Estatística e Probabilidade - 02. Espacos Amostrais Finitos

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Estat´ıstica e Probabilidade - ET586
2. Espac¸os Amostrais Finitos
Tsang Ing Rentir@cin.ufpe.br
2.1 Espac¸o Amostral Finito
• Experimentos para os quais o espac¸o amostral S seja formado de umnu´mero finito de elementos.
S = {a1, a2, ..., ak}.
• Para caracterizar P(A) para este modelo considerar o eventoformado por um resultado simples, ou denominado tambe´m de eventosimples ou elementar, A = {ai}.• Para cada {ai} associamos um nu´mero pi , denominado probabilidadede ai que satisfac¸a a`s seguintes condic¸o˜es:
(a) pi ≥ 0, i = 1, 2, ..., k ,
(b) p1 + p2 + ...+ pk = 1.
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2.1 Espac¸o Amostral Finito
• Suponha que o evento A seja constitu´ıdo por r resultados,
1 ≤ r ≤ k , .
A = {aj1 , aj2 , ..., ajr },Conclui-se da Propriedade 4 (cap´ıtulo anterior), que
P(A) = pj1 + pj2+, ...,+pjr ,
• Para avaliar os pi individuais, algumas hipo´teses referentes aosresultados individuais devem ser feitas.
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2.1 Espac¸o Amostral Finito
Exemplo 2.1Suponha que somente treˆs resultados sejam poss´ıveis em umexperimento, a1, a2 e a3. Ale´m disso, suponha que a1 seja duas vezesmais prova´vel de ocorrer que a2, o qual por sua vez e´ duas vezes maisprova´vel de ocorrer que a3.Portanto, p1 = 2p2, e p2 = 2p3. Ja´ que p1 + p2 + p3 = 1,temos que 4p3 + 2p3 + p3 = 1,o que finalmente da´:
p3 =
1
7 , p2 = 27 , p1 = 47
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2.2 Resultados Igualmente Veross´ımeis (Igualmenteprova´veis)
• A hipo´tese mais comum feita para espac¸os amostrais finitos e´ a deque todos os resultados sejam igualmente veross´ımeis.• Essa hipo´tese na˜o pode ser, contudo, tomada como segura; ela deveser cuidadosamente justificada.• Existem muitos experimentos para os quais tal hipo´tese e´assegurada.• Se todos os k resultados forem igualmente veross´ımeis, cadaprobabilidade sera´ pi = 1/k . Consequentemente,
p1 + p2 + ...+ pk = 1 torna-se kpi = 1 para todo i .
P(A) = r/k .
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2.2 Resultados Igualmente Veross´ımeis
Exemplo 2.2Um dado e´ lanc¸ado e todos os resultados se supo˜em igualmenteveross´ımeis. O evento A ocorrera´ se, e somente se, um nu´mero maior doque 4 aparecer, isto e´, A = {5, 6}.Consequentemente:
P(A) = 16 +
1
6 =
2
6
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2.2 Resultados Igualmente Veross´ımeis
Exemplo 2.3Uma moeda equilibrada e´ atirada duas vezes. Seja A o evento: { apareceuma cara }. Na avaliac¸a˜o de P(A), a ana´lise do problema poderia ser:
• O espac¸o amostral e´ S = {0, 1, 2} onde cada resultado representa onu´mero de caras que ocorre.• Portanto, seria encontrado P(A) = 1/3 (ERRADO).
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2.2 Resultados Igualmente Veross´ımeis
Exemplo 2.3• O espac¸o amostral considerado todos os resultados na˜o sa˜oigualmente veross´ımeis.• Devemos considerar o espac¸o amostral S ′ = {HH,HT ,TH,TT}• Neste espac¸o amostral todos os resultados sa˜o igualmenteveross´ımeis. Como soluc¸a˜o correta P(A) = 2/4 = 1/2.• Podemos empregar corretamente o espac¸o amostral S da seguintemaneira:• Os resultados 0 e 2 sa˜o igualmente veross´ımeis, enquanto que oresultado 1 e´ duas vezes mais prova´vel que qualquer um dos dois.Portanto P(A) = 1/2.
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2.2 Resultados Igualmente Veross´ımeis
Nos exemplos ja´ vistos tratamos da escolha ao acaso de um ou maisobjetos de uma dada colec¸a˜o de objetos. Definindo esta noc¸a˜o maisprecisamente. Suponha que se tenha N objetos, a1, a2, ..., aN .• (a) Escolher ao acaso um objeto, dentre N objetos, significa quecada objeto tem a mesma probabilidade de ser escolhido, isto e´:Prob (escolher ai ) = 1/N , i = 1, 2, ..,N .
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2.2 Resultados Igualmente Veross´ımeis
• (b) Escolher ao acaso dois objetos, dentre N objetos, significa quecada par de objeto (sem considerar a ordem) tem a mesmaprobabilidade de ser escolhido que qualquer outro par.• Devemos escolher ao acaso dois objetos dentre (a1, a2, a3, a4), obter
a1 e a2 e´ ta˜o prova´vel quanto escolher a2 e a3 etc.• Essa formulac¸a˜o levanta imediatamente a questa˜o de quantos paresdiferentes existem?• Suponha que existam K desses pares, enta˜o a probabilidade de cadapar seria 1/K .
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2.2 Resultados Igualmente Veross´ımeis
• (c) Escolher ao acaso n objetos (n ≤ N), dentre N objetos, significaque cada eˆnupla ai1 , ai2 , ai3 , ...ain , tem a mesma probabilidade de serescolhido quanto qualquer outra eˆnupla.
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2.3 Me´todos de Enumerac¸a˜o
Como enumerar?• Considere P(A) = r/k .• k e´ igual ao nu´mero total de maneiras pelas quais ε pode ocorrer.• r e´ igual ao nu´mero total de maneiras pelas quais A pode ocorrer.• A dificuldade se apresenta em como calcular r e k .• Necessidade de alguns procedimentos sistema´ticos de contagem ouenumerac¸a˜o.
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2.3 Me´todos de Enumerac¸a˜o
Exemplo 2.4Um conjunto de cem pec¸as e´ composta de 20 pec¸as defeituosas e 80pec¸as perfeitas. Dez dessas pec¸as sa˜o escolhidas ao acaso, semreposic¸a˜o de qualquer pec¸a escolhido antes que a seguinte sejaescolhido. Qual e´ a probabilidade de que exatamente metade das pec¸asescolhidas seja defeituosa?
• Qual o espac¸o amostral S? Cada elemento de S e´ constitu´ıdo de dezposs´ıveis pec¸as do conjunto, (i1, i2, .., i10).• Quantos resultados desses existem?• Dentre esses resultados, quantos teˆm a caracter´ıstica de queexatamente a metade das pec¸as seja defeituosa?• Muitos problemas semelhantes tem questo˜es ana´logas.• Te´cnicas sistema´ticas de enumerac¸a˜o
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2.3 Me´todos de Enumerac¸a˜o
A. Regra da Multiplicac¸a˜o• Suponha que um procedimento designado por 1 possa ser executadode n1 maneiras.• No segundo procedimento, designado por 2, possa ser executado de
n2 maneiras.• Suponha que cada maneira de executar 1 possa ser seguido porqualquer daquelas para executar 2• O procedimento formado por 1 seguido de 2 pode ser executado de
n1.n2 maneiras.
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2.3 Me´todos de Enumerac¸a˜o
A. Regra da Multiplicac¸a˜oConsiderar o seguinte tratamento sistema´tico:
• Considere um ponto P e duas retas L1 e L2.• O procedimento 1 consiste em ir de P ate´ L1.• O procedimento 2 consiste em ir deL1 ate´ L2.
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2.3 Me´todos de Enumerac¸a˜o
Exemplo 2.5Uma pec¸a manufaturada deve passar por treˆs estac¸o˜es de controle. Emcada estac¸a˜o, a pec¸a e´ inspecionada para determinada caracter´ıstica emarcada adequadamente. Na primeira estac¸a˜o, treˆs classificac¸o˜es sa˜oposs´ıveis, enquanto nas duas u´ltimas quatro classificac¸o˜es sa˜o poss´ıveis.Consequentemente, existem 3.4.4=48 maneiras pelas quais uma pec¸apode ser marcada.
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2.3 Me´todos de Enumerac¸a˜o
B. Regra da Adic¸a˜o• Suponha que um procedimento designado por 1 possa ser executadode n1 maneiras.• No segundo procedimento, designado por 2, possa ser executado de
n2 maneiras.• Suponha que na˜o seja poss´ıvel que ambos os procedimentos 1 e 2sejam realizados em conjunto.• O nu´mero de maneiras pelas quais podemos realizar ou 1 ou 2 sera´
n1 + n2.
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B. Regra da Adic¸a˜oConsiderar o seguinte tratamento esquema´tico:Tsang Ing Ren (CIn/UFPE) Estat´ıstica e Probabilidade - ET586 18 / 27
2.3 Me´todos de Enumerac¸a˜o
Exemplo 2.6Suponha que estamos planejando uma viagem e devemos escolher entre otransporte por oˆnibus ou por trem. Se existem treˆs rodovias e duasferrovias enta˜o existem 3+2 =5 caminhos dispon´ıveis para a viagem.
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2.3 Me´todos de Enumerac¸a˜o
C. Permutac¸o˜es e Arranjos• (a) Suponha que temos n objetos diferentes. De quantas maneiras
nPn podemos dispor (permutar) esses objetos?• Se tivermos os objetos a, b e c , podemos considerar as seguintespermutac¸o˜es: abc , acb, bac , bca, cab e cba. Portanto, a resposta e´ 6.
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2.3 Me´todos de Enumerac¸a˜o
C. Permutac¸o˜es e Arranjos
• Permutar os n objetos equivale a colocar dentro de uma caixa com ncompartimentos, em alguma ordenac¸a˜o• O primeiro compartimento pode ser ocupado por qualquer uma das nmaneiras.• O segundo compartimento por qualquer uma das (n − 1) maneiras.• E o u´ltimo compartimento apenas por uma maneira.• Aplicando a regra da multiplicac¸a˜o verifica-se que a caixa podera´ser carregada de n(n − 1)(n − 2)...1 maneiras.• Este nu´mero aparece ta˜o frequentemente na Matema´tica que seadotam um nome e um s´ımbolo especial para ele.
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C. Permutac¸o˜es e Arranjos - Definic¸a˜oSendo n um inteiro positivo, definimos n! = (n)(n − 1)(n − 2)...1 e odenominamos fatorial de n. Tambe´m definimos 0! = 1.Desta maneira, o nu´mero de permutac¸o˜es de n objetos diferentes e´ dadopor:
nPn = n!
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2.3 Me´todos de Enumerac¸a˜o
C. Permutac¸o˜es e Arranjos• (b) Considere novamente n objetos diferentes. Agora desejamosescolher r desses objetos, 0 ≤ r ≤ n e permutar os r escolhidos.• Denotamos o nu´mero de maneiras de fazer isso (arranjos) por nAr .• Recorremos ao esquema acima, de encher uma caixa de ncompartimentos.• Desta vez paramos depois que o compartimento de ordem r tenhasido ocupado.• O primeiro compartimento pode ser preenchido de n maneiras, osegundo de (n − 1) maneiras, .. e o de ordem r de n − (r − 1)maneiras.
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2.3 Me´todos de Enumerac¸a˜o
C. Permutac¸o˜es e Arranjos• O procedimento completo pode ser executado novamente aplicando aregra da multiplicac¸a˜o
n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1)
• Empregando a notac¸a˜o de fatorial podemos escrever:
nAr =
n!
(n−r)!
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2.3 Me´todos de Enumerac¸a˜o
D. Combinac¸o˜es• Considere n objetos diferentes. Trataremos da contagem do nu´merodiferente de maneiras de escolher r dentro esse n objetos semconsiderarmos a ordem.• Por exemplo, temos os objetos a, b, c e d , e r = 2, desejamos contar
ab, ac , ad , bc , bd e cd ;• na˜o contaremos ab e ba, porque os mesmos objetos esta˜o inclu´ıdos esomente a ordem e´ diversa.• O nu´mero de maneiras de escolher r objetos dentre n, e permutar os
r escolhidos e´ n!/(n − r)!
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2.3 Me´todos de Enumerac¸a˜o
D. Combinac¸o˜es• Seja C o nu´mero de maneiras de escolher r dentro os n, na˜oconsiderada a ordem.• Uma vez que r objetos tenham sido escolhidos, existira˜o r ! maneirasde permuta´-los.
Cr ! = n!(n−r)!• O nu´mero de maneiras de escolher r dentro n objetos diferentes, na˜ose considerando a ordem e´:
C = n!r !(n−r)!
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2.3 Me´todos de Enumerac¸a˜o
D. Combinac¸o˜es• Este nu´mero surge em muitas passagens da Matema´tica, um s´ımboloespecial e´ empregado
n!
r !(n−r)! =
(
n
r
)
• Sa˜o frequentemente denominados coeficientes binomiais.
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