Aula 2 Cap 3

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30/07/2018
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Capítulo 3 – Equação Fundamental das Máquinas de Fluxo
Associação Beneficente da Indústria Carbonífera de Santa Catarina
Curso de Engenharia Mecânica
30528 – Máquinas de Fluxo
Prof. Elvys Mercado Curi
Prof. Fabyo Luiz Pereira
“Se tens que lidar com água consulta 
primeiro a experiência depois a razão”
Leonardo Da Vinci
São uma forma geométrica de expressar a equação
vetorial que relaciona o movimento relativo com o
movimento absoluto das partículas de fluido que
percorrem o rotor de uma máquina de fluxo.
●É indispensável para o estudo simplificado do complexo
escoamento através das máquinas de fluxo.
●Inicialmente, imagine uma situação de chuva torrencial,
cuja representação é mostrada na figura abaixo, e se
identificam os seguintes vetores velocidade:
●c → Velocidade das partículas de água incidindo no chão,
percebida por um observador fixo (sistema absoluto).
●u → Velocidade de deslocamento de um automóvel onde
está um observador em movimento (sistema relativo).
●w → Velocidade das partículas de água incidindo no
automóvel, percebida pelo observador em movimento
(sistema relativo).
●Nas máquinas de fluxo em geral (exceto para hélices de 
embarcações e de aeronaves), a equação acima rege a 
construção do chamado triângulo de velocidades.
●Observando a figura, facilmente se verifica que, 
vetorialmente, tem-se:
� = � + � �
Triângulo de Velocidades
(Sistema Relativo)
(s
is
te
m
a
 A
b
so
lu
to
)
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Considere a corrente fluida que circula através do rotor 
de um ventilador centrífugo, representado na figura.
Atribuem-se os seguintes índices subscritos a estes 
vetores e seus componentes:
●3 → Ponto imediatamente antes da entrada do rotor.
●4 → Ponto imediatamente depois da entrada do rotor.
●5 → Ponto imediatamente antes da saída do rotor.
●6 → Ponto imediatamente depois da saída do rotor.
Triângulo de Velocidades
Em quaquer ponto do rotor, denomina-se:
●u → Velocidade tangencial do dito ponto.
●c → Velocidade absoluta da corrente fluida.
●w → Velocidade relativa da corrente fluida.
●α → Ângulo formado pelos sentidos positivos de u e c.
●β → Ângulo formado pelo sentido positivo de w e pelo 
sentido negativo de u. Recomenda-se na faixa de 15 a 
25° para bombas centrífuga
Esta convenção vale tanto para máquinas de fluxo 
geradoras quanto para máquinas de fluxo motoras.
Considerando que o ventilador é constituído de um número 
infinito de pás, tem-se que:
●O fluxo através do rotor será unidimensional.
●A corrente fluida será tangente às pás.
Escoamento através do rotor de uma máquina de fluxo Geradora.
Triângulo de Velocidades
Pás são construídas para evitar qualquer choque do fluido por 
mudança brusca de direção, pois isto causaria:
●Descolamento da veia fluida.
●Formação de vórtices (dissipam energia).
●Para tal, a composição de c4 com u4 deve satisfazer a equação 
(1) e dar a w4 uma direção tangente à parte inicial da pá. 
� = � + � �
Definem-se, então, os seguintes ângulos:
●Ângulo de inclinação das pás na entrada do rotor → β4, 
formado por w4 e -u4.
●Ângulo de inclinação das pás na saída do rotor → β5, formado 
por w5 e -u5.
●Ângulo de direção do fluido na entrada do rotor → α4, formado 
por u4 e c4.
●Ângulo de direção do fluido na saída do rotor → α5, formado 
por u5 e c5.
Escoamento através do rotor de uma máquina de fluxo Geradora.
Escoamento através do rotor de uma máquina de fluxo motora.
��
�
�
β�� ��α
�
�� Ângulo da páÂngulo de direção do fluído
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Trajetórias do Fluido:
●Relativa (observador se movimenta solidário 
ao rotor) → Acompanha a curva AEB.
●Absoluta (observador fixo à carcaça) → 
Acompanha a curva AE'B'.
●O ângulo θ corresponde ao arco EE', e é 
dado por:
●Onde ω é a velocidade angular e t é o 
tempo necessário para o ponto E se deslocar 
até E'.
