Introdução às Correntes Elétricas em Metais

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Corrente eléctrica
 1 
16ª aula 
 
Sumário: 
Introdução ao estudo das correntes eléctricas 
 
Introdução ao estudo das correntes eléctricas 
 
 Temos até agora visto e analisado situações de equilíbrio electrostático, que são 
caracterizadas por as cargas eléctricas estarem em repouso. Vamos seguidamente 
abordar situações em que as cargas eléctricas estão em movimento originado uma 
corrente eléctrica. Na realidade as cargas estão sempre em movimento devido à 
agitação térmica. Mas para haver corrente eléctrica é necessário que haja um 
movimento orientado de cargas eléctricas. 
 Os electrões são as partículas carregadas responsáveis por muitos fenómenos 
com correntes eléctricas que ocorrem em sólidos. Em particular, nos metais, que são 
bons condutores, a corrente eléctrica é devida ao movimento orientado de electrões. 
 Um átomo é constituído pelo núcleo e pelos electrões à sua volta. Os electrões 
da última camada podem interagir com os de outros átomos formando ligações 
químicas. Porém, num metal, cada átomo “perde” os seus electrões mais periféricos em 
benefício de todos os átomos que constituem o material. A Fig. 16.1 mostra o esquema 
de um metal. Os átomos que perdem electrões ficam iões positivos que estão dispostos 
regularmente, formando uma “rede cristalina”. Os electrões que se desacoplaram dos 
átomos (chamados electrões de condução) são partilhados por todos estes iões positivos. 
Podemos pois falar num mar de electrões sobreposto à rede cristalina. 
 
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
 
 
 
Figura 16.1 
 
Os iões da rede cristalina vibram em torno das suas posições de equilíbrio. Esta 
vibração é tanto maior quanto maior for a temperatura. Contudo os iões não abandonam 
as suas posições de equilíbrio (sítios da rede) e, por isso, não se deslocam grandes 
distâncias dentro do metal. Os electrões têm essa liberdade, experimentando, contudo, 
colisões entre si e com os iões positivos. Na situação representada na Fig. 16.1 (que é 
uma representação em duas dimensões, embora a realidade seja a três), os electrões 
movimentam-se mas não há corrente eléctrica. A sua velocidade média é nula. Claro 
que esta média deve ser tomada sobre um número muito grande de partículas. 
 Para haver corrente eléctrica é necessário que esta velocidade média seja 
diferente de zero. Quando tal acontece, não significa que todos os electrões tenham essa 
velocidade! O que é necessário é que a sua velocidade média (soma vectorial de todas 
as velocidades a dividir pelo número de partículas ) já não se anule. Individualmente, 
um electrão pode até ter velocidade oposta a essa velocidade média mas o que importa 
para que ocorra corrente eléctrica é o comportamento global e não um ou outro 
Metal = electrões “livres” + iões
Não há corrente!�⇤v⇥ = 1
Ne
Ne�
i
⇤vi = 0
Corrente eléctrica
Aplicando um campo eléctrico ao condutor, os electrões 
adquirem uma velocidade média não nula
 1 
16ª aula 
 
Sumário: 
Introdução ao estudo das correntes eléctricas 
 
Introdução ao estudo das correntes eléctricas 
 
 Temos até agora visto e analisado situações de equilíbrio electrostático, que são 
caracterizadas por as cargas eléctricas estarem em repouso. Vamos seguidamente 
abordar situações em que as cargas eléctricas estão em movimento originado uma 
corrente eléctrica. Na realidade as cargas estão sempre em movimento devido à 
agitação térmica. Mas para haver corrente eléctrica é necessário que haja um 
movimento orientado de cargas eléctricas. 
 Os electrões são as partículas carregadas responsáveis por muitos fenómenos 
com correntes eléctricas que ocorrem em sólidos. Em particular, nos metais, que são 
bons condutores, a corrente eléctrica é devida ao movimento orientado de electrões. 
 Um átomo é constituído pelo núcleo e pelos electrões à sua volta. Os electrões 
da última camada podem interagir com os de outros átomos formando ligações 
químicas. Porém, num metal, cada átomo “perde” os seus electrões mais periféricos em 
benefício de todos os átomos que constituem o material. A Fig. 16.1 mostra o esquema 
de um metal. Os átomos que perdem electrões ficam iões positivos que estão dispostos 
regularmente, formando uma “rede cristalina”. Os electrões que se desacoplaram dos 
átomos (chamados electrões de condução) são partilhados por todos estes iões positivos. 
Podemos pois falar num mar de electrões sobreposto à rede cristalina. 
 
