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lista 02 calc 02A 2013.pdf Lista 2 Ca´lculo II - A 2010-2 4 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matema´tica GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada LISTA 2 - 2010-2 Integral indefinida Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o Calcule as integrais dos exerc´ıcios 1 a 24. 1. ∫ sen 3x cos 3x dx 2. ∫ sen θ cos3 θ dθ 3. ∫ arctanx 1 + x2 dx 4. ∫ dx√ x (1 + √ x)2 5. ∫ dx 4 + 3x2 6. ∫ x√ 1− x4 dx 7. ∫ y (3y − 4)3 dy 8. ∫ dt t2 + 2t+ 2 9. ∫ x√ x− 1 dx 10. ∫ x(1 + x) 4 3 dx 11. ∫ cosx 4 + sen 2x dx 12. ∫ tan2 x dx 13. ∫ sen 2x 3 + cos 2x dx 14. ∫ dx x ln √ x 15. ∫ 3xex dx 16. ∫ ex√ 1− e2x dx 17. ∫ secx tanx dx 18. ∫ tanx dx 19. ∫ cotx dx 20. ∫ ex cos2 (ex − 2) dx 21. ∫ sen √ x√ x √ cos3 √ x dx 22. ∫ 18 tan2 x sec2 x (2 + tan3 x)2 dx 23. ∫ cos(lnx) x dx 24. ∫ dx√ 1− 4x2 25. Encontre a expressa˜o que define a func¸a˜o f , cujo gra´fico conte´m o ponto ( 0, 83 ) e cuja derivada e´ f ′(x) = x √ 1− x2. Resolva os problemas de valor inicial dos exerc´ıcios 26 a 29. 26. dy dx = x√ 2x2 + 1 y(0) = 1 27. { y′ = x 2x2 + e2 y(0) = 1 28. dydx = e 1/x x2 y(1) = 0 29. { f ′(x) = ( 1− sen 2x) sen 2x f ( pi 2 ) = 0 Resolva as integrais definidas dos exerc´ıcios 30 a 37. 30. ∫ 3 2 x√ x− 1 dx 31. ∫ 2 1 ex ex + e dx 32. ∫ √lnpi 0 2xex 2 cos ( ex 2 ) dx 33. ∫ e 1 dx x ( 1 + ln2 x ) dx 34. ∫ 1 2 0 x√ 1− x4 dx 35. ∫ pi 2 0 e senx cosx dx 36. ∫ pi 4 0 ( 1 + etanx ) sec2 x dx 37. ∫ ln pi 2 ln pi 6 2ex cos (ex) dx Lista 2 Ca´lculo II - A 2010-2 5 RESPOSTAS 1. 1 6 ( sen 3x)2 + C 2. −cos 4 θ 4 + C 3. 1 2 (arctanx)2 + C 4. −2 1 + √ x + C 5. √ 3 6 arctan √ 3 x 2 + C 6. 1 2 arcsenx2 + C 7. 2− 3y 9(3y − 4)2 + C 8. arctan (t+ 1) + C 9. 2 3 √ (x− 1)3 + 2√x− 1 + C 10. 3(1 + x) 10 3 10 − 3(1 + x) 7 3 7 + C 11. 1 2 arctan ( 1 2 senx ) + C 12. −x+ tanx+ C 13. −1 2 ln |3 + cos 2x|+ C 14. 2 ln |ln√x|+ C 15. 3xex 1 + ln 3 + C 16. arcsen ex + C 17. secx+ C 18. ln | secx|+ C 19. − ln | cscx|+ C 20. tan (ex − 2) + C 21. 4 (cos √ x)− 1 2 + C 22. − 6 2 + tan3 x + C 23. sen (lnx) + C 24. 1 2 arcsen (2x) + C 25. f(x) = −1 3 √ (1− x2)3 + 3 26. y = 1 2 √ 2x2 + 1 + 1 2 27. y = 1 4 ln ( 2x2 + e2 ) + 1 2 28. y = −e 1x + e 29. f(x) = sen 2x− 1 2 sen 4x− 1 2 30. 10 √ 2− 8 3 31. ln ( e+ 1 2 ) 32. − sen (1) 33. pi 4 34. 1 2 arcsen ( 1 4 ) 35. e−1 36. e 37. 1 lista 03 calc 02A 2013.pdf Lista 3 Ca´lculo II - A 2010-2 6 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matema´tica GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada LISTA 3 - 2010-2 Integrac¸a˜o por partes Integrais de poteˆncias de func¸o˜es trigonome´tricas Nos exerc´ıcios 1 a 18, calcule a integral indicada, utilizando a te´cnica de integrac¸a˜o por partes. 1. ∫ arcsenx dx 2. ∫ x senx dx 3. ∫ x2 lnx dx 4. ∫ x2 cosx dx 5. ∫ x arctanx dx 6. ∫ sec3 x dx 7. ∫ (lnx)3 dx 8. ∫ √ x lnx dx 9. ∫ x(lnx)2 dx 10. ∫ x 3x dx 11. ∫ x sec2 xdx 12. ∫ sen (lnx) dx 13. ∫ arcsec √ x dx 14. ∫ ln(lnx) x dx 15. ∫ arctan √ x√ x dx 16. ∫ tan2 x sec3 x dx 17. ∫ csc5 x dx 18. ∫ sen 3x cos 2x dx Nos exerc´ıcios 19 a 30 calcule a integral do produto ou quociente de poteˆncias de func¸o˜es trigonome´tricas. 19. ∫ sen4x dx 20. ∫ sen4x cos2 x dx 21. ∫ sen3x cos2 x dx 22. ∫ cos5 x dx 23. ∫ pi 2 0 √ cosx sen3x dx 24. ∫ sen3x cos4 x dx 25. ∫ 1 2 0 cos(pix) cos (pix 2 ) dx 26. ∫ tan2 x sec3 x dx 27. ∫ tan5 x sec3 x dx 28. ∫ tan3 x √ secx dx 29. ∫ tan5 x sec3 x dx 30. ∫ cot4 x dx Lista de algumas fo´rmulas exponenciais e trigonome´tricas que eventualmente sera˜o usadas nas resoluc¸o˜es de algumas integrais: (I) ax = ex ln a, a ∈ R, a > 0 (II) sen2x+ cos2 x = 1 (III) 1 + tan2 x = sec2 x (IV) 1 + cot2 x = csc2 x (V) cos2 x = 1 + cos 2x 2 (VI) sen2x = 1− cos 2x 2 (VII) sen a cos b = sen (a− b) + sen (a+ b) 2 (VIII) sen a sen b = cos(a− b)− cos(a+ b) 2 (IX) cos a cos b = cos(a− b) + cos(a+ b) 2 Lista 3 Ca´lculo II - A 2010-2 7 RESPOSTAS DA LISTA 3 1. x arcsenx+ √ 1− x2 + C 2. senx− x cosx+ C 3. 1 3 x3 lnx− 1 9 x3 + C 4. x2 senx+ 2x cosx− 2 senx+ C 5. 1 2 ( x2 arctanx− x+ arctanx)+ C 6. 1 2 (secx tanx+ ln | secx+ tanx|) + C 7. x(lnx)3 − 3x(lnx)2 + 6x lnx− 6x+ C 8. 2 3 x 3 2 lnx− 4 9 x 3 2 + C 9. 1 2 x2(lnx)2 − 1 2 x2(lnx) + 1 4 x2 + C 10. 1 ln 3 x 3x − 1 (ln 3)2 3x + C 11. x tanx− ln | secx|+ C 12. 1 2 x ( sen (lnx)− cos(lnx)) + C 13. x arcsec √ x− (x− 1) 12 + C 14. lnx ln(lnx)− lnx+ C 15. 2 √ x arctan( √ x)− ln(1 + x) + C 16. 1 4 sec3 x tanx− 1 8 secx tanx − 1 8 ln | secx+ tanx|+ C 17. −1 4 csc3 x cotx− 3 8 cotx cscx − 3 8 ln | cscx− cotx|+ C 18. − 1 10 cos 5x− 1 2 cosx+ C 19. 3 8 x+ 1 32 sen 4x− 1 4 sen 2x+ C 20. 1 16 x− 1 64 sen 4x− 1 48 sen3 2x+ C 21. −1 5 cos3 x sen2x− 2 15 cos3 x+ C 22. 1 5 sen5x− 2 3 sen3x+ senx+ C 23. 2 7 cos 7 2 x− 2 3 cos 3 2 x ]pi 2 0 = 8 21 24. 1 3 cos−3 x− cos−1 x+ C 25. ( 1 3pi sen 3pix 2 + 1 pi sen pix 2 )] 1 2 0 = 2 √ 2 3pi 26. 1 4 sec3 x tanx− 1 8 secx tanx − 1 8 ln | secx+ tanx|+ C 27. 1 7 sec7 x− 2 5 sec5 x+ 1 3 sec3 x+ C 28. 2 5 sec 5 2 x− 2 sec 12 x+ C 29. secx+ 2 sec−1 x− 1 3 sec−3 x+ C 30. cotx− 1 3 cot3 x+ x+ C lista 04 calc 02A 2013.pdf Lista 4 Ca´lculo II - A 2010-2 8 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matema´tica GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada LISTA 4 - 2010-2 Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Te´cnica de frac¸o˜es parciais Integrac¸a˜o por substituic¸o˜es especiais Nos exerc´ıcios 1 a 13, use substituic¸a˜o trigonome´trica para calcular a integral dada. 1. ∫ x2√ 4 + x2 dx 2. ∫ 2x3√ 1− x2 dx 3. ∫ 2 0 3x2 (9− x2) 32 dx 4. ∫ dx (x2 − 4) 32 5. ∫ −3 −4 dx (x2 − 4) 32 6. ∫ √ 4− x2 x dx 7. ∫ 2 −2 dx√ 4x2 + 9 8. ∫ 3x− 1√ x2 − 16 dx 9. ∫ 2 √ 8− 2x− x2 dx 10. ∫ x√ x2 + 2x+ 5 dx 11. ∫ x x2 + 6x+ 13 dx 12. ∫ dx (x2 + 2)2 13. ∫ 2x (x2 − 4x+ 8)2 dx Nos exerc´ıcios 14 a 19, calcule a integral dada, usando transformac¸a˜o de func¸o˜es racionais em frac¸o˜es parciais. 14. ∫ x− 1 x(x+ 1) dx 15. ∫ 3x− 2 x2 − 4 dx 16. ∫ 3x3 − 5x2 − 3x+ 1 (x+ 1)2(x− 1)2 dx 17. ∫ dx x (x2 + 4) 18. ∫ 3x3 + 1 x2 (x2 + 1)2 dx 19. ∫ x2 + 1 x4 + 1 dx Nos exerc´ıcios 20 a 22, calcule a integral indicada, fazendo uma substituic¸a˜o do tipo x = yn, para algum valor inteiro n. 20. ∫ dx x 1 2 − x 34 21. ∫ dx 4 √ x+ √ x 22. ∫ 2 √ x 1 + 3 √ x dx Nos exerc´ıcios 23 a 25, resolva as integrais multiplicando e dividindo o integrando pelo conjugado. 23. ∫ dx 1− senx 24. ∫ secx 1 + senx dx 25. ∫ cosx senx cosx+ senx dx A substituic¸a˜o tangente do arco metade, a saber z = tan x 2 , x ∈ (−pi, pi), reduz o problema de integrar uma expressa˜o racional de senx ou cosx ao problema de integrar uma func¸a˜o racional de z, que pode-se resolver, por exemplo, usando frac¸o˜es parciais. Para tal, precisamos das identidades abaixo, que esta˜o demonstradas no livro do G.Thomas vol.1, sec¸a˜o 8.5: a) tan x 2 = senx 1 + cosx b) senx = 2z 1 + z2 c) cosx = 1− z2 1 + z2 d) dx = 2dz 1 + z2 Use esta substituic¸a˜o para resolver as integrais dos exerc´ıcios 26 a 28: Lista 4 Ca´lculo II - A 2010-2 9 26. ∫ dx 3 + cosx 27. ∫ 5 3 senx+ 4 cosx dx 28. ∫ dx 2− cosx+ 2 senx RESPOSTAS DA LISTA 4 1. 