●Se houver um sistema diretor após o rotor, 
as pás deste sistema deverão ter um ângulo 
de inclinação na entrada coincidente a α5, 
para coletar o fluido sem causar choque por 
mudança brusca de direção.
●Da mesma forma, a inclinação das pás de 
um sistema diretor instalado antes do rotor 
de uma máquina de fluxo motora 
determinará a direção (ângulo) com que o 
fluido entrará no rotor.
Sistema 
diretor
Escoamento através do rotor de uma máquina de fluxo Geradora.
Trajetoria relativa do fluido 
A E
B
A
E’
B
Trajetoria absoluta do fluido 
Triângulo de Velocidades
Escoamento através 
do rotor de uma 
máquina de fluxo 
geradora (bomba 
centífuga).
Escoamento 
através do rotor 
de uma máquina 
de fluxo motora 
(turbina 
centrífuga).
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Triângulo de Velocidades
Na figura ao lado, se identificam os seguintes vetores:
●cu → Componente tangencial da velocidade absoluta (ligada
à energia específica intercambiada entre rotor e fluido).
●cm → Componente meridiana da velocidade absoluta
(ligada à vazão da máquina por meio da equação da continuidade).
●wu → Componente tangencial da velocidade relativa.
● Velocidade tangencial: �� = �. ��. � e �� = �. ��. �
Equação da continuidade:
� = �. ��
A área é dada por:
Máquinas radiais:
� = �. �. �
Máquinas axiais:
� =
�
�
��
� − ��
�
Máquinas de fluxo misto:
� = �.
�����
�
. �
Giro inverso
��
�
�
β�� ��α
�
��
Rotor Radial
Rotor Axial
Rotor de Fluxo Misto
Equação Fundamental para Rotor com Número Infinito de Pás
Considere uma máquina de fluxo geradora radial com:
●Rotor com no infinito de pás.
●Escoamento em regime permanente.
●Transformações sem perdas energéticas.
Isto significa que a a máquina é ideal, e também que:
●O escoamento é unidimensional e sem atrito.
●A vazão mássica é constante.
Pela equação de Bernoulli, a energia recebida pelo
fluido ao interagir com as pás pode aumentar:
●Sua energia de pressão estática (termodinâmica).
●Sua energia de velocidade (pressão dinâmica).
●Sua energia potencial.
�
�
+
��
�
+ �� = ��� → � + �
��
�
+ ��� = ���
A conversão pode ocorrer sob todas as formas de 
energia citadas, ou apenas sob uma delas, sendo que a 
variação de energia potencial será desprezada.
●Definições:
●Pressão estática → É a pressão em um ponto de um fluido.
●Pressão dinâmica → É a energia cinética por unidade de 
volume em um fluido.
●Pressão total → Soma das pressões estática e dinâmica.
Bomba hidráulica
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Equação Fundamental para Rotor com Número Infinito de Pás
Energia específica de pressão estática que o fluido 
recebe ao passar pelo rotor:
●Originada da combinação de dois efeitos 
fluidodinâmicos, é dada por: 
���� =
�� − ��
�
=
��
� − ��
�
�
+
��
� − ��
�
�
Onde: 
��
����
�
�
→ Decorre da ação da força centrífuga provocada 
pela diferença de velocidades tangenciais (gera 
depressão na entrada).
��
����
�
�
→ Decorre da transformação da energia de 
velocidade em energia de pressão estática, devido à 
diminuição da velocidade relativa.
Energia específica de pressão dinâmica que o fluido 
recebe ao passar pelo rotor:
●Originada devido à diferença das velocidades absolutas 
na entrada e saída do rotor, é dada por:
●���� =
��
����
�
�
Energia total entregue ao fluido (equação fundamental para 
máquinas de fluxo geradoras):
●Dada pela soma das energias específicas de pressão estática e 
dinâmica:
��á� = ���� + ���� → ��á� =
��
����
�
�
+
��
����
�
�
+
��
����
�
�
�
●Onde: Ypá∞ → Energia ou trabalho específico intercambiado 
nas pás do rotor, suposto com número infinito de pás [J/kg].
