
v2
XW
sin(�)
v1
=
sin(⇥)
v2
Refracção
 5 
2
1
sin
sin
v
v
=β
α
 (4.6) 
 
 
Como mostra a Fig. 4.6, o ângulo α é também o ângulo que o raio incidente forma com 
a direcção normal no ponto de incidência − é pois igual ao ângulo de incidência i. Por 
outro lado, o ângulo β é também o ângulo que o raio refractado forma com a normal − 
é o ângulo de refracção R (ver Fig. 4.7). 
 
 
i
i
R
rf
meio 1
meio 2
 
 
Figura 4.7 
 
A expressão anterior pode escrever-se em função destes dois ângulos. Na situação 
representada na Fig. 4.7, o ângulo de refracção é superior ao ângulo de incidência, o que 
significa que a velocidade de propagação da onda no meio 2 é maior do que no meio 1. 
 Define-se o índice de refracção, n, como a razão entre a velocidade de 
propagação da onda num meio de referência e no meio em questão. No caso da luz o 
meio de referência é o vazio e 
 
v
c
n = , (4.7) 
onde c é a velocidade da luz no vazio e v no meio em questão. A Eq. (4.6) passa a 
escrever-se 
 
1
2
sin
sin
n
n
R
i
= (4.8) 
 
que é uma lei da refracção. De uma maneira geral, o segundo membro desta equação é o 
índice de refracção do meio 2 relativamente ao meio 1. Se 12 nn > , o raio refractado 
aproxima-se da normal e vice-versa. 
 No caso da passagem da luz do ar para a água, águaar 1 nn <≈ (diz-se que a água 
é um meio mais refringente do que o ar) e o raio luminoso aproxima-se da normal. Se a 
luz passar da água para o ar, afasta-se da normal, como se mostra na Fig. 4.8. 
 
 
Refracção
sin(i)
sin(R)
=
n2
n1
n =
c
v
Índice de refracção
Lei de Snell
 6 
r
i r
rf 
ar
água
i
R
r
i r
rf 
ar
água
i
R
 
 
Figura 4.8 
 
Quando a onda incide num interface vinda de um meio mais refringente pode ocorrer a 
chamada reflexão total. Como o próprio nome indica, a onda é totalmente reflectida e 
não há onda refractada. Quando a onda passa de um meio com maior índice de refracção 
para um meio com menor índice de refracção, o raio afasta-se da normal. Esse 
afastamento é máximo quando o ângulo de refracção vale 90º. Para um tal ângulo de 
refracção , o correspondente ângulo de incidência chama-se ângulo limite. 
 
 
r
ilim
rf ar
água
i
 
 
Figura 4.9 
 
 
Por outras palavras, para uma incidência no ângulo limite, o raio refractado é rasante. 
Para incidências segundo ângulos superiores deixa de haver raio refractado. O ângulo 
limite depende dos índices de refracção dos meios. Tomando na expressão (4.8) R = 
90º, conclui-se que 
 






=
1
2
lim arcsin
n
ni (4.9) 
sendo o meio 1, aquele onde se propaga a onda (o de índice de refracção maior). Para a 
interface água-ar o ângulo limite é cerca de 50º. 
 A reflexão total tem a vantagem de a energia não se propagar para um outro 
meio, mantendo-se no meio 1 − não há perda (degradação) de energia. Há muitas 
aplicações tecnológicas da reflexão total. Uma delas é na fibra óptica que é um suporte 
muito eficiente para a transmissão de informação. 
nar < nagua
O raio aproxima-se da normal quando “trava”
Refracção
Refracção
Material n
Zircónia cúbica 2,20
Diamante 2,419
Gelo 1,309
Cloreto de sódio (sólido) 1,544
Benzeno 1,501
Glicerina 1,473
Água 1,333
Ar 1,000293
Dióxido de carbono 1,00045
Refracção
Se a velocidade da luz é diferente em meios 
diferentes, o que acontece ao comprimento de onda 
e à frequência da onda electromagnética?
n =
c
v
v = �f
A frequência mantém-se, mas o 
comprimento de onda muda!
A mechanical analog of refraction is shown in Figure 35.13. When the left end of
the rolling barrel reaches the grass, it slows down, while the right end remains on the
concrete and moves at its original speed. This difference in speeds causes the barrel to
pivot, and this changes the direction of travel.
Index of Refraction
In general, the speed of light in any material is less than its speed in vacuum. In fact,
light travels at its maximum speed in vacuum. It is convenient to define the index of
refraction n of a medium to be the ratio
(35.4)
From this definition, we see that the index of refraction is a dimensionless
number greater than unity because v is always less than c. Furthermore, n is equal
to unity for vacuum. The indices of refraction for various substances are listed
in Table 35.1.
As light travels from one medium to another, its frequency does not
change but its wavelength does. To see
why this is so, consider Figure 35.14.
Waves pass an observer at point A in medium 1 with a certain frequency and are
n ! 
speed of light in vacuum
speed of light in a medium
!
c
v
1104 C H A P T E R 3 5 • The Nature of Light and the Laws of Geometric Optics
Concrete
Grass
This end slows
first; as a result,
the barrel turns.
Figure 35.13 Overhead view of a barrel rolling
from concrete onto grass.
1
2
A
B
v2
v1
1
n2
c
v2
=
n1
c
v1
=
λ
2λ
Figure 35.14 As a wave moves
from medium 1 to medium 2, its
wavelength changes but its
frequency remains constant.
Index of Index of
Substance Refraction Substance Refraction
Solids at 20°C Liquids at 20°C
Cubic zirconia 2.20 Benzene 1.501
Diamond (C) 2.419 Carbon disulfide 1.628
Fluorite (CaF2) 1.434 Carbon tetrachloride 1.461
Fused quartz (SiO2) 1.458 Ethyl alcohol 1.361
Gallium phosphide 3.50 Glycerin 1.473
Glass, crown 1.52 Water 1.333
Glass, flint 1.66
Ice (H2O) 1.309
Polystyrene 1.49
Sodium chloride (NaCl) 1.544
Indices of Refractiona
Table 35.1
a All values are for light having a wavelength of 589 nm in vacuum.
Index of refraction
! PITFALL PREVENTION 
35.2 n Is Not an Integer
Here
We have seen n used several
times as an integer, such as in
Chapter 18 to indicate the stand-
ing wave mode on a string or in
an air column. The index of
refraction n is not an integer.
Gases at 0°C, 1 atm
Air 1.000 293
Carbon dioxide 1.000 45
Dispersão
and a rain shower. To understand how a rainbow is formed, consider Figure 35.23. A ray
of sunlight (which is white light) passing overhead strikes a drop of water in the atmos-
phere and is refracted and reflected as follows: It is first refracted at the front surface of
the drop, with the violet light deviating the most and the red light the least. At the back
surface of the drop, the light is reflected and returns to the front surface, where it again
undergoes refraction as it moves from water into air. The rays leave the drop such that the
angle between the incident white light and the most intense returning violet ray is 40° and
the angle between the white light and the most intense returning red ray is 42°. This small
angular difference between the returning rays causes us to see a colored bow.
Now suppose that an observer is viewing a rainbow, as shown in Figure 35.24. If a
raindrop high in the sky is being observed, the most intense red light returning from
the drop can reach the observer because it is deviated the most, but the most intense
violet light passes over the observer because it is deviated the least. Hence, the
observer sees this drop as being red. Similarly, a drop lower in the sky would direct the
most intense violet light toward the observer and appears to be violet. (The most
intense red light from this drop would pass below the eye of the observer and not be
1110 C H A P T E R 3 5 • The Nature of Light and the Laws of Geometric Optics
Figure 35.22 White light enters a
glass prism at the upper left. A
reflected beam of light comes out of
the prism just below the incoming
beam. The beam moving toward the
lower right shows distinct colors.
Different colors are refracted at
different angles because the index of
refraction of the glass depends on
wavelength. Violet light deviates the
most; red light deviates the least.Da
vid
 P
ar
ke
r/S
cie
nc
e 
Ph
ot
o 
Lib
ra
ry
/P
ho
to
 R
es
ea
rc
he
rs
, I
nc
.
Sunlight
40° 42°
V
R
V
R
White
White
40° 42°
42°40°
! PITFALL PREVENTION 
35.5 A Rainbow of Many
Light Rays
Pictorial representations such as
Figure 35.23 are subject to misin-
terpretation. The figure shows one
ray of light entering the raindrop
and undergoing reflection and
refraction, exiting the raindrop in
a range of 40° to 42° from the
entering ray. This might be inter-
preted incorrectly as meaning that
all light entering the raindrop
exits in this small range of angles.
In reality, light exits the raindrop
over a much larger range of
angles, from 0° to 42°. A careful
analysis of the reflection and
refraction from the spherical
raindrop shows that the range of
40° to 42° is where the highest-
intensity light exits the raindrop.
Active Figure 35.23 Path of
sunlight through a spherical
raindrop. Light following this path
contributes to the visible rainbow.
At the Active Figures link
at http://www.pse6.com, you
can vary the point at which the
sunlight enters the raindrop to
verify that the angles shown are
the maximum angles.
Figure 35.24 The formation of a rainbow seen by an observer standing with the Sun
behind his back.
O índice de refracção pode depender 
do comprimento de onda...
 6 
r
i r
rf 
ar
água
i
R
r
i r
rf 
ar
água
i
R
 