1 2 x √ 4 + x2 − 2 ln ∣∣√4 + x2 + x∣∣+ C 2. 2 3 ( 1− x2) 32 − 2√1− x2 + C 3. 3x√ 9− x2 − 3 arcsen x 3 ⌋2 0 = = 6 5 √ 5 − 3 arcsen 2 3 + C 4. −x 4 √ x2 − 4 + C 5. 3 20 √ 5− 1 6 √ 3 6. √ 4− x2 + 2 ln ∣∣∣∣∣2− √ 4− x2 x ∣∣∣∣∣+ C 7. 1 2 ln ∣∣√4x2 + 9 + 2x∣∣ ⌋2 −2 = ln 3 8. 3 √ x2 − 16− ln ∣∣x+√x2 − 16∣∣+ C 9. 9 arcsen ( x+ 1 3 ) + (x+ 1) √ 8− 2x+ x2 + C 10. √ x2 + 2x+ 5− ln ∣∣√x2 + 2x+ 5 + x+ 1∣∣+ C 11. ln √ x2 + 6x+ 13− 3 2 arctan x+ 3 2 + C 12. √ 2 8 arctan ( x√ 2 ) + x 4 (x2 + 2) + C 13. x− 4 2 (x2 − 4x+ 8) + 1 4 arctan (x 2 − 1 ) + C 14. 2 ln |x+ 1| − ln |x|+ C 15. ln |x− 2|+ 2 ln |x+ 2|+ C 16. 1 x+ 1 + 1 x− 1 + 3 ln |x+ 1|+ C 17. ln |x| 4 − ln ( 4 + x2 ) 8 + C 18. − 1 x − x+ 3 2 (x2 + 1) − 3 2 arctanx+ C 19. √ 2 2 arctan ( 1 + √ 2x ) + √ 2 2 arctan (−1 +√2x)+C 20. −4x 14 − 4 ln ∣∣∣1− x 14 ∣∣∣+ C 21. 2 √ x− 4 4√x+ 4 ln (1 + 4√x) + C 22. 12x 7 6 7 − 12x 5 6 5 + 4 √ x− 12x 16 + 12 arctanx 16 + C 23. tanx+ secx+ C 24. ( 1 + tan x 2 )−1 − ( 1 + tan x 2 )−2 + 1 2 ln ∣∣∣1 + tan x 2 ∣∣∣− 1 2 ln ∣∣∣−1 + tan x 2 ∣∣∣+ C 25. 1 2 ln ∣∣∣tan x 2 ∣∣∣− 1 4 tan2 x 2 + C 26. √ 2 2 arctan (√ 2 2 tan x 2 ) + C 27. ln ∣∣∣1 + 2 tan x 2 ∣∣∣− ln ∣∣∣−2 + tan x 2 ∣∣∣+ C 28. ln ∣∣∣1 + 3 tan x 2 ∣∣∣− ln ∣∣∣1 + tan x 2 ∣∣∣+ C lista 05 calc 02A 2013.pdf Lista 5 Ca´lculo II - A 2010-2 10 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matema´tica GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada LISTA 5 - 2010-2 Integrac¸a˜o: miscelaˆnea Nos exerc´ıcios 1 a 24, resolva a integral indicada. Em alguns casos sera´ preciso aplicar mais de uma te´cnica de integrac¸a˜o. 1. ∫ arcsen √ x√ x dx 2. ∫ dx√ 4x+ x2 3. ∫ sec2 x (4− tan2 x) 32 dx 4. ∫ x arcsenx√ 1− x2 dx 5. ∫ dx x2 − 2x− 3 6. ∫ ( sec2 x ) ln (tanx) dx 7. ∫ dx√ x− 1 +√x+ 1 8. ∫ ex + e2x + e3x e4x dx 9. ∫ dx 1 + √ 1 + x 10. ∫ dx 1 + ex 11. ∫ dx√ x+ 3 √ x 12. ∫ e √ x dx 13. ∫ x arctanx (x2 + 1)3 dx 14. ∫ x ln √ 1 + x2 dx 15. ∫ arcsen √ x dx 16. ∫ ex 2e x 3e x dx 17. ∫ x 1 + senx dx 18. ∫ √ 1 + ex dx 19. ∫ 7 x2 − 6x+ 18 dx 20. ∫ 3x+ 2 x2 + 8x+ 25 dx 21. ∫ tan3 x sec4 x dx 22. ∫ x √ 1 + x dx 23. ∫ dx x (1− x2) 32 24. ∫ sen 3x sen 2x dx Nos exerc´ıcios 25 a 30, calcule a integral definida dada. 25. ∫ pi 4 0 dx√ 1 + 3 sec2 x 26. ∫ pi 4 0 e3x sen (4x) dx 27. ∫ 4 3 x3√ x2 + 3 dx 28. ∫ 1 0 x2√ 4− x2 29. ∫ 4 0 x− 2 2x2 + 7x+ 3 dx 30. ∫ pi 2 0 cos3 x sen 2x dx Lista 5 Ca´lculo II - A 2010-2 11 RESPOSTAS DA LISTA 5 1. 2 √ x arcsen √ x+ 2 √ 1− x+ C 2. ln ∣∣∣x+ 2 +√x2 + 4x∣∣∣+ C 3. tanx 4 √ 4− tan2 x + C 4. x−√1− x2 arcsenx+ C 5. 1 4 ln ∣∣∣∣x− 3x+ 1 ∣∣∣∣+ C 6. (tanx)(ln(tanx))− tanx+ C 7. 1 3 ( (x+ 1) 3 2 − (x− 1) 32 ) + C 8. −1 6 ( 6e−x + 3e−2x + 2e−3x ) + C 9. 2 √ 1 + x− 2 ln (1 +√1 + x)+ C 10. x− ln (ex + 1) + C 11. 2 √ x− 3 3√x+ 6 6√x− 6 ln (1 + 6√x) + C 12. 2 √ x e √ x − 2 e √ x + C 13. − arctanx 4 (x2 + 1)2 + 3arctanx 32 + x 8 (x2 + 1) + x ( 1− x2) 32 (x2 + 1)2 + C 14. 1 4 ( 1 + x2 ) ln ( 1 + x2 )− 1 4 x2 + C 15. x arcsen ( √ x) + 1 2 √ x √ 1− x − 1 2 arcsen √ x+ C 16. 2e x 3e x ln 2 + ln 3 + C 17. x tanx− x secx+ ln |1 + senx|+ C 18. 2 √ 1 + ex + ln ∣∣√1 + ex − 1∣∣ − ln ∣∣√1 + ex + 1∣∣+ C 19. 7 3 arctan x− 3 3 + C 20. 3 2 ln ∣∣x2 + 8x+ 25∣∣− 10 3 arctan x+ 4 3 + C 21. 1 6 tan6 x+ 1 4 tan4 x+ C ou 1 6 sec6 x− 1 4 sec4 x+ C 22. 2 5 (1 + x) 5 2 − 2 3 (1 + x) 3 2 + C 23. 1√ 1− x2 + 1 2 ln ∣∣∣√1− x2 − 1∣∣∣ − 1 2 ln ∣∣∣√1− x2 + 1∣∣∣+ C 24. 1 2 senx− 1 10 sen (5x) + C 25. arctan √ 7 7 = arcsen √ 2 4 26. 4 25 ( 1 + 4 √ e3pi ) 27. 10 3 √ 19− 2√3 28. pi 3 − √ 3 2 29. ln 7− 2 ln 3 30. 2 15 lista 06 calc 02A 2013.pdf Lista 6 Ca´lculo II - A 2010-2 12 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matema´tica GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada LISTA 6 - 2010-2 Volume: me´todo dos discos Volume: me´todo das cascas Comprimento de arco Em cada um dos exerc´ıcios 1 a 6 considere a regia˜o R limitada pelas curvas de equac¸o˜es dadas. Aplicando o me´todo dos discos circulares, calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o R em torno do eixo E dado. 1. R : y = x3, y = 0, x = 2; E : eixo x 2. R : y = lnx, y = 0, x = e2; E : eixo y 3. R : y = x2, x+ y = 2; E : eixo x 4. R : y = x2 − 2x, y = 4− x2; E : reta y = 4 5. R : y = cosx, y = senx, 0 ≤ x ≤ pi 2 ; E : reta y = −1 6. R : x 2 3 + y 2 3 = 1; E : eixo x Em cada um dos exerc´ıcios 7 a 10 considere a regia˜o R limitada pelas curvas de equac¸o˜es dadas. Aplicando o me´todo das cascas cil´ındricas, calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o R em torno do eixo E dado. 7. R : y = 1 4− x2 , x = 0, x = 1, y = 0; E : eixo y 8. R : y = x2, x = y2; E : reta x = −2 9. R : x = y2, x = 0, y = 1; E : reta y = 2 10. R : y = lnx, y = 0, x = e2; E : eixo x Em cada um dos exerc´ıcios 11 a 14 considere a regia˜o R limitada pelas curvas de equac¸o˜es dadas. Calcule, por dois me´todos distintos, o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o R em torno do eixo E dado. 11. R : y = x3, y = 0, x = 2; E : eixo y 12. R : y = x 2 , y = √ x; E : eixo x 13. R : xy = 4, x+ y = 5; E : y = 1 14. R : y = lnx, y = x− 1 e− 1 ; E : eixo x 15. Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o R em torno do eixo x, pelo me´todo que achar conveniente. R : y = x 4 + 1, se −4 ≤ x < 0 y = √ 1− x2, se 0 ≤ x ≤ 1 y = 0, se −4 ≤ x ≤ 1 16. Calcule o comprimento de arco do gra´fico de y = x2, desde o ponto (0, 0) ate´ (1, 1). 17. Calcule o comprimento de arco do gra´fico da func¸a˜o g(y) = y3 3 + 1 4y , de (1, g(1)) ate´ (2, g(2)). Lista 6 Ca´lculo II - A 2010-2 13 18. Quando giramos o gra´fico de uma func¸a˜o de classe C1, y = f(x) ≥ 0 , a ≤ x ≤ b, em torno do eixo 0x, obtemos uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o, cuja a´rea e´ definida pela integral S = ∫ b a 2pif(x) √ 1 + (f ′(x))2 dx. ( para maiores detalhes, veja o livro do Stewart vol. 1, sec¸a˜o 8.2) Calcule a a´rea da superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida pela rotac¸a˜o em torno de 0x do gra´fico de cada func¸a˜o indicada. Fac¸a um esboc¸o da superf´ıcie. a)f(x) = √ x, 0 ≤ x ≤ 1 b)f(x) = ex, 0 ≤ x ≤ 1 c)f(x) = √1− 4x2,−1/2 ≤ x ≤ 1/2 RESPOSTAS DA LISTA 6 1. ∫ 2 0 pi ( x3 )2 dx = 128pi 7 2. ∫ 2 0 pi (( e2 )2 − (ey)2) dy = pi (3e4 + 1) 2 3. ∫ 1 −2 pi ( (−x+ 2)2 − (x2)2) dx = 72pi 5 4. ∫ 2 −1 pi (( x2 − 2x− 4)2 − (4− x2 − 4)2) dx = 45pi 5. 2 ∫ pi 4 0 pi ( (1 + cosx)2 − (1 + senx)2 ) dx = ( 4 √ 2− 3 ) pi 6. 