ApostilaDE

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IíNDICE I
UNIDADE 1- ANÁLlSI~ DE nADOS ESTATíSTICOS ~ OI
1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE ESTATíSTICA OI
2. FASES DO MÉTODO OU TRABALHO ESTATíSTICO 07
3. DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÜNCIAS 10
4. REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DAS DISTRIBlJlÇÜES D[~ FREQUÊNCIAS 15
5. MEDIDAS DE POSiÇÃO 18
6. MEDIDAS DE DISPERSÃO 24
7. REFERÊNCIAS BII3L10GRÁFICAS 27
UNIDADE 11- INTRODUÇÃO À I)RO nA UI LI DAD E ..............................•......•....•..... 28
1. INTRODUÇÃO 28
2. ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS 29
3. NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE PROBABILIDADE 31
4. PROBABILIDADE EM ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS E EQUIPROV ÁVEIS 32
5. PROBABILIDADE CONDICIONADA 34
6. TEOREMA DE BAYES 38
7. EVENTOS INDEPENDENTES 39
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFiCAS 41
APÊNDICE A - ALGUMAS NOÇÕES DA TEORIA DOS CONJUNTOS 42
APÊNDICE B - TÉCNICAS DE CONTAGEM 44
UNIDADE 111- DISTRIBUiÇÃO DE I)ROBABILlDADE 47
1. INTRODUÇÃO , " 47
2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 49
3. VARlÁ VEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 52
4. ESPERANÇA MATEMÁTICA E VARIÂNCIA 54
5. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 57
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFiCAS 64
UNIDADE IV - ESTATÍSTICA INFERENCIAL 65
1. NOÇÕES ELEMENTARES DE AMOSTRAGEM 65
2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL 69
2.1. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 70
2.2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO 74
2.3. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA VARIÂNCIA 75
3. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 76
J
li..-
UN IDA DE V - ESTIMA çÃO •..•••.••....••.••..•.....••.••••..•.•..••..•.••.••.•....•.•...••...•••••.•••••...•...•.77
1. INTTtODUÇÃO , 77
2. ESTIMAÇÃO PONTUAL 77
2.1. PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES , 78
2.2. ESTIMADORES PONTUAI S 80
3. ESTIMAÇÃO POR INTERVALO 81
3. I. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA DA POPULAÇÃO 82
3.2. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO DA POPULAÇÃO 85
4. REFERÊNCIAS lJlI3L10GRÁFI CAS 86
UN lDAD E VI - TESTES DE 111PÓTES ES ••..•.•;•.......•.•.•.•...•...•.•...•.•..•..•••.•••••..••....••.••••87
1. INTRODUÇÃO 87
2. CONCEITOS fUNDAMENTA IS 87 .
3. PASSOS PARA CONSTRUÇÃO DE UM TESTE DE HIPÓTESES 88
4. TESTES. SOBRE A MÉDIA DA POPULAÇÃO 89
5. TESTES SOBRE A PROPORÇÃO DA POPULAÇÃO 93
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFl CAS 95
UNIDADE VII - REGRESSÃO E CORRELAÇÃO 96
1. INT'RODUÇÃO 96
2. COItRELA çÃO 96
3. REGRESSÃO : 99
4. REFERÊNCIAS BIBLlOG RÁFICAS 104
TA nELAS .•.•...•..•.....••.•.•.....•......•.•..•....••..................... ... ....................................•..... ..... 105
IUNIDADE l. ANÁLISE DE DADOS ESTATÍSTlCOSj
J. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE ESTATíSTICA
-ESTATíSTICA
"Podemos considerar a Estatística como 11m cmrjllllto ele métodos e processos
qllaJltitaJil'oS qlle sen'e para e.'itlldar e medir os fenômellos coletÍl'os".
A estatística teve acelerado desenvolvimento a partir do século XVII, através dos
estudos de BERNOULLI, FERMAT, PASCAL. LAPLACE. GAUSS, GALTON, PEARSON, FISHER,
POISSON, KOLMOGOROV e outros que estabeleceram suas características essenciais.
Ela não alcançou ainda um estado definitivo. Continua a progredir na ação direta do
desejo de investigação dos fenômenos coletivos.
A Estatística é considerada como Ciência no sentido do estudo de uma população.
Mantém com a Matemática uma relação de dependência, solicitando-lhe auxílio, sem o
qual não poderia desenvolver-se. Com as outras Ciências mantém a relação de complemento,
quando utilizada como instrumento de pesquisa.
Em especial a relação de complemento é a forma que a Estatística, através de seus
MÉTODOS ESTATÍSTICOS, mantém com as Áreas Tecnológicas, as Ciências Exatas e
outras, servindo como instrumento auxiliar na tomada de decisões.
A Estatística tem como OBJETIVO o estudo dos fenômenos coletivos.
Objetivando o estudo quantitativo e qualitativo dos dados (ou informações), obtidos
nos vários campos da atividade cientílica, a Estatística manipula dois conjuntos de dados
fundamentais: a "pop"lação" e a "amostra".
POPULAÇÃO ( ou Universo)
É o conjunto dos seres, objetos ou informações que interessam ao estudo de um
fenômeno coletivo segundo alguma(s} característica(.'l). É, portanto, u~ conjunto definido
de informações relativas a qualquer área de interesse, podendo, quanto ao número de
elementos, ser: finita (tamanho N) ou infinita.
Na maioria das vezes, não é conveniente, ou mesmo possível realizar o levantamento
dos dados referentes a todos os elementos de uma população. Portanto, analisamos parte da
população, isto é amo,stramos.
AMOSTRA
É um subconjunto não vazio ou parte da população. Duas considerações devem ser
feitas sobre o estudo amostrai dos fenômenos. Uma diz respeito aos cuidados que se deve
tomar para assegurar que a amostra seja representativa da população. Para atender a essa
exigência, deve-se selecionar os elementos de forma aleatória, de modo que todo e qualquer
elemento da população tenha a mesma chance de participar da amostra. A outra exigência
diz respeito à precisão dos dados coletados, buscando minimizar os erros que poderiam
induzir a conclusões equivocadas. O número de elementos de uma amostra é chamado o
tamanho da amostra, e denotado por n.
--------,
..,j
_ PROCESSOS ESTATÍSTICOS DE ABORDAGEM
Em. aplicações efetivas, onde aplica-se o processo de amostragem, o número de
elementos componentes de uma amostra é, geralmente, bastante reduzido em relação ao
núm~ro de elementos componentes da população.
para toda uma população é denominada
b) AMOSTRAGEM (Inferência) - avaliação indireta de um parâmetro, com base em
um estimador através do cálculo das probabilidades.
Propriedades Principais da Estimação: Admite erro processual positivo e tem
confiabilidade menor que 100% - É barata -
É rápida - É atualizada - É sempre viável.
I) ESTATÍSTICA DESC1UTIVA - é a parte da Estatística que tem por objetivo
descrever os dados observados. São atribuições da Estatística Descritiva:
2
Quando solicitados a estudar um fenômeno coletivo podemos optar entre os seguintes
processos estatísticos:
.a) CENSO - avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos os componentes da
população.
Propriedades Principais do Censo: Admite ~rro processual zero e tem confiabilidade
100% - E caro.
É lento - É quase semp'rc desatualizado - Nem sempre é viável.
a) A organização dos dados.
b) A redução dos dados.
c) A representação dos dados.
No sentido de disciplimi, a Estatística ensina métodos racionais para a obtenção de
informações a respeito de um fenômeno coletivo, além de obter conclusões válidas para o
fenômeno e também permitir tomada de decisões, através de alguma(s) característica(s) de
valores numéricos observados.
Desta forma, a Estatística. pode ser dividida em duas grandes áreas: DCSCI'itiv:l c
lnfcrcncial.
Por exemplo: no fenômeno coletivo eleição para prefeito do município de João
Pessoa, a população é o conjunto de todos os eleitores habilitados na respectiva cidade. Um
parâmetro é a proporção de votos do candidato A. Uma amostra pode ser um grupo de
1.000 eleitores selecionados em todo o município. Um cstimador é a proporção de votos
do candidato A obtida na amostra. O valor resultante do estimador, a proporção amostrai, é
a estimativa.
085: Parâmetro. Estimador e Estimativa
a) Uma característica numérica estabelecida
parâmetro.
b) Uma característica numérica estabelecida para uma amostra é denominada estimeu/or.
c) O valor numérico assumido pelo estimador numa determinada amostra é denominada
estimatiJ'a.
~
------------ "j
3
DADOS e VARIÁVEIS ESTATíSTICAS
Isto encerra as atribuições da Estatística Descritiva.
"0
~ IAmostragem I ~
1 Cálculo dasProbabilidades
~IE ,. I Lê"~statlstlca
lnferencial
Estatística
Descritiva
"
Figura 1:Esquema Geral de um Curso de Estatística
Complementando o processamento estatístico, no caso de uma estimação, a Estatística
Indutiva estuda os parâmetros. a partir do uso de estimadores usando o cálculo das
probabilidades, elemento este que viabiliza a inferência estatística.Em resumo, um estudo estatístico completo que recorra às técnicas de Estatística
Inferencial irá envolver também, direta ou indiretamente, tópicos de Estatística Descritiva,
Cálculo das Probabilidades e Amostragem. Logo, para se desenvolver um curso completo e
razoável de Estatística, todos esses assuntos devem ser abordados. No diagrama abaixo está
indicado como essas áreas estão j-c1acionadas.
Normalmente, no trabalho estatístico o pesquisador se vê obrigado a lidar com grande
quantidade de valores numéricos resultantes de um censo ou de uma amostragem. Estes
valores numéricos são chamados dadm; estatísticos.
• A organização dos dados consiste na ordenação e crítica quanto à correção dos
valores observados, falhas humanas, omissões, abandono de dados duvidosos, etc .
• Redução dos dados - O entendimento e compreensão de grande quantidade de
dados através de simples leitura de seus valores individuais é uma tarefa extremamente
árdua e dificil mesmo para o mais experimentado pesquisador, portanto deveremos tabular
os dados .
• A representação dos dados - Os dados estatísticos podem ser mais facílmente
compreendidos quando apresentados através de uma representação gráfica, a qual permite
uma visualização instantânea de todos os dados. Os gráficos quando bem representativos,
tornam-se importantes instrumentos de trabalho.
• A obtenção de algumas informações que sumarizam os dados, facilitando a
descrição dos fenômenos observados.
11) K,)TA 1iSTlCA lNl'1~RI';NCIAL (ou II/dufiva) - é a parte da Estatística que tem por
objetivo obter e generalizar conclusões para a população a partír de uma amostra.
d) A obtenção de algumas informações que auxiliam a descrição do fenômeno observado .
...
As informações ou dados característicos dos fenômcnos ou populaçõcs são
denominados variál'ei.'i e.'ttatí.'itica.'i ou simplesmcnte l'arÍth'ei.'i. Conforme suas
características particulares, podem ser classificadas como: QUlultitatÍl'll.'i c Qu.alitativlls.
QUANTIT ATl VAS - São aquelas que podem ser expressas em termos numéricos. Em
geral são as resultantes de medições, enumerações ou contagens. São subdivididas em
cOlltíllUas e discretas. conforme abaixo.
ContínuD.'i - são aquelas que podem assumir qualquer valor num certo intervalo de
medida, podendo ser associados ao conjunto dos números reais, ou seja, seus valores
possíveis formam um conjunto não enumerável. Entre outras, enquadram-se nesta categoria
as medidas de tempo, comprimento, espessura, área, volume, peso e velocidade.
Discretas (ou desc{mtímlD.'.) - quando só podem assumir determinados valores num
certo intervalo, podendo ser associadas ao conjunto dos númcros inteiros, ou seja, seus
possíveis valores formam um conjunto finito ou enumerável. Em geral, representam númcros
inteiros resultantes do processo de contagem, como o número de alunos por sala, de
créditos por disciplinas, de pacientes atendidos diariamente num hospital, etc.