 
Figura 4.8 
 
Quando a onda incide num interface vinda de um meio mais refringente pode ocorrer a 
chamada reflexão total. Como o próprio nome indica, a onda é totalmente reflectida e 
não há onda refractada. Quando a onda passa de um meio com maior índice de refracção 
para um meio com menor índice de refracção, o raio afasta-se da normal. Esse 
afastamento é máximo quando o ângulo de refracção vale 90º. Para um tal ângulo de 
refracção , o correspondente ângulo de incidência chama-se ângulo limite. 
 
 
r
ilim
rf ar
água
i
 
 
Figura 4.9 
 
 
Por outras palavras, para uma incidência no ângulo limite, o raio refractado é rasante. 
Para incidências segundo ângulos superiores deixa de haver raio refractado. O ângulo 
limite depende dos índices de refracção dos meios. Tomando na expressão (4.8) R = 
90º, conclui-se que 
 






=
1
2
lim arcsin
n
ni (4.9) 
sendo o meio 1, aquele onde se propaga a onda (o de índice de refracção maior). Para a 
interface água-ar o ângulo limite é cerca de 50º. 
 A reflexão total tem a vantagem de a energia não se propagar para um outro 
meio, mantendo-se no meio 1 − não há perda (degradação) de energia. Há muitas 
aplicações tecnológicas da reflexão total. Uma delas é na fibra óptica que é um suporte 
muito eficiente para a transmissão de informação. 
Reflexão interna total
ilim = arcsin
�
n2
n1
⇥
Diamantes e
fibras ópticas
Objecto / imagem
Objecto/imagem real/virtual
Objecto: vértice do 
feixe incidente
Imagem: vértice do 
feixe emergente
Real
Virtual
Real
Virtual
Objecto/imagem real/virtual
• Objecto/imagem real: os raios de luz 
passam pelo objecto/imagem e divergem 
dele
• Objecto/imagem virtual: os raios de luz 
NÃO passam pelo objecto/imagem mas 
parecem divergir dele
Espelho plano
 3 
 
O índice de refracção de um meio, que vamos considerar sempre isotrópico e 
homogéneo, é a razão entre a velocidade da luz no vazio e a velocidade da luz nesse 
meio: 
 
v
c
n = . (27.2) 
 
Como a velocidade da luz é máxima no vazio, o índice de refracção é maior do que um 
para qualquer meio. Se o meio 2 tiver índice de refracção superior ao do meio 1, o raio 
refractado aproxima-se da normal se o raio incidente vier do meio 1 (tal como na Fig. 
27.2), e afasta-se da normal se vier do meio 2. 
 
 
Espelhos planos 
 
 A determinação das imagens dadas por um espelho plano faz-se a partir das leis 
da reflexão. A Figura 27.3 mostra um espelho plano e P é um ponto (que designamos 
por “objecto”) que dista d da superfície do espelho. Onde está a imagem que o espelho 
dá desse ponto? 
 
 
 
P P'
ir
i'
r'
i"
r"
d d'
α
α
α
Μ
Ν
V
 
 
Figura 27.3 
 
 
Essa imagem forma-se do outro lado do espelho e está à mesma distância do espelho a 
que está o ponto-objecto: 'dd = . 
 Este resultado pode ser obtido geometricamente. Na Fig. 27.4 representa-se
um 
objecto vertical de altura oh (valor que se considera positivo) e à distância ox (que 
também se considera positivo). 
 
Imagem
(virtual)
xo + xi = 0
Espelho plano
 4 
P P'
(objecto) (imagem)
hiho
xixo
α
α
1
2
M
N
 
Figura 27.4 
 
 
Para encontrar a imagem do objecto basta encontrar a imagem do ponto P. Fazem-se 
sair desse ponto dois raios luminosos. O raio 1 incide normalmente no espelho. O raio 2 
incide segundo um ângulo α e emerge, portanto, fazendo um ângulo α com a normal, de 
acordo com as leis da reflexão. Os dois raios emergentes não se encontram. Mas o seu 
prolongamento encontra-se para lá do espelho, no ponto P’, que é a imagem virtual de 
P. Da semelhança dos triângulos PMN e P’MN resulta que o tamanho da imagem é 
igual à do objecto: oi hh = . Por outro lado, também MP'PM = . Na Fig. 27.4 indicam-
se as coordenadas ix e ox para a imagem e para o objecto. Nos espelhos, usa-se a 
convenção de tomar como positivas as coordenadas do lado do espelho onde se 
propagam os raios luminosos e negativas do outro lado, ou seja, do lado de lá do 
espelho. No quadro desta convenção podemos escrever a seguinte relação entre 
coordenadas do objecto e da sua imagem: 
 
 0io =+ xx (27.3) 
 
Atendendo a que ix é negativo (e ox positivo), podemos escrever para a relação entre 
as alturas dos objectos 
 
o
i
o
i
x
x
h
h
−= (27.4) 
 
A esta razão chama-se, em geral, ampliação e, evidentemente, para o espelho plano vale 
um. 
 