u4u5
c4
c5
w4
w5
Equação Fundamental para Rotor com Número Infinito de Pás
Energia total recebida do fluido (equação 
fundamental para máquinas de fluxo motoras):
��á� = ���� + ���� → ��á� =
��
����
�
�
+
��
����
�
�
+
��
����
�
�
●Onde:
●Energia específica de pressão estática que o fluido 
entrega ao passar pelo rotor:
●���� =
�����
�
=
��
����
�
�
+
��
����
�
�
●Energia específica de pressão dinâmica que o fluido 
entrega ao passar pelo rotor:
���� =
��
����
�
�
●Considerando o triângulo de velocidades e as relações 
trigonométricas:
●Da lei dos cossenos:
�� = �� + �� − �. �. �. ���� 
●Entretanto, se identifica que:
�� = �. ����
●Logo, tem-se: �� = �� + �� − �. �. ��
●Assim, na entrada e na saída do rotor, tem-se que:
��
� = ��
� + ��
� − �. ��. ��� �
 
��
� = ��
� + ��
� − �. ��. ��� �
��
�
�
β�� ��α
�
��
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Equação Fundamental para Máquinas de Fluxo 
Geradoras na forma da Equação de Euler:
●Pode-se obter a equação de Euler, que é a forma mais 
empregada da equação fundamental para máquinas de 
fluxo geradoras, levando as equações (3) e (4) na 
equação (2):
��á� =
��
����
�
�
+
��
����
�
�
+
��
����
�
�
�
��
� = ��
� + ��
� − �. ��. ��� �
��
� = ��
� + ��
� − �. ��. ��� �
��á� =
��
����
�
�
+
��
����
�
�
+
��
����
�
�
●��á� =
��
����
�
�
+
��
����
���.��.��� � ��
����
���.��.���
�
+
��
����
�
�
●��á� =
�.��.�����.��.���
�
→ ��á� =
�. ��.������.���
�
●��á� = ��. ��� − ��. ��� �
Equação Fundamental para Rotor com Número Infinito de Pás
●Onde Ypá∞ → Salto energético ou trabalho específico 
fornecido pelas pás do rotor ao fluido, considerando que o 
rotor possui um número infinito de pás [J/kg].
Equação Fundamental para Máquinas de Fluxo 
Motoras na forma da Equação de Euler:
●De forma análoga, se obtém a equação de Euler para 
máquinas de fluxo motoras:
��á� = ��. ��� − ��. ��� �
●Onde Ypá∞ → Salto energético ou trabalho específico 
fornecido pelo fluido às pás do rotor, considerando que o 
rotor possui um número infinito de pás [J/kg].
��
�
�
β�� ��α
�
��
Simplificações para algumas máquinas de fluxo:
●Turbinas hidráulicas (Máquinas de Fluxo Motoras):
●Procura-se evitar a componente de velocidade de giro na saída 
do rotor, para reduzir as perdas por atrito no tubo de sucção.
●Isto é obtido quando cu5 = 0, ou seja, quando α5 = 90
o, e neste 
caso a equação (6) fica:
●��á� = ��. ���
●Bombas e ventiladores centrífugos (Máquinas de Fluxo 
Geradoras):
●Para máquinas de fluxo geradoras desprovidas de pás diretrizes 
antes do rotor, como no caso 
de bombas e ventiladores centrífugos, o fluido chega ao bordo 
de ataque com α4 = 90
o.
●Isto faz com que cu4 = 0, e neste caso a equação (5) fica:
●��á� = ��. ���
Equação Fundamental para Rotor com Número Infinito de Pás
Máquina 
Geradora 
(Bomba)
α4 = 90
o.
Máquina 
Motora 
(Turbina)
α5 = 90
o
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Equação Fundamental para Rotor com Número Infinito de Pás
Fator de Deficiência de Potência:
Máquina de Fluxo Motora Real:
Em uma máquina de fluxo motora real:
●O número de pás é finito.
●A corrente fluida segue o contorno das pás sem desprendimentos 
notáveis.
●A teoria unidimensional conduz a resultados que concordam com 
os experimentos.
●Logo, nenhuma correção é necessária e pode-se adotar:
��á = ��á� � ��á = ��á�
●Onde:
Ypá → Energia ou trabalho específico intercambiado no rotor com 
número finito de pás [J/kg].
Ppá → Potência intercambiada no rotor com número finito de pás 
[W].
Máquina de Fluxo Geradora Real:
Em uma máquina de fluxo geradora real, com 
número finito de pás:
●A energia que o rotor entrega ao fluido é menor que 
aquela para um rotor ideal.
