tensao

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��������	
ζ ���������	
��
�
��	
�	�
�	��	��
3F
nF
F ′′
M ′′
1F
2F
F′
M ′
x
y
z
1F
2F
3F
nF
ζ ��������	
��
����	
x
y
z
F
M
n
�
A
n
�
nF∆
tF∆
sF∆
F∆
M∆A∆
dA
dF
A
F nn
A
n =∆
∆
=σ
→∆ 0
lim
dA
dF
A
F ss
A
s =∆
∆
=τ
→∆ 0
lim
dA
dF
A
F tt
A
t =∆
∆
=τ
→∆ 0
lim
Tensão normal:
Tensões cisalhantes:
ζ �	
���	
��
����	
x
y
z
xxσ
zyτ
zxτ
zzσ
yyσ
yzτ
yxτ
xzτ
xyτ
ijσ
Convenção de índices:
direção
plano
Tensor tensão de Cauchy:
[ ]








σττ
τστ
ττσ
=σ
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ζ �����	
�����
� 
����	�
xF F
EA ,
A
F
=σ
z
x
y
F
ζ �����	
�����
� ����������
	
��������
z
x
y
F F
F F
F
F
2F
A
F 2/
=τ
Em cada parafuso:
ζ �����	
�����
� ����������
	
����	�
F F
2F F
2F
2F
2F
F
z
x
y
4F
A
F 4/
=τ
Em cada parafuso:
ζ ��������
��
���������	
��
���	�
��
����	
y
Para que haja equilíbrio:
∑
∑
∑
=
=
=
0
0
0
z
y
x
F
F
F
∑
∑
∑
=
=
=
0
0
0
z
y
x
M
M
M
xxxx σ∆+σ
zxτ
yxτ
zxzx τ∆+τ
yxyx τ∆+τ
xb
x∆
y∆
z∆z
x
xxσ
Do equilíbrio rotacional:Do equilíbrio translacional:
Fazendo o limite e 
repetindo para as outras direções:
0→∆V
Conclusão:
O tensor é SIMÉTRICO[ ]σ
zyyz
zxxz
yxxy
τ=τ
τ=τ
τ=τ
0
0
0
=+
∂
σ∂
+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
=+
∂
τ∂
+
∂
σ∂
+
∂
τ∂
=+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
+
∂
σ∂
z
zzzyzx
y
yzyyyx
x
xzxyxx
b
zyx
b
zyx
b
zyx
0=+
∆
τ∆
+
∆
τ∆
+
∆
σ∆
x
xzxyxx b
zyx
 ��	
!��
0
0
0
=+
∂
σ∂
+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
=+
∂
τ∂
+
∂
σ∂
+
∂
τ∂
=+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
+
∂
σ∂
z
zzyzxz
y
yzyyxy
x
xzxyxx
b
zyx
b
zyx
b
zyx
[ ]








σ
τσ
ττσ
=σ
zz
yzyy
xzxyxx
sim.
0
0
=+
∂
σ∂
+
∂
τ∂
=+
∂
τ∂
+
∂
σ∂
y
yyxy
x
xyxx
b
yx
b
yx
6 componentes
 ��	
"��
[ ] 