Espelhos esféricos e aberrações 
 
 Quando um raio luminoso incide numa superfície espelhada é reflectido segundo 
um ângulo igual ao ângulo de incidência como afirma a segunda lei da reflexão. No 
caso de espelhos esféricos a normal no ponto de incidência é uma direcção radial, ou 
seja, uma direcção que passa pelo centro do espelho. 
 Os espelhos esféricos podem ser côncavos ou convexos, consoante a superfície 
espelhada seja a interior da calote esférica ou a exterior. 
 Ora, quando raios luminosos paralelos centrais incidem num espelho côncavo, 
estes são reflectido, convergindo para uma zona relativamente pequena mas que se não 
reduz a um só ponto, como se mostra na Fig. 27.5. 
hi
ho
= � xi
xo
Positivo Negativo
Convenção de sinais
• As distâncias são medidas sempre a partir 
do espelho/lente
• Se é um objecto/imagem real, a sua 
coordenada é positiva
• Se é um objecto/imagem virtual, a sua 
coordenada é negativa
Espelho esférico
 5 
 
O V
 
 
 
Figura 27.5 
 
Dizemos que um espelho esférico não foca perfeitamente um feixe de raios paralelos, 
circunstância que já era do conhecimento dos gregos. Foram, de resto, os gregos que 
primeiro descobriram que para a focagem ocorrer num só ponto, o espelho tinha de ser 
parabólico e não esférico. Por isso as antenas de TV que captam sinais enviados por 
satélites são parabólicas! 
 A impossibilidade de focagem de um feixe de raios paralelos por um espelho 
esférico, pode ser expressa dizendo-se que um espelho assim nunca dá uma imagem 
focada de um objecto no infinito. A deformação na imagem por este motivo é chamada 
aberração. 
 Contudo, se o raios luminosos forem paralelos e próximos do eixo do sistema 
(OV na Fig. 27.5) a aberração é praticamente inexistente. Ora, ter um feixe de raios 
paralelos pouco “espesso” a incidir na região do ponto V do espelho é equivalente a 
tomar um espelho com um raio de curvatura muito grande. 
 
 
Espelhos esféricos de grande raio de curvatura 
 
 A Fig. 27.6 (a) mostra um raio luminoso paralelo ao eixo do sistema a incidir no 
ponto M. A normal no ponto de incidência tem a direcção radial (linha MC, sendo C o 
centro de curvatura do espelho). O ângulo de incidência, α, é o ângulo que o raio 
incidente faz com esta linha e o ângulo de reflexão tem de ser igual. O raio reflectido 
intercepta o eixo do sistema no ponto F a que chamamos foco. O triângulo CMF é 
isósceles e o ângulo no vértice C é também α. Ο ângulo externo no vértice F é 
2α. Designemos por R o raio de curvatura do espelho (distância CV ) e por f a distância 
FV (distância focal). Como relacionar estas duas distâncias? 
M
C F V
M
α
r
i
2αV
C F
α
α
α 2α
r
i
(a) (b) R
f
 
 
Figura 27.6 
Os raios reflectidos não se 
cruzam no mesmo ponto
Espelhos parabólicos
Aberração
tan 2� =
MV
f
tan� =
MV
R
Espelho esférico de grande
raio de curvatura
 5 
 
O V
 
 
 
Figura 27.5 
 
Dizemos que um espelho esférico não foca perfeitamente um feixe de raios paralelos, 
circunstância que já era do conhecimento dos gregos. Foram, de resto, os gregos que 
primeiro descobriram que para a focagem ocorrer num só ponto, o espelho tinha de ser 
parabólico e não esférico. Por isso as antenas de TV que captam sinais enviados por 
satélites são parabólicas! 
 A impossibilidade de focagem de um feixe de raios paralelos por um espelho 
esférico, pode ser expressa dizendo-se que um espelho assim nunca dá uma imagem 
focada de um objecto no infinito. A deformação na imagem por este motivo é chamada 
aberração. 
 Contudo, se o raios luminosos forem paralelos e próximos do eixo do sistema 
(OV na Fig. 27.5) a aberração é praticamente inexistente. Ora, ter um feixe de raios 
paralelos pouco “espesso” a incidir na região do ponto V do espelho é equivalente a 
tomar um espelho com um raio de curvatura muito grande. 
 
 
Espelhos esféricos de grande raio de curvatura 
 
 A Fig. 27.6 (a) mostra um raio luminoso paralelo ao eixo do sistema a incidir no 
ponto M. A normal no ponto de incidência tem a direcção radial (linha MC, sendo C o 
centro de curvatura do espelho). O ângulo de incidência, α, é o ângulo que o raio 
incidente faz com esta linha e o ângulo de reflexão tem de ser igual. O raio reflectido 
intercepta o eixo do sistema no ponto F a que chamamos foco. O triângulo CMF é 
isósceles e o ângulo no vértice C é também α. Ο ângulo externo no vértice F é 
2α. Designemos por R o raio de curvatura do espelho (distância CV ) e por f a distância 
FV (distância focal). Como relacionar estas duas distâncias? 
M
C F V
M
α
r
i
2αV
C F
α
α
α 2α
r
i
(a) (b) R
f
 
 
Figura 27.6 
Foco
R
f
 6 
 
No lado direito da Fig. 27.7 representamos o trajecto do raio luminoso mas substituímos 
o arco MV pela corda que se considera vertical. Esta aproximação é legítima desde que 
o ângulo α seja pequeno, ou, o que é o mesmo e já antes se disse, desde que a distância 
R seja grande (em comparação com o tamanho do arco). Pode concluir-se da Fig. 27.7 
(b) que 
 
R
FV
tan =α e f
FV2tan =α . (27.5) 
 
Por outro lado, como o ângulo é pequeno, αα ≈tan e αα 22tan ≈ e das equações 
anteriores obtemos 
 
2
Rf = . (27.6) 
 
Conclui-se desta expressão que o centro de curvatura do espelho está à dupla distância 
focal. Podíamos chegar ao resultado (27.6) a partir de 
R
arco(MV)
=α (que é uma 
expressão exacta porque α é um ângulo ao centro) e de f
arco(MV)2 ≈α (que já não é 
exacta, mas quanto mais próximo de zero for α mais rigorosa se torna). 
 Assim, num espelho esférico côncavo ideal, um feixe de raio paralelos converge 
para um único ponto (foco real); se o espelho for convexo o mesmo feixe diverge, mas 
os prolongamentos dos raios reflectidos encontram-se num só ponto (foco virtual). 
Representamos estas duas situações na Fig. 27.7. Indicamos para um raio luminoso 
incidente, em cada situação, a direcção normal no ponto de incidência. 
 
CFV
C F V
(a) (b)
 
Figura 27.7 
 
Pelo princípio da reversibilidade dos raios luminosos, se um raio incidir passando pelo 
foco emerge segundo a direcção paralela ao eixo. Por outro lado, um raio incidente que 
passe pelo centro
de curvatura do espelho (ou, para a lente convexa, cuja direcção passe 
por C) é reflectido segundo a mesma direcção (só o sentido muda) pois tal incidência é 
normal. As três situações − raio incidente paralelo ao eixo (1), raio incidente que passa 
 6 
 
No lado direito da Fig. 27.7 representamos o trajecto do raio luminoso mas substituímos 
o arco MV pela corda que se considera vertical. Esta aproximação é legítima desde que 
o ângulo α seja pequeno, ou, o que é o mesmo e já antes se disse, desde que a distância 
R seja grande (em comparação com o tamanho do arco). Pode concluir-se da Fig. 27.7 
(b) que 
 
R
FV
tan =α e f
FV2tan =α . (27.5) 
 
Por outro lado, como o ângulo é pequeno, αα ≈tan e αα 22tan ≈ e das equações 
anteriores obtemos 
 
2
Rf = . (27.6) 
 
Conclui-se desta expressão que o centro de curvatura do espelho está à dupla distância 
focal. Podíamos chegar ao resultado (27.6) a partir de 
R
arco(MV)
=α (que é uma 
expressão exacta porque α é um ângulo ao centro) e de f
arco(MV)2 ≈α (que já não é 
exacta, mas quanto mais próximo de zero for α mais rigorosa se torna). 
 Assim, num espelho esférico côncavo ideal, um feixe de raio paralelos converge 
para um único ponto (foco real); se o espelho for convexo o mesmo feixe diverge, mas 
os prolongamentos dos raios reflectidos encontram-se num só ponto (foco virtual). 
Representamos estas duas situações na Fig. 27.7. Indicamos para um raio luminoso 
incidente, em cada situação, a direcção normal no ponto de incidência. 
 