●É necessário um fator de correção que considere tal 
diferença, o chamado fator de deficiência de potência 
(μ), sempre menor ou igual a 1, e que aumenta com 
o aumento do número de pás do rotor.
●Assim, para máquinas de fluxo geradoras reais:
��á = �. ��á� � ��á = �. ��á�
Equação Fundamental para Rotor com Número Infinito de Pás
●Da definição:
��á = ���� + ���� → ���� = ��á − ����
●Assim, o grau de reação também pode ser dado por:
�� =
������
��á
→ �� = � −
����
��á
●O grau de reação teórico normalmente assume 
valores entre 0 e 1, mas pode ser < 0 ou > 1, e serve 
para classificar as máquinas de fluxo em:
●Máquinas de Fluxo de Ação → ρt = 0.
●Máquinas de Fluxo de Reação → ρt ≠ 0.
Grau de Reação Teórico:
Quando um fluido passa por uma máquina de fluxo, a 
fração de energia que é intercambiada na forma de 
pressão estática é importante para classificar as máquinas 
como sendo de ação ou reação.
Grau de reação:
●Definido como a razão entre a variação de energia de 
pressão estática e a variação total de energia no rotor.
●Depende fortemente de parâmetros construtivos como a 
forma das pás e o grau de admissão.
●Quando o escoamento é ideal (sem perdas), esta 
grandeza é chamada de grau de reação teórico:
�� =
����
��á
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Equação Fundamental para Rotor com Número Infinito de Pás
Para máquinas de fluxo que trabalham com fluidos 
compressíveis:
Exemplo → Turbinas a vapor.
●Define-se o grau de reação teórico como a razão entre o
salto entálpico no rotor e a variação total de entalpia na
máquina, considerando as transformações como sendo
isentrópicas:
�� =
�������
������
Onde:
ha → Entalpia do fluido na admissão da máquina [J/kg].
h4s → Entalpia do fluido na entrada do rotor [J/kg].
h5s → Entalpia do fluido na saída do rotor [J/kg].
É frequente:
●Numa mesma máquina de vários estágios, misturar 
estágios de ação e de reação.
●Fazer com que em um mesmo estágio o grau de reação 
varie da entrada para a saída
Entalpia na admissão 
da máquina
Entalpia na entrada 
do rotor
Entalpia na saída 
do rotor
Numerador
Denominador
Pressão na entrada
Pressão na saída
Entropia
Entalpia
Pressão na admissão
Temperatura de admissão
Escoamento através do rotor de uma máquina de 
fluxo geradora (bomba centífuga).
Escoamento através do rotor de uma máquina de 
fluxo motora (turbina centrífuga)
Saída da bomba 5
Raio maior r5
Entrada da bomba 4
Raio menor r4
Saída da turbina 5
Raio menor r5
α = 90°
α = 90°
Entrada da turbina 4
Raio maior r4 (Ideal)
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Equação da continuidade Máquinas radiais Máquinas axiais Máquinas de fluxo misto
� = �. �� � = �. �. � � =
�
�
��
� − ��
�
� = �.
�� + ��
�
. �
Pressão Estática Pressão Dinâmica Pressão Total
Pressão em um ponto de um fluido da 
maquina geradora
Energia cinética por unidade de 
volume em um fluido
Soma das pressões estática e dinâmica
���� =
�� − ��
�
=
��
� − ��
�
�
+
��
� − ��
�
�
���� =
��
� − ��
�
�
��á� = ���� + ����
��á� =
��
����
�
�
+
��
����
�
�
+
��
����
�
�
��á� = ��. ��� − ��. ���
Máquina Geradora Máquina Motora
��á� = ��. ��� − ��. ���
�� ⊥ ��� → ��. ��� = 0
��á� = ��. ���
��á� = ��. ��� − ��. ���
�� ⊥ ��� → ��. ��� = 0
��á� = ��. ���
Bomba Centrifuga Turbina Radial – Fluxo invertido
A1 A2
cm1
cm2
Rotor Radial Rotor Axial Rotor de Fluxo Misto
Máquina 
Motora 
(Turbina)
Máquina 
Geradora 
(Bomba)
Problema 3: Considere uma bomba 
centrífuga que apresenta escoamento com 
entrada radial e que possui as seguintes 
características: o diâmetro interno é 100 
mm, a largura da pá na entrada é 20 mm, o 
ângulo da pá na entrada é 45° e a rotaçãode trabalho é 1550 rpm.