2 ∫ 1 0 pi (( 1− x 23 ) 3 2 )2 dx = 32pi 105 7. ∫ 1 0 2pix 1 4− x2 dx = pi(ln 4− ln 3) 8. ∫ 1 0 2pi(x+ 2) (√ x− x2) dx = 49pi 30 9. ∫ 1 0 2pi(2− y)y2 dy = 5pi 6 10. ∫ 2 0 2piy ( e2 − ey) dy = 2pi (e2 − 1) 11. ∫ 8 0 pi ( 22 − ( 3√y)2 ) dy = ∫ 2 0 2pix x3 dx = 64pi 5 12. ∫ 4 0 pi ((√ x )2 − (x 2 )2) dx = ∫ 2 0 2piy ( 2y − y2) dy = 8pi 3 13. ∫ 4 1 pi ( (5− x− 1)2 − ( 4 x − 1 )2) dx = ∫ 4 1 2pi(y − 1) ( 5− y − 4 y ) dy = 2pi(8 ln 2− 3) 14. ∫ e 1 pi ( (lnx)2 − ( x− 1 e− 1 )2) dx = ∫ 1 0 2piy (1 + (e− 1)y − ey) dy = pi(2e− 5) 3 Lista 6 Ca´lculo II - A 2010-2 14 15. ∫ 0 −4 pi (x 4 + 1 )2 dx+ ∫ 1 0 pi (√ 1− x2 )2 dx = ∫ 1 0 2piy ( 4− 4y + √ 1− y2 ) dy = 2pi 16. ∫ 1 0 √ 1 + 4x2 dx = 2 √ 5 + ln ( 2 + √ 5 ) 4 17. ∫ 2 1 √ 1 + ( y2 − 1 4y2 )2 dy = 59 24 18. a)S = pi 6 (5 √ 5− 1) ; b)S = pi[e√1 + e2 + ln(e+√1 + e2)−√2− ln(√2 + 1)]; c)S = 4 √ 3pi[2 √ 3 + ln(2 + √ 3)] lista 07 calc 02A 2013.pdf Lista 7 Ca´lculo II - A 2010-2 15 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matema´tica GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada LISTA 7 - 2010-2 Integral impro´pria Nos exerc´ıcios 1 a 12 use a definic¸a˜o para verificar se a integral impro´pria converge ou diverge. Calcule o valor das integrais impro´prias que convergem. 1. ∫ pi 2 0 cosx√ 1− senx dx 2. ∫ ∞ 1 lnx x dx 3. ∫ 0 −∞ dx x2 − 3x+ 2 4. ∫ ∞ −∞ xe−x 2 dx 5. ∫ 0 −∞ dx (x− 8) 23 6. ∫ ∞ 2 1 x2 − 1 dx 7. ∫ ∞ 0 e−t sen t dt 8. ∫ ∞ −∞ e−|x| dx 9. ∫ 1 0 x√ 1− x2 dx 10. ∫ 3 1 x2√ x3 − 1 dx 11. ∫ 1 −1 1 x4 dx 12. ∫ ∞ 0 e−st senh t dt, s > 1 13. Calcule a a´rea da regia˜o R limitada pela curva de equac¸a˜o 4y2 − xy2 − x2 = 0 e por sua ass´ıntota, situada a` direita do eixo y. 14. Calcule a a´rea da regia˜o R situada no primeiro quadrante e abaixo da curva de equac¸a˜o y = e−x. Nos exerc´ıcios 15 a 23 discuta a convergeˆncia da integral ∫ ∞ 1 f(x) para a func¸a˜o f dada. 15. f(x) = ex x2 16. f(x) = e−x lnx 17. f(x) = 1 x+ ex (compare com 1 ex ) 18. f(x) = | senx| x2 19. f(x) = x3 + 1 x3 + x2 + 1 20. f(x) = 2 + senx x (compare com 1 x ) 21. f(x) = sen 2x 1 + x2 22. f(x) = ex lnx 23. f(x) = 1 3 √ x3 + 1 (compare com 1 3 √ 2x3 ) 24. Discuta a convergeˆncia de ∫ ∞ e dx xs lnx (Sugesta˜o: Para s > 1, compare com 1 xs ; para s = 1, calcule a integral; para s < 1, compare com 1 x lnx ) Nos exerc´ıcios 25 a 31 discuta a convergeˆncia das integrais impro´prias. 25. ∫ ∞ 1 x2√ x8 + x6 + 2 dx (compare com x2√ x8 ) 26. ∫ ∞ e dx x(lnx)s (calcule a integral) 27. ∫ ∞ 1 dx 1 + x lnx (compare com 1 x+ x lnx ) 28. ∫ 1 0 e−x√ x dx (compare com 1√ x ) 29. ∫ pi 2 0 dx x senx (compare com 1 x ) 30. ∫ 3 2 x2 + 1 x2 − 4 dx (calcule a integral) 31. ∫ ∞ 1 cosx√ x3 dx (discuta ∫ ∞ 1 ∣∣∣∣cosx√x3 ∣∣∣∣ dx e use um teo- rema) 32. ∫ ∞ 1 senx x dx (use integrac¸a˜o por partes na ∫ t 1 senx x dx e depois passe o limite quando t→∞ Lista 7 Ca´lculo II - A 2010-2 16 RESPOSTAS DA LISTA 7 1. 2 2. diverge (∞) 3. ln 2 4. 0 5. diverge (∞) 6. ln 3 2 7. 1 2 8. 2 9. 1 10. 2 √ 26 3 11. diverge (∞) 12. 1 s2 − 1 13. 2 Z 4 0 x√ 4− x dx = 64 3 14. Z ∞ 0 e−x dx = 1 15. divergente, pois lim x→∞ ex x2 =∞ 6= 0 16. convergente, pois x ≥ 1 =⇒ 0 ≤ e−x lnx ≤ e−xx =⇒ 0 ≤ Z ∞ 1 e−x lnx dx ≤ Z ∞ 1 e−xx dx = 2 e 17. convergente, pois x ≥ 1 > 0 =⇒ 0 < 1 ex + x < 1 ex =⇒ 0 < Z ∞ 1 1 ex + x dx < Z ∞ 1 1 ex dx = 1 e 18. convergente, pois ∀x 6= 0, 0 ≤ | senx| x2 ≤ 1 x2 =⇒ 0 ≤ Z ∞ 1 | senx| x2 dx ≤ Z ∞ 1 1 x2 dx = 1 19. divergente, pois lim x→∞ x3 + 1 x3 + x2 + 1 = 1 6= 0 20. divergente, pois x ≥ 1 > 0 =⇒ 2 + senx x ≥ 1 x ≥ 0 =⇒ Z ∞ 1 2 + senx x dx ≥ Z ∞ 1 1 x dx =∞ 21. convergente, pois ∀x ∈ R, 0 ≤ sen 2x 1 + x2 ≤ 1 1 + x2 =⇒ 0 ≤ Z ∞ 1 sen2x 1 + x2 dx ≤ Z ∞ 1 1 1 + x2 dx = pi 4 22. divergente, pois lim x→∞ ex lnx =∞ 6= 0 23. divergente, pois x ≥ 1 > 0 =⇒ 1 3 √ x3 + 1 ≥ 13√ 2x3 > 0 =⇒ Z ∞ 1 1 3 √ x3 + 1 dx ≥ Z ∞ 1 1 3 √ 2x3 dx =∞ 24. s > 1: convergente, pois x ≥ e =⇒ 0 < 1 xs lnx ≤ 1 xs =⇒ 0 < Z ∞ e 1 xs lnx dx ≤ Z ∞ e 1 xs dx = e1−s s− 1 s = 1: divergente, pois Z ∞ e 1 x lnx dx =∞ s < 1: divergente, pois x ≥ e > 1 =⇒ 1 xs lnx ≥ 1 x lnx =⇒ Z ∞ e 1 xs lnx dx ≥ Z ∞ e 1 x lnx dx =∞ 25. converge, pois ∀x 6= 0 =⇒ 0 < x 2 √ x8 + x6 + 2 < x2√ x8 = 1 x2 =⇒ 0 < Z ∞ 1 x2√ x8 + x6 + 2 dx < Z ∞ 1 1 x2 dx = 1 26. s ≤ 1: divergente, pois Z ∞ e 1 x(lnx)s dx =∞ s > 1: convergente, pois Z ∞ e 1 x(lnx)s dx = 1 s− 1 27. diverge: x ≥ 1 > 0 =⇒ 1 1 + x lnx ≥ 1 x+ x lnx > 0 =⇒ Z ∞ 1 x 1 + x lnx dx ≥ Z ∞ 1 1 x+ x lnx dx =∞ 28. convergente, pois 0 < x ≤ 1 =⇒ 0 < e −x √ x ≤ 1√ x =⇒ Z 1 0 e−x√ x dx ≤ Z 1 0 1√ x dx = 2 29. divergente, pois 0 < x < pi 2 =⇒ 1 x senx > 1 x > 0 =⇒ Z pi 2 0 1 x senx dx > Z pi 2 0 1 x dx =∞ 30. divergente, pois Z 3 2 x2 + 1 x2 − 4 dx = Z 3 2 � 1 + 5 4(x− 2) − 5 4(x+ 2) � dx =∞ 31. convergente. Justificativa: a func¸a˜o f(x) = cosx√ x3 e´ cont´ınua, portanto integra´vel em [1, b], b > 0, o que torna poss´ıvel aplicar o teorema, Z ∞ 1 |f(x)| dx e´ convergente =⇒ Z ∞ 1 f(x)dx e´ convergente. x ≥ 1 =⇒ 0 ≤ � � � � cosx√ x3 � � � � ≤ 1√ x3 =⇒ Z ∞ 1 � � � � cosx√ x3 � � � � dx ≤ Z ∞ 1 1√ x3 dx = 2 √ 2 =⇒ Z ∞ 1 � � � � cosx√ x3 � � � � dx e´ convergente (teorema acima) =⇒ Z ∞ 1 cosx√ x3 dx e´ convergente. lista 01 calc 02A 2013.pdf Lista 1 Ca´lculo II - A 2011-2 1 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matema´tica GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada LISTA 1 - 2011-2 Integral definida Teorema Fundamental do Ca´lculo A´rea de regio˜es planas Nos exerc´ıcios 1 a 10, calcule a integral indicada. 1. ∫ 1 −1 ( ( 3 √ t )2 − 2 ) dt 2. ∫ 1 0 x−√x 3 dx 3. ∫ 3 1 ( 3 x2 − 1 ) dx 4. ∫ 2 1 √ 2 x dx 5. ∫ 2 0 (2− s)√s ds 6. ∫ 1 −1 |x| dx 7. ∫ 4 0 ∣∣x2 − 4x+ 3∣∣ dx 8. ∫ pi 4 0 cos3 x dx 9. ∫ 3 2 x√ x− 1 dx 10. ∫ 1 2 0 x√ 1− x4 dx 11. Se aplicarmos o Teorema Fundamental do Ca´lculo em ∫ 1 −1 1 x2 dx, obteremos a seguinte igualdade: ∫ 1 −1 1 x2 dx = − 1 x ∣∣∣1 −1 = −2. Como a func¸a˜o f(x) = 1 x2 > 0, isto na˜o faz sentido. O que esta´ errado? Nos exerc´ıcios 12 a 16, derive a func¸a˜o dada. 12. f(x) = ∫ 1 −x t2 − 2t t2 + 4 dt 13. f(x) = ∫ x4 − sen2x cos t3 dt 14. f(x) = x2 ∫ 2√x 1 √ t2 + 1 dt 15. F (x) = ∫ | sen x| 1 ln t dt 16. F (x) = ∫ √x 0 et 2+1 dt Nos exerc´ıcios 17 e 18, calcule o limite indicado. 17. lim x→pi ∫ x 2 pi 2 cos( sen t) dt (x− pi)3 18. lim x→−1 ∫ 1 −x et 2 dt (x+ 1)3 Nos exerc´ıcios 19 a 25, calcule a a´rea da regia˜o R descrita. 19. R e´ a regia˜o entre os gra´ficos de y = x2 − 1 e y = x+ 5. 20. R e´ a regia˜o limitada pela curva de equac¸a˜o y = x2 − 2x, pelo eixo x e pelas retas x = −2 e x = 4. 21. R e´ a regia˜o entre a reta x = 2 e a curva de equac¸a˜o x = y2 + 1. 22. R e´ o conjunto dos pontos (x, y) tais que x2 ≤ y ≤ √x. 23. R e´ a regia˜o entre os gra´ficos de y = |x| e y = x2, com −3 ≤ x ≤ 3. 24. R e´ a regia˜o delimitada pelas curvas de equac¸o˜es y = x, xy2 = 1 e y = 2. 25. R e´ a regia˜o delimitada pelos gra´ficos de y = senx e y = − sen 2x; 0 ≤ x ≤ pi. 26. Esboce e encontre a a´rea da regia˜o compreendida entre o eixo x e a hipe´rbole de equac¸a˜o y = 4 x− 1 , para 2 ≤ x ≤ 3. 27. Esboce e encontre a a´rea da regia˜o delimitada pelo gra´fico de y = 3 x− 1 , pela reta x = −4 e pelos eixos x e y. 28. Esboce e encontre a a´rea da regia˜o limitada pelo gra´fico de y = ex e pela reta que conte´m os pontos (0, 1) e (1, e). 29. Determine m de modo que a a´rea da regia˜o limitada por y = mx e y = 2x− x2 seja 36. Lista 1 Ca´lculo II - A 2011-2 2 30. A reta de equac¸a˜o y = 1 − x divide a regia˜o compreendida entre as para´bolas de equac¸o˜es y = 2x2 − 2x e y = −2x2 + 2 em duas partes. Mostre que as a´reas das regio˜es obtidas sa˜o iguais e calcule o seu valor. 