AULA 14 - Diagrama de Bode e Estabilidade Relativa

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DIAGRAMA DE BODE
ESTABILIDADE RELATIVA 
Prof: Almir Kimura Junior
EST – Escola Superior de Tecnologia
UEA – Universidade do Estado do Amazonas 
Manaus, Brasil
 
INTRODUÇÃO
As funções de transferência que não possuem pólos nem zeros no semiplano direito do plano s são funções de transferência de fase mínima, enquanto as que possuem pólos e/ou zeros no semiplano direito do plano s são funções de transferência de fase não mínima.
A estabilidade relativa se refere ao grau de estabilidade do sistema, ou seja, quão estável é o sistema expresso na forma quantitativa.
A estabilidade relativa da a idéia de quão próximo ou distante está o sistema do limite de estabilidade.
A Estabilidade Relativa de um sistema é analisada mediante a Margem de Ganho e a Margem de Fase.
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DEFINIÇÕES
Margem de Ganho é a quantidade de ganho que se pode aumentar ao sistema para levá-lo ao limite de estabilidade, pelo que se expressa mediante a diferença do Módulo de G(j)H(j) com 1 (0dB) quando a fase é –1800.
A Margem de Fase é a quantidade de fase negativa que se pode adicionar ao sistema para levá-lo ao limite de estabilidade, pelo que se expressa mediante a diferença da fase do sistema com –1800 quando o módulo é 1(0dB).
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COMO PODE SER VISTO NO DIAGRAMA DE BODE?
Devem-se examinar as características de amplitude e de fase nas freqüências de cruzamento em 0 dB e em -1800.
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COMENTÁRIOS
Como se pode ver no gráfico, a condição se da em duas freqüências, 1 que se denomina freqüência de cruzamento de ganho e 2 que é a freqüência de cruzamento de fase. 
Para um sistema estável, a fase para 1 deverá ser menos negativa que –1800, e de igual forma, a amplitude em 2 deve ser menor que 0dB.
Um sistema que esteja na condição limite de estabilidade a freqüência de cruzamento de ganho e a freqüência de cruzamento de fase são coincidentes. 
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SISTEMA ESTÁVEL
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LIMITE DE ESTABILIDADE
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SISTEMA INSTÁVEL
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ANÁLISE DE ESTABILIDADE POR MEIO DO DIAGRAMA DE BODE
Para analisar a estabilidade dos sistemas de controle pelo diagrama de Bode, deve-se realizar a análise referente a 0dB e -1800, as quais correspondem ao limite da estabilidade.
Se o sistema tem uma fase maior (negativamente) que -1800 para uma amplitude de 0dB o sistema é instável, se sua fase é menor (negativamente) quando o gráfico de amplitude corta 0dB o sistema é estável.
A característica em freqüência permite, além disso, analisar a estabilidade relativa do sistema, mediante a Margem de Ganho e a Margem de Fase.
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COMENTÁRIOS
É importante notar que apenas a margem de ganho ou a margem de fase não fornece a indicação suficiente sobre a estabilidade relativa do sistema. Ambas devem ser fornecidas para a determinação da estabilidade relativa.
Para um sistema de fase mínima, as margens de ganho e de fase devem ser positivas para que o sistema seja estável. Margens negativas indicam instabilidade. 
Para a obtenção de um desempenho satisfatório, a margem de fase deve estar entre 300 e 600 e a margem de ganho deve ser maior que 6dB.
Com esses valores, um sistema de fase mínima tem estabilidade garantida, mesmo que o ganho de malha aberta e as constantes de tempo dos componentes variem dentro de certos limites.
Embora as margens de fase e de ganho forneçam apenas estimativas aproximadas do coeficiente de amortecimento efetivo do sistema de malha fechada, elas fornecem meios convenientes para o projeto de sistemas de controle ou do ajuste de constantes de ganho do sistema.
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EXEMPLO
Para o sistema de controle abaixo, determinar o ganho para que o ess a entrada do tipo degrau unitário seja igual ou menor que 0,091, e analisar a estabilidade relativa do sistema com esse ganho calculado.
Solução
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EXEMPLO
A função de transferência obtem-se:
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EXEMPLO
O diagrama de Bode é mostrado na figura abaixo 
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CONCLUSÃO
Do gráfico se obtém: MG = 2,02 dB e MF = 7,110 Este sistema, com o ganho que satisfaz o requerimento de exatidão, e está próximo do limite de estabilidade.
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PROGRAMA NO MATLAB
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ANÁLISE DOS GRÁFICOS DE BODE: REGIÃO DE ESTABILIDADE.
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