Determine o triângulo de velocidades na 
entrada da bomba (α4; c4; cm4; cu4; w4; wm4; 
wu4; u4), e a vazão.
Solução
Dados:
Bomba centrífuga; Máquina geradora
Entrada radial; α4=90°
Dint = 100 mm; D4 = 0,1 m
Largura da pá 20 mm; b = 20 mm; b = 0,02 m
Ângulo da pá na entrada 45°; β4 = 45°
N = 1550 rpm; n=1550/60; n = 25,83 rps
Pergunta:
u4; c4; cm4; w4; wm4; wu4 e β4 =?
Entrada radial
��
�
�
β
��=0
��=�
α
�
��
�� �
�
β�� ��α
�
��
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Problema 3: Considere uma bomba 
centrífuga que apresenta escoamento com 
entrada radial e que possui as seguintes 
características: o diâmetro interno é 100 
mm, a largura da pá na entrada é 20 mm, o 
ângulo da pá na entrada é 45° e a rotação 
de trabalho é 1550 rpm.
Determine o triângulo de velocidades na 
entrada da bomba (α4; c4; cm4; cu4; w4; wm4; 
wu4; u4).
Solução
Dados:
α4=90°
D4=0,1m
b=0,02m
β4=45°
n=25,83rps
Do Triângulo 
de velocidade
cu4=0;
cm4=wm4=c.
1.- Cálculo da velocidade tangencial u (velocidade relativa):
�� = �. � → �� = 2. �. � ×
��
�
→ �� = �. �. ��
�� = � × 25,83 × 0,1 → ��= 8,11 � �⁄
2.- Cálculo da velocidade absoluta c, do triângulo retângulo de 
velocidades e β=45° temos:
��� �� =
��
��
→ ��� 45° =
��
��
→ 1 =
��
��
→ �� = �� → ��=8,11m/s 
3.- Cálculo da velocidade relativa w, do triângulo retângulo de 
velocidades e β=45° temos:
��
� = ��
� + ��
�→ � = 8,11� + 8,11�
�
→ � =11,48m/s 
Componente tangencial de velocidade absoluta: ��� = 0; 
Componente tangencial de velocidade relativa: ��� = 8,11 � �⁄
Componente meridiana da velocidade absoluta: ��� = 8,11
�
�
Componente meridiana da velocidade relativa: ���= 8,11 � �⁄
��
�
�
β
��=0
��=�
α
�
��
αβ
�
Problema 4: Considere uma bomba centrífuga 
que trabalha com velocidade de rotação de 
2500 rpm. São conhecidas as seguintes 
características técnicas na entrada do rotor: o 
diâmetro é de 120 mm, o ângulo de direção do 
fluido é de 77o, a componente tangencial da 
velocidade absoluta é de 2,56 m/s. Sabendo 
que a vazão de água é de 0,1 m3/s, determine o 
triângulo de velocidades na entrada do rotor 
(u4; c4; cm4; w4; wm4; wu4 e β4) e a largura das 
pás na entrada do rotor.
Solução
Dados:
Bomba centrífuga; Máquina geradora
n= 2500 rpm; n=2500/60; n=41,66rps
Dent = 120 mm; D4=0,12m
Ângulo de entrada do fluido: α4=77°
Componente tangencial da velocidade 
absoluta cu4= 2,56 m/s;
Vazão Q=0,1 m3/s;
u4; c4; cm4; w4; wm4; wu4 e β4 =?
b=?
cu4= 2,56 m/s
n=41,66rps
D4=0,12m
α
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1.- Cálculo da velocidade absoluta:
��� �� =
���
��
→ �� =
���
��� ��°
→ �� =
�,��
��� ��°
→ �� = 11,38 � �⁄
2.- Cálculo das velocidades meridianas:
�� �� =
���
���
→ ��� = ���. ��� 77° → ��� = 2,56. ��� 77°
��� = 11,09 � �⁄ ; 
��� = 11,09 � �⁄ ;
3.- Cálculo da velocidade tangencial u:
�� = �. �. �� → �� = � × 41,6 × 0,12 → �� = 15,71 � �⁄
4.- Cálculo da velocidade tangencial relativa wu4:
��� = �� − ��� → ��� = 15,71 − 2,56 → ��� = 13,14 � �⁄
5.- Cálculo do ângulo β:
�� �� =
���
���
→�� = ��
�� ���
���
→ �� = ��
�� ��,��
��,��
→ �� = 40,5°
6.- Cálculo da velocidade relativa w4:
��
� = ���
� + ���
� → �� = 13,14
� + 11,09�
�
→�� = 17,2 � �⁄
7.- Cálculo da largura da pá:
� = ���. � → � = ���. �. ��. � → � =
�
���.�.��
� =
�,�
��,��.�.�,�� 
→ b=0,024m 
Problema 4: Considere uma bomba centrífuga 
que trabalha com velocidade de rotação de 
2500 rpm. São conhecidas as seguintes 
características técnicas na entrada do rotor: 
o diâmetro é de 120 mm, o ângulo de direção 
do fluido é de 77o, a componente tangencial 
da velocidade absoluta é de 2,56 m/s. 
