Cálculo 2 - Prova 1a unidade 2014.2 COM GABARITO

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Gabarito do 1ºEE de Cálculo 2, Turmas S2 e S6
Professor: Jaime Cesar dos Santos Filho
9 de maio de 2014
Questão 01:
a) A imagem da função f é o conjunto Im (f) =
{
f (x1, x2) ∈ R| (x1, x2) ∈ C2
}
=
{
x1 ∈ R|x21 + x22 = 1
}
portanto
Im (f) = [−1, 1]
e a curva de nível 0 é dada por
f−1 ({0}) = { (x1, x2) ∈ C2∣∣ f (x1, x2) = 0} = { (x1, x2) ∈ C2∣∣x1 = 0} = {(0,−1) , (0, 1)}
ou seja, são apenas dois pontos em C2.
b) A imagem da função g é o conjunto Im (g) =
{
g (x1, x2, x3) ∈ R| (x1, x2, x3) ∈ C3
}
portanto
Im (g) =
{
x3 ∈ R|x21 + x22 + x23 = 1
}
= [−1, 1]
e a superfície de nível 0 é dada por
g−1 ({0}) = { (x1, x2, x3) ∈ C3∣∣ g (x1, x2, x3) = 0} = { (x1, x2, x3) ∈ C3∣∣x3 = 0}
=
{
(x1, x2, x3) ∈ C3
∣∣x21 + x22 = 1}
que é a circunferência de raio 1, centrada na origem, contida no plano xy (ou plano x1x2).
c) A imagem da função g é o conjunto Im (g) =
{
g (x1, x2, x3) ∈ R| (x1, x2, x3) ∈ R3
}
portanto
Im (g) =
{
x21 + x
2
2 + x
2
3 ∈ R
∣∣ (x1, x2, x3) ∈ R3} = [0,+∞)
e a superfície de nível 1 é dada por
g−1 ({1}) = { (x1, x2, x3) ∈ R3∣∣ g (x1, x2, x3) = 1} = { (x1, x2, x3) ∈ R3∣∣x21 + x22 + x23 = 1} = C3
que é a esfera de raio 1, centrada na origem.
Questão 02:
a) Como (0, 0) é ponto de acumulação de qualquer �vizinhança perfurada� da origem, (ou seja, dada
qualquer bola aberta centrada na origem de raio δ > 0, B ((0, 0) , δ), temos que (0, 0) é ponto de
acumulação de B ((0, 0) , δ)\{(0, 0)}) então faz sentido se questionar sobre o limite
lim
(x,y)→(0,0)
x5 + 2xy4
x4 + y4
1
Como as expressões
x4
x4 + y4
e
y4
x4 + y4
representam funções limitadas em qualquer vizinhança
perfurada da origem (mesmo não estando definidas na origem) e
lim
(x,y)→(0,0)
x = lim
(x,y)→(0,0)
2x = 0
segue do resultado provado em sala de aula (produto de função limitada e outra que vai pra zero)
que
0 = lim
(x,y)→(0,0)
x
x4
x4 + y4
+ lim
(x,y)→(0,0)
2x
y4
x4 + y4
= lim
(x,y)→(0,0)
x5 + 2xy4
x4 + y4
b) Como (0, 0) é ponto de acumulação de qualquer �vizinhança perfurada� da origem, (ou seja, dada
qualquer bola aberta centrada na origem de raio δ > 0, B ((0, 0) , δ), temos que (0, 0) é ponto de
acumulação de B ((0, 0) , δ)\{(0, 0)}) então faz sentido se questionar sobre o limite
lim
(x,y)→(0,0)
x8 − x4y4 + 2y8
x8 + 2x4y4 + y8
Ora, dada qualquer bola aberta centrada na origem de raio δ > 0, B ((0, 0) , δ) existem pontos da
forma (t, 0) e (0, t) pertencentes ao conjuntoB ((0, 0) , δ)\{(0, 0)} ( basta tomar 0 < t < δ). Para os
pontos da forma (t, 0) temos que a expressão se torna
lim
(t,0)→(0,0)
t8 − t404 + 2 � 08
t8 + 2t404 + 08
= lim
t→0
t8
t8
= 1
e para os pontos da forma (0, t) temos
lim
(0,t)→(0,0)
08 − 04t4 + 2t8
08 + 2 � 04t4 + t8 = limt→0 2
t8
t8
= 2
portanto não pode haver o limite, pois tomando 0 < ε <
1
2
, não existe δ > 0 tal que para todo
(x, y) ∈ B ((0, 0) , δ)\ {(0, 0)} vale que (seja verdade que...)
∣∣∣∣x8 − x4y4 + 2y8x8 + 2x4y4 + y8 − L
∣∣∣∣ para qualquer
L número real.
Questão 03:
a) Nesse caso, para calcularmos fx (x, y) basta tratarmos y como constante e derivar a função como
dependendo só de x (derivada de funções de uma variável) e aplicarmos num ponto genérico (x, y).
Analogamente para o caso fy (x, y). Ficamos assim com:
fx (x, y) =
x8 − x4y4 + 2y8
(x4 + y4)
2
fy (x, y) =
4x5y3
(x4 + y4)
2
b)
fx (0, 0) = lim
t→0
f (t, 0)− f (0, 0)
t
= lim
t→0
t5
t5
= 1
fy (0, 0) = lim
t→0
f (0, t)− f (0, 0)
t
= lim
t→0
0
t5
= 0
2
Questão 04:
a)
fx (0, 0) = lim
t→0
f (t, 0)− f (0, 0)
t
= lim
t→0
0
t3
= 0
fy (0, 0) = lim
t→0
f (0, t)− f (0, 0)
t
= lim
t→0
0
t3
= 0
b) Dada qualquer bola aberta centrada na origem de raio δ > 0, B ((0, 0) , δ) existem pontos da forma
(t, t) e (−t, t) pertencentes ao conjuntoB ((0, 0) , δ)\{(0, 0)} ( basta tomar 0 < t < δ√
2
). Como
(0, 0) é ponto de acumulação de R2 então f é contínua na origem se, e só se,
lim
(x1,x2)→(0,0)
f (x1, x2) = f (0, 0) = 0
ou seja, se e só se
lim
(x1,x2)→(0,0)
x1x2
x21 + x
2
2
= 0
Mas, para os pontos da forma (t, t) temos que a função é constante: f (t, t) = 12 , portanto
lim
(t,t)→(0,0)
f (t, t) =
1
2
e para os pontos da forma (−t, t) temos que a função é constante: f (−t, t) = − 12 , portanto
lim
(−t,t)→(0,0)
f (−t, t) = −1
2
consequentemente f não pode ser contínua na origem, pois tomando 0 < ε <
1
2
, não existe δ > 0
tal que para todo (x1, x2) ∈ B ((0, 0) , δ)\ {(0, 0)} vale que (seja verdade que...) |f (x1, x2)− L|
para qualquer L número real, em particular para L = 0 = f (0, 0).
c) A resposta é não, e a justificativa está acima.
Questão 05: Como a função possui todas as derivadas até a segunda ordem contínuas em todo o R3,
podemos usar o Teorema de Clairout para mudar a ordem das derivadas parciais. Assim, temos que
fx1x3
(√
2, pi, e
)
= fx3x1
(√
2, pi, e
)
= 2pi
3