++++
++++
++++
++++
++++
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++++
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++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
 
 
 
Figura 16.1 
 
Os iões da rede cristalina vibram em torno das suas posições de equilíbrio. Esta 
vibração é tanto maior quanto maior for a temperatura. Contudo os iões não abandonam 
as suas posições de equilíbrio (sítios da rede) e, por isso, não se deslocam grandes 
distâncias dentro do metal. Os electrões têm essa liberdade, experimentando, contudo, 
colisões entre si e com os iões positivos. Na situação representada na Fig. 16.1 (que é 
uma representação em duas dimensões, embora a realidade seja a três), os electrões 
movimentam-se mas não há corrente eléctrica. A sua velocidade média é nula. Claro 
que esta média deve ser tomada sobre um número muito grande de partículas. 
 Para haver corrente eléctrica é necessário que esta velocidade média seja 
diferente de zero. Quando tal acontece, não significa que todos os electrões tenham essa 
velocidade! O que é necessário é que a sua velocidade média (soma vectorial de todas 
as velocidades a dividir pelo número de partículas ) já não se anule. Individualmente, 
um electrão pode até ter velocidade oposta a essa velocidade média mas o que importa 
para que ocorra corrente eléctrica é o comportamento global e não um ou outro 
⇥E
�⌃v = � e
m
⌃E�t
Corrente eléctrica
 2 
comportamento individual. Quando há corrente eléctrica, experimentalmente os 
electrões têm velocidades diferentes mas, de facto, é como se cada um tivesse uma 
mesma velocidade (velocidade média v ) como se representa na Fig. 16.2. 
 
 
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
v

 
 
Figura 16.2 
 
Para que os electrões tenham uma velocidade média diferente de zero é necessário que 
sobre eles se exerça uma força, ou, por outras palavras, que fiquem sob a acção de um 
campo eléctrico. Para haver corrente eléctrica terá então de haver um campo eléctrico 
no interior do condutor e, portanto, uma diferença de potencial entre dois pontos desse 
condutor1. Num circuito a diferença de potencial consegue-se à custa de um gerador (ou 
bateria). Voltarmos a este assunto na próxima aula. 
 Apesar de num condutor serem os electrões os responsáveis pela corrente 
eléctrica, convencionou-se há muito que o sentido da corrente eléctrica é sentido 
contrário. Haver deslocamento de cargas negativas num sentido é equivalente ao 
movimento de cargas positivas no sentido oposto2. Aquela convenção foi estabelecida 
antes da descoberta do electrão, ou seja, antres de se conhecerem os mecanismos de 
condução eléctrica em metais. O facto de o sentido convencional da corrente ser 
contrário ao sentido real não levanta qualquer dificuldade de ordem conceptual ou 
prática na análise de situações físicas e, em particular de circuitos eléctricos. 
 
 
++++
++++
−−−−
−−−−
ΙΙ
 
 
Figura 16.3 
 
Na Figura 6.3 as duas correntes são iguais mas só a da figura de cima corresponde ao 
sentido convencional da corrente eléctrica. A grandeza indicada na figura representada 
 
1
 Vimos antes que o campo eléctrico era nulo no interior de um condutor se houvesse equilíbrio 
electrostático. Não é este o caso presente. 
2
 Uma excepção é o chamado efeito Hall em que importa saber o sinal das cargas que em concreto se 
deslocam. 
Convenciona-se que o sentido positivo da corrente é o 
sentido do movimento das cargas positivas
Com esta convenção, a 
corrente flui no sentido 
dos potenciais 
decrescentes
Corrente eléctrica
Nem sempre os 
electrões são os 
responsáveis pela 
corrente
 3 
por I designa-se por corrente (ou intensidade de corrente) e será introduzida 
formalmente na próxima aula. 
 Há vantagens em considerar o sentido convencional da corrente eléctrica como o 
sentido do movimento das cargas positivas. Assim, as cargas flúem dos potenciais mais 
elevados para os mais baixos, o que permite fazer analogias com o movimento de um 
fluido dentro de um tubo inclinado. 
 Nem sempre os electrões são os responsáveis pela corrente eléctrica. Num 
electrólito, por exemplo, são os iões positivos que se movem numa direcção e os 
negativos na outra. Neste caso, de que se mostra um exemplo na Fig. 16.4, não há 
electrões individualmente envolvidos. A figura mostra em esquema os movimentos dos 
iões numa solução aquosa de cloreto de sódio em que se mergulham dois eléctrodos. Os 
iões positivos (de sódio) dirigem-se para o cátodo (eléctrodo negativo) e os iões 
positivos (de cloro) para o ânodo (eléctrodo positivo) 
 
