PROVA VIBRAÇÕES RESOLVIDA

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ANDRADINA 
2018 
 
 
1 
 
UNIVERSIDADE BR SIL 
Engenharia Mecânica – 8º Período 
 
Docente: Prof. Me. Carlos Eduardo Silva Britto 
Disciplina: Vibrações 
Data: 02/10/2018 
PROVA 1 
 
 
 
1) Considere um sistema massa-mola-amortecedor, com os seguintes valores: 𝑚 = 10 kg, 𝑐 = 3 N⋅s m⁄ e 𝑘 =
1.000 N m⁄ . 
a) O sistema é superamortecido, subamortecido ou criticamente amortecido? (Valor: 0,5 pontos). 
 
𝜁 =
𝑐
𝑐𝑐
=
𝑐
2 ⋅ √𝑘 ⋅ 𝑚
=
3
2 ⋅ √1.000 ⋅ 10
=
3
200
⟹ 𝜻 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟓 (𝜻 < 𝟏, 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐬𝐮𝐛𝐚𝐦𝐨𝐫𝐭𝐞𝐜𝐢𝐝𝐨) 
 
b) Determina a solução para as condições iniciais de 𝑥0 = 0,02 m e 𝑣0 = 0,04 m s⁄ . (Valor: 1,0 pontos). 
 
Para o sistema é subamortecido, temos 
 
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 ⋅ √1 − 𝜁2 = √
𝑘
𝑚
⋅ √1 − 𝜁2 = √
1.000
10
⋅ √1 − 0,0152 = 10 ⋅ √0,999775 = 9,99887 rad s⁄ 
 
𝐴 =
√(𝑣0 + 𝜁𝜔𝑛𝑥0)2 + (𝑥0𝜔𝑑)2
𝜔𝑑
=
√(0,04 + 0,015 ⋅ 10 ⋅ 0,02)2 + (0,02 ⋅ 9,9987)2
9,99887
=
0,20454
9,99887
= 0,02045 m 
 
𝜙 = tg−1 (
𝑥0𝜔𝑑
𝑣0 + 𝜁𝜔𝑛𝑥0
) = tg−1 (
0,02 ⋅ 9,99887
0,04 + 0,015 ⋅ 10 ⋅ 0,02
) = tg−1(4,65046) = 1,3589 rad (𝜙 = 53,6 °) 
 
𝑥𝑆𝑢𝑏(𝑡) = 𝐴𝑒
−𝜁𝜔𝑛𝑡 sen(𝜔𝑑𝑡 + 𝜙) = 0,02045 𝑒
−0,015⋅10𝑡 sen(9,99887𝑡 + 1,3589) 
 
𝒙𝑺𝒖𝒃(𝒕) = [𝟎, 𝟎𝟐𝟎𝟒𝟓 𝒆
−𝟎,𝟏𝟓𝒕 𝐬𝐞𝐧(𝟗, 𝟗𝟗𝟖𝟖𝟕𝒕 + 𝟏, 𝟑𝟓𝟖𝟗)] 𝐦 
 
c) Calcule o período e a frequência deste sistema. (Valor: 0,5 pontos). 
 
i) Período: 
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
= 2𝜋√
10
1.000
⟹ 𝑻 = 𝟎, 𝟔𝟐𝟖𝟑𝟏 𝐬 
 
ii) Frequência: 
𝑓 =
1
2𝜋
⋅ √
𝑘
𝑚
=
1
2𝜋
⋅ √
1.000
10
⟹ 𝒇 = 𝟏, 𝟓𝟗𝟏𝟓𝟓 Hz 
 
 
2) Se o bloco de 60 kg é submetido a uma força periódica de 𝐹 = [600 cos(10𝑡)] N, 𝑘 = 3.000 N m⁄ e 𝑐 =
650 N⋅s m⁄ , determine a equação que descreve a vibração de estado constante em função do tempo, após as forças 
de atrito atuarem o suficiente para eliminarem a vibração livre. (Valor: 1,5 pontos). 
 
