calc3 p2 17 zapata

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Escola de Engenharia de Lorena-EEL
Prova 2: LOB1052 - Cálculo III Data: 29 de Novembro de 2017 Turma: 20162D1
Professor: Juan Fernando Zapata Zapata
Aluno: NoUSP:
Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Final Visto Aluno
Respostas e passagens sem justificativas não serão aceitas. Será descontado 0,5 pontos por falta de
Organização em cada questão. Boa Prova!!
1. (2,5) Calcular o volume do sólido Ω limitado pelos paraboloides z = x2 + y2, z = 4x2 + 4y2, os
planos y =
√
3x, y− 1√
3
x = 0 e os cilíndros x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4
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2. a. (0,5) Enuncie o Teorema da Divergência.
b. (2,0) Utilize o teorema da divergência para calcular o fluxo (con normal apontando para
fora)do campo
F(x,y,z) = (x+ ln(yz2),y+ e−(x
2+z2),z)
através do paraboloide (sem tampas) z = x2 + (y− 1)2, z ∈ [1,4].obs: se não usar o teorema
da divergência e acertar a questão por outro método a pontoação será a metade.
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3. (2,5) O helicoide é a superfície parametrizada por σ(r,θ) = (r cosθ,r sinθ,θ), r ∈ [0,2√2], θ ∈ [0,2pi].
Se a densidade em cada ponto (x,y,z) da lamina helicoidal é δ(x,y,z) =
√
x2 + y2 + 1, calcule o
centro de massa.
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4. a. (0,5) Enuncie o Teorema de Stokes.
b. (2,0) Utilize o teorema de Stokes para calcular o Trabalho realizado pelo campo
F(x,y,z) = (y− 1,z2,y)
ao movimentar uma partícula em sentido horário através da curva dada pela intersecção
entre o plano z = y+ 1 e o cone z
2
2 = x
2 + y2.
c. (0.5) A partir da resposta obtida em b. podemos afirmar que F é um campo conservativo?
Justifique claramente.
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