De modo geral, as medições dão origem as variáveis contínuas e as contagens ou
enumerações, as variáveis discretas. Designamos estas variáveis por letras latinas, em geral
, as últimas: X, Y, Z.
QUALITATIVAS - Nem sempre os elementos de uma população são exclusivamente
contáveis. Muitas vezes, eles podem ser qualificados também segundo algumas de suas
características típicas. Nesses casos, as variáveis podcm ser agrupadas em lIomillais ou
ordil,ais( por postos ).
Nominais - quando puderem ser reunidas em categorias ou espécies com idênticos
atributos. Aqui se incluem os agrupamentos por sexo, área de estudo, desempenho, cor,
raça, nacionalidade e religião.
Ordillais - quando os elcmentos forem reunidos segundo a ordem em quc aparecem
dispostos numa lista ou rol. São típicos desta forma de agrupamento, as listas classificatórias
de concursos e as tabelas de campeonatos. .
Em geral, uma mesma população pode scr caracterizada por mais de um tipo. de
variável. Assim os inscritos num vestibular, por exemplo, podem ser contados, medidos ou
pesados, podem ser agrupados segundo o sexo ou área de estudo e podcm ainda ser
classificados segundo a,s notas obtidas nas provas prestadas .
.-.
1- NíVEIS DE MENSURAÇÃO - I
o objetivo de estudarmos os níveis de mensuração das variáveis cstatísticas consiste
em determinar a complexidade da análise das variáveis (características de interesse)
envolvidas no estudo de uma população ou de uma amostra.
As pessoas de uma comunidade podem ser estudadas sob diversos ângulos. Por
exemplo, podem ser classificadas quanto ao SEXO (masculino/feminino), quanto à
4
-~
ESTATURA (baixa/média/alta), quanto à REN DA (pobres/ricas) etc. SEXO,
ESTATURA, RENDA são variávcÍs, isto é, são características às quais podemos associar
conceitos ou números e assim expressar, de certa maneira, informações sob a forma de
medidas.
1". nível: _ É o nível de mensuração mais baixo, mais rudimentar possível. A escala de
medida desse nível chama-se NOMINAL. O fundamento para a atribuição dos números é de
natureza qualitativa.
Exemplos:
VAIUÁVEL QUALITATIVA NOlvflNAL - 1° Nível - Escala Nominal (classificação por tipos
ou atributos).
a) População: moradores de um cidade
Va,riáve/: cor dos olhos (pretos, castanhos, azuis, etc.)
b) População: funcionários da empresa X
Variável: sexo (masculino, feminino)
20. nível: _ Este nível já é um pouco mais elaborado que o anterior e corresponde ao que
popularmente se designa por ordellllçào; a escala de medida chama-s.e ORDINAL. As
grandezas de 20• nível podem ser avaliadas em termos de 11lai.~ lJue ou I1U!IWS lJue, embora a
quantificação precisa seja impossível.
Exemplos:
VAJUÁVEL QUALITATIVA OlWINAL - 2° Nível - Escala Ordinal ( ordenação ou postos).
c) População: estudantes de uma escola de 2". grau
Variável: grau de escolaridade ( 13• série, 23• série, 33• série)
d) População: pessoas adultas economicamente ativas
Variável: renda (baixa, média, alta)
30. nível: _ É no 30. nível que surge, pela primeira vez, uma escala de medida propriamente
dita. É a escala INTERVALAR, onde a contagem rcsulta números inteiros e com eIes são
possíveis algumas das operações aritméticas ( adição, subtração e multiplicação). Neste nível
o ZERO da escala é relativo.
Exemplos: As Esca~.~sTermométric:ls, fuso horário.
4". nívcl: O 40• nível define a c1úlmada escala das raztJes ou RACIONAL. Essa escala é
muito parecida com a de 3". níveI, exccto quanto à origem. O ZCIOO é absoluto, isto é, é zero
mesmo. No 40• nível todas as operações aritméticas são possíveis, isto é, adição, subtração,
multiplicação c divisão.
5
"j
:=J
Escala das
Razões
140. NÍVELI
Escala
Inter\'alar
130. Nívr::L I
Escala Ordinal
120. NÍVELI
Escala
Nominal
110.NÍVELI
(,
A Complexidade da análise das variáveis aumenta quanto maior for o nível desta
variável, como é indicado no diagrama abaixo.
VA1UA Vr-L QUANTITA TIVA CONJiNUA - 4° Nível - Escala das Razões (processo de
medição).
g) POjJulaç{io: peças produzidas por uma máquina
Variável: diâmetro externo (p. ex., 0,96 cm)
h) Populaçlio: estudantes de uma escola
Variável: tempo de estudo diário em certa disciplina (p. ex., 2,30 h)
Exemplos:
VAIUA VEL QUANTITA TlVA f)/,SCR/~TA - 4° Nível - Escala das Razões (processo de
contagem e ordenação).
e) População: casais residentes em uma cidade
Variável: número de filhos (O, 1,2, 3,4 ou mais filhos)
f) POjJulaçlio: peças produzidas por uma máquina
Variável: número de defeituosas da produção diária (O, 1,2,3,4,5, ." )
Figura 2: Grau de complexidade da análise dos dados
"
'--
2. FASES DO MÉTODO OUTRAUALHOESTATÍSTICO
Em linhas gerais, podemos distinguir na análise estatística as seguintes etapas:
Planejamento, Coleta, Crítica, Apuração e Exposição dos dados, além da análise dos dados.
PLANEJAMENTO
É o trabalho inicial de coordenação no qual define-se a população a ser estudada
estatisticamente,formulando-se o trabalho de pesquisa através da elaboração de
questionário, entrevistas, etc.
A organização do plano geral, implica em obter respostas para uma série tradicional
de perguntas, antes mesmo do exame das informações disponíveis sobre o assunto, perguntas
que procuram justificar a necessidade efetiva da pesquisa, a saber:
_ "quem", "o que", "sempre", "por que", "para que", "para quando".
Imaginemos, por exemplo, que a Biblioteca Central da UFPb tenha necessidade de
.obter informações acerca dos usuários em potencial que utilizam-na.
O primeiro trabalho da equipe encarregada -da pesquisa, será evidentemente, o de
obter resposta para aquelas perguntas. Seriam então:
- Quem deseja as informações?
_ O que devemos perguntar no questionário?
_ Será executada sempre? A pesquisa será periódica ou ocasional?
- Por que desejam as informações?
- Para que desejam as informações?
_ Quando deverá estar concluída a pesquisa?
_ Qual a época oportuna-para a aplicação dos questionários?
Ainda na fase do planejamento, temos:
o EXAME DAS INFORMAÇÕES DISPONíVEIS, ou seja, análise da reunião de
tudo que foi publicado sobre o assunto, obtendo-se relatórios sobre atividades semelhantes
ou correlatas.
A DEFINIÇÃO DO UNIVERSO, isto é, saber qual o conjunto a ser pesquisado,
distribuindo, classificando ou agrupando os elementos desse conjunto em populações, para
permitir um trabalho mais fácil, mais lógico, mais racional.
O tipo de levantamento, CENSO ou AMOSTRAGEM, deverá ser decidido com a
devida antecedência c-a necessária análise das vantagens e desvantagens de um e de outro,
em virtude do custo financeiro e .do prazo determinado para a conclusão do trabalho.
COLETA DE DADOS
Após cuidadoso planejamento e a devida determinação das características
mensuráveis do fenômeno coletivamente típico que se quer pesquisar, damos início à coleta
dos dados numéricos necessários à sua descrição.
7
l
A coleta dos dados poderá ser feita de diversas formas. A ideal é aquela que
maximiza os recursos disponíveis, dados os objetivos e a precisão previamente estipulados.
No seu planejamento, deve-se considerar o tipo de dado a ser coletado, o local onde este se
manifestará, a frequência de sua ocorrência, e outras particularidades julgadas importantes.
Quando os dados se referirem ou estiverem em poder de pessoas, sua coleta poderá
ser realizada mediante respostas a questionários previamente' elaborados. Esses
questionários podem ser enviados aos entrevistados para devolução posterior ou podem ser
.aplicados pelos próprios pesquisadores ou por- entrevistadores externos ou contratados,
devidamente treinados.
Os dados ou informações representativas dos fenômenos ou problema em estudo
podem ser obtidos de duas formas: por via direta ou por l'ia i"direta,
Por via direta - quando feita sobre elementos informativos de registro obrigatório
(p. ex.: nascimentos, casamentos, óbitos, matrículas de alunos etc.) ou, ainda, quando os
dados são coletados pelo próprio pesquisador através de cntrevistas ou questionários.
A coleta direta de dados, com relação ao fator tempo, pode ser classificada em:
a) contínua, também denominada registro, é feita continuamente, tal como a de
nascimentos, óbitos, etc.;
b) periódica, quando feita em intervalos constantes de tempo, como os censos( de 10
em 1O anos), os balanços de uma empresa comercial, etc.; .
c) ocasional, quando feita extemporaneamente, a fim de atender a uma conjuntura
ou a uma emergência, como no caso de epidemias que assolam ou dizimam seres humanos
Por l'ia i"direta - quando é inferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou
conhecimento de outros fenômenos relacionados com o fenômeno estudado. Como
exemplo, podemos citar a pesquisa sobre a mortalidade infantil, que é feita através de dados
colhidos via coleta direta.
CIÚTICA DOS DADOS
Os dados colhidos por qualquer via ou forma e não previamente organizados são
chamados de dados brutos. Esses dados brutos, antes de serem submetidos ao
processamento estatístico propriamente dito, devem ser "criticados", visando eliminar
valores impróprios e erros grosseiros que possam interferir nos resultados finais do estudo.
A crítica é exter"a quando visa às causas dos erros por parte do informante, por
distração ou má interpretação das perguntas que lhe foram feitas; é illterlla quando se
observa o material constituído pelos dados coletados. É o caso, por exemplo, da verificação
de somas de valores anotados.
APURAÇÃO OU PROCESSAMENTO DOS DADOS
Uma vez assegurado que os dados brutos são consistentes, devemos submetê-los ao
processamento adequado aos fins pretendidos. A apuração ou processamento dos dados
pode ser manual ou clctr-ônica. Os processos e métodos estatísticos a que um conjunto de
dados pode ser submetido serão nosso objeto de estudo nas seções seguintes.
8
EXI)OSIÇÃO ou AI)RESENTAÇÃO DOS DADOS
Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em vista, os dados devem ser
apresentados sob forma adequada (üabclas ali gl"áficos), tornando niais fácil o exame
daquilo que está sendo objeto de tratamento estatístico e ulterior obtenção de medidas
típicas.
No caso particular da estatística descritiva, ó objetivo do estudo se limita, na maioria
dos casos, à simples apresentação dos dados, assim entendida a exposição organizada e
resumida das informações coletadas através de tabelas ou quadro .••, bem como dos gráficos
resultantes.
ANÁLISE DOS RESULTADOS
Como já dissemos, o objetivo último da Estatística é tirar conclusões sobre o todo
(população) a partir de informações fornecidas por parte representativa do todo (amostra).
Assim, realizadas as fases anteriores (Estatística dcscl"itiva), fazemos uma análise dos
resultados obtidos, através dos métodos da Estatística Infcrcncial, que tem por base a
indução ou inferência, e tiramos desses resultados conclusões e previsões.
9
c
3. DISTJUnUICÔES J)E FIU~Q(JI~NCIAS
Os dados numéricos, após coletados suo colocados em série e apresentados em
tabelas ou quadros.
Quando se estuda orna variável (qualitativa ou quantitativa), o maior interesse do
pesquisador é eonhecer a distribuição dessa variável através das 'possíveis realizações
(valores) da mesma. Iremos, pois, ver uma maneira de se dispor um cOI~unto de valores, de
modo a se ter uma boa idéia global subre esses valores, ou seja, de sua distribuição.