Sabendo que a vazão de água é de 0,1 m3/s, 
determine o triângulo de velocidades na 
entrada do rotor (u4; c4; cm4; w4; wm4; wu4 e β4) 
e a largura das pás na entrada do rotor.
Solução
Dados:
Máquina geradora;
n=41,66rps;
D4=0,12m;
α4=77°;
cu4= 2,56 m/s;
Q=0,1 m3/s;
u4; c4; cm4; w4; wm4; wu4 e β4 =?
b=?
α=77°
=2,56
β°
Problema 5: No rotor de uma bomba 
centrífuga, o diâmetro externo é 250 mm, a 
largura da pá na saída é 25 mm e o ângulo 
da pá na saída é 40o. Sabendo que a vazão 
volumétrica de fluido na saída do rotor é 
0,1 m3/s, e que a componente tangencial 
da velocidade absoluta na saída do rotor é 
5,78 m/s. A velocidade absoluta na de 
entrada é radial. Determine:
a) O triângulo de velocidades na saída (c5; 
cm5; α5; w5; wm5; wu5 e u5);
b) A velocidade de rotação do rotor;
c) Energia especifica para pá∞ e sua 
potência da bomba para ηt=1.
Solução
Dados:
Bomba centrífuga; Máquina geradora
De=250mm; De=0,250m
Largura da pá 25 mm; b=25mm; b=0,025m
Β5 = 40°;
Q=0,1 m3/s;
Velocidade absoluta tangencial cu5=5,78 m/s;
Entrada radial; α4=90°
Pergunta
u5; c5; cm5; w5; w5; wu5 e α5 =? n=?
Cm5
Cu5
β5
Cálculo da velocidade absoluta meridiana Cm5: 
� = �. ��� → ��� =
�
�
Cálculo da área: � = ���. �� → � = � × 0,25 × 0,025 → � = 0,019 �
�
Velocidade absoluta meridiana: ��� =
�,�
�,����
→ ��� = 5,09 � �⁄
Velocidade absoluta: �� = ���
� + ���
�� → �� = 5,09
� + 5,78 �
�
�� = 7,7
�
�
Ângulo de saída: �� = ���
�� ���
��
→ �� = ���
�� �,��
�,�
→ �� = 41,38°
Velocidade wu5: ��� =
���
�� ��
→ ��� =
�,��
�� ��°
→ ��� = 6,07 � �⁄
Velocidade meridiana relativa wm5: ��� = ��� → ��� = 5,09 � �⁄
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Velocidade relativa w5: �� = ���
� + ���
�� → �� = 5,09
� + 6,07 �
�
�� = 7,92 � �⁄
Velocidade tangencial u5: �� = ��� + ��� → �� = 6,07 + 5,78 → �� = 11,85 � �⁄
Velocidade de rotação: �� = �. ��
�
��
→ � =
��.��
�.��
→ � =
����,��
��,��
� = 900 ��� Rta. b)
Energia específica: ��á� = ��. ��� − ��. ���
Na entrada ��� = 0 por ter entrada radial ou seja �� = 90°
��á� = ��. ��� → ��á� = 11,85 × 5,78 → ��á� = 68,49 � �⁄ �
Cálculo da potência: � = ��� e �� =
���
��
� = ��. �� se �� = 1 → � = �� e � = ��� = ����á�
� = 1000 × 0,1 × 68,49 → � = 6849 � Rta. c)
Problema 5: No rotor de uma 
bomba centrífuga, o diâmetro 
externo é 250 mm, a largura da pá 
na saída é 25 mm e o ângulo da pá 
na saída é 40o. Sabendo que a 
vazão volumétrica de fluido na 
saída do rotor é 0,1 m3/s, e que a 
componente tangencial da 
velocidade absoluta na saída do 
rotor é 5,78 m/s. A velocidade 
absoluta na de entrada é radial. 