CFV
C F V
(a) (b)
 
Figura 27.7 
 
Pelo princípio da reversibilidade dos raios luminosos, se um raio incidir passando pelo 
foco emerge segundo a direcção paralela ao eixo. Por outro lado, um raio incidente que 
passe pelo centro de curvatura do espelho (ou, para a lente convexa, cuja direcção passe 
por C) é reflectido segundo a mesma direcção (só o sentido muda) pois tal incidência é 
normal. As três situações − raio incidente paralelo ao eixo (1), raio incidente que passa 
f =
R
2
Foco virtual
tan� � �
Focos
• Foco imagem é o ponto onde se forma 
a imagem de um objecto infinitamente 
afastado do espelho
• Foco objecto é o local onde está 
colocado um objecto cuja imagem se forma 
infinitamente afastada do espelho
Convenção de sinais
• A distância focal de um espelho côncavo 
é positiva (e o seu raio também...)
• A distância focal de um espelho convexo 
é negativa (e o seu raio também...)
 6 
 
No lado direito da Fig. 27.7 representamos o trajecto do raio luminoso mas substituímos 
o arco MV pela corda que se considera vertical. Esta aproximação é legítima desde que 
o ângulo α seja pequeno, ou, o que é o mesmo e já antes se disse, desde que a distância 
R seja grande (em comparação com o tamanho do arco). Pode concluir-se da Fig. 27.7 
(b) que 
 
R
FV
tan =α e f
FV2tan =α . (27.5) 
 
Por outro lado, como o ângulo é pequeno, αα ≈tan e αα 22tan ≈ e das equações 
anteriores obtemos 
 
2
Rf = . (27.6) 
 
Conclui-se desta expressão que o centro de curvatura do espelho está à dupla distância 
focal. Podíamos chegar ao resultado (27.6) a partir de 
R
arco(MV)
=α (que é uma 
expressão exacta porque α é um ângulo ao centro) e de f
arco(MV)2 ≈α (que já não é 
exacta, mas quanto mais próximo de zero for α mais rigorosa se torna). 
 Assim, num espelho esférico côncavo ideal, um feixe de raio paralelos converge 
para um único ponto (foco real); se o espelho for convexo o mesmo feixe diverge, mas 
os prolongamentos dos raios reflectidos encontram-se num só ponto (foco virtual). 
Representamos estas duas situações na Fig. 27.7. Indicamos para um raio luminoso 
incidente, em cada situação, a direcção normal no ponto de incidência. 
 
CFV
C F V
(a) (b)
 
Figura 27.7 
 
Pelo princípio da reversibilidade dos raios luminosos, se um raio incidir passando pelo 
foco emerge segundo a direcção paralela ao eixo. Por outro lado, um raio incidente que 
passe pelo centro de curvatura do espelho (ou, para a lente convexa, cuja direcção passe 
por C) é reflectido segundo a mesma direcção (só o sentido muda) pois tal incidência é 
normal. As três situações − raio incidente paralelo ao eixo (1), raio incidente que passa 
 6 
 
No lado direito da Fig. 27.7 representamos o trajecto do raio luminoso mas substituímos 
o arco MV pela corda que se considera vertical. Esta aproximação é legítima desde que 
o ângulo α seja pequeno, ou, o que é o mesmo e já antes se disse, desde que a distância 
R seja grande (em comparação com o tamanho do arco). Pode concluir-se da Fig. 27.7 
(b) que 
 
R
FV
tan =α e f
FV2tan =α . (27.5) 
 
Por outro lado, como o ângulo é pequeno, αα ≈tan e αα 22tan ≈ e das equações 
anteriores obtemos 
 
2
Rf = . (27.6) 
 
Conclui-se desta expressão que o centro de curvatura do espelho está à dupla distância 
focal. Podíamos chegar ao resultado (27.6) a partir de 
R
arco(MV)
=α (que é uma 
expressão exacta porque α é um ângulo ao centro) e de f
arco(MV)2 ≈α (que já não é 
exacta, mas quanto mais próximo de zero for α mais rigorosa se torna). 
 Assim, num espelho esférico côncavo ideal, um feixe de raio paralelos converge 
para um único ponto (foco real); se o espelho for convexo o mesmo feixe diverge, mas 
os prolongamentos dos raios reflectidos encontram-se num só ponto (foco virtual). 
Representamos estas duas situações na Fig. 27.7. Indicamos para um raio luminoso 
incidente, em cada situação, a direcção normal no ponto de incidência. 
 
CFV
C F V
(a) (b)
 
Figura 27.7 
 
Pelo princípio da reversibilidade dos raios luminosos, se um raio incidir passando pelo 
foco emerge segundo a direcção paralela ao eixo. Por outro lado, um raio incidente que 
passe pelo centro de curvatura do espelho (ou, para a lente convexa, cuja direcção passe 
por C) é reflectido segundo a mesma direcção (só o sentido muda) pois tal incidência é 
normal. As três situações − raio incidente paralelo ao eixo (1), raio incidente que passa 
Espelho esférico de grande
raio de curvatura
 7 
pelo foco (2) e raio incidente normal ao espelho (3) − estão resumidas na Fig. 27.8, 
onde se mostram, os correspondentes raios reflectidos para espelhos côncavo e convexo. 
Estes raios principais são muito úteis para a determinação de imagens como veremos na 
próxima secção. 
 
CF
V
C
F
V
(a) (b)
1
1
1
2
2
3
3
 
 
Figura 27.8 
 
 
Imagens dadas por espelhos esféricos 
 
 Na Fig. 27.9 (a), um objecto de altura oh está à distância ox de um espelho 
côncavo. Tal como para o espelho plano, bastam dois raios luminosos para determinar a 
imagem do objecto. É conveniente escolher dois dos três raios referidos no final da 
secção anterior e para os quais os correspondentes raios reflectivos são fáceis de traçar. 
No caso concreto da Fig. 27.9 (a) considerámos um raio incidente paralelo (incide no 
ponto M) e um raio incidente que passa pelo foco (incide no ponto M). Os raios 
reflectidos não se encontram do lado esquerdo do espelho. Mas os seus prolongamentos 
encontram-se do outro lado do espelho. A imagem do objecto é, portanto, virtual. 
 
 
 
F
V
M
N
xo xi
ho
hi
F
V
M
xo xi
ho
hi
N
f
(a) (b)
 
Figura 27.9 
 
A coordenada da imagem é ix , cujo valor é intrinsecamente negativo uma vez que está 
do lado do espelho onde não há propagação de raios luminosos (convenção já usada 
para o espelho plano). Pretendemos agora obter a relação entre as coordenadas do 
objecto e da imagem e as características do espelho, designadamente a sua distância 
focal. A Fig. 27.9 (b), que é mais esquemática e onde se fez já a substituição do arco 
 7 
pelo foco (2) e raio incidente normal
ao espelho (3) − estão resumidas na Fig. 27.8, 
onde se mostram, os correspondentes raios reflectidos para espelhos côncavo e convexo. 
Estes raios principais são muito úteis para a determinação de imagens como veremos na 
próxima secção. 
 
