AULA 08 - Análse da Resposta Transitória

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ANÁLISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA
Prof. Almir Kimura Junior
EST – Escola Superior de Tecnologia
UEA – Universidade do Estado do Amazonas 
Manaus, Brasil
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INTRODUÇÃO 
Existem vários métodos para a análise do desempenho do sistema.
Na prática, o sinal de entrada em um sistema de controle não é conhecido “a priori”, mas é de caráter aleatório, e a entrada instantânea não pode ser expressa analiticamente. 
Somente em alguns casos o sinal de entrada é conhecido e, assim, pode ser expresso analiticamente ou por curvas.
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INTRODUÇÃO (2) 
Na análise e projeto de sistema de controle, é necessário ter uma base para comparar o desempenho dos sistemas. 
Essa base é obtida através da especificação dos sinais de teste de entradas particulares e da comparação das respostas dos sistemas a estes sinais de entrada.
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Critérios de projeto
Sinais de entrada ou de saída.
Análise teórica  análise prática.
Sinais de teste típicos
Função degrau unitário, rampa, impulso e senoidais.
Análise matemática e experimental.
Determinação de sinais para análise: depende das entradas do sistema na condição de operação.
Entradas variantes no tempo: função rampa.
Entradas tipo choque: função impulso.
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Resposta transitória e resposta estacionária
Resposta temporal: respostas transitória e estacionária.
Resposta transitória: estado inicial até o estado final.
Resposta estacionária: t  .
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Estabilidade 
Ao projetar um sistema de controle, deve-se prever o comportamento dinâmico do sistema a partir do conhecimento dos componentes:
Característica mais importante do comportamento dinâmico do sistema: estabilidade absoluta (estável ou instável).
Sistema de controle invariante e linear é estável se a saída volta ao seu estado de equilíbrio quando o sistema é sujeito a uma perturbação. Caso contrário  sistema instável.
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Estabilidade (2)
Casos reais: a saída de um sistema físico pode variar dentro de uma faixa. Proteção: desligamento do sistema. Além disso, o sistema pode tornar-se não-linear para saídas fora da faixa.
Outras características importantes: estabilidade relativa e erro estacionário.
A saída de um sistema físico quando sujeito a uma entrada, não pode segui-la imediatamente: reposta transitória e resposta em regime permanente.
Resposta transitória: oscilações.
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Estabilidade (3)
Se a saída de um sistema de controle não acompanhar a entrada  erro estacionário. Este erro indica a precisão do sistema de controle.
Análise de um sistema de controle: devem-se examinar as respostas transitórias e de regime permanente.
Fatores de erros: variações na entrada, atrito estático e folga nas engrenagens (backlash).
Objetivos: investigar o erro estacionário que é causado pela incapacidade de um sistema de controle seguir tipos particulares de entrada.
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Sistemas de Primeira Ordem
Considere o sistema de primeira ordem visto na figura 3.1a. 
Fisicamente, este sistema pode representar um circuito RC ou um sistema térmico. O diagrama de blocos simplificado é visto na figura 3.1b.
Fig. 3.1 – Diagrama de blocos de um sistema de primeira ordem.
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Sistemas de Primeira Ordem
A relação entrada-saída é dada por,
Assim, a partir da obtenção da função de transferência são analisadas as respostas do sistema de controle para entradas do tipo degrau unitário, rampa unitária e função impulso unitário.
(3.4)
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Sistemas de Primeira Ordem
Observações:
Todos os sistemas físicos com a mesma função de transferência têm a mesma saída à mesma entrada.
Para qualquer sistema físico, pode-se dar uma interpretação física à resposta matemática.
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Resposta ao Degrau unitário de Sistemas de Primeira Ordem
Da equação (3.4) tem-se que,
Para uma entrada em degrau tem-se que,
E em frações parciais, tem-se,
(3.5)
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Sistemas de Primeira Ordem
 A resposta temporal deste sistema é,
(3.6)
(t  0)
 Uma das características mais importantes é que para t = T, a reposta vale,
 Nota-se que, quanto menor for a constante de tempo (T), mais rápida será a resposta do sistema.