Determine:
a) O triângulo de velocidades na 
saída (c5; cm5; α5; w5; wm5; wu5 e u5);
b) A velocidade de rotação do 
rotor;
c) Energia especifica para pá∞ e 
sua potência da bomba para ηt=1.
Prob. 6: Considere uma bomba centrífuga 
que trabalha com velocidade de rotação de 
1750 rpm. São conhecidas as seguintes 
características técnicas na entrada do rotor: 
o diâmetro é de 150 mm, o ângulo de direção 
do fluido é de 60o, a componente tangencial 
da velocidade relativa é de 6,87 m/s e a 
largura das pás é de 15 mm. Determine:
a) O triângulo de velocidades na entrada do 
rotor (c4; e β4) 
b) A vazão volumétrica de fluido. 
Solução
Dados:
Bomba centrífuga; máquina geradora;
n=1750 rpm;
Entrada do rotor; D4=150 mm; 
D4=0,150 m;
Ângulo de direção do fluido; α4=60°;
Componente tangencial da velocidade 
relativa; wu4=6,87 m/s;
Largura das pás; b=15 mm; b=0,015m;
Pergunta
Triângulo de velocidade c4=?; e β4=?;
Q=?.
u4
wu4
α4
1.- Cálculo da velocidade tangencial u4:
� =
��.�
��
→ � =
��,������
��
→ � = 13,74 � �⁄
2.- Cálculo da velocidade absoluta tangencial cu4:
��� = �� − ��� → ��� = 13,74 − 6,87 → ��� = 6,87 � �⁄
3.- Cálculo da velocidade absoluta c4:
��� �� =
���
��
→ �� =
���
�����
→ �� =
�,��
��� ��°
�� = 13,74 � �⁄ Rta: a1)
4.- Cálculo da velocidade absoluta meridiano cm4:
��� �� =
���
��
→ ��� = �� × ��� ��
��� = 13,74 × ��� 60° → ��� = 11,9 � �⁄
5.- Cálculo do ângulo β4:
��� �� =
���
���
→ ��� �� =
��,�
�,��
�� = ���
�� ��,�
�,��
→ �� = 60° Rta: a2)
6.- Cálculo da vazão: 
� = �. �� → � = �. �. �. �� → � = � × 0,15 × 0,015 × 11,9
� = 0,084 �� �⁄ Rta: b)
30/07/2018
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Prob. 7: Considere uma bomba centrífuga 
que apresenta escoamento com entrada 
radial e que possui as seguintes 
características técnicas: o diâmetro interno 
(Di) é 50 mm e o externo (De) é 300 mm, a 
largura da pá na entrada (b4) é 18 mm e na 
saída (b5) é 12 mm, o ângulo da pá na 
entrada (β4) é 24° e na saída (β5) é 30°, e a 
bomba trabalha com rotação de 1750 rpm.
a) Determine a velocidade de w4 na 
entrada. 
b) Determine o ângulo α5 na saída. 
c) Determine a velocidade de c5 na saída. 
Solução
Dados
Entrada radial α4 = 90°;
Di = 50 mm → Di = 0,050 m;
De = 300 mm → De = 0,300 m;
b4 = 18 mm → b4 = 0,012 m;
β4 = 24°;
β5 = 30°;
n=1750 rpm;
Perguntas
a) w4=?; b) α5 =?; c) c5=?
Analise do fluxo na bomba
u4
β4
c4
w4
u5
w5
Di De
b
β4α4
c4 w4
u4 wu4
cm4
c5 w5
u5
wu5
cm5
β5α5
cu5
Prob. 7: Considere uma bomba centrífuga 
que apresenta escoamento com entrada 
radial e que possui as seguintes 
características técnicas: o diâmetro 
interno (Di) é 50 mm e o externo (De) é 300 
mm, a largura da pá na entrada (b4) é 18 
mm e na saída (b5) é 12 mm, o ângulo da 
pá na entrada (β4) é 24° e na saída (β5) é 
30°, e a bomba trabalha com rotação de 
1750 rpm.
a) Determine a velocidade de w4 na 
entrada. 
b) Determine o ângulo α5 na saída. 
c) Determine a velocidade de c5 na saída. 