 
 
𝐹 = [600 cos(10𝑡)] N ⟹ [𝐹0 cos(𝜔0𝑡)] N 
 
No sistema existem duas molas, logo 𝑘 = 𝑘1 + 𝑘2 = 3.000 + 3.000 = 6.000 N m⁄ . Temos: 
 
𝜁 =
𝑐
𝑐𝑐
=
𝑐
2 ⋅ √𝑘 ⋅ 𝑚
=
650
2 ⋅ √6.000 ⋅ 60
=
650
1.200
= 0,54166 … (𝜁 < 1, Sistema Subamortecido) 
 
𝜔𝑛 = √
𝑘
𝑚
= √
6.000
60
= 10 rad s⁄ 
 
𝐴𝑉𝐸𝐶
′ =
𝐹0 𝑘⁄
√[1 − (𝜔0 𝜔𝑛⁄ )2]2 + [2𝜁 ⋅ (𝜔0 𝜔𝑛⁄ )]2
=
600 6.000⁄
√[1 − (10 10⁄ )2]2 + [2𝜁 ⋅ (10 10⁄ )]2
=
0,1
1,0833 …
= 0,0923 m 
 
Não existe 𝜙 para o sistema, logo: 
 
𝑥𝑉𝐹𝐴𝑚(𝑡) = 𝐴𝑉𝐸𝐶
′ ⋅ sen(𝜔0𝑡 − 𝜙) ⟹ 𝒙𝑽𝑭𝑨𝒎(𝒕) = 𝟎, 𝟎𝟗𝟐𝟑 ⋅ 𝐬𝐞𝐧(𝟏𝟎𝒕) 
𝑘2 
𝑘1 
𝑐 𝐹 = [𝐹0 cos(𝜔0𝑡)] N 
𝑚 
 
 ANDRADINA 
2018 
 
 
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UNIVERSIDADE BR SIL 
Engenharia Mecânica – 8º Período 
 
Docente: Prof. Me. Carlos Eduardo Silva Britto 
Disciplina: Vibrações 
Data: 02/10/2018 
PROVA 1 
 
 
 
3) Um bloco de 5 kg esta suspenso através de uma mola tendo uma rigidez de 250 N m⁄ . Se o bloco é submetido a uma 
força periódica vertical de 𝐹 = [6 sen(8𝑡)] N, onde 𝑡 é em segundos, determine a equação que descreve o 
movimento do bloco quando ele é puxado para baixo a 150 mm da posição de equilíbrio e solto do repouso em 𝑡 = 0 
com velocidade inicial de 2,8 m s⁄ . Considere que o deslocamento positivo é para baixo e a vibração livre do sistema. 
(Valor: 2,0 pontos). 
 
𝐹 = [6 sen(8𝑡)] N ⟹ [𝐹0 sen(𝜔0𝑡)] N 
 
𝜔𝑛 = √
𝑘
𝑚
= √
250
5
= √50 = 7,071 rad s⁄ 
 
A equação da vibração forçada amortecida é: 
 
𝐴 =
√𝜔𝑛
2𝑥0
2 + 𝑣0
2
𝜔𝑛
=
√7,0712 ⋅ 0,152 + 2,82
7,071
=
8,965
7,071
= 1,2678 m 
 
𝜙 = tg−1 (
𝜔𝑛𝑥0
𝑣0
) = tg−1 (
7,071 ⋅ 0,15
2,8
) = tg−1(0,3788) = 0,3621 rad (𝜙 = 19,9 °) 
 
𝑥𝑉𝐿(𝑡) = 𝐴 sen(𝜔𝑛𝑡 + 𝜙) 
 
𝑥𝑉𝐿(𝑡) = [1,2678 sen(10𝑡 + 0,3621)] m (I) 
 
A equação vibração forçada não amortecida é: 
 