CF
V
C
F
V
(a) (b)
1
1
1
2
2
3
3
 
 
Figura 27.8 
 
 
Imagens dadas por espelhos esféricos 
 
 Na Fig. 27.9 (a), um objecto de altura oh está à distância ox de um espelho 
côncavo. Tal como para o espelho plano, bastam dois raios luminosos para determinar a 
imagem do objecto. É conveniente escolher dois dos três raios referidos no final da 
secção anterior e para os quais os correspondentes raios reflectivos são fáceis de traçar. 
No caso concreto da Fig. 27.9 (a) considerámos um raio incidente paralelo (incide no 
ponto M) e um raio incidente que passa pelo foco (incide no ponto M). Os raios 
reflectidos não se encontram do lado esquerdo do espelho. Mas os seus prolongamentos 
encontram-se do outro lado do espelho. A imagem do objecto é, portanto, virtual. 
 
 
 
F
V
M
N
xo xi
ho
hi
F
V
M
xo xi
ho
hi
N
f
(a) (b)
 
Figura 27.9 
 
A coordenada da imagem é ix , cujo valor é intrinsecamente negativo uma vez que está 
do lado do espelho onde não há propagação de raios luminosos (convenção já usada 
para o espelho plano). Pretendemos agora obter a relação entre as coordenadas do 
objecto e da imagem e as características do espelho, designadamente a sua distância 
focal. A Fig. 27.9 (b), que é mais esquemática e onde se fez já a substituição do arco 
Raios principais
Raios 
centrais, quase 
paralelos ao eixo 
principal..
Imagens dadas por espelhos esféricos
 7 
pelo foco (2) e raio incidente normal ao espelho (3) − estão resumidas na Fig. 27.8, 
onde se mostram, os correspondentes raios reflectidos para espelhos côncavo e convexo. 
Estes raios principais são muito úteis para a determinação de imagens como veremos na 
próxima secção. 
 
CF
V
C
F
V
(a) (b)
1
1
1
2
2
3
3
 
 
Figura 27.8 
 
 
Imagens dadas por espelhos esféricos 
 
 Na Fig. 27.9 (a), um objecto de altura oh está à distância ox de um espelho 
côncavo. Tal como para o espelho plano, bastam dois raios luminosos para determinar a 
imagem do objecto. É conveniente escolher dois dos três raios referidos no final da 
secção anterior e para os quais os correspondentes raios reflectivos são fáceis de traçar. 
No caso concreto da Fig. 27.9 (a) considerámos um raio incidente paralelo (incide no 
ponto M) e um raio incidente que passa pelo foco (incide no ponto M). Os raios 
reflectidos não se encontram do lado esquerdo do espelho. Mas os seus prolongamentos 
encontram-se do outro lado do espelho. A imagem do objecto é, portanto, virtual. 
 
 
 
F
V
M
N
xo xi
ho
hi
F
V
M
xo xi
ho
hi
N
f
(a) (b)
 
Figura 27.9 
 
A coordenada da imagem é ix , cujo valor é intrinsecamente negativo uma vez que está 
do lado do espelho onde não há propagação de raios luminosos (convenção já usada 
para o espelho plano). Pretendemos agora obter a relação entre as coordenadas do 
objecto e da imagem e as características do espelho, designadamente a sua distância 
focal. A Fig. 27.9 (b), que é mais esquemática e onde se fez já a substituição do arco 
hi
ho
=
f + |xi|
f
=
f � xi
f
hi
ho
=
f
f � xo
f
f � xi
f
=
f
f � xo
xi > 0
xi < 0
f < 0
f > 0
se xi à direita (virtual)
se xi à esquerda (real)
se f à direita (virtual)
se f à esquerda (real)
xo > 0 xo à esquerda
1
xo
+
1
xi
=
1
f
 9 
Se utilizarmos agora a expressão 1
o
ii +=
x
x
f
x
, obtida de (27.10), vem 
o
i
x
xA −= . (27.13) 
 
No caso da Fig. 27.9 ix é negativo e maior, em módulo do que ox , pelo que 1>A . O 
valor da amplificação pode ser positivo ou negativo. Um valor negativo significa que a 
imagem é invertida. No caso do espelho plano, oi xx −= e portanto 1=A . 
 Para a construção geométrica das imagens dadas por espelhos esféricos convém 
utilizar, como já dissemos, raios como os da Fig. 27.8. Na Fig. 27.10 dá-se mais um 
exemplo de construção geométrica da imagem dada por um espelho côncavo de um 
objecto colocado a uma distância superior à distância focal. A imagem é real, invertida e 
menor do que o objecto ( 01 <<− A ). Notar que 1/ oi <xx . 
 
C F
Vo
i
 
Figura 27.10 
Finalmente, na Fig. 27.11, ilustra-se a construção de uma imagem dada por um espelho 
convexo 
 
CFV
o i
 
 
Figura 27.11 
 
A imagem é virtual, direita e menor do que o objecto. 
 
 9 
Se utilizarmos agora a expressão 1
o
ii +=
x
x
f
x
, obtida de (27.10), vem 
o
i
x
xA −= . (27.13) 
 
No caso da Fig. 27.9 ix é negativo e maior, em módulo do que ox , pelo que 1>A . O 
valor da amplificação pode ser positivo ou negativo. Um valor negativo significa que a 
imagem é invertida. No caso do espelho plano, oi xx −= e portanto 1=A . 
 Para a construção geométrica das imagens dadas por espelhos esféricos convém 
utilizar, como já dissemos, raios como os da Fig. 27.8. Na Fig. 27.10 dá-se mais um 
exemplo de construção geométrica da imagem dada por um espelho côncavo de um 
objecto colocado a uma distância superior à distância focal. A imagem é real, invertida e 
menor do que o objecto ( 01 <<− A ). Notar que 1/ oi <xx . 
 
C F
Vo
i
 
Figura 27.10 
Finalmente, na Fig. 27.11, ilustra-se a construção de uma imagem dada por um espelho 
convexo 
 
CFV
o i
 
 
Figura 27.11 
 
A imagem é virtual, direita e menor do que o objecto. 
 
A =
hi
ho
Ampliação: A = 1� xi
f
A = � xi
xo
Se A<0, a imagem está invertida
Imagens dadas por espelhos esféricos
S E C T I O N 3 6 . 2 • Images Formed by Spherical Mirrors 1135
(a)
1
2
3
C FO
Front Back
I
Principal axis
(b)
1
2
3
C F O I
Front Back
(c)
CFO I
1
2
3
Front Back
Active Figure 36.15 Ray diagrams for spherical mirrors, along with corresponding
photographs of the images of candles. (a) When the object is located so that the center
of curvature lies between the object and a concave mirror surface, the image is real,
inverted, and reduced in size. (b) When the object is located between the focal point
and a concave mirror surface, the image is virtual, upright, and enlarged. (c) When the
object is in front of a convex mirror, the image is virtual, upright, and reduced in size.
Ph
ot
os
 co
ur
te
sy
 D
av
id
 R
og
er
s
At the Active Figures link
at http://www.pse6.com, you
can move the objects and
change the focal length of the
mirrors to see the effect on the
images.
S E C T I O N 3 6 . 2 • Images Formed by Spherical Mirrors 1135
(a)
1
2
3
C FO
Front Back
I
Principal axis
(b)
1
2
3
C F O I
Front Back
(c)
CFO I
1
2
3
Front Back
Active Figure 36.15 Ray diagrams for spherical mirrors, along with corresponding
photographs of the images of candles. (a) When the object is located so that the center
of curvature lies between the object and a concave mirror surface, the image is real,
inverted, and reduced in size. (b) When the object is located between the focal point
and a concave mirror surface, the image is virtual, upright, and enlarged. (c) When the
object is in front of a convex mirror, the image is virtual, upright, and reduced in size.
Ph
ot
os
 co
ur
te
sy
 D
av
id
 R
og
er
s
At the Active Figures link
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can move the objects and
change the focal length of the
mirrors to see the effect on the
images.
As características da imagem 
dependem da posição do objecto...
36.3 Images Formed by Refraction
In
this section we describe how images are formed when light rays are refracted at the
boundary between two transparent materials. Consider two transparent media having
indices of refraction n1 and n2, where the boundary between the two media is a spheri-
cal surface of radius R (Fig. 36.18). We assume that the object at O is in the medium
for which the index of refraction is n1. Let us consider the paraxial rays leaving O. As
we shall see, all such rays are refracted at the spherical surface and focus at a single
point I, the image point.
Figure 36.19 shows a single ray leaving point O and refracting to point I. Snell’s law
of refraction applied to this ray gives
Because !1 and !2 are assumed to be small, we can use the small-angle approximation
sin ! ! ! (with angles in radians) and say that
Now we use the fact that an exterior angle of any triangle equals the sum of the two
opposite interior angles. Applying this rule to triangles OPC and PIC in Figure 36.19 gives
" # ! 2 $ %
! 1 # & $ "
n1! 1 # n2! 2
n1 sin ! 1 # n2 sin ! 2
1138 C H A P T E R 3 6 • Image Formation
The negative value of q indicates that her image is virtual, or
behind the mirror, as shown in Figure 36.15c.
(B) The magnification of the image is
The image is much smaller than the woman, and it is
upright because M is positive.
$0.077M # '
q
p
# '"'0.23 m3.0 m # #
'0.23 mq #
 