 
 
 
 
Figura 16.4 
 
 
 
Num acelerador de partículas (de electrões, de positrões, de protões, de antiprotões, etc.) 
há corrente eléctrica devida ao movimento destas partículas carregadas. Estes feixes de 
partículas movem-se em tubos onde é feito o vazio. 
Solução de NaCl
Iões negativos movem-se 
para o ânodo 
Iões positivos movem-se 
para o cátodo 
Intensidade de corrente
 1 
17ª aula 
 
Sumário: 
Intensidade da corrente. Resistência. Lei de Ohm 
 
Intensidade da corrente 
 
 A Fig. 17.1 representa um material condutor. Imagine-se esse material − um fio 
de cobre, por exemplo − seccionado por um plano. 
 
 
Α
 
 
 
Figura 17.1 
 
Quando passa corrente eléctrica, há uma carga líquida Q∆ que atravessa a secção 
indicada na Fig. 17.1, num certo sentido, num intervalo de tempo, t∆ . A intensidade ou 
corrente média é definida por 
 
t
QI
∆
∆
=m . (17.1) 
 
Mas pode a corrente não ser estacionária, ou seja, pode Q∆ não ser sempre o mesmo 
para um mesmo intervalo de tempo. Neste caso a corrente varia com o tempo e 
define-se a corrente instantânea como o limite da corrente média quando 0→∆t : 
 
t
QI
d
d
= . (17.2) 
 
A corrente eléctrica é a taxa a que passa a carga eléctrica através de uma superfície que 
secciona um condutor. Inversamente, dada a corrente I a carga líquida que atravessa 
uma secção de um condutor é 
 
Im =
�Q
�t
I =
dQ
dt
I =
�
A
⇧J · d⇧S
Densidade de corrente
 2 
=
t
tIQ
0
d . (17.3) 
 
A unidade de corrente no SI é o ampere (símbolo A) em homenagem ao francês André 
Marie Ampère, um figura de vulto na construção do electromagnetismo. 
 É evidente que se pode estabelecer uma relação directa entre a corrente e as 
propriedades das partículas que microscopicamente são responsáveis pela corrente. 
Estas propriedades são a carga eléctrica, q, e a sua velocidade média, ou velocidade de 
deriva, no sentido referido na última aula (ver Fig. 16.2), v . Para simplificar a 
discussão vamos supor que só há electrões a deslocarem-se e, portanto, são estas as 
partículas responsáveis pela existência de corrente eléctrica. Se houver N electrões de 
condução num volume de material V, o número de electrões por unidade de volume ou 
densidade de electrões é 
V
N
n = . (17.4) 
 
Logo, o número de electrões de condução num troço de um circuito de comprimento l e 
secção A (Fig. 17.2) é nlA e a carga eléctrica total é 
 
nlAeQ =∆ , (17.5) 
 
sendo e a carga do electrão. 
 
A
v

l
 
 
 
Figura 17.2 
 
O tempo necessário para que a carga Q∆ atravesse a secção sombreada na Fig. 17.2 é 
 
v
l
t =∆ . (17.6) 
 
Dividindo (17.5) por (17.6) encontra-se a corrente média 
 
enAvI = . (17.7) 
 
Define-se a densidade de corrente média como o vector que se obtém dividindo a 
corrente pela área e tomando o vector velocidade v em vez de se considerar somente o 
seu valor. Assim, por definição, 
 
l
�Q = Nee = nlAe
�t =
l
v ⇧J = ne⇧v
n =
Ne
V
I =
�Q
�t
= neAv
Densidade de corrente
⇧J = ne⇧v
I =
dQ
dt
1 A = 1 C/s
I =
�
S
⇧J · d⇧S C/s/m2
Que velocidade é esta?
Corrente de 1 A num fio de 1 mm2 de cobre:
v =
I
neS
=
1
8, 46� 1028 � 1, 6� 10�19 � 10�6 = 0, 22 mm/s
Lei de Ohm
⌅J = � ⌅EPara campos eléctricos pouco intensos:
E = �J
V
l
= �
I
S
V
I
= �
l
S
R = �
l
S
S
⇥E
�
Condutividade
Resistividade
� � 1
⇥
� � (T, I, . . .)
Condutores óhmicos
R =
V
I
Resistência:
 5 
Lei de Ohm 
 
Verifica-se experimentalmente, pelo menos para correntes pequenas, que há uma 
proporcionalidade entre V e I o que se exprime por 
 
IRV = (17.17) 
 