σ
τσ
=σ
yy
xyxx
sim.
3 componentes
ζ ������	�����	
��
������
x
y
z
xxσ
zyτ
zxτ
zzσ
yyσ
yzτ
yxτ
xzτ
xyτ x
y
X
Y
Z
XXσXZτ
XYτ
z
x y z
X 1l 1m 1n
Y 2l 2m 2n
Z 3l 3m 3n
Cossenos diretores:
Tensões normais:
xyxzyzzzyyxxZZ
xyxzyzzzyyxxYY
xyxzyzzzyyxxXX
lmnlnmnml
lmnlnmnml
lmnlnmnml
τ+τ+τ+σ+σ+σ=σ
τ+τ+τ+σ+σ+σ=σ
τ+τ+τ+σ+σ+σ=σ
333333
2
3
2
3
2
3
222222
2
2
2
2
2
2
111111
2
1
2
1
2
1
222
222
222
Tensões cisalhantes:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) xyxzyz
zzyyxxYZ
xyxzyz
zzyyxxXZ
xyxzyz
zzyyxxXY
mlmlnlnlnmnm
nnmmll
mlmlnlnlnmnm
nnmmll
mlmlnlnlnmnm
nnmmll
τ++τ++τ++
+σ+σ+σ=τ
τ++τ++τ++
+σ+σ+σ=τ
τ++τ++τ++
+σ+σ+σ=τ
233223322332
323232
133113311331
313131
122112211221
212121
 ��	
"��
yyσ
xyτ
xyτ
x
y
XXσYYσ XY
τXYτ
XY
θxxσ
yyσ
( ) ( )θ−θτ+θθσ−σ=τ
τθθ−σθ+σθ=σ
τθθ+σθ+σθ=σ
22
22
22
sencoscossen
cossen2cossen
cossen2sencos
xyxxyyXY
xyyyxxYY
xyyyxxXX
ζ �������
����������
� ���	
"�
( ) ( )θ−θτ+θθσ−σ=τ
τθθ−σθ+σθ=σ
τθθ+σθ+σθ=σ
22
22
22
sencoscossen
cossen2cossen
cossen2sencos
xyxxyyXY
xyyyxxYY
xyyyxxXX
Fórmulas de 
ângulo duplo
( ) ( )
( ) ( )
( ) θτ+θσ−σ−=τ
θτ−θσ−σ−σ+σ=σ
θτ+θσ−σ+σ+σ=σ
2cos2sen
2sen2cos
2sen2cos
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
xyyyxxXY
xyyyxxyyxxYY
xyyyxxyyxxXX
XXσPergunta: Qual valor de θ fornece os máximos valores de ?
XXσYYσ XY
τXYτ
X
Y θ
Resposta: 0=
θ
σ
d
d XX
yyxx
xy
σσ
τ
=θ
−
2
2tan 1Solução:
A função tan 2θ1 possui duas raízes 2θ1´ e 2θ1´´, 
defasadas de 180° no plano σ−τ
Direções principais
XYτPergunta: Qual valor de θ fornece os máximos valores de ?
XXσYYσ XY
τXYτ
X
Y θ
Resposta: 0=
θ
τ
d
d XY
xy
yyxx
τ
σσ
−=θ −
2
2tan 2Solução:
Como tan 2θ1 a função tan2θ2 também possui 
duas raízes 2θ2´ e 2θ2´´, defasadas de 180° no 
plano σ−τ. Estas se encontram defasadas de 90° 
em relação 2θ1´ e 2θ1´´, respectivamente
Direções da máxima tensão de cisalhamento
Graficamente:
12θ′
12θ ′′
τ
Direção de σXX máximo
22θ′
22θ ′′
σ
τDireção de τXY máximo
Direção de τXY mínimo
σ
Direção de σXX mínimo
Substituindo os valores de θ1 e θ2 resulta: 
( ) ( ) 2241212,1 xyyyxxyyxx τ+σ−σ±σ+σ=σ
Tensões principais
Tensões cisalhantes máximas
( ) 2241minmax, xyyyxx τ+σ−σ±=τ
ζ �������
����������
� ���	
#����
Tensões principais são os autovalores de [σ], enquanto as direções 
principais são os autovetores correspondentes.
0ou0 32
2
1
3
=−σ+σ−σ=
σ−σττ
τσ−στ
ττσ−σ
III
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
Invariantes
de tensão
yzxzxyxyzzxzyyyzxxzzyyxx
yzxzxyyyzzzzxxyyxx
zzyyxx
I
I
I
τττ+τσ−τσ−τσ−σσσ=
τ−τ−τ−σσ+σσ+σσ=
σ+σ+σ=
22223
222
2
1
1onde
0
0
n
n
3
2 =

=






 σ−σττ
τσ−στ n
zzyzxz
yzyyxy
�
0n um menos ao com,1nnn
0n
i
2
3
2
2
2
1
1
≠=++=⋅
 ττσ−σ
nn
xzxyxx
��
ζ �����	
��
$	��
Embora não seja mais usado como era até algumas décadas atrás, o
Círculo de Mohr constitui uma maneira rápida e versátil de se analisar o 
estado de tensões em um ponto.
Algebrizando com as equações de e :XXσ XYτ
( )[ ] ( )[ ] 22212221 xyyyxxXYyyxxXX τ+σ+σ=τ+σ+σ−σ
( )[ ] 2241 xyyyxxR τ+σ+σ=que é a equação de um círculo de raio
( )[ ]0,21 yyxx σ+σcentrado em
τmax
x
y
12θ
σ
τ
22θ
σ1σ2
τmin
σxx
σyy
τxy
τxy
X
Y
	1. Tensão