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Sistemas de Primeira Ordem
Outra característica importante dessa curva de resposta é que,
Da equação (3.7) vê-se que a inclinação da curva de resposta c(t) decresce monotonicamente de 1/T em t=0, para zero em t = . A curva de resposta dada pela equação (3.6) é mostrada na figura 3.2.
(3.7) 
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Sistemas de Primeira Ordem
Fig. 3.2 – Resposta de um sistema de primeira ordem ao degrau. 
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Sistemas de Primeira Ordem
COMENTÁRIOS
Como visto da equação (3.6), o regime permanente é alcançado matematicamente somente após um tempo infinito. 
Na prática, entretanto, uma estimativa razoável do tempo de resposta é o tempo que a curva de resposta necessita para alcançar a linha de 2 ou 5% do valor final, ou seja, de quatro a cinco constantes de tempo. 
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Resposta a Rampa Unitária de Sistemas de Primeira Ordem 
Da equação (3.4), tem-se que,
Para entrada do tipo rampa unitária a saída do sistema é dada como,
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Resposta a Rampa Unitária de Sistemas de Primeira Ordem 
E em frações parciais, tem-se que,
E a resposta temporal deste sistema é,
O sinal de erro e(t) é então,	
(3.8)
(t  0)
(t  0)
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Resposta a Rampa Unitária de Sistemas de Primeira Ordem 
Quando t  , então,
A entrada em rampa unitária e a saída do sistema são vistas na figura 3.3. 
O erro ao seguir a entrada em rampa unitária é igual a T, para t suficientemente grande. 
Quanto menor a constante de tempo T, menor é o erro estacionário ao seguir uma entrada em rampa.
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Resposta a Rampa Unitária de Sistemas de Primeira Ordem 
Fig. 3.3 – Resposta de um sistema de primeira ordem à rampa.
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Resposta ao Impulso Unitário de Sistemas de Primeira Ordem 
Para a entrada Impulso Unitário R(s) = 1, a saída do sistema da figura 3.1a é,
Ou,
A curva de resposta dada pela equação (3.9) é vista na figura 3.4. 
(3.9)
(t  0)
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Resposta ao Impulso Unitário de Sistemas de Primeira Ordem
Fig. 3.4 – Resposta de um sistema de primeira ordem ao impulso.
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Uma Propriedade Importante de Sistemas Lineares Invariantes 
Para a análise feita anteriormente nota-se que, para a entrada em rampa unitária a saída c(t) é,
Para a entrada em degrau unitário a saída é,
E para a entrada em impulso unitário a saída é,
(t  0)
(t  0)
(t  0)
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Conclusão
A comparação da resposta do sistema, a estas três entradas, mostra claramente que a resposta à derivada de um sinal de entrada pode ser obtida diferenciando a resposta do sistema para o sinal original. 
Pode ser visto, ainda, que a resposta à integral do sinal original pode ser obtida integrando-se a resposta do sistema ao sinal original e determinando as constantes de integração a partir da condição inicial de saída zero. Esta é uma propriedade exclusiva de sistemas lineares invariantes. 
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3. SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Considere o servosistema da figura 3.5. O objetivo deste sistema é controlar a posição da carga mecânica de acordo com a posição de referência.
Fig. 3.5 – Diagrama esquemático de um servosistema.
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SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
O diagrama de blocos simplificado do sistema é mostrado na figura 3.7.
Então, a função de transferência do sistema é,
Fig. 3.7 – Diagrama de blocos de um sistema de segunda ordem. 
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Resposta ao Degrau de Sistemas de Segunda Ordem 
A função de transferência em malha fechada do sistema é,
(3.16)
Reais se,
Os pólos de malha fechada são:
Complexos se,
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Resposta ao Degrau de Sistemas de Segunda Ordem
Na análise da resposta transitória, é conveniente escrever que, 
Onde: 
 é a atenuação;
 é freqüência natural não-amortecida; e 
 é o coeficiente de amortecimento. 
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Resposta ao Degrau de Sistemas de Segunda Ordem
O coeficiente de amortecimento  é a relação entre o amortecimento real B e o amortecimento crítico , isto é, 
Em termos de  e n, o sistema mostrado na figura 3.7 pode ser modificado
para aquele visto na figura 3.8.
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Resposta ao Degrau de Sistemas de Segunda Ordem
Fig. 3.8 – Diagrama de blocos de um sistema de segunda ordem padrão.