31. Seja f diferencia´vel. Calcule ∫ 1 0 xf ′(x) dx, sabendo que f(1) = 2 e que ∫ 1 0 f(t) dt e´ igual a a´rea da regia˜o R entre o gra´fico de y = −x2 e as retas y = 1, x = 0 e x = 1. ( sugesta˜o: d dx (xf(x)) = f(x) + xf ′(x) ) EXERCI´CIOS COMPLEMENTARES: 1. Determine f(4), se ∫ x2 0 f(t) dt = x cos pix8 . 2. Mostre que y(x) = 1a ∫ x 0 f(t) sena(x − t) dt e´ soluc¸a˜o do problema de valor inicial : y′′+ay = f(x), y′(0) = y(0) = 0, onde a ∈ R∗ e´ constante. Sugesta˜o: Use a identidade do seno da diferenc¸a e derive duas vezes. 3. Determine a curva que e´ gra´fico de y = y(x), passa por (1,-1) e tal que, y′(x) = 3x2 + 2. 4. Calcule lim n→∞ 15 + 25 + 35 + 45 + ...+ n5 n6 , mostrando que o limite e´ ∫ 1 0 x5 dx e calculando a integral. 5. Determine x, onde ocorre o mı´nimo da func¸a˜o f(x) = ∫ x x2 ln t dt, para x ∈ (0, 1). 6. Mostre que a func¸a˜o ∫ 1/x a 1 t2 + 1 dt+ ∫ x a 1 t2 + 1 dt , para x > 0, e´ constante. 7. Mostre que se a func¸a˜o integra´vel f for perio´dica, de per´ıodo p, enta˜o a func¸a˜o g(x) = ∫ x+p x f(t) dt sera´ constante. Deˆ um exemplo. RESPOSTAS 1. − 145 2. − 118 3. 0 4. ( 4− 2√2) 5. 1615 √ 2 6. 1 7. 4 8. 512 √ 2 9. 1 3 ( 10 √ 2− 8) 10. 1 2 arcsen 1 4 11. De acordo com as hipo´teses do Teorema Fundamental do Ca´lculo a func¸a˜o f(x) = 1 x2 teria que ser definida e cont´ınua no intervalo [−1, 1]. Neste caso, a func¸a˜o na˜o esta´ definida em todos os pontos do intervalo [−1, 1], pois na˜o esta´ definida em x = 0. Logo, na˜o e´ poss´ıvel aplicar o teorema para calcular a integral. 12. f ′(x) = x2 + 2x x2 + 4 13. f ′(x) = 4x3 cosx12 + sen 2x cos ( sen 6x ) 14. f ′(x) = √ (4x+ 1)x3 + 2x ∫ 2√x 1 √ t2 + 1 dt 15. F ′(x) = senx | senx| (cosx) ln | senx| 16. F ′(x) = ex+1 2 √ x 17. ∞ 18. ∞ 19. ∫ 3 −2 ( (x+ 5)− (x2 − 1)) dx 20. ∫ 0 −2 ( x2 − 2x) dx+ ∫ 2 0 − (x2 − 2x) dx+ + ∫ 4 2 ( x2 − 2x) dx = 44 3 21. ∫ 1 −1 ( 2− (y2 + 1)) dy = 4 3 22. ∫ 1 0 (√ x− x2) dx = 1 3 23. 2 ∫ 1 0 ( x− x2) dx+ +2 ∫ 3 1 ( x2 − x) dx = 29 3 24. ∫ 2 1 ( y − y−2) dy = 1 25. ∫ 2pi 3 0 ( senx+ sen 2x) dx+ +2 ∫ pi 2pi 3 −( senx+ sen 2x) dx = 5 2 Lista 1 Ca´lculo II - A 2011-2 3 26. y x0 2 4 1 2 3 a´rea = 4 ln 2 27. y x –2 2 –4 –3 –2 –1 a´rea = 3 ln 5 28. y x 1 2 1 a´rea= 3− e 2 29. m = −4 30. ∫ 1 − 12 [( 2− 2x2)− (1− x)] dx = = ∫ 1 − 12 [ (1− x)− (2x2 − 2x)] dx = 9 8 31. 2 3 RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS COMPLEMENTARES: 1. √ 2 32 (4− pi) 3. y(x) = x3 + 2x− 4. 4. 1/6 5. x = 1/4 7. f(x) = cosx, p = 2pi. lista 14_calc 02A 2011.pdf Lista 14 Ca´lculo II - A 2010-2 30 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matema´tica GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada LISTA 14 - 2010-2 Miscelaˆnea Nos exerc´ıcios 1 a 18 encontre todas as soluc¸o˜es da EDO. 1. y′ = 1 + x+ y2 + xy2 2. y′ + y2 + 3y + 2 = 0 3. xy′ − ey′ − y = 0 4. x2y′ + 3xy = senx x , x < 0. 5. 2(1− x2)y′ − (1− x2)y = xy3e−x 6. (x2 + x+ 1)yy′ + (2x+ 1)y2 = 2x− 1 7. y′ = y(xy3 − 1) 8. y′′ − 8y = 0 9. y′′ + 8y′ + 16y = 0 10. 3y′′ + 2y′ + y = 0 11. dy5 dx5 − 16dy dx = 0 12. y′′ + 3y = −48x2e3x 13. y′′ − y′ + y 4 − 3 = ex/2 14. y′′ + 2y′ + y = senx+ 3 cos 2x 15. y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = x− 4ex 16. y′′ + y = 8 sen 2x 17. y′′ − 2y′ + y = e −x 1 + x2 18. (1 + yexy)dx+ (2y + xexy)dy = 0 Nos exerc´ıcios 19 e 20 resolva o PVI. 19. y′ = 4y 4x+ y , y(1) = 1 20. x 2y′′ + xy′ + y = 0, y(1) = 1, y′(1) = 2 Nos exerc´ıcios 21 e 22 resolva a EDO fazendo a mudanc¸a de varia´vel indicada. 21. xy′ − y = x 3ey/x y (fac¸a u = y/x) 22. y ′′ = 2x(y′)2 (fac¸a u = y′) 23. Determine o valor de y0 para o qual a soluc¸a˜o do PVI abaixo tangencia o eixo 0x y′ + 2y 3 = 1− x 2 , y(0) = y0 24. Sabendo que y1 = ex e´ uma soluc¸a˜o da EDO homogeˆnea associada a xy′′ − 2(x+ 1)y′ + (x+ 2)y = x3 , determine sua soluc¸a˜o geral, para x > 0. Nos exerc´ıcios 25 e 26 encontre a trajeto´ria ortogonal da famı´lia de curvas dadas. 25. y2 = c1x3 26. y = c1e−x 27. Considere a EDO y′ − xy2 + (2x − 1)y = x − 1. Encontre uma soluc¸a˜o constante para ela e determine sua soluc¸a˜o geral. Lista 14 Ca´lculo II - A 2010-2 31 28. Um material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional a` quantidade presente em cada instante. Supondo que a quantidade inicial de material seja Q0 e que 10 anos depois ja´ tenha desintegrado 1/3 do material inicial, determine sua meia-vida. 29. Suponha que uma gota d’a´gua esfe´rica evapore a uma taxa proporcional a` a´rea de sua superf´ıcie. Se o raio mede originalmente 3mm e 1h depois foi reduzido a 2mm, encontre a expressa˜o do raio em func¸a˜o do tempo. RESPOSTAS DA LISTA 14 1. arctan y − x− x2/2 = c 2. y = cex − 2 1− cex e y = −1. 3. y = cx− ec, y = x lnx− x x > 0 4. y = − cosx/x3 + c/x3 5. y−2 = ln |x2 − 1|+ c 2ex 6. y2 = 1− 4x 3 + 6x2 + 12x 3(x2 + x+ 1)2 + c (x2 + x+ 1)2 7. y−3 = x+ 1/3 + ce3x 8. y = c1e2 √ 2t + c2e−2 √ 2t 9. y = c1e−4x + c2xe−4x 10. y = e−x/3(c1 cos √ 2x 3 + c2 sen √ 2x 3 ) 11. y = c1 + c2e−2x + c3e2x + c4 cos 2x+ c5 sen 2x 12. y = c1 cos √ 3x+ c2 sen √ 3x+ (−4x2 + 4x− 4/3)e3x 13. y = c1ex/2 + c2xex/2 + 12 + x2/2ex/2 14. y = c1e−x + c2xe−x − cosx/2+ 12 sen 2x/25− 9 cos 2x/25 15. y = c1ex + c2xex + c3x2ex − x− 3− 2x 3ex 3 16. y = 4 + 4 cos 2x 3 + c1 cosx+ c2 senx 17. y = c1ex+ c2xex− e x ln(1 + x2) 2 + xex arctanx 18. x+ y2 + exy = c 19. ye−x/y = 1/e 20. y = cos(lnx) + 2 sen (lnx) 21. y + x = x(c1 − x)ey/x 22. y = c2 − arctan(x/c1) c1 23. y0 = 21 9 − 9 8 e4/3 24. y0 = 3/2 25. 2x2 + 3y2 = c2 26. y2 = 2x+ c2 27. y = 1 + 1 1− x+ ce−x 28. 10 ln 2 ln 3− ln 2anos'17anos 29. r = 3− t, 0 < t < 3. lista 08 calc 02A 2011.pdf Lista 8 Ca´lculo II - A 2010-2 17 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matema´tica GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada LISTA 8 - 2010-2 Teste de soluc¸o˜es de EDO EDO de varia´veis separa´veis Algumas aplicac¸o˜es de EDO Nos exerc´ıcios 1 a 6, verifique se a func¸a˜o y = f(x), x ∈ I e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial ordina´ria (EDO) dada. 1. f(x) = √ 2 + x+ x2, I = (0,∞), dy dx = 1 + 2x 2y 2. f(x) = √ 2− x− x2, I = (0,∞), dy dx = −1 + 2x 2y 3. f(x) = ex 2 + ex 2 ∫ x 0 e−t 2 dt, I = R, y′ − 2xy = 1 4. f(x) = C1ex + C2e−x, I = R, y′′ = y 5. f(x) = e−x + x 3 , I = R, y(iv) + 4y′′′ − 3y′ = x 6. f(x) = 4 + 2 lnx, I = (0,∞), x2y′′ − xy′ + y = 2 lnx 7. Determine os poss´ıveis valores da constante p para que a func¸a˜o f(x) = xp seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o x2y′′ − 4xy′ + 4y = 0, no intervalo I = (0,∞). Nos exerc´ıcios 8 a 12 diga se e´ poss´ıvel garantir que o problema de valor inicial admite soluc¸a˜o u´nica. Quando admitir soluc¸a˜o u´nica, deˆ o maior intervalo admiss´ıvel I, I aberto, que conte´m a abscissa da condic¸a˜o inicial. 