Esta equação parece ser simplesmente uma maneira diferente de escrever a Eq. (17.15). 
Contudo, para R constante a equação exprime a chamada lei de Ohm que se enuncia 
assim: a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito é proporcional à 
corrente que o percorre. Assim, para se verificar a lei de Ohm a resistência terá de ser 
constante, ou seja independente da diferença de potencial, V, ou da corrente, I. A 
expressão (17.12), para ρ constante, é uma outra possível formulação da lei de Ohm: é 
a forma “microscópica” da lei de Ohm. Neste contexto, dizer que ρ é constante 
significa que não depende nem de J

 nem de E

. Um condutor para o qual se verifica a 
lei de Ohm diz-se óhmico. 
 Quando se verifica a lei de Ohm, a relação entre V e I traduz-se graficamente por 
uma linha recta num diagrama (I,V) que passa pela origem como se mostra na Fig. 17.4. 
 
I
V
 
Figura 17.4 
 
 
O caso de um condutor não-óhmico está expresso na Fig. 17.5. A Eq. 17.15 permite, em 
cada ponto definir a resistência como a razão IV / , mas isso não significa que o 
material verifique a lei de Ohm. 
I
V
 
 
Figura 17.5 
 
Condutor óhmico
 5 
Lei de Ohm 
 
Verifica-se experimentalmente, pelo menos para correntes pequenas, que há uma 
proporcionalidade entre V e I o que se exprime por 
 
IRV = (17.17) 
 
Esta equação parece ser simplesmente uma maneira diferente de escrever a Eq. (17.15). 
Contudo, para R constante a equação exprime a chamada lei de Ohm que se enuncia 
assim: a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito é proporcional à 
corrente que o percorre. Assim, para se verificar a lei de Ohm a resistência terá de ser 
constante, ou seja independente da diferença de potencial, V, ou da corrente, I. A 
expressão (17.12), para ρ constante, é uma outra possível formulação da lei de Ohm: é 
a forma “microscópica” da lei de Ohm. Neste contexto, dizer que ρ é constante 
significa que não depende nem de J

 nem de E

. Um condutor para o qual se verifica a 
lei de Ohm diz-se óhmico. 
 Quando se verifica a lei de Ohm, a relação entre V e I traduz-se graficamente por 
uma linha recta num diagrama (I,V) que passa pela origem como se mostra na Fig. 17.4. 
 
I
V
 
Figura 17.4O caso de um condutor não-óhmico está expresso na Fig. 17.5. A Eq. 17.15 permite, em 
cada ponto definir a resistência como a razão IV / , mas isso não significa que o 
material verifique a lei de Ohm. 
I
V
 
 
Figura 17.5 
 
Condutor não-óhmico
Lei de Ohm: R é constante
Resistividade a 20˚C
Material Resistividade (μΩ·cm)
Prata 1,6
Cobre 1,7
Ouro 2,2
Alumínio 2,7
Níquel 6,9
Ferro 10,1
Constantan 49
Manganésio 160
Grafite 3000
Modelo de Drude
• Electrões livres deslocam-se no fundo 
iónico, colidindo com os iões
• As interacções dos electrões são apenas 
“colisões” instantâneas
• Os electrões “ressaltam” em direcções 
aleatórias após as colisões
• O intervalo de tempo médio entre duas 
colisões é τ
Condutividade
Modelo de Drude
~J = �neh~vi
=
ne2⌧
m
~E
h�~pi = �e ~E⌧
Entre duas colisões...
h~pi = �e ~E⌧
O momento logo 
após a colisão é 
aleatório...
h~vi = h~pi
m
= �ne�e
~E⌧
m
Força electromotriz
 1 
18ª aula 
 
Sumário: 
Força electromotriz. Leis de Kirchhoff 
 
 
Força electromotriz 
 
Quando uma bateria é ligada a resistências, estabelece-se uma corrente 
estacionária no circuito, ou seja uma corrente que não varia no tempo. A Fig. 18.1 
representa um circuito com uma bateria e uma resistência. A bateria impõe a entrada no 
circuito (ponto A, pólo positivo da bateria) de uma determinada carga, Q∆ , num certo 
intervalo de tempo. Messe mesmo intervalo de tempo a mesma carga “desaparece” na 
outra extremidade do circuito1 (ponto B, pólo negativo da bateria). Assim, o fio 
condutor tem sempre carga líquida nula. 
 