E, a função de transferência dada pela equação (3.16) pode ser escrita como,
(3.17)
Diagrama de blocos:
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Resposta ao Degrau de Sistemas de Segunda Ordem
O comportamento dinâmico de sistemas de segunda ordem pode ser, então, descrito em termos de dois parâmetros  e n. 
Se 0<<1, os pólos de malha fechada são complexos conjugados e se situam no semiplano esquerdo do plano complexo s. O sistema, então, é chamado “subamortecido”, e a resposta transitória é oscilatória. 
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Resposta ao Degrau de Sistemas de Segunda Ordem
Se =1, o sistema é dito “criticamente amortecido”. Sistemas “sobreamortecidos” correspondem a >1. 
A resposta transitória de sistemas amortecidos criticamente e sobreamortecidos não oscila. 
Se =0 a resposta transitória não decai, ou seja, a resposta do sistema é completamente oscilatória.
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Resposta ao Degrau Unitário 
Neste caso a função de transferência do sistema dada pela equação (3.17) é escrita como,
Onde é chamada de “freqüência natural amortecida”. Para uma entrada em degrau tem-se que, 
Caso Subamortecido (0 <  < 1)
(3.18)
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Resposta ao Degrau Unitário 
E a resposta temporal é, 
Da equação (3.19), nota-se que a freqüência de oscilação transitória é a freqüência natural amortecida e, portanto, varia com . 
(t  0)
(3.19)
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Resposta ao Degrau Unitário 
Se os dois pólos de C(s)/R(s) são aproximadamente iguais, o sistema pode ser aproximado por um amortecimento crítico.
Para entrada em degrau unitário, a resposta do sistema é,
E a resposta temporal é,
2. Caso de Amortecimento Crítico ( = 1) 
(3.21)
		
(t  0)
(3.22)
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Resposta ao Degrau Unitário 
Neste caso, os dois pólos de C(s)/R(s) são reais, negativos e distintos e, portanto, a função de transferência passa a ser, 
3. Caso Sobreamortecimento ( > 1) 
(3.23)
		
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Resposta ao Degrau Unitário 
3. Caso Sobreamortecimento ( > 1) 
		
(t  0)
(3.24)
Para a entrada em degrau unitário, a resposta do sistema é,
Onde,
e,
Portanto, a resposta c(t) inclui dois termos de exponencial decrescente.
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Observações 
Quando  é consideravelmente maior que a unidade, uma das duas exponenciais decrescentes decai mais rapidamente do que a outra, de tal forma que o termo da exponencial mais rápida que corresponde a uma constante de tempo menor pode ser desprezado. 
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Observações 
Assim, apara a função de transferência aproximada, a resposta do sistema para uma entrada em degrau é,
E a resposta do sistema é, 
(t  0)
Isto fornece uma resposta aproximada ao degrau unitário, quando um dos pólos é desprezado.
Uma família de curvas com vários valores de  é mostrada na figura 3.9, onde a abscissa é a variável adimensional. As curvas são funções somente de . 
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Resposta ao Degrau Unitário
Fig. 3.9 – Curva de resposta de sistema de segunda ordem.
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Observações 
Da figura 3.9, nota-se que um sistema subamortecido com  entre 0,5 e 0,8 chega perto do valor final mais rapidamente que um sistema com amortecimento crítico (=1) ou um sistema sobreamortecido (1). 
Note que dois sistemas de segunda ordem tendo o mesmo  mas diferentes terão o mesmo sobre-sinal e o mesmo padrão oscilatório. Diz-se que tais sistemas possuem a mesma “estabilidade relativa”. 
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Curvas de mesmo  mas diferentes 
Fig. 3.9a – Curva de resposta de sistema de segunda ordem para vários wn.
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Comentários
Entre os sinais que respondem sem oscilações, um sistema com amortecimento crítico apresenta a resposta mais rápida. Um sistema sobreamortecido sempre é lento na resposta a qualquer tipo de entrada. 
É importante notar que, para sistemas de segunda ordem cujas funções de transferência são diferentes daquela dada pela equação (3.17), as curvas de resposta ao degrau podem ter um aspecto bem diferente daquelas mostradas na figura 3.9.
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