1
q
#
1
'0.25 m
'
1
3.0 m
1
p
$
1
q
#
1
f
#
1
'0.25 m
 
Figure 36.17 (Example 36.5) Convex mirrors, often used 
for security in department stores, provide wide-angle 
viewing.
Investigate the image formed for various object positions and mirror focal lengths at the Interactive Worked Example link
at http://www.pse6.com.
n1 < n2
O I
p q
n2n1
R
Figure 36.18 An image formed by
refraction at a spherical surface. Rays
making small angles with the principal axis
diverge from a point object at O and are
refracted through the image point I.
©
19
90
 P
au
l S
ilv
er
m
an
/F
un
da
m
en
ta
l P
ho
to
gr
ap
hs
xixo
Imagens formadas por 
refracção
n1
d
xo
+ n2
d
xi
⇡ (n2 � n1) d
R
� ⇡ tan � ⇡ d
xi
↵ ⇡ tan↵ ⇡ d
xo
n1 sin ✓1 = n2 sin ✓2
✓1 = ↵+ �
� = ✓2 + �
n1✓1 ⇡ n2✓2
� ⇡ tan� ⇡ d
R
n1(↵+ �) ⇡ n2(� � �)
If we combine all three expressions and eliminate !1 and !2, we find that
(36.7)
From Figure 36.19, we see three right triangles that have a common vertical leg of
length d. For paraxial rays (unlike the relatively large-angle ray shown in Fig. 36.19),
the horizontal legs of these triangles are approximately p for the triangle containing
angle ", R for the triangle containing angle #, and q for the triangle containing angle
$. In the small-angle approximation, tan! ! !, so we can write the approximate rela-
tionships from these triangles as follows:
We substitute these expressions into Equation 36.7 and divide through by d to give
(36.8)
For a fixed object distance p, the image distance q is independent of the angle that the
ray makes with the axis. This result tells us that all paraxial rays focus at the same point I.
As with mirrors, we must use a sign convention if we are to apply this equation to a
variety of cases. We define the side of the surface in which light rays originate as the
front side. The other side is called the back side. Real images are formed by refraction
in back of the surface, in contrast with mirrors, where real images are formed in front
of the reflecting surface. Because of the difference in location of real images, the
refraction sign conventions for q and R are opposite the reflection sign conventions.
For example, q and R are both positive in Figure 36.19. The sign conventions for spher-
ical refracting surfaces are summarized in Table 36.2.
We derived Equation 36.8 from an assumption that n1 % n2 in Figure 36.19. This
assumption is not necessary, however. Equation 36.8 is valid regardless of which index
of refraction is greater.
n1
p
&
n2
q
'
n2 ( n1
R
tan " ! " !
d
p
 tan # ! # !
d
R
 tan $ ! $ !
d
q
n1" & n2$ ' (n2 ( n1)#
S E C T I O N 3 6 . 3 • Images Formed by Refraction 1139
Relation between object and
image distance for a refracting
surface
O
P
R
C
n1 n2
d
p q
γα β
I
θ1 θ2
Figure 36.19 Geometry used to derive Equation 36.8, assuming that n1 % n2.
Quantity Positive When Negative When
Object location (p) Object is in front of Object is in back of 
surface (real object) surface (virtual object)
Image location (q) Image is in back of Image is in front of 
surface (real image) surface (virtual image)
Image height (h)) Image is upright Image is inverted
Radius (R) Center of curvature Center of curvature
is in back of surface is in front of surface
Sign Conventions for Refracting Surfaces
Table 36.2
xixo
n1
xo
+
n2
xi
=
n2 � n1
R
Convenção de sinais...
• O raio de curvatura é positivo quando o 
centro de curvatura se encontra após a 
interface entre os dois meios, ao seguir o 
caminho dos raios luminosos
n1
xo
+
n2
xi
=
n2 � n1
R
If we combine all three expressions and eliminate !1 and !2, we find that
(36.7)
From Figure 36.19, we see three right triangles that have a common vertical leg of
length d. For paraxial rays (unlike the relatively large-angle ray shown in Fig. 36.19),
the horizontal legs of these triangles are approximately p for the triangle containing
angle ", R for the triangle containing angle #, and q for the triangle containing angle
$. In the small-angle approximation, tan! ! !, so we can write the approximate rela-
tionships from these triangles as follows:
We substitute these expressions into Equation 36.7 and divide through by d to give
(36.8)
For a fixed object distance p, the image distance q is independent of the angle that the
ray makes with the axis. This result tells us that all paraxial rays focus at the same point I.
As with mirrors, we must use a sign convention if we are to apply this equation to a
variety of cases. We define the side of the surface in which light rays originate as the
front side. The other side is called the back side. Real images are formed by refraction
in back of the surface, in contrast with mirrors, where real images are formed in front
of the reflecting surface. Because of the difference in location of real images, the
refraction sign conventions for q and R are opposite the reflection sign conventions.
For example, q and R are both positive in Figure 36.19. The sign conventions for spher-
ical refracting surfaces are summarized in Table 36.2.
We derived Equation 36.8 from an assumption that n1 % n2 in Figure 36.19. This
assumption is not necessary, however. Equation 36.8 is valid regardless of which index
of refraction is greater.
n1
p
&
n2
q
'
n2 ( n1
R
tan " ! " !
d
p
 tan # ! # !
d
R
 tan $ ! $ !
d
q
n1" & n2$ ' (n2 ( n1)#
S E C T I O N 3 6 . 3 • Images Formed by Refraction 1139
Relation between object and
image distance for a refracting
surface
O
P
R
C
n1 n2
d
p q
γα β
I
θ1 θ2
Figure 36.19 Geometry used to derive Equation 36.8, assuming that n1 % n2.
Quantity Positive When Negative When
Object location (p) Object is in front of Object is in back of 
surface (real object) surface (virtual object)
Image location (q) Image is in back of Image is in front of 
surface (real image) surface (virtual image)
Image height (h)) Image is upright Image is inverted
Radius (R) Center of curvature Center of curvature
is in back of surface is in front of surface
Sign Conventions for Refracting Surfaces
Table 36.2
xixo
Interface plana...
Se a interface for plana, isto é, se R!1
n1
xo
+
n2
xi
= 0
Flat Refracting Surfaces
If a refracting surface is flat,
then R is infinite and Equation 36.8 reduces to
(36.9)
From this expression we see that the sign of q is opposite that of p. Thus, according
to Table 36.2, the image formed by a flat refracting surface is on the same
side of the surface as the object. This is illustrated in Figure 36.20 for the
situation in which the object is in the medium of index n1 and n1 is greater than n 2.
In this case, a virtual image is formed between the object and the surface. If n1 is
less than n 2, the rays in the back side diverge from each other at lesser angles than
those in Figure 36.20. As a result, the virtual image is formed to the left of the
object.
 q ! "
n2
n1
 p 
 