Consideremos, para efeito de estudo, o qmuln» (hanco de dados) apresentado abaixo:
TABELA 1.1 - Infonnações sobre sexo, curso, idade (anos), pr(}(.:edência, renda .fámiliar, nlÍmero
de disciplinas malriclIiado(a), peso (kg) e allllra (cm) de 31 alunos matriculados na
. disciplina CÁLC. das PROBo e ESTATíSTICA I, período 97.1 - turma: 04 - tumo da
manhã.
lO SEXO CURSO lDAlJE PROCEDf~NClJ\ RENDA NU. DISCIP PESO
ALTURA
(anos) FAMIIJAR MATRIC (kg) (em)
OI Masc Ciências 27 Capital Baixa 3 68 170
02 Masc Eng Civil 18 Interior Média 7 60 175
03 Fem Ciências 21 Capital Média 6 57 168
04 Masc Eng Mec 23 Interior Baixa 5 54 N.lnf
05 Masc Eng Mec 23 Interior Baixa 5 54 N.lnf
06 Fcm Ciências 21 O.Re.gião Média 7 47 153
07 Fem Ciências 21 Capital Médià 8 46 162
08 Masc Eng Mec 27 Interior Média 4 90 174
09 Masc Eng Civil 21 Capital Alta 5 51 172
10 Fem Eng Civil 19 Capital Média 6 43 158
II Masc Eng Civil 18 O.Região Média 5 73 177
12 Masc Eng Civil 18 O.Região Alta 6 69 175
13 Fem Eng Mec 22 Capital Média 6 70 172
14 Fem Ellg Civil 19 Capital Média 5 57 165
15 Masc Eng Civil 19 Capital Média 5 73 183
16 Masc Eng Civil 18 Capital Alta 6 55 167
17 Masc Eng Civil 19 Capital Média 5 82 181
18 Masc Ellg Civil 23 Capital Média 4 65 175
19 Masc Eng Civil 19 O.Re~ião Média 5 71 170
20 Fem Eng Civil 18 Capital Média 5 68 170
21 Masc Eng Civil 18 Capital Média 5 70 170
22 Masc Eng Civil 20 Capital Média 5 67 177
23 N.lnf Eng Civil' 19 Capital Média. 7 68 170
24 Masc Ellg Civil 24 .. Capital Média 770 170
25 Fem Eng Civil 20 Capital Média 6 58 161
26 Fem Eng Civil 21 Capital Média 5 51 158
27 Masc Eng Civil 20 Capital Média 5 84 180
28 Masc Eng Civil 21 Interior Média 6 65 167
29 Masc Eng Civil 20 Interior Baixa 6 62 164
30 Masc Eng Civil N.1nf Capital Média 3 84 170
31 Fem Eng Civil 21 Capital Média 6 62 173
FONTE: Questionário aplicado - aula 18/03/97
10
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS rOR INTERVALOS OU CLASSES (variável
quantitativa).Constrói-se classes de valores, quando a variabilidade dos dados é grande, levando
em consideração o número de valores que pertencem a cada classe. A construção de tabelas
de frequências para variáveis cóntínuas necessita de certos cuidados.
Uma distribuição de frequências pode ser apresentada nas seguintes maneiras:
_ DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS POR VALORES (variável qualitativa ou
quantitativa discreta)
Tabela 1.2 _ Frequências e Percentuais dos 31 estudantes de Calco Probo Est 1 -
Turno: Manhã, Turma: 04, Período: 97.1 - segundo a Região de Procedência
j
1I
Percclltua!
(;%
6,5
6,5
41,9
29,0
12,9
3,2
\00
1'ercellllllll
f, I}/íl
C>7,7
19,4
129-'
100
N° dc Estudalltcs
(;
2
2
13
9
4
1
3\
,..p ele 1',:,illllolJles
L
21
Ó
4
31
OBS.: L=> letra grega "SIGMA", indica total ou somatório.
Tabela 1.3 _Distribuição de frequências e percentuais do Nº de Disciplinas Matriculado(a)
dos 31 estudantes de Cale. Probo Est 1- Turno: Manhã, Turma: 04, Periodo: 97.1.
lf2 DisC MA TIUC
19-
3
4
5
6
7
8
Total ou L
FONTE: Tabela 1.1
EXEMPLO 2 _ A tabela 1.3 apresenta a distribuição de frequência da variável Nº DE
DISCIPLINAS MATRlCULADO(A), usando-se os dados da tabela 1.1 - ( DADOS
NÃO -AGRUPADOS)
Capital
Interior
O. Região
Total
FONTE: Tabela 1.1
PUOCI'.:J)£NC1A
EXEMPLO 1 _ A tabela 1.2 apresenta a distribuição de frequência da variável
PROCEDÊNCIA, usando-se os dados da tabela 1.1 .
É construída considerando-se todos os diferentes valores ou categorias, levando em
consideração suas respectivas repetições .
1. Efetua-se um ROL ESTATÍSTICO (ordenação crescente ou decrescente de grandeza)
nos Dados Brutos (aqueles ainda não organizados numericamente).
_ REGRAS BÁSICAS PARA ELABORAÇÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE
FREQUÊNCIAS POR INTERVALOS - (DADOS AGRUPADOS)
EXEMPLO 3 - A tabela 1.4 apresenta a distribuição de frequências da variável ALTURA
(medida em cm), usando-se os dados da tabela 1.1 - (DADOS AGRUPADOS)
OBSERVAÇÃO:
1) De um modo geral tem-se a destacar cm uma t:abcln (disposição escrita que se obtém
referindo-se a uma coleção de dados numéricos a uma determinada ordem de
classificação ):
Percenlual
.f,~oo
3,4
13,8
41,5
31,0
.1°,3
JOO,O
i) Elementos essenciais:
Títlllo: Indicação que precede a tabela e que contém a designação do fato observado,
o local e a época em foi registrado.
Cabeçalho: Parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas.
Col'llla Indicadora: Parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas.
Corpo da tabela: Conjunto de colunas e linhas que contém as informações sobre a
variável em estudo.
ii) Elementos complementares:
Fonte: Indicação da entidade responsável pelo fornecimento dos dados 'ou pela sua
elaboração.
Notas: Informações de natureza geral destinadas a conceituar ou esclarecer o conteúdo
das tabelas ou a indicar a metodologia adotada no levantamento ou na
elaboração dos dados.
Chamadas: Informações de natureza especifica sobre determinada parte da tabela,
destinada a conceituar ou a esclarecer dados
12
2) As tabelas apresentadas oficialmente devem atender às normas do IBGE.
Tabela 1.4 - Frequências e percentuais das ALTURAS dos 31 estudantes de CALe. PROBo EST I
_ _ I~E!!<?:..~.~~!~ãl ..T.~..f]~~.él.:..9~.!..~~rí~~().:.,9.?:.1.:,
ALTURAS N° de l:"~\'//ldallles
...._.._........._..(~'.?~)o , .00 •••••••••••• • ••••• f; .
ISO 1-- 157 I
157 1---- 164 4
164 1- 171 12
171 1--- 178 9
..................P~.J:~==..185 . . 3
Total OUL 29
FONTE: Tabchl 1.I
NOTA: Dos 31 respondentes, 2 não informaram a altura.
L
J]
W- Estudanles
£.
12
11
4
1
2
30
HOL [STATíSTlCO (crcsccntc)
18 18 18 18 18 18 19 19
19 19 19 19 20 20 20 20
21 2 I 21 21 21 21 21 22
23 23 23 24 27 27
DADOS BRUTOS
Tabela 1.5 _ DISTRIBUiÇÃO DE FREQUÊNCIAS DAS IDADES (em GIIO.\) DE 30
ESTUDANTES DE CALCo PROBo ESTATíSTICA 1- TURNO: MANHÃ, TURMA: 04,
PERíODO: 97.1
i
IDADES
(allo.\)
18 1--"""'-- 20
20 \------ 22
22 1------' 24
24 1------ 26
~\------ 28
Total ou L
FONTE: Tabela 1.1
NOTA: Dos 31 respondentes, 1 não informou a idade.
27 18 21 23 23 21 21 27
21 19 18 18 22 19 19 18
19 23 19 18 18 20 19 24
20 21 20 21 20 21
Passo 4: AGRUPAMENTO EM CLASSES + FREQUÊNCIAS SIMPLES DE CLASSES
Passo 3: Número de classes ---> k = J3õ ~ 5 (aproximação por falta)
AT 9
e Amplitude de classe c:) h ~k = 5" = 1,8 == 2 anos
Passo 2: Amplitude TotaI----> AI' = 27 - 18= 9
Passo 1: Efetuar o Rol Estatístico
EXEMPLO 4 _ Elabore uma tabela de distribuição c)e /i'equências (dados agrupados) da
variávcllDADE (em anos) dos 30 estudantes de Cale. probo Est I, Turno: Manhã, Turma 04,
Período: 97.1, conforme U:ulos Bmlos abaixo:
4. Efetua-se o AGRUI)AMHNTO l~M CLAS,)'/~'S e, a seguir, toma-se as i'1~EQUJ~'NCIAS
SIMPLES DE CLASSES, elaborando-se, portanto, a tabela de distribuição de frequências.
3. Escolhe-se convenientemente o número de classes K (n". inteÍro) , 5::;;K::;; 15 onde
podemos tomar K =...r;; ou a fórmula de Slurges K == 1+ 3,3. iogJl, 1I ~ 25 (totai de
observações). Se possível determina-se, ou seja, constrói-se classes de mesma amplitude,
AT
tomando h == --.K
2. Determina-se a AMI)LITUDE TOTAL dos dados
Ar = Xmáx - Xmín ,onde Xmáx : maior valor observado e XmÍn menor valor
observado
ii. AMPLITUDE DE CLASSE: Iti = Ls - Li, amplitude da i-ésima classe.
1ª classe -----> Li = 181----- Ls = 20 , 2ª classe -----> Li = 20 1----- Ls = 22, etc.
A seguir, analisaremos alguns CONCEITOS ESSENCIAIS numa Distribuição de
Frequência por Intervalos ou Classes.
Classe ou Intervalo de classe -------> Li (incluir) 1------ Ls (excluir)
L.I; = /I = 30
,... ,
e
Ls : Limite superior de classe
/5=2
x,.. = Xi +17 , ou seja por ex.:
ponto médio da i-ésima classe.
/4= I
2ª classe --> "2 = 22 - 20 = 2
/]=4/2 = 11
I:';i':'u:",,',','um' ;-TI~ºS'I)E:F1U1QUÊNCIAS,- I
i=1
a 18 + 20 a 20 + 22
1- classe ---> XI = - 19 . 2- classe ---> Xl = --- = 21
2' 2
fi : frequência simples da i-ésima classe (número de observações)
k
L/; =L/; = 11 (húmero total de observações)
Porex.~/1 = 12
LIMITES DE CLASSES: Li : Limite inferior de classe ~
Como as classes têm mesma amplitude denominamos, simplesmente, por ,,= Li - Ls = 2
Por exemplo, distribuição das Idades, tabela 1.5:
I.
Por exemplo, distribuição das Idades, tabela 1.5:
1ª classe --> It 1 = 20 - I8 = 2
sª classe --> 115 = 28 - 26 = 2
. L +L
11I. PONTO MEDIO DE CLASSE: X = I S,, 2
Por exemplo, distribuição das Idades, tabela 1.5:
No caso de classes com mesma amplitude It, tomamos:
2ª classe -----> Xl + Iz = 19 + 2 = 21
3ª classe -----> Xl + It = 21 + 2 = 23 etc.
