MACRO_ Geracoesessobrepostas

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05/11/2017
1
7 Modelos de gerações superpostas
“Overlapping Generations Models” –
Diamond (1965) 
• Famílias:
– Cada pessoa vive por dois períodos.Ela trabalha 
no primeiro, se aposenta no segundo e ao final do 
segundo período morre;
– A geração nascida em t é jovem em t e velha em 
t+1 de forma que em cada instante duas gerações 
estão vivas;
– Cada pessoa maximiza a utilidade dos dois 
períodos.
– Não há altruísmo em relação aos filhos.
7 Modelos de gerações superpostas
“Overlapping Generations Models”
 
     
       
 
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   
 
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:problema o resolvem pessoas As
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7 Modelos de gerações superpostas
“Overlapping Generations Models”
 
   
 
     
     
discretaEuler de Equação)5(
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111
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7 Modelos de gerações superpostas
“Overlapping Generations Models”
• Firmas: estrutura idêntica ao que já foi visto
• Equilíbrio:
– Assume-se uma economia fechada
– Investimento agregado iguala a renda agregada
menos o consumo agregado:
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)7)((')(
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7 Modelos de gerações superpostas
“Overlapping Generations Models”
       
     
     
   
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: temos(*)economia da agregada restrição a escrevendo-Re
'''
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:se- tem1 aNeoclássic função uma de condições pelas E
: que Sabendo
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7 Modelos de gerações superpostas
“Overlapping Generations Models”
   
  )11()1(
)1()1(
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)1(
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)1()1(1-t t)3()1(
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:obtemos (9) em (3) e 2)( doSubstituin
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7 Modelos de gerações superpostas
“Overlapping Generations Models”
• Suponha que a economia começa com um estoque de capital
K1 detido pelas L0 pessoas que são velhas em t=1.
t=1
1. Jovens
2. Velhos que nasceram em t=0 (o total deles é L0)
3. Esses velhos pouparam em t=0 para ter capital em t=1, K1. 
4. Estas pessoas velhas consomem c21L0=(1+r1)K1 como estamos em t=1 
5. Dado que a equação que vale pra o velho é dada por: 
ativo. nenhum sem morre velhoo porque aparece só resultado
 Este período. próximo do capital o iguala jovem do poupança a seja,ou 
)12( temosndogeneralizaou 1)1(
obtemos última nessa (*) dosubstituin e 1 que dado E
(*))1(partida de ponto o é que 11 t tempoo que sabendo )3()1(
100111001
11021
0121112
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)Kr(Lc
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

7 Modelos de gerações superpostas
“Overlapping Generations Models”
   
 
 
     
 
 
   
)(')(w:mostra como capital, de nível do depende cobrado salários de nível o que de fato do resultado)(
)(':mostra como capital, de nível do depende cobrado juros de taxade nível o que de fato do resultado)](1[
)14)((1)](1[11
1)](1[1
)(1
:obtemos )13( em dosubstituin 
)13(11
1
:se-obtem (**) em 
1)1(1
 )4( dosubstituin 
(**)
1
 definindo 
1 :constante alpopulacion ocresciment de taxae 1 com 1 Assumindo
1
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11
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1
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1
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• Observe que para um dado Kt podemos calcular Kt+1. Assim, (14) descreve a trajetória do estoque de
capital. É complicado resolver essa equação à diferença não linear. Ela só terá solução em casos
especiais de função de utilidade
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7 Modelos de gerações superpostas “Overlapping
Generations Models”
• Estado estacionário
• Colocando (14) no S. S. e usando a condição de 
maximização de lucro da firma teremos:
       
  
       
     
     
     
       
        )16(z11z111 : teremosentão z de chamando e 
1 1111
1111 :obtemosanterior equação na substindo e
*)(' )( Douglas-Cobb caso o para e
 )('
)(
1)('111
)(')(
1)('111
)(')(1)1(11 1)1(11
)8()(' e ioestacionár Estado No
)15(
21
)(')(
 )7)((')( e 211)](1[111 Se
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7 Modelos de gerações superpostas
• Estado estacionário: Colocando (14) no S. S. e usando a condição de 
maximização de lucro da firma teremos:
       
        
  