n1
p
! "
n2
q
 
1140 C H A P T E R 3 6 • Image Formation
Example 36.7 Gaze into the Crystal Ball
Solution Because n1 # n 2, where n2 ! 1.00 is the index of
refraction for air, the rays originating from the coin are
refracted away from the normal at the surface and diverge
outward. Hence, the image is formed inside the paper-
weight and is virtual. Applying Equation 36.8 and noting
A set of coins is embedded in a spherical plastic paper-
weight having a radius of 3.0 cm. The index of refraction of
the plastic is n1 ! 1.50. One coin is located 2.0 cm from the
edge of the sphere (Fig. 36.21). Find the position of the
image of the coin.
O
I
q
p
n1 > n2
n1 n2
Active Figure 36.20 The image
formed by a flat refracting surface
is virtual and on the same side of
the surface as the object. All rays
are assumed to be paraxial.
At the Active Figures link
at http://www.pse6.com, you
can move the object to see the
effect on the location of the
image. Quick Quiz 36.5 In Figure 36.18, what happens to the image point I as the
object point O is moved to the right from very far away to very close to the refracting
surface? (a) It is always to the right of the surface. (b) It is always to the left of 
the surface. (c) It starts off to the left and at some position of O, I moves to the right
of the surface. (d) It starts off to the right and at some position of O, I moves to the left
of the surface.
Quick Quiz 36.6 In Figure 36.20, what happens to the image point I as
the object point O moves toward the right-hand surface of the material of index of
refraction n1? (a) It always remains between O and the surface, arriving at the
surface just as O does. (b) It moves toward the surface more slowly than O so that
eventually O passes I. (c) It approaches the surface and then moves to the right of
the surface.
Conceptual Example 36.6 Let’s Go Scuba Diving!
when a person under water views objects with the naked
eye. In this case, light rays from an object focus behind
the retina, resulting in a blurred image. When a mask is
used, the air space between the eye and the mask surface
provides the normal amount of refraction at the eye–air
interface, and the light from the object focuses on the
retina.
It is well known that objects viewed under water with the
naked eye appear blurred and out of focus. However, a
scuba diver using a mask has a clear view of underwater
objects. Explain how this works, using the facts that the
indices of refraction of the cornea, water, and air are 1.376,
1.333, and 1.00029, respectively.
Solution Because the cornea and water have almost iden-
tical indices of refraction, very little refraction occurs
xo
xi n1 =
4
3
n2 = 1
xo = 10 cm
xi = �n2
n1
xo = �7, 5 cm
Lentes
formed by one refracting surface serves as the object for the second surface.
We shall analyze a thick lens first and then let the thickness of the lens be approxi-
mately zero.
Consider a lens having an index of refraction n and two spherical surfaces with
radii of curvature R1 and R2, as in Figure 36.23. (Note that R1 is the radius of curva-
ture of the lens surface that the light from the object reaches first and that R2 is the
radius of curvature of the other surface of the lens.) An object is placed at point O at a
distance p1 in front of surface 1. 
Let us begin with the image formed by surface 1. Using Equation 36.8 and assum-
ing that n1 ! 1 because the lens is surrounded by air, we find that the image I1 formed
by surface 1 satisfies the equation
(36.10)
where q 1 is the position of the image due to surface 1. If the image due to
surface 1 is virtual (Fig. 36.23a), q 1 is negative, and it is positive if the image is real
(Fig. 36.23b).
Now we apply Equation 36.8 to surface 2, taking n1 ! n and n 2 ! 1. (We make this
switch in index because the light rays approaching surface 2 are in the material of the
lens, and this material has index n.) Taking p 2 as the object distance for surface 2 and
q2 as the image distance gives
(36.11)
We now introduce mathematically the fact that the image formed by the first
surface acts as the object for the second surface. We do this by noting from Figure
36.23 that p2, measured from surface 2, is related to q1 as follows:
Virtual image from surface 1 (Fig. 36.23a): p2 ! " q1 # t (q1 is negative)
Real image from surface 1 (Fig. 36.23b): p2 ! " q1 # t (q1 is positive)
n
p 2
#
1
q 2
!
1 " n
R 2
1
p 1
#
n
q 1
!
n " 1
R 1
1142 C H A P T E R 3 6 • Image Formation
t
p1
q1
p2
O
I1
C1
Surface 1
R1
n
Surface 2
R2
n1 = 1
t
p1
q1
O
C1
Surface 1
R1
n
Surface 2
R2
n1 = 1
p2
I1
(a)
(b)
Figure 36.23 To locate the image formed
by a lens, we use the virtual image at I1
formed by surface 1 as the object for the
image formed by surface 2. The point C1 is
the center of curvature of surface 1. (a) The
image due to surface 1 is virtual so that I1 is
to the left of the surface. (b) The image due
to surface 1 is real so that I1 is to the right of
the surface.
Interface 1 Interface 2
xi1
xo2
xo1
Lentes (delgadas)
formed by one refracting surface serves as the object for the second surface.
We shall analyze a thick lens first and then let the thickness of the lens be approxi-
mately zero.
Consider a lens having an index of refraction n and two spherical surfaces with
radii of curvature R1 and R2, as in Figure 36.23. (Note that R1 is the radius of curva-
ture of the lens surface that the light from the object reaches first and that R2 is the
radius of curvature of the other surface of the lens.) An object is placed at point O at a
distance p1 in front of surface 1. 
Let us begin with the image formed by surface 1. Using Equation 36.8 and assum-
ing that n1 ! 1 because the lens is surrounded by air, we find that the image I1 formed
by surface 1 satisfies the equation
(36.10)
where q 1 is the position of the image due to surface 1. If the image due to
surface 1 is virtual (Fig. 36.23a), q 1 is negative, and it is positive if the image is real
(Fig. 36.23b).
Now we apply Equation 36.8 to surface 2, taking n1 ! n and n 2 ! 1. (We make this
switch in index because the light rays approaching surface 2 are in the material of the
lens, and this material has index n.) Taking p 2 as the object distance for surface 2 and
q2 as the image distance gives
(36.11)
We now introduce mathematically the fact that the image formed by the first
surface acts as the object for the second surface. We do this by noting from Figure
36.23 that p2, measured from surface 2, is related to q1 as follows:
Virtual image from surface 1 (Fig. 36.23a): p2 ! " q1 # t (q1 is negative)
Real image from surface 1 (Fig. 36.23b): p2 ! " q1 # t (q1 is positive)
n
p 2
#
1
q 2
!
1 " n
R 2
1
p 1
#
n
q 1
!
n " 1
R 1
1142 C H A P T E R 3 6 • Image Formation
t
p1
q1
p2
O
I1
C1
Surface 1
R1
n
Surface 2
R2
n1 = 1
t
p1
q1
O
C1
Surface 1
R1
n
Surface 2
R2
n1 = 1
p2
I1
(a)
(b)
Figure 36.23 To locate the image formed
by a lens, we use
the virtual image at I1
formed by surface 1 as the object for the
image formed by surface 2. The point C1 is
the center of curvature of surface 1. (a) The
image due to surface 1 is virtual so that I1 is
to the left of the surface. (b) The image due