IV. FREQUÊNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA DE CLASSE
14
'-
--
5. FREQUÊNCIA RELATIVA E PERCENTlJAL DE CLASSE
FREQUÊNClA UELATIVA (i-ésima classe ou valor) :
fi ,1; (R - fi ~" 1 Id b -')J~ =- azao cntrc a Tcquencla Slll1Pes e o to ta e o servaçoesn
Lfli = 1 (soma das frequências relativas)
FREQUÊNCIA PERCENTUAL (i-ésima classe ou valor) :
f/lo = fli ' 100 ou ,I;% = .1: , 100
11
L.I: % = 100 (soma das frequências percentuais)
6. FREQUÊNCIA SIMPL~S ACUMlJLADA (do tipo "abaixo de")
F; = /1 + /2 + /3 +'" +.1: , frequência simples acumulada da i-ésima classe ou valor
7. FREQUÊNCIA RELATIVA E PERCENTlJAL ACUMULADA
Fr; = /r
J
+ fr2 + fr3 +'" + fi~ , frequência relativa acumulada da i-ésima classeou valor
P~%= /1%+ /2% + /3%+---+,1;%
frequência percentual acumulada da i-ésima
classe ou valor
150 1- 157 153,5 1
157 1----- 164 160,5 4
164 \-- 171 167,5 12
171 1-- 178 174,5 9
178 L 185 181,5 3--_.[- ..•......_~_ __ •...............•...•. _ •...._ .
Total ouL ~ 29
___ T_a._b_c~~.ie..~te~ldida) - !?J.~T~1Bl:!~S.~_Q..o._~..~~.~q.~~.~~9.~DAS.:~~T~R..i\~ .__._ .
ALTURAS P. Médio Freq. Simples Freq. Relativa Freq. Percentual Freq.Simples Freq.Perc.
(cm) Xi fi fr; fi % ACUI11. Acum.
...... .. .......I'i....................F;OJo .
0,034 3,4 1 3,4
0,138 13,8 5 17,2
0,415 41;5 1-7 58,7
0,310 31,0 26 89,7
0,103, __ .. _ ..... _.IO,} .__.__ 29 100,0
1,000 100,0
4 _REPRESENTACÕES GRÁFICAS DAS DISTRlllUlCÕES DE FREOUÊNCIAS
o gráfico cstàtístico é uma forma de apresentação dos dados estatisticos, cujo
objetivo é o de produzir, no investigador ou no público em geral, uma impressão rápida e
viva do fenômeno em estudo, já que os gráficos falam mais rápidos que as séries ( tabelas ).
Para tornarmos possível uma representação gráfica, estabelecemos uma
correspondência entre os termos da série e determinada figura geométrica, de tal modo que
cada elemento da série seja representado por uma figura proporcional.
15
- REQUISITOS
A representação gráfica de um fcnômcno dcve ohcdcccr aos seguintcs rcquisitos
primurdiais:
Capilal
Gráfico 2
O,Região
Inlerior
O.Região
Gráfico]
Interior
Procedência dos Estudantes ele Calco Probo Estatística I
Turno: Manhã, Turma: 04, Pcríodo: 97.] .
Capital
Procedência
30
lU
'õ
c:c<ll
:J
t:r
<Il
Li: o
16
• GRÁFICO EM COLUNAS OU BARRAS - É a representação de uma série por meio dc
retângulos, dispostos ho,oizontalrnente (em barras) ou vCloticalrncntc (cm colunas).
Exemplo: Gráfico 1.
• GRÁFICO POR SETORES - É o gráfico que representa as partes de um todo, por setores
de um círculo, visando justamente comparar estas partes entre si e em relação ao todo.
Excmplo: Gráfico 2.
a) Simplicidade - indispensável devido à neccssidade de levar a uma rápida
apreensão do scntido geral du fcnômcno aprcscntado a fim dc não 110S perdcrlllos
na observação de minúcias de importância secundária.
b) Clarcza - o gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores
represcntativos do fcnômeno cm cstudo.
c) Veroacidadc - indispensável qualqucr cOlllcntilrio, posto que, sc não reprcsenta
uma realidade, o gráfico perdc sua linalidade.
Variável Qualitativa" GRÁFICOS EM BARRAS OU COLUNAS, GRÁFICOS EM SETORES
rDistribuição por Valores to) GRÁFICO EM COLUNAS (ou Bastão)
Variável Quantitativa •• ~
. lDistribuição por Intervalos "') HISTOGRAMA, POLíGONO DE
FREQUÊNClAS
Os principais tipos de gráficos cstatísticos para as distribuiçõcs de frequências são os
DIAGRAMAS, os quais são gráficos geométricos de, no máximo duas dimensões. Para sua
construção, em geral, fazemos uso do sistema cartesiano.
Dentre os principais tipos de diagramas destacamos, segundo a variável em estudo:
c
• POLÍGONO. DE FREQUÊNCIAS - É a representação gráfica de uma distribuição de
frequências por meio de uma linha poligonal fechada ou polígono, cuja área total é igual
a do histograma. Exemplo: Gráfico 4.
• HISTOGRAMA _ É a representação grúlica de ullIa distrihuição de fj'equências de uma
variável quantitativa (dados agrupados) por meio de retflngulos justapostos centrados nos
pontos médios das classes e cujas áreas são propoll.:ionais ús li'clJuências das c1asscs.
Exemplo: Grálico 3
17
Polígono de
frequência
r=.-::.:::::::::::::
:=;':=':=:::t-:::::=:::=----~E..._.-....----- ~.,._....•.•~ --_ .........• --,,--.-
t===.;~E~.------...E--.r.::::=::: --.:::--=...-=:-_ ..•.....•....•....•._ ...-- ..............•. _ ..-..
.::::=;===t::::::::::~:-:='
~..__ ._-
I •• ll
----------_ .•..._.
Alturas dos estudantes de Calc. Probo Est I
Turno: Manhã, Turma: 04, Período: 97.1
Alturas dos estudantes de Cale. Probo Estatística I
Turno: Manhã, Turma: 04, Período: 97.1
=:,~E:;:::-==F.~=..::=:=:=:;t:-..::.:.::.:..:-==E:'=-=.::~-_.-=~
.._._..._ ..__~::-':::E:?:;:::::"::-:'E==.:: ---===-
=r:: ...:~~:-:=t::~::~r.:::--~ ..=:"00;=:'
146,5 153,5 160,5 167,5 174,5 181,5 188,5
Altura
146,5153,5160.5 167,5174,5181,5188,5
Altura
Gráfico 4:
14
Frequência
12
10
8
6
4
2
O
Gráfico 3:
F
~. 14. requenCla
12
10
8
6
4
2
O
18
1. MÉDIA ARITMÉTICA (ou simplesmente MÉDIA)
15 - MEDIDAS DE POSiÇÃO I
Exemplo: Determinar a média do seguinte conjunto (amostra) de valores Xi: 3, 7,8,
10, I]
( Média populacional). Eg. (I)
- LXX = --' (Média amostrai) Eq. (2)
11
:LX;
J1=}j
ou
ou
x= XI +X2 +"""+X"
11
XI + X2+. ..+X Nfl=-----
N
LX; _ 3+7+8 + 10+ 11 => X = 7,8Logo, X = -- - 5
11
Estes índices estatísticos são as MEDIDAS DE POSiÇÃO e, dentre as mais
importantes, citamos as Mcdidas dc Tcndência Ccnh"al, que recebem tal denominação pelo
fato dos dados observados tenderem, em geral, a se concentrar em torno de valores centrais.
Dentre as medidas de tendência central, destacamos:
• a Média aritmética ou Média;
• :1 Mod:l;
• a Mcdi:lna.
Vimos anteriormente a sintetização dos dados sob a forma de tabelas, gráficos e
distribuições de frequências. Aqui, vamos aprender o cálculo de medidas que possibilitem
representar um conjunto de dados (valores de uma variável quantitativa, isto é, informações
numéricas), relativos à observação de determinado fenômeno de forma reduzida.
As outras medidas de posição são as SEIlARATRIZES, que englobam:
• a própria I11cdian:l;
• os q uar.tis;
• os pCI'ccntis.
Dcfinição 5.1:
(a) Dada uma população constituída de N elementos, Xl, X2, ..., XN sua média,
denotada por ~ , mede o valor médio do cOl~unto de dados, sendo expressa na mesma
unidade, e definida por:
(b) Dada uma amostra constítuída de n elementos, X" X2, ..., XIl , sua média,- .
denotada X, será definida por:
l
----
(c) MÉDIA ARITMÉTICA PARA DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
Seja um conjunto de dados ( uma amostra) constituída de 11 valores da variúvcl X, isto
é, X Z, X2, ... , Xk ocorrendo com respectivas n.equênciasll' 12, ...,Ik de modo que ~fi". li .
A média aritmética (ou simplesmente média) de X, dcnotada X, é definida por:
- 2:X.X = I .r
L.r
ou simplcsmcnte
-~; _ '" X . r../\ _ L-J 1.'
li
El). (J)
onde "O~ ~/i é o IIÚlllCIOde dClllclllos do COlljlllllo.
013S.: A expressão acima é usada tanto no caso dc distrihui~:élo dc lIcquêlll.:ias por vallllcs,
como para dados agrupados CllI dasscs. No scgulldo caso, os X 'i.••' rcprcsclltalllos pontos
médios de classes.
Exemplo: Determinar a média do scguinlc conjunto de valorcs, Xi: 2, 3, 8, 8, 5, 2, 2,
2, 8, 5, 3, 8, 2, 2, 5, 8, 2, 5, 8 e 2
Xi ti Xi*~
2 8 16
3 2 6
5 4 20
8 6 48
L 20 90
Portanto, aplicando a Eq. (3), vem:
- "X.fX = L. i.; 90
Li; = 20 =>
11 = L/i = 20
x = -1,5
OB5.: A Equação (3) é uma adequação da equação (2) no caso de um conjunto de valores
X' is com elementos repetidos.
VANTAGENS E DESVANTAGENS DA MÉDIA
1. É uma medida de tendência central que por uniformizar os valores de um cOI~unto de
dados, não representa bem os conjuntos que revelam tendências extremas. Ou seja, é
grandemente influenciada pelos valores extremos (grandes) do COI~unto.
2. Não pode ser calculada para distribuições de frequências com limites indeterminados
(indefinidos).
19
20
2. MODA
4. É facilmcntc calculávcl.
Propriedades:
Desprezando as classes aherlas, islo é,
com limites indeterminadus, aí sim,
poderi.1I110S calcular a rclc.ida lIIédia.
NJ de /Jesso(JS
~
I
21
52
I XC>
JX
2
JOO
IJ.JAIJ/';S
(AI/fJ.\)
Mcnos dc 33
33 1------- 35
35 1------- 37
37 1------- 3<)
3<) 1------- 4 I
4 I 011 mais
TolnJ ou L
"
1 - A soma dos desvios tomados em relação à média é nula, isto é, L (X; - x) = O.
;~I
8. Dcpendc detodos os valores do cOltiunto de dados.
5. Pode ser tratada algebricamcnte (ver propricdadcs).
7. É particularmente indicada para séries (conjuntos) que possucm os valores simétricos cm
relação a um valor médio e de frequência máxima.
6. Serve para compararmos cOI~untos semelhantes.
3. É o promédio mais cOllhccido e de lIIaior elllprego.
Excmplo: Ú impossível calcular a IIIl~dia da dislribui(,:;'lo abaixo, reprcsclllaliva das id;l<les
dc um grupo de 300 pessoas.
2 - Somando-se ou subtraindo-se uma constantc (c) a todos os valorcs de uma variável, a
média do conjunto fica aumentada ou diminuída dessa constante, isto é,
1'; = Xi :t c=> Y = X :f: c .
3 - Multíplicando-sc ou dividindo-se todos os valores de lima variável por uma constante (c),
a média do conjunto fica multiplicada ou dividida por essa constante, isto é,
- - - -
y = X * c => Y = X'" c ou Y = X -;-c => Y = X -;-c, I)ara c:;t:O.I I I , t
Definição 5.2: Dado úm conjunto de valores, a moda, denotada A/o, é o valor que ocorre
com maior frecjuência, ou seja, é o valor mais frequente do conjunto de
dados.