 
A
B
 
 
Figura 18.1 
 
O potencial do ponto A é maior do que o do ponto B. Os processos (reacções 
químicas) que têm lugar na bateria têm como consequência o armazenamento de cargas 
positivas a um potencial mais elevado. O papel da bateria é semelhante ao de uma 
bomba de água no circuito de água fechado representado na Fig. 18.2. 
 
Bomba
de água
A
B
 
 
Figura 18.2 
 
 
1
 Recordamos que o sentido convencional da corrente é o do movimento das cargas positivas. 
ΔQ
−ΔQ
� = VA � VB R
I
 1 
18ª aula 
 
Sumário: 
Força electromotriz. Leis de Kirchhoff 
 
 
Força electromotriz 
 
Quando uma bateria é ligada a resistências, estabelece-se uma corrente 
estacionária no circuito, ou seja uma corrente que não varia no tempo. A Fig. 18.1 
representa um circuito com uma bateria e uma resistência. A bateria impõe a entrada no 
circuito (ponto A, pólo positivo da bateria) de uma determinada carga, Q∆ , num certo 
intervalo de tempo. Messe mesmo intervalo de tempo a mesma carga “desaparece” na 
outra extremidade do circuito1 (ponto B, pólo negativo da bateria). Assim, o fio 
condutor tem sempre carga líquida nula. 
 
 
A
B
 
 
Figura 18.1 
 
O potencial do ponto A é maior do que o do ponto B. Os processos (reacções 
químicas) que têm lugar na bateria têm como consequência o armazenamento de cargas 
positivas a um potencial mais elevado. O papel da bateria é semelhante ao de uma 
bomba de água no circuito de água fechado representado na Fig. 18.2. 
 
Bomba
de água
A
B
 
 
Figura 18.2 
 
 
1
 Recordamos que o sentido convencional da corrente é o do movimento das cargas positivas. 
 3 
 Se designarmos por ir a resistência interna da bateria, os terminais desta são os 
pontos A e B no esquema da Fig. 8.4. 
 
ε riI
A B
 
 
 
Figura 18.4 
 
A diferença de potencial entre A e B é 
 
iBA rIVV −=− ε . (18.4) 
 
 
Leis de Kirchhoff 
 
Não é preciso desmontarmos um computador, um telefone ou uma televisão para 
nos apercebermos que os circuitos eléctricos podem ser muito complexos. Contudo, a 
análise desses circuitos pode fazer-se mediante a consideração de leis muito simples. 
São as chamadas leis de Kirchhoff que assim se enunciam: 
 
− Lei dos nodos (ou dos nós): a soma das correntes que entram num ponto de um 
circuito é igual à soma das correntes que de lá saem. 
− Lei da malhas: a soma de todas as diferenças de potencial ao longo de um percurso 
fechado qualquer que se considere num circuito é nulo. 
 
 Na Fig. 18.5, representa-se um nó de um circuito para onde convergem e de 
onde divergem correntes. De acordo com a lei dos nodos, 3241 IIII +=+ . 
 
 
I1
I2
I3
I4
 
 
 
Figura 18.5 
 
De uma maneira geral, a lei dos nodos pode exprimir-se através da expressão 
 

=
=
N
1
0
j
jI , (18.5) 
 
ri : Resisteˆncia interna
VA � VB = �� riI
X
Leis de Kirchhoff
Ramos Nodos Malhas
Leis de Kirchhoff
Lei dos nodos: a soma das correntes que entra num nodo é 
igual à soma das correntes que dele saem
Lei das malhas: a soma das diferenças de potencial ao longo 
de qualquer circuito fechado é nula
Leis de Kirchhoff
I1 I2
I3
I3 = I1 + I2
Leis de Kirchhoff
I1 I2
I3
R1
R2
R3
ε1 ε2
��1 +R1I1 � �2 = 0
Leis de Kirchhoff
I1 I2
I3
R1
R2
R3
ε1 ε2
��2 +R2I2 +R3I2 = 0
Leis de Kirchhoff
��1 +R1I1 � �2 = 0
��2 +R2I2 +R3I2 = 0
I3 = I1 + I2
I1 =
�1 + �2
R1
I2 =
�2
R2 +R3
Associação de resistências em 
série
 1 
19ª aula 
 
Sumário: 
Associação de resistências. Potência dissipada numa resistência. Circuitos RC 
 
 
Associação de resistências 
 
 As leis de Kirchhoff podem ser utilizadas para encontrar a resistência 
equivalente a associações de resistências em série e em paralelo. No circuito da Fig. 
19.1 (lado esquerdo) há duas resistências ligadas em série, nas quais passa a mesma 
corrente I. Do lado direito da mesma figura mostra-se o circuito equivalente com uma 
bateria com a mesma f.e.m., ε , e a mesma corrente no circuito, I. 
 