8. y′ + xy = 3, y(0) = 0 9. xy′ + y = 3, y(0) = 1 10. y′ = y2/3, y(0) = 0 11. y′ = x− y x+ y , y(1) = −1 12. xy′ + 1 2x+ 3 y = ln |x− 2|, com cada uma das condic¸o˜es iniciais: (a) y(−3) = 0 (c) y(1) = 7 (b) y(−1) = 5 (d) y(3) = 0 Nos exerc´ıcios 13 a 16 verifique que a equac¸a˜o e´ de varia´veis separa´veis e resolva-a. 13. (x ln y)y′ = y 14. xydx− 3(y − 2)dy = 0 15. xy dy dx = (1 + x2) csc y 16. xdx+ ye−x 2 dy = 0 Nos exerc´ıcios 17 a 19 resolva o problema de valor inicial (PVI). 17. y′ = ex y , y(0) = 1 18. ( 1 + y2 ) dx+ ( 1 + x2 ) dy = 0, y(1) = 1 19. dy dx = y − y2 , com cada condic¸a˜o inicial: (a) y(0) = 2 (b) y(2) = 0 (c) y(0) = 1 20. A seguinte equac¸a˜o diferencial aparece em trabalhos que estudam a acumulac¸a˜o de nebulosa no sistema solar: dx dt = ax5/6 (b−Bt)3/2 , a, b, B ≥ 0 constantes reais e x = x(t) (a) Determine a regia˜o do plano tx onde e´ poss´ıvel garantir que esta equac¸a˜o possui soluc¸o˜es u´nicas. (b) Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o Lista 8 Ca´lculo II - A 2010-2 18 21. Volterra fez um modelo matema´tico para descrever a competic¸a˜o en- tre duas espe´cies x e y que habitam um meio ambiente dado, obtendo equac¸o˜es da forma: x˙ = x× (a1 + a2y) y˙ = y × (b1 + b2x) onde a1, a2, b1, b2 ∈ R sa˜o constantes, y(t) := y(x(t)) e t e´ a varia´vel tempo. Usando a regra da cadeia dy dt = dy dx dx dt e as duas equac¸o˜es acima, se obte´m dy dx = y × (b1 + b2x) x× (a1 + a2y) . Determine a soluc¸a˜o geral desta equac¸a˜o. 22. Determine a func¸a˜o y = f(x) cujo gra´fico conte´m o ponto (1, 1) tal que para todo (x, y) do gra´fico de f a a´rea da regia˜o A2 seja o dobro da a´rea da regia˜o A1, conforme figura ao lado. 2 1 y x (x,y) y = f(x) A A 0 1 2 3 4 –1 1 2 3 Fig. do ex. 24 23. Uma coloˆnia de bacte´rias aumenta sua populac¸a˜o a uma taxa proporcional a` quantidade de bacte´rias presentes em cada instante de tempo. Se em quatro horas a populac¸a˜o triplica, em quanto tempo ela sera´ 27 vezes a quantidade inicial? RESPOSTAS DA LISTA 8 (Com indicac¸a˜o ou resumo de algumas resoluc¸o˜es) 1. Sim, e´ soluc¸a˜o. Primeiro verifica-se que f(x) = √ 2 + x+ x2 e´ bem definida ∀x ∈ R, logo esta´ definida em I = (0,∞) e e´ diferencia´vel em I. Tambe´m y = √2 + x+ x2 ⇒ y2 = 2 + x+ x2 ⇒ 2y dy dx = 1 + 2x⇒ dy dx = 1 + 2x 2y , a EDO foi satisfeita. 2. Na˜o e´ soluc¸a˜o pois f(x) = √ 2− x− x2 so´ e´ bem definida quando x ∈ [−2, 1], logo para x ∈ (1,∞) ⊂ (0,∞) essa func¸a˜o na˜o esta´ definida. E´ fato que y = √ 2− x− x2 satisfaz a EDO, verifique. 3. Sim, e´ soluc¸a˜o. Primeiro sabemos que a func¸a˜o ex 2 esta´ definida para todo x ∈ R e a func¸a˜o e−t2 e´ cont´ınua para todo t ∈ [0, x], x ∈ R, logo a integral esta´ definida para todo x ∈ R e assim a func¸a˜o f tambe´m esta´ definida para todo x ∈ R. Pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo, d dx ∫ x 0 e−t 2 dt = e−x 2 . Aplicando as regras de derivac¸a˜o, encontramos y′ = 2xex 2 + ex 2 e−x 2 + 2xex 2 ∫ x 0 e−t 2 dt = 2xex 2 + 1 + 2xex 2 ∫ x 0 e−t 2 dt. Substituindo y′ e y na EDO, y′ − 2xy = 2xex2 + 1 + 2xex2 ∫ x 0 e−t 2 dt− 2xex2 − 2xex2 ∫ x 0 e−t 2 dt = 1, a EDO foi satisfeita. 4. Sim, e´ soluc¸a˜o. Primeiro sabemos que as func¸o˜es e−x e ex sa˜o bem definidas e teˆm derivadas de primeira e segunda ordem para todo x ∈ R, logo a func¸a˜o f e´ bem definida e tem derivada de primeira e segunda ordem para todo x ∈ R. y = C1ex+C2e−x ⇒ y′ = C1ex−C2e−x ⇒ y′′ = C1ex+C2e−x. Vemos que y′′ = y, a EDO esta´ satisfeita. 5. Na˜o e´ soluc¸a˜o. Primeiro sabemos que as func¸o˜es e−x e x/3 sa˜o bem definidas e teˆm derivadas ate´ a quarta ordem para todo x ∈ R, logo a func¸a˜o f(x) = e−x + x 3 e´ bem definida e tem derivada ate´ a quarta ordem para todo x ∈ R. y = e−x + x 3 ⇒ y′ = −e−x + 1 3 ⇒ y′′ = e−x ⇒ y′′′ = −e−x ⇒ y(iv) = e−x. Substituindo y(iv), y′′′ e y′ na EDO, y(iv) + 4y′′′ − 3y′ = e−x − 4e−x + 3e−x − 3 · 1 3 = −1 6= x1, a EDO na˜o esta´ satisfeita. 6. Sim, e´ soluc¸a˜o. Sabemos que a func¸a˜o constante 4 e a func¸a˜o lnx esta˜o bem definidas e sa˜o diferencia´veis para todo x ∈ (0,∞), logo a func¸a˜o f(x) = 4 + 2 lnx e´ bem definida e diferencia´vel para todo x ∈ (0,∞). y = 4 + 2 lnx ⇒ y′ = 2 x ⇒ y′′ = − 2 x2 . Substituindo y′′, y′ e y na EDO, x2y′′ − xy′ + y = −x2 · 2 x2 − x · 2 x + 4 + 2 lnx = −2− 2 + 4 + 2 lnx = 2 lnx, a EDO esta´ satisfeita. 7. p = 1 ou p = 4 Lista 8 Ca´lculo II - A 2010-2 19 8. y′ = 3− xy = F (x, y). As func¸o˜es F e ∂F ∂y = −x sa˜o cont´ınuas no conjunto aberto U = R2 e (0, 0) ∈ U , logo o Teorema da Existeˆncia e Unicidade garante que existe uma u´nica func¸a˜o y = y(x), x ∈ R, tal que y(0) = 0. 9. y′ = 3− y x = F (x, y). A func¸a˜o F e´ definida no conjunto aberto U = { (x, y) ∈ R2;x 6= 0}. Neste caso garantimos que na˜o existe nenhuma func¸a˜o pois se existisse, o ponto (0, 1) que da´ a condic¸a˜o inicial deveria estar no domı´nio U de F (x, y), mas (0, 1) 6∈ U . 10. y′ = y2/3 = F (x, y). A func¸a˜o F e´ cont´ınua em U = R2 e ∂F ∂y = −2 3y1/3 e´ cont´ınua no conjunto aberto A = { (x, y) ∈ R2; y 6= 0}. O ponto da condic¸a˜o inicial e´ (0, 0) ∈ U , mas (0, 0) 6∈ A, logo na˜o e´ poss´ıvel aplicar o Teorema da Existeˆncia e Unicidade para garantir que existe uma u´nica func¸a˜o y = y(x), x ∈ I, I intervalo aberto contendo x = 0 e tal que y(0) = 0. Observe que na˜o foi dito que na˜o existe tal func¸a˜o, so´ foi dito que na˜o conseguimos garantir que existe. 11. Na˜o existe, ana´logo ao exerc´ıcio 9. 12. y′ = − y x(2x+ 3) + ln |x− 2| x = F (x, y). As func¸o˜es F e ∂F ∂y = − 1 x(2x+ 3) sa˜o cont´ınuas no conjunto aberto U = { (x, y) ∈ R2;x 6= 0, x 6= −3/2, x 6= 2}. O Teorema da Existeˆncia e Unicidade garante a exis- teˆncia de uma u´nica func¸a˜o nos quatro casos, a saber: (a) o ponto (−3, 0) ∈ U , existe uma u´nica y = f(x), tal que x ∈ I = (−∞,−3/2). (b) o ponto (−1, 5) ∈ U , existe uma u´nica y = g(x), tal que x ∈ I = (−3/2, 0). (c) o ponto (1, 7) ∈ U , existe uma u´nica y = h(x), tal que x ∈ I = (0, 2). (d) o ponto (3, 0) ∈ U , existe uma u´nica y = y(x), tal que x ∈ I = (2,∞). 13. y = e √ ln(Cx2) ou y = e− √ ln(Cx2) 14. x = √ 6y − 12 ln |y|+ C ou x = −√6y − 12 ln |y|+ C 15. y = y(x) definida implicitamente pela equac¸a˜o sen y − y cos y = ln |x|+ x 2 2 + C 16. y = √ C − ex2 y = √ C − ex2 ou y = − √ C − ex2 17. y = √ 2ex − 1, x > − ln 2 18. y = tan (pi 2 − arctanx ) = tan( arccotx) = tan ( arctan 1 x ) = 1 x , x > 0 19. (a) y(x) = 1 1− 12e−x , x > − ln 2 (b) y(x) = 0, x ∈ R (obs. essa soluc¸a˜o e´ singular) (c) y(x) = 1, x ∈ R 20. Precisa-se dividir em 2 casos: B = 0 e B > 0. (a) Quando B = 0. A regia˜o e´ { (t, x) ∈ R2; x > 0}. Quando B > 0. A regia˜o e´ { (t, x) ∈ R2; t > b B , x > 0 } . (b) Quando B = 0. Famı´lia de soluc¸o˜es: x(t) = (at+ C)6 66b6 . Quando B > 0. Famı´lia de soluc¸o˜es: x(t) = ( a 3B(b−Bt)1/2 + C )6 . 21. Quando a1 6= 0, a2 = 0, a regia˜o de soluc¸o˜es u´nicas e´ R2−{eixo y}. Soluc¸a˜o geral: y = Cx b1 a1 e b2 a1 x, C ∈ R. Quando a1 = 0, a2 6= 0, a regia˜o de soluc¸o˜es u´nicas e´ R2 − {eixos x e y}. Soluc¸a˜o geral: y = b1a2 ln |x|+ b2a2x+ C, C ∈ R. Quando a1 6= 0, a2 6= 0, a regia˜o de soluc¸o˜es u´nicas e´ R2 − {eixo y} − {reta y = a1a2 }. Soluc¸a˜o geral: y = y(x) definida implicitamente pela equac¸a˜o a1 ln |y|+ a2y = b1 ln |x|+ b2x+C, C ∈ R. 22. y = x2 23. 