'--
_ CÁLCULO DA MODA PARA DADOS AGRUPADOS
Exemplo: Determine a moda dos seguintes conjuntos de dados abaixo
a) 2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8 => Não existe moda.
b) 2,2,3, 5,5,5,8,8 => }\.t/o = 5
c) 2,2,2, 3, 3, 5, 5, 5,8 => Mo = 2 e Alo = 5
(bimodal)
~
h1l0 = 12,' hmo = 7
21
______________________________ 1
FÓRMULA de CZUBER (il1terpreta~~ão
geométrica através de Histograma)
Mo ~ L., +C" ~'l1J."..
onde:
Lmo : limite inferior da classe modal
hmo : amplitude da classe modal
!J.l = [moda/ - [allterior
!J.2 =hll(J(lal-fpo.'iterior
Ll110 = 164 ,
Classes
f'
(unímodal)
~(C)
f
(b)
Mo
classe modal
(não existe moda)
f
Classe modal (2a.) 164 1----- 171 ,
Exemplo: Utilizando os dados apresentados na tabela 1.4, determine a ALTURA MODAL dos
29 estudantes de Cálc~lo das. Probabilidades. e Estatística I - Turno: Manhã, Turma: 04,
Período: 97.1
Em uma distribuição de frequências com dados agrupados em classes, denominamos
classe modal à que possui a maior frequência, e, conseqüentemente, será esta classe que
conterá a moda.
(a)
OBS.:
i) A moda de um conjunto de dados pode não existir (figura (a) )
ii) A moda de um conjunto de dados pode não ser única (figura (c) )
f
3. MEDIANA
VANTAGENS E DESVANTAGENS DA MODA
Exemplos:
2. Não é influenciada por valores extremos (grandes) do cOI~unto de dados.
se 11 for par.
X +X
11 11
-+1
]. 2
2
Me = XliiI se 11 for ímpar;
1
11+ 1
2
3. Pode ser calculada para distrtbuições com limites indetcrminados (indefinidos) na maioria
dos casos.
(8 + 9) .Me = -2- = 8,5 (Média aritmética dos termos de ordens centrais)
1. Não depende de todos os valores do conjunto de dados, podendo mesmo não se alterar
com a modificação de alguns dcles.
.11 = /'mx - fwll = 12 - 4 = 8; L1.z = /,IUX - ~}arJ = 12 - 9 = 3
Logo, Mo = 164+(_8_)*7 = 169,lcl1l ou Mo = 169cI11
8+3
Definição 5.3: Considere uma série (conjunto de dados) ordenada, constituído de li valores.
A mediana, denotada Me , é o valor que divide o conjunto em duas partes
iguais ( isto é, em duas partes de 50% cada).
a) Calcular a mediana do seguinte conjunto de dados: 2, 3, 5, 8, 9, 11, 13 (n = 7 ímpar)
Me = 8 (termo de ordem central)
b) Calcular a mediana do seguínte cOI~unto de dados: 2, 3, 5, 8, 9, 11, 13, 15 (n = 8
par)
Verificamos que, estando ordenados os valores de uma série (conjunto de dados) e
sendo 11 o número de elementos da série, o valor mediano será:
- o termo de ordem central
'd. . ,. d d d 11 11 hj- a me la antmetlca os termos e or em - e - + I , }\I e =2 2
22
'---------'
b) Dados Agrupados em Clas.'.es
a) Dados Não-agrllpados
CÁLCULO DA MEDIANA NUMA DISTR.lI3UIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
2]
Md = 170clIlou
F1lI1t = 5
Lme é o limite inferior da classe mediana;
fme é a frcquência simples da classe mediana;
Fali! é a frequência acumulada da classe anterior à
classe mediana;
hme é a amplitude da classe mediana; n é o total de
observações.
onde:
classes
hme=7 ;
50%
ou
nJ2
Md
flfle = 12;
50%
ou
nJ2
(
14,5-5J-Md == 164+ 12 *7 == 164+5,5 == 169,5cl1l
[
li. J---i'2 flui
Me = Ln,. + Ime • 17m•
f
=>
Lme = 164 .,
1';2 = 29/2 = 14,5 (50%) ==> Classe mediana (2à.) : 164 1----- 171 (Classe mediana:
primeira classe que ultrapassar 50% (n/2) ou mais das observações)
Exemplo: Determinar a ALTURA MEDIANA dos 29 estudantes da turma de Cal. Probo Est
I, Turno: Manhã, Turma: 04, Período: 97.1 - Turno da tarde, conforme os dados
agrupados na tabela 1.4 (estendida).
Assim, para dados agrupados, a mediana é obtida através de interpolação de acordo
eom a seguinte fórmula:
No caso de dados agrupados, rc1embramos que uma distribuição de frequências pode
ser representada por meio de um Histograma. Dizemos então que a mediana será o valor de
X (abscissa) cuja ordenada divide a área total do Histograma em duas partes iguais.
Neste caso, para a série de valores ordenados em ordem crescente de grandeza (i. e.,
em um rol), a mediana é o valor médio ou a média aritmética dos valores centrais, caso
tenhamos um número ímpar ou par de valores na série.
24
2- A VARlÂNCIA
1 - A AMPLITUDE TOTAL
PROPRIEDADES DA MEDIANA
A variância de Um conjunto de dados ( amostra ou população) mede a variabilidade do
conjunto em termos de desvios quadrados em relação à média aritmética do conjunto. É uma
AT = Xn,A' - Xn"." onde X . = maior valor do conjunto e X. = menor valor dow.4 , nlQX nu"
conjunto.
Para representarmos cada conjunto,
podemos calcular a sua respectiva média
(Eq.( 1»,encontrando
- - - -
XA = XIJ = Xc = X D = 7.
Vemos assim que apesar de constituidos
de valores diferentes, os grupos revelam
uma mesma média aritmética.
Observando-os mais detalhadamente, notamos que em cada grupo os valores se
distribuem diferentemente em relação à média 7. Necessitamos assim de uma medida
estatística complementar para melhor caracterizar cada COI~unto apresentado.
As medidas estatísticas responsáveis pela variação ou dispersão dos valores de um
conjunto são as medidas de dispersão ou de variabilidade, onde se destacam a' amplitude
total, a l'ar;âllcia, (} desl';o padrão e o coeficiente de l'ariaçáo. Em princípio, diremos que
entre dois ou mais conjuntos de dados, o mais disperso ( ou menos homogêneo ) é aquele
que tem a maior medida de dispersão.
Medida já apresentada na elaboração de uma distribuição de frequências com dados
agrupados em classes, denotamos AT. ~
Conjunto A => 7, 7, 7, 7, 7
Conjunto B ==> 5, 6, 7, 8, 9
Conjunto C ==> 4, 5, 7, 9, 10
Conjunto D ==> O, 5, 10, 10, la
ii) A mediana de uma série de dados agrupados de classes extremas indefinidas pode ser
calculada.
i) A mediana não é influenciada por valores extremos (grandes) de uma série ou conjunto de
dados.
Na seção anterior, aprendemos a calcular e entender convenientemente as medidas de
'posição representativas de um determinado conjunto de dados, onde destacamos a média, a
moda e a mediana.
Sejam quatro conjuntos A, B, C e O com os seguintes valores:
16. MEDIDAS DE DISPEJ{SÃol
25
Definição 6.1:
Analogamente, a definição apresentada na Equação (6), temos
013S.: No caso de dados ag.-upados os X'i.> são os pontos médios de classes.
X= LX; 25
11 =5= 5onde
onde fj: frequencias de classes e /1 = 2:f
- LXEq (6) , onde X = --' é a média amostrai
/1
Eq (5) , onde p = k_XI é a média populacional
N
Eq. ( 7 ) ,
S2 = L:(X; - xf
11- 1
(52 = L:(X/ -)Ir
N
L(X; - Xr ..1;
/1- 1
S2
.2 (2_5)2 +(3_5)2 +(5_5)2 +(7_5)2 +(8_5)2
.5 =--------------5-1
CÁLCULO DA VARIÂNCIA EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
( Caso de amostra)
Exemplo 2: petermine a variância do seguinte conjunto (amostra) Xi : 2, 3, 5, 7, 8
. S'2 _ (_3)2 +(_2)2 +(0)2 +(2)2 +(3)2= 9+4+0+4 +9 = 26 ==> S2 = 6,5
.. - 4 4 4
De acordo com a equação (6)temos:
OBS.: A equação (6) é utilizada quando -nosso interesse não se restringe à descrição dos
dados mas, partindo da amostra, visamos tirar inferências válidas para sua respectiva
população. No caso de estarmos interessados apenas na descrição dos dados,
podemos usar no divisor "em lugar de " - J
b) Seja um conjunto ( amostra ) constituído de Il elementos X I, X2, ... , Xn. Sua
variância, denotada S2, é definida por:
a) Seja um conjunto ( população) constituído de N elementos XI, X2 .... , XN Sua
variância denotada cl, é definida por:
_quantidade sempre não negativa e expressa em unidades quadradas do conjunto de dados,
sendo de dificil interpretação.
"
26
Do exemplo 2 , dado acima, temos o desvio padrão dado por S = J6:5 =:;===> S = 2,55
Desvio Padrão ==> S = ~Variâl1cia = ~45,86cm2 = 6,77cl1l
L(Xj -xf
/1-1
Eq. ( 8 )
Amostra =--> S ='
( Raiz quadrada positiva da Variância )
L 2 (L )2/1 X'. - .S2 = ,.1; Xj .1;
1/ x (/1-1)ou
ALTURAS No. Est P. Médio Xl X. I; X2. t:J .,
(cm)
J ' • I
fi Xi
150 1---- 157 1 153,5 23562,25 153,5 23562,5
1571---- 164 4 ]60,5 25760,25 642 10304] ,0
]64 1---- I 71 ]2 167,5 28056,25 2010 336675,0
171 T---- 178 9 174,5 30450,25 1570,5 274052,25
]781---- 185 3 18],5 32942,25 544,5 98826,75
Total ou L; 29 4920,5 836157,5
População =->cr =.tI L(X; - PY
. V N
Desvio Padrão = + .JVaric.í/1cia
s' = LX,' -i. - (LX, -f.)'
/1
/1-1
Exemplo 3: Calcular a variância e o desvio padrão para a distribuição de frequências das
ALTURAS dos 29 estudantes de Cálculo das Probabilidades e Estatistica I -
Turno: Manhã, Turma: 04, Período: 97.1.
â
Portanto, a variância das alturas será: S2 = 45,86cm2
Conforme, o conjunto de dados, trate-se de uma população ou uma amostra, teremos o
desvio padrão dado por:
Variância
. 2 11'L;X.2*.f. -t[.X/.fi)2 29*836157,25-(4920,5)2 _ 37239,95 _ 4586.S I I ----------_ _,
==> = 11*(11-]) - 29*28 812
3 - O DESVIO PADRÃo
É urna outra medida de dispersão mais comumente empregada do que a variância, por
ser expresso na mesma unidade do conjunto de dados. Mede a "DISPERSÃO ABSOLUTA"
de um conjunto de valores e é obtida a partir da variància.
FÓRMULA ALTERNATIVA derivada da Equação ( 7 ) :
27
Desvio Padrão ===> .\'= 6,77c11le o
S 6,77cl11Cv == x 100 = ---- x 100 = 3 99 ou seja. CV = 3 99%
X I69,67cm " .. '
1. Costa Neto, P.L.O. Estatística. Editora Edgar Dlucher.
2. Mendenhall, W. Probabilidade e E'sta/Íslica. Editora Campus, VaI. I e 11.
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Altura média => X = 169 67cm
. '
Da distribuição das alturas, (tabela 1.4), temos:
Exemplo 4: Calcule o coeficiente de variação (dispersão relativa) das ALTURAS dos 29
estudantes da Turma 04 - Turno da Manhã de Calc. Probo Est 1 - Período: 97.1 -
Tabela 1.4
É uma quantidade adimensional e selVe para comparar dois ou mais conjuntos de
dados de unidades diferentes. Mede a "DISPERSÃO RELATIVA" de um conjunto de
dados. É expresso, usualmente, em percentagem (% ).