𝐴𝐶 =
𝐹0 𝑚⁄
𝜔𝑛
2 − 𝜔0
2 =
6 5⁄
7,0712 − 82
= −
1,2
0,9289
= −1,2918 m 
 
𝑥𝑉𝐸𝐶(𝑡) = 𝐴𝐶 sen(𝜔0𝑡) 
 
𝑥𝑉𝐸𝐶(𝑡) = [−1,2918 sen(8𝑡)] m (II) 
 
Somando as equações (I) e (II), temos: 
 
𝑥(𝑡) = 𝑥𝑉𝐿(𝑡) + 𝑥𝑉𝐸𝐶(𝑡) ⟹ 𝑥(𝑡) = [1,2678 sen(10𝑡 + 0,3621) − 1,2918 sen(8𝑡)] m 
 
 
Portanto, no instante 𝑡 = 0, temos 
 
𝑥(0) = 1,2678 sen(10 ⋅ 0 + 0,3621) − 1,2918 sen(8 ⋅ 0) 
 
𝒙(𝟎) = 𝟎, 𝟒𝟒𝟗𝟏 m ⟹ 𝒙(𝟎) = 𝟒𝟒𝟗, 𝟏 mm 
 
 
4) Sobre as afirmativas abaixo, assinale a(s) correta(s) e justifique a(s) falsa(s). (Valor: 0,5 pontos cada). 
a) (V) A vibração é um movimento periódico de um corpo ou sistema de corpos conectados deslocados de um ponto 
de equilíbrio. A vibração livre ocorre quando o movimento é mantido por forças restauradoras, como por 
exemplo, a força elástica. 
b) (F) Em um sistema massa-mola a aceleração máxima do sistema oscilatório são nas máximas amplitudes. 
c) (F) A vibração livre amortecida viscosa pode ser definida como superamortecida quando 𝜁 < 1. 
d) (V) A vibração livre amortecida viscosa pode ser definida como subamortecida quando 𝑐 < 𝑐𝑐. 
e) (F) A resposta de um sistema vibratória abaixo corresponde a um sistema criticamente amortecido. 
 
 
𝑡 
𝑥(𝑡) 
𝑘 = 250 N m⁄ 
𝐹 
 
 ANDRADINA 
2018 
 
 
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UNIVERSIDADE BR SIL 
Engenharia Mecânica – 8º Período 
 
Docente: Prof. Me. Carlos Eduardo Silva Britto 
Disciplina: Vibrações 
Data: 02/10/2018 
PROVA 1 
 
 
 
Justificativas: 
 
b) O corpo está com sua amplitude em −𝐴 (mínima), sua velocidade é zero e sua aceleração é máxima. A força está 
sendo dirigida para o sentido positivo. Se o corpo está com amplitude 𝐴 (máxima), sua velocidade é zero e sua 
aceleração é mínima. 
 
 
𝑎 = −𝜔2 ⋅ (−𝐴) ⋅ cos(𝜔𝑡 + 𝜙0) = 𝜔
2 ⋅ 𝐴 ⋅ cos(𝜔𝑡 + 𝜙0) 
 
𝑎 = −𝜔2 ⋅ 𝐴 ⋅ cos(𝜔𝑡 + 𝜙0) 
 
c) A resposta de um sistema superamortecido é quanto o fator de amortecimento é maior que 1 (𝜁 > 1), ou seja, a 
constante de amortecimento é maior que a constante de amortecimento crítico (𝑐 > 𝑐𝑐), não ocorrerá oscilações, 
caracterizando superamortecimento. 
 
e) A resposta de um sistema é do tipo subamortecido, isto é, 0 < 𝜁 < 1. Ou seja, no gráfico ocorre um sistema 
oscilatório com variação do tempo da coordenada de posição e da amplitude do oscilador. Num sistema criticamente 
amortecido 𝜁 = 1 e seu gráfico não apresenta oscilação, tendo apenas um período inicial de subida seguido de 
descida assimptótica para zero.