 
R2
ε
R1
ε
Req
I I
 
 
Figura 19.1 
 
Como relacionar a resistência equivalente, Req com as resistências R1 e R2? Aplicando 
directamente a lei das malhas ao circuito original tem-se 021 =−+ εIRIR , donde 
 
( )21 RRI +=ε . (19.1) 
 
A aplicação da lei das malhas ao circuito equivalente permite concluir que eqRI=ε e 
portanto 
 
21eq RRR += . (19.2) 
 
Esta expressão generaliza-se para um número arbitrário de resistências em série 
(Fig. 19.2). 
 
R1 R2 Rn
 
 
 
Figura 19.2 
 
A resistência equivalente é dada por 
 

=
=
n
1
eq
i
iRR . (19.3) 
 1 
19ª aula 
 
Sumário: 
Associação de resistências. Potência dissipada numa resistência. Circuitos RC 
 
 
Associação de resistências 
 
 As leis de Kirchhoff podem ser utilizadas para encontrar a resistência 
equivalente a associações de resistências em série e em paralelo. No circuito da Fig. 
19.1 (lado esquerdo) há duas resistências ligadas em série, nas quais passa a mesma 
corrente I. Do lado direito da mesma figura mostra-se o circuito equivalente com uma 
bateria com a mesma f.e.m., ε , e a mesma corrente no circuito, I. 
 
 
R2
ε
R1
ε
Req
I I
 
 
Figura 19.1 
 
Como relacionar a resistência equivalente, Req com as resistências R1 e R2? Aplicando 
directamente a lei das malhas ao circuito original tem-se 021 =−+ εIRIR , donde 
 
( )21 RRI +=ε . (19.1) 
 
A aplicação da lei das malhas ao circuito equivalente permite concluir que eqRI=ε e 
portanto 
 
21eq RRR += . (19.2) 
 
Esta expressão generaliza-se para um número arbitrário de resistências em série 
(Fig. 19.2). 
 
R1 R2 Rn
 
 
 
Figura 19.2 
 
A resistência equivalente é dada por 
 

=
=
n
1
eq
i
iRR . (19.3) 
� = (R1 +R2) I
� = ReqI
Req = R1 +R2 + . . .+Ri + . . .+RN
Req =R1 +R2
Associação de resistências em 
paralelo
 2 
 No circuito da Fig. 19.3 (lado esquerdo) há agora duas resistências ligadas em 
paralelo. A corrente em cada uma delas é I1 e I2, como se indica, e a corrente no circuito 
principal é I. De acordo com as leis de Kirchhoff, 
 
21 III += . (19.3) 
 
ε
R1
I
R2
ε
Req
I
I1
I2
 
 
Figura 19.3 
 
 
Do lado direito da mesma figura mostra-se o circuito equivalente com uma bateria com 
a mesma f.e.m., ε , que é, de resto, a diferença de potencial em cada uma das 
resistências (a 1, a 2, ou a equivalente): 
 
,,, 2211eq RIRIIR === εεε (19.4) 
 
Combinando as eqs. (19.3) e (19.4) podemos concluir que 
 
21eq
111
RRR
+= . (19.5) 
 
Esta expressão generaliza-se para um número arbitrário de resistências em paralelo 
(Fig. 19.4). 
 
R1
R2
Rn
 
 
Figura 19.4 
 
A resistência equivalente é dada por 
 

=
=
n
1eq
11
i iRR
. (19.6) 
 
 2 
 No circuito da Fig. 19.3 (lado esquerdo) há agora duas resistências ligadas em 
paralelo. A corrente em cada uma delas é I1 e I2, como se indica, e a corrente no circuito 
principal é I. De acordo com as leis de Kirchhoff, 
 
21 III += . (19.3) 
 
ε
R1
I
R2
ε
Req
I
I1
I2
 
 
Figura 19.3 
 
 
Do lado direito da mesma figura mostra-se o circuito equivalente com uma bateria com 
a mesma f.e.m., ε , que é, de resto, a diferença de potencial em cada uma das 
resistências (a 1, a 2, ou a equivalente): 
 
,,, 2211eq RIRIIR === εεε (19.4) 
 
Combinando as eqs. (19.3) e (19.4) podemos concluir que 
 
21eq
111
RRR
+= . (19.5) 
 
Esta expressão generaliza-se para um número arbitrário de resistências em paralelo 
(Fig. 19.4). 
 