(Y
População ====> CV = - x 100, sendo que ~l :j:; O11 .
S
Amostra => CV = = x 100, sendo que X =f:. O.
X
4 - O COEFICiENTE DE VARIAÇÃO
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
11.INTRODUCÃO I
o objetivo básico da teoria das probabilidades é criar um modelo teórico que
represente estes experimentos.
As principais características de um experimento aleatório são:
a) Pode-se repetir indefinidamente sob as mesmas condições.
b) Pode-se descrever todos os possíveis resultados do experimento.
c) Depois de um grande número de repetições do experimento, surge uma configuração
definida ou uma regularidade. É esta regularidade que torna possível construir um modelo
matemático preciso, com o qual se analisará o experimento.
1. Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima.
2. Jogar uma moeda duas vezes e observar a sequência de caras e coroas obtidas.
3. Jogar uma moeda duas vezes e observar o número de caras obtidas.
4. Peças são produzidas até que 10 peças perfeitas sejam produzidas. O número total de
peças fabricadas é contado.
5. Uma lâmpada é fabricada e em seguida é ensaida quanto à duração de vida, pela colocação
em um soquete. O tempo decorrido (em horas) até queimar é anotado.
~
28
EXEMPLOS:
o cálculo das probabilidades pertence ao campo da Matemática. Sua inclusão, neste
curso, cujo objetivo é essencialmente a Estatística, encontra explicação no fato de que a
maioria dos fenômenos de que trata a Estatística é de natureza aleatória ou. não-
determinística. Consequentemente, o conhecimento dos aspectos mais fundamentais do
cálculo da probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística
Inferencial ou Indutiva.
Vamos examinar, inicialmente, o que se pode adequadamente denominar modelo
determinístico. Por essa expressão pretendemos nos referir a um modelo que estipule as
condições sob as quais um experimento é executado delerminem exatamente; ou com um
erro que pode ser considerado desprezível, o seu resultado. Por exemplo, se introduzirmos
uma bateria em um circuito simples, o modelo matemático que descreveria o Ouxo de
corrente elétrica seria I = E/R, isto é, a Lei de Ohm. O modelo determina com exatidão o
valor de I ao fornecermos os valores de E eR, diferença de potencial e resistência,
respectivamente.
Para um grande número. de situações, o modelo matemático determinístico
apresentado acima é suficiente. Contudo, existem também muitos fenômenos que requerem
um modelo matemático diferente para sua investigação.
Existem experimentos em que, mesmo considerando todos os fatores que influenciam
no resultado, existe algum fator casual que não consegue-se controlar. Tais experimentos
são, frequentemente, denominados não-determinísticos ou aleatórios. De fato, estamos
falando de um modelo não-determinístico para um experimento.
UN1DADEll- INTRODUÇÃO À PIlOBABILIDADE
E3 ~ .03= {O,1,2}
E4 ~ .04= {IO,11,12, .... }
Es ~ .os = {t E ~H/ t ~O)
EXEMPLO 2.1: Determine os espaços amostrais associados aos cxperimentos dos excmplos
anteriores.
A partir das operações entre cOI~untos (Apêndice A) podemos formar novos eventos,
tais como:
12. ESPAÇO AMOSTRALEEVENTOS I
Definiremos e.\paço amostraI, para cada experimento aleatório E, como o
conjunto de todos os possíveis resultados do experimento, e o denotaremos
porO.
A uB é o evento que ocorrerá se e somente se A ou B ou ambos ocorrerem.
A (1B é o evento que ocorrerá se e somente se A .£. B ocorrerem simultancamcntc.
A ocorrerá se e somente se não ocorrer A.
A - B ocorrerá se.e somente se ocorrer A e não ocorrer n.
Definição 2.1:
E1 ~ .o) = {I ,2,3,4,5,6}
£2 ~ .02 = {(Ca,Ca), (Ca,Co), (Co,Ca), (Co,Co)}, onde Ca c Co reprcsentam a ocorrência
de cara e coroa, respectivamente.
SOLUÇÃO:
A fim de descrever um espaço amostrai associado a um experimento, devemos ter
bastante claro o que estamos mensurando ou observando. Por isso, devemos falar de "um"
espaço amostrai e não de "o",espaço amostraI. Vcja a diferença entre .o2e fh
Saliente-se, também, que o rcsultado de um cxperimcnto não é nccessariamente, um
número. Por exemplo, em E2, cada resultado é.um sequência de Caras (Ca) e Coroas (Co).
Definição 2.2: Um evento A (relativo a um particular espaço amostrai .o, associado a um
experimento E) é um conjunto de resultados do experimento, isto é, qualquer
subconjunto do espaço amostrai é um evento.
Diz-se que "ocorre o evento A", quando o resultado do experimeno aleatório for um
elemento de A.
Em particular, o conjunto universo, .o, e o conjunto vazio, ~, são também eventos,
onde .o é denominado de evento certo e q, evento impossível. Se A contém apenas um
elemento, dizemos que A é um evento elementar ou simples.
*
*
*
*
Definição 2.3: Dois eventos A e B, são ditos mutuamente excludentes (M.E.), se elesnão
puderem ocorrer simultaneamente, isto é, A (1B = ljJ .
29
,
EXEMPLO 2.2: Lançar um dado e observar a face voltada para Cima. Considere os
seguintes cventos:
Obs: Note que o item c) exemplifica as leis de "De Morgan". (ver Apêndice A)
a) n= {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6}, B = {l,3,5}, C = {5,6}, 0= {l,2}
30
AnD=(2}
BnD={I}
. . J
d) A n C = {6} : cvcnto elcmentar
BnC= {5}
CnD=<I>
Os eventos A e B, assim como os eventos C e O, são mutuamente excludentes.
c) A = {l,3,5} B = 12,4,6}
- - --AuB = {1,2,3,4,5,6} =.Q= AnB
- - --
AnB =<1>= AuIJ
b) A u B = {1,2,3,4,5,6} = n :é o evento certo
A n B = <I>: é o evento impossível
AuB =<1>
AnB=n
SOLUÇÃO:
Determine os eventos: .
a) n, A, B, C e D.
b) A u B, A n B, A u 13, A n B
- - - - - -
c) A, B, A u B, A n H
d) Quais os eventos mutuamentc excludentes?
A: o número é par.
B: o número é impar.
C: o número é maior que 4.
D: o número é menor ou igual a 2.
31
Portanto, P( 4» = O
3. NOCÕESFUNDAMENTAJSDE rl{OBAllILlDADE
PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS
<fi=AnA
A n<p=~
e
e
D.=AuA
A=Au~
Propriedade 3.2: Se A for o evcnto complcmcntar dc A, cntão P(A) = I - P(A).
P(A) = P(A u<fi) = P(A) + P(<fi), logo P(A) = P(A) + P(~)
Então, A e 4> são eventos mutuamente cxcludentes. De 3. temos
Então, A c A são eventos mutuamente excludcntes. De 3. tcmos
p(n)=p(Au A) = P(A) + P( A ). De 2. Temos
Demonstração: Para qualquer evento A, sabemos que
Propriedade j.1: Se ~ for o cOI~unto vazio, então P(4,)=O.
'"
P(u:
1
AJ = P(A,) + P(Az )+ ... +P(A,,)+ ... =L P(A;)
kl
Demonstração: Para qualquer evento A, sabemos que
Por enquanto, não sabemos como calcular P(A). Nós apenas arrolamos algumas
propriedades gerais que P(A) possui. Vamos, inicialmente, enunciar e demonstrar algumas
consequências relacionadas a P(A) que decorrem das condições acima e que não dependem
da maneira pela qual nós reâlmente calculamos P(A).
Definição 3.1: Seja E um experimento e D. um espaço amostrai associado a E.
Probabilidade é uma função P que associa a cada evento A E F(D.) a um
número real representada por P(A) e denominada probabilidade do evento A,
satisfazendo aos seguintes axiomas:
1. O::;;P(A) ::;;1.
2. P(D.) = 1.
.3. Se A e B forem evento.s mutuamente excludentes, P(A u 13)= P(A) + P(B)
Se AI, A2, ... , An, ••. forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, então,
1 = P(A) + P( A) .
Logo, P(A) = 1- P(A).
Propriedade 3.3:Se A e B forem eventos quaisquer tais que A c B então P(A) ~ P(B).
Demollstração: Sabemos que
B = A u (B nA) , onde A e (8 nA) são eventos mutuamente excludentes.
Consequentemente, P(B) = P(A) + P(B nA) ~ P(A), porque P(B nA) ;::O, pelo axioma 1.
Propriedade 3.4: Se 'A e B são dois eventos quaisquer, então
P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)
Denumstração: Podemos escrever
A u B = A u (Bn A) , onde A e (B nA) são eventos mutuamente excludentes e
- -B = (A n B) u (B nA), onde (A tl B) e (B nA) são eventos mutuamente excludentes
Do axioma 3. temos,
P(A u B) = P(A) + P(B nA) e- -
P(B) = P(A n B) + P(B nA). Assim, P(B nA) = P(I3) - P(A tl B)
Então, P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n I3)
Como exercício pode-se facilmente provar a propriedade acima para três eventos.
Se A, B e C são três eventos quaisquer, então
P(A uB uC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A nI3) - P(A nC) - P(B nC) + P(A nBne)
4.PROBABJLIDADE EM 'ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EEQUIPROVÁ VEIS
Definição 4.1:Seja .n um espaço amostrai associado a um experimento aleatório E com um
número finito de resultados possiveis, Então, .n pode ser escrito da seguinte
forma:-, .n = {a\,a2,...,a
ll
} e seja Ai = {ad i=I,2, ...,n todos os eventos
elementares de Q. A cada evento elementar {ai} associaremos um número pi,
denominado de probabilidade de {ai}, que satisfaça às seguintes condições:
]2
----,
f
I
1. Pi ~ o, i= 1,2, ... , n.
2. PI + P2+ ... + p" = I
Como {ad é um evento, essas condições são coerentes com aquelas postuladas para
as probabilidades dos eventos em geral, isto é, com os axiomas da definição 3.1.
Suponha, agora, que um evento I3 seja constituído de k resultados, I S; k S; n, a saber,
B= {a l,a2, ... ,al;},
onde 1,2, ... ,k representam qualquer dos k índices, de I até n. Consequentemente, conclui-se
do axioma 3 da definição de probabilidade (3. I) que
P(B) = 1'1 -I- Pl + ... + 1'1;
EXEMPLO 4.1: Três cavalos, A, I3 e C, estão numa corrida; A é duas vezes mais provável
de ganhar que B e I3 é duas vezes mais do que C. Quais são as
probabilidades de vitória de cada um, isto é, P(A), P(B) e P(C) ?
SOLUÇÃO: Seja P(C) = P; como B é duas vezes mais provável de ganhar do que C,
P(B)=2p; e como A é duas vezes mais provável do que B, P(A) = 2P(B) =
.2(2p) = 4p. Como a soma das probabilidades tem que ser I; então
p+2p-l-4p=1 ou 7p=1 ou 1'=1/7.
Logo, P(A) = 4/7; P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7
Pergunta: Qual é a probabilidade de que B ou C ganhe?
Por definição, P(B uC) = P(B) + P(C) = 2/7 + 1/7 = 3/7
Definição 4.2: Seja um espaço amostrai .o. = {a\,a2,... ,an} associado a um experimento E e
consideremos Ai = {ad i= I ,2, ... ,n os eventos elementares de .0.. O espaço
amostrai .o. é dito equiprováve! se
P(Ai) = p, i= 1,2, ... , n,
ou seja, se todos os eventos elementares são igualmente prováveis.
Consequentemente, das condições 1. e 2. da definição 4.1, vem:
1. pi=P~O, i=1,2, ... ,n.