12 horas lista 09 calc 02A 2011.pdf Lista 9 Ca´lculo II - A 2010-2 20 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matema´tica GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada LISTA 9 - 2010-2 EDO’s de primeira ordem: linear e homogeˆnea Trajeto´rias ortogonais Algumas aplicac¸o˜es de EDO Nos exerc´ıcios 1 a 8 algumas das equac¸o˜es sa˜o lineares de primeira ordem. Identifique-as e ache sua soluc¸a˜o geral. 1. (1 + x)ydx+ xdy = 0 2. ( x2 + y2 ) dx− 2xydy = 0 3. dy dx − y tan(x) = sen (x) 4. ( 2y − x4) dx+ xdy = 0 5. y2dx− (2xy + 3)dy = 0 6. y′ + y sen (x) − y2 = 0 7. x3y′ + 4x2y + ex = 0 8. dr dθ + 2r cos(2θ) = sen (4θ) Nos exerc´ıcios 9 e 10 resolva o problema de valor inicial. 9. y′ − xy = (1− x2) e 12x2 , y(0) = 0 10. (y − 1)x′ − 3x = (y − 1)5, x(−1) = 16 11. Mostre que a equac¸a˜o cos(y)y′+2x sen (y) = −2x pode ser transformada numa equac¸a˜o linear e resolva o PVI com y(0) = 0. (sugesta˜o: z = sen (y)) Nos exerc´ıcios 12 a 17 verifique quais equac¸o˜es sa˜o homogeˆneas e resolva-as. 12. (5x− y)dx+ 3xdy = 0 13. ( x2 + y2 ) dx− 2xydy = 0 14. (xy + 1)dx+ y2dy = 0 15. xy′ + y = 3 16. e y x + y′ − y x = 0 17. y′ = x y + y x 18. Considere a equac¸a˜o da forma dy dx = F ( ax+ by + c Ax+By + C ) , onde a, b, c, A,B,C sa˜o constantes reais. Verifique que: (a) quando aB −Ab 6= 0, pode-se reduzir essa equac¸a˜o em uma equac¸a˜o homogeˆnea nas varia´veis z e w se z = x− h e w = y − k, onde h e k sa˜o as soluc¸o˜es do sistema linear { ax+ by + c = 0 Ax+By + C = 0 (b) quando aB − Ab = 0 e a e b na˜o simultaneamente nulos, pode-se reduzir essa equac¸a˜o em uma equac¸a˜o de varia´veis separa´veis nas varia´veis x e z, se fizermos a substituic¸a˜o z = ax+ by. (c) quando aB − Ab = 0 e A e B na˜o simultaneamente nulos, pode-se reduzir essa equac¸a˜o em uma equac¸a˜o de varia´veis separa´veis nas varia´veis x e z, se fizermos a substituic¸a˜o z = Ax+By. Nos exerc´ıcios 19 a 21 use o me´todo desenvolvido acima, para determinar a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es. 19. y′ = x+ y + 4 x− y − 6 20. y ′ = x+ y + 4 x+ y − 6 21. y′ = y x− y − 1 22. Resolva o PVI y′ = 2x+ y − 4 x− y + 1 , y(2) = 2. 23. Encontre a famı´lia de curvas ortogonais a` famı´lia de para´bolas y = cx2. 24. Encontre a famı´lia de curvas ortogonais a` famı´lia de elipses x2 + 4y2 = c, x > 0, y > 0. Lista 9 Ca´lculo II - A 2010-2 21 25. Encontre a famı´lia de curvas ortogonais a` famı´lia de hipe´rboles xy = c, c 6= 0. 26. Encontre a famı´lia de curvas ortogonais a` famı´lia de c´ırculos que conte´m os pontos (1, 0) e (−1, 0). 27. Suponha que a taxa de desintegrac¸a˜o de uma substaˆncia radioativa e´ proporcional a` quantidade de substaˆncia existente em cada instante de tempo. Numa amostra de uma certa substaˆncia quando decorridos 1200 anos ha´ uma perda de 36% dessa substaˆncia. (a) Escreva a equac¸a˜o diferencial que descreve o processo de desintegrac¸a˜o. (b) Determine a constante de desintegrac¸a˜o dessa substaˆncia. (c) Determine a quantidade da amostra que desaparece em 600 anos. (d) Em quantos anos havera´ apenas 1/50 da quantidade original da amostra? (e) Lembre que a meia vida de uma substaˆncia radioativa e´ o tempo em que uma amostra da substaˆncia se desintegra a` metade da quantidade original. Determine a meia vida dessa substaˆncia. 28. Resolva a equac¸a˜o L dI dt +RI = E sen (wt) onde L,R,E e w sa˜o constantes e I e´ uma func¸a˜o de t. (Esta func¸a˜o da´ a corrente em um circuito de resisteˆncia R e indutaˆncia L impulsionada por um gerador de corrente alternada de frequ¨eˆncia w 2pi e voltagem ma´xima E). RESPOSTAS DA LISTA 9 (Com indicac¸a˜o ou resumo de algumas resoluc¸o˜es) 1. y(x) = C x e−x 2. Na˜o e´ linear 3. y(x) = 1 2 secx ( sen2(x) + C ) 4. y(x) = x4 6 + C x2 5. x(y) = −1 y + Cy2 6. Na˜o e´ linear 7. y(x) = 1 x4 (ex − xex + C) 8. r(θ) = −1 + sen (2θ) + Ce− sen (2θ) 9. y(x) = e x2 2 ( x− 1 3 x3 ) , x ∈ R 10. x(y) = ( y2 2 − y − 7 2 ) (y − 1)3, y < 1 11. y(x) = arcsen ( e−x 2 − 1 ) , x ∈ R 12. − 5 2 x+ Cx 1 3 13. y = y(x) impl´ıcita em y2 = x2 + Cx 14. Na˜o e´ homogeˆnea 15. Na˜o e´ homogeˆnea 16. y(x) = −x ln(ln(C|x|)) 17. y = y(x) impl´ıcita em y2 = 2x2 ln(C|x|) 18. (a) Temos que w = w(y) = y − k e y = y(x), logo w = w(y)⇒ w = w(y(x)). Mas z = x− h ou x = x(z) = z + h. Logo w = w(y(x(z))). Aplicando a regra da cadeia duas vezes obtemos: dw dz = dw dy dy dx dx dz Observando que dw dy = 1 e dx dz = 1, conclu´ımos que dw dz = dy dx . Agora, substituindo x, y e dy dx na equac¸a˜o original, obtemos dw dz = F ( a(z + h) + b(w + k) + c A(z + h) +B(w + k) + C ) = F ( az + bw + (ah+ bw + c) Az +Bw + (Ah+Bk + C) ) Supondo que aB − Ab 6= 0, o sistema { ax+ by + c = 0 Ax+By + C = 0 tem soluc¸a˜o. Se x = h e y = k e´ a soluc¸a˜o desse sistema, encontramos dw dz = F ( az + bwk + 0 Az +Bwk + 0 ) que e´ uma equac¸a˜o homogeˆnea nas varia´veis z e w. Lista 9 Ca´lculo II - A 2010-2 22 (b) Supondo que aB = Ab, a e b na˜o sa˜o simultaneamente nulos, faz-se a substituic¸a˜o z = ax+ by. Podemos escrever dy dx = F ( ax+ by + c Ax+By + C ) = F ( b(ax+ by + c) bAx+ bBy + bC ) = F ( b(ax+ by + c) aBx+ bBy + bC ) = F ( b(ax+ by + c) B(ax+ by) + bC ) = F ( b(z + c) Bz + bC ) Temos ainda que dz dx = a+ b dy dx . Substituindo dy dx encontrado acima nesta u´ltima equac¸a˜o, obtemos dz dx = a+ bF ( b(z + c) Bz + bC ) que e´ uma equac¸a˜o de varia´veis separa´veis nas varia´veis z e x. (c) Ana´logo ao item anterior. 19. arctan y + 5 x− 1 = 1 2 lnC ( (x− 1)2 + (y + 5)2) 20. y − x− 5 ln |x+ y − 1| = C 21. y impl´ıcita em y ln(Cy) = 1− x 22. √ 2 arctan ( 1 + (y − 2)2 2(x− 1)2 ) = ln ( e pi √ 2 4 2 [ (x− 1)2 + (y − 2)2]), x > 1 23. x2 + 2y2 = C 24. y = Cx4 25. x2 − y2 = C 26. (x− C)2 + y2 = C2 − 1 27. Suponha que q(t) e´ a quantidade de substaˆncia quando decorridos t anos e q0 a quantidade da substaˆncia no in´ıcio de um per´ıodo de t anos, isto e´, q0 = q(0). (a) dq(t) dt = kq(t), onde k e´ uma constante de proporcionalidade. (b) Resolvendo o PVI, encontra-se Q(t) = q0ekt. Calculando, q(1200) = q0ek.1200. Por outro lado, e´ dado que q(1200) = 64 100 q0. Resolvendo a equac¸a˜o q0ek.1200 = 64 100 q0, encontra-se k = 1 600 ln ( 4 5 ) . (c) Substituindo o valor de k, encontra-se q(t) = q0e 1 600 (ln( 45 ))t. Calculando, a perda em 600 anos e´ igual a q(0) − q(600) = q0 − q0e 600600 (ln( 45 )) = q0 − 45 q0 = 1 5 q0. Logo em 600 anos a perda e´ de 20%. (d) q(t) = q0e 1 600 (ln( 45 ))t = 1 50 q0. Resolvendo a equac¸a˜o, encontramos t = 600 ( ln 2− ln 25 ln 4− ln 5 ) ∼= 6.791, 31 anos. (e) q(t) = q0e 1 600 (ln( 45 ))t = 1 2 q0. Resolvendo a equac¸a˜o, encontramos t = 600 ( − ln 2 ln 4− ln 5 ) ∼= 1.863, 77 anos. 28. I = E(R senωt− ωL cosωt) R2 + ω2L2 + Ce− R L t lista 10 calc 02A 