1.- Cálculo da velocidade tangencial u4:
�� =
�.��.�
��
→ �� =
��,������
��
→ �� = 4,58 � �⁄
2.- Cálculo da velocidade relativa w4:
��� �� =
��
��
→ �� =
��
��� ��
→ �� =
�,�� 
�,����
�� = 5,015 � �⁄ Rta. a)
3.- Cálculo da velocidade absoluta meridiana cm4:
��� �� =
���
��
→ ��� = ��. ��� �� → ��� = 5,015 × ��� 24°
��� = 2,04 � �⁄
4.- Cálculo da vazão do fluxo:
� = �. �� e � = �. �. �
�� = �. ��. ��. ��� → �� = � × 0,05 × 0,018 × 2,04
�� = 0,0057 �
� �⁄ 
5.- Cálculo da velocidade absoluta meridiana cm5:
��� =
��
���.��
→ ��� =
�,����
�×�,�×�,��� → ��� = 0,5 � �
⁄
6.- Cálculo da velocidade tangencial u5:
�� =
�.��.�
��
→ �� =
��,�����
��
→ �� = 27,49 � �⁄
Solução
Dados
Entrada radial α4 = 90°;
Di = 50 mm → Di = 0,050 m;
De = 300 mm → De = 0,300 m;
b4 = 18 mm → b4 = 0,012 m;
β4 = 24°; β5 = 30°;
n=1750 rpm;
Perguntas
a) w4=?; b) α5 =?; c) c5=?
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7.- Triangulo de velocidade na saída:
8.- Cálculo da velocidade relativa tangencial wu5:
���� �� =
���
���
→ ��� = ���� �� . ��� → ��� = ���� 30 ° × 0,5
��� = 0,88 � �⁄
9.- Cálculo da velocidade absoluta tangencial cu5:
�� = ��� + ��� → ��� = �� − ��� → ��� = 27,49 − 0,88
��� = 26,60 � �⁄
10.- Cálculo do ângulo α5:
���� �� =
���
���
→ �� = atan
���
���
→ �� = atan
�,�
��,�
→
�� = 1,098° Rta. b)
11.- Cálculo da velocidade absoluta c5:
�� = ���
� + ���
�� → �� = 0,5
� + 26,6 �
�
→ �� = 26,61 � �⁄ Rta. c)
Prob. 7: Considere uma bomba centrífuga 
que apresenta escoamento com entrada 
radial e que possui as seguintes 
características técnicas: o diâmetro 
interno (Di) é 50 mm e o externo (De) é 300 
mm, a largura da pá na entrada (b4) é 18 
mm e na saída (b5) é 12 mm, o ângulo da 
pá na entrada (β4) é 24° e na saída (β5) é 
30°, e a bomba trabalha com rotação de 
1750 rpm.
a) Determine a velocidade de w4 na 
entrada. 
b) Determine o ângulo α5 na saída. 
c) Determine a velocidade de c5 na saída. 
Solução
Dados
Entrada radial α4 = 90°;
Di = 50 mm → Di = 0,050 m;
De = 300 mm → De = 0,300 m;
b4 = 18 mm → b4 = 0,012 m;
β4 = 24°; β5 = 30°;
n=1750 rpm;
Perguntas
a) w4=?; b) α5 =?; c) c5=?
c5 w5
u5
wu5
cm5
β5α5
cu5
Prob. 8: Considere as seguintes afirmações sobre 
máquinas de fluxo:
I – Em algumas ocasiões é difícil definir qual o 
melhor tipo de máquina para uma dada aplicação, 
pois o campo de aplicação das máquinas de fluxo é 
muito amplo e sujeito a regiões de superposição.
II – Uma turbina Francis lenta é classificada como 
uma máquina de fluxo geradora, de reação e radial.
III – Máquinas de fluxo são definidas como aquelas 
nas quais o fluido se encontra confinado em algum 
momento de sua passagem pela máquina.
IV – A turbina Kaplan é classificada como uma 
máquina de fluxo motora, de reação e axial.
V– As máquina de fluxo geradora com densidade 
constante e fluido confinado é uma máquina de 
reaçção.
VI – As máquinas compressiveis e alternativas de 
fluxo constante que funcionam com gas tem maior 
pressão que um ventilador axial.