2. Pi + P2 + ... + pn':: P + P + ... + p = 1
De 2. tem-se que np = 1 e consequentemcnte, p = 1/n.
33
IS.PROBABILlDADECONDICIONADA I
34
Um lote é formado pelos seguintes artigos: 80 não defeituosos e 20
defeituosos. Dois artigos são retirados do lote. Sejam A= {o 10 artigo é
defeituoso} e B={o 2° artigo é defeituoso}.
Calcule P(A) e 1'(13),a) com reposição; b) scm reposição.
Estl? ex.emplo mostra a necessiuade de se introduzir o seguinte conceito.
P(A n B) = /I'" defigllras de e.\]Jadas 3
lI'"~de carlas = 52
/lO'de fi~lIras 12. 3
P(B) = . < =-=-
11'" de cartas 52 13
/10' de e.\fJadas 13 I
P(A)=----=-=-
/10' de carlas 52 4
Disto decorre que, para qualquer evento B formado de k resultados, I~ k ~ 11, tem-se
Logo, se o espaço amostrai é equiprovávcl, a probabilidade de cada um dos pontos é
Sejam A e B dois eventos associados ao experimento E. Denotaremos por P(BI A) a
probabilidade condicionada do evento B, qua/ldo A tiver ocorrido.
b) Se estivermos extraindo sem reposição, é ainda verdade que P(A) =X. Mas e sobre
P(B)? É evidente que, a fim de calcularmos P(B) é necessário conhecer a composição do
lote no momento de se extrair a segunda peça. Isto é, devemos saber se A ocorreu ou nao.
a) Se extrairmos com reposição, P(A) = PC}]) = 29{00 =X, pois cada vez que estivermos
extraindo do lote, existirão 20 peças defeituosas no total de 100.
SOLUÇÃO:
EXEMPLO 5.1:
SOLUÇÃO: Como temos um espaço cquiprovável,
EXEM PLO 4.2: Selecione aleatoriamente uma carta de um baralho comum de 52 cartas.
Sejam A: a carta é uma espada e B: a carta é uma figura.
Calcule P(A), P(B) e P(A n 13)
k . l1(lJ) n°' de casos favoravcis
P(B) = -, ou seja, P(B) =--= . .
11 /1(0) n°' de casos pOSSlvels
1/n.
35
Obsen'ações:
Se fizermos um exame cuidadoso dos vários números calculados, concluiremos que
1. Se P(B) = O, nada podemos afirmar a respeito da probabilidade condicional.
n(A n B) = 1
A n 13={(6,4)}c
P(A / 13) = f}(A n B)
P(B)
n(B) = 15
e
B= {(2, 1),(3, I),(3,2), ... ,(6,5)}
P(B / A)= P(A nB)
. P(A)
n(A) = 3
(6,1), (6,2), ... , (6,6)
A= {(5,5),( 4,6),(6,4)},
3 15 I
Portanto, P(A)=-, P(B)=-, P(AnH)=-,
36 36 36
P(B I A) =..!., uma vez que o espaço amostrai é, agora, formado por A.
3
De modo equivalente, ternos P( A / B) = _1 .
15
Sempre que calcularmos P(I3/A), estaremos essencialmente calculando P(B) em
relação ao espaço amoslral reduzido A, em lugar de fazê-lo em relação ao espaçooriginal n.
(1,1),(1,2), , (1,6),
(2,1), (2,2), , (2 :6),
.o = ~. . ~, 11(.0)=36,..................... .
SOLUÇÃO: O espaço amostraI .o pode ser representado pela seguinte lista de 36 resultados
igualmente prováveis.
EXEMPLO 5.2: Dois dados honestos são lançados, registrando-se o resultado como (XI,X2),
onde Xi é o resultado do i-ésimo dado, i=1,2. Considere os seguintes
eventos: A={(xI,xz)/ XI + X2= lO} e 13={(xl,x2)1 XI> X2}.
Determine: P(A), P(B), P(A n B), P(B/A) e I>(NB).
Essas relações não surgiram apenas neste caso particular. Ao contrário, são bastante
gerais, e nos dão caminho para definir a probabilidade condicionada.
Defi"ição 5.1: Sejam A e B dois eventos quaisquer de um mesmo espaço amostrai Q.
Chamamos probabilidade do evento A, dado que o evento 13 ocorreu, ao
seguinte quociente:
P(A / li) = _P_(A_n_IJ_) se P(B) > O
P(J-J) ,
Obsen'ação: O teorema da multiplicação de probabilidades pode ser generalizado para mais
de dois eventos.
A mais importante consequência da definição de probabilidade condicional acima, é o
seguinte teorema.
Sejam AI, A2, .•• , Ao eventos quaisquer de um mesmo espaço amostrai 0., a
probabilidade da ocorrência simultânea de AI, A2, .•. , Ao é dada por:
SOLUÇÃO: Considerando-se somente o espaço amostrai reduzido N (isto é, as 7 máquinas
novas), temos P(M / N) = 4 / 7.
Empregando a definição de probabilidade condicional, temos
](,
P(A n H) = P(A)* P(lJ / A)
I/(A n H)/
l'(A / H) = In(D.) _ n(A n H)
1/( H)/ - n(/1)
/1/(0.)
ou
Mãe uinas
Tempo de uso M E Total
N 4 3 7
lJ 2 I 3
Total 6 4 10
P(M / N) = P(M n N) = 4/ 10_ 4
P(N) 7 /l0-7
P(AI n A2 n...n An) = P(AI)*P(A2/At)* ...*P(A,,/At n A2 (\ ... (\ Ao-I)
Sejam A e B dois eventos quaisquer de um mesmo espaço amostrai .o, então:
P(A n B) = P(B)* P(A / B)
Teorema 5.1 (Teorema da Multiplicação de Probabilidade.\):
EXEMPLO 5.3: Um laboratório de pesquisa possui 10 terminais dé computadores. Algumas
dessas máquinas são micro-computadores (M) e outras são estações de
trabalho (E); algumas são novas (N) enquanto outras são muito usadas (U),
de acordo com a tabela abaixo. Uma pessoa entra no laboratório, pega uma
'máquina ao acaso, e descobre que é nova. Qual a probabilidade de que seja
um micro-computador?
3. No espaço amostrai finito equiprovável,
. . P(t/J)
2. Se A e B forem mutuamcntc excludentcs, cntão P(A / H) = -- = O.P(H)
~
SOLUÇÃO: Seja Ai: a i-ésima lâmpada é boa, então
Pelo teorema da multiplicação de probabilidades, temos
SOLUÇÃO: Comojá vimos P(A) =~. Logo, pela propriedade 3.2, temos que F(A) =~.5 . 5
EXEMI)LO 5.5: Voltando ao exemplo 5.1, calcule a P(U) se as retiradas dos artigos são
feitas sem reposição.
P(A) = P(A íl B1) + P(A n B2) + ." + P(A n Bk).
P(A) = P(N B1)P(31) + P(N B2)P(B2) + ...+ £l(AI 3k)P(Uk)
- - 19 1 20 4 1
P(Bp= P(B / A)P(A) + P(/J / A)P(A) = -*- +-*- = -.
:: 99 5 99 5 5
Agora, P(B / A) = ~, porque se A tiver ocorrido, então na segunda extração
99
restarão somente 99 peças, das quais 19 delas serão defeituosas. De modo
similar, temos que P(JJ / A) = 20 . Pelo teorema da probabilidade total, temos
99
4 3 2 I
P(A1 n A2 n A3) = P(A1)*P(A2/A1)*P(A"/A1 nA2) = - * - * - = -.6 5 4 5
k
P(A) =.P(N B1)P(BJ) + P(AI B2)P(132) + ... + P(AI UdP(Bd = L P(A / H; )P(Hj);=.
37
Demonstração: Como A = (A íl B1) u (A n B2) u u (A íl Bk) e (A nB.), (A íl B2), ... ,
(A n I3k) são eventos mutuall'n"fn " r-I"ri,-.'ltes,temos
Teorema 5.2 (Teorema da Probabilidade Total):Sejam A um evento qualquer do espaço
amostraI n e BI, B2, ... , Bk uma partição do mesmo espaço amostrai n, então:
Até aqui, empregamos o conceito de probabilidade condicional a lim de avaliar a
probabilidade de ocorrência conjunta de dois ou mais eventos. Veremos, no próximo
teorema, como aplicar esse conceito para calcular, de outra maneira, ti probabilidade de um
evento qualquer A.
EXEMPLO 5.4: Uma caixa contém 4 lâmpadas boas e 2 queimadas. Retira-se ao acaso 3
. . lâmpadas, sem reposição. Calcule a probabilidade dessas 3 lâmpadas serem
boas.
Pelo enunciado do problema, temos que P(D/A) = P(DIB) = 0,02, enquanto
P(D/C) = 0,04. Levando-se esses valores à expressão acima, encontraremos
SOLUÇÃO: Seja os eventos A={a peça provém da fábrica A}, B={a peça provém da
fábrica B}, C= {a peça provém da fábrica C} e D= {a peça é defeituosa} .
16• TEOREMADEBAYES I
Como queremos determinar P(D) e os eventos A, B e C formam uma partição
do espaço amostraI, podemos aplicar o teorema da probabilidade total, o qual
escreveremos como
38
, i = 1,2, ... , k
1 1 1
P(D) = O 02* - + O 02* - + O 04* - == O 025, 2' 4' 4'
P(D) = P(D/A)P(A) + P(D/B)P(B) + P(D/C)P(C).
PC A I Ri) PC Bi )
P(B; I A) = 'L:=1 P(A / B)P(B)
Temos que P(A)=2P(B), e P(B)=P(C). Substituindo essas relações em
P(A)+P(B)+P(C)=l, temos que 2P(B)+P(il)+P(B) = 1, logo, .
P(B)=P(C)= 1/4, enqualito que 1'(1\) = 1/2.
Poderemos calcular esta probabilidade pelo seguinte teorema.
Teorema 6.1 (Teorema de Bayes): Sejam BI, B2, ... , Bk uma partição do espaço amostrai n e
A um evento qualquer associado a .Q , então:
Poderemos empregar o Exemplo 5.6 para sugerir outro importante resultado.
Suponha-se que uma peça seja retirada do depósito e se verifique ser ela defeituosa. Qual a
probabilidade de que tenha sido produzida na fábrica A ?
EXEMPLO 5.6: Uma determinada peça é manufatura por três fábricas, digamos A, B e C.
Sabe-se que A. produz o dobro de peças que 13, e que fi e C produzem o
mesmo número de peças. Sabe-se também que 2% de peças produzidas por
A assim como por fi são defeituosas, enquanto que 4% daquelas
produzidas por C são defeituosas. Todas as peças são colocadas em um
depósito, e depois uma peça é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de
que essa peça seja defeituosa?
SOLUÇÃO: Sejam A={estudantes de menos de 1,60m. de altura}
k
Pelo teorema da probabilidade total, P (A)= LP (A / B) P (B ) . Logo,./ ./
./=\
EXEMPLO 6.1:Voltando ao problema proposto acima, e agora aplicando o teorema 6.1,
obtcmos .
17• EVENTOS INDEPENDENTES I
P(A () B) = P(A) * P(B/A) = P(A) * P(B)
P(B
j
/ A) = I'(A / U; )I'(IJ,)'Ll P(A / J3)P(J-') , i = 1,2, ... ,k
}=1 ./) j
P(B; / A) = P(H; () A) ~ P(A / R, )P(H,) . .P ( A ) P ( A ) , I = 1,2, ... , k
M={ estudantes do sexo feminino} e H={ estudantcs do sexo masculino}.
P(A / D) = (0,02)* (I /2) = 040
(0,02)* (1/2) + (0,02)* (1 / 4) + (0,04)* (1/4) ,
Podemos, então, formaliz,ar a seguinte definição.
Pelo Teorema de Multiplicação de Probabilidades, temos:
39
Consideremos dois eventos A e B quaisquer de um mesmo espaço amostrai O.