to surface 1 is real so that I1 is to the right of
the surface.
Interface 1 Interface 2
xo1
xo2
xi1
1
xo1
+
n
xi1
=
n� 1
R1
xi1 =
nxo1R1
xo1(n� 1)�R1
xo2 = �xi1 + t
n
xo2
+
1
xi2
=
1� n
R2
Se desprezarmos t...
1
xo1
+
1
xi2
= (n� 1)
✓
1
R1
� 1
R2
◆
Lentes delgadas
1
xo
+
1
xi
=
1
f
1
f
= (n� 1)
✓
1
R1
� 1
R2
◆
Distância focal 
da lente:
Equação dos 
fabricantes de lentes
1
xo1
+
1
xi2
= (n� 1)
✓
1
R1
� 1
R2
◆
Lentes delgadas
Various lens shapes are shown in Figure 36.27. Note that a converging lens is
thicker at the center than at the edge, whereas a diverging lens is thinner at the center
than at the edge.
Magnification of Images
Consider a thin lens through which light rays from an object pass. As with mirrors (Eq.
36.2), we could analyze a geometric construction to show that the lateral magnification
of the image is
From this expression, it follows that when M is positive, the image is upright and on
the same side of the lens as the object. When M is negative, the image is inverted and
on the side of the lens opposite the object.
Ray Diagrams for Thin Lenses
Ray diagrams are convenient for locating the images formed by thin lenses or systems
of lenses. They also help clarify our sign conventions. Figure 36.28 shows such dia-
grams for three single-lens situations. 
To locate the image of a converging lens (Fig. 36.28a and b), the following three rays
are drawn from the top of the object:
M !
h"
h
! #
q
p
S E C T I O N 3 6 . 4 • Thin Lenses 1145
(a)
(b)
Convex–
concave
Convex–
concave
Plano–
concave
Plano–
convex
Biconvex
Biconcave
Figure 36.27 Various lens shapes.
(a) Converging lenses have a posi-
tive focal length and are thickest at
the middle. (b) Diverging lenses
have a negative focal length and
are thickest at the edges.
O
(a)
F1
Front
F2
Back
I
1
2
3
I
(b)
F1
Front
F2
Back
O
1
2
3
O
(c)
F1
Front
F2
Back
I
1
2
3
Active Figure 36.28 Ray diagrams for locating the image formed
by a thin lens. (a) When the object is in front of and outside the
focal point of a converging lens, the image is real, inverted, and on
the back side of the lens. (b) When the object is between the focal
point and a converging lens, the image is virtual, upright, larger
than the object, and on the front side of the lens. (c) When an
object is anywhere in front of a diverging lens, the image is virtual,
upright, smaller than the object, and on the front side of the lens.
At the Active Figures link at http://www.pse6.com, you
can move the objects and change the focal length of the
lenses to see the effect on the images.
• Ray 1 is drawn parallel to the principal axis. After being refracted by the lens, this
ray passes through the focal point on the back side of the lens.
• Ray 2 is drawn through the center of the lens and continues in a straight 
line.
• Ray 3 is drawn through the focal point on the front side of the lens (or as if
coming from the focal point if p $ f ) and emerges from the lens parallel to the
principal axis.
Various lens shapes are shown in Figure 36.27. Note that a converging lens is
thicker at the center than at the edge, whereas a diverging lens is thinner at the center
than at the edge.
Magnification of Images
Consider a thin lens through which light rays from an object pass. As with mirrors (Eq.
36.2), we could analyze a geometric construction to show that the lateral magnification
of the image is
From this expression, it follows that when M is positive, the image is upright and on
the same side of the lens as the object. When M is negative, the image is inverted and
on the side of the lens opposite the object.
Ray Diagrams for Thin Lenses
Ray diagrams are convenient for locating the images formed by thin lenses or systems
of lenses. They also help clarify our sign conventions. Figure 36.28 shows such dia-
grams for three single-lens situations. 
To locate the image of a converging lens (Fig. 36.28a and b), the following three rays
are drawn from the top of the object:
M !
h"
h
! #
q
p
S E C T I O N 3 6 . 4 • Thin Lenses 1145
(a)
(b)
Convex–
concave
Convex–
concave
Plano–
concave
Plano–
convex
Biconvex
Biconcave
Figure 36.27 Various lens shapes.
(a) Converging lenses have a posi-
tive focal length and are thickest at
the middle. (b) Diverging lenses
have a negative focal length and
are thickest at the edges.
O
(a)
F1
Front
F2
Back
I
1
2
3
I
(b)
F1
Front
F2
Back
O
1
2
3
O
(c)
F1
Front
F2
Back
I
1
2
3
Active Figure 36.28 Ray diagrams for locating the image formed
by a thin lens. (a) When the object is in front of and outside the
focal point of a converging lens, the image is real, inverted, and on
the back side of the lens. (b) When the object is between the focal
point and a converging lens, the image is virtual, upright, larger
than the object, and on the front side of the lens. (c) When an
object is anywhere in front of a diverging lens, the image is virtual,
upright, smaller than the object, and on the front side of the lens.
At the Active Figures link at http://www.pse6.com, you
can move the objects and change the focal length of the
lenses to see the effect on the images.
• Ray 1 is drawn parallel to the principal axis. After being refracted by the lens, this
ray passes through the focal point on the back side of the lens.
• Ray 2 is drawn through the center of the lens and continues in a straight 
line.
• Ray 3 is drawn through the focal point on the front side of the lens (or as if
coming from the focal point if p $ f ) and emerges from the lens parallel to the
principal axis.
1
f
= (n� 1)
✓
1
R1
� 1
R2
◆
f > 0 f < 0
Lentes convergentes Lentes divergentes
Lentes delgadas
1144 C H A P T E R 3 6 • Image Formation
f f
f f
(a)
(b)
F1 F2F1 F2
F1
F2F1 F2
Figure 36.25 (Left) Effects of a converging lens (top) and a diverging lens (bottom)
on parallel rays. (Right) Parallel light rays pass through (a) a converging lens and 
(b) a diverging lens. The focal length is the same for light rays passing through a given
lens in either direction. Both focal points F1 and F2 are the same distance from the lens.
He
nr
y L
ea
p 
an
d 
Ji
m
 Le
hm
an
Front
p positive
q negative
Incident light
Back
p negative
q positive
Refracted light
Figure 36.26 A diagram for
obtaining the signs of p and q for a
thin lens. (This diagram also
applies to a refracting surface.)
Quantity Positive When Negative When
Object location (p) Object is in front of Object is in back of
lens (real object) lens (virtual object)
Image location (q) Image is in back of Image is in front of
lens (real image) lens (virtual image)
Image height (h!) Image is upright Image is inverted
R1 and R2 Center of curvature Center of curvature
is in back of lens is in front of lens
Focal length ( f ) Converging lens Diverging lens
Sign Conventions for Thin Lenses
Table 36.3
This equation, called the thin lens equation, can be used to relate the image distance
and object distance for a thin lens.
Because light can travel in either direction through a lens, each lens has two focal
points, one for light rays passing through in one direction and one for rays passing
through in the other direction. This is illustrated in