2011.pdf Lista 10 Ca´lculo II - A 2010-2 23 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matema´tica GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada LISTA 10 - 2010-2 Equac¸a˜o diferencial exata EDO’s especiais: Bernoulli, Ricatti e Clairaut Nos exerc´ıcios 1 a 6 identifique as equac¸o˜es diferenciais exatas e resolva-as. 1. (x− y)dx+ (−x+ y + 2)dy = 0 2. y′ = y − x+ 1 −x+ y + 3 3. ( x2 + y2 ) dx+ (xexy + 1) dy = 0 4. ( 3x2y + ey − ex) dx+ (x3 + xey) dy = 0 5. (y + cosx)dx+ (x+ sen y)dy = 0 6. ( 1 + lnx+ y x ) dx = (1− lnx)dy Nos exerc´ıcios 7 e 8 resolva o PVI. 7. (ex + y) dx+ (2 + x+ yey) dy = 0, y(0) = 1 8. ( 1 1 + y2 + cosx− 2xy ) dy dx = y(y + senx), y(0) = 1 Nos exerc´ıcios 9 e 10 verifique que λ = λ(x, y) e´ um fator de integrac¸a˜o que transforma a EDO dada em uma EDO exata e resolva a EDO. 9. x2y3 + x ( 1 + y2 ) y′ = 0; λ(x, y) = 1 xy3 10. ( sen y y − 2e−x senx ) dx+ ( cos y + 2e−x cosx y ) dy = 0; λ(x, y) = yex Nos exerc´ıcios 11 a 18 verifique se e´ poss´ıvel encontrar um fator de integrac¸a˜o do tipo λ = λ(x) ou λ = λ(y) que transforma a EDO dada em uma EDO exata. Em caso afirmativo, determine o fator de integrac¸a˜o e resolva a EDO. 11. yx3dx− (x4 + y4) dy = 0 12. y′ = e2x + y − 1 13. ( 3x2y + 2xy + y3 ) dx+ (x2 + y2)dy = 0 14. ( x y + x2 dx ) + ( y x+ y2 ) dy = 0 15. ( x2 + y2 + 2x ) dx+ ( x2 + y2 + 2y ) dy = 0 16. dx+ ( x y − sen y ) dy = 0 17. ydx+ ( 2xy − e−2y) dy = 0 18. exdx+ (ex cot y + 2y csc y) dy = 0 Nos exerc´ıcios 19 a 22 identifique as equac¸o˜es do tipo Bernoulli e resolva-as. [lembrando, tipo Bernoulli: y′ + p(x)y = q(x)yn , n constante real] 19. y′ − 2xy = 4xy1/2 20. xy′ − y 2 lnx = y2 21. y′ − xy = x3 + y3 22. xdy − (y + xy3(1 + lnx)) dx = 0 Lista 10 Ca´lculo II - A 2010-2 24 Nos exerc´ıcios 23 a 26 identifique as equac¸o˜es do tipo Ricatti e se e´ conhecida uma soluc¸a˜o particular y1, resolva-a. [lembrando, tipo Ricatti: y′ = a(x)y2 + b(x)y + c(x)] 23. y′ = (x+ y)2, y1 = −x+ tanx 24. dy dx = 1− xy2 + y3, y1 = x 25. dy dx = e2x + (1 + 2ex)y + y2, y1 = −ex 26. y′ = 9 + 6y + y2 Nos exerc´ıcios 27 e 27 verifique que as equac¸o˜es sa˜o do tipo Clairaut e encontre uma famı´lia de soluc¸o˜es e as soluc¸o˜es singulares na forma parame´trica. [lembrando, tipo Clairaut: y=xy’+F(y’)] 27. y = xy′ + ln(y′) 28. y = (x+ 4)y′ + (y′)2 Nos exerc´ıcios 29 e 30 resolva o PVI. 29. y′ = sec2(x)− (tanx)y + y2, se y1 = tanx e´ uma soluc¸a˜o da EDO e y(0) = 1/2. 30. y = xy′ + (y′)−2, y(−2) = 3. Este PVI tera´ mais de uma soluc¸a˜o. Isso contradiz o Teorema da Existeˆncia e Unicidade? RESPOSTAS DA LISTA 10 (Com indicac¸a˜o ou resumo de algumas resoluc¸o˜es) 1. x2 + y2 + (4− 2x)y = C 2. x2 + y2 − 2xy − 2x+ 6y = C 3. Na˜o e´ exata 4. x3y + xey + ex = C 5. xy + senx− cos y = C 6. −y + y lnx+ x lnx = C 7. ex + xy + 2y + yey − ey = 3 8. −xy2 + y cosx+ arctan y = 1 + pi/4 9. x2 + 2 ln |y| − y−2 = C 10. ex sen y + 2y cosx = C 11. λ(x) = 1 y5 ; x4 − 4y4 ln |y| = Cy4 12. λ(x) = e−x; y = Cex + 1 + e2x 13. λ(x) = e3x; ( 3x2y + y3 ) e3x = C 14. Na˜o e´ poss´ıvel 15. Na˜o e´ poss´ıvel 16. λ(y) = y; xy + y cos y − sen y = C 17. λ(y) = e2y y ; xe2y − ln |y| = C 18. λ(y) = sen y; ex sen y + y2 = C 19. y(x) = ( −2 + Cex2/2 )2 20. y(x) = 3 √ lnx C − 2√(lnx)3 21. Na˜o e´ tipo Bernoulli 22. y2 = 3 x(1 + 2 lnx) + cx−2 23. y = −x+ tanx+ sec 2 x C − tanx 24. Na˜o e´ tipo Ricatti 25. y = −ex + 1 Ce−x − 1 26. y = −3 + 1 C − x 27. Famı´lia de soluc¸o˜es: y = Cx+ lnC Soluc¸a˜o singular: x = −1 t ; y = −1 + ln t 28. Famı´lia de soluc¸o˜es: y = Cx+ 4C + C2 Soluc¸a˜o singular: x = −4− 2t; y = −t2 29. y = tanx+ secx 2− ln(secx+ tanx) 30. y = −x+ 1; y = x 2 + 4 e 4y3 = 27x2 Na˜o, so´ seria contradic¸a˜o se as hipo´teses estivessem satisfeitas e a tese na˜o valesse, mas na˜o e´ este o caso, o que na˜o esta´ satisfeita e´ a tese. Para testar as hipo´teses ter´ıamos que explicitar y′ em termos de x e y, que neste caso e´ dif´ıcil. Mas com certeza uma das hipo´teses falha, pois se na˜o falhasse, a tese (soluc¸a˜o u´nica) seria va´lida. lista 11 calc 02A 2011.pdf Lista 11 Ca´lculo II - A 2010-2 25 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matema´tica GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada LISTA 11 - 2010-2 EDO linear de ordem n: PVI, existeˆncia e unicidade Func¸o˜es L. I. e Wronskiano Conjunto fundamental de soluc¸o˜es EDO linear de 2a ordem: reduc¸a˜o de ordem Nos exerc´ıcios 1 a 4 determine o maior intervalo na vizinhanc¸a de x0 onde se tem certeza que o PVI (problema de valor inicial) dado tem soluc¸a˜o u´nica. 1. 2yiv − 3x2y′′ + 4xy = 3 senx; y(pi) = 2 ; y′(pi) = −1; y′′(pi) = 0; y′′′(pi) = 1 2. 2yiv − 3x2y′′ + 4xy = 3 lnx; y(2) = −1 ; y′(2) = 0; y′′(2) = 0; y′′′(2) = 2 3. (x2 − 4)y′′′ + (x− 1)y′ + 4xy = e2x; y(−1) = −1 ; y′(−1) = 1; y′′(−1) = 0 4. (x2 − 4)y′′′ + (x− 1)y′ + 4xy = 1 x ; y(−1) = −1 ; y′(−1) = 1; y′′(−1) = 0 Nos exerc´ıcios 5 e 6 verificar que qualquer membro da famı´lia dada e´ uma soluc¸a˜o da EDO linear no intervalo I. Encontrar, se poss´ıvel, a u´nica soluc¸a˜o que satisfaz as condic¸o˜es iniciais dadas. 5. x2y′′ − 20y = 0; famı´lia: y = C1x5 + C2 x4 em I = (0,∞) condic¸o˜es iniciais: y(1) = 4; y′(1) = 2 6. y′′′ − 2y′′ + 2y′ = cosx+ 2 senx; famı´lia: y = C1 + ex(C2 cosx+ C3 senx) + senx em I = R condic¸o˜es iniciais: y(0) = 3, y′(0) = 6, y′′(0) = 6 7. Sabe-se que y = C1 + C2x2, x ∈ R e´ uma famı´lia a dois paraˆmetros de soluc¸o˜es de x2y′′ − y′ = 0. (a) Mostre que na˜o existem constantes C1 e C2 para que um membro da famı´lia satisfac¸a as condic¸o˜es y(0) = 0, y′(0) = 1. Explique porque isso na˜o constitui uma violac¸a˜o do Teorema da Existeˆncia e Unicidade para um PVI linear. (b) Encontre dois membros da famı´lia que satisfazem y(0) = 0, y′(0) = 0. Nos exerc´ıcios 8 a 13 verifique se o conjunto de func¸o˜es dadas sa˜o linearmente independentes. Se forem linearmente dependentes determine a relac¸a˜o de dependeˆncia entre elas. 8. 2x− 3, x2 + 1, 2x2 − x 9. 2x− 3, 2x2 + 1, 3x2 + x 10. 2x− 3, x2 + 1, 2x2 − x, x2 + x+ 1 11. 