R1
R2
Rn
 
 
Figura 19.4 
 
A resistência equivalente é dada por 
 

=
=
n
1eq
11
i iRR
. (19.6) 
 
1
Req
=
1
R1
+
1
R2
+ . . .+
1
Ri
+ . . .+
1
RN
�⇤⇥ � = R1I1� = R2I2
I = I1 + I2
� = ReqI
1
Req
=
1
R1
+
1
R2
Voltímetro
I
R
 3 
 Uma diferença de potencial mede-se com um voltímetro, aparelho de medida 
que se deve colocar em paralelo num circuito. Na prática um voltímetro tem uma 
resistência interna, ir , que, dependendo do seu valor, altera mais ou menos as condições 
do circuito. Na Fig. 19.5, o voltímetro, cuja resistência interna se explicita ao lado do 
símbolo que representa o aparelho, mede a diferença de potencial entre os pontos A e B, 
entre os quais há uma resistência R. 
 
 
ri
R
V
A B
I I'
i
 
 
Figura 19.5 
 
A resistência equivalente entre os pontos A e B é tal que [ver Eq. (19.5)] 
 
iAB
111
rRR
+= . (19.7) 
 
A condição para o voltímetro não introduzir alterações no circuito é ∞→ir . Neste caso 
RR =AB , como se não existisse voltímetro. Mas, na prática, a resistência interna do 
voltímetro não é infinita e alguma corrente é “roubada” ao circuito original (corrente i 
na Fig. 19.5). 
 Um amperímetro mede a corrente e deve ser intercalado em série num circuito. 
Idealmente, o amperímetro deveria ter resistência interna nula, mas, na prática, isso não 
acontece. Na Fig. 19.6 mostra-se uma parte do circuito com a resistência R onde se 
intercalou um amperímetro. 
 
 
ri
R
A B
I'
A
 
 
Figura 19.6 
 
Devido à resistência interna do amperímetro, a corrente no circuito ( 'I ) diminui 
relativamente ao seu valor antes da colocação do amperímetro. A resistência equivalente 
entre os pontos A e B é 
 
iAB rRR += . (19.8) 
 
 
A condição para não haver alteração no circuito é 0i =r . Na verdade tal não acontece 
pelo que ao introduzir-se um amperímetro no circuito, a corrente medida vai ser menor 
do que a corrente que existia sem o aparelho de medida. 
 
 
1
RAB
=
1
R
+
1
ri
ri �⇤⇥ RAB = R
Amperímetro
I
R
 3 
 Uma diferença de potencial mede-se com um voltímetro, aparelho de medida 
que se deve colocar em paralelo num circuito. Na prática um voltímetro tem uma 
resistência interna, ir , que, dependendo do seu valor, altera mais ou menos as condições 
do circuito. Na Fig. 19.5, o voltímetro, cuja resistência interna se explicita ao lado do 
símbolo que representa o aparelho, mede a diferença de potencial entre os pontos A e B, 
entre os quais há uma resistência R. 
 
 
ri
R
V
A B
I I'
i
 
 
Figura 19.5 
 
A resistência equivalente entre os pontos A e B é tal que [ver Eq. (19.5)] 
 
iAB
111
rRR
+= . (19.7) 
 
A condição para o voltímetro não introduzir alterações no circuito é ∞→ir . Neste caso 
RR =AB , como se não existisse voltímetro. Mas, na prática, a resistência interna do 
voltímetro não é infinita e alguma corrente é “roubada” ao circuito original (corrente i 
na Fig. 19.5). 
 Um amperímetro mede a corrente e deve ser intercalado em série num circuito. 
Idealmente, o amperímetro deveria ter resistência interna nula, mas, na prática, isso não 
acontece. Na Fig. 19.6 mostra-se uma parte do circuito com a resistência R onde se 
intercalou um amperímetro. 
 
 
ri
R
A B
I'
A
 
 
Figura 19.6 
 
Devido à resistência interna do amperímetro, a corrente no circuito ( 'I ) diminui 
relativamente ao seu valor antes da colocação do amperímetro. A resistência equivalente 
entre os pontos A e B é 
 
iAB rRR += . (19.8) 
 
 
A condição para não haver alteração no circuito é 0i =r . Na verdade tal não acontece 
pelo que ao introduzir-se um amperímetro no circuito, a corrente medida vai ser menor 
do que a corrente que existia sem o aparelho de medida. 
 
