Atividade 5

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
FUNC¸O˜ES REAIS
Atividade 5: Limites e Continuidade de Func¸o˜es
Todas as suas afirmac¸o˜es devem ser justificadas.
1. Seja F (x) = |x− 4|. Calcule os limites indicados se existirem:
(a) lim
x−→4−
F (x)
(b) lim
x−→4+
F (x)
(c) lim
x−→4
F (x).
Esboce o gra´fico de F (x).
2. Seja f(x) = 2 + |5x− 1|. Calcule os limites indicados se existirem:
(a) lim
x−→ 15−
f(x)
(b) lim
x−→ 15+
f(x)
(c) lim
x−→ 15
f(x).
Esboce o gra´fico de f(x).
3. Calcule os limites:
(a) lim
x−→−1
x3 + 1
x2 − 1
(b) lim
t−→−2
t3 + 4t2 + 4t
(t+ 2)(t− 3)
(c) lim
x−→2
x2 + 3x− 10
3x2 − 5x− 2
(d) lim
x−→−1
x2 + 6x+ 5
x2 − 3x− 4
(e) lim
x−→−1
x2 − 1
x2 + 3x+ 2
(f) lim
x−→2
x2 − 4
x− 2
(g) lim
x−→2
x2 − 5x+ 6
x2 − 12x+ 20
(h) lim
t−→0
(4 + t)2 − 16
t
(i) lim
t−→0
√
25 + 3t− 5
t
.
(j) lim
h−→1
√
h− 1
h− 1
(k) lim
x−→4
3−√5 + x
1−√5− x
4. Determine todos os valores de x para os quais a func¸a˜o dada na˜o e´ cont´ınua.
(a) f(x) = 3x2 − 2x+ 9.
(b) f(x) = x4 − x2.
(c) f(x) =
x+ 1
x− 1 .
(d) f(x) =
3x+ 3
x+ 1
.
(e) f(x) =
x2 − 4
x− 2 .
(f) f(x) =
3x− 2
(x+ 3)(x− 6) .
(g) f(x) =
x
x2 − 2x.
(h) f(x) =
x2 − 2x+ 1
x2 − x− 2 .
(i) f(x) =
 x2 para x ≤ 29 para x > 2 .
(j) f(x) =
 2x+ 3 para x ≤ 16x− 1 para x > 1 .
(k) f(x) =
 3x− 2 para x < 0x2 + x para x ≥ 0 .
5. Verifique se a func¸a˜o dada e´ cont´ınua no(s) valor(es) indicado(s).
(a) f(x) = 5x2 − 6x+ 1 em x = 2.
(b) f(x) = x3 − 2x2 + x− 5 em x = 0.
(c) f(x) =
x+ 2
x+ 1
em x = 1 e x = 0.
(d) f(x) =
2x+ 1
3x− 6 em x = 2 e x = 1.
(e) f(x) =
√
x− 2
x− 4 em x = 2 e x = 4.
(f) f(x) =
 x+ 1 para x ≤ 22 para x > 2 em x = 2.
(g) f(x) =
 x2 + 1 para x ≤ 32x+ 4 para x > 3 em x = 3.
(h) f(x) =

x2 − 1
x+ 1
para x < −1
x2 − 3 para x ≥ −1
em x = −1.
6. Determine κ para que a func¸a˜o dada seja cont´ınua em um ponto dado. Justifique.
(a) f(x) =

x2 − 4
x− 2 , se x 6= 2
κ, se x = 2
em x0 = 2.
(b) f(x) =

x2 − x
x
, se x 6= 0
κ, se x = 0
em x0 = 0.
7. Calcule os limites:
(a) lim
x−→+∞(x
2 − x)
(b) lim
x−→+∞(3x
3 + 4x2 − 1)
(c) lim
x−→+∞(5− 4x+ x
2 − x5)
(d) lim
x−→−∞(3x
3 + 2x+ 1)
(e) lim
x−→+∞
1
x2
(f) lim
x−→−∞
1
x3
(g) lim
x−→+∞
(
2− 1
x
+
4
x2
)
(h) lim
x−→−∞
(
5 +
1
x
+
3
x2
)
(i) lim
x−→+∞
(
2− 1
x
)
(j) lim
x−→+∞
2x+ 1
x+ 3
(k) lim
x−→−∞
2x+ 1
x+ 3
(l) lim
t−→+∞
t+ 1
t2 + 1
(m) lim
x−→−∞
x3 − 2x+ 1
x2 − 1
(n) lim
x−→−∞
5x3 − x2 + x− 1
x4 + x3 − x+ 1
8. Se 2x ≤ g(x) ≤ x4 − x2 + 2 para todo x, avalie lim
x−→1
g(x).
9. Demostre que lim
x−→0
x4cos
2
x
= 0.