Dizemos que A e B são dois eventos independentes se a probabilidade de ocorrência do
evento A não altera a probabilidade de ocorrência do evento B, isto é, P(B) = P(B/A).
P H / A = I'(A / II)I'(I/) = _ (0,01)*(0.(,0) = ~
( ) P(A / H)P(H) + P(A / M)P(M) (0,01)* (0,60) + (0,04)* (0,40) 1i
Pelo teorema de Baycs,
EXEMPLO 6.2: Numa certa turma, 1% dos homcns e 4% das mulheres têm menos que
1,60m. de altura. Além disso, 60% dos estudantes são homens. Ora, se um
estudante é selecionado aleatoriamente e tem menos que 1,60m. de altura,
qual é a probabilidade do estudante ser um homem?
1JemOltstraçâ(}:
40
Podemos estender este conceito para 11 eventos.
Determine P(A), P(B), P(A n 13), P(A/13) e P(131A).
Ob.~en'ação:No caso de n eventos tcrÍamos 2" - li -I relaçõcs a serem verificadas.
{
(2,1), (2,2),"', (2,6)}
A= (4,1),(4,2), ... ,(4,6) ,
(6,1), (6,2),.':, (6,6)
P(A nH) =~=2=p(lJ)
P(JJ I A) = P(A) l/2 3c
(1,1), (1,2), .. ', (1,6), 1
(2,1), (2,2),.", (2,6),
. . J '...................... .
(6,1), (6,2),'.', (6,6)
.0=
P(A I B) = P(A nB) _ 1I 6 1P(B) --=-= P(A)1/3 2 '
P(A nA.) = P(A )* f)(A ) i :t:. 1°= 1 2 .,. n
, J ' J ' • ",
P(A; nA J n Ak ) = P(A;)* I)(A J)* P(Ak), j:t:..i:t:. k = 1,2,... ,1/
Definição7.2: Sejam AI, A2, ... , Ali, n evenlos de um mesmo espaço amostrai .o. Dizemos
que AI, A2,... , Ali são eventos illdependentes, se:
A={o primeiro dado mostra um número par},
B= {o segundo dado mostra um 5 oU um 6} .
B= {(I,5), (2,5),'" (6,5) } e A n IJ = {(2,5), (2,6), (4,5), (4,6), (6,5), (6,6)} ..
(1,6), (2,6),. .. , (6,6)
... J
"
P(A. nA .n ...nA ) = n P(A)
I ". J " ,
. ;=1
Consequentemcnte,
_ 18 1 12 1 . 6 1
Entao P(A) = - = - PC/)~ = - = - enquanto P(A n13)= - = - .
, 36 2' 36 3' 36 6
SOLUÇÃO: Temos o seguinte espaço amostrai,
Consequentemente, P(NB) = P(A) e P(B/A) = P(B), se P(A) e P(B) são não-nulos.
EXEMPLO 7.1: Suponha que um dado equilibrado seja jogado duas vezes. Definamos os
eventos A e B, da seguinte forma:
Definição 7.1: Dois eventos A e B são il1depel1dentes se e somente se
P(A nB)= P(A)*P(Il)
41
8. REFERÊNCIAS DIBLIOGRÁFICAS
Determine 1'(A), 1'(B), 1'(C), 1'(A (l B), P(A (l C), 1'(B (1C) c P(A (l B (l C).
2. Lipschutz, S. (1972). Prohahilidade. Editora I\!IcGraw Ilill do 13rasil Ltda.
e
C= {(Ca,Co ),(Co,Ca)}e
I'
P(A n/J)= P({Ca,Cil})=~,
4
/)(IJ (l C) = /)( {Cu, C£l}) = ~
4
c
B= {(Ca,Ca),(Co,Ca)}
C C",. IP(A(l .)=P({.£l,CO})=-,
4
P(A (l B (l C) = P(ljJ) = O:t: P(A)* P(B)* P(C)
Este exemplo mostra que os eventos são dois a dois independentes, mas os três
eventos não são independentes.
1. Meyer, r.L. (1984). Probabilidade: aplicaçi'Jes à estatística. Livros Técnicos Científicos
Editora S.A.
2 I
Logo, P(A) = P(H) = P(C) = 4' ="2
A={(Ca,Ca),(Ca,Co) },
SOLUÇÃO: Temos o seguinte espaço amostraI, n = {(Ca,Ca),(Ca,Co),(Co,Ca),(Co,Co)},
onde Ca é cara c Co é coroa, então
EXEMPLO '7.2: Suponha que um par de moedas não viciadas seja jogada. Definamos os
eventos:
A= {cara na primeira moeda l,
B= {cara na segunda moeda} e
C= {cara em exatamente uma moeda} .
L
42
APÊNDICEA :'ALGUMAS NOÇÕES DA TEORIA DOS CONJUNTOS
BA
2. Interseção: A n B = {x: x E A e x E B}
É o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B.
1. União: A uB ={x: x E A 011 X E B}.
É o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B (}II a ambos.
Consideremos, agora, a importância de combinar conjuntos a fim de formar novos
conjuntos. No que segue, consideramos A e.B dois conjuntos arbitrários.
Um C()/~ill11to é uma colcção de objetos. Gcralmcntc os conjuntos são reprcscntados
por letras maiúscula: A, B, .... Os objetos que formam o conjunto A são denominados
elementos de A. Quando a for um elemento de A denotaremos a E A c quando a não for um
elemento de A escrevemos a ~ A.
Definiremos o conjunto vazio como sendo o conjunto que não contenha qualquer
elemento e o conjunto universal como aquele que é formado por todos os objetos que
estejam em estudo.
A partir do conjunto vazio (~) e do conjunto universal (U), podemos enumerar as
duas seguintes propriedades: •
1. <p c A, para qualquer A.
2. A c U, desde que já se tenha definido o conjunto universal.
Este apêndice apresenta alguns conceitos elementares da Teoria dos Conjuntos que
são fundamentais à Teoria das Probabilidades.
f
3. Complementação: Sejam A e B dois conjuntos tais que A c B, A = {x: x fi A e x E B I.
A
EXEMPLO: Seja U = { 1,2,3,4,5,6}, A = { 1,2,3}, B = { 2,3,4}.
Então, A = {4,5,6},AuB= (l,2,3,4) e Anl3= {2,3)
Enunciaremos abaixo algumas propriedades importantes:
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer.
1. ldcmpotência: A u A = A ~ A n A = A.
2. Comutativa: A u B = B u A ~ A n B = B n A.
3. Associativa: A n (B n C) = (A n B) n C ~ A u (B u C) = (A u B) u C.
4. Distributiva: A u (B n C) = (A u B) n (A u C) ~ A n (B u C) = (A n B) u (A n C).
5. Absorção: A u (A n B) = A ~ A n (A u 13)= A.
6. Identidade: A nU = A~ A n cP= cP~ A u U = U~ A u cP= A.- - - -
7. Complementar: U = ifJ; r/J= (j ; A n A = ifJ; A u A = U .
8. Leis da dualidade ou Leis de "De Morgan": (An li) = (A v B) ~
(AvH)=(AnB).
A partir dessas identidades podemos enunciar as seguintes definições.
1Jefinição A.I: Dá-se o nome de CUl~iulIl() das classes de A, e denota-se por F(A), à classe
de todos os possivcis subconjuntos de A.
Para efcito de exemplo, considerc A = {a,b,c}, então
F(A) ={cP, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}=A}
Em geral, se A é finito c tem 11 elemcntos, então F(A) tcm 2/1clementos.
1Jefinição A.2: Uma partição de um conjunto A é uma subdivisão de A cm subconjuntos Ai,
i=1,2, ...n, tal que:
1. A;:j:. ifJ, Vi = 1,2, ... , 11
2. Ai n Ai = ifJ, Vi:j:. j
/I
3. UA; =A
;=\
43
EXEMPLO: Seja A = {a,b,c}, então .
AI = {a} e A2 = {b,c} representam uma partição, enquanto que AI = {a}, A2
= {a,b} e A3 = {b} não representaria.
APÊNDICE B- TÉCNICAS DE CONTAGEJtf
Nem sempre é possível enumerar de forma simples o espaço amostraI e o evento. Por
esta razão, são necessários alguns procedimentos de contagem qu~ são estudados pela análise
combinatória.
Existem várias maneiras de dispor os objetos de uma coleção em grupos. Esses
grupos denominam-se agrupamentos e os objetos que os constituem chama-se de elementos.
Em qualquer das maneiras de disposição dos elementos, existem dois casos:
1. Em cada agrupamento todos os elementos são distintos - agrupamento simples.
2. Em cada agrupamento pode haver repetições dos elementos - agrupamento com repetição.
Os agrupamentos, quanto ao modo de formação, podem ser classificados em :
Arralljos, Perm.lltaç(ies e COl1lbillaçijes.
Os agrupamentos simples diferem pela ordem ou pela l1atureza de seus elementos.
Diferem pela natureza quando pelo menos, um dos elementos de um dos agrupamentos não
for elemento do outro.
Defillição B.l: Sendo 11 um inteiro positivo, definimos 11! = (11)(11-1)(11-2).... f e o
denominamos de/atorial de 11.Também definimos O! = 1.
1. PERMUTAÇÕES
A. PERN[UTAÇÕES SIMPLES DE OBJETOS DISTINTOS
São os agrupamentos simples de 11 elementos que podemos formar com eles. Diferem
um do outro pela ordem dos elementos. O número de permutações é
Pn = n !
EXEMPLO B.l: Com as. primeiras quatro letras do alfabeto, quantos agrupamentos de 4
elementos podemos formar?
SOLUÇÃO: P4 = 41 = 4.3.2.1 = 24. A saber, temos, o seguinte conjunto,
{abcd, abdc, acbd, acdb, adbc,adcb,
baed, bade, bead, beda, bdae, bdea,
eabd,cadb, cbad,cbda,cdab, cdba,
dabe,dacb,dbac,dbca,dcab,dcba}
44
SOLUÇÃO: Temos 2 letras C, 3 letras A c 2 letras R, num total de 7 letras. Então, teremos,
EXEMPLO B.2:Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra CARCARA?
São as permútações que podcmos formar com 11 elementos, dos quais nl são iguais, n2
são iguais, o •• , nr são iguais. Diferem pela ordem. O númcro de permutações é
EXEMPLO DA: Com as quatro primeiras letras do alfabeto, quantos agrupamentos de 2
elementos podcmos formar se a cscolha for feita sucessivamcnte e com
reposição do elemento cscolhido ?
A• ,(1I,r) = /I
li!-AI' = _
A(II,,) - 11 (11 _ r)!
li!
- I}
' I - I'1 I... 11 .11'''1 ,"2 •...• 1 , 11.. 1.' ,.
P72 ' 1 = 7! - 2 IO anagramas difercntes.
o o," 2!3!2!
{ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, de} .
São os agrupamentos de r elementos dentre 11 elementos distintos. Difcrem úm
agrupamento do outro, pela natureza ou pela ordem de seus elementos.
O número de arranjos é
2. ARRANJOS
EXEMPLO D.3: Com as quatro primciras Ictras do alfabeto, quantos agrupamentos dc 2
elementos podemos formar?
SOLUÇÃO:Podemos formar A~ = ~ = 12 agrupamentos diferentes, a saber, temos
2!
B. PERMUTAÇÕES COM OBJETO."; REPETIDO,";
A. ARRANJOS •.\'It.1PLE.\' DE OBJETOS DISTINTOS
São os agrupamentos de r elementos que podemos formar com /I elementos (O<r<II).
Diferem um do outro pela ordem, pela natureza ou pela repetição de r c1emcntos dentro do
mesmo agrupamento. O número de agrupamentos é:
B. ARRANJOS COjt,f REPOSIÇÃO DO OBJETO SELECIONADO
45
OBSERVAÇÕES:
{ab, ac, ad, bc, bd, cd}
{aa, ab, ac,