 
  único. um Existe .z1 reta a cruza forma, desta
e, * Zde incremento o com menos vezcada aumenta esquerdo lado o
seja,ou negativa, segunda e positiva derivada primeira a com
, com cresce (16) equação da esquerdo lado o 1, Se
. momento, único algum em cruzam se retas duas as infinito, a tende
 e origem da sai que reta uma é direito lado o Como infinito. a tende
* Zse n)(1 para amenteassintotic tendee positivo intercepto com
 Z*,de inversa uma é (16) equação da esquerdo lado o 1, Se
 
1
21z
z11z1111 
)16(z11z111 
*
*
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
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  Θ=1
Θ<1
Θ>1
LD=Lado direito
LE=Lado esquerdo
Z*
Z*
Z*
(1-α)Z* - crescente
(1+n)(2+ρ) -
Constante
Em todos esses casos existe o estado estacionário 
E ele é único
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7 Modelos de gerações superpostas
“Overlapping Generations Models”
     
     
       
       
  
 
 
   )17(21
1
1
21
11z1111 
1 1111
1111 
:obtemos )( equação na substindo e
*)(' )( Douglas-Cobb caso o para e
)( )(')(1)('111
 : é ioestacionár estado o para solução a E
*1
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*0*
***
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
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

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








7 Modelos de gerações superpostas
“Overlapping Generations Models”
• Regra de Ouro
– O modelo de gerações superpostas(OLG) permite o 
aparecimento de excesso de poupança mesmo com a 
escolha ótima das famílias. O motivo é que as famílias têm 
um horizonte finito enquanto a economia não tem.
– O consumo agregado em t: . Consumo per capita 
é: 
– Então maximizar o consumo per capita é o mesmo que 
maximizar , pois (1+n)/(2+n) é constante
1211  tttt LcLcC
t
t
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t
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t
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7
7 Modelos de gerações superpostas
“Overlapping Generations Models”
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***)(**)1(
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)18()()1(
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

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
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











consumo per capita do S.S. 
7 Modelos de gerações superpostas
“Overlapping Generations Models”
 
  
 
   )21(21
1 :que de é eineficient 
ntedinamicame termineeconomia a que para condição a Então,
)17(
21
1por dado é S.S do capitaper capital o que Dado
.
)(*)('
)(' e )(1 com Douglas-Cobb caso o Considere
.** onde eineficient ntedinamicame
 região numaacabar pode* io,estacionár estado no capital do 
 valoro quemostrar possível é Então .* o como conhecido é
 tambémconsumo o maximiza que capital de nível o que Lembre
 verifica.se (20) condição a quando maximizado é consumo o Então
 )20)((*)('*)(*)(* 
*1
1
1
*
1
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1
1
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
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
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
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
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




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7 Modelos de gerações superpostas
“Overlapping Generations Models”
 
  
 
   )21(21
1 :que de é eineficient 
ntedinamicame termineeconomia a que para condição a Então,
.)17(
21
1 1
1
**1
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Akk
n
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
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




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 







 
• Assim esse excesso de poupança é mais provável de ocorrer se a taxa de preferência, rhô , e o 
crescimento da população, n, são pequenos; se a taxa de depreciação, delta, é grande; e se a 
parcela do capital, alfa, é pequena.
• O excesso de poupança não ocorre se alpha é próximo a 1, isso implica 1-alpha (parcela do 
trabalho) próximo a zero, o que diminuiu a capacidade de pouparda população jovem.
7 Modelos de gerações superpostas
“Overlapping Generations Models”
• Dinâmica
– A equação que determina a dinâmica da economia OLG é 
dada pela equação:
   
    
     
           )22(21
1
121
21)(')(21
 )7)((')( e )14(111
1 e Douglas-Cobb F.P. supondo e )14(1)1(11
11
1
11
1
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1
11
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tttttttt
tttttt
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


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
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7 Modelos de gerações superpostas
“Overlapping Generations Models”
• Dinâmica
Então, a medida que kt aumenta, aumenta Kt+1, mas a taxas decrescentes, pois:
 
    
     
 
  
       
 
  
 
 
ioestacionár estado do 
aproxima se capital de estoque o
0'lim
'lim
0
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1
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11''
01
21
1
21
1'
21
1
chamar Vamos
0
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1
1
1
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
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
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
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