Prova De Cálculo III

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Escola de Engenharia de Lorena-EEL
Prova 1: LOB1052 - Cálculo III Data: 27 de setembro de 2017 Turma: 20172D1
Professor: Juan Fernando Zapata Zapata
Aluno: NoUSP:
Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Final Visto Aluno
Respostas e passagens sem justificativas não serão aceitas. Boa Prova!!
1. (2,5) considere o domínio B = {(x,y) : y ≥ 0, x ≥ 0e y ≤ x} e a funcão f (x,y) = 1
x+ y
a. (1,0) Prove que integral
∫ ∫
B
f (x,y)dxdy existe.
b. (1,5) Calcule
∫ ∫
B
f (x,y)dxdy.
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2. (3,0) Considere o domínio Ω = {(x,y) : 1≤ x2 + y2 ≤ 4, y ≥ −x e y ≥ 1√
3
x}.
a. (1,0) Enuncie o Teorema de mudança de variável.
b. (2,0) Utilize o Teorema de mudança de variável para calcular∫ ∫
Ω
ex
2+y2dxdy
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3. (3,0)
a. (1,0)Enuncie o teorema de Green.
b. (2,0)Suponha que as Curvas γ, γ1, γ2 dadas no gráfico são suaves, regulares e fechadas.
Se F(x,y) é um campo de classe C1 em R2 − {(0,0), (1,1)} tal que RotF = −→0 ,
∮
γ1
Fdγ = 1 e∮
γ2
Fdγ = 2. Calcule
∮
γ
Fdγ
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4. (2,5) Considere o campo de vetores no plano dado por
F(x,y,z) =
(
yzexz + 2xyz− 2x, exz + x2z,xyexz + x2y) .
a. (1,0) Calcule RotF. F é conservativo? Justifique claramente sua resposta.
b. (1,5)Calcule
∫
γ
Fdγ onde γ é o segmento de circunferência contido no primeiro octante de
centro em (0,0,0) que comea¸ em (0,1,1) e termina em (1,1,0).
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