 
RAB = R+ ri
ri � 0⇥ RAB = R
Potência dissipada numa 
resistência
I
R
ΔQ
V
W=VΔQ
P=VΔQ/Δt
P=VI=RI2=V2/R
Lei de Joule
Circuito RC
R
C ε
I
++++
−−−−
q
C
= 0RI+ ��
I =
dq
dt
I(t) =
�
R
e�
t
RC
t = 0� I = �
R
q
C
+R
dq
dt
� � = 0
q(t) = �C
�
1� e� tRC
⇥
Circuito RC
 7 
A corrente inicial ou a carga final não dependem da constante de tempo mas o tempo de 
carga do condensador (ou da corrente transitória) depende. Na Fig. 19.9 as curvas tanto 
para a carga como para a corrente referem-se a duas constantes de tempo diferentes. 
Quanto maior for a constante de tempo mais tempo demora o condensador a carregar. 
 
qf
t
I
I0
τ1
τ2 τ1>
t
q
τ1 τ2 τ1>
 
Figura 19.9 
 
 Suponhamos que o condensador foi carregado com carga q0, e depois ligado a 
uma resistência, tal como se mostra na Fig. 19.10, através da qual descarrega. 
 
 
RI
C
q
−q
+ + +
- - - 
 
 
Figura 19.10 
 
 
A análise da situação é ainda mais simples do que no caso anterior pois não há bateria. 
Aplicando a lei das malhas de Kischhoff, começando pela resistência e no sentido 
horário [ou, simplesmente, fazendo 0=ε na Eq, (19.12)], temos 
 
0=+
C
qIR (19.18) 
ou ainda 
 
)(1
d
)(d
tq
RCt
tq
−= (19.19) 
 
cuja solução é a função exponencial [é a função que derivada dá a própria função, à 
parte um factor, como exige a Eq. (19.19)]: 
 
RC
t
qtq
−
= e)( 0 (19.20) 
 
� = RCConstante de tempo:
Circuito RC
 7 
A corrente inicial ou a carga final não dependem da constante de tempo mas o tempo de 
carga do condensador (ou da corrente transitória) depende. Na Fig. 19.9 as curvas tanto 
para a carga como para a corrente referem-se a duas constantes de tempo diferentes. 
Quanto maior for a constante de tempo mais tempo demora o condensador a carregar. 
 
qf
t
I
I0
τ1
τ2 τ1>
t
q
τ1 τ2 τ1>
 
Figura 19.9 
 
 Suponhamos que o condensador foi carregado com carga q0, e depois ligado a 
uma resistência,tal como se mostra na Fig. 19.10, através da qual descarrega. 
 
 
RI
C
q
−q
+ + +
- - - 
 
 
Figura 19.10 
 
 
A análise da situação é ainda mais simples do que no caso anterior pois não há bateria. 
Aplicando a lei das malhas de Kischhoff, começando pela resistência e no sentido 
horário [ou, simplesmente, fazendo 0=ε na Eq, (19.12)], temos 
 
0=+
C
qIR (19.18) 
ou ainda 
 
)(1
d
)(d
tq
RCt
tq
−= (19.19) 
 
cuja solução é a função exponencial [é a função que derivada dá a própria função, à 
parte um factor, como exige a Eq. (19.19)]: 
 
RC
t
qtq
−
= e)( 0 (19.20) 
 
RI +
q
C
= 0
q(t) = q0e�
t
RC
I(t) = � q0
RC
e�
t
RC
 8 
(o factor constante 0q é a carga no instante inicial). Se derivarmos esta função − lado 
esquerdo da equação (19.19) − obtemos o lado direito da Eq. (19.19). Logo (19.20) é 
solução de (19.19). A corrente é 
 
RC
t
RC
t
I
RC
q
tI
−−
−=−= ee)( 00 . (19.21) 
 
O facto de esta corrente ser negativa significa simplesmente que tem sentido contrário 
ao escolhido na Fig. 9.10. Agora, à medida que a carga diminui, a corrente também 
diminui em valor absoluto. A maior ou menor rapidez a que esta diminuição da carga e 
o módulo da corrente se processa é governada pela mesma constante de tempo, 
RC=τ [ver (19.17)], anteriormente introduzida. 
 Na Fig. 9.11 representa-se a carga no condensador e o módulo da corrente no 
circuito em função do tempo. 
 
 
t
|I|
I0
τ1
τ2 τ1>
t
q
q0
τ2 τ1>
τ1
 
 
Figura 9.11 
 
Finalmente, tornemos o significado da constante de tempo mais preciso. Para um 
condensador que descarregue como o da Fig 10.10, τ é o tempo ao fim do qual a carga é 
0
1
0 37,0e qqq ==
−
 ou seja é 37% da carga inicial (Fig. 9.12). 
 
 
 
t
q
q0
0,37 q0
τ
 
 
Figura 9.12