2x− 3, x3 + 1, 2x2 − x, x2 + x+ 1 12. ex, e−x, senhx 13. x, x lnx, x2 lnx, x > 0 14. Mostre que as func¸o˜es y = x , y = x−2 , y = x−2 lnx , x > 0 formam um conjunto fundamental (base) de soluc¸o˜es da EDO x3y′′′ + 6x2y′′ + 4xy′ − 4y = 0. Forme a soluc¸a˜o geral. Nos exerc´ıcios 15 a 18 encontre uma segunda soluc¸a˜o da EDO linear de 2a ordem, a partir da soluc¸a˜o dada, isto e´, use o me´todo da reduc¸a˜o de ordem para encontrar uma segunda soluc¸a˜o. 15. y′′ − y = 0, y1 = coshx 16. x2y′′ − 7xy′ + 16y = 0, y1 = x4 17. (1 + 2x)y′′ + 4xy′ − 4y = 0, y1 = e−2x 18. x2y′′ − 5xy′ + 9y = 0, y1 = x3 lnx Nos exerc´ıcios 19 e 20 resolva o PVI, se uma soluc¸a˜o y1(x) da EDO e´ dada. 19. y′′ − 3(tanx)y′ = 0; y1(x) = 1; y(0) = 2, y′(0) = 6 20. x2y′′ − 4xy′ + 6y = 0, y1(x) = x2 + x3, y(1) = 0, y′(1) = 3 Lista 11 Ca´lculo II - A 2010-2 26 RESPOSTAS DA LISTA 11 (Com indicac¸a˜o ou resumo de algumas resoluc¸o˜es) 1. (−∞,∞) 2. (0,∞) 3. (−2, 2) 4. (−2, 0) 5. x2y′′ − 20y = x2 (20C1x3 + 20C2x−6)− 20 (C1x5 + C2x−4) = 20C1x5 + 20C2x−4 − 20C1x5 − 20C2x−4 = 0 x0 = 1 ∈ I = (0,∞); u´nica soluc¸a˜o: y = x5 + 1/x4 6. Determinando as derivadas ate´ a ordem 3 e simplificando, encontra-se y′ = ex[(−C2+C3) senx+(C3+C2) cosx]+cosx =⇒ 2y′ = ex[(−2C2+2C3) senx+(2C3+2C2) cosx]+2 cosx y′′ = ex[2C3 cosx− 2C2 senx]− senx =⇒ −2y′′ = ex[−4C3 cosx+ 4C2 senx] + 2 senx y′′′ = ex[(2C3 − 2C2) cosx− (2C2 + 2C3) senx]− cosx Substituindo na EDO dada, y′′′ − 2y′′ + 2y′ = ex [(2C3 − 2C2 − 4C3 + 2C3 + 2C2) cosx] + + ex [(−2C2 − 2C3 + 4C2 − 2C2 + 2C3) senx]− cosx+ 2 senx+ 2 cosx = cosx+ 2 senx c.q.d. U´nica soluc¸a˜o: y = 1 + ex(2 cosx+ 3 senx) + senx 7. (a) y = C1 + C2x2 =⇒ y′ = 2C2x =⇒ y′(0) = 0 6= 1. Neste caso a hipo´tese a2(x) = x2 6= 0 do teorema da existeˆncia e unicidade na˜o esta´ satisfeita, logo na˜o e´ poss´ıvel garantir que existe soluc¸a˜o que satisfaz o PVI. (b) y = x2 e y = −x2. Na verdade qualquer para´bola y = C2x2 satisfaz o PVI. 8. Sa˜o L. I. porque W (2x− 3, x2 + 1, 2x2 − x) = −14 6= 0 9. Sa˜o L. D. Relac¸a˜o de dependeˆncia: (2x− 3) + 3(2x2 + 1)− 2(3x2 + x) = 0 10. Sa˜o L. D. Relac¸a˜o de dependeˆncia: 2(2x− 3) + 13(x3 + 1)− 3(2x2 − x)− 7(x2 + x+ 1) 11. Sa˜o L. I. porque W (2x− 3, x3 + 1, 2x2 − x, x2 + x+ 1) = 156 6= 0 12. Sa˜o L. D. Relac¸a˜o de dependeˆncia: ex − e−x − 2 senhx = 0 13. Sa˜o L. I. porque W (x, x lnx, x2 lnx) = 2x+ x lnx 6= 0,∀x 6= e−2. Atenc¸a˜o: para ser L. I. basta o wronskiano ser na˜o nulo em um dos pontos do intervalo. 14. Para ver que sa˜o soluc¸o˜es e´ preciso derivar cada func¸a˜o, substituir no lado esquerdo da EDO e verificar que se anula. Sa˜o L. I. porque W (x, x−2, x−2 lnx) = 9/x6 6= 0, ∀x > 0. 15. y2 = senhx 16. y2 = x4 ln |x| 17. y2 = x 18. y2 = x3 19. Soluc¸a˜o geral: y = C1 + C2(tanx secx+ ln | secx+ tanx|) Soluc¸a˜o do PVI: y = 2 + 6(tanx secx+ ln | secx+ tanx|) 20. Soluc¸a˜o geral: y = C1x2 + C2x3 Soluc¸a˜o do PVI: y = −3x2 + 3x3 lista 12_calc 02A 2011.pdf Lista 12 Ca´lculo II - A 2010-2 27 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matema´tica GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada LISTA 12 - 2010-2 EDO linear de ordem n com coeficientes constantes: Me´todo dos coeficientes indeterminados Me´todo de variac¸a˜o dos paraˆmetros Nos exerc´ıcios 1 a 12 encontre a soluc¸a˜o geral da EDO linear homogeˆnea. 1. y′′ − 36y = 0 2. y′′ + 9y = 0 3. y′′ − y′ − 6y = 0 4. d2y dx2 + 8 dy dx + 16y = 0 5. y′′ + 3y′ − 5y = 0 6. y′′ − 4y′ + 5y = 0 7. 3y′′ + 2y′ + y = 0 8. y′′′ − y = 0 9. y′′′ − 5y′′ + 3y′ + 9y = 0 10. y′′ + y′′ − 2y = 0 11. 16yiv + 24y′′ + 9y = 0 12. y(5) − 16y′ = 0 Nos exerc´ıcios 13 e 14 resolva o PVI. 13. y′′′ + 12y′′ + 36y′ = 0; y(0) = 0; y′(0) = 1; y′′(0) = −7 14. y(4) − 3y(3) + 3y′′ − y′ = 0; y(0) = y′(0) = 0; y′′(0) = y′′′(0) = 1 Nos exerc´ıcios 15 a 21 resolva as equac¸o˜es, usando o me´todo dos coeficentes indeterminados. 15. y′′ − y′ + 1 4 y = 3 + ex/2 16. y′′ + y = 2x senx 17. y′′ + 4y = (x2 − 3) sen 2x 18. y′′ + 2y′ + y = senx+ 3 cos 2x 19. y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = x− 4ex 20. y′′′ − y′′ + y′ − y = xex − e−x + 7 21. 16y(4) − y = ex/2 Nos exerc´ıcios 22 a 24 resolva as equac¸o˜es. 22. y′′ − y = 1/x, x > 0 23. 4y′′ + 36y = csc 3x , x ∈ (0, pi/6) 24. y′′′ − y′′ + y′ − y = e−x senx Nos exerc´ıcios 25 e 26 resolva o PVI. 25. yiv + 2y′′ + y = senx, y(0) = 2; y′(0) = 0; y′′(0) = −1; y′′′(0) = 1 26. y′′′ − y′′ + y′ − y = secx; y(0) = 2; y′(0) = −1; y′′(0) = 1 Lista 12 Ca´lculo II - A 2010-2 28 RESPOSTAS DA LISTA 12 (Com indicac¸a˜o ou resumo de algumas resoluc¸o˜es) 1. y(x) = C1e6x + C2e−6x 2. y(x) = C1 cos 3x+ C2 sen 3x 3. y(x) = C1e3x + C2e−2x 4. y(x) = C1e−4x + C2 xe−4x 5. y(x) = C1e −3−√29 2 x + C2e −3+√29 2 x 6. y(x) = C1e2x cosx+ C2e2x senx 7. y(x) = C1e −x 3 cos √ 2x 3 + C2e −x 3 sen √ 2x 3 8. y(x) = C1ex + C2e −x 2 cos √ 3x 2 + C3e −x 2 sen √ 3x 2 9. y(x) = C1e−x + C2e3x + C3 xe3x 10. y(x) = C1ex + e−x (C2 cosx+ C3 senx) 11. y(x) = C1 cos (√ 3x 2 ) + C2 sen (√ 3x 2 ) + C3 x cos (√ 3x 2 ) + C4 x sen (√ 3x 2 ) 12. y(x) = C1 + C2e2x + C3e−2x + C4 cos 2x+ C5 sen 2x 13. y(x) = 536 − 536e−6x + x6e−6x 14. y(x) = 23 − 23ex + 23 xex − 16 x2ex 15. y(x) = C1ex/2 + C2 xex/2 + 12 + x2ex/2 2 16. y(x) = C1 cosx+ C2 senx− x 2 cosx 2 + x senx 2 17. y(x) = C1 cos 2x+ C2 sen 2x+ 2532x cos 2x+ 1 16x 2 sen 2x− 112x3 cos 2x 18. y(x) = C1e−x + C2 xe−x − cosx2 + 12 sen 2x 25 − 9 cos 2x 25 19. y(x) = C1ex + C2 xex + C3 x2ex − x− 3− 23x3ex 20. y(x) = C1 + C2 cosx+ C3 senx− 7 + 14 e−x − 12 xex + 14x2ex 21. y(x) = C1ex/2 + C2e−x/2 + C3 cos (x/2) + C4 ( senx/2) + 18 e x/2 22. y = C1ex + C2e−x + 12e x ∫ x x0 e−t t dt− 1 2 e−x ∫ x x0 et t dt 23. y = C1 cos 3x+ C2 sen 3x− x cos 3x12 + sen 3x 36 ln | sen 3x|, x ∈ (0, pi/6) 24. y = C1ex + C2 cosx+ C3 senx− 12x2 senx 25. y = 2 cosx+ 78 senx− 78 x cosx+ 12 x senx− 18x2 senx 26. y = 32 + 1 2 cosx− 52 senx− 12(cosx) ln(cosx) +−12( senx) ln(cosx)− 12x cosx− −12 senx+ 12ex ∫ x 0 e−x cosx dx lista 13_calc 02A 2011.pdf Lista 13 Ca´lculo II - A 2010-2 29 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matema´tica GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada LISTA 13 - 2010-2 EDO linear de ordem n: EDO de Euler-Cauchy, homogeˆnea e na˜o-homogeˆnea. Nos exerc´ıcios 1 a 12 encontre a soluc¸a˜o geral da EDO linear homogeˆnea, tipo Cauchy-Euler. 1. x2y′′ + 4xy′ − 10y = 0, x 6= 0 2. x3y′′′ + 6x2y′′ + 3xy′ − 3y = 0, x 6= 0 3. 2x2y′′ + 5xy′ − 2y = 0, x > 0 4. 2x2y′′ + 5xy′ − 2y = 0, x < 0 5. 2x2y′′ + 5xy′ − 2y = 0, x 6= 0 6. x2y′′ − 7xy′ + 16y = 0, x > 0 7. x2y′′ − 7xy′ + 16y = 0, x 6= 0 8. (x− 1)2y′′ + 7(x− 1)y′ + 9y = 0, x 6= 1 9. x2y′′ + xy′ + 4y = 0, x 6= 0 10. x2y′′ − 3xy′ + y = 0, x 6= 0 11. x2y′′ − 3xy′ + 7y = 0, x 6= 0 12. x4yiv + 6x3y′′′ + 8x2y′′ + 2xy′ = 0, x 6= 0 Nos exerc´ıcios 13 e 14 resolva o PVI. 13. 4x2y′′ + 8xy′ + 17y = 0, y(1) = 2, y′(1) = −3 14. 4x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0, y(−1) = 2, y′(−1) = 3 Nos exerc´ıcios 15 e 16 resolva usando o me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros. 15. xy′′ − 4y′ = x4, x > 0 16. x2y′′ − 2xy′ + 2y = x3 ln(x), x > 0 Nos exerc´ıcios 17 e 18 resolva usando a substituic¸a˜o x = et. 17. x2y′′ − 4xy′ + 6y = ln (x2), x 6= 0 18. x3y′′′ − 3x2y′′ + 6xy′ − 6y = 3, x 6= 0 RESPOSTAS DA LISTA 13 1. y = C1 x2 + C2 x5 2. y = C1 x+ C2 x + C3 x3 3. y = C1 x2 + C2 √ x 4. y = C1 x2 + C2 √−x 5. y = C1 x2 + C2 √|x| 6. y = C1 x4 + C2 x4 ln(x) 7. y = C1 x4 + C2 x4 ln |x| 8. y = C1 (x− 1)3 + C2 ln |x− 1| (x− 1)3 9. y = C1 cos(2 ln |x|) + C2 sen (2 ln |x|) 10. y = C1 |x|2+ √ 3 + C2 |x|2− √ 3 11. y = C1 x2 cos (√ 3 ln |x|)+C2 x2 sen (√3 ln |x|) 12. y = C1+C2 ln |x|+C3 cos(ln |x|)+C4 sen (ln |x|) 13. y = 2x− 1 2 cos (2 ln(x))− x− 12 sen (2 ln(x)) 14. y = 2x2 − 7x2 ln |x| 15. y = C1 + C2 x5 − x 5 25 + x5 5 ln(x) 16. y = C1 x+ C2 x2 + x3 4 (2 ln(x)− 3) 17. y = C1 x2 + C2 x3 + 5 18 + 1 6 ln ( x2 ) 18. y = C1 x+